LOS NÚMEROS ENTEROS.

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Reseña histórica de los números negativos.

Los números naturales y los fraccionarios tienen sus orígenes en la experimentación con magnitudes, sean discretas o continuas. Pero los números negativos así como los irracionales y los complejos se contraponen a aquéllos, tanto en la forma como surgieron como por la fecha de su aparición.

Una de las primeras civilizaciones que trabajaron con una clase de números a los que en occidente se les de- nominó posteriormente como “negativos”, fue la Hindú. En una obra del matemático Brahmagupta, que data del año 628, aparecen de forma explicita las reglas que rigen la aritmética con los números negativos; en ella, se explican los algoritmos para realizar sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potencias y extracción de raíces con lo que llamaba “los bienes”, “las deudas”, y “la nada”. En álgebra, los hindúes, introdujeron algunas abreviaturas para las operaciones y Brahmagupta consideraba las dos raíces de la ecuación cuadrática, aún cuando fuesen negativas o irracionales.

Contrario a Brahmagupta, Al-Kwarizmi y los algebristas árabes sólo consideraban las raíces positivas y no tenían ningún tipo de abreviatura o notación. Su álgebra era netamente retórica esto es, que empleaban un lenguaje natural por carecer de simbolismos específicos. La no consideración de las raíces negativas provenía probablemente de la identificación que hacían, lo mismo que los griegos, entre número y magnitud. Durante la edad media, ni la matemática árabe, ni la europea recogieron el avance de los matemáticos Hindúes de considerar las restas “imposibles” como posibles, introduciendo los números negativos.

Durante el Renacimiento, a principios del s xv, con la invención de la imprenta, se publican obras de autores griegos que habían sido traducidas durante la edad media. Sin embargo en el campo de la matemática, las primeras obras que se imprimieron y popularizaron fueron los tratados árabes de Aritmética y Álgebra, tal vez porque eran más asequibles por su enfoque práctico.

Con el desarrollo del álgebra, los negativos aparecen nuevamente en escena, provocando entre los algebristas reacciones diferentes que van desde el rechazo hasta la tolerancia, pasando por el espanto que hace que se les califique de falsos, ficticios o absurdos. Este rechazo es síntoma de que se les reconoce su existencia, aunque sea a través de su negación. Quizás el término “negativo”, provenga de esta época, ya que eran los valores negados, cuando se obtenían como raíces de una ecuación.

El algebrista Alemán Michael Stifel, contribuyó a la popularización de los símbolos “+” y “–”. En su obra

“Aritmética integral”, publicada en 1544, muestra que conocía bien la aritmética de los números negativos, que los admitía como coeficientes en las ecuaciones y que operaba con ellos, pero no los aceptaba como posibles raíces de una ecuación ya que los consideraba “numeri absurdi”.

Un año más tarde el italiano Giordano Cardano, publica el texto “Ars magna” que recoge todo el progreso de los algebristas de su país. Cardano no admite a los negativos como coeficientes en las ecuaciones algebraicas, pero si como raíces aunque asignándole el calificativo de “ficticias”. Conoce la aritmética de los negativos, habiendo llegado a enunciar la regla de los signos.

Rafael Bombeli en su libro “Álgebra”, trata de aclarar las reglas de la adición de los números enteros mediante el uso de haberes y débitos. Sin embargo, François Viète siendo el matemático más brillante de finales del s xvi, considerado el padre del álgebra simbólica por haber introducido símbolos literales para los coeficientes y las incógnitas, no admitió a los negativos ni como coeficientes ni como raíces. Al final de este periodo el matemático originario de los países bajos, S. Stevin los acepta como raíces y como coeficientes. Admite la adición de x + ( – y ) en vez de considerarla como la sustracción de y a x. También trató de justificar geomé- tricamente la regla de los signos empleando la identidad ( a – b)(c – d) = ac – bc – ad + bd, la cual represen- taba mediante la siguiente figura:

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a

c c - d

b

d

a - b

Pero Stevin carece de interpretación para los negativos; y de las raíces negativas de una ecuación, dice que son las raíces positivas de su transformada. Es decir, que si – a es un número negativo, raíz de x² + px = q entonces, el número positivo a es raíz de x² – px = q. Para Stevin tampoco los negativos son fiables, dada su concepción de número como lo que representa cantidad.

La existencia de vaivenes y contradicciones en la consideración de los negativos, es una muestra de la resis- tencia de los matemáticos a aceptar como números a estos entes que no tienen sus orígenes en las experiencias de conteo y medición, sino en la manipulación formal que implica la resolución de ecuaciones y que por lo tanto, carecen de referencia material.

El s xvii señala el nacimiento de la ciencia moderna. Se produce aquí intercambio de información entre los hombres dedicados a la ciencia. Con el nacimiento de la ciencia moderna, los cálculos matemáticos son im- prescindibles y florecen en todas sus variantes: algebraico, aritmético, infinitesimal, probabílistico. En consecuencia a los negativos y a los imaginarios, se les fue abriendo el campo de actuación aunque, simultánea- mente, como era difícil justificarlos como números, persistió el rechazo hacia ellos.

El matemático Albert Girard fue el primero en reconocer explícitamente la utilidad algebraica de admitir las raíces negativas e imaginarias como soluciones formales de las ecuaciones, porque ello permitía una regla general de resolución y la construcción de ecuaciones a través de sus raíces. Interpretó geométricamente a los negativos, señalando que “lo negativo significa en geometría un retroceso y lo positivo, un avance”. Por otra parte, John Wallis, el matemático inglés más importante antes de Newton, aceptó los negativos con todas sus consecuencias, los usó y llegó a dar reglas para operar con potencias de exponentes negativos. A finales de este siglo, la obra de Viète fue ampliada y se admitió que las expresiones literales podían tomar valores negativos; los números negativos tras mostrar su posibilidad y eficacia, son aceptados y empleados como artificio de cálculo.

No obstante ser utilizados, los negativos eran rechazados debido a la dificultad de encontrarles un significado intuitivo y empírico. Descartes los evitó, transformando ecuaciones con raíces negativas en ecuaciones con raíces positivas. En la resolución geométrica de la ecuación de segundo grado los ignoró. Para resolver la ecuación x² = ax + b², procedía así:

Traza LM , con longitud b. En L, levanta LN ⊥ LM con longitud a / 2. La recta MN corta a la circunferen- cia en O y en P. Entonces,x=OM =a 2+ (a² 4)+b² , es el segmento buscado. Descartes ignora la otra raíz PM, por ser “falsa”, esto es, negativa. Además, Descartes no aceptó la interpretación geométrica dada por Girard a los negativos, lo que impidió que su geometría analítica tuviera prontamente un desarrollo más amplio.

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Durante los comienzos del s xix, persistió la misma tónica que en el s xviii: los matemáticos estaban más preocupados por la utilidad de sus resultados que por el rigor lógico de sus demostraciones. Seguían conven- cidos de que descubrían verdades del mundo físico, que eran parte del diseño divino del universo. No es de extrañar que los esfuerzos por comprender las nuevas nociones que se habían introducido en las matemáticas (los negativos, los imaginarios, los infinitésimos...) fracasaran porque como dice Morris Kline “los matemáti- cos no supieron apreciar que esos conceptos no estaban basados n la experiencia inmediata, sino que eran creaciones de la mente”.

C. McLaurin afirma que “la cantidad negativa, lejos de ser rigurosamente menos que nada, no es menos real en su especie que la cantidad positiva, pero tomada en su sentido opuesto”. La cantidad negativa existe, sí, pero no con la categoría de la positiva, porque solo tendrá significado en determinadas ocasiones, aquellas que conlleven comparaciones: haberes y débitos, izquierda y derecha, arriba y abajo. Por lo tanto, el negativo aislado no tiene sentido frente al positivo que siempre lo tiene.

McLaurin, Euler y Cauchy abandonan el espíritu concreto, al tratar de justificar la regla de los signos. McLau- rin abordó la demostración de esta regla de la siguiente manera: partió de que n(– a) es igual a – na como consecuencia de que n(a – a) = 0, de la distributividad y de la admisión de que una resta, a – a, es una suma a + (– a). Teniendo en cuenta este resultado y considerando – n(a – a) = 0, obtiene por análogo razonamiento que (–n)(–a) = na.

Euler, partiendo de la justificación concreta de b(–a), indicada anteriormente, justificó que (–a)(+b) = – ab, por conmutatividad de la multiplicación, y (–a)(–b) = ab, como consecuencia de que el resultado en valor absoluto es ab y, por eliminación, el signo de (–a)(–b) ha de ser positivo (puesto que negativo, según lo ante- rior, no podía ser).

La Place, al justificar la regla de los signos, no hace referencia a modelo físico alguno, situándose así, aparen- temente, en un plano formal. Al respecto dice “presenta algunas dificultades: resulta difícil concebir que el producto de (– a ) por (– b) sea el mismo que el de a por b”, y a continuación da una demostración, parecida a la de Euler: comienza observando que “– a por + b es – ab (puesto que el producto no es más que – a repeti- da tantas veces como unidades hay en b)”. Después observa que “– a por b – b es cero, puesto que el multipli- cador es nulo y como el producto de – a por b es – ab; el producto de – a por – b debe ser de signo contrario, igual a + ab para que se anule con – ab”., con lo que pone de manifiesto el papel de la propiedad distributiva.

El deseo de rigor se extendería progresivamente por todos los campos de las matemáticas. Ello supuso la ruptura con la ideología de “la luz natural”, es decir, con el estilo de establecer verdades matemáticas porque resultan claras y evidentes para la intuición.

La legitimación de los negativos se realizó en 1867 y a ello contribuyó de modo decisivo la obra del Alemán Hermann Hankel “Teoría del sistema de los números complejos”. Con ella se da el salto de lo concreto a lo formal que permitirá justificar los diferentes sistemas numéricos. Señala que “la condición para construir una aritmética universal es, por tanto, la de una matemática puramente intelectual, separada de todo tipo de per- cepciones sensibles”. Al igual que otros matemáticos de su época, estaba convencido que las matemáticas son una creación humana y, en consecuencia, sus conceptos no se deducen de hechos empíricos ni vienen impues- tos desde afuera sino que son construcciones intelectuales y, como tales, no han sido descubiertas sino inven- tadas.

Consecuentemente, Hankel no buscó la justificación de los negativos en situaciones reales que “expliquen” su comportamiento, sino en las leyes formales, concretamente en el “principio de permanencia” que había sido introducido por Goerge Peacock : “todos los resultados del álgebra aritmética que se deducen por aplicación de sus reglas, y que son generales en su forma aunque particulares en su valor, son igualmente resultados del álgebra simbólica, donde son generales tanto por su valor como en su forma”. Se trata de que todas las reglas que se verifican con los números naturales (conmutatividad y asociatividad de la multiplicación y adición;

distributiva de la multiplicación respecto a la adición) seguían verificándose para todos los demás números u objetos representados mediante letras.

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Hankel, retomando las ideas de Peacock, enunció el principio de la permanencia de las leyes que establecen el criterio general de algunas ampliaciones del concepto de número, en los siguientes términos:

1. La palabra número responderá a símbolos o agregados de símbolos que no necesariamente representan números del campo numérico previamente dado o conocido, sino que su significado puede ser cualquiera.

2. Se definirán para el nuevo campo numérico las operaciones fundamentales de la aritmética (adición y multiplicación) y el concepto de igualdad, de manera que se conserven las definiciones en el campo menos amplio como caso particular de las nuevas definiciones y que subsistan las leyes formales de uniformidad, asociativa, conmutativa, distributiva y conservación del elemento neutro.

A partir de este momento, los negativos fueron completamente admitidos y ocuparon un sitio reconocido dentro de las matemáticas, sin embargo, carecían de una definición rigurosa y explícita. Hasta ahora sólo eran símbolos con los que se opera siguiendo unas leyes.

Dificultades que plantea el número entero y orientaciones didácticas para introducirlo en el aula.

Creemos que la dificultad de adquisición del número entero y de su utilización está fuertemente condicionada por dos aspectos: en primer lugar, hay que tener en cuenta que todo concepto abstracto debe tener un apoyo intuitivo: es decir, para introducir un concepto nuevo es necesario partir de situaciones familiares a nuestros alumnos (base concreta); en segundo lugar, no se pueden ignorar las dificultades que sin duda se repetirán en nuestros alumnos. «Si los matemáticos necesitaron un millar de años desde que aparecieron las primeras matemáticas hasta que llegaron al concepto de número negativo -y esto es lo que sucedió- y si fueron necesa- rios otros mil años para que los matemáticos aceptaran los números negativos -como así fue, podemos estar seguros que los estudiantes tendrán dificultades con los números negativos»

Esta consideración podría llevarnos a indagar en qué grado de escolaridad es conveniente trabajarlos. Tema imprescindible, por otra parte, para abordar el álgebra y con ella la resolución de problemas. Vamos a presen- tar algunas maneras de enfocar el estudio del número entero habida cuenta de sus dificultades.

Cuando nos referimos a la base intuitiva en este tema no sólo nos referimos a la necesidad de emplear núme- ros negativos para indicar determinados estados (temperaturas bajo cero, sótanos de un edificio, deudas...), que son fácilmente comprendidos y aceptados por lo alumnos, sino también al uso de los enteros para señalar variaciones (aumentos- disminuciones, ganancias-pérdidas...), y sobre todo a la interpelación entre estos dos aspectos (con la complicación que comporta el uso (de un mismo signo, el + o el – para indicar: un estado, una variación o una operación).

Además de las dificultades que implica este doble marco concreto del concepto de número entero, nos encon- tramos con otros inconvenientes:

- en la ordenación (los números negativos se ordenan contrariamente a su valor absoluto).

- en la interpretación de las operaciones: sumar números enteros no es añadir, ni restar es quitar, palabras sinónimas para los alumnos.

Para aproximarnos al concepto de número entero considerado como una variación entre un estado inicial y un estado final, (ambos representados por números naturales) presentamos varias situaciones sencillas en las que deban calcularse variaciones. En todas ellas el número que las representa va precedido de una acción (he ga- nado 5 bolitas, la temperatura ha subido 5 grados) o de su antónima (he perdido 5 bolitas, la temperatura ha bajado 5 grados). Tenemos así dos grandes grupos correspondientes a las variaciones que: representan un aumento (identificadas con las palabras ganancia, subida) y las que representan una disminución (pérdida, bajada). Igualmente son útiles las situaciones relativas a otra tomada como referencia: fechas correspondientes a sucesos acaecidos antes y después del nacimiento de Cristo, posiciones relativas de dos puntos de una recta, respecto a otro fijo. Hecha esta clasificación, la introducción del simbolismo + (para indicar un aumento o una determinada dirección) y – (para indicar una disminución o la dirección contraria a la anterior) no presenta ya ninguna dificultad.

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Modelos de trabajo con los números enteros.

La construcción del conjunto de los números enteros, requiere un enfoque más allá de los aspectos meramente concretos. Las operaciones con ellos no tienen un significado concreto o intuitivo en cada contexto: no tiene sentido multiplicar temperaturas o restar deudas. Los enteros surgen como una necesidad matemática relacio- nada con el trabajo de objetos matemáticos. Los números negativos resuelven problemas matemáticos como las ecuaciones, convierten a la resta en una operación interna y son eficaces para describir relaciones geomé- tricas.

5 5 5 5

=

= 4 3 2 1 0

-

^{6 =}

- - - -

6 6 6 6

=

Para que se conserven las operaciones y las propiedades en N:

0 – 1 = – 1 = ( 0 + 1 ) – ( 1 + 1) = 1 – 2 0 – 1 = – 1 = ( 0 + 2 ) – ( 1 + 2) = 2 – 3 0 – 1 = – 1 = ( 0 + 3 ) – ( 1 + 3) = 3 – 4 ...

0 – 2 = – 2 = ( 0 + 1 ) – ( 2 + 1) = 1 – 3 0 – 2 = – 2 = ( 0 + 2 ) – ( 2 + 2) = 2 – 4 0 – 2 = – 2 = ( 0 + 3 ) – ( 2 + 3) = 3 – 5 ...

0 – 3 = – 3 = ( 0 + 1 ) – ( 3 + 1) = 1 – 4 0 – 3 = – 3 = ( 0 + 2 ) – ( 3 + 2) = 1 – 5 0 – 3 = – 3 = ( 0 + 3 ) – ( 3 + 3) = 1 – 6 ...

En general: 0 – a = – a a + 0 – a = a + (– a) 0 = a + (– a)

Tenemos un nuevo conjunto llamado números enteros y simbolizado con Z, formado por : ..., – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, ...

Orden.

En la primera fila de la tabla, se observa que ... 4 > 3 > 2 > 1 > 0 > – 1 > – 2 > ...

En términos aritméticos la relación de orden queda establecida así: “ a < b si y sólo si existe un natural c, tal que b = a + c. Por ejemplo: – 1 > – 2 ya que existe 1, natural tal que – 1 = – 2 + 1

Adición.

Para definir o calcular la suma de dos enteros, podemos partir de los resultados conocidos con la suma de naturales. Empleando las siguientes tablas para sumar:

4 + (– 2 ) = 3 + (– 2 ) = 2 + (– 2 ) = 1 + (– 2 ) = 0 + (– 2 ) = –1 + (– 2 ) = –2 + (– 2 ) =

4 + (– 1 ) = 3 + (– 1 ) = 2 + (– 1 ) = 1 + (– 1 ) = 0 + (– 1 ) = –1 + (– 1 ) = –2 + (– 1 ) =

4 + ( 0 ) = 0 3 + ( 0 ) = 3 2 + ( 0 ) = 2 1 + ( 0 ) = 1 0 + ( 0 ) = 0 –1 + ( 0 ) = –2 + ( 0 ) =

4 + (1 ) = 5 3 + (1 ) = 4 2 + (1 ) = 3 1 + (1 ) = 2 0 + (1 ) = 1 –1 + (1 ) = –2 + (1 ) =

4 + ( 2 ) = 6 3 + ( 2 ) = 5 2 + ( 2 ) = 4 1 + ( 2 ) = 3 0 + ( 2 ) = 2 –1 + ( 2 ) = –2 + ( 2 ) =

(6)

En las columnas Tercera, cuarta y quinta (izquierda a derecha) de arriba hacia abajo se observa que des- pués del primer resultado, los otros van disminuyendo en una unidad. Lo mismo ocurre de derecha a izquierda en las filas.

Completando la tabla por inducción, extrapolamos los resultados conocidos. Se puede empezar por la primera fila y simultáneamente continuar por las columnas:

4 + (– 2 ) = 2 3 + (– 2 ) = 1 2 + (– 2 ) = 0 1 + (– 2 ) = 0 + (– 2 ) = –1 + (– 2 ) = –2 + (– 2 ) =

4 + (– 1 ) = 3 3 + (– 1 ) = 2 2 + (– 1 ) = 1 1 + (– 1 ) = 0 0 + (– 1 ) = –1 + (– 1 ) = –2 + (– 1 ) =

4 + ( 0 ) = 4 3 + ( 0 ) = 3 2 + ( 0 ) = 2 1 + ( 0 ) = 1 0 + ( 0 ) = 0 –1 + ( 0 ) = –2 + ( 0 ) =

4 + (1 ) = 5 3 + (1 ) = 4 2 + (1 ) = 3 1 + (1 ) = 2 0 + (1 ) = 1 –1 + (1 ) = –2 + (1 ) =

4 + ( 2 ) = 6 3 + ( 2 ) = 5 2 + ( 2 ) = 4 1 + ( 2 ) = 3 0 + ( 2 ) = 2 –1 + ( 2 ) = –2 + ( 2 ) = Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

4 3 2 1

0 1 2 3 4

- 1 - 2 - 3 - 4

- 1 - 2 - 3 - 4 3 2 1 0

5 4 3 2

6 5 4 3

5 8

- 2 - 3 - 4 - 5

3 2 1 0

Completando la tabla se puede comprobar y concluir varias relaciones al adicionar números enteros:

a. Observando el primer y tercer cuadrante:

En el primero: 3 + 2 = 5

En el tercero: (– 3 ) + (– 2 ) = – 5 Sustituyendo: (– 3 ) + (– 2 ) = – ( 3 + 2 )

En general: (– a ) + (– b ) = – ( a + b ). “ El opuesto de la suma de dos números positivos, es la suma de los opuestos de cada sumando”.

b. Observando el segundo y cuarto cuadrante:

En el cuarto: 3 + (– 2 ) = 1 En el segundo: (– 2 ) + 3 = 1

Por transitividad: 3 + (– 2 ) = (– 2 ) + 3 = 1 = 3 – 2.

En general: a + ( – b ) = a – b, b < a.

c. Observando el segundo y el cuarto cuadrante:

=

= 0 (- 1) (- 2) (- 3)

- - - -

=

= 5 4 3 2 1

-

⁼

- - - -

=

= 0 (- 1) (- 2) (- 3)

- - - -

=

= (-1)

(-1) (-1) (-1) (-1) (-1) (-1) (-1)

(-2) (-2) (-2) (-2) (-2) (-2) (-2) (-2) (-2)

2 1 0

(- 4) (- 5) (- 6)

+ + + + + + + + +

=

= (-1) (-1) (-1) (-1) (-1) (-1) (-1) (-1) (-1) (- 1) (- 2) (- 3)

1 0 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7

1 0

(- 4) (- 5) (- 6)

- - - - - - - - -

=

= (-1) (-1) (-1) (-1) (-1) (-1) (-1) (-1) (-1) (- 1) (- 2) (- 3)

2 1 0 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 (- 7) - 6

Con estas tablas se sigue un proceso análogo que con la suma, completándolas y extrayendo leyes generales como:

(– a ) – b = – ( a + b ); a – (– b ) = a + b; (– a ) – (– b ) = (– a ) + b = b – a Multiplicación.

Para la multiplicación con enteros no es fácil encontrar situaciones concretas que las ejemplifiquen, ya que esta operación alcanza pleno sentido dentro del terreno de la matemática. Empleando las siguientes tablas de multiplicación y generalizando hechos conocidos como que un número multiplicado por cero, es cero y por la unidad es el mismo número, se pueden inducir y extrapolar los resultados de esta opera- ción.

4 3 2 1

.

⁼

=

= - 2 0

(- 1) (- 2) (- 3)

(- 1) (- 1) (- 1) (- 1) (- 1) (- 1) (- 1) (- 1) (- 4) (- 1)

.

⁼

4 3 2 1

.

⁼

=

= 0

(- 1) (- 2) (- 3)

=

. . . . . . .

0 0 0 0 0 0 0 0 (- 4)

.

0 ⁼

4 3 2 1

.

⁼

=

= 0

2 2 2 2 2 2 2 2 (- 4)

.

2 ⁼ 0

0 0 0 0 0 0 0 0

4 3 2 1 0 (- 1) (- 2) (- 3) (- 4)

8 6 4

Observando las filas y columnas vemos que por ejemplo, en la tercera fila ( de derecha hacia izquierda), los resultados van de 2 en 2 y por lo tanto podemos inducir que 2·(–1) = – 2 y que 2·(– 2) = – 4. Comple- tadas las cuatro primeras filas, centremos la atención en las columnas (de arriba hacia abajo), observamos que en la primera los números van descendiendo de 2 en 2, por ello (– 1 )·(– 2 ) = 2, (– 2 )·(– 2 ) = 4, etc.

De estas observaciones tenemos las tablas de multiplicar de 2 y del – 2:

(- 4) (- 3) (- 2) (- 1) 0 1 2 3 4

(- 5) por 2

(- 10 ) (- 8 ) (- 6 ) (- 4 ) (- 2 ) 0 2 4 6 8

(- 4) (- 3) (- 2) (- 1) 0 1 2 3 4

(- 5) por ( - 2 )

10 8 6 4 2 0 (- 2 ) (- 4 ) (- 6 ) (- 8 )

(8)

Ahora podemos completar una tabla como la siguiente:

4 3 2

1 2 3 4

- 1 - 2 - 3

- 1 - 2 - 3 - 4

8 6 4

12 9 6

5 1

2 3 4 - 4

8 12 16

10 15 20

- 2 - 3 - 4

- 4 - 6 - 8

- 6 - 9 - 12

- 8 - 12 - 16

- 5 - 10 - 15 - 20

2 4 6 8 3 6 9 12 4 8 12 16 5 10 15 20

- 2 - 4 - 6 - 8

- 3 - 6 - 9 - 12

- 4 - 8 - 12 - 16

- 5 - 10 - 15 - 20

En ella, podemos comprobar las siguientes relaciones: (– a )(– b ) = a·b, y, ( – a ) · b = a·(– b ) = – ( a·b ) División.

Se define como la operación inversa dela multiplicación.

2. Algebraico.

Los números negativos aparecen en la historia, al intentarse resolver algunas ecuaciones. La ecuación x + a = b tiene solución en los naturales si a ≤ b. Estas ecuaciones pueden reducirse a otras de la forma x + a = 0 y x – a = 0, siendo a un natural. Las del tipo x – a = 0, tienen por solución x = a; pero las ecua- ciones del tipo x + a = 0, no tienen solución en los naturales. Por esto, es necesario definir unos nuevos números que sean soluciones a dichas ecuaciones:

La solución para x + 1 = 0 es – 1, de modo que (– 1 ) + 1 = 0 La solución para x + 2 = 0 es – 2, de modo que (– 2 ) + 2 = 0 La solución para x + 3 = 0 es – 3, de modo que (– 3 ) + 3 = 0

...

La solución para x + a = 0 es – a, de modo que (– a ) + a = 0 (– a ) y a, se denominan opuesto.

Los números – 1, – 2, – 3, ... se denominan negativos. Tenemos ahora ampliado el conjunto de los naturales, conjunto que designamos con el nombre de Enteros y representamos con la letra Z.

Adición.

a. Enteros positivos: Corresponde a la adición con naturales.

b. Enteros positivos con negativos.

Sean a y b dos positivos, entonces – b será negativo y:

a es solución de la ecuación x – a = 0 – b es solución de la ecuación y + b = 0

Sumando tendremos x + y + ( b – a ) = 0, a ≤ b

Cuando a ≥ b, se tiene ( x + y ) – ( a – b ) = 0 y en consecuencia:

1. Para a ≤ b, la solución de x + y + ( b – a ) = 0 es x = a; y = – b.

De modo que a + ( – b ) + ( b – a ) = 0 implica a + ( – b ) = – (b – a ) = a – b Es decir, a + ( – b ) = a – b

2. Para a ≥ b, la solución de ( x + y ) – ( a – b ) = 0 es x = a; y = – b.

De modo que a + ( – b ) – ( a – b ) = 0 implica a + ( – b ) = a – b Por lo tanto, en ambos casos se llega al mismo resultado.

(9)

c. Enteros negativos.

Si ( – a ) y ( – b ) son números negativos tales que:

( – a ) es la solución de la ecuación x + a = 0 ( – b ) es la solución de la ecuación y + b = 0 Sumando tendremos x + y + ( a + b ) = 0

Tendremos: ( – a ) + ( – b ) + ( a + b ) = 0 que implica ( – a ) + ( – b ) = – ( a + b )

En el conjunto Z todo elemento un simétrico con relación a la suma: (∀a

∈

Z)( ∃ –a

∈

Z: a + (– a) = 0 ). De este modo, el signo “– ” escrito delante de un 3, nos indica que dicho número es el opuesto de 3 con relación a la suma; así mismo 3 es el opuesto de (– 3 ), lo que se escribe – (– 3 ) = 3.

Resta.

La operación de restar se define a partir de la suma a – b = a + ( – b ).

Multiplicación.

a. Positivos. Se reduce a la multiplicación con naturales.

b. Positivos con negativos.

b[ a + (– a)]] = ba + b·(– a) = b·0 = 0. Es decir que ba + b·(– a) = 0, lo cual significa que ba es el opuesto de b·(– a). Por lo tanto escribimos b·(– a) = – ba

c. Negativos.

( – b ).[ (– a ) + a ] = ( – b ).0 = 0

= ( – b ). ( – a ) + (– b )· a = ( – b ). ( – a ) + (– b· a ) = 0

Es decir que ( – b ). ( – a ) es el opuesto de (– b· a ) lo que significa que ( – b ). ( – a ) = b· a Orden.

Se necesita ampliar el orden en N. Si a y b son dos enteros positivos: “ a < b si y sólo si existe un nume- ro positivo c, tal que b = a + c o b – a es positivo”. Según esto:

• Todo número negativo es menor que cero: 0 – (– n ) = n

∈

Z. De donde, 0 > – n.

• Cualquier número negativo, es menor que cualquier positivo: – n < 0 < n.

• Cuando ambos números son negativos, tenemos:

(– b ) < (– a ) ↔ (– a ) – (– b ) = – a + b

∈

Z⁺. Pero que – a + b sea positivo significa que – a + b > 0, lo cual quiere decir que a < b. En consecuencia: (– b ) < (– a ) ↔ a < b.

3. Geométrico.

A. Modelo de la escala numérica.

Para describir la posición de un punto sobre una recta, se necesita:

• Un punto referencial (normalmente, cero ).

• Determinación de los sentidos (Derecha o arriba es positivo; izquierda o abajo, es negativo)

• Una unidad o patrón de medida.

Consideremos una recta l y Po un punto de ella que determina dos rayos. Sea P1 un punto de uno de los rayos (generalmente se escoge hacia la derecha, estando la recta en posición horizontal). Toma- mos P_oP₁ como patrón y lo replicamos para obtener los puntos P₂, P₃, P₄, ... Hacia la izquierda obtendremos P´₁, P´₂, ...de modo que cada P´_i quede ubicado a igual distancia de cero que P_i.

0 1 2 3

- 1 - 2

- 3

P₀ P₁ P₂ P₃

P

´

₁

P

´

₂

P

´

₃

Se ha colocado el signo “–” a las coordenadas de los puntos P´i , para indicar su sentido contrario al de los P_i. También hubiéramos podido identificarlos con los rótulos 1_der, 1_izq, etc.

Hemos establecido una escala en la recta, identificando sus puntos con unos números. Esto da origen a un nuevo conjunto numérico que se denomina de los números enteros, formado por los natu - rales (enteros positivos) y los números negativos definidos anteriormente.

(10)

SUMA.

Se define la suma como una aplicación de la recta en si misma mediante una traslación. Así, para x

∈

Z, z

∈

Z⁺:

a. Sumar z es definir la aplicación , lo cual significa que cada punto de la recta es trasladado hacia la derecha, z unidades.

Ejemplo: Sumar + 2.

0 -1 -2 -3 -4

-5 1 2 3 4 5 6

Recta fija Desplazamos el cero de la recta móvil, 2 unidades hacia la derecha.

0 -1 -2 -3 -4

-5 1 2 3 4 5 6

Los números de la recta fija con los cuales coincidan los de la móvil, después de trasladarla 2u hacia la derecha, serán la suma de éstos con el número 2. Escribamos estas sumas:

- 5 + 2 = - 3 - 4 + 2 = - 2

1 + 2 = 3 - 3 + 2 =

- 2 + 2 =

- 1 + 2 =

0 + 2 = 2 + 2 =

3 + 2 = 4 + 2 =

b. Sumar (– z ) es definir la aplicación , lo que significa que cada punto dela recta es trasladado hacia la izquierda, z unidades.

Ejemplo: Sumar – 2.

0 -1 -2 -3 -4

-5 1 2 3 4 5 6

Recta fija

Desplazamos el cero de la recta móvil, 2 unidades hacia la izquierda.

0 -1 -2 -3 -4

-5 1 2 3 4 5 6

Los números de la recta fija con los cuales coincidan los de la móvil, después de trasladarla 2u hacia la izquierda, será la suma de éstos con el número -2. Escribamos estas sumas:

- 3 + (- 2) = - 5 - 2 + (- 2) = - 4

3 + (- 2) = 1 - 1 + (- 2) =

0 + (- 2) =

1 + (- 2) =

2 + (- 2) = 4 + (- 2) =

5 + (- 2) = 6 + (- 2) =

Relaciones.

1. ( – a ) + (– b ) = – ( a + b ). Consideremos que a < b:

+

0 a

= =

b a + b

- b - a

0 a b a + b

- a - b

- (a + b) + (- a )

Recta fija

( - a ) - (a + b) Conmutando:

( - b ) ( - a ) + ( - b ) ^{- (a + b)}

2. a + (– b ) = – ( b – a ), si a < b:

Recta

fija _{- b} - ( b - a ) _{- a} _a _{( b - a )} _b

a

- a ( b - a ) b

- b - ( b - a ) 0

0 + a

- b + a = - ( b - a ) Conmutando: ^a ⁺ ^{( - b )} =- ( b - a )

(11)

3. a + ( – b ) = a – b, a > b.

Recta

fija _{- a} - ( a - b ) _{- b} _b _{( a - b )} _a

b

- b ( a - b ) a

- a - ( a - b ) 0

0 + (- b )

+

a ( - b ) = ( a - b )

RESTA.

Se define análogamente como la suma, mediante traslaciones de la recta en si misma; a la izquierda si se resta un número positivo y hacia la derecha, cuando se resta un número negativo.

Si x

∈

Z, z

∈

Z⁺:

a. Restar z es definir la aplicación:

- z: x x - z ( Trasladamos hacia la izquierda ) Ejemplo: Restar 2.

Recta fija

0 - 2

1 2 3 4 5 6

- 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6

0 1 2 3 4 5 6

- 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6

- 4 - 2 = - 6

b. Restar ( – z ) significa:

- (- z ): x x - ( - z ) ( Trasladamos hacia la derecha ) Ejemplo: Restar – 2.

Recta fija 0

- ( - 2 )

1 2 3 4 5 6

- 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6

0 1 2 3 4 5 6

- 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6

- 6 - ( - 2 ) = - 4

Como restar “ b ” significa lo mismo que sumar “– b ”, tendremos: a – ( – b ) = a + b.

(12)

Relaciones.

1. a – ( – b ) = a + b.

Recta

fija _{- a} _a _b _{a + b}

- a b

- b 0 a

0 - (- b )

-

a ( - b ) = a + b - b

2. – a – b = (– a ) + ( – b ) = – ( a + b ), que se estudió en la suma.

MULTIPLICACIÓN.

La multiplicación se define como:

• Una dilatación, cuando se multiplica por un número positivo.

• Una dilatación seguida de una inversión, cuando se multiplica por un número negativo.

Ejemplos:

a. Multiplicar por 3:

3: x 3·x

0 2

Factor 3

Los números de la recta inferior con los cuales coincidan los de la superior, serán el producto de éstos por el factor 3. Escribamos la tabla de multiplicar por 3:

1 x 3 = 1 2 x 3 = 3 x 3 =

(-1 ) x 3 = (-2 ) x 3 = (-3 ) x 3 =

1 -1

-2 -3

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

b. Multiplicar por -2:

0 2 1

3 4

5

Recta dilatada e invertida

Escribamos la tabla de multiplicar por -2:

0

-2 -4

-6 -8

-10 2 4 6 8 10

-1

-7

-3

-9

-5

1 3 5 7 9

Factor - 2

1 x (- 2 ) = - 2 2 x (- 2 ) = (- 1 ) x (- 2 ) = 2

0 x (- 2 ) = 0 3 x (- 2 ) = 4 x (- 2 ) = 5 x (- 2 ) =

(- 2 ) x (- 2 ) = (- 3 ) x (- 2 ) = (- 4 ) x (- 2 ) = (- 5 ) x (- 2 ) = (- 6 ) x (- 2 ) = -1

-2 -3 -4 -5

ORDEN.

Se define en forma similar que en N: a < b ↔ b – a es positivo.

NOTA: En este modelo, se trabajan los números negativos en un contexto geométrico. Se hace necesario después, plantear situaciones aritméticas calculando resultados, estableciendo tablas, relacionando opera-

(13)

B. Modelo de las magnitudes dirigidas.

En este caso, los números son considerados como vectores unidimensionales; de modo que si tenemos dos puntos cualesquiera de una recta, quedan determinados dos vectores de igual longitud pero sentidos contrarios.

Se considera un conjunto de vectores sobre una recta y se define una relación de equivalencia basada en la igualdad de longitud y dirección.

Dada una longitud “a ”, existen dos vectores libres con dicha magnitud los cuales representaremos mediante “ + a ” y “ – a ”. Si trabajamos en una recta horizontal, “ + a ” corresponde a un vector orientado hacia la derecha; mientras que “ – a ” se dirige hacia la izquierda. Para facilitar la escritura,

“ + a ” se escribirá simplemente como “ a ”, de modo que con “ a ” nos referiremos a un vector o a su magnitud.

Nuestros vectores tendrán por longitud un número natural, de manera se forma un conjunto de vecto- res libres que se designan con los símbolos ..., – n, ..., – 2, – 1, 0, 1, 2, ..., n, ... al que se le asigna el nombre de conjunto de números dirigidos. El conjunto 1, 2, 3, ... corresponde a los números positivos, y ..., – 2, – 1 son los negativos.

SUMA.

Corresponde a la suma de vectores: se sitúa uno de los vectores y por su extremo final, se coloca el otro con su dirección y tamaño. El vector suma es aquél cuyo origen es el del primero y su extremo final, el del segundo vector.

Ejemplos:

a b

Consideremos los siguientes vectores: y

1. a + b : 2. a + (– b ) :

a b

a +b

a ( - b )

a + (- b ) 3. ( – a ) + b : 4. ( – a ) + ( – b ) :

b

- a

( - a ) + b

- a - b

( - a ) + ( - b )

5. a + ( – a ) :

a

- a

a + ( - a ) = 0

(14)

RESTA.

Se define como la operación inversa de la suma, esto es: a – b = x ↔ b + x = a Recordemos esta operación en el plano:

a

b

x a - b = a + ( - b ) = x

- b

x es el vector que va desde el extremo final del sustraendo hasta el extremo final del minuendo, cuando los orígenes de los vectores coinciden.

Ejemplos:

1. a – b : 2. a – (– b ) :

a

a - b

b

a

- b

a - ( - b )

3. ( – a ) – b : 4. ( – a ) – ( – b ) :

- a

( - a ) - b b

- a

( - a ) - ( - b )

- b De acuerdo con lo anterior, se pueden establecer las siguientes relaciones:

i. ( – a ) + ( – b ) = – ( a + b ) ii. a + ( – b ) = a – b , a ≥ b.

iii. a + ( – b ) = – ( b – a ), a < b.

iv. a + ( – a ) = 0 v. a – ( – b ) = a + b MULTIPLICACIÓN.

No es fácil dar un significado concreto a la multiplicación de dos vectores. Se define primero la mul- tiplicación de un vector por un número natural, como una suma reiterada:

2·a = a + a; 2·(– a ) = (– a ) + (– a ).

Se concluye que cuando se multiplica un vector por un número natural n, se obtiene otro vector con la misma dirección y longitud | n · a |. Esta operación es externa y no es el producto de dos vectores.

Si deseamos extenderla al producto de dos vectores cualesquiera, debemos identificar los números dirigidos positivos con los números naturales. Para llegar a esta identificación con N, es conveniente trasladar los resultados y las definiciones dadas al campo numérico, lo que no es tan fácil, pues se trata de utilizar los números dirigidos en situaciones totalmente diferentes. Para ello se pueden emplear experiencias concretas que admitan una representación vectorial (subidas y bajadas de la bol-

(15)

Una vez establecida la multiplicación de a·(– b ) = – ab, se sigue un proceso análogo al empleado en el modelo de la escala numérica. Interpretando la multiplicación como un dilatación si se trata de un número positivo, y de una dilatación seguida de una inversión si es un número negativo.

2

3 · 2

Dilatación de radio " 3 " Dilatación de radio " 3 "

- 2 3 ·( - 2)

Dilatación de radio " 2 ", seguida de una inversión.

3 3 ·( - 2) 3 · 2

En cuanto al orden, éste no tiene mucho sentido al menos que se hable de longitudes. Par ordenar este conjunto, es necesario establecer una relación en términos aritméticos:

“ dados dos vectores cualesquiera “x” e “y”, diremos que “x” es menor que “y” si y sólo si “x – y ” es un número dirigido positivo”.

De esta definición se pueden extraer las siguientes conclusiones:

• 0 < a, pues a – 0 = a, para todo “a ”.

• – b < 0, porque 0 – ( – b ) = b, para cualquier “ b ”.

• – b < c si y sólo si c < b; pues ( – c ) – ( – b ) = ( – c ) + b > 0, si c < b.

4. Formales.

Existen diferentes interpretaciones formales del concepto de número entero. La mayoría de ellas se basan en la teoría de conjuntos y en las estructuras algebraicas predominando como método de razonamiento, el deductivo. En ellas se emplea la relación de equivalencia como medio de definición de objetos mate- máticos; las leyes de composición interna como instrumento de definición de las operaciones; la simetri- zación de un semigrupo como proceso de generalización o de prolongación de operaciones y propiedades de un dominio a otro mayor, etc.

Revisemos la siguiente construcción:

Se parte del conjunto N = { 0, 1 , 2 , 3 , ... } y se define en N x N la siguiente relación:

Para ( a , b )

∈

N x N y ( a1 , b1 )

∈

N x N: ( a , b )

R

( a1 , b1 ) si a + b1 = b + a1 . Esta relación es de equivalencia en N x N.

Si b ≥ a, se tiene que ( a , b )

R

( 0 , b – a ), ya que a + ( b – a ) = b por la definición de diferencia en los naturales. Similarmente, cuando b ≤ a se cumple que ( a , b )

R

( 0 , b – a ).

El conjunto cociente o de todas las clases de equivalencia N x N / R, se representa con la letra Z.

Suma y multiplicación:

Si u = [ ( p , q ) ] y v = [ ( r , s ) ] son representantes de dos clases, se define la suma de ellos:

u + v = [ ( p + r , q + s ) ] Mientras que la multiplicación es:

u · v = [ ( pr + qs , ps + qr ) ].

Orden.

Se define Z la relación de orden ≤ ( menor o igual ): Para α = [ ( p , q ) ] y β = [ ( r , s ) ], se dice que α < β si p + s < q + r

Referencias:

1. González, José y otros. Números enteros. Editorial Síntesis, Madrid 1990.

2. Restrepo, Guillermo. Los fundamentos de la matemática. Editorial Universidad del Valle, Cali 1998.