Mecánica de fluidos.
Breve introducción teórica con problemas resueltos
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Mecánica de fluidos. Breve introducción teórica con problemas resuelt
os 3 ª Ed ic ió n
Josep M. Bergadà Granyó
Josep M. Bergadà Granyó
www.upc.edu/idp
Mecánica de fluidos. Breve introducción teórica con problemas resueltos 3ª Edición
Josep M Bergadà, es Ingeniero Industrial (especialidad: Mecánica) desde 1990 y Doctor Ingeniero Industrial desde 1996. Ejerce como profesor en el Departamen-to de Mecánica de Fluidos de la Escola Tècnica Superior d’Enginyeries Industrial y Aeronàutica de Terrassa (ETSEIAT-UPC) desde hace mas de 27 años, y es Profesor Titular de Universidad desde el 2009. Durante este período, ha impartido clases de las asignaturas de Mecánica de Fluidos, Maquinas Hidráulicas, Gasdinámica y Oleohidráulica, en la actualidad imparte la asignatura de Mecánica de Fluidos I y II. Su labor investigadora se orientó inicialmente a la Oleohidráulica, campo en el que realizo su tesis doctoral. Ha formado parte de un grupo de investigación del Instituto de Investigación Textil, donde trabajo en diversos proyectos inter-nacionales y ha estado trabajando durante más de 10 años (2000-2010) con el departamento de Mechanical Engineering de la Universidad de Cardiff (Reyno Unido) en la optimización de maquinas volumétricas. A Partir del año 2011, parte de su labor investigadora la desarrolla en la Technishe Universität de Berlín, (Ale-mania), centrándose en la actualidad en el desarrollo de modelos matemáticos aplicables en el campo de la Mecánica de Fluidos. Es autor de diversos libros, publicados tanto por Ediciones UPC como por editoriales externas a la UPC, y de más de ochenta artículos publicados en revistas y congresos nacionales e inter-nacionales. En los últimos 10 años ha revisado más de 200 artículos para unas 20 revistas internacionales catalogadas en el Citation Index.
El presente libro es fruto de la experiencia adquirida durante toda una carrera universitaria. Esta obra está diseñada para presentar los principios básicos de la Mecánica de Fluidos de una manera clara y muy sencilla. Muchos de los proble-mas que se exponen fueron, en su momento, probleproble-mas de examen de la asig-natura. Asimismo, pretende ser un libro de repaso para quienes, precisen fijar determinados conceptos sobre la materia. Finalmente, se desea que esta obra sirva de apoyo a todas las escuelas de los países de habla hispana que imparten las diversas Ingenierías. Espero y deseo que este libro sea un instrumento útil de repaso de la temática presentada.
Edición
3ª
9
788498
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Mecánica de fluidos.
Breve introducción teórica con problemas resueltos
Josep M. Bergadà GranyóEdición
Imagen de la cubierta extraida del artículo Global modes in a swirling jet undergoing vortex breakdown. C. Petz, H.-C. Hege, K. Oberleithner, M. Sieber, C. N. Nayeri, C. O. Paschereit, I. Wygnanski, and B. R. Noack. PHYSICS OF FLUIDS 23, 091102 (2011). Reproducida con permiso de los autores.
© Josep M. Bergadà Granyó, 2012
© Iniciativa Digital Politècnica, 2012
Oficina de Publicacions Acadèmiques Digitals de la UPC Jordi Girona 31,
Edifici Torre Girona, Planta 1, 08034 Barcelona Tel.: 934 015 885
www.upc.edu/idp E-mail: [email protected]
Depósito legal: B 29183-2017
ISBN: 978-84-9880-689-2
Prólogo
La mecánica de fluidos tiene sus orígenes en la hidráulica, tanto en Mesopotamia como en Egipto alrededor del año 4000 antes de nuestra era proliferaron las obras hidráulicas que aseguraban el regadío de vastas zonas. Posteriormente, los imperios griego, chino y especialmente, el romano se caracterizan por una gran profusión de las construcciones hidráulicas.
A lo largo de la historia, aparecen inventos e investigadores que aportan mejoras sustanciales en el campo que hoy se denomina mecánica de fluidos, algunas de las cuales son las realizadas por:
Arquímedes (287-212 a.c.), crea el tornillo helicoidal y enuncia el principio de flotación. Leonardo da Vinci (1452-1519), muestra la aparición de vórtices en la zona de separación de flujo; describe los principios de funcionamiento de máquinas voladoras.
Pascal (1623-1662), en el estudio de la estática de fluidos define el principio que lleva su nombre. Newton (1642-1727), realiza el análisis espectral de la luz; define la teoría de gravitación universal; establece los principios de cálculo integral y diferencial, y promulga la ley de viscosidad que lleva su nombre. Henry de Pitot (1695-1771), crea, con el fin de medir la velocidad de un fluido, el tubo que lleva su nombre. Bernoulli (1700-1782), populariza la ley que define la energía asociada al fluido a lo largo de una línea de corriente, estudia problemas sobre estática y dinámica de fluidos. Euler (1707-1783), establece la base matemática para el estudio del flujo ideal, sin viscosidad. Venturi (1746-1822), clarifica los principios básicos del flujo a lo largo de un conducto convergente divergente (el tubo de Venturi), define los principios del resalto hidráulico. Henri Navier (1785-1836), basándose en los estudios de Euler, deriva las ecuaciones de Navier, que posteriormente Stokes modifica hasta obtener las ecuaciones que se conocen actualmente. Ludwig Hagen (1797-1884), estudiando el flujo en conductos cerrados, encuentra la zona de traspaso entre flujo laminar y turbulento, y observa
que depende de la velocidad y la temperatura del fluido, así como del diámetro y la rugosidad del conducto. Poiseulle (1799-1869), estudia el movimiento de la sangre en venas y capilares, y determina experimentalmente la relación entre presión y caudal en capilares.
William Froude (1810-1879), se dedicó durante parte de su vida a construir barcos; sus investigaciones fueron continuadas por su hijo R.E. Froude (1846-1924), el cual definió el número adimensional que lleva su nombre y que relaciona las fuerzas de inercia con las fuerzas gravitacionales. G. Stokes (1819-1903), logró derivar la ecuación de Navier-Stokes. Kirchhoff (1824-1887), define el coeficiente de contracción, hallándolo para el caso de orificios bidimensionales. Ernst Mach (1838-1916), que en uno de sus más conocidos estudios sobre los flujos a alta velocidad, deduce el número de Mach. Reynolds (1842-1912), clarifica el fenómeno de cavitación; define los regímenes laminar y turbulento, y el número adimensional que los identifica. Su teoría sobre la lubricación hidrodinámica es asimismo muy relevante. Ludwig Prandtl (1875-1953), que observa la aparición y define la teoría de la capa límite, se considera como uno de los creadores de la mecánica de fluidos moderna. Theodor Von Karman (1881-1963) estudia los vórtices detrás de un cilindro, define las fuerzas de arrastre y sustentación de cuerpos en el seno de un fluido en régimen turbulento.
Durante el siglo XX, los avances en la mecánica de fluidos han sido continuos, siendo la dinámica de gases, la aerodinámica y la aeronáutica los campos que han experimentado y seguirán experimentado en el futuro una especial proliferación. Asimismo, las técnicas no intrusivas para la medición del movimiento del fluido, han despegado, aplicándose en la actualidad en cualquier campo.
En el presente libro, se introducen de una manera muy elemental diversos conceptos básicos de la mecánica de fluidos, el libro está pensado para que el lector adquiera rápidamente la información básica de cada capítulo y pueda seguidamente fijar sus conocimientos mediante los problemas resueltos que se presentan en cada uno de los capítulos. En esta tercera edición, he querido especialmente incrementar el número de problemas resueltos con el fin de clarificar los diversos conceptos, además he ampliado considerablemente el capítulo de flujo compresible.
Quisiera agradecer a los profesores C.N. Nayeri y C.O. Paschereit de TU Berlín, el apoyo y cortesía que, durante los periodos que he estado en su instituto, han tenido conmigo.
Es mi deseo que este libro sea de utilidad, tanto para los futuros estudiantes como para los profesionales que necesiten repasar conceptos básicos sobre la mecánica de fluidos.
Índice
Cap. 1 Introducción a la Mecánica de Fluidos. Propiedades de los fluidos
1.1 Introducción. Fluido desde el punto de vista molecular ... 19
1.2 Fluido desde el punto de vista termodinámico ... 20
1.3 Fluido desde el punto de vista mecánico ... 22
1.4 Aproximación del continuo ... 22
1.5 Equilibrio termodinámico local ... 23
1.6 Propiedades de los fluidos ... 23
1.6.1 Módulo de elasticidad ... 24
1.6.2 Coeficiente de expansión térmica ... 25
1.6.3 Colofón sobre módulo de elasticidad y coeficiente de expansión térmica ... 25
1.6.4 Tensión superficial ... 26
1.6.5 Definición de viscosidad ... 28
Problemas 1. Balance de fuerzas en un conducto ... 32
2. Viscosímetro cilíndrico ... 33
3. Viscosímetro esférico ... 35
4. Viscosímetro cónico ... 36
Cap. 2 Cinemática de fluidos 2.1 Concepto de derivada sustancial, material o total ... 41
2.2 Concepto de flujo convectivo a través de una superficie ... 42
2.3 Concepto de Circulación ... 43
2.4 Líneas de corriente, trayectoria y traza ... 43
2.4.1 Líneas de Senda o Trayectoria ... 44
2.4.2 Líneas de Traza ... 45
2.4.3 Líneas de Corriente ... 45
2.5 Concepto de vorticidad e irrotacionalidad ... 47
2.6 Estudio cinemático del movimiento de una partícula ... 50
Problemas 5. Variación del volumen de fluido al variar parámetros termodinámicos ... 54
6. Cálculo de parámetros cinemáticos, aceleración, vorticidad ... . 55
7. Cálculo de parámetros cinemáticos, líneas de corriente, traza y trayectoria ... 58
8. Cálculo global de parámetros cinemáticos ... 62
Cap. 3 Estática de fluidos 3.1 Ecuación diferencial de la estática de fluidos ... 69
3.2 Ecuación diferencial del movimiento del fluido como sólido rígido ... 70
3.3 Ecuación diferencial del movimiento del fluido como sólido rígido, coordenadas cilíndricas ... .73
3.4 Fuerzas sobre superficies planas ... 74
3.5 Fuerzas sobre superficies curvas ... 77
3.6 Fuerzas sobre volúmenes sumergidos ... 79
Problemas 9. Fuerzas sobre cuerpos sumergidos, esfera ... 82
10. Cuerpos sumergidos entre dos fluidos ... 85
11. Principio de Arquímedes extendido a multifluidos. ... 89
12. Fuerzas sobre superficies ... 95
13. Fluido como sólido rígido ... 100
14. Depósito parcialmente sumergido ... 104
Cap. 4 Ecuaciones fundamentales de la Mecánica de Fluidos. Ecuación de continuidad. 4.1 Introducción. Ecuación de transporte de Reynolds ... 113
4.2 Ecuación de continuidad de la masa en forma integral ... 118
4.2.1 Ecuación de continuidad, en modo diferencial ... 118
Problemas 15. Vaciado de un depósito troncocónico convergente ... 120
16. Vaciado de un depósito troncocónico divergente ... 122
17. Flujo que fluye por un conducto divergente ... 124
18. Vaciado de un depósito con múltiples agujeros ... 126
19. Vaciado de un depósito cónico con 3 agujeros ... 129
20. Evolución de un fluido de densidad variable por un conducto ... 135
21. Conducto circular de sección variable ... 137
22. Ecuación de continuidad aplicada a cilindros cerrados ... 142
24. Evolución del fluido compresible en una suspensión hidráulica ... 147
25. Estudio de un amortiguador simple ... 153
Cap. 5 Ecuación de conservación de la cantidad de movimiento 5.1 Forma integral ... 171
5.2 Forma diferencial de la ecuación de cantidad de movimiento ... 172
5.3 Ecuación de cantidad de movimiento en forma integral y para sistemas no inerciales de coordenadas ... 177
5.4 Ecuación de cantidad de movimiento en forma diferencial para sistemas no inerciales ... 179
Problemas 26. Fuerza de un chorro sobre una superficie semiesférica ... 181
27. Cantidad de movimiento sobre una superficie cónica ... 182
28. Fuerza del fluido sobre un azud ... 185
29. Fuerza de un chorro sobre un álabe ... 186
30. Fuerza sobre álabes móviles ... 193
31. Fuerza de reacción sobre un depósito móvil ... 206
32. Flujo sobre un vehículo móvil ... 210
33. Principio de funcionamiento de un helicóptero ... 217
34. Fuerza de reacción de un motor de avión ... 219
35. Aceleración de un cohete ... 220
36. Movimiento de un avión de pasajeros ... 223
37. Sistemas no inerciales de coordenadas I ... 228
38. Sistemas no inerciales de coordenadas II ... 231
39. Fuerzas actuantes en el interior de una servoválvula ... 238
Cap. 6 Ecuación del momento de la cantidad de movimiento, momento cinético 6.1 Ecuación del momento cinético para sistemas inerciales de coordenadas ... 247
6.2 Aplicación de la ecuación del momento cinético a turbomáquinas ... 248
6.3 Ecuación de momento cinético para sistemas no inerciales de coordenadas ... 250
Problemas 40. Momento cinético aplicado a un sistema estático ... 252
41. Aplicación a un aspersor giratorio ... 255
42. Aspersor en forma de Y ... 259
43. Aspersor con tres brazos ... 273
44. Turbina Pelton ... 291
45. Aspersor con álabes ... 296
47. Aspersor inclinado ... 304
48. Aspersor en forma de doble L ... 305
49. Aspersor sometido a flujo transitorio ... 311
50. Aspersor con 8 tramos ... 322
Cap. 7 Ecuación de conservación de la energía 7.1 Introducción ... 337
7.2 Composición del término trabajo ... 338
7.3 Ecuación de la energía para turbomáquinas, caso máquinas térmicas e hidráulicas ... 340
7.4 Forma diferencial de la ecuación de la energía ... 343
Problemas 51. Compresor ... 346
52. Aplicación de la ecuación energía en régimen transitorio ... 348
53. Ecuación de la energía en régimen transitorio y conducto esférico ... 351
54. Ecuación de la energía en régimen transitorio y conducto divergente ... 360
55. Bombeo de combustible ... 370
56. Hovercraft ... 373
57. Turbina axial ... 378
Cap. 8 Flujo con viscosidad dominante 8.1 Flujo entre dos placas paralelas ... 385
8.2 Flujos independientes del tiempo ... 388
8.2.1 Flujo de Couette - Poiseulle plano ... 388
8.2.2 Flujo de Couette ... .389
8.2.3 Flujo de Hagen-Poiseulle o Poiseulle plano ... 390
8.3 Flujo dependiente del tiempo ... 390
8.3.1 Flujo de Rayleich ... 390
8.4 Flujo estacionario en conductos circulares ... 394
8.4.1 Flujo de Hagen-Poiseulle ... 394
8.5 Concepto de pendiente motriz ... 398
8.6 Flujo en un conducto anular ... 399
8.6.1 Considérese ahora el caso en que ambos cilindros son estacionarios pero existe una diferencia de presión entre los extremos de los cilindros ... 403
8.6.2 Caso genérico de flujo entre dos cilindros concéntricos, en donde existe desplazamiento en dirección axial de ambos cilindros y gradiente de presiones entre extremos de los cilindros ... 406
8.7 Flujo entre cilindros concéntricos giratorios ... 408
8.8 Flujos con aceleración despreciable ... 420
8.8.1 Introducción ... 420
8.8.2.1 Cojinetes hidrostáticos planos, patín de Michel. ... 422
8.8.2.2 Ecuación de lubricación de Reynolds para flujo bidimensional ... unidireccional. Coordenadas cartesianas ... 428
8.8.2.3 Ecuación de lubricación de Reynolds para flujo bidireccional, tridimensional. Coordenadas cartesianas ... .428
8.8.2.4 La ecuación de lubricación de Reynolds en régimen transitorio, flujo bidimensional tridimensional. Coordenadas cartesianas ... 429
8.8.2.5 Ecuación de lubricación de Reynolds en coordenadas cilíndricas ... 431
8.8.3 Flujos con aceleración despreciable. Cojinetes cilíndricos cargados estáticamente ... 436
Problemas 58. Flujo entre dos cilindros concéntricos giratorios ... 444
59. Flujo radial entre dos cilindros concéntricos ... 448
60. Cojinete esférico ... 451
61. Flujo radial entre dos placas planas ... 457
62. Patín deslizante con ranura ... 461
63. Patín deslizante inclinado ... 468
64. Flujo entre pistón y camisa ... 479
65. Flujo transitorio en un conducto ... 486
66. Cojinete hidrodinámico cilíndrico I ... 491
67. Cojinete hidrodinámico cilíndrico II ... 495
68. Flujo entre cilindros concéntricos con variación de temperatura ... 520
69. Caudal de fugas en una mini turbina ... 545
70. Patín de Michel ... 559
71. Flujo de pérdidas en la placa de cierre de una bomba de pistones ... 561
72. Patín deslizante mixto ... 579
73. Flujo en una válvula de asiento cónico ... 586
Cap. 9 Análisis adimensional 9.1 Introducción ... 601
9.2 Fundamentos del análisis adimensional... 602
9.3 Teorema de π ó Buckingham ... 603
9.3.1 Caso del cálculo de las pérdidas de energía en una tubería ... 603
9.4 Extensión del ejemplo utilizando el método matricial ... 605
9.5 Método de normalización de las ecuaciones o método del análisis inspeccional . 606 9.6 Algunos de los grupos adimensionales más comunes en Mecánica de Fluidos son: ... 609
9.7 Pruebas con modelos, extrapolación de resultados ... 611 Problemas
75. Grupos adimensionales que caracterizan el flujo compresible en conductos ... ..617
76. Grupos adimensionales para una turbomáquina que opera con fluido compresible ..619
77. Grupos adimensionales para un vertedero triangular ... 621
78. Grupos adimensionales aplicables a barcos ... 624
Cap. 10 Flujo interno 10.1 Introducción ... 629
10.2 Tipos de flujo ... 629
10.3 Establecimiento de flujo en un conducto ... 630
10.4 Primera ley de la termodinámica aplicada al flujo en tuberías ... 631
10.5 El término de pérdidas ... 633
10.6 Pérdidas menores o singulares ... 636
10.7 Casos posibles de problemas en sistemas de tuberías ... 638
10.8 Conductos en serie y en paralelo, y conductos ramificados ... 641
10.8.1 Características de los sistemas en serie ... 641
10.8.2 Características de los sistemas en paralelo ... 642
10.9 Concepto de longitud equivalente ... 643
10.10 Conductos no circulares. Concepto de diámetro hidráulico ... 643
10.11 Sistemas de conductos ramificados ... 644
Problemas 79. Flujo en conductos ramificados ... 646
80. Flujo entre dos depósitos ... 650
81. Central térmica ... 654
82. Sistema de tres depósitos ... 660
83. Sistema con múltiples depósitos. Resolución numérica ... 676
84. Sistema con múltiples depósitos ... 686
85. Pérdidas de energía en un túnel de viento ... 706
Cap. 11 Capa límite, flujo externo, flujo potencial 11.1 Capa límite ... 723
11.1.1 Introducción ... 723
11.1.2 Efectos de la capa límite sobre el flujo, concepto de espesor de desplaza- miento de la capa límite ... 724
11.1.3 Concepto de espesor de cantidad de movimiento para la capa límite ... 725
11.1.4 Ecuación diferencial de Prandtl para el análisis de la capa límite ... 726
11.1.5 Efecto del gradiente de presión en la capa límite ... 730
11.1.6 Ecuación integral de cantidad de movimiento para la capa límite. Ecuación de Von Karman ... 734
11.1.7 Evaluación de los parámetros de la capa límite para el flujo sobre una placa plana ... 737
11.1.7.1 Características para la capa límite en la región laminar ... 738
11.1.7.2 Capa límite turbulenta ... 743
11.2 Flujo externo ... 751
11.2.1 Introducción ... 751
11.2.2 Fuerza sobre cuerpos, resistencia y sustentación ... 751
11.2.3 Conceptos de vórtice libre y vórtice forzado ... 754
11.2.4 El teorema de Kutta-Joukowsky (válido para flujo subsónico) ... 755
11.2.5 Sustentación sobre cilindros y esferas giratorias, efecto Magnus ... 758
11.3 Introducción al Flujo Potencial ... 759
11.3.1 Ecuaciones de Euler y Bernoulli ... 759
11.3.2Concepto de potencial de velocidades y función de corriente ... 761
Problemas 86. Capa límite en una embarcación ... 765
87. Capa límite en una aeronave ... 767
88. Capa límite en conductos sumergidos ... 770
89. Efecto Magnus I ... 774
90. Distribución de presión en un tornado ... 778
91. Efecto Magnus II ... 781
92. Vórtices bajo las alas de aeronaves ... 786
Cap. 12 Golpe de ariete 12.1 Fenómeno físico ... 807
12.2 Expresiones para obtener el valor de la presión máxima o sobrepresión en el conducto ... 810
12.3 Estudio temporal de las perturbaciones de presión en un punto genérico del conducto ... 813
12.4 Ecuaciones diferenciales que caracterizan el fenómeno del golpe de ariete ... 815
12.4.1 Ecuación de conservación de la cantidad de movimiento ... 816
12.4.2 Ecuación de continuidad ... 818
12.4.3 Modificación de las ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento para que puedan ser aplicadas a transitorios y conductos deformables ... 819
12.4.4 Simplificación de las ecuaciones de continuidad y cantidad de movi- miento en régimen transitorio ... 821
Problemas 93. Golpe de ariete I ... …..823
94. Golpe de ariete II ... ………829
Cap. 13 Flujo compresible 13.1 Relaciones termodinámicas ... 835
13.2 Concepto de propiedades de estancamiento ... 837
13.3 Estudio de la propagación de una onda débil en un fluido compresible. Concepto de velocidad del sonido y el número de Mach. Límite de incompresibilidad ... 838
13.4 Relación entre el número de Mach y las propiedades de estancamiento del fluido ... 842
13.5 El cono de Mach ... 843
13.6 Características de las ondas de choque planas ... 844
13.7 Estudio del flujo isentrópico y estacionario para un gas ideal ... 849
13.8 Condiciones críticas ... 851
13.9 Flujo unidimensional de un fluido comprensible evolucionando a lo largo de un conducto de sección variable ... 852
13.9.1 Concepto de caudal de bloqueo ... 856
13.9.2 Evolución del flujo en una tobera convergente ... 857
13.9.3 Evolución del flujo en una tobera convergente divergente ... 858
13.10 Flujo compresible unidimensional estacionario en conductos de sección constante ... 862
13.10.1 Flujo adiabático sin transferencia de calor y con fricción, flujo de Fanno ... 863
13.10.2 Flujo compresible isotérmico con fricción en una conducción larga de sección constante ... 870
13.10.2.1 Concepto de condición límite en flujo isotérmico con fricción ... 873
13.10.3 Flujo compresible estacionario con transferencia de calor y sin fricción. Flujo de Rayleigh ... 874
13.10.3.1 Ecuaciones gobernantes ... 875
13.10.3.2 Características del fluido para condiciones de máxima entalpía y máxima entropía ... 878
13.10.3.3 Intersección entre las líneas de Fanno y Rayleigh ... 879
13.10.3.4 Propiedades termodinámicas de flujo estacionario unidimen- sional con adición de calor ... 880
13.11 Introducción a las ondas de choque oblicuas ... 883
13.11.1 Ondas de choque oblicuas para gases ideales ... 886
13.11.2 Curva polar para las ondas de choque oblicuas ... 892
13.11.3 Flujo supersónico sobre superficies en forma de cuña plana y superficies cónicas ... 896
13.11.3.1 Características del flujo sobre una cuña... 897
13.11.3.2 Características del flujo sobre una superficie cónica ... 898
13.11.3.2.1 Formulación matemática de las ondas de choque sobre superficies cónicas, de acuerdo con Taylor y Maccoll. ... 899
13.11.4 Reflexión de ondas de choque oblicuas bidimensionales sobre una superfície sólida ... 907
13.12 Ondas de expansión simples o bien ondas de expansión de Prandtl-Meyer ... 923
Problemas
95. Conducto con diferentes longitudes ... 934
96. Determinación del diámetro optimo ... 949
97. Descarga de un depósito ... 945
98. Flujo de vapor entre dos depósitos ... 953
00. Tablas de Flujo isentrópico ... 960
00. Tablas de Flujo de Fanno ... 970
99. Aplicación del método de Bergh-Tijdemann ... 975
100. Flujo de aire saliendo por conjunto conducto-tobera ... 982
101. Flujo compresible en conductos de sección constante I ... 988
102. Flujo compresible en conductos de sección constante II ... 993
103. Evaluación de diversos conductos que unen dos depósitos ... 999
104. Flujo a lo largo de conductos unidos mediante una tobera convergente ... 1011
105. Flujo a lo largo de conductos unidos mediante una tobera divergente ... 1020
106. Tobera supersónica convergente divergente ... 1036
107. Descarga de un depósito a través de una válvula ... 1043
108. Tobera supersónica y conducto con onda de choque ... 1052
109. Ondas de choque oblicuas ... 1057
110. Tobera supersónica aplicada a cohetes ... 1061
111. Aplicación de ondas de choque oblicuas y Prandtl-Meyer ... 1069
Nomenclatura ... 1081
Introducción a la mecánica de fluidos.
Propiedades de los fluidos
1.1 Introducción. Fluido desde el punto de vista molecular
La Mecánica de Fluidos se puede definir como la parte de la física que se ocupa del estudio del equilibrio estático y dinámico de la materia en estado fluido. Desde el punto de vista molecular, se puede establecer que, en fase gaseosa, el fluido se caracteriza por tener unas fuerzas intermoleculares débiles. El entorno de una molécula es de rango largo para un sólido, de rango corto para un líquido, alrededor de 30 Å (3 nm), y no tiene rango para un gas.
Para la fase líquida, con el fin de estudiar el comportamiento del fluido a nivel molecu-lar, se utiliza el concepto de función de distribución radial g (r), la cual se define como un cociente de densidades: densidad media del número de moléculas que hay en el interior de un volumen esférico de líquido de radio “r” a partir del centro de una de ellas ρ(r), dividido por la densidad media del número de moléculas que hay en una masa de líquido donde se encuentran millones de moléculas ρ(0). Obsérvese que la función de distribución radial puede ser superior, inferior o igual a la unidad.
1 (r) g(r) 1 (0) 1 < ρ = = ρ >
La representación de la función de distribución radial en función del radio de la esfera se esquematiza en la figura T 1.1. Véase que, para radios de la esfera pequeños, es decir, cuando hay pocas moléculas en el interior de la esfera, la función de distribución radial tiende a cero; a medida que el número de moléculas en el interior de la esfera de radio genérico aumenta, el valor de la función de distribución radial oscila alrededor del valor unidad.
El comportamiento de estas variaciones de densidad a nivel molecular se explica gra-cias a las fuerzas de atracción y repulsión molecular. La figura T 1.2 representa dichas fuerzas en función de la distancia de alejamiento respecto el centro de una molécula. Véase que, a distancias muy pequeñas, las fuerzas de repulsión son mayores que las de atracción molecular y que, a partir de una distancia “r0” aparece un cierto equilibrio de fuerzas, a partir de dicho punto, las fuerzas de atracción son ligeramente mayores que las de repulsión.
La energía necesaria para desplazar un átomo a una distancia dr contra una fuerza F(r) se da como: du - F(r) dr= , el signo (-) es debido a que la fuerza aumenta al disminuir el radio. La energía requerida para traer un átomo desde el infinito a una distancia “r” se define como:
r u - F(r)dr
∞
=
Esta ecuación se conoce como el potencial de Lennard-Jones.
1.2 Fluido desde el punto de vista termodinámico
Desde el punto de vista termodinámico, la materia se define en tres estados posibles: líquido, sólido y gaseoso. Así, cuando se habla de fluido, es necesario considerar el estado termodinámico del mismo. A priori, en un primer curso de Mecánica de Fluidos, se considera que el fluido objeto de estudio, no experimenta ningún cambio de fase. Fig. T 1.1 Función de distribución radial Fig. T 1.2 Fuerzas de atracción y repulsión a nivel molecular
A modo de recordatorio, se presenta en la figura T 1.3 el diagrama P-T para el agua, donde se observan los tres estados de la materia, así como los puntos triple y crítico.
En el punto crítico, se definen los parámetros críticos Pc, Tc, Vc, hc, etc. En dicho punto, en un instante todo el líquido puede transformarse en vapor y viceversa, sin aportación ni cesión de calor alguna, (el calor de vaporización es igual a cero).
De manara homóloga, en el punto triple el calor de sublimación es también cero. Las dos figuras siguientes T 1.4, T 1.5, muestran el diagrama P-V (presión-volumen) y T-S (temperatura-entropía) para el agua, donde de nuevo se observan claramente los tres estados de la materia, así como los puntos crítico y triple.
Desde el punto de vista termodinámico, se concluye que no se puede hablar de un flui-do, sino de un fluido bajo un estado termodinámico concreto, siendo las propiedades del fluido altamente dependientes del estado termodinámico en el que se encuentra.
Fig. T 1.3. Diagrama presión temperatura para el agua Fig. T 1.4 Diagrama presión volumen para el agua Fig. T 1.5 Diagrama temperatura entropía para el agua
1.3 Fluido desde el punto de vista mecánico
Una sustancia se encuentra en estado fluido si experimenta una deformación continua durante el tiempo en que está sometida a una tensión tangencial. Los líquidos y los gases no pueden soportar tensiones tangenciales sin que en su interior aparezca un gradiente de velocidad. Un sólido requiere la aplicación de una tensión finita antes de que se produzca alguna deformación.
Existe un número adimensional, denominado número de Deborah (De) que, desde el punto de vista mecánico y basado en mediciones experimentales, permite determinar si el cuerpo objeto de estudio es un fluido o bien un sólido. Su definición es:
e 0
Tiempo de relajación Tiempo durante el que se aplica una tensión
D ; ;
t Tiempo de observación Tiempo que se toma para evaluar la velocidad de deformación
τ =
El número de Deborah es el cociente entre el tiempo transcurrido τ, durante el cual se aplica una tensión tangencial a un fluido, y el tiempo necesario para evaluar la veloci-dad de deformación de la sustancia sometida a tensión.
Si observamos un material dado durante un tiempo más largo que τ, puede parecer que fluye como un líquido viscoso, mientras que su comportamiento puede considerarse como el de un sólido rígido en escalas de tiempo menores.
Para:
De << la sustancia es un fluido De >> la sustancia es un sólido
1.4 Aproximación del continuo
En teoría, sería posible describir el comportamiento de una sustancia en cualquier esta-do en términos de la dinámica de las moléculas que la componen. En la práctica, esto es imposible, debido al número elevadísimo de moléculas. Prácticamente siempre es posible ignorar la naturaleza molecular de la materia y suponer que es continua. Es decir, los fenómenos físicos y químicos que se estudiarán están a una escala (macros-cópica), la estructura molecular de cualquier sustancia tiene una escala (microscópica) que puede ser ignorada, el fluido se considerará como un medio isótropo.
En consecuencia, las propiedades que definen una sustancia son las que representan las características medias de la estructura molecular. Estas propiedades se describen para funciones continuas de la posición y el tiempo.
En la mecánica de medios continuos, basta estudiar la densidad, la velocidad y la ener-gía interna como funciones de la posición y el tiempo.
1.5 Equilibrio termodinámico local
A la hora de estudiar un fluido, se va a considerar que cada elemento diferencial de materia está en equilibrio mecánico y térmico con los elementos que le rodean.
La termodinámica muestra que puede especificarse el estado macroscópico de los flui-dos en equilibrio mediante los valores de algunas variables de estado: presión, densi-dad, temperatura, energía interna, entropía, etc. Enseña también que, si el fluido es homogéneo en composición, basta con conocer los valores de dos variables cualesquie-ra pacualesquie-ra poder determinar, en función de ellas, todas las demás. Las ecuaciones de esta-do son las funciones que ligan dichas variables.
La mecánica de fluidos se caracteriza por la existencia de no uniformidades en las propiedades mecánicas y térmicas del fluido. Sin embargo (al menos para los gases), la teoría cinética muestra que, siempre que el camino libre medio sea pequeño frente a la longitud característica de las no uniformidades macroscópicas (y que el tiempo entre colisiones moleculares sea pequeño con respecto al tiempo necesario para que las va-riables macroscópicas experimenten cambios locales apreciables), existe equilibrio termodinámico local.
Esta hipótesis se justifica por el hecho de que un átomo o molécula sufre un gran nú-mero de colisiones con sus vecinos antes de alcanzar regiones donde las magnitudes macroscópicas cambien; de modo que gradualmente adapta su movimiento y energía a los que existen localmente, y va perdiendo memoria de su situación primitiva en las sucesivas colisiones.
El número de Knudsen mide la relación entre el camino libre medio λmolecular y la longitud característica macroscópica L de variación de las propiedades fluidas.
Kn L= λ . Siempre que Kn << 1, se considera que existe equilibrio termodinámico local. Aunque, en realidad, es necesario que se cumpla, además, que el tiempo entre colisiones sea pequeño frente al tiempo necesario para que las variables microscópicas experimenten cambios locales apreciables.
1.6 Propiedades de los fluidos
Las propiedades características de los fluidos se desglosan en mecánicas y térmicas. Como propiedades mecánicas, cabe citar la densidad, la presión, el módulo de elastici-dad volumétrica, la tensión superficial y la viscosielastici-dad del fluido.
Algunas de las propiedades térmicas son la temperatura, la energía interna, la entalpía, la entropía, los calores específicos a presión y volumen constante y el coeficiente de expansión térmica.
1.6.1Módulo de elasticidad
El módulo de elasticidad β es la propiedad de los fluidos que indica su grado de com-presibilidad al ser sometidos a una variación de presión. Se define como:
dP dP dP
d d d
β = −∀ = −υ = ρ
∀ υ ρ
El módulo de elasticidad es equivalente al módulo de Young en la mecánica de los sólidos.
Para un gas, se cumple que P P ( ,T)= ρ Con lo que se puede definir:
T P P dP d dT T ρ ∂ ∂ =∂ρ ρ +∂
Si el proceso es a temperatura constante, el módulo isotérmico de elasticidad será:
T v,t T P d dP P d d ∂ ρ ∂ρ ∂ β = ρ ρ=ρ ρ = ρ∂ρ
Si el gas fuese ideal, se ha de cumplir que P = ρRT
(
)
v,t T RT RT P ∂ ρ β = ρ = ρ = ∂ρ El módulo isotérmico de un gas es igual a la presión
de dicho gas.
En general, para cualquier fluido, de la ecuación genérica del módulo de elasticidad se tiene dρ = dP
ρ β . Esta ecuación puede ser utilizada para definir matemáticamente el concepto de fluido incompresible. Así, si se acepta un cambio de densidad del 1 % como insignificante, se puede definir un fluido como incompresible si cumple:
dP 0,01 <
β ;
Relacionando la variación de presión con la energía cinética asociada al fluido se esta-blece: 2 1 P v 2 Δ = ρ
con lo que la consideración de un fluido como incompresible se puede dar como: 2
v 0,02 ρ <
β . Para aire en condiciones estándar, esta condición equivale a una veloci-dad de 40 m/s.
1.6.2 Coeficiente de expansión térmica
Una propiedad equivalente al módulo de elasticidad β, pero desde el punto de vista térmico, es el coeficiente de expansión térmica αT. Dicho coeficiente mide el efecto de expansión del fluido al variar la temperatura del mismo. Se define como:
T 1 d 1 d 1 d dT dT dT ∀ υ ρ α = = = − ∀ υ ρ
Para todo fluido, existe una relación entre su densidad, su presión y su temperatura (P,T),
ρ = con lo que la variación de densidad en función de estos dos parámetros se define: P T d dT dP T P ∂ρ ∂ρ ρ = + ∂ ∂
Para un proceso de expansión térmica a presión constante:
P d dT T ∂ρ ρ =∂ de donde P d dT T ρ ∂ρ =∂
Sustituyendo en la expresión del coeficiente de expansión térmica, se tiene: T,P P 1 T ∂ρ α = −ρ ∂
, ecuación que caracteriza el coeficiente de expansión térmica para
un proceso a presión constante.
Si se considera el caso de un gas ideal, se tiene: P RT ρ =
con lo que, para un proceso a presión constante se tiene:
T,P 2 P P P 1 P 1 1 P 1 1 P 1 1 P T RT RT T T RT R T T ∂ ∂ ∂ α = −ρ ∂ = −ρ ∂ + ∂ = −ρ − =
Se concluye que, el coeficiente de expansión térmica de un gas ideal es igual a la inver-sa de la temperatura del mismo.
1.6.3 Colofón sobre módulo de elasticidad y coeficiente deexpansión térmica
Considérese un volumen determinado de fluido ∀. Si se quiere estudiar la variación de dicho volumen, en función de las variaciones de presión y de temperatura, se puede establecer:
p T d dT dP T P ∂∀ ∂∀ ∀ = + ∂ ∂ p T d 1 1 dT dP T P ∀ ∂∀ ∂∀ = + ∀ ∀ ∂ ∀ ∂ T,P V,T d 1 dT dP ∀ = α − ∀ β
ecuación que caracteriza la variación del volumen de un fluido en función de la varia-ción de presión y temperatura al que esta sometido, donde:
T,P p 1 T ∂∀ α =
∀ ∂ es el coeficiente de expansión térmica
V,T
T P ∂
β = −∀∂∀ es el módulo de elasticidad volumétrica
La variación del volumen con respecto al volumen inicial se puede expresar como: 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 d m m 1 m ∀ ∀− − ∀ − ∀ υ − υ ρ ρ ρ − ρ ρ − ρ ∀ = = ∀ = = = = − ∀ ∀ υ ρ ρ ρ
Así, la ecuación que relaciona la variación de densidad del fluido, en función de la variación de presión y temperatura, se puede dar como:
(
)
(
)
0 0 T,P 0 0 V,T 1 P P T T ρ − ρ = − − α − ρ βA modo de ejemplo, para el agua a unas condiciones termodinámicas de P = 105 Pa y T = 277 K, se tiene que 9 V,T 2 N 1,96.10 m β = ; 4 1 T,P 1,53.10 K− −
α = , siendo las condicio-nes iniciales 3 0 3 Kg 10 m ρ = y T0 = 0 K. 1.6.4 Tensión superficial La tensión superficial σ, N m σ =
, describe las fuerzas en la interfaz entre un gas y un
La tensión superficial juega un papel importante en problemas que implican la forma-ción de burbujas en líquidos, la ruptura de chorros de líquidos en gotas y la determina-ción de las formas de masas de líquidos en condiciones ingrávidas.
Con el fin de mostrar el carácter débil de las fuerzas debidas a la tensión superficial, se va a realizar el experimento que se muestra en la figura T 1.6, consistente en un alam-bre en forma de U y otro alamalam-bre que se desliza a lo largo de las dos ramas del alamalam-bre anteriormente mencionado. La superficie formada por los dos alambres se cubre con una película de jabón cuyo espesor es de pocas moléculas.
Dicha película de jabón crea una fuerza sobre el alambre deslizante, la cual tiende a disminuir la sección de película existente. La fuerza necesaria para mantener el alambre deslizante en una posición estable ha de ser igual y de sentido contrario a la creada por la película de jabón y vale F = 2 σ l. El 2 tiene en cuenta las dos superficies de jabón en contacto con el aire. Si el alambre se desplaza una distancia Δx, el trabajo requerido será: W = F(Δx) = 2 σ l (Δx) = 2 σΔS, donde ΔS es el elemento diferencial de superfi-cie barrido.
Sea una gota infinitesimal de fluido con una forma casi esférica y situada en el seno de otro fluido, sea el punto 0 de la superficie tangente al plano xy. Para esta superficie infinitesimal, se puede demostrar que la fuerza vertical dFz resultante de la tensión superficial a lo largo del borde de la superficie viene dada por:
Fig. T 1.6 Experimento para estudiar la tensión superficial Fig. T 1.7 Esquema de una gota casi esférica
2 2 z 2 2 0 0 W W dF dA x y ∂ ∂ = σ + ∂ ∂
donde W es la curvatura de la superficie con respecto a los ejes coordenados. Las derivadas pueden remplazarse por
1 2
1 1
y
R R , siendo estos los radios de curva-tura en el centro de coordenadas y con respecto a los dos planos zx y zy que cortan a la gota casi esférica esquematizada, (ver figuras T 1.7 y T 1.8).
Dividiendo por dA, se obtiene el aumento de presión entre la parte interior y exterior de la gota de fluido. 1 2 1 1 P R R Δ = σ +
Esta ecuación recibe el nombre de ecuación de Laplace-Young.
Para el caso de que la gota sea perfectamente esférica R1 = R2, la ecuación que caracte-riza la diferencia de presión entre la parte interior y exterior de la misma, toma la forma
2 P R σ Δ = . 1.6.5 Definición de viscosidad
Tal vez la propiedad más conocida y utilizada de los fluidos sea la viscosidad, entre otras cosas porque la ecuación reológica de los fluidos es función de la misma. La viscosidad fue definida inicialmente por Isaac Newton al relacionar los esfuerzos cor-tantes aplicados a una capa de fluido con la velocidad de deformación de dicho fluido. Sea un elemento diferencial bidimensional de un sólido inicialmente en reposo y al cual se le aplican sendos esfuerzos cortantes en las caras superior e inferior del mismo. El sólido, al ser sometido a tensión, se deformará un ángulo δθ, el cual no dependerá del tiempo durante el cual se aplique el esfuerzo cortante. Al dejar de aplicarse el esfuerzo (siempre y cuando no se haya sobrepasado el límite elástico), el elemento diferencial Fig. T 1.8 Radios de curvatura respecto a los dos planos coordenados
volverá a su estado inicial. Si se realiza el mismo experimento sobre un elemento dife-rencial de fluido, se observa que, mientras le sea aplicada la tensión τ, el fluido seguirá deformándose, es decir, el ángulo δθ es para un fluido dependiente del tiempo.
Para un sólido:
Para un líquido:
Supóngase ahora que, en el seno de un fluido en movimiento, se extrae una muestra diferencial, sobre la cual actúan, en lados paralelos, velocidades distintas, figura T 1.10.
La diferencia de la velocidad entre la parte superior y la inferior del elemento diferen-cial es du y dyδ . Fig. T 1.9 Deformación de elementos diferenciales de sólido y fluido Fig. T 1.10 Elemento diferencial de unfluido en movimiento
La distancia δe es la distancia de desplazamiento de la parte superior con respecto a la inferior, debido a la diferencia de velocidades entre estas dos caras.
du
e y t
dy δ = δ δ
Para un diferencial de tiempo pequeño, el ángulo girado δθ será también pequeño, de donde:
( )
e du tan t y dy δ δθ ≈ δθ = = δ δLa velocidad de deformación angular debida al esfuerzo cortante, es la velocidad de cambio de δθ; así:
du t dy δθ =
δ
En realidad, si existe un gradiente de velocidades entre la parte superior y la inferior del elemento diferencial, es equivalente a decir que existe un esfuerzo cortante entre estas dos capas de fluido. Considerando que el esfuerzo cortante τ es proporcional a la velocidad de deformación angular, se obtiene
t δθ τ α
δ , donde el parámetro α es la constante de proporcionalidad.
Dicha constante de proporcionalidad, es en realidad, un parámetro característico del fluido, que se denomina viscosidad absoluta o dinámica del fluido, obteniendo la relación:
du dy τ = μ
Esta ecuación es la ley de Newton de la viscosidad, denominada también ecuación reológica de un fluido newtoniano, la cual puede expresarse como:
n . τ = μ γ ; siendo u y ∂ γ = ∂ .
El exponente n puede tomar los valores siguientes: Para n 1 fluido newtoniano
Para n 1 o bien 1 el fluido es no newtoniano =
< >
Se denominan fluidos newtonianos, los que tienen una relación lineal entre el esfuerzo cortante y la velocidad de deformación. La grafica siguiente muestra diferentes tipos de fluidos convencionales.
Un fluido dilatante aumenta la resistencia a la deformación al aumentar el esfuerzo cortante.
Un fluido pseudoplástico disminuye su resistencia al aumentar el esfuerzo. Si este efec-to es muy importante (línea a trazos), el fluido se denomina plástico.
Todo fluido que necesite un esfuerzo cortante mínimo para empezar a fluir se denomi-na plástico de Bingham y puede ser lineal o no; su ecuación genérica sería:
n
0 . 1 n 1
τ = τ + μ γ ≤ ≥
Los fluidos que necesitan un aumento gradual en el esfuerzo cortante para mantener constante la velocidad de deformación se denominan reopécticos. Los que necesitan esfuerzos decrecientes para mantener constante la velocidad de deformación reciben el nombre de tixotrópicos. Fig. T 1.11 Ecuaciones reológicas de fluidos convencionales
Problema 1
Enunciado
Entre los extremos de un tubo de 0,006 m de diámetro y 1 m de longitud, se aplica una diferencia de presión relativa de 50.000 Pa. Si el caudal que fluye es de
-6 3
Q = 3,5 10 m s× , halle la viscosidad del fluido circulante (considerando régimen laminar). Compruebe la veracidad de esta hipótesis.
Resolución
La velocidad media de paso del fluido por el conducto será: -6 2 Q 3,5×10 m U = = = 0,1237 S π0, 006 s 4
Dado que no se puede determinar el número de Reynolds, se considerará que el régi-men de flujo es laminar; al final de proceso se comprobará esta hipótesis.
• Considerando que el fluido fluye según la ley de Poiseulle, y sabiendo que la distribución de velocidades en dirección radial según Poiseulle es:
(
)
2 * 2 2 ΔP 1 1 r U = r - R = Umáx 1-Δx μ4 R donde * 2 ΔP 1 Umáx = - R Δx 4μLa relación velocidad máxima-velocidad media U = Umax 2 donde * 2 ΔP R U = -Δx 8μ
La diferencia de presión entre extremos del conducto ha de ser contrarrestada por los esfuerzos cortantes en la pared del mismo, así:
2 2 * total D × 0, 006 Fp = ΔP = 50.000 = 1, 4137 N 4 4 π π
El esfuerzo cortante se define como:
2 máx U r =μ =μ U 1-r r R ∂ ∂ τ ∂ ∂
máx 2 2 r = -μU
R τ
El esfuerzo cortante de la pared valdrá: r = R máx 2 = -μU R τ comoU = Umáx 2 U = -μ4 R τ
El esfuerzo debido a los esfuerzos cortantes a lo largo de todo el tubo será: Τ U F = S = 2πR L = -μ4 2πR L R τ τ como-F = Fp Τ 1, 4137 = 8πU μL = 8π0,1237μ 2 N ×S μ= 0, 4547 m Para que el flujo sea laminar se debe cumplir:
UD 0,1237× 0, 006 Re = = < 2.400 0, 4547 ν ρ
Para cumplir la igualdad, se tiene que ρ debería valer ρ= 1.470.331Kg m3; como esto es imposible, se concluye que la hipótesis es acertada. En concreto, para una densidad de 800 Kg m3, se obtiene Re = 1,3.
Problema 2
Enunciado
Halle la potencia necesaria para mantener una velocidad angular constante de 10 rad/s en el viscosímetro cilíndrico de la figura. (Considérense los esfuerzos cortantes, en la superficie lateral y en la base.)
Datos: H = 10 cm R1 = 3 cm h = 0,1 cm μ = 7·10-3 N·s/m2 Resolución
En la cara lateral se tiene:
du = dy τ μ 1 1 v 0 Rω du = = dy h h −
Los valores de la fuerza y el par laterales, FL y ML, se obtienen: 2 1 L 1 1 Rω F = τ·dS = μ· ·2 π·R ·H =μ 2π H·R h h ω 3 1 L 1 1 1 1 Rω ω M = F·R = μ ·2π ·R · H R =μ 2π H· R h h
El valor de la potencia necesaria para vencer los esfuerzos cortantes laterales será: 2 3 L 1 ω N = M·ω = μ ·2π H· R h
En la base del cilindro, se tiene:
i i V rω
du = =
dy h h
Los valores de la fuerza y el par en la base, FB y MB, serán: R 3 R i i B i i 0 0 S r ω 2π r F = τdS = μ 2πr dr =μ ω h h 3
Fig. 2.13 B ωR F = μ2π h 3 R 4 3 i B B i i i 0 R ω2π ω2π M = dF ·R =μ r ·dr =μ· · h h 4
4 B ω2π R M =μ h 4La potencia debida a los esfuerzos cortantes en la base, NB, será: NB = M·ω = μ
2 4
ω 2πR h 4
con lo que la potencia total necesaria para hacer girar el cilindro será: NT = NL + NB = μ 4 2 3 1 1 R ω 2π H R + h 4 = 7·10 -3· 102 ·2π 0,1·0,03 +3 0,034 0,001 4 NT = 0,0127 [W] Problema 3 Enunciado
Halle la expresión del par necesario para mover la esfera de la figura adjunta.
Resolución
Las tensiones cortantes existentes se pueden definir como:
V R μ r cosθ
τ=μ =μ =
n e e
∂ ω ω
∂ ;
Estudiando la esfera, se observa que la fuerza que se opone al movimiento se da como:
3 2 μ r cosθ μ r cosθ dF =τdS = 2πR da = 2πr cosθ r dθ= e e μ r = 2πcos θdθ e ω ω ω
Así mismo, el momento resistente resultante valdrá: i dM = dF R = dF r cosθ 3 2 μ r dM = 2πcos θdθr cosθ e ω o o 90 4 3 -90 μ r M = 2πcosθdθ e ω
con lo cual, la potencia necesaria para hacer girar la esfera sería: o o 90 4 2 3 -90 r N = M =μ 2π cosθdθ e ω ω
y quedaría: o o 90 90 4 2 2 90 -90 r 1 2N = M =μ 2π cos sin cosθdθ
e 3 − 3 ω ω θ θ +
90 90 4 2 2 90 90 r 1 2N =μ 2π cos sin sinθ
e 3 − 3 − ω θ θ + 4 2 r 8 N =μ π e 3 ω Problema 4 Enunciado
Se hace rotar un cuerpo cónico con una velocidad constante de 10 rad/s; la base del cono tiene un diámetro de 5 cm, y el espesor de la película de aceite es de 0,1 mm. Si la
viscosidad del aceite es de 7·10-3 [N·S/m2], halle el par necesario para mantener el movimiento.
Resolución
Se divide la superficie del cono en dos partes: por un lado, la superficie lateral y, por otro lado, la base.
En la superficie lateral, el esfuerzo cortante en un punto genérico vale: i τ= μdνi dn = i Rω μ e = i h tgθω μ e ; En la base: i τ= μdνi dn = i Rω μ e ; Fig. 4.1 Esquema del cuerpo cónico Fig. 4.2 Fig. 4.3
La fuerza que se opone al movimiento en la superficie lateral: i dF =τdS = τ 2 πR dZ cosθ= dh dz; i i dh dh dF 2 R 2 h tg cos cos = τ π = τ π θ θ θ 2 2 i dh dF =μh tg θ 2π e cosθ ω h 2 2 3 2 i i 0 h ωtg θ ω tg θ F = μ 2πh dh =μ 2π e cosθ e cosθ 3
La fuerza en la base será:
i dF =τdS =τ2πR dR 2 i ω dF =μ R 2πdR e R 3 2 i 0 ω ω R F = μ 2πR dR =μ 2π e e 3
El par necesario en la superficie lateral:i i M = F× R dM = dF× R 2 2 i i tg θ ω dM =μ 2πh dhR cosθ e R = h tgi i θ h 3 3 4 3 L i 0 tgθ ω tg θ ω h M = μ 2πh dh =μ 2π cosθ e cosθ e 4
El par en la base: 2 i i i ω dM = dF R =μ 2πR dR R e R 4 3 b i 0 ω ω R M = μ 2πR dR =μ 2π e e 4
El par total necesario para mantener el movimiento será: T
4 4 3 3 4 4 T h R tgθ ω ω ω2π tgθ M =μ 2π +μ 2π =μ h + R cosθ e 4 e 4 e 4 cosθ
Sustituyendo el radio por su equivalente: 4 3 T ω π 1 M =μ h tgθ + tgθ e 2 cosθ
La potencia necesaria para mantener el sistema en movimiento será: 2 4 3 T ω 1 N = M ω=μ h tg θ + tgθ e 2 cosθ π
Cinemática de fluidos
2.1 Concepto de derivada sustancial, material o total
Sea φ una propiedad intensiva cualquiera (densidad, temperatura, etc.). Si se sigue a una partícula de fluido en su movimiento, la magnitud φ asociada a la partícula fluida varia no solo porque el tiempo t cambia, sino también porque la posición x de la partícula es asimismo modificada. Si se calcula su variación con el tiempo respecto a un observador que se mueva con el fluido, se obtiene la denominada derivada sustancial. Desarrollando en serie la variación de la propiedad genérica, se tiene:
(x x; t t) (x; t) x . t ... t ∂φ δφ = φ + δ + δ − φ ≈ δ ∇φ + δ + ∂
Dividiendo por el diferencial de tiempo y despreciando los términos asociados a las derivadas de orden superior, se tiene:
x t t t δφ ∂φ δ= + ∇φ δ ∂ δ en el límite, se establece: d D v dt Dt t φ= φ ∂φ= + ∇ φ ∂ siendo D Dt
φla derivada sustancial de la propiedad φasociada a la partícula de fluido.
El término t ∂φ
∂ recibe el nombre de derivada local, y el término v∇ φ
es la derivada
En Mecánica de Fluidos, la aceleración que experimenta una partícula se define como la derivada material de la velocidad de la partícula, y se define:
Dv v a (v )v v v Dt t t ∂ ∂ = = ∂ + ∇ =∂ + ∇
Que es la suma de una aceleración local y una convectiva.
En coordenadas cartesianas y notación de subíndices, se puede representar como.
i i i j j v v a v t x ∂ ∂ = + ∂ ∂
Para extender su validez a otros sistemas coordenados rectangulares, se ha de sustituir el término (v. )v∇ por su equivalente v2 v
(
v)
2
∇ − ∧ ∇ ∧
.
Si el sistema de referencia no es inicial, para obtener la aceleración absoluta se ha de añadir, a la aceleración relativa, la aceleración debida al movimiento del sistema de referencia: r 0 d a a r ( r) 2 v dt 1 2 3 4 Ω − = + ∧ + Ω ∧ Ω ∧ + Ω ∧ ↓ ↓ ↓ ↓ 1. Aceleración de arrastre 2. Aceleración tangencial 3. Aceleración centrípeta 4. Aceleración de Coriolis 0
a =Aceleración lineal con que se mueve el origen del sistema de coordenadas móvil con respecto al fijo.
Ω =Velocidad angular con que gira el sistema de coordenadas móvil.
2.2 Concepto de flujo convectivo a través de una superficie Considérese una superficie fija a un sistema de referencia y un pequeño elemento de superficie sobre ella de área ds. Las partículas fluidas capaces de alcanzar la superficie ds en un tiempo dt son aquellas que se encuentran a una distancia igual o inferior a v dt . De entre todas ellas, solo alcanzan ds las que tengan la orientación apropiada v ds dt
. La cantidad de “magnitud” φ que atraviesa con el fluido dicha superficie en la unidad de tiempo será v n dsφ .
El flujo total a través de toda la superficie fija será sup
v n ds φ
, de donde v nφ es el flujo que atraviesa la unidad de superficie de orientación n.• Si φ es un escalar, vφes un vector denominado vector flujo de la propiedad φ (si φ es, por ejemplo, la densidadρ, la cantidad vρ es el vector flujo másico). • Si φ es un vector, vφ es un tensor denominado tensor flujo de la magnitud φ (si
φ es la cantidad de movimiento vρ, la cantidad v vρ será el flujo de cantidad de movimiento).
Si la superficie es cerrada y el término vφ es una función continua tanto en el interior como en la superficie (no existen fuentes, ni sumideros), el teorema de Gauss-Ostrogradsky permite escribir el flujo como una integral de volumen.
Sφv n ds= ∇ φ∀ .( v) d∀
, donde ( v)∇ φ es el flujo de la magnitud φ por unidad de volumen.El concepto de flujo volumétrico sería S
Q v ds vd div vd
∀ ∀
=
= ∇ ∀ =
∀Siendo el flujo másico,
( )
S m v ds v d ∀ =
ρ = ∇ ρ
∀
2.3 Concepto de CirculaciónLa circulación a lo largo de una línea de corriente L se define como el valor de la integral
Lvdl
Γ =
, que equivale al trabajo desarrollado por el vector velocidad v a lo largo de la línea L. Si la línea L es cerrada, el teorema de Stokes afirma que la circulación es igual al flujo del vector vorticidad ∇ ∧v a través de la superficie delimitada por la línea L.(
)
Lv dl S v ds Srot v ds Γ =
=
∇ ∧ =
Si la circulación a lo largo de cualquier línea cerrada es nula, el vector vorticidad v
∇ ∧ es cero en todo el campo fluido, Γ =0 ∇ ∧ =v 0 ; estos movimientos se denominan irrotacionales o potenciales, puesto que ∇ ∧ =v 0 , lo cual implica que la velocidad deriva de un potencial v= ∇ϑ.
El recíproco, en general, no es cierto, aunque ∇ ∧ =v 0 en todo el campo fluido, puede que existan líneas cerradas en las que Γ ≠0. Este sería el caso correspondiente a un campo fluido que no fuese simplemente conexo.
2.4 Líneas de corriente, trayectoria y traza
Dado un campo vectorial de velocidades que caracteriza un fluido en movimiento, se puede definir la evolución espacial de las partículas de fluido sabiendo que en el instante inicial se encuentran en una posición dada. Para ello, se utilizaran los conceptos de líneas de corriente, trayectorias o sendas, y líneas de traza.
La línea de senda o trayectoria se define como el camino seguido realmente por una partícula fluida, conocida la posición de la partícula para un tiempo inicial.
La línea de traza seria el lugar geométrico de las partículas que en instantes sucesivos
pasaron por un punto dado. Sería la obtenida si se inyectase colorante en un punto dado del fluido.
La línea de corriente, es aquella que en un instante dado es tangente a los vectores
velocidad en todo punto. La línea de corriente tiene un profundo sustrato matemático, mientras que las otras dos son más esencialmente experimentales. No obstante, estas tres líneas están caracterizadas por sendas ecuaciones diferenciales y, como se verá seguidamente, cada una de las ecuaciones diferenciales puede ser definida para los diferentes sistemas de coordenadas existentes.
Se define como línea fluida, al conjunto de partículas fluidas que en un instante dado forman una línea. La línea fluida no dispone de ecuación diferencial característica. La línea de corriente y la fluida están definidas para un instante dado, mientras que la senda y la línea de traza se forman con el transcurso del tiempo.
Si el campo vectorial de velocidades, que define el fluido en movimiento, caracteriza un fluido en régimen permanente, entonces las líneas de corriente trayectoria y traza, coinciden.
Las ecuaciones diferenciales que caracterizan cada una de estas tres líneas principales son:
2.4.1 Líneas de Senda o Trayectoria
Las Sendas o trayectorias, vienen dadas en función del campo de velocidades mediante el sistema de ecuaciones diferenciales.
dx
v(x, t) dt =
Donde se cumple que, para t 0; x(t ) x= 0 =0, es decir, para el tiempo inicial se co-noce la posición de la partícula.
Desglosando la ecuación anterior para los diversos sistemas coordenados, se obtiene la ecuación diferencial de la trayectoria, donde para un sistema de referencia cartesiano.
X Y Z x (x, y, z); v (v , v , v )= = X Y Z dx dy dz v (x, t); v (x, t); v (x, t) dt = dt = dt =
En coordenadas cilíndricas se obtiene:
r Z x (r, , z); v (v , v , v )= θ = θ r Z dr d dz v (x, t); r v (x, t); v (x, t) dt dt θ dt θ = = =
En coordenadas esféricas: r x=(r, , ); v (v , v , v )θ φ = θ φ r dr d d v (x, t); r sen v (x, t); r v (x, t) dt dt θ dt φ θ φ = φ = =
Las condiciones de contorno para la resolución de las ecuaciones diferenciales se resumen en que en el estado inicial la posición de la partícula es conocida:
Coordenadas cartesianas: t 0; x x ; y y ; z z= = 0 = 0 = 0 Coordenadas cilíndricas: t 0; r r ;= = 0 θ = θ0; z z= 0 Coordenadas esféricas: t 0; r r ;= = 0 θ = θ φ = φ0; 0
Estas expresiones representan en forma paramétrica, la senda o curva descrita por una partícula en su movimiento alrededor de su posición inicial.
2.4.2 Líneas de Traza
Mediante las líneas de traza, se estudia el colectivo de partículas que pasan por un punto dado en tiempos sucesivos, x x(x , t , t)= 0 0 . Las ecuaciones diferenciales definitorias de las líneas de traza son las mismas que las que caracterizan las sendas o trayectorias; la diferencia reside en las condiciones de contorno, que ahora, para los diferentes sistemas coordenados, tomaran la forma:
Coordenadas cartesianas: t= ε =; x x ; y y ; z z0 = 0 = 0 Coordenadas cilíndricas: t= ε =; r r ;0 θ = θ0; z z= 0 Coordenadas esféricas: t= ε =; r r ;0 θ = θ φ = φ0; 0
Obsérvese que las condiciones de contorno utilizadas para el cálculo de las líneas de traza indican que es necesario calcular la ecuación de todas las trayectorias que pasan por el punto de referencia (x0, y0, z0) en diferentes instantes t0=ε y eliminar t0 de las ecuaciones resultantes.
2.4.3 Líneas de Corriente
Para la determinación de las líneas de corriente, se estudia el colectivo de partículas que en un instante dado son tangentes en cada punto al vector velocidad. Para determinar la ecuación diferencial de las líneas de corriente en coordenadas cartesianas, se utiliza la siguiente relación geométrica, ver figura T 2.1.
El sistema de ecuaciones que las definen se obtienen estableciendo la proporcionalidad entre el vector tangente y el vector velocidad. Para los diversos sistemas coordenados, se tiene: Coordenadas cartesianas: X Y Z x (x, y, z); v (v , v , v )= = X Y Z dx dy dz v (x, t) =v (x, t) = v (x, t) Coordenadas cilíndricas: r Z x (r, , z); v (v , v , v )= θ = θ r Z dr r d dz v (x, t) v (x, t)θ v (x, t) θ = = Coordenadas esféricas: r x=(r, , ); v (v , v , v )θ φ = θ φ r dr r sen d r d v (x, t) v (x, t)θ v (x, t)φ φ θ φ = =
Las condiciones de contorno necesarias para la resolución de las ecuaciones dife-renciales son las mismas que las utilizadas para determinar las trayectorias, es decir: Coordenadas cartesianas: t 0; x x ; y y ; z z= = 0 = 0 = 0
Coordenadas cilíndricas: t 0; r r ;= = 0 θ = θ0; z z= 0 Coordenadas esféricas: t 0; r r ;= = 0 θ = θ φ = φ0; 0
Con el fin de facilitar la integración en algunos casos complejos, es conveniente utilizar las ecuaciones diferenciales de las líneas de corriente en forma paramétrica. Sea S el parámetro elegido. Recuérdese que la ecuación resultante no puede depender del parámetro S, con lo que ha de ser extraído.
Fig. T 2.1 Relación geométrica utilizada para la determinación de la ecuación diferencial de las líneas de corriente
En coordenadas cartesianas, la ecuación de las líneas de corriente en forma paramétrica se establece: X dx v (x, t); dS= Y dy v (x, t); dS= Z dz v (x, t) dS= En coordenadas cilíndricas: r dr v (x, t); dS= r d v (x, t); dSθ = θ Z dz v (x, t) dS= En coordenadas esféricas: r dr v (x, t); dS= r sen d v (x, t); dSφ θ = θ r d v (x, t) dSφ = φ
Las condiciones de contorno para la resolución de este segundo grupo de ecuaciones diferenciales para las líneas de corriente son:
0 0 0 t 0; x x ; y y ; z z ; S 0= = = = = 0 0 0 t 0; r r ;= = θ = θ ; z z ; S 0= = 0 0 0 t 0; r r ;= = θ = θ φ = φ; ; S 0=
En movimientos estacionarios, las líneas de corriente coinciden con las sendas y las trazas.
Si se toma una línea en el espacio, las líneas de corriente que se apoyan en ella forman
una superficie de corriente; si la línea de partículas es cerrada la superficie de corriente
se denomina tubo de corriente.
2.4.4 Concepto de línea fluida
Si una serie de partículas forman inicialmente una línea, este conjunto de partículas seguirá formando, por continuidad, una línea que se denomina línea fluida. Si la línea primitiva es cerrada, se mantiene posteriormente cerrada.
Si se denomina x0=x ( )0 λ a la ecuación paramétrica de una línea fluida en el instante inicial, la ecuación de dicha línea en el instante t será x x (x ( ), t)= T 0 λ
.
2.5 Concepto de vorticidad e irrotacionalidad
Un flujo se denomina irrotacional, cuando la velocidad angular con respecto a todo eje coordenado es nula. La figura siguiente muestra dos líneas fluidas de longitudes infinitesimales, las cuales, para un tiempo dado t, forman un ángulo de 90 grados; al cabo de un diferencial de tiempo, se observa que las dos líneas fluidas, han girado un
diferencial de ángulo con respecto a su posición inicial, con lo que se pueden obtener las relaciones diferenciales que se muestran en la figura T 2.2 para la deformación de un elemento de fluido.
Partiendo de las relaciones establecidas en la figura, se quiere estudiar la velocidad angular y la velocidad de deformación de dos líneas fluidas que se deforman en el plano XY. Se observa que las dos líneas fluidas AB y BC perpendiculares en el instante t se mueven y deforman de modo que, en el instante t dt+ , tienen diferentes longitudes A 'B ' y B 'C ' y el ángulo que forman difiere de 90º en los ángulos d y dα β ; esta deformación aparece de un modo cinemático, puesto que los puntos A, B, C tienen velocidades diferentes cuando el campo de velocidades V no es espacialmente uniforme.
Se define la velocidad angular ωzalrededor del eje z perpendicular al plano del papel como el valor medio del giro, en la unidad de tiempo, de las dos líneas fluidas; el sentido contrario a las agujas del reloj se tomará como positivo.
z 1 d d 2 dt dt α β ω = −
Como d y dα βestán directamente relacionados (para “dt” pequeños) con las derivadas de la velocidad, se puede establecer:
dt 0 v dxdt v x d lim arctg dt u x dx dxdt x → ∂ ∂ ∂ α = ∂ = ∂ + ∂ dt 0 u dydt u y d lim arctg dt v y dy dydt y → ∂ ∂ ∂ β = ∂ = ∂ + ∂ Fig. T 2.2 Evolución de dos líneas fluidas a lo largo del tiempo
