TEMA 8 MOVIMIENTOS EN UNA Y DOS DIMENSIONES
1- MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS
1.1- MRU
1.2- MRUA
1.3- MRUA EN LA NATURALEZA
2- MOVIMIENTOS EN DOS DIMENSIONES. COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS
2.1- LANZAMIENTO HORIZONTAL
2.2- TIRO PARABÓLICO COMPLETO
2.3- SUPERPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS UNIFORMES
3- MOVIMIENTOS CIRCULARES
1. - MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS 1.1 – MRU
El MRU es aquel movimiento que transcurre a velocidad constante, sin cambios en el vector velocidad, ni en dirección ni en módulo. A partir de esta condición se obtienen sus ecuaciones correspondientes:
v =
Δx
Δt
→ Δx = v· Δt → x -x0 = v· (t – t0)Finalmente llegamos a la expresión de su ecuación de movimiento: x = x0 +v· (t – t0) De manera más general y con expresión vectorial: ⃗r = ⃗r0+⃗v ·(t−t0)
ACTIVIDAD 1 Las ecuaciones de movimiento de dos móviles A y B son : xA = 5 ·t xB = 140 – 2·t (ambas en metros). Determina :
a) ¿Qué distancia les separa inicialmente?
b) ¿En qué sentidos relativos se mueven respecto del otro? c) ¿En qué instante se cruzan?
d) Representa el movimiento de ambos en la misma gráfica.
ACTIVIDAD 2 Dos vehículos ,A y B, parten uno al encuentro del otro desde dos localidades que distan una de ora 400 km. El vehículo viaja a 100 km/h, mientras que el B, que se pone en marcha un cuarto de hora después, lo hace a 1210 km/h.
a) ¿Cuánto tiempo pasa desde que partió A hasta que se produce el encuentro? b) ¿Qué distancia ha recorrido este vehículo?
1.2 - MRUA
En este caso, el movimiento es rectilíneo (el vector velocidad no experimenta cambios en la dirección) pero también es acelerado, es decir, la velocidad aumenta o disminuye en la misma cantidad a intervalos iguales de tiempo (el vector velocidad varía en su módulo).
La variación de la posición y la velocidad en este movimiento, requiere de dos ecuaciones para su estudio.
a=
Δv
Δt
→ Δv =a· Δt → v -v0 = a· (t – t0) v = v0 + a · (t – t0)La ecuación general que, que nos informa de la posición en función del tiempo se obtiene a partir del teorema de la velocidad media:
v
m=
v
0+
v
2
Así pues: Δx = vm· Δt → Δx =v
0+
v
2
· Δt → x = x0 +v
0+
v
2
(t – t0) Teniendo en cuenta que ⃗v= ⃗v0+ ⃗a ·(t−t0) :x=x
0+[
v
0+
v
0+
a·(t−t
0)
2
]
· (t−t
0)
Reagrupando términos se obtiene:
x=x
0+
v
0+
1
2
·(t−t
0)
²
ACTIVIDAD 3 La nave transbordadora Discovery lleva una velocidad de 720 km/h en el momento del aterrizaje. Cuando entre en contacto con el suelo, despliega los paracaídas de frenado, que, junto con los propios frenos de la nave, hace que esta se detenga en 20 segundos. a) ¿Cuál ha sido la aceleración, suponiéndola constante?
b) ¿Qué distancia ha recorrido la nave durante el frenado?
ACTIVIDAD 4 Un tiesto cae sobre un viandante desde un balcón de un quinto piso que está a 13 metros, ¿de cuánto tiempo dispone la persona para evitar el golpe si su estatura es de 1,75 metros?
1.3 - MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS ACELERADOS EN LA NATURALEZA
a) LA CAÍDA LIBRE DE LOS CUERPOS: todos los cuerpos, independientemente de su masa, caen con la misma aceleración y llegan al suelo al mismo tiempo, si parten de la misma altura. La aceleración que la Tierra comunica a los cuerpos es independiente de su masa.
- ECUACIONES DE LA CAÍDA LIBRE
La caída libre es un MRUA en dirección vertical, por tanto, partiendo de las ecuaciones del MRUA:
x= x
0+
v
0·(t−t
0)+
1
2
· a·(t−t
0)
2 y
v=v
0
+
a ·(t−t
0)
y teniendo en cuenta las consideraciones siguientes, se llega a las expresiones finales: - v = 0, por ser caída libre (sin velocidad inicial)
- a = g = -9,8 m/s2 la aceleración del movimiento es la aceleración de la gravedad
Así pues, podemos escribir:
y= y
0+
1
2
· a·(t−t
0)
2y
v
y=
g·(t−t
0)
ACTIVIDAD 5 En un campeonato de salto de palanca uno de los participantes se deja caer a la piscina desde la postura inicial de “pino”. Si la plataforma está a 10 metros de altura:
a) ¿De cuánto tiempo dispone para ejecutar sus piruetas? b) ¿Con qué velocidad entrara en el agua?
b) LANZAMIENTO VERTICAL HACIA ABAJO
La situación es la de un MRUA en dirección vertical, pero con las siguientes particularidades: - y0 = 0 , si el lanzamiento se efectúa desde el suelo
- v0 ≠ 0 y v0 > 0 , porque el objeto va a subir hacia arriba
- g = -9,8 m/s2 porque ⃗g siempre va dirigido hacia abajo
y=y
0+
v
0·(t−t
0)+
1
2
· a·(t−t
0)
2y
v
y=
v
0+
g·(t−t
0)
ACTIVIDAD 6 Das una patada a un balón a 1 m de altura del suelo y este sale despedido verticalmente hacia arriba. Al cabo de 5 segundos el balón llega al suelo. Calcula:
a) ¿Con qué velocidad sale disparado el balón? b) ¿Hasta qué altura asciende?
c) ¿Cuánto tarda en volver a pasar por la altura 1 m?
2.- MOVIMIENTOS EN DOS DIMENSIONES. MOVIMIENTOS PARABÓLICOS
Los movimientos parabólicos pueden ser tratados como una composición de dos movimientos rectilíneos:uno horizontal, con velocidad constante (MRU) y otro vertical, con aceleración constante (MRUA).
En la imagen podemos observar que: a) si no hubiese velocidad inicial en la dirección del eje x, el proyectil caería verticalmente en caída libre,
b) si no hubiese aceleración en la dirección vertical, el proyectil continuaría moviéndose indefinidamente en la dirección del eje x.
La composición de ambos movimientos (MRU horizontal y MRUA vertical) da como resultado el movimiento parabólico.
1) LANZAMIENTO HORIZONTAL (MRU horizontal + caída libre vertical)
2) MOVIMIENTO PARABÓLICO COMPLETO (MRU horizontal + lanzamiento vertical hacia arriba)
A partir de las observaciones anteriores, (1) y (2) se deduce que:
a) Un cuerpo lanzado horizontalmente y otro que se deja caer libremente desde la misma altura, tardan lo mismo en llegar al suelo.
b) Dos cuerpos, lanzados, uno verticalmente hacia arriba y el otro parabólicamente y alcanzando la misma altura, tardan lo mismo en caer al suelo.
c) La independencia de la masa en la caída libre y el lanzamiento vertical es igualmente válida para los movimientos parabólicos.
2.1- LANZAMIENTO HORIZONTAL
El lanzamiento horizontal es un movimiento formado por un MRU en su componente horizontal (eje x) y un movimiento de caída libre, MRUA, en su componente vertical de caída (eje y).
CARACTERÍSTICAS DEL MOVIMIENTO: Eje X → MRU Eje Y → MRUA
ECUACIONES: - POSICIÓN
EJE X → x=x
O+
v
x· t
EJE Y → y = y
0+
v
oy· t+
1
2
· g·t ²
- VELOCIDADEJE X → v
x=
v
OX la velocidad es constanteEJE Y → v
y=
v
y 0+
g·t
- MOVIMIENTO GLOBAL: ⃗r =x ⃗i+ y ⃗j ⃗v =vx⃗i +vy⃗j
ACTIVIDAD RESUELTA Una pelota de tenis es sacada horizontalmente desde 2,20 metros de altura a una velocidad de 140 km/h. ¿A qué distancia horizontal caerá? ¿Qué velocidad llevará al caer al suelo?
En primer lugar haremos un dibujo esquemático con los datos del problema y nos anotaremos datos y ecuaciones:
y0 = 2,2 m
v0x = 140 km/h = 38,9 m/s v0y = 0
vy=vy 0+g·t
y= y
0+
v
oy·t +
1
2
· g·t ²
x= xO+vx· t vx=vOXTomamos nota de las condiciones que caracterizan el movimiento. Y = 0 nos dará el tiempo que tarda la pelota en llegar al suelo.
0=2,2+o · t+
1
2
·(−9,8)· t ²
→ t = 0,67 sSabiendo el tiempo que tarda en llegar al suelo podemos calcular el alcance horizontal:
vx=vOX=38,9 m/ s x=0+38,9 ·0,67=26 m
Para saber la velocidad con la que llega al suelo debemos conocer las dos componentes de la velocidad, vx y vy.
v
y=
0−9,8 · 0,67=−6,566 m/s
⃗
v =v
x⃗
i +v
y⃗
j
⃗
v =38,90 ⃗i−6,57 ⃗j m/s
|⃗
v|=39,45 m/ s
tgӨ= vy vx =−0,169 → Ө = 9,6º y0=2,20m V0x= 140 km/hACTIVIDAD 7 Desde lo alto de una colina de 12 m, un cañón lanza horizontalmente un proyetil con una velocidad de 140 m/s, calcula:
a) el alcance horizontal del proyectil
b) la velocidad con la que llega al suelo (vector, módulo y dirección)
2.2- MOVIMIENTO PARABÓLICO COMPLETO
El caso estudiado con anterioridad, el movimiento horizontal, es solo una parte del movimiento parabólico.
Este movimiento puede abordarse como la composición de un MRU y un lanzamiento vertical hacia arriba (MRUA), las únicas ecuaciones que se precisan para describirlo son:
- para la posición:
•
alcance horizontal →x= x
O+
v
x· t
m•
alcance vertical →y= y
0+
v
oy·t +
1
2
· g·t ²
m•
posición global → ⃗r =x ⃗i+ y ⃗j m- para la velocidad: es necesario recordar que hay que descomponer la velocidad inicial, v0 , en sus componentes horizontal y vertical. Para ello aplicaremos la trigonometría como otras veces: v0x = v0 · cos α y v0y = v0 · sen α. Posteriormente trabajaremos con estos valores en las ecuaciones de la velocidad
•
velocidad horizontal → vx=vOX m/s•
velocidad vertical →v
y=
v
y 0+
g·t
m/s•
velocidad global → ⃗v =vx⃗i +vy⃗j m/s* En el caso de que el movimiento empiece a una altura determinada, hay que tener en cuenta
a) el alcance máximo se dará cuando y = 0 (cuando llegue al suelo otra vez, si es que había sido lanzado desde el suelo),
b) la altura máxima se alcanza cuando vy= 0, pues es cuando el objeto ha dejado ya de subir.
ACTIVIDAD 8 Un cañón situado en el suelo, lanza un proyectil con una velocidad inicial de 160 km/h y un ángulo de inclinación de 30º. Calcula:
a) la altura máxima
b) el tiempo que tarda en llegar al suelo c) el alcance máximo horizontal
d) la posición y velocidad después de 0,5 s y 1,5 s.
2.3 – SUPERPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS
Cuando lo que se superponen son dos movimientos uniformes perpendiculares lo que obtenemos es:
Δy = vy·t Así : Δ⃗r= Δx⃗i + Δy⃗j m Δx= vx·t
|
Δ⃗r|=
√
Δx ² ⃗i+Δy ²⃗j
mv =
√
v
x²+v
y²
y⃗
v=v
x⃗
i +v
y⃗
j
, teniendo en cuenta que las velocidades son constantes.ACTIVIDAD 9 Una lancha cruz perpendicularmente un río de 100 m de ancho, moviéndose con una velocidad constante de 8 m/s. Si la corriente del río lleva una velocidad de 12 m/s hacia la izquierda, ¿a qué distancia del punto deseado se encontrará la embarcación al llegar a la otra orilla? ¿Qué distancia habrá recorrido, en realidad, cruzando el río?
ACTIVIDAD 10 Una trainera avanza a contracorriente, mientras un observador en reposo situado en la orilla mide su velocidad neta: 32 km/h. Sabemos que la velocidad de la corriente es de 8 km/h.
a) ¿A qué velocidad avanzaría la trainera en aguas reposadas?
b) ¿Qué velocidad neta mediría el observador de la orilla si la trainera avanzara a favor de la corriente?
3.- MOVIMIENTOS CIRCULARES
El movimiento circular uniforme, MCU, es un movimiento acelerado, dotado únicamente de aceleración centrípeta (porque cambia la dirección del movimiento, pero no su módulo).
La rapidez con la que varía el ángulo descrito proporciona la velocidad angular:
w=
Δθ
Δt
la unidad de la velocidad angular es el SI es el radiant por segundo (rad/s).Existe una relación directa entre la velocidad angular y la lineal, derivada de la relación matemática entre el arco y el radio de un ángulo. Así pues:
v=
Δs
Δt
=
Δθ·R
Δt
=
w·R
De la misma manera: Δs = Δθ · R La ecuación del MCU es : θ = θ0 + w·t
• CARÁCTER PERIÓDICO DEL MCU
- El periodo (T) es el tiempo que tardad el cuerpo en dar una vuelta completa (o en repetir posición). Se mide en segundos.
- La frecuencia (ν o f) es el número de vueltas (o número de veces que se repite la posición) por unidad de tiempo. Su unidad sería el 1/s (s-1), que se simboliza como herzio (Hz).
w=
2· π
T
w=2· π · ff =
1
T
T =
1
f
• LA ACELERACIÓN CENTRÍPETA EN EL MCU Sabemos que
a
c=
v
2
R
a partir de la relación de w= v·R, podemos escribir:a
c=
(
w·R)
2R
=
w
2
· R
ACTIVIDAD 11 Sabiendo que la Luna completa su órbita alrededor de la Tierra en 27,32 días y que su distancia media es de 384000 km, ¿cuál es la aceleración centrípeta que actúa sobre la órbita de este satélite?
ACTIVIDAD 12 La rueda de una bici de 20 cm de radio da 40 vueltas en 15 segundos. Calcula: a) la velocidad angular en rad/s
b) la velocidad lineal de un punto de la periferia de la rueda c) el periodo y la frecuencia
