Física II: Termodinámica, ondas y fluidos
Índice
6 - ONDAS MECÁNICAS...2
6.1TIPOS DE ONDAS MECÁNICAS... 2
6.2ONDAS PERIÓDICAS... 3
Ej. 6.1 ondas sonoras... 4
6.3 DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE LA ONDA... 5
Ej. 6.2 Onda periódica en una cuerda infinita... 7
Velocidades y aceleraciones transversales de partículas en una onda senoidal...8
6.4VELOCIDAD DE UNA ONDA TRANSVERSAL... 9
Primer método...9
Segundo método...10
Ej. 6.3 Tensión en una cuerda I... 11
Ej. 6.4 Tensión en una cuerda II... 11
6.5VELOCIDAD DE UNA ONDA LONGITUDINAL... 12
Ej. 6.5 Longitud de onda de un SONAR... 14
Ej. 6.6 Sonido en varilla de plomo ... 14
6.6ONDAS SONORAS EN GASES... 15
Ej 6.7 Velocidad del sonido en el aire... 16
6.7ENERGÍA EN EL MOVIMIENTO ONDULATORIO... 17
Ej. 6.8 Energía en una cuerda ... 18
Ej. 6.9 Ondas sonoras en oído externo... 19
PROBLEMAS...21
6 - Ondas mecánicas
6.1 Tipos de ondas mecánicas
Ondas mecánicas son perturbaciones que viajan por un material o sustancia que es el medio de la onda.
Al viajar la onda, las partículas que forman el medio sufren un desplazamiento.
a) Desplazamiento perpendicular = ondas transversales.
b) Desplazamiento adelante = ondas longitudinales.
c) Desplazamiento perpendicular y adelante = suma de ondas transversales y longitudinales.
El movimiento ondulatorio puede ser visto con una alteración (momentáneo) del estado del equilibrio (perturbación) de las partículas que forman el medio.
⇒ Hay una fuerza restauradora que restablece el estado de equilibrio.
En general la perturbación se propaga a una rapidez definida: rapidez de la onda.
La velocidad de propagación es determinada por las propiedades mecánica del medio.
Nota que la rapidez de la onda no es la rapidez del movimiento de las partículas del medio, pero la velocidad de propagación de la perturbación.
Para producir la perturbación y poner el sistema en movimiento necesita aportar energía,
6.2 Ondas periódicas
Una onda transversal en una cuerda es un ejemplo de un pulso de onda.
Si el pulso se repite de manera periódica el producirá una onda periódica.
Un movimiento armónico simple (MAS), de amplitud A y frecuencia angular ω =2 fπ y periodo 1 2
T f π
= = ω , producirá una onda senoidal.
Cualquier onda periódica puede ser representada con una combinación de ondas senoidales (principio de Fourier).
Cuando una onda senoidal pasa en un medio, todas las partículas experimentan un MAS con la misma frecuencia.
Longitud configuración completa = distancia entre un creta y la siguiente = longitud de onda λ.
La Onda viaja con la velocidad v=cte, y viaja una longitud λ en un tiempo T , o entonces v
T
= λ . Dado que f 1
=T :
(6.1) v=λf
Ej. 6.1 ondas sonoras
Las ondas sonoras son ondas longitudinales. La velocidad de propagación de la onda depende de la temperatura del aire. A 20 Co , 344m
v= s
Si f =262Hz, la frecuencia del Do central sobre un piano
-1
344m s
1.31m 262s
v λ f
⇒ = = =
El Do alto (soprano) esta a 2 octavas arriba. Cada octava corresponde a un factor de 2 en frecuencia.
Así para Do alto: f =4 262Hz
( )
=1048Hz1.31m
0.328m λ 4
⇒ = =
6.3 descripción matemática de la onda
Introducimos la función de onda = función matemática que describe la posición de cualquier partícula en el medio en cualquier instante.
Para un hilo: y= y x t
( )
,Movimiento cíclico de diversos puntos del hilo están desfasados uno respeto a otro en diversas fracciones de un ciclo.
= diferencia de fase
La fase del movimiento difiere para puntos distintos.
El desplazamiento en x=0:
(6.2) y
( )
0,t = Asenωt= Asen2π ftEn t=0, y=0, y el punto se mueve en dirección +y La perturbación viaja desde x=0 hacia algún otro punto
x , a la derecha en un tiempo t x
= v .
Así el movimiento del punto y en un instante t es el mismo que el movimiento del punto x=0 en el instante
t x
−v .
(6.3) y x t
( )
, Asen t x Asen 2 f t xv v
ω π
= − = −
En términos de T y λ :
(6.4) y x t
( )
, Asen 2 t xπ T
λ
= −
Definimos el número de onda:
(6.5) k 2π
= λ
Como 2
k λ = π ,
f 2ω
= π y v=λf (6.6) ω=vk
(6.7) y x t
( )
, = Asen(
ωt−kx)
Donde
[ ]
ω = rads y[ ]
k = radmSi la onda viaja en la dirección x<0:
(6.8)
( ) ( )
, sen 2
, sen 2
y x t A f t x v t x y x t A
T π
π λ
= +
= +
La cantidad ωt kx± es la fase.
La rapidez de la onda es la rapidez en que tenemos que movernos para mantenernos junto a un punto con una fase dada.
Para una onda viajando hacia x>0, ωt kx− =cte. Derivando respeto a t : kdx
ω = dt o dx dt k
=ω es la velocidad de la fase.
Ej. 6.2 Onda periódica en una cuerda infinita La extremidad de la cuerda se mueve como un MAS : Con f =2.0Hz, A=0.075m y 12.0m
v= s . En t=0, la posición inicial y= =x 0.
Las partículas de la cuerda describe un MAS:
Con amplitud A=0.075m Frecuencia angular:
rad rad
2 2 (2.0Hz)=4 12.6
s s
ω = π f = π π ≈
Periodo: 1
0.50s T = f =
Longitud de onda: 12.0m s1 2.0s 6m v
λ = f = − =
El número de onda es:
2 2 rad rad 6.0m 1.05 m
k π π
= λ = = o 4 rad s 1.05rad
12.0m s m
k v
ω π
= = =
La función de onda:
( )
, sen2(
0.075m sen2)
0.50s 6.0m
t x t x
y x t A
π T π
λ
= − = −
Por ejemplo, en x=3m
(
3m,) (
0.075m sen 12.6)
rad rad y t = s t−π Velocidades y aceleraciones transversales de partículas en una onda senoidal Derivando la función de onda en función de t y guardando x=cte, deducimos la velocidad transversal de cualquier partícula:
(6.9) y cos
( )
x
v y A t kx
t ω ω
∂
=∂ = −
Esto implica que la velocidad máxima: vy max =ωA
Derivando una segunda vez deducimos la aceleración transversal:
(6.10)
( )
2( )
2 2( )
2( )
, , sen ,
y
y x t
a x t A t kx y x t
t ω ω ω
= ∂ = − − = −
∂
Este resultado es el mismo que el MAS.
También podemos derivar en función de x , guardando t=cte
Primera derivada y x
∂
∂ = pendiente del hilo
Segunda derivada
2 2
y x
∂
∂ = curvatura del hilo
(6.11) 2
( )
2 2( )
2( )
, sen ,
y x t
k A t kx k y x t
x ω
∂ = − − = −
∂
De (6.10) y (6.11) y de la relación ω=vk deducimos que:
( ) ( )
2 2 2
2
2 2 2
, , y x t t y x t x k v
∂ ∂ ω
= =
∂ ∂
De esta relación, deducimos la ecuación de onda:
(6.12) 2
( )
2( )
2 2 2
, 1 ,
y x t y x t
x v t
∂ = ∂
∂ ∂
6.4 Velocidad de una onda transversal
Primer método
La densidad de masa lineal = µ , con unidad
[ ]
kgµ = m
En equilibrio, la tensión en la cuerda es F.
Aplicamos una fuerza constante Fy al extremo (izquierda). Una onda se forma que viaja a la velocidad v (en el sentido x>0).
Según el teorema impulso-cantidad de movimiento:
y y
F t=mv
En el instante t , el punto izquierdo ha subido de v ty , y el frente de la perturbación (punto P) a avanzado de vt .
La fuerza total que estira el hilo (la tensión aumenta un poco) tiene las componentes F y Fy, y amplitud
(
F2+Fy2)
. Por tanto:y y y
y
F v t v
F F
F = vt ⇒ = v El impulso transversal es: y vy
F t F t
= v
La masa desplazada es m=µvt de modo que la cantidad de movimiento transversal es
y y
mv =µvtv .
Igualando esta expresión al impulso transversal: vy y F t vtv
v =µ Deducimos la velocidad de la onda: (6.13) v F
= µ
La velocidad de la onda (propagación de la perturbación) aumenta con la tensión (la fuerza que restablece el equilibrio) y disminuya con la masa (la inercia).
Segundo método
Aplicamos la segunda ley de Newton, F =ma
∑
r r, a un pequeño segmento del hilo, cuya la longitud al equilibrio es ∆x. La masa del segmento es: m= ∆µ xSea F1 y F el pendiente en el punto 1 y F2 y F el pendiente en el punto 2.
Por definición:
(6.14) 1y
x
F y
F x
∂
= − ∂ y 2 y
x x
F y
F x +∆
∂
= ∂
(6.15) y 1y 2y
x x x
y y
F F F F
x x
δ δ
δ +∆ δ
= + = −
(6.16)
2
2
x x x
y y y
F x
x x t
δ δ µ
δ +∆ δ
− = ∆ ∂
∂
o
2
2
x x x
y y
x x y
x F t
δ δ
δ +∆ δ µ
−
∂
=
∆ ∂
(6.17)
2 2
2 2
lim0 x x x
x
y y
x x y y
x x F t
δ δ
δ +∆ δ µ
∆ →
−
∂ ∂
= =
∆ ∂ ∂
Comparando con la ecuación de onda (6.12) deducimos que: (6.18) v F
= µ
Ej. 6.3 Tensión en una cuerda I
En el ejemplo 6.2, la densidad de masa es: 0.250kg µ = m
Para producir una velocidad 12.0m
v= s , necesitamos una tensión (Ec. 6.13):
2 2
2
kg m m
0.250 12.0 36.0kg 36.0N
m s s
F =µv = ⋅ = ⋅ =
Ej. 6.4 Tensión en una cuerda II Cuerda tensada por peso de 20.0kg El pozo tiene 80.0m de profundidad.
La masa de la cuerda es 6.0kg
El geólogo abajo manda señales por la cuerda hacia su colega arriba a la frecuencia 2.001
f = s. Ignoremos la variación de tensión a lo largo de la cuerda.
La tensión es: 20.0kg 9.8m2 196N
F = ⋅ s =
La masa por unidad de longitud: 6.00kg 0.0750kg
80.0m m
µ = =
El señale viaja a la velocidad: 196N m
kg 51.1s 0.0750
m v F
= µ = =
La longitud de onda (Ec. 6.1): 51.1m s1
25.6m 2.00s
v
λ = f = − =
Si consideramos el peso de la cuerda, la rapidez aumentara (F aumenta) y la longitud de onda aumentara (si no cambia la frecuencia). Podemos comprobar que la velocidad de la onda arriba es de 58.3m
v= s .
6.5 Velocidad de una onda longitudinal
Consideramos un fluido de densidad ρ en un tubo con área transversal A.
En el estado de equilibrio, el fluido esta sometido a una presión uniforme p
Cuando el pistón se mueve a la velocidad vy, se inicia un movimiento ondulatorio (onda de compresión) que se propaga a la velocidad v . En el tiempo t , el pistón se hay movido de v ty y la frontera entre la masa en movimiento y la masa en reposo a avanzado de vt .
La cantidad de fluido en movimiento es: ρvtA La cantidad de movimiento longitudinal: ρvtAvy.
Para determinar el aumento de presión en el fluido en movimiento, consideramos el módulo de volumen (Capitulo 11 física 1):
(6.19)
/ 0
B p
V V
= − ∆
∆
El módulo de volumen permite determinar de cuantos aumenta la presión para un cambio de volumen (es negativo porque una disminución de volumen = una aumentación de la presión. Dicho de otro modo, si ∆ <V 0, ∆ >p 0).
El volumen original del fluido en movimiento, V0 =vtA, a disminuido de la cantidad V v tAy
∆ = −
y
B p
Av t Avt
⇒ = −∆
− vy
p B
⇒ ∆ = v
La presión en el fluido en movimiento a aumentado a p+ ∆p. La fuerza ejercida sobre esta parte del fluido es:
(
p+ ∆p A)
. La fuerza neta es por tanto: vyA p B A
∆ = v .
Segundo el teorema de impulso cantidad de movimiento:
(6.20) vy y
B At vtAv v =ρ
De (6.20) deducimos la velocidad de la onda de compresión:
(6.21) v B
= ρ
La velocidad aumenta con el módulo de volumen (la fuerza de regreso al equilibrio) y disminuya con la densidad (inercia).
Esto se aplica también para sólido y liquido.
Para una onda en una barra sólida, por ejemplo, hay una expansión lateral. Esto cambia un poco la rapidez de la onda:
(6.22) v Y
= ρ
Donde Y es el módulo de Young.
En todas estas ecuaciones, el numerador es una propiedad elástica del medio y el denominador es una propiedad proporcional al la inercia del medio.
Ej. 6.5 Longitud de onda de un SONAR SONAR: sistema para detectar
objetos submarinas
El sistema emite ondas sonoras y mide el tiempo que tarda la onda reflejada (eco) al volver al detector.
La compresidad del agua (recíproco del módulo de volumen): k=45.8 10× −11Pa−1
Nota que
[ ]
Pa = fuerza/área = 22 kg ms kg
m m s
⋅ =
⋅ . Así que: 1 10 Pa11 B=45.8× La densidad del agua a 20 Co : ρ =1.00 10 kg m× 3 3
La velocidad de una onda sonora en el agua:
11
3 3
1 10 Pa 45.8 m
1.00 10 kg m 1480 s v B
ρ
×
= = =
×
Esto es 4 veces la rapidez del sonido en el aire (a temperatura ordinaria).
Para una frecuencia f =262Hz, la longitud de onda es
1
1480m
s 5.65m
262s v
λ= f = − = .
En el aire, la longitud de onda será: λ =1.31m
Los delfines emiten ondas de alta frecuencias f =0.1MHz=100000Hz, que da una longitud de onda de λ =1.48cm. Con este sonar, los delfines pueden detectar objetos de tamaño de λ (pero no mucho menores).
En la visualización ultrasónica, las ondas sonoras usadas tienen una frecuencia de 5MHz 5 10 Hz6
f = = × esto permite distinguir rasgos de tamaño λ =0.3mm. Ej. 6.6 Sonido en varilla de plomo
Módulo de Young: Y =1.6 10 Pa× 10 y densidad: 11.3 103 kg3 ρ = × m
6.6 Ondas sonoras en gases
Podemos usar la definición del módulo de volumen para deducir la velocidad del sonido en un gas ideal.
Para presión y volumen infinitesimal: B V dp
= − dV . Si la temperatura es constante, pV =cte.
Sin embargo, cuando un gas se comprime adiabáticame nte, no hay flujo de calor de modo que su temperatura aumenta cuando se comprima y disminuya cuando el se expande.
Para un gas ideal:
(6.23) pVγ =cte
Donde p
V
C
γ =C = es el cociente adimensional de las capacidades caloríficas.
¿Cuando una onda sonora viaja en un gas las compresiones son adiabáticas?
Dado que las conductividades térmicas de los gases son muy pequeñas, resulta que para frecuencias de sonido ordinarias (20 a 20000Hz) la propagación del sonido es casi adiabática. Esto legitima usar el módulo de volumen adiabático B . ad
1 0
pV cte dpV pV dV
γ = ⇒ γ +γ γ− =
(6.24) Bad V dp p dV γ
= − =
Para un proceso isotérmico pV =cte⇒ =γ 1 (6.25) Biso =p
Combinando 6.21 y 6.24:
(6.26) v γ p
= ρ
Para un gas ideal, tenemos que pM ρ= RT
(6.27) RT
v M
= γ
Para un gas dado, γ, R y M son constantes de modo que:v∝ T
La Ec. (6.27) es similar a la rapidez eficaz de las moléculas en un gas ideal: 3
rms
v RT
= M . Esto indica que la velocidad del sonido en un gas es íntimamente relacionada con la velocidad de las moléculas.
Ej 6.7 Velocidad del sonido en el aire
Para T =20 Co =293K, 28.8 103 kg
M = × − mol, 8.315 J mol K R=
⋅ y γ =1.40
( )( )( )
3
1.40 8.315J mol K 293K m 28.8 10 kg mol 344 s v RT
M γ
−
= = ⋅ =
×
Esto es consistente con la velocidad medida con error de 0.3%
El oído es sensible a gama de frecuencias sonora de 20 a 20000Hz.
λ 17m
⇒ = a λ =1.7cm
Los murciélagos pueden escuchar frecuencias más altas, típicamente 1000kHz 3.4mm
λ
⇒ =
Usado como sonar, está ondas son suficientes para detectar insectos.
Nota que están explicaciones, ignoran la naturaleza molecular de un gas. Un gas real se compone de moléculas en movimiento aleatorio separados por distancias grandes en comparación con sus diámetros. Las vibraciones de las ondas se superponen al
movimiento térmico aleatorio. A 1atm, una molécula viaja una distancia medio de 10-7m entre 2 choques, mientras que la amplitud de desplazamiento producida por un sonido tenue es 10-9m.
6.7 Energía en el movimiento ondulatorio
Una onda puede transportar energía ¿pero, como se transporte la energía?
Recuerdamos que Fy F = el pendiente del hilo en el punto a.
(6.28)
( )
,( )
,y
y x t
F x t F
x
= − ∂
∂
El signo menos es necesario, porque cuando el pendiente es positivo, la componente y de la fuerza debe ser negativa.
Cuando el punto a se mueve en dirección y, Fy efectúa un trabajo sobre este punto y por tanto transfiere energía hacia la derecha.
La potencia P (razón a la que se hace el trabajo) en el punto a es igual a la fuerza transversal Fy
( )
x t multiplicada por la velocidad transversal , vy( )
x t, = ∂y x t( )
, ∂t. (6.29) P x t( )
, Fy( ) ( )
x t v, y x t, F y yx t
= = − ∂ ∂
∂ ∂
Esta potencia es la razón instantánea con que se transfiere la energía a lo largo del hilo.
Solo se transfiere energía en los puntos en los que el hilo tiene pendiente distinto de 0
( y 0
x δ
δ ≠ ), de modo que hay una componente transversal de la tensión, y en los puntos que el hilo tiene una velocidad transversal distinta de 0 ( y 0
t δ
δ ≠ ) de modo que la fuerza transversal puede efectuar un trabajo.
La ecuación 6.29 es valida para cualquier onda.
Para una onda senoidal: y x t
( )
, = Asen(
ωt kx−)
⇒( )
y cos
kA t kx
x ω
∂ = − −
∂ y y Acos
(
t kx)
t ω ω
∂ = −
∂
(6.30) P x t
( )
, =Fk Aω 2cos2(
ωt kx−)
Usando las relaciones: ω=vk y 2 F v = µ
Como la función cos2 es siempre positiva, la potencia instantánea es siempre positiva o 0 (no hay transferencia de energía).
Nunca se transfiere energía en la dirección opuesta a la de la propagación de la onda.
El valor máximo (cos2 =1):
(6.32) Pmax = µ ωF 2A2 La potencia media:
(6.33) med
( )
, 2 2 cos2 1 2 2periodo periodo 2
P =
∫
P x t = µ ωF A∫
= µ ωF ALa razón de la transferencia de energía es proporcional al cuadrado de la amplitud y al cuadrado de la frecuencia.
Para una onda longitudinal, la potencia media por unidad transversal es I = intensidad. En un fluido en un tubo:
(6.34) I =12 ρ ωB 2A2 En una varilla sólida:
(6.35) I = 12 ρ ωY 2A2
El echo que P∝A2 es general para ondas de todos tipos. Para ondas mecánicas, P∝ω2, pero para ondas EM la potencia no depende de la frecuencia.
Ej. 6.8 Energía en una cuerda En el Ej. 6.2 y 6.3
( )( )
2( )
22 2 max
0.250kg m 36.0N 4 rad 0.075m 2.66W
P = µ ωF A = π s =
1
med 2 max 1.33W
P = P =
Cuando A=7.5mm, o 10
A, med 2
( )
1 1.3W 13.3mW
P =10 =
Ej. 6.9 Ondas sonoras en oído externo
Las ondas que entran en el oído pasan por el canal auditivo antes de llegar al tímpano. En un adulto, el canal auditivo es un tubo que mido: 2.5cm de largo por 7.0mm de diámetro.
Una conversación ordinaria tiene una intensidad: 3.2 10 6 W2
I m
= × −
La potencia media: med 2 3.2 10 6 W2 3.8 10 m5 2 1.2 10 10W P = ×I πr = × − m × − = × −
Esta potencia es absorbida por el tímpano cuyas oscilaciones se transforman dentro del oído interno en señales eléctricos que se envíen al cerebro.
Un oído sano puede detectar hasta intensidad 10 12 W2
I = − m o Pmed =3.8 10× −17W Para una onda que se propaga en un fluido en un tubo: I =12 ρ ωB 2A2
( )
1 41 2I A
ω ρB
⇒ =
Si el fluido es el aire, B=γp. Para γ =1.40 y p=1atm =1.013 10 Pa× 5
5 5
1.40 1.013 10 Pa 1.42 10 Pa
B= × × = ×
pM RT
ρ = a 20o
(
5)(
13)
3
1.013 10 Pa 28.8 10 kg mol kg
J 1.20m
8.315 293K
mol K ρ
× × −
⇒ = =
⋅
Para una onda de frecuencia f =100Hz
( ) ( )
( )
146 2
7 1
5 3
2 3.2 10 W m
1 2.0 10 m
2 100s kg
1.2 1.42 10 Pa
m
A π
−
−
−
⇒ = × = ×
×
Una persona con oído normal puede detectar desplazamiento muy diminuto de las moléculas del aire. De hecho un sonido con esta intensidad aún sería audible a una
frecuencia más alta f =10000Hz. La amplitud sería 0.01veces la anterior o 2.0 10 m× −9 . El oído puede detectar el movimiento de moléculas de aire sobre distancia que apenas es unas cuantas veces mayor que el tamaño de las moléculas.
