MATE 3031
Dr. Pedro V·squez
UPRM
P. V·squez (UPRM) Conferencia 1 / 23
øCÛmo la derivada afecta la forma de una gr·Öca?
En muchas de las aplicaciones del c·lculo depende de nuestras destrezas para deducir situaciones acerca de una funciÛn desde la informaciÛn relacionada a su derivada.
Recuerde f0(x)representa la pendiente de la gr·Öca de la curva y =f (x) en el punto (x, f (x)).
Es razonable que f0(x)provea informaciÛn a cerca de f (x). øQuÈ dice f0 acerca de f?
Entre los puntos A y B y entre C y D las rectas tangentes tienen pendientes positivas, i.e., f0(x) >0
Entre los puntos B y C las rectas tangentes tienen pendientes negativas, i.e., f0(x) <0
De acuerdo a lo anterior, se observa que f crece cuando f0(x)es positiva y f decrece cuando f0(x) es negaitiva.
Prueba de creciente y decrecciente
a. Si f0(x) >0 en un intervalo, entonces f es creciente en ese intervalo.
b. Si f0(x) <0 en un intervalo, entonces f es decreciente en ese intervalo.
Prueba
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Recuerde, de la secciÛn 4.1, si f tiene un m·ximo o mÌnimo local en c, entonces c debe ser un n˙mero crÌtico de f (por el teorema de Fermat), adem·s no todo n˙mero crÌtico representa un m·ximo o mÌnimo, ejemplo f (x) =x3, c =0 es un n˙mero crÌtico, pero la funciÛn no alcanza ni mÌnimo ni m·ximo local en 0.
Prueba de la primera derivada
Suponga que c es un n˙mero crÌtico de una funciÛn f :
a. Si f0 cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un m·ximo local en c.
b. Si f0 cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mÌnimo local en c.
c. Si f0 no cambia de signo en c, entonces f no tiene ni m·ximo ni mÌnimo local en c.
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Ejemplos
1. Si f (x) =4x3+3x2"6x+1, halle los m·ximos y mÌnimos locales de f
øQuÈ dice f00 acerca de f?
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Al observar la gr·Öca 5, ambas son funciones crecientes entre A y B, sin embargo parecen diferentes porque se doblan en diferentes direcciones.
En la Ögura 6a, las rectas tangentes est·n debajo de la curva, y se le llama cÛncava hacia arriba y en 6 b, las rectas tangentes est·n sobre la curva y se le llama cÛncava hacia abajo.
DeÖniciÛn: Si la gr·Öca de f est· sobre todas las rectas tangentes en un intervalo I , entonces se dice que es cÛncava hacia arriba en I . Si la gr·Öca de f est· bajo todas las rectas tangentes en un intervalo I , entonces se dice que es cÛncava hacia abajo en I .
En 6a, si se observa de izquierda a derecha, las pendientes de las rectas tangentes aumentan, lo que signiÖca que la derivada de f0 est·
aumentando y por lo tanto su dervada f00 es positiva.
En 6b, si se observa de izquierda a derecha, las pendientes de las rectas tangentes disminuyen, lo que signiÖca que la derivada de f0 est·
decreciendo y por lo tanto su dervada f00 es negativa.
Prueba de concavidad:
a. Si f00(x) >0 para todo x en I , entonces la gr·Öca de f es cÛncava hacia arriba en I .
b. Si f00(x) <0 para todo x en I , entonces la gr·Öca de f es cÛncava hacia abajo en I .
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DeÖniciÛn: Un punto P sobre una curva y =f (x)es llamado un punto de ináexiÛn si f es continua en c y la curva cambia de cÛncava hacia arriba a cÛncava hacia abajo o de cÛncava hacia abajo a cÛncava hacia arriba en P.
Prueba de la segunda derivada:
a. Si f0(c) =0 y f00(x) >0, entonces f tiene un mÌnimo local en c.
b. Si f0(c) =0 y f00(x) <0, entonces f tiene un m·ximo local en c.
2. Ejercicio 2 p·g. 297
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3. Ejercicio 6 p·g. 297
4. Ejercicio 8 p·g. 298
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5. Ejercicio 12 p·g. 298, f (x) = x x2+1
6. Ejercicio 14 p·g. 298, f (x) =cos2x"2 sin x, 0#x #2π
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7. Ejercicio 19 p·g. 298, f (x) =1+3x2"2x3
8. Ejercicio 26 p·g. 298, trace la gr·Öca de la funciÛn que satisface:
f0(1) =f0("1) =0, f0(x) <0 si jxj <1;
f0(x) >0 si 1< jxj <2, f0(x)"1 si jxj >2 f00(x) <0 si "2<x <0, punto de ináexiÛn en (0, 1)
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1 1 2 3 4
x y
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9. Ejercicio 32 p·g. 299,
10. Ejercicio 40 p·g. 299, G(x) =5x2/3"2x5/3
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11. Ejercicio 46 p·g. 299, f (x) = x
2"4 x2+4
12. La familia de curvas en forma de campanas:
y = 1
σp
2πe"(x"µ)2/(2σ2)
se dan en probabilidad y estadÌstica, donde se le llama la funciÛn de densidad normal. La constante µ es la media y la constante positiva σ se le llama la desviaciÛn constante. Para simplicidad se escala la funciÛn y se remueve el factor 1
σp
2π y se analiza el caso especialµ=0. Entonces se estudia la funciÛn:
y =e"x2/(2σ2)
a. Halle la asÌntota, el valor m·ximo y el punto de ináexiÛn de f . b. øQuÈ papel juega σ en la forma de la curva?
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