Agregación de Riesgos y Capital Económico

Agregación de Riesgos y

Capital Económico

Agenda

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Introducción.

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Metodologías de Agregación de Riesgos.

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Asignación de Capital.

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SAS Risk Solutions.

Introducción

 El riesgo agregado es la base para definir el Capital Económico de un banco, y se utiliza en la gestión basada en valores tales como la gestión del rendimiento ajustado al riesgo

» En la práctica, se consideran diferentes tipos de aproximaciones para la agregación de riesgos:

• Riesgo medido a nivel de Sub-riesgo como Riesgo de Mercado, Crédito, etc.

• Uso de modelo de riesgo conjunto y correlaciones entre los diferentes «sub-riesgos».

» Los modelos de agregación de riesgos actuales van desde modelos muy simples que incorporan sub-riesgos a través de una agregación de riesgo lineal hasta algunos que incorporan el uso de modelos de cópula y algunos usan una combinación de ambos.

 El Comité de Basilea destaca la agregación de riesgos como uno de los mayores retos para los modelos de capital económico de los bancos

Metodologías de agregación

 Estas metodologías incorporan la agregación individual de medidas de riesgo usando un modelo para la agregación colectiva.

 El modelo puede ser desarrollado con base en Agregación Lineal Simple o usando un Modelo de Cópula.

» Agregación Lineal de Riesgos. Este modelo se basa en la agregación de riesgo como VaR o ES, usando correlaciones y medidas individuales de VaR o ES.

» El modelo de Cópula agrega los riesgos usando una cópula para la codependencia (como la Normal o la t-Cópula), los beneficios individuales de riesgo y simulación de pérdidas.

 El modelo de cópula permite mayor flexibilidad en la definición de la dependencia del modelo que la Agregación Lineal del riesgo

 La agregación lineal es el modelo de agregación usado en la regulación de Solvencia para la Aproximación Estándar.

Metodologías de agregación

Medidas de dependencia

 Las medidas de dependencia más conocidas para una cópula son:

» Correlación Lineal

𝝆 𝑿_𝟏, 𝑿_𝟐 = 𝒄𝒐𝒗 𝑿𝟏, 𝑿𝟐 𝑽𝒂𝒓 𝑿_𝟏 𝑽𝒂𝒓(𝑿_𝟐)

» 𝝉 de Kendall – Para dos vectores independientes de variables aleatorias idénticamente

distribuidas (𝑋₁, 𝑋₂) y (𝑌₁, 𝑌₂) la probabilidad Tau de Kendall es:

𝜏(𝑋₁, 𝑋₂) = P (𝑋₁−𝑋₂)(𝑌₁−𝑌₂) > 0 − P (𝑋₁−𝑋₂)(𝑌₁−𝑌₂) < 0

la 𝜏 puede ser escrita como:

𝜏 𝑋1, 𝑋1 = 4 𝐶 𝑢, 𝑣 𝑑𝐶 𝑢, 𝑣 − 1 1

0

» 𝝆_𝒔 de Spearman – es la correlación lineal de variables aleatorias con distribución Uniforme

𝑢 = 𝐹 𝑋₁ , 𝑣 = 𝐹(𝑋₂), esto es:

Metodologías de agregación

Agregación Lineal de Riesgos

 El modelo lineal de agregación toma valores individuales de medidas de riesgo (VaR o ES) como entradas, agregando los riesgos mediante la fórmula estándar de covarianza: 𝑉𝑎𝑅 𝛼 = 𝑉𝑎𝑅_𝑖2 _{𝛼 + 2 𝜌} 𝑖𝑗𝑉𝑎𝑅𝑖(𝛼)𝑉𝑎𝑅𝑗(𝛼) 𝑛 𝑗=1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑖=1

 Donde 𝜌_𝑖𝑗 es la correlación entre el riesgo 𝑖 y el riesgo 𝑗; 𝛼 es el intervalo de confianza del VaR agregado.

» Cuando hay Cero Correlación tenemos: 𝑉𝑎𝑅 𝛼 = 𝑛_𝑖=1𝑉𝑎𝑅_𝑖2 𝛼

» Cuando hay Máxima Correlación (𝜌𝑖𝑗 = 1 ∀ 𝑖, 𝑗)𝑉𝑎𝑅 𝛼 = 𝑛𝑖=1𝑉𝑎𝑅𝑖 𝛼

 De manera más general, la agregación de riesgos lineal se puede realizar para la medida de capital económico , de tal manera que para los 𝐸𝐶₁, 𝐸𝐶₂, … , 𝐸𝐶_𝑛 tenemos:

𝐸𝐶 𝛼 = 𝐸𝐶1…(𝛼) 𝐸𝐶_𝑛(𝛼) ′ 1 ⋯ 𝜌_𝑛1 ⋮ ⋱ ⋮ 𝜌_1𝑛 … 𝜌_𝑛𝑛 𝐸𝐶1(𝛼) … 𝐸𝐶_𝑛(𝛼)

Metodologías de agregación

Agregación de Riesgos basada en Cópulas – Definición

 La teoría de Cópulas es la formalización de la separación de la estructura de correlación de una distribución multivariada de las distribuciones marginales que componen dicha distribución.

 Una cópula es una función de densidad acumulada conjunta de 𝑑 elementos independientes con funciones de distribución 𝑈𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒[0,1]. Matemáticamente esto es:

𝐶(𝑈₁, 𝑈₂, … , 𝑈_𝑑)~𝑈𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒[0,1]

 Si 𝐻 es una función de distribución conjunta con funciones marginales de distribución 𝐹₁, 𝐹₂, … , 𝐹_𝑑, entonces existe una Cópula 𝐶 tal que:

𝐻 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑑 = 𝐶(𝐹₁ 𝑥₁ , … , 𝐹_𝑑 𝑥_𝑑 )

 Una vez que se han determinado las distribuciones marginales, es posible escoger cualquier cópula 𝑪 deseada.

 Diferentes cópulas inducen diferentes estructuras de dependencia, pero la distribución multivariada resultante tiene las mismas marginales.

Metodologías de agregación

Agregación de Riesgos basada en Cópulas

» La cópula Gausiana es la cópula de la distribución normal multivariada. El vector aleatorio

𝑋 = (𝑋₁, … ,𝑋𝑑) es normal mutivariado si y sólo si las marginales univariadas 𝐹𝑖, 𝑖 = 1, . . , 𝑑 son

Gausianas y la estructura de dependencia está descrita por una Función Cópual única, tal que

𝐶_𝑁 𝑢1, … ,𝑢𝑑 = Φ 𝜙−1 𝑢1 , … , 𝜙−1 𝑢𝑛

» Dónde 𝜙 es la función de distribución multivariada estándar con matriz de correlación lineal Σ y 𝜙−1es la distribución gausiana univariada inversa.

 Cópula t

» La cópula de una distribución t multivariada es la cópula t de Student. Sea 𝑋 un vector con una distribución t Student 𝑛 − 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑑𝑎 con 𝑚 grados de libertad, un vector de medias

𝜇 (𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚 > 1) y matriz de covarianzas 𝑚

𝑚−2 ∗ Σ 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚 > 2 . Puede ser representada

como:

𝑋 ≅ 𝜇 + 𝑚 𝑆 𝑍

» Dónde 𝜇 ∈ 𝑅𝑛, 𝑆~𝑋2 𝑚 y el vector aleatorio 𝑍~𝑁 0, Σ es independiente de 𝑆 . Analíticamente se puede representar como:

Metodologías de agregación

Agregación de Riesgos basada en Cópulas

 Existen varios tipos de cópulas que se pueden clasificar en:

Metodologías de agregación

Agregación de Riesgos basada en Cópulas

Metodologías de agregación

Agregación de Riesgos basada en Cópulas

Metodologías de agregación

Agregación de Riesgos basada en Cópulas

Metodologías de agregación

Agregación de Riesgos basada en Cópulas

 A continuación se presentan algunos resultados de la aplicación de modelos de cópula para la agregación de riesgos.

» Las distribuciones de pérdidas y ganancias fueron simuladas a partir de una función de densidad normal estándar y la matriz de correlación es:

» Obteniendo los siguientes resultados:

» Las pérdidas potenciales no excederán más del 10.82% para el caso más extremo (Normal Mixto (.9,0.1,1,400).

Modelo de Cópula VaR Agregado (99%) ES Agregado (99%)

Normal 7.74 8.7

T(10) 7.93 9.28

T(5) 8.16 9.67

NMIX(0.9,0.1,1,10) 8.06 9.94

NMIX(0.9,0.1,1,400) 8.91 10.82

R.Mercado R.Crédito R.Operacional R.Financiero Otros Riesgos

R.Mercado 1 0 0.25 0.25 0.75

R.Crédito 1 0.25 0.25 0.5

R.Operacional 1 0.25 0.25

R.Financiero 1 0.25

Capital Económico

 Una vez calculado la agregación de riesgos, el siguiente paso es realizar la asignación de riesgos a los diferentes sub-riesgos.

 Para poder definir la descomposición de riesgos, es posible hacerlo como esperanzas condicionales. Esto significa que podemos estimar la contribución de VaR para la agregación de riesgos por cópula como:

𝑑𝑉𝑎𝑟(𝛼)

𝑑𝑤_𝑖 = 𝐸 𝐿𝑖|𝐿0𝑉𝑎𝑟(𝛼)

 Dónde este es la contribución de riesgo para el subriesgo i, 𝐿 es la pérdida agregada y 𝐿_𝑖 es la pérdida del riesgo i

 La medida de riesgo Expected Shortfall (ES) es definidia como el promedio posteriór al VaR. Esto es:

𝐸𝑆 𝛼 = 1

1 − 𝛼 𝑉𝑎𝑅 𝑢 𝑑𝑢

1 1−𝛼

 La contribución de riesgo por ES puede ser calculado como esperanza condicional de las expectativas de pérdidas mayores al VaR

Distribución del tiempo que los empleados utilizan para el desarrollo de sus actividades diarias.

Fuente: Managing Risk for High Performance in Extraordinary Times . Report on the Accenture 2009 Global Risk Management Study.

21.51% 15.28% 21.97% 18.81% 19.55% 0.00% 5.00% 10.00% 15.00% 20.00% 25.00% Limpieza, Administración y Reconciliación de Datos. Personalización y mantenimiento de las herramientas relacionadas con Riesgo. Reportes de riesgo para uso interno.

Cumplimiento y divulgación obligatoria de los

Riesgos.

Asesoría para las unidades de negocio.

Daros Externos Datos Internos

Data Mart

Motor de Riesgo Operativo

Motor de Riesgo Actuarial

Motor de Riesgo de Crédito

Motor de Riesgo de Mercado

Data Warehouse de Riesgo Estandarización Pólizas Suscripción Reclamaciones Reaseguro Inversiones Comisiones Productos Activos/Pasivos Libro Mayor

Fuentes de Datos Operativos

External Data Internal Data

Data Mart

Data Warehouse de Riesgo Estandarización SAS Data Integration Almacenamiento del Modelo de Datos Plataforma SAS De inteligencia de Seguros SAS Análisis de Riesgos SAS Reportes y Tableros de Control Pólizas Suscripción Reclamaciones Reaseguro Inversiones Comisiones Productos Activos/Pasivos Libro Mayor

Fuentes de Datos Operativos

Motor de Riesgo Operativo

Motor de Riesgo Actuarial

Motor de Riesgo de Crédito

Motor de Riesgo de Mercado

SAS Risk Solution

Integración de Datos Analíticos Seguridad de Datos

Reporteo

Administración de Datos – Modelos y Flujos de Datos – DDS y Repositorios = DI Studio + DDS Riesgo – Motores e Interfaces = Risk Dimensions

Tableros y Portal de Reportes = Web Report Studio, Information Delivery Portal, etc

Riesgo de

Mercado

Riesgo de IR, EQ, FX

Stress Testing Riesgo de Liquidez VaR de Mercado

Riesgo de

Credito

Riesgo, Capital Regulatorio Stress Testing Capital Económico

Riesgo

Operacional

ALM

Riesgo

Empresarial

Conclusiones

 La agregación de riesgos y estimación del riesgo empresarial es un punto clave en la aproximación al capital económico de los bancos.

 El capital resultante forma las bases el valor del banco con base en la gestión del balance general.

 Para el modelo lineal de agregación, la correlación entre riesgos y los niveles individuales de riesgo son necesarios para la agregación de riesgos

 El modelo de cópula para la agregación, es una aproximación más general a la agregación de riesgos

» Usa información sobre el beneficio total y la densidad de las pérdidas de los riesgos subyacentes.

» Típicamente requiere parámetros adicionales para capturar completamente las dependencias de correlación entre riesgos.

Agregación de Riesgos y

Capital Económico

Fernando García

Fernando.garcí[email protected]

SAS Institute