CAPITULO 2 VALORES, VECTORES PROPIOS y SVD. Ing. Diego A. Patiño M.Sc., Ph.D.

CAPITULO 2

VALORES, VECTORES PROPIOS y

SVD

Valores y Vectores Propios

Muchas de las transformaciones que se necesitan en el diseño de sistemas de control se realizan sobre vectores dentro del mismo espacio:

X

X

A

:

→

Estos operadores conducen a vectores y escalares especiales llamados vectores y valores propios.

Subespacios Invariantes – Vectores y Valores

En cualquier espacio y para cualquier operador A existen ciertos subespacios en los cuales, si se toma un vector y A opera sobre él, el resultado permanece en el subespacio.

Valores y Vectores Propios

„

Subespacio Invariante – A:

sea

X

₁

un subespacio de un

espacio vectorial

X

. Este espacio se denomina

A

–

Invariante

si para cada vector

x

∈

X

₁

,

Ax

∈

X

₁

.

Normalmente se sobrentiende el operador

A

y se dice

que

X

₁

es invariante.

„

El operador

A

es simplemente una regla que asigna un

nuevo vector

Ax

al vector

x

. En general

A

toma

acciones arbitrarias sobre

x

: escalar, rotar, mover, etc.,

a través del espacio.

Valores y Vectores Propios

Caso especial: A simplemente escaliza al vector x:

Si el factor de escala se denomina λ, entonces

x

Ax

=

λ

Esta relación solo es válida en casos especiales:

Valores y Vectores Propios

Los vectores propios definen un subespacio A – invariante unidimensional: el espacio cubierto por cualquier colección de vectores propios diferentes es un subespacio A – invariante.

En la relación Ax =

λ

x los vectores x no nulos se denominan

Vectores Propios y los valores de

λ

correspondientes, que pueden ser cero, son los Valores Propios.

(

) (

)

Ax

x

0

A

I

x

λ

I

A

x

0

x

Ax

=

λ

→

−

λ

=

→

−

λ

=

−

=

Dado que

el vector propio x se puede interpretar como un elemento del espacio nulo de (

λ

I -A), correspondiente al valor propio

λ

.

Valores y Vectores Propios

Para encontrar los valores y vectores propios de un operador A, es necesario forzar a (

λ

I- A) para que tenga un espacio nulo no trivial.

Para ello se necesita determinar la representación matricial para A y ajustar |

λ

I- A | = 0. El resultado para una matriz de dimensiones n×n

será un polinomio característico de orden n en la variable

λ

.

Este polinomio tendra n raices y por lo tanto cada matriz n×n, o cada operador de dismensión n tendrá exactamente n valores propios (aunque no necesariamente n vectores propios).

Para un sistema SISO la función de transferencia tiene un denominador dado por |sI – A|. Todas las raíces de | sI – A| son valores propios, pero no todos los valores propios son polos.

Valores y Vectores Propios

„

Bases de Vectores Propios – Formas Canónicas:

Cuando se emplea como base para la representación

de un operador el conjunto

n

vectores propios se

obtienen representaciones sencillas, llamadas

Formas

Canónicas

.

„

Para formar una base de vectores propios, se debe

tener un conjunto de

n

vectores propios LI.

„

Primero se demostrará que los vectores propios de un

operador A correspondientes a

λ

’s diferentes son LI

„

Para

λ

’s repetidos no siempre se pueden encontrar

vectores propios LI y es necesario definir los vectores

propios generalizados

.

Valores y Vectores Propios

„ Teorema: Los vectores propios de un operador A correspondientes a valores propios diferentes son LI.

Sea A un operador con valores propios diferentes

Sea el conjunto de vectores propios.

Se asume que solamente los k primeros vectores son

LI, por lo tanto los (n – k) vectores restantes son una

combinación lineal de los k primeros.

j

i

j i

≠

λ

∀

≠

λ

{

x₁ x₂ ... x_n

}

0

algunos

1

≠

≤

<

=

∑

= ij k i i ij j

a

x

con

k

j

n

y

a

x

Valores y Vectores Propios

„

Como los

x

son vectores propios:

„

También se puede escribir como:

n

j

k

a

k i i j ij j j j

=

=

∑

<

≤

=1

x

x

Ax

λ

λ

∑

∑

∑

= = =

=

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

k i i i ij k i i ij k i i ij j

a

a

a

1 1 1

x

Ax

x

A

Ax

λ

Valores y Vectores Propios

„

Comparando las dos expresiones:

„

Para que la igualdad sea cierta y como los a

_ij

no son

todos nulos entonces

λ

_i

=

λ

j lo cual contradice la

suposición inicial:

„

→

Todos los x

_i

,i = 1…n, son Linealmente

independientes. (QED)

(

)

0

1 1 1

=

−

=

=

∑

∑

∑

= = = i j i k i ij i i k i ij i j k i ij

x

a

x

a

x

a

λ

λ

λ

λ

Valores y Vectores Propios

Para hacer el cambio de base solamente es necesario encontrar la matriz que relaciona a la base inicial con la nueva base compuesta por los vectores propios.

Por facilidad se expresará la nueva base en términos de la original y por lo tanto se empleara la matriz recíproca M

Sea e = {e₁ e₂ … e_n} la base normal original, sea x = {x₁ x₂ … x_n} la nueva base formada por los vectores propios

[

]

_⎥

⎥

⎥

⎤

⎢

⎢

⎢

⎡

=

i i i

x

x

M

L

2 1 Nueva n 2 1

e

e

e

x

Valores y Vectores Propios

Generalizando,

[

]

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

nn n n n n

x

x

x

x

x

x

x

x

x

L

M

O

M

M

L

L

L

4

4 3

4

4 2

1

L

2 1 2 22 21 1 12 11 Nueva n 2 1 n 2 1

x

x

e

e

e

x

con x_ji el j-esimo componente del vector x_i. La base recíproca M: 2 2 22 21 1 12 11 1

|

|

|

|

|

|

|

|

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

=

− n n n

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

B

M

₁ Modal Matriz

L

L

M

O

M

M

L

L

Valores y Vectores Propios

La nueva matriz A se encuentra por medio de una transformación similar

Considerando que la i-esima columna de un operador matricial representa el efecto del operador actuando sobre el i-esimo vector de la base; cuando un operador actúa sobre un vector propio (Ax) el resultado es una versión escalizada del vector propio (

λ

x).

Entonces cuando la base es el conjunto de vectores propios x_i , el operador actuando sobre esta base dará vectores con compenentes únicamente en la dirección de los vectores propios: la i-esima columna de  tendra componentes no nulos solo en la posición i-esima, de esta manera  es una matriz diagonal, esto es:

AM

M

A

X

X

M

X

M

X

=

ˆ

⇒

−1

=

ˆ

⇒

ˆ

=

−1

Valores y Vectores Propios

pero M n i Propios Vectores 2 1

|

|

|

|

|

|

|

|

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

Ax

Ax

Ax

Ax

AM

_L

_L

[

]

[

]

[

]

T T T

λ

λ

λ

λ

λ

λ

L

M

L

L

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2 2 2 2 1 1 1 1

M

x

Ax

M

x

Ax

M

x

Ax

=

=

=

=

=

=

[

M

]

n i Propios Vectores 2 1 x x x x A AM = _{L L}

Valores y Vectores Propios

Entonces ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = n n λ λ λ λ λ λ L M O M M L L L M L M M 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ₂ 1 2 1 M M M M AM A AM M 1 _ˆ 0 0 0 0 0 0 0 2 1 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ = − λ λ M O M M L L L

Forma canónica

„

La ecuación de estado transformada es:

D D CM C B M B AM M A U D X C Y U; B X A X DU X CM Y U B M X AM M X BU X AM X M X M X DU CX Y BU; AX X 1 1 = = = = + = + = + = + = + = = + = + = − − − − ˆ ˆ ˆ ; ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ : ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ˆ ˆ ˆ 1 1 & & & & comparando

Valores y Vectores Propios

„ Ventajas de la forma canónica:

„ Pero:

„ A es no singular si y solo si no tiene valores propios nulos.

( )

(

)

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

(

M

M

)

( )

A

( )

A

A

M

M

M

A

M

AM

M

A

det

det

det

det

det

det

det

det

det

det

ˆ

det

1 1 1 1

=

=

=

=

=

− − − − n n

A

A

λ

λ

λ

λ

λ

λ

...

det

...

ˆ

det

2 1 2 1

=

=

=

Valores y Vectores Propios

Ejemplo: Sea ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 1 2 2 2 3 0 2 0 3 A

(

)

( 5)( 3)( 1) 0 1 2 2 2 3 0 2 0 3 det det = − − + = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − = − λ λ λ λ λ λ λI A

Los valores propios:

5 3

1 _{2 3}

1 = − λ = λ =

Valores y Vectores Propios

Vectores propios: • Para

λ

₁ = -1

[

]

0 0 0 0 2 4 0 2 0 4 2 2 2 2 4 0 2 0 4 0 31 21 11 31 21 11 1 1 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − → = − x x x x x x x A I λ

Escogiendo x₃₁ = 1 se tiene x₁₁ = - ½ y x₂₁ = ½, entonces

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡−

=

1

5

.

0

5

.

0

1

x

Valores y Vectores Propios

• Para

λ

₂ = 3

[

]

0 2 2 2 2 0 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 2 0 0 0 23 22 21 23 22 21 2 2 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − → = − x x x x x x x A I

λ

x₂₃ = 0, x₂₁ = 1 y x₂₂ = 1, entonces

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

0

1

1

2

x

Valores y Vectores Propios

• Para

λ

₃ = 5

[

]

0 0 0 0 2 2 0 2 0 2 2 2 0 2 2 0 2 0 2 4 2 2 2 2 0 2 0 2 0 33 32 31 33 32 31 33 32 31 2 3 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − → = − x x x x x x x x x x A I λ Escogiendo x₃₃ = 1 : x₃₁ = 1 y x₃₂ = -1 y:

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

=

1

1

1

3

x

Valores y Vectores Propios

Entonces

[

]

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = → ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = = − 3 1 3 1 3 1 0 2 1 2 1 3 2 3 1 3 1 1 0 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 3 2 1 x x M x M Por lo tanto ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡− = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 5 0 0 0 3 0 0 0 1 1 0 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2 2 3 0 2 0 3 3 1 3 1 3 1 0 2 1 2 1 3 2 3 1 3 1 ˆ A

Valores y Vectores Propios

„ Los vectores propios de un operador A correspondientes a valores

propios repetidos no necesariamente son LI.

„ Si un valor propio está repetido, el mismo

λ

es una raíz múltiple de

|

λ

I -A| = 0 y se pueden presentar varias situaciones. Si el valor propio

λ

_j se repite m_j veces, entonces:

1. Si al calcular el espacio nulo de (

λ

_jI- A) se obtiene η[(

λ

_jI -A )] = n - ρ[(

λ

_jI -A)] = m_j

la dimensión del espacio nulo N[(

λ

_jI- A)] es m_j y es posible encontrar m_j vectores propios LI asociados al mismo valor propio

λ

_j

Valores y Vectores Propios

2° Si al calcular el espacio nulo de (A –

λ

_jI) se obtine η[(

λ

_jI -A ] = n - ρ[(

λ

_jI -A)] < m_j

no es posible encontrar m_j vectores propios LI porque el espacio nulo

N[(A –

λ

_jI)] no es lo suficientemente grande.

Aunque una matriz de n×n tenga n valores propios no siempre es posible encontrar un conjunto completo de vectores propios.

El caso 1° define un subespacio A – invariante asociado a un valor propio

λ

_j, dicho subespacio se denomina Espacio Propio de

λ

_j y su base está definida por el conjunto de todos los vectores propios correspondientes al valor propio

λ

_j.

Valores y Vectores Propios

Ejemplo: Diagonalizar A, si es posible

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 2 0 0 0 1 0 1 0 1 A

(

) (

1

) (

2

)

0 1 y 2 det λI − A = λ − 2 λ − = → λ₁ = λ₂ = λ₃ = Valores propios: Para

λ

₁ =

λ

₂ = 1

[

]

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 11 11 = ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ → = − x x x x x A I

λ

Valores y Vectores Propios

La dimensión del espacio nulo es 2, entonces se pueden encontrar 2 vectores propios LI.

[

]

[

]

T T x x 0 1 0 0 0 1 2 1 = = Para

λ

₃ = 2

[

]

0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 33 32 31 3 3 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ → = − x x x x A I

λ

Variable pivote x₁₃ y dos variables libres. Si x₁₃ = 0 entonces los vectores propios LI serían:

La variable libre es x₃₃ : si x₃₃ = -1 entonces x₃₂ = 0, x₃₁ = 1

[

₋

]

T

Valores y Vectores Propios

La matriz modal:

[

]

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = → ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = = − 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 3 2 1 x x M x M Por lo tanto ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 2 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 2 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 ˆ A

Vectores Propios Generalizados

Vectores Propios Generalizados:

n

i

i

<

∑

η

Cuando se presenta el caso 2º, no se pueden encontrar todos los vectores propios asociados al valor propio

λ

_j de multiplicidad m_j, por lo tanto la suma de los espacios nulos asociados a todos los vectores propios es menor que n (dimensión del operador A),

No es posible construir la matriz M y no se puede diagonalizar A.

Para resolver este problema se definen los Vectores Propios Generalizados.

Vectores Propios Generalizados

„

Si para este valor propio

η

_i

< m

_i

, es necesario

obtener

η

_i

- m

_i

vectores propios adicionales

linealmente independientes.

„

Índice de un valor propio repetido es el menor

entero k tal que:

„

Donde n es la dimensión del espacio, m

_i

es la

multiplicidad de

λ

i k i

=

n

−

m

−

)

(

A

λ

I

ρ

Vectores Propios Generalizados

„

Para el valor propio

λ

_i

con índice k

_i

encontrar todas las

soluciones linealmente independientes de:

„

si

k = 1

, entonces

(

)

(

A

I

)

v

0

0

v

I

A

≠

−

=

−

−1

y

i i k i k i

λ

λ

Vectores Propios Generalizados

„

Cada solución LI da origen a una cadena de vectores

propios generalizados.

„

No existen mas de m

_i

soluciones: esta es la nulidad del

espacio

„

Estas soluciones se pueden representar por:

„

Pueden existir menos soluciones porque algunos

vectores no cumplen la segunda condición

1 m 1 2 1 1 i v .... v v i k i

)

(

A

−

λ

I

Vectores Propios Generalizados

„

Si

V

_j

es un vector propio generalizado para j = 1,..,m

_i

evaluar:

„

Hasta llegar a:

„

Que es un vector propio regular

(

)

(

)

(

)

3 4 3 2 2 1 j j j j j j i

V

V

λ

I

A

V

V

λ

I

A

V

V

I

λ

A

=

−

=

−

=

−

(

)

ki

0

i j

−

=

A

λ

I V

Vectores Propios Generalizados

El conjunto {V₁ V₂ ··· V_ki} es una cadena de vectores propios generalizados de longitud k_i y son linealmente independientes.

(

)

(

)

i i j j j j j j j j j j k j i k j i i

λ

λ

o

λ

o

V

AV

V

V

AV

V

V

I

A

V

V

AV

V

V

I

A

=

+

=

=

−

+

=

=

−

M

2 3 2 3 2 1 2 1 2 1

λ

λ

Una vez obtenidos todos los vectores propios generalizados

Vectores Propios Generalizados

„

Si las cadenas de longitud k

_i

no producen todos los

vectores propios generalizados se sigue con la

secuencia:

„

Esto genera una secuencia de longitud k

_i

- 1

„

Una vez obtenidos todos los vectores propios

generalizados asociados con los diferentes valores

propios, se construye la matriz

M

.

(

)

(

A

I

)

v

0

0

v

I

A

≠

−

=

−

− − 2 1

y

i i k i k i

λ

λ

Forma canónica de Jordan

Sean los siguientes valores propios con su respectiva

multiplicidad

1

dad

multiplici

de

1

dad

multiplici

de

2

dad

multiplici

de

2

dad

multiplici

de

4

dad

multiplici

de

5 4 3 2 1

λ

λ

λ

λ

λ

Entonces

⎥

⎤

⎢

⎡

=

Forma canónica de Jordan

Como (A -

λ

₁I)k_U 4 = 0 → (A -

λ

1I)k[(A -

λ

1I)k-1U4] = 0 (U4 = U)

(

)

(

)

(

)

(

₁1

)

3₄ 2₃ 1 2 1 1 1

0

U

U

I

A

U

U

I

A

U

U

I

A

U

I

A

=

−

=

−

=

−

=

−

λ

λ

λ

λ

Ahora, Entonces

[

]

[

]

[

]

[

]

T T T T

M

U

U

AU

M

U

U

AU

M

U

U

AU

M

U

AU

U

AU

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

1 3 1 2 3 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1

L

L

L

L

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

=

+

=

=

+

=

=

+

=

=

=

→

=

−

Forma canónica de Jordan

[

]

[

]

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

=

=

5 2 2 1 1 1 1

....

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

....

0

0

0

0

0

0

....

0

0

1

0

0

0

....

0

0

0

1

0

0

....

0

0

0

0

1

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

M

AX

...

AV

AV

AU

AU

AU

AU

X

...

V

V

U

U

U

U

A

M

2 2 1 4 3 2 1 2 2 1 4 3 2 1

A

Forma canónica de Jordan

La nueva representación  =M-1_AM ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 5 4 3 3 2 2 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ˆ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ A

Valores y Vectores Propios

La representación de  es de la forma

{

_{1 2}

}

diag

ˆ

_J

_J

A

=

Bloque de Jordan k

Una matriz A de 5 × 5 con valores propios λ₁ (m₁ = 4) y λ₂ (m₂ = 1) puede tener la siguiente forma canonica de Jordan:

⎥

⎥

⎥

⎥

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎡

=

₁ 1 1 1

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

1

ˆ

λ

λ

λ

λ

A

Bloque de Jordan l Si

η

(A -

λ

₁I) = 1,

Valores y Vectores Propios

Si

η

(A -

λ

₁I) = 2, ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 2 1 1 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ˆ

λ

λ

λ

λ

λ

A ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 2 1 1 1 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ˆ

λ

λ

λ

λ

λ

A Si

η

(A -

λ

₁I) = 3, Si

η

(A -

λ

₁I) = 4 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ = 1 1 1 1 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ˆ

λ

λ

λ

λ

A ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ = 1 1 1 1 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ˆ

λ

λ

λ

λ

A

Valores y Vectores Propios

Ejemplo: Considerar la matriz

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

2

0

0

3

1

0

2

1

1

A

Los valores propios son

λ

₁ = 1,

λ

₂ = 1 y

λ

₃ = 2. Un vector propio asociado a

λ

₃ es

[

]

T

v

₃

=

5

3

1

Valores y Vectores Propios

(

)

(

)

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

−

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

−

1

0

0

3

0

0

5

0

0

y

1

0

0

3

0

0

2

1

0

2 1 1

I

A

I

A

λ

λ

El rango de (A -

λ

₁I)2 _{es 1 (n – m). Un vector V tal que (A -}

λ

1I)2V = 0

y (A -

λ

₁I)V

≠

0. Se puede escoger

[

]

T

Valores y Vectores Propios

Entonces

(

)

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

−

=

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

=

0

0

1

0

1

0

1 1 2

V

V

A

I

V

V

λ

Y la matriz  sería

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

2

0

0

0

1

0

0

1

1

ˆ

A

Matriz Nilpotente

„

Matriz Nilpotente: dada una forma de Jordan:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 4 3 2 ≥ = − ⇒ = − ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − ⇒ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − ⇒ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = k para y J I 0 J I k 0 I J I J I J J λ λ λ λ λ λ λ λ λ

SVD

Los valores y vectores propios tiene una aplicación importante en el análisis de estabilidad y control de sistemas de ecuaciones diferenciales. Conociendo los

λ

’s y v’s se conocen muchas de las propiedades numéricas de los operadores lineales.

Los valores y vectores propios solamente están definidos para matrices cuadradas, o transformaciones de ℜn → ℜn_.

Una definición mas general es la de los Valores Singulares y el procedimiento de Descomposición en Valores Singulares (SVD).

SVD: sea A una matriz compleja de m × n. Existen dos matrices unitarias U y V tales que

SVD

donde

[

S

]

m

n

n

m

S

<

=

Σ

>

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

Σ

para

0

para

0

0

0

S

es una matriz diagonal:

Los

r

valores reales σ

₁

,

σ

₂

,

…

,

σ

_r

están arreglados de

tal forma que σ

₁

≥

σ

₂

≥

…

≥

σ

_r

> 0

y los demás σ

_r+1

=

σ

_r+1

=

…

σ

_k

= 0

}

,

min{

};

,..

,

,....

,

{

_{1 2 1}

con

k

m

n

diag

S

=

σ

σ

σ

_r

σ

_r+

σ

_k

=

SVD

„

Los

σ

_i

se denominan

Valores Singulares

de la

matriz

A

. El valor

r

corresponde al rango de la

matriz

A

. El número de valores singulares nulos

es igual a la

“degeneración”

de la matriz

A

.

„

Los

σ

_i

corresponde a las raíces cuadradas

positivas de los valores propios de:

)

(

)

(

)

(

_i T _i T i

A

λ

A

A

λ

A

A

σ

=

=

SVD

„

Una matriz U compleja es unitaria si:

„

Todos sus valores singulares son uno.

„

Las matrices

U (mxm)

y

V

(nxn) forman bases

ortogonales para el espacio de salida y el de

entrada de A.

T

U

U

−1

=

SVD

„

Las columnas de la matriz

U (mxm)

se

denominan “vectores singulares izquierdos” o de

salida : son los vectores propios de la matriz

AA

T

_{y son ortonormales.}

„

Las columnas de la matriz

V

(nxn) se

denominan “vectores singulares derechos” o de

entrada: son los vectores propios de la matriz

A

T

_A

_{y son ortonormales.}

„

SVD se calcula por computador:

APLICACIONES SVD

„

El rango de una matriz es igual al número de valores

singulares no nulos.

„

“Condition Number”: que tan cerca está una matriz a ser

deficiente en rango. (Singular para una matriz

cuadrada):

„

“Condition Number” grande: matriz “ ill-conditioned”

„

“Condition Number” pequeño: matriz “ well- conditioned”

r

Number

Condition

σ

σ

₁

=

APLICACIONES SVD

„

Cálculo de la matriz inversa: si A es una matriz cuadrada

(nxn) entonces U y V también son cuadradas:

„

Como U y V son ortonormales:

(

) ( )

1 1 1 1 1 − − − − −

₌

₌

_Σ

=

U

V

V

V

T T T

U

Σ

A

U

Σ

A

T

diag

U

V

A

_⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

−

σ

σ

σ

1

....

1

,

1

1

APLICACIONES SVD

„

Solución de ecuaciones simultáneas:

„

La solución es:

„

La matriz:

m n m n

_y

_A

x

y

Ax

=

∈

ℜ

,

∈

ℜ

;

:

ℜ

→

ℜ

[

]

Y

U

V

X

Y

V

U

X

T T + − −

Σ

=

Σ

=

=

1

Y

Α

X

1

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

Σ

+ −

0

0

0

1

S

SVD - Normas matriciales

inducidas

„

Se definen las normas inducidas 1, 2 e

∞

como:

„

La norma inducida 2 es igual al valor singular

mas grande y se denomina “Norma espectral”

{

{

( )

_{max

( )

"norma espectral" ) ( fila" suma maxima " max columna" suma maxima " max 2 1 A A A A r A A a A a A T i i T i j ij i i i ij j i λ σ = = = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

∑

∑

∞

SVD – Ganancia

„

Para un sistema MIMO la respuesta en frecuencia se

evalúa como una extensión del caso SISO: una entrada

seno aplicada a la entrada

j

produce una señal seno y

_i

„

El número complejo define la amplificación

(ganancia) y el corrimiento de fase.

( )

_j

(

_j

)

_i

( )

_j

(

_j

)

j

t

u

wt

y

t

y

wt

u

=

₀

sin

+

α

→

=

₀

sin

+

β

( )

jw

g

_ij

( )

jw

g

( )

jw

g

u

y

ij j i ij j j

₌

_β

₋

_α

₌

_∠

;

0 0

SVD – Ganancia

„

Empleando superposición se puede obtener las

respuesta total

y

_i

debida a las

p

señales seno de

entrada:

„

Para un sistema MIMO completo, en forma matricial

( )

w g

( ) ( )

jw u w g

( ) ( )

jw u w g

( ) ( )

jw u w y_i = _{i1 1} + _{i2 2} +_L+ _{ip p}

( )

_∑

( ) ( )

= = p j j ij i w g jw u w y 1

( )

w

G

( ) ( )

jw

u

w

y

=

SVD – Ganancia

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

4

3

42

1

M

4

3

42

1

M

Entradas p 2 1 Salidas q 2 1

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

w

u

w

u

w

u

jw

G

w

y

w

y

w

y

p q

Para un sistema SISO y = Gu y la ganancia para una frecuencia dada es:

( )

( )

( ) ( )

u

( )

w

G

( )

jw

w

u

jw

G

w

u

w

y

=

=

La ganancia depende de w, y para sistemas lineales, no depende de la magnitud de la entrada.

SVD – Ganancia

Para un sistema MIMO, entradas y salidas son vectores: para definir una “ganancia” es necesario “sumar” las magnitudes de los elementos de cada vector empleando alguna norma.

( )

( )

₁2

(

)

₂2

(

)

2

(

)

1 2 2

u

w

u

w

u

w

u

w

w

u

_p p j j

=

+

+

+

=

∑

=

L

Si se toma la norma 2 (medida de la longitud), para una frecuencia w

dada la magnitud del vector de señales de entrada es:

y la magnitud del vector de salida es

SVD – Ganancia

La ganancia del sistema para un vector de entrada de frecuencia ω

es:

La ganancia depende de la frecuencia, pero es independiente de la magnitud de la entrada.

Para un sistema MIMO existen grados de libertad adicionales y la ganancia depende de la dirección de la entrada u.

( )

( )

₍

₎

₍

₎

₍

₎

)

(

)

(

)

(

2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2

w

u

w

u

w

u

w

y

w

y

w

y

w

u

w

y

p q

+

+

+

+

+

+

=

L

L

SVD – Ganancia

↓ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡− = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 2 . 0 2 . 0 8 . 0 6 . 0 2 3 4 5 1 y

Ejemplo: Considerar el sistema de dos entradas y dos salidas descrito por la matriz G, para una ω₀

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

2

3

4

5

G

La ganancia para cinco vectores de entrada con norma unitaria pero con distintas direcciones es:

SVD – Ganancia

• u₂ = [1 0]T

↓

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

3

5

0

1

2

3

4

5

2

y

83

.

5

34

34

9

25

;

1

0

1

2 2 2 2 2 1 2 2

=

+

=

=

+

=

→

=

=

u

y

y

u

• u₃ = [0 1]T

↓

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

2

4

1

0

2

3

4

5

3

y

47

.

4

20

20

4

16

;

1

1

0

3 2 2 3 2 3

=

+

=

=

+

=

→

=

=

u

y

y

u

• u₄ = [1/1.4142 1/1.4142]T

↓

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

2

5

2

9

2

1

2

1

2

3

4

5

4

y

3

.

7

7.3

2

106

2

25

2

81

;

1

2

1

2

1

2 4 2 4 2 4 2 4

=

+

=

=

+

=

=

→

=

u

y

y

u

• u₅ = [1/1.4142 -1/1.4142]T

SVD – Ganancia

↓

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

2

1

2

1

2

1

2

1

2

3

4

5

5

y

y

SVD – Ganancia

Graficando la relación entre las componentes del vector u = [u1 _u2_]

(medida de la dirección: + igual , - opuesta)) contra ||y||₂/||u||₂ se tiene

Los valores propios de la matriz son 7.27 y -0.27 Los σ son 7.34 y 0.27

Los valores propios de la matriz G(s) no son una buena indicación de la ganancia de un sistema MIMO, dada la matriz G(s):

SVD – Ganancia

Esta matriz tiene dos valores propios en λ = 0, sin embargo para la entrada u = [0 1]T _:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

0

0

100

0

1

G

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

0

100

1

0

0

0

100

0

y

y la ganancia sería

y

Los valores propios miden la ganancia para el caso especial en que las entradas y las salidas están en la misma dirección: las direcciones definidas por los vectores propios.

SVD – Ganancia

Sea v_i un vector propio de la matriz G y sea una entrada u_i = v_i, entonces y = Gv_i, pero por definición

i i

i

v

Gv

y

=

=

λ

||λ_i|| es una medida de la ganancia cuando la entrada está en la dirección dada por el vector propio correspondiente.

Entonces i i i i i i

v

v

v

Gv

u

y

λ

λ

=

=

=

SVD – Ganancia

„

La matriz G de ganancia de un sistema MIMO

de p entradas y q salidas se puede

descomponer:

„

Donde:

T

V

U

G

=

Σ

" ectors singular v Input :" : " ectors singular v Output :" : singulares valores } , min{ : pxp matriz V qxq matriz U p q qxpconk matriz = Σ

SVD – Ganancia

„

Los vectores columna de la matriz U, notados

μ

_i

representan las direcciones de salida de la planta.

„

Los vectores columna de la matriz V, notados

ν

_i

representan las direcciones de entrada de la planta.

„

Vectores y matrices son ortonormales:

i i i

G

U

GV

μ

σ

υ

=

Σ

=

SVD – Ganancia

„

Si se considera una entrada en la dirección

ν

_i

la salida

estará en la dirección

μ

_i

„

Como los vectores son unitarios, el i – esimo valor

singular

σ

_i

da directamente la ganancia de la matriz G

en esa dirección:

2 2 2

)

(

i i i i

G

G

G

υ

υ

υ

σ

=

=

SVD – Ganancia

„

El valor singular da mejor información

sobre la ganancia de la planta

„

Las direcciones obtenidas son ortogonales

„

SVD se aplica a plantas de dimensión

SVD – Ganancia

„

El máximo valor de la ganancia cuando la dirección de la

entrada cambia es el máximo valor singular de G:

„

El mínimo valor de la ganancia es el mínimo valor

singular de G:

{

(

)

(

)

max

_{max 1} 2 1 2 1 2 2 0

G

G

G

u

Gu

u

σ

σ

υ

υ

=

=

=

≠

{

(

)

(

)

min

Gu

2

=

G

υ

k 2

=

σ

G

=

σ

G

SVD – Ganancia

„

Para el sistema ya analizado:

„

SVD:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

2

3

4

5

G

T V U T

G

4

4

4 3

4

4

4 2

1

4

4 3

4

4 2

1

4

4

4 3

4

4

4 2

1

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

Σ

794

.

0

608

.

0

608

.

0

794

.

0

272

.

0

0

0

343

.

7

872

.

0

49

.

0

49

.

0

872

.

0

SVD – Ganancia

„

La mayor ganancia es de 7.343 en la dirección

de entrada:

„

La menor ganancia es de 0.272 en la dirección

de entrada:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

608

.

0

794

.

0

1

υ

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡−

=

794

.

0

608

.

0

2

υ

SVD – Ganancia

„

El “condition number” :

„

El sistema es “ill conditioned”: unas

combinaciones de entradas tienen mayor

efecto que otras y algunas son muy

débiles

27

272

.

0

343

.

7

number

=

=

Condition

REFERENCIAS

1.

BAY J.S. " Fundamentals of Linear State Space

Systems", New York: McGraw Hill International

Edition,. 1999. Chapter 4

2.

CHEN Chi- Tsong. Linear Systems Theory and

Design. 3rd Edition. New York: Oxford University

Press. 1999. Chapter 3.

REFERENCIAS

3.

KLEMA V. and LAUB A.

The singular value

decomposition: its computation and some applications

.

– IEEE Transactions on Automatic Control. Vol.

AC-25 # 2. April 1980. pp 63-79

4.

SKOGESTAD Sigurd

& POSTLETHWAITE Ian.

Multivariable Feedback Control

. Chichester: John