UNIDAD 1. NÚMEROS REALES

(1)

Pablo Trashorras de la Fuente Calcula los siguientes logaritmos usando la definición:

a) log₂ 0,125 c) 54

log₃ 2 e) log₁₆ 2 g) log₁₆ 64

b) log3 0,333… d) log 0,00001 f) log64 2 h) log₄ 2 Solución.

Realiza las siguientes operaciones calculando previamente cada uno de los logaritmos usando la definición:

a) + + − =

4 log 9 001 , 0 3 log log 1 27 log

3 9 2

3

1 b) −3log 2+ln e −log 32=

81 log 1

2 1 3 2 3 4

Solución.

Calcula el valor de x, utilizando la definición de logaritmo:

a) 2

4

log_x 1 = c) logx² =−2 e) x e

ln³ 1 = g)

2 16 1 log_x =

b) 2

4 1 log_x −

= d) 2

1 x log x =



 





− f) log 27 3

x

1 = h) x

8 log₂ 1 =

Solución.

Utiliza la definición y las propiedades de los logaritmos para:

a) Reducir a un solo logaritmo y calcular: log 40 + log 25 b) Calcular log 8 sabiendo que log 2 = 0,301.

Solución.

1

2

3

4

(2)

Pablo Trashorras de la Fuente

5

Sabiendo que log₂A=1,9 , log₂B=−2,3 y log₂C=−3,2calcular:

a) 0,5 B log A

2

2  c) ₂ ₇²

B A

log 8 e) ₂ ₂

C B log A



b)

2 2 B 1

log A 



 





− d) ³

3

2 16 A

log B



−

f) ^log₂

(

³²^A^B³

)

²

Solución.

Emplea la fórmula del cambio de base para calcular los siguientes logaritmos.

a) log3 2 c) log3 32 e) log230

b) log29 d) log210 f) log82

Solución.

Reduce a un solo logaritmo cada una de las siguientes expresiones:

a) logB

2 C 1 log 2 A 5log

1 − + d) logA 4logB 3

3

2 − +

b) logB²

3 C 1 2log A 1 3log

2 − + e) 3logB²

2 A log −

−

c) 3lnB

2 A

ln ⁻³ + f) log B 1

5 A 3 log

4 ₂ ⁻²¹ − ₂ +

Solución.

6

7

(3)

(4)

Pablo Trashorras de la Fuente Calcula los siguientes logaritmos de forma razonada:

a) log2 0,125 c) 54

log₃ 2 e) log16 2 g) log16 64

b) log3 0,333… d) log 0,00001 f) log64 2 h) log₄ 2

Solución.

a) log₂0,125

3 125 , 0 log 2 2

1 8 1 1000 125 125 , 0

2^x = = = = ₃ = ⁻³ → ₂ =−

b) log3 0,333…

1 ...

333 , 0 log 3 3

1 9

0 3 3

, 0

3^x =  = − = = ⁻¹ → ₃ =−

c) 54 log₃ 2

54 3 log 2 3 3

1 27

1 54

3^x = 2 = = ₃ = ⁻³ → ₃ =−

d) log 0,00001

5 ,00001 0 log 10 10

1 100000 00001 1

, 0

10^x = = = ₅ = ⁻⁵ → =−

e) log16 2

( )

4

2 1 log 4 x 1 1 4x 2 2 2 2 2

16^x = → ⁴ ^x = → ^4x = ¹ → = → = → ₁₆ =

1

(5)

Pablo Trashorras de la Fuente f) log64 2

( )

6

2 1 log 6 x 1 1 6x 2 2 2 2 2

64^x = → ⁶ ^x = → ^6x = → = → = → ₆₄ =

g) log16 64

( )

2

4 3 6 log 2 x 3 3 2x 4 4 4 4 64

16^x = → ² ^x = ³ → ^2x = ³ → = → = → ₁₆ =

h) log₄ 2

( )

4

2 1 log 4 x 1 2 2x 1 2 2 2 2 2

4 ² ₄

2x 1 2

x 1 2

x = → = → = → = → = → =

Volver a los enunciados

(6)

Realiza las siguientes operaciones calculando previamente cada uno de los logaritmos usando la definición:

a) + + − =

4 log 9 001 , 0 3 log log 1 27 log

3 2 9

3

1 b) −3log 2+ln e −log 32=

81 log 1

2 1 3 2 4

3

Solución.

a) 4

log 9 001 , 0 3 log log 1 27 log

3 2 9

3

1 + + −

Calcularemos los cuatro logaritmos de forma independiente y luego realizamos la operación:

• log 27

3 1

²⁷

( )

³ ³ ³ ³ ^x ³ ^x ³ ^log ²⁷ ³

3 1

3 1 3

x x 3

1 x

−

=

→

−

=

→

=

−

→

=

→

=

→

 =



 



 − −

• 3

log₉ 1

( )

2 1 3 log 1 2 x 1 1 x 2 3 3 3 3 3

9^x = 1 → ² ^x = ⁻¹ → ²^x = ⁻¹ → =− → = − → ₉ = −

• log 0,001

10^x =0,001 → 10^x =10⁻³ → x=−3 → log 0,001=−3

• 4

log 9

3 2

2

4 log 9 2 x 3

2 3

2 2

3 3

2 4 9 3 2

3 2 2

2 x x

x

−

=

→

−

=

 →



 



=



 



→ 



 



=



 



→ 

 =



 



 ⁻

Entonces:

2 2 9 2 3

3 1 4 log 9 001 , 0 3 log log 1 27 log

3 2 9

3 1

= − +

−

=

− +

+

2

(7)

Pablo Trashorras de la Fuente b) −3log 2+ln e −log 32=

81 log 1

2 1 3 2

3 4

Calcularemos los cuatro logaritmos de forma independiente y luego realizamos la operación:

• 81

log₃ 1

4

81 log 1 4 x 3 3 3 3 1 81

3^x = 1 → ^x = ₄ → ^x = ⁻⁴ → =− → ₃ =−

• log₄2

( )

2 2 1 log 2 x 1 1 x 2 2 2 2 2 2

4^x = → ² ^x = → ²^x = → = → = → ₄ =

• ln³e²

3 e 2 ln 3 x 2 e e e

e^x =³ ² → ^x = ³² → = → ³ ² =

• log 32

2 1

³²

( )

² ² ² ² ^x ⁵ ^x ⁵ ^log ³² ⁵

2 1

2 1 5

x x 5

1 x

−

=

→

−

=

→

=

−

→

=

→

=

→

 =



 



 − −

Entonces:

6 5 1 3 2 2 4 3 32 log e ln 2 log 81 3 log 1

2 1 3 2 4

3 − + − =− − + + =

(8)

Calcula el valor de x, utilizando la definición de logaritmo:

a) 2

4

log_x 1 = c) logx² =−2 e) x e

ln³ 1 = g)

2 16 1 log_x =

b) 2

4 1

log_x = − d) 2

1 x log x =

− f) log 27 3

x

1 = h) x

8 log₂ 1 =

Solución.

a) 2

1 4 x 1 4 x 1 4 2

log_x 1 = → ² = → = =

b) = − → ⁻ = → = → = → = x →

4 1 x 4 1 4 x 1 4 x 2 4 1 log

2 2 1

1

x

( )

^x

16 1 4 x

1 ²

2

=

→

 =



 



→ 

c) 10

1 100 x 1

100 x

1 10 x

1 x 10 2 x

log ² =− → ⁻² = ² → ₂ = ² → = ² → = =

d) →

(

−

)

= → − = →

= −

→

=



 





− 100x 1 x 100x 100 x 1

x 10 x 1 2 x

log x ²

99

x 100 100 x 99

= → =

→

e) 3

x 1 e e e e 1

e x

ln³ 1 ^x ³ ^x ³¹ −

=

→

=

→

=

→

= ⁻

f) 3

1 27 x 1 27 x

1 x 27

1 3 27

log ₃ ³ ³

3

x

1  = → = → = → = =



 



→ 

=

g) ^x ¹⁶ ^x ¹⁶

( )

^x ¹⁶ ^x ²⁵⁶

2 16 1

log ² ² ²

1

x = → = → = → = → =

h) 2 2 x 3

2 2 1 8 2 1 8 x

log₂1 = → ^x = → ^x = ₃ → ^x = ⁻³ → =−

3

Intercambiamos la raíz y el 4.

En este caso las dos soluciones son válidas

(9)

Utiliza la definición y las propiedades de los logaritmos para:

a) Reducir a un solo logaritmo y calcular: log 40 + log 25 b) Calcular log 8 sabiendo que log 2 = 0,301.

Solución.

a) Usando la propiedad del producto tenemos que:

log 40 + log 25=log4025=log1000=3

b) Si factorizamos 8 y utilizamos la propiedad de la potencia tenemos que:

903 , 0 301 , 0 3 2 log 3 2 log 8

log = ³ =  =  =

4

(10)

Sabiendo que log₂A=1,9 , log₂B=−2,3 y log₂C=−3,2calcular:

a) 0,5 B log A

2

2  c) ₂ ₇²

B A

log 8 e) ₂ ₂

C B log A



b)

2 2 B 1

log A 



 





− d) ³

3

2 16 A

log B



−

f) ^log₂

(

³²^A^B³

)

²

Solución.

a) =

 



 +

−

=



−

=



 = ²

1 2

2 2 2

1 2

2 2 2

1 2 2 2

2 log A log 0,5 B log A log 0,5 logB

B 5 , 0 log A B 5 , 0 log A

(

²^,³

)

⁵^,⁹⁵

2 1 1 9 , 1 2 B 2log 5 1 , 0 log A log

2 ₂ ₂ =

− +  −

−



=



 



 +

−

=

b) ^log ^A ^log ^B ²^log ^A ²^log ^B ² ¹^,⁹ ²

(

²^,³

)

⁰^,⁸

B log A B

log A ₂ ²₂ ₂ ² ₂ ² ₂ ₂

2

2 1 = = − = + =  +  − =−



 



 −

−

c) =log 8A −log B =log 8+log A −log B =log 8+2log A−7log B= B

A

log 8 ₇ ₂ ² ₂ ⁷ ₂ ₂ ² ₂ ⁷ ₂ ₂ ₂

2 2

(

2,3

)

22,9 7

9 , 1 2

3+  −  − =

=

d) =

 



 +

−

=



−

=



 =

−

− −

−

3 1 3 2

1 2 1

3 2 1 3 1 2 1 2 3 1 3 1

1 3 2

3

2 log B log 16 A log B log 16 log A

A 16 log B A 16 log B

( )

0,3

3 9 1 , 3 1 4 1 3 3 1 , 2 A

3log 16 1 3log B 1

log₂ ₂ ₂ 

=

=



 



  + 

−

=



 



 +

−

=

5

(11)

e) =



 



 +

−

=



−

=



 =

2 2 2

1 2 2

2 2 1 2 2 2

2 1 2 2

2 log A log B C log A log B log C

C B log A C B log A

(

2,3

)

2

(

3,2

)

9,45 2

9 1 , 1 C log 2 B 2log A 1

log₂ ₂ ₂ =



  − +  −

−

=



 



 +

−

=

f) log₂

(

32AB³

)

² =log₂32²A²B⁶ =log₂32²+log₂A²+log₂B⁶ =

(

2,3

)

0

6 9 , 1 2 5 2 B log 6 A log 2 32 log

2 ₂ + ₂ + ₂ =  +  +  − =

=

(12)

Emplea la fórmula del cambio de base para calcular los siguientes logaritmos.

a) log3 2 c) log3 32 e) log230

b) log29 d) log210 f) log82

Solución.

a) 0,631

3 log

2 2 log

log₃ = = d) 3,322

2 log

10 10 log

log₂ = =

b) 3,17

2 log

9 9 log

log₂ = = e) 4,907

2 log

30 30 log

log₂ = =

c) 3,155

2 log

32 32 log

log₂ = =

f) 0,3

3 1 8 log

2 2 log

log₈ 

=

6

NOTA: En todos los casos se ha redondeado a tres cifras decimales.

(13)

Reduce a un solo logaritmo cada una de las siguientes expresiones:

a) logB

2 C 1 log 2 A 5log

1 − + d) logA 4logB 3

3

2 − +

b) logB²

3 C 1 2log A 1 3log

2 − + e) 3logB²

2 A log −

−

c) 3lnB

2 A ln ³

− +

f) log B 1

5 A 3 log

4 ² ₂

1

2 ⁻ − +

Solución.

a) − + = − + = ₂⁵ + ²¹ =

1 2

2 1 5

1

B C log

logA B log C log A log B 2log C 1 log 2 A 5log 1

₂⁵ ²¹ ⁵ ₂

1

C B log A

C B

logA  = 

=

b) − + = − + = + ³² =

2 1 3 2 3

2 2

1 3

2 2 logB

C logA B log C log A log B 3log C 1 2log A 1 3log 2

C

B log A

C B log A

B C

logA ³² ³ ² ³ ² ³ ² ²

2 1 3

2 

 =

=



=

c) 3

3

2 3 3 3

2 3 3

3

A ln B A lnB B A ln B ln A ln B ln 3 A 2ln B 1 ln 2 3

A

ln ⁻ + = ⁻ + = ⁻ + = ⁻  = =

d) − + = logA−4logB+log1000=logA −logB +log1000= 3

3 2 B log 4 A 3log

2 ₃² ₄

₄³ ³₄ ²

2

4 3 2 3 4

2

B A log1000 B 1000

logA 1000 B log

logA 1000 log B log A

log − + = + =  =

=

7

Reescribimos el primer sumando

Escribimos 3 como logaritmo en base 10

(14)

e) =



=

−

=

− −

=

− − ⁻ ⁻

2 6 1 6

2 1 2 6

2 1 2

B A log 1 B

logA B log A log B log 3 A 2 log B 1

log 2 3

A log

₆

B A log 1

= 

f) ⁻ − + = ⁻ − log B+log 2=log A⁻ −log B +log 2= 5

A 3 log 4 1 B 5log A 3

log

4 ⁵ ₂

3 2 2

4 2 2

2 2 1 2 2 2

1 2

2 2 5 3

5 2 3 2 5

3 2 2 2

5 3 2

2 A B

log 2 B A log 2 2 B log A 2 log B

log A

= 



=



= +

= ⁻ ⁻

Reescribimos el primer sumando

Escribimos 1 como logaritmo en base 2