Títol: La introducció de l’àlgebra de Viète a Espanya
Autor: Anna Eroles Crivillé
Director: Maria Rosa Massa Esteve
Codirector: Mònica Blanco Abellán
Departament: Matemàtiques
Convocatòria: 2019-09
Tot el meu agraïment a les dues fantàstiques tutores que han dedicat tota la seva implicació en aquest treball.
Tota la meva estima a la meva família, parella i amics per no deixar-me rendir. Gràcies en especial a “elles”: Marta, Patricia, Cristina, Aina, Naira i Ares. Gràcies a Laia i Ana. Per acabar vull agrair a les professores i mestres que em van animar a aventurar-me en
aquest llarg camí, a Margarita i a Pepita, per haver fet néixer en mi el somni de ser matemàtica.
Seguirem treballant per tal que els petits de la casa, Pau i Oriol, tant de bo el dia de demà ens sorprenguin amb nous somnis que facin créixer el coneixement de tots.
Índex de continguts
Capítol 1 – Introducció ... 5
Capítol 2 – Context històric... 7
2.1. Usos de l’àlgebra com Art Major durant el segle XVI a Espanya ... 7
2.2. El naixement de la matemàtica moderna i la seva algebraització ... 10
2.3. L’art analític de François Viète... 12
2.4. Construcció geomètrica de la solució d’una equació de segon grau ... 13
2.5. Llegat de François Viète ... 15
2.6. Pierre de Fermat i René Descartes ... 16
Capítol 3 – L’Obra de José Zaragoza ... 17
3.1. Biografia ... 17
3.2. Influència com a matemàtic ... 18
3.3. Publicacions ... 20
Capítol 4 – Anàlisi de l’obra Arithmetica Universal ... 23
4.1. Introducció ... 23
4.2. Propòsit de l’autor en la interpretació de l’obra ... 23
4.2.1. Prefaci ... 23
4.2.2 Llicència i Censura ... 25
4.3. Introducció de l’Arithmetica Universal ... 27
4.3.1. La importància de l’Aritmètica en el cos de les Matemàtiques... 27
4.3.2. Arte Menor, Arte Maior i Àlgebra... 28
4.3.3. La utilitat de l’Àlgebra ... 28
4.3.4. Objectiu de l’obra ... 29
4.4. Estructura de l’Arithmetica Universal ... 30
4.4.1. Libro I. De la Artimética Menor ... 31
4.4.2 Libro II. De las Raíces ... 31
4.4.3. Libro III. De la Álgebra... 33
4.4.4. Libro IV. De los Enigmas ... 34
4.5. Criteri didàctic de l’Arithmetica Universal ... 34
4.6. Notació de l’Arithmetica Universal. Ús de caràcters en l’Àlgebra ... 35
4.6.1. Simbologia inicial, Libro I. De la Aritmética Menor (Arte Menor) ... 37
4.6.2. Caràcters en el Libro II. De las Raíces (Arte Maior)... 40
4.6.3. Introducció a la notació del Libro III. De la Álgebra ... 45
Capítol 5 – L’Àlgebra i la seva aplicació ... 47
5.1. Què és Àlgebra? ... 47 5.2. Notació de l’Àlgebra ... 49 5.3. Resolució d’Equacions ... 53 5.3.1. Igualació ... 54 5.3.2. Reducció ... 57 5.3.3. Valor de la lletra ... 60
5.4. Exemple resolució de problemes aplicats a la geometria ... 63
5.4.2. Qüestió 81 de Geometria (Igualació composta) ... 66
Capítol 6 – Conclusions ... 69 Capítol 7 – Bibliografia ... 71
Capítol 1 – Introducció
Les matemàtiques han evolucionat al llarg dels segles gràcies a les contribucions que han realitzat les diferents civilitzacions i que han permès el desenvolupament d’aquesta ciència. S’han donat salts en la història convertint meres intuïcions o inclús aplicacions trivials i inconscients del passat, en lemes i teoremes crucials per desenvolupar la matemàtica com la coneixem avui en dia. Ha estat gràcies a la passió per aquesta ciència per part de diferents matemàtics i a la difusió i troballes de diferents obres el que ens ha permès reconstruir la història.
En aquest treball, però, posarem tota la nostra atenció únicament en una època, el segle XVII i una localització concreta, Espanya. Tot i així al llarg d’aquestes pàgines intentarem conduir al lector perquè es situï en el context històric adequat i tingui la perspectiva necessària dins aquest.
La motivació que hi ha darrera d’aquest treball és l’interès en conèixer com l’àlgebra vietiana va arribar i es va difondre a Espanya. Hem treballat en la recerca de l’aplicació o menció del mètode analític, en la resolució d’equacions i el llenguatge simbòlic emprat que hem observat en l’obra de José Zaragoza (1627 – 1679).
Per descomptat estudiarem les influències d’aquest autor i les vinculacions amb altres matemàtics precedents i posteriors a ell, centrant el nostre objectiu en el tractament de l’àlgebra a través de l’anàlisi i interpretació del contingut del llibre Arithmetica universal que comprehende el Arte Menor y Maior, Álgebra vulgar y especiosa publicada per Zaragoza el 1670.
Intentarem aprofundir en les paraules i el llegat que aquest autor deixa plasmat en el seu llibre i, sobretot, identificarem la influència de François Viète (1540 – 1603) i la seva obra In artem analyticem isagoge (1591) amb l’aparició d’una nova Àlgebra especiosa com un nou mètode d’anàlisi.
Per finalitzar, presentarem algun problema del recull que fa Zaragoza al final del seu llibre. D’aquesta manera podrem estudiar si es fa evident l’aplicació d’una nova àlgebra i mètode analític o si pel contrari, Zaragoza únicament deixa amagades les paraules i mètode de Viète en la seva definició de l’àlgebra. Aprofitarem per escollir un problema vinculat amb la geometria per poder comparar-lo amb alguns aspectes que treballava Viète.
A continuació expliquem de forma breu el contingut dels capítols que composen aquest treball a fi de facilitar al lector l’estructura i metodologia que realitzarem.
En el capítol 2 es presentaran de forma introductòria els precedents històrics que necessitem conèixer per seguir en l’estudi de l’Arithmetica Universal. Recorrerem els inicis del procediment de l’algebraització de les matemàtiques durant el segle XVI i XVII i la trajectòria i aportació de Viète. A més, també coneixem altres matemàtics que es van fer càrrec de l’Art Major, precedent de l’àlgebra nova de Viète a la Península Ibèrica, com Juan Pérez de Moya (1513 – 1596), i que tenen la seva menció en aquest treball.
Realitzarem una comparativa amb diferents personatges anteriors a Zaragoza que ja havien treballat amb l’àlgebra entesa com Art Major com Marco Aurel1 o Christoph Rudolff (1494 – 1543) per poder trobar similituds i diferències en les seves publicacions (Massa-Esteve, 2012; Romero, 2018).
El capítol 3 el dedicarem exclusivament a l’autor, José Zaragoza. Una breu biografia acompanyada de les seves aportacions com a matemàtic i presentació de la seva obra. A més, ens agradaria estudiar els trets més característics dels seus llibres i les vinculacions amb altres autors i obres per veure’n les influències que ha rebut.
El bloc que constitueixen el capítol 4 i 5 es converteix en el centre d’estudi d’aquest treball: l’Arithmetica universal que comprehende el Arte Menor y Maior, Álgebra vulgar y especiosa. Aquesta obra conté ja en el seu títol el que desitgem observar en l’anàlisi del seu contingut: la menció i aplicació de l’àlgebra analítica en la resolució d’equacions i altres problemes aplicats, la separació de l’“Arte Maior” de l’aritmètica o “Arte Menor” com una nova branca independent de les matemàtiques i l’ús d’una nova simbologia per expressar i facilitar la resolució de les equacions. És per això que l’anàlisi de l’obra la separem en dos capítols. Un que estudia l’estructura i l’agrupació de contingut en els 4 llibres que la formen, i l’altre centrat en el llibre tercer, exclusiu i dedicat a l’Àlgebra. A més l’últim i quart llibre de Zaragoza recull un volum de problemes dels quals en presentarem alguns exemples per comprovar com l’autor empra l’àlgebra que ha presentat al llarg del llibre tercer.
El capítol 6 recull les conclusions que hem pogut establir a través de l’anàlisi i presentació feta en els capítols anteriors. Deixem també la porta oberta a poder seguir estudiant l’algebraització que es va donar al segle XVII a Espanya que, tot i que sota algunes opinions ha estat escassa, no ha de perdre la menció merescuda a grans matemàtics que van ajudar en la didàctica i expansió de l’evolució de les matemàtiques, com ha estat el cas de l’obra de Zaragoza.
1 De la biografia de Marco Aurel no se’n sap pràcticament res, tot i que sí podem datar les seves publicacions al segle XVI: Libro Primero de Arithmetica Algebratica (1552).
Capítol 2 – Context històric
2.1. Usos de l’àlgebra com Art Major durant el segle XVI a Espanya2
Les matemàtiques de l’Europa renaixentista van venir marcades pel pas de l’aritmètica a l’àlgebra, on es comencen a presentar les equacions i operacions abreviades i s’intensifica l’ús del simbolisme alleugerint la redacció retòrica emprada anteriorment en els textos aritmètics-algebraics de l’època.
Al segle XVI els procediments algebraics es van desenvolupar per definir els seus propis elements i fer-se un lloc entre la geometria i l’aritmètica. L’àlgebra o “Art Major” se separava de l’aritmètica o “Art Menor”. A Espanya, aquesta introducció es va donar a través de textos comercials i mercantils que es poden dividir en dos grans grups en funció de les seves característiques:
§ Aritmètica especulativa o acadèmica: textos escrits en llatí que tracten l’estudi de números i proporcions sense cap referència a l’àlgebra.
§ Aritmètica pràctica: textos escrits en la llengua pròpia de l’entorn que tracten eines per resoldre problemes mercantils amb un característic estil directe i senzill.
El primer rastre d’àlgebra apareix en llibres del segon tipus, contrastant amb l’Art Menor dels primers. El primer tractat aritmètic imprès a Espanya que conté qüestions algebraiques va ser Libro Primero de Arithmetica Algebratica (1552) de Marco Aurel. De les fonts analitzades que van poder influir en aquesta publicació, cal destacar la connexió que existeix amb el text alemany Coss (1525) de Christoff Rudolff (1494 – 1543). Les fonts per a l’Art Major a l’Espanya del segle XVI cal analitzar-les dintre el context europeu. Moltes d’elles presentaran similituds en quant a notació i tractament de les equacions. Tot i així, els noms de les incògnites i els procediments canvien d’un text a un altre (Romero & Massa-Esteve, 2018).
Coss va ser un dels primers tractats d’àlgebra publicats a Alemanya. El títol complet de l’obra és Behend und hübsch Rechnung durch die kunstreichen regeln Algebre so gemeinicklich die Coss genent werden que traduït significa “Bell i àgil càlcul a través de les regles artístiques de l’àlgebra [que] són anomenades comunament “Coss”. Ja en el títol observem l’ús que farà Rudolff d’aquesta paraula per designar la incògnita.
L’origen de la paraula cosa el trobem en l’obra de Luca Pacioli (1447 - 1517), Summa de Arithmetica, Geometria proportioni et proportionalità (Venècia, 1494). En aquesta obra s’introdueix el terme cosa per designar la quantitat desconeguda o incògnita i d’aquesta paraula derivaran les versions alemanya i anglesa, coss i art còssic, que durant els segles XVI i XVII eren sinònim d’àlgebra. Per estudiar l’origen de la paraula àlgebra ens hem de remuntar a l’obra d’Abu Ja’far Muhammad ibn Musa Khwarizmi (780 – 850), Hisâb al-jabr w’al-muqqabala (segle IX). En aquest llibre s’introdueix la paraula mâl i jidhr o shay per enunciar els problemes i en la resolució d’equacions de segon grau. L’autor utilitza
jidhr per designar la “cosa” que volem cercar, és a dir, la incògnita o arrel, el quadrat de la qual és el mâl. El seu llibre ha estat un dels primers en la història de les matemàtiques que parla i usa el nom d’àlgebra. La seva traducció al llatí per Robert de Chester amb el títol Liber algebrat et almucabala (Segòvia, 1145) és d’on prové el nom actual d’àlgebra. (Cajori, 1928-29)
L’ús de la paraula cosa per identificar la incògnita del segle IX és va transmetre des d’Itàlia fins a tota Europa i veiem la seva influència en autors com Rudolff.
Els treballs de Rudolff i Aurel contenen procediments aritmètics i algebraics similars amb molts exemples numèrics idèntics, però organitzats en ordre diferent per motius didàctics. Usen la mateixa simbologia (characters), igual que veurem en l’obra de Zaragoza, Arithmetica universal que comprehende el Arte Menor y Maior, Álgebra vulgar y especiosa (1670) un segle posterior, entre d’altres matemàtics de l’època. Rudolff i Aurel també coincideixen amb el número de tipus d’equacions, 8. Zaragoza, en canvi, treballa amb tot tipus d’equacions sense seguir cap classificació en particular.
Els dos autors, Aurel i Rudolff, comparteixen el significat de la simbologia per a les incògnites disposades en proporció contínua. Fan referència a la proporció entre caràcters - Aurel a la proporció contínua de la “Regla de la Cosa” - mencionant el novè llibre dels Elements d’Euclides, la idea del qual consisteix en la següent:
Tenint tants nombres com vulguem, començant per la unitat i disposats en proporció contínua, el tercer des de la unitat serà un quadrat, al igual que els que successivament deixen de banda un caràcter. El quart serà un cub, al igual que els que successivament deixen de banda dos caràcters; i el setè serà al mateix temps un cub i un quadrat , al igual que els que successivament deixen de banda cinc caràcters. (Heath, 1956)
Equivalent en notació moderna:
1: 𝑥 = 𝑥: 𝑥% = 𝑥%: 𝑥' = 𝑥': 𝑥( = ⋯
Aquesta idea de proporció donada per Euclides apareix novament en l’obra de Zaragoza, en el capítol XI del llibre primer on defineix els conceptes de raó i proporció:
Proporción es el respecto, o relación de una Razón a otra, y se divide en tantas especies como la razón porque si comparamos una razón con otra puede ser igual, mayor o menor. [...] Aunque la Proporción puede estar entre dos razones desiguales, Euclides solo definió la proporción de igualdad, esto es, el respeto de dos razones iguales o semejantes; y así dicho, que la Proporción era una semejante de dos razones: como si comparamos la razón de 4 a 1 con la de 6 a 3, son las dos iguales y semejantes porque las dos son duples. A esta llamó Euclides Proporción y de esta sola hablaré, dejando aparte la Proporción de desigualdad por ahora. […] Si quatro números son proporcionales, el producto de la multiplicación de los extremos, es igual al producto de los dos medios, y si el producto de los extremos es igual al de los medios, serán los quatro números proporcionales (Eucl. p.19.l.7). (Zaragoza, 1670)
La diferència més important entre Rudolff i Aurel recau en la forma d’entendre la part aritmètica. Rudolff entén l’àlgebra com una extensió de l’aritmètica: és necessari primer entendre els números per després poder enfrontar-se a aquest “Art” de les coses. En canvi, Aurel menciona l’origen aràbic de la paraula Àlgebra i considera “La regla de la Cosa”, Àlgebra o “Arte Mayor” com una disciplina en sí mateixa. No fa referència als números en sí sinó a procediments específicament algebraics. Romero i Massa-Esteve (2018) mostren que Aurel s’ha impregnat de l’obra de Rudolff i de fonts com Francesco Ghaligai (1498 – 1573)3 i altres per crear la seva idea d’àlgebra.
A més, Aurel menciona la relació de l’àlgebra amb la geometria en el seu prefaci, on afirma que totes les explicacions a través dels números es poden entendre com línies. Tot i així, el punt essencial per l’aplicació de la “Regla de la Cosa” és el significat dels caràcters.
La “Regla de la Cosa” és un mètode complet per resoldre problemes i no només un algorisme per resoldre l’equació reduïda una vegada declarada. Anteriorment, el mètode que es feia servir al segle XVI consistia en anomenar incògnita al número que volíem trobar, operar i derivar fins a una equació. Després resoldre-la amb una regla donada. En canvi, per Aurel la “Regla de la Cosa” permet establir una equació amb incògnites, assumint la pregunta ja resolta, amb la qual poder treballar d’acord amb les instruccions donades.
En paraules d’Aurel:
Per tal de realitzar una qüestió, has de suposar que ja està feta i resposta i només la vols demostrar. Posarem una x, amb la qual procedirem amb les regles donades, com si fos la quantitat sabuda fins que finalment arribem a l’última resposta, sota caràcters, els quals seran als quals havíem dit que volíem arribar. I després es crearà una equació (una de les 8), a la qual s’associarà i així trobarem el valor de la x amagat i inicialment proposat.4 (Aurel, 1552)
Observem la gran similitud amb les paraules de Rudolff:
Aquest art està fonamentat en 8 regles d’equacions. Aleshores, treballant a través de cada exemple, s’ha de substituir la x per la incògnita al començament per allò que un desitja saber. Amb l’arrel substituïda, s’ha de procedir com si es tractés del nombre correcte fins que la cosa arribi al punt en que dos ordres de números esdevinguin iguals entre sí. En aquest moment, es seguirà amb una de
3 Ghaligai, Francesco 1521, Summa de Arithmetica.
4 Y digo que para hacer una demanda, por la dicha regla (de la cosa), has de imaginar que tal cuenta o demanda ya es hecha, y respondido, y tu agora la quieres provar. Y pornas que la respuesta fuesse una x, con la qual has de proceder con los avisos y reglas dadas, como si fuere la propia quantidad sabida, o respuesta verdadera, hasta tanto que venga a la postre la ultima respuesta, debaxo de caracteres o quantidades ocultas. La qual o las quales diras ser igual a lo que tu querrias que viniese. Y luego practicaras esta tal igualacion, por una de las 8 igualaciones siguientes, a la que sera sujeta, y por ella te sera declarada la valor de la x oculta, y primero propuesta.
les equacions de les descrites a continuació. Per aquest mètode, el valor i significat de l’arrel substituïda primer, esdevé evident.5 (Rudolff, 1525)
En obres posteriors, es mencionen les mateixes paraules d’Aurel: Juan Pérez de Moya (ca. 1513 – 1596) en Compendio de la Regla de la Cosa (1558), Antic Roca (ca. 1530 – 1580) en la seva obra Arithmetica (1564). Es troben traces d’aquests raonaments en textos anteriors com a Arithmetica integra (1544) de Michael Stifel (1487 – 1567).
Y assi digo que para hazer qualquier demanda por esta regla, has de presuponer que la tal demanda es ya hecha y respondida, y que la quieres provar. Poniendo por ejemplo que la respuesta fuesse una cosa, con la qual procederas, haziendo lo que la demanda pidiere, y lo que te viniere con la 1. co. Diras ser ygual a lo que quisieras que viniera. (Pérez de Moya, 1558)
Digo que para hazer qualquier demanda por esta regla de la Cossa, ha de imaginar que la tal demanda es ya hecha y respondida, empero tu la quieres provar; y pornas primeramente que la respuesta fuesse una cosa, con la qual has de proceder haziendo lo que la demanda pidiere, y lo que te viniere con la 1. Cosa diras ser ygual a lo que quisieras que viniera. (Roca, 1564)
Així, Aurel en el seu Libro Primero adopta la idea de la pràctica de la “Regla de la Cosa” de Rudolff i la modifica per donar-li un sentit més analític com les pràctiques realitzades per Europa durant el segle XVI. Zaragoza, que segurament coneix les obres d’Aurel, Pérez de Moya i Roca, fa un pas més i desenvolupa l’art analític de Viète.
2.2. El naixement de la matemàtica moderna i la seva algebraització6
L’empremta del context històric que ens deixa el segle XVI indica que les àlgebres o arts majors nascudes durant el Renaixement ja incitaven a un canvi en els procediments algebraics, però no serà fins al segle XVII quan es pugui donar la veritable algebraització de les matemàtiques.
Un dels principals avenços del segle XVII va ser la vinculació de l’àlgebra amb la geometria que va permetre el naixement de dues noves branques de la matemàtica: el càlcul infinitesimal i la geometria analítica. La seva importància recau en el fet d’establir una correspondència entre els càlculs abstractes mostrats en la formulació matemàtica i la construcció de figures geomètriques.
5 Dise Kunst: wie obgemeldEt: ist gegründet in 8 Regeln der Equation oder vergleichung. Denn in
practicirung eines jeden exempels an stat des verborgen dings so man zu wissen begert müss anfenglich gesetzt werden 1 x. Mit sölchen gesetzten radix müss man darnach procediRen in aller gestaltsam wer es die rechte zal so lang bis die sach dahin gebracht das zwo ordnung der zalen eine der andern gleich werde. Als dann wirt die vergleichung practiciert durch eine auss den untergeschribnen Equation so sie eingefallen ist. Durch sölche practicken kompt an den Tag der wert und bedeutniss des erstgesetzten radix.
6 Informació extreta dels apunts de l’assignatura Història de la Matemàtica (Massa-Esteve, 2014-15)
Un dels punts clau de l’algebraització de les matemàtiques va ser la introducció d’un nou llenguatge simbòlic de la mà de François Viète (1540 – 1603) per representar tant quantitats conegudes com incògnites en les equacions. Aquesta nova manera de tractar l’àlgebra a través de la logística “especiosa” que agrupava els elements en espècies permetent generalitzar les magnituds tant numèriques com geomètriques, es va imposar i generalitzar a partir de finals del segle XVII, convertint-se en l’eina del nou mètode analític desenvolupat per Viète.
Per poder entendre bé l’impacte dels diferents aspectes mencionats i com van afectar aquests canvis als fonaments de les matemàtiques cal posar el punt de mira dins el propi context històric, entenent la situació matemàtica que es vivia i l’objectiu al que es volia arribar enlloc d’observar les conseqüències que s’han donat a partir d’aquests avenços. El segle XVII ha estat marcat per desenvolupaments paral·lels a l’àlgebra com la revolució infinitesimal o avenços en la mecànica racional, tenint en compte l’herència matemàtica clàssica que el precedia. Igualment també hi ha estudis que remarquen la presència d’aspectes religiosos i filosòfics que han influït en el creixement del coneixement a nivell matemàtic.
Viète va ser el gran influent en el canvi a una nova simbologia gràcies a la publicació d’In artem analyticen isagoge (1591). En aquest llibre es mostra la novetat d’utilitzar símbols tant en el valor de les incògnites com en el de les quantitats conegudes i demostra la utilitat de la logística especiosa aplicada a les equacions generals. A més, Viète també va participar en la vinculació de l’àlgebra amb la geometria determinant algunes equacions que donen forma a construccions geomètriques conegudes.
Arran d’aquesta nova relació entre àlgebra i geometria, neixen altres estudis relacionats amb l’assoliment del nou mètode analític a partir dels mètodes clàssics o l’estudi de quina seria la millor terminologia i metodologia aplicada a àmbits influenciats pel nou mètode: aritmètica, àlgebra, anàlisi i geometria. A més es van obrir les portes a nous mètodes algebraics i el desenvolupament de la logística especiosa com el nou llenguatge i simbologia.
La nova àlgebra de Viète va ser innovadora en aquest punt. L’ús del nou llenguatge simbòlic permetia concebre un nou mètode analític, on es construïen “espècies” algebraiques amb l’aplicació de les quals s’assolien nous resultats de gran interès com quadratures, màxims, series o equacions. A més va influenciar altres matemàtics, com Descartes o Fermat, els quals a l’introduir la seva àlgebra i mètode analític a la geometria van oferir un nou pensament menys intuïtiu que l’euclidià però més generalitzat, ja que permetia treballar amb objectes matemàtics, encara que no tinguessin representació geomètrica.
Aquests dos matemàtics són posteriors a Viète i més enllà, la història va anar perfeccionant l’ús de la relació entre àlgebra i geometria. Amb tot plegat es va acabar constituint l’algebraització de les matemàtiques.
L’àlgebra va tardar prop d’un segle en imposar-se permeten la resolució de problemes que d’altra manera no tenien solució. El seu impacte va deixar moltes opinions al seu pas i més tenint en compte que no va ser un procés lineal ni en el temps ni en l’espai. Els defensors del nou mètode o “art analític” de Viète defensaven l’àlgebra com una nova branca independent en les matemàtiques i per contra, altres com Thomas Hobbes (1588 – 1679) o Isaac Barrow (1630 – 1677) la consideraven una traïció a les veritables ciències com la geometria o l’aritmètica, menyspreant el llenguatge simbòlic i associant l’àlgebra a un raonament simbòlic o instrument de lògica molt més complicat. John Wallis (1616 – 1703) per la seva banda, va anar més enllà amb l’aplicació de l’àlgebra. Va escriure el Treatise on Algebra (1685) que incloïa un recorregut històric i les contribucions algebraiques de Thomas Harriot (1560 – 1621). (Massa-Esteve, 2001)
2.3. L’art analític de François Viète
L’ús de la simbologia en les incògnites, representades amb vocals, i quantitats conegudes, representades amb consonants, va permetre a Viète la generalització de les equacions. A continuació presentem un exemple d’equació presentada per Viète en el Suplement de Geometria de la seva obra In artem Analyticen Isagoge:
... cubus ex 𝐼𝐴 plus solido sub 𝐴𝐵 & quadrato ex 𝐼𝐴 minùs solido duplo sub 𝐼𝐴 & quadrato ex 𝐴𝐵 aequatur cubo ex 𝐴𝐵. (Viète, 1591)
Si considerem 𝐴𝐵 i 𝐼𝐴 dos segments, l’equació equivalent en notació actual considerant 𝑋 = 𝐼𝐴 seria:
𝑋' + (𝐴𝐵) · 𝑋%− 2𝑋 · (𝐴𝐵)% = (𝐴𝐵)'
L’art analític de Viète es va desenvolupar a partir de la logística especiosa, càlculs amb “espècies”, confrontada a la logística numerosa, càlculs amb nombres, emprada des del renaixement. Quan parlem de càlculs amb “espècies” ens referim a tipus o classes d’elements. D’aquesta manera, podem agrupar magnituds, ja siguin numèriques o geomètriques, com per exemple, els nombres naturals o racionals però també les longituds, àrees, volums o angles.
Per explicar el procediment de resolució d’equacions mitjançant l’art analític, Viète va donar-li l’enfocament de la metodologia de l’anàlisi grega. El concepte consisteix en assumir allò que busquem com si fos ja admès i treballar a través de les conseqüències per arribar a allò que és cert de veritat.
L’objectiu de Viète era obtenir un mètode de resolució que es pogués aplicar a tots els problemes plantejats. Aquest mètode estava format per tres passos claus:
El primer, conegut com Zetètica, transforma la informació del problema i la presenta en forma d’equació tot expressant les quantitats i incògnites en símbols. El segon o Porística aplica les diferents normes o teoremes ja coneguts a l’equació per convertir-la en una equació en forma general (𝑎𝑥%+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0). Per últim, el tercer i més
poder aïllar la incògnita i trobar la solució desitjada. Viète conclou l’explicació del seu mètode afirmant que serveix per resoldre tots els problemes:
Finalment, l’art analític, dotat de les seves tres formes zetètica, porística i exegètica, reclama per a ell mateix la solució del problema més gran de tots que és solucionar tots els problemes. (Viète, 1591)
2.4. Construcció geomètrica de la solució d’una equació de segon grau
El següent exemple és una mostra de la vinculació de l’àlgebra i la geometria a l’obra de Viète. Ell resol un problema geomètric amb una equació de segon grau a partir de proporcions i l’aplicació del seu mètode analític, tot emprant el llenguatge simbòlic introduït.
Donada la mitjana de tres línies rectes proporcionals i la diferència entre els extrems, trobar l’extrem més petit. (Viète, 1591)
Figura 2.1. Viète 1591, Llibre tercer. Proposició I. 1970:56 In artem Analyticen Isagoge A partir de la informació de l’enunciat, donada una 𝑍, podem construir la següent equació, estudiats els coneixements necessaris de proporcions. El plantejament de l’equació (Zetètica) és el que segueix amb notació actual:
𝐴: 𝑍 = 𝑍: (𝐴 + 𝐵)
on A és la nostra incògnita, B la diferència entre els extrems, Z la mitjana i 𝑍% l’àrea. B i
Z són donades i, per tant, quantitats conegudes que compleixen la següent relació coneguda (Porística):
𝐴 × (𝐴 + 𝐵) = 𝑍%
Per poder trobar la solució d’aquesta equació (Exegètica), necessitem primer haver resolt la Proposició II del Llibre II del Zeteticorum libri quinque (1593), també de Viète.
Donada l’àrea d’un triangle i la diferència dels costats, trobar els costats A i B. (Viète, 1593)
La resolució és la que segueix: si al quadrat de la diferència dels costats li afegim quatre vegades el rectangle o àrea, trobarem el quadrat de la suma o, equivalentment en notació actual: [(𝐴 + 𝐵) − 𝐴]%+ 4 𝐴 × (𝐴 + 𝐵) = [(𝐴 + 𝐵) + 𝐴]%
Amb aquesta proposició podem trobar la suma i diferència dels costats i amb el Teorema I del Llibre I de In artem analyticen isagoge (Figura 2.2) a partir de la suma i diferència podrem trobar els costats A i B, que és el que volíem aconseguir.
Figura 2.2. Viète 1591, Llibre primer. Proposició I. In artem Analyticen Isagoge L’equació feta servir en la resolució de la Porposició I del Llibre III pertanyia a l’obra Zeteticorum libri quinque (1593) on s’exemplificava el mètode proposat a l’Isagoge i també apareix en Effectionum Geometricarum Canonical Recensio publicat el 1646 per Viète, on es realitzen construccions geomètriques de les solucions de les equacions de segon i quart grau7 (Figura 2.3.).
Figura 2.3. Viète, 1646, Effectionum Geometricarum Canonical Recensio
7 Adjuntem la traducció de la Proposició XII que s’exposa en la Figura 2.1.:
Proposició XII: Donada la mitjana de tres quantitats proporcionals i la diferència dels extrems, cal trobar els extrems.
La solució geomètrica d’un quadrat afectat per un costat: Sigui FD la mitjana de tres proporcions i sigui GF la diferència entre els extrems. Cal trobar els extrems. Traçarem GF i FD formant un angle recte i dividirem GF per la meitat en A. Definirem un cercle de centre A i interval AD i estendrem la circumferència AG i AF donats els punts B i C. Una vegada fet això, els extrems que busquem són BF i FC, entre els quals la mitjana proporcional és FD. I els mateixos BF i FC difereixen en FG, ja que AF i AG són iguals per construcció i AC i AB són també iguals per construcció. Llavors restant els iguals AG i AF dels iguals AB i AC, resten els iguals BG i FC. I també GF és la diferència entre BF i BG o bé FC. La qual cosa és el que volíem demostrar.
2.5. Llegat de François Viète
A més de la innovació del seu propi art analític i la introducció d’un nou llenguatge simbòlic, l’obra de Viète és coneguda per identificar les equacions algebraiques amb les proporcions mitjançant el producte de mitjos i extrems d’una proporció, influència de la teoria de proporcions d’Euclides que hem identificat també en Arithmetica Universal de Zaragoza.
La resolució d’equacions vinculades a l’aritmètica, la geometria o la trigonometria es va veure transformada amb les noves expressions algebraiques que presentava Viète, marcades pel rigor i la generalització de la seva forma. Tot i així presentaven mancances que han anat evolucionant fins a l’actualitat, com l’absència del signe d’igualtat, els exponents o els radicals.
La difusió de l’àlgebra de Viète es va realitzar a través de diferents textos relacionats amb l’àlgebra. Un dels més coneguts són els sis volums del Cursus Mathematicus (1634 – 1637 – 1642) de Pierre Hérigone (1580 – 1643). L’objectiu d’Hérigone era construir un mètode i llenguatge universal per treballar amb totes les parts de la matemàtica i simplificar les demostracions (Massa-Esteve, 2008). Herigóne a Cursus (1634) adopta la idea de l’art analític en la resolució d’equacions quan explica l’àlgebra de Viète:
La doctrina analítica o àlgebra és l’art de trobar la incògnita prenent-la com ja sabuda i trobant la igualtat entre això i les magnituds donades. (Hérigone, 1634) Un altre exemple és la Geometriae Speciosae Elementa (1659) de Pietro Mengoli (1626/7 – 1686). Aquest autor es va basar principalment en l’obra d’Hérigone i va crear involuntàriament un nou camp matemàtic anomenat “geometria especiosa” modelada sobre l’àlgebra especiosa de Viète a través de la influència d’Hérigone a la vegada que treballava amb el llenguatge simbòlic per representar no únicament els nombres sinó també els valors de qualsevol magnitud abstracta. L’objectiu de Mengoli era trobar un mètode general i ben fonamentat per calcular quadratures, en particular, la quadratura del cercle, utilitzant, d’una manera molt particular, les eines algebraiques que havia difós Viète. L’aspecte més innovador del procediment algebraic de Mengoli és l’ús de lletres per treballar directament amb l’expressió algebraica de la figura geomètrica, sense haver de dibuixar-la.
El punt clau per poder comparar aquests tres autors recau en el significat dels símbols emprats per representar qualsevol magnitud (discreta o contínua) a través del procés de raonament en les demostracions o resolució de problemes. Viète introdueix la seva logística “especiosa” per tractar qualsevol magnitud, Hérigone per la seva part desitja introduir un llenguatge universal per treballar tant amb la matemàtica pura com amb la mixta a través de teoremes universals, mentre que Mengoli finalment utilitza el llenguatge simbòlic per trobar nous resultats i per crear una nova disciplina matemàtica coneguda com la “geometria de les espècies”. (Massa-Esteve, 2012)
2.6. Pierre de Fermat i René Descartes8
Durant els primers anys del segle XVII, quan l’obra de Viète es va conèixer, molts matemàtics van començar a considerar la utilitat dels procediments algebraics per resoldre qüestions geomètriques. Entre ells podem mencionar a Pierre de Fermat (1601 – 1665) o René Descartes (1596 – 1650).
Una de les obres més destacades de Fermat va ser el Tractat de quadratures (1659) conegut per contenir la primera demostració de la qual en tenim constància sobre el càlcul de l’àrea sota una paràbola o una hipèrbola superior. A més, en aquesta obra, Fermat redueix la quadratura d’un gran nombre de corbes algebraiques a la quadratura de corbes conegudes com la de la paràbola, de la hipèrbola o la del cercle.9
La possibilitat de trobar un mètode per determinar les propietats d’una corba a partir de la seva equació algebraica reforça la desvinculació de l’àlgebra amb la geometria clàssica.
Les contribucions de Fermat a la geometria algebraica venen donades per la determinació de les tangents a les corbes i el càlcul de les seves longituds i quadratures. En el càlcul de quadratures, Fermat desenvolupa un mètode algebraic que combina el canvi de variables i el que avui en dia podríem interpretar com un cas concret d’integració per parts.
Per altra banda, La Geométrie (1637) de Descartes va ser una de les obres més influents en el desenvolupament de l’àlgebra i, en concret, per a la resolució d’equacions. En ella l’àlgebra i la geometria es relacionen a través de les construccions geomètriques de la intersecció de les corbes (quasi sempre paràboles i circumferències) que expressen les solucions d’equacions algebraiques adequadament preparades de grau més gran que dos. Encara que Descartes no cita Viète, és clar que el coneixia, però ell va voler fer un altre camí definint la seva àlgebra de segments. Va començar demostrant les operacions entre segments fent construccions geomètriques.
D’aquesta manera Descartes va deixar les portes obertes a entendre la geometria des d’un altre punt de vista desenvolupant el mètode de la síntesi. Avui en dia, nosaltres utilitzem la notació que Descartes va introduir.
8 Informació extreta dels apunts de l’assignatura Història de la Matemàtica (Massa-Esteve, 2014-15) i (Pla, 1999).
9 Quadrar una corba volia dir calcular l’àrea delimitada per la corba i els eixos de coordenades o alguna de les seves asímptotes.
Capítol 3 – L’Obra de José Zaragoza
Aquest capítol està basat principalment en la biografia publicada per Eduard Recasens el 2010. També ens hem basat en altres referències com (Jurado, 2011; Navarro Loidi, 2005; Navarro Loidi, 2007; Recasens, 2007)
3.1. Biografia
El context històric que presenta l’Espanya del segle XVII no és gaire favorable per al desenvolupament de la ciència matemàtica ja que el país es trobava immers en una crisis demogràfica, econòmica i política que va de la mà del descontent de la població amb un govern de privats10 i noblesa. La ciència espanyola es va veure afectada per aquesta crisis i endarrerida respecte el coneixement de la Revolució científica que s’estava donant a la resta d’Europa.
José Zaragoza i Vilanova (Alcalà de Xivert, Castelló de la Plana, 1627, Madrid, 1679) va estudiar Arts i Teologia a València i es va doctorar en aquesta última disciplina, tot i que la seva gran passió residia en l’estudi de les matemàtiques i l’astronomia. La seva orientació cap a les matemàtiques va ser sempre autodidacta i quan la universitat de València li va oferir la càtedra de matemàtiques, va rebutjar-la degut a la seva vocació religiosa.
El 1651 es va unir a la Companyia de Jesús amb l’edat de 24 anys. Va dedicar-se plenament a les funcions de jesuïta tot i que ho compaginava en paral·lel amb l’estudi de les matemàtiques i l’astronomia. Va realitzar el noviciat a Osca i després es va desplaçar a Calatayud on va ser professor de retòrica. Pocs anys després, el 1655, el van destinar al col·legi de jesuïtes Montesión de Mallorca per donar classes de filosofia i teologia on va establir un gran vincle amb Vicent Mut (1614 – 1687), astrònom que va influir significativament en la formació científica de Zaragoza. Mut i Zaragoza van treballar junts en l’estudi de la trajectòria parabòlica del cometa de 1664. Mut va realitzar una comparació de les trajectòries amb un altre cometa el 1665 i a partir d’aquests dos, va publicar Comentarum anni MDCLXV el 1666.
El 1660 va deixar Mallorca per viure una etapa a Barcelona de menys d’un any fins poder tornar a la seva terra natal, València, per ensenyar teologia al Col·legi Sant Pau. A partir d’aquest moment, la trajectòria científica de Zaragoza comença a créixer gràcies a les tertúlies que organitzava amb cercles de persones interessades en les matemàtiques i l’astronomia. Aquestes van ser les llavors que va influenciar als novells que més tard desenvoluparien la renovació científica a València a finals del segle XVII.
Va ser a través de la comunitat de jesuïtes que molts científics espanyols van entrar en contacte amb la ciència europea i no pas a través de les universitats, que sofrien l’aïllament europeu. En astronomia, Zaragoza va buscar una fórmula per admetre les doctrines de Copèrnic sense caure en la condemna eclesiàstica.
10 Càrrec polític representat per una persona en qui el rei depositava confiança i dirigia bon part dels afers de l’Estat.
El 1669 tornaria a col·laborar amb Mut en la reforma del sistema de mesures del regne. Durant aquesta època a València, la fama de Zaragoza va anar augmentant entre la noblesa amb la qual cosa va començar a créixer el número d’alumnes de les seves classes particulars i les peticions de consells per part d’intel·lectuals del moment. A més, l’Estat va començar a confiar-li diferents encàrrecs com la gestió de les mines d’Almadén i Guadalcanal o els plànols de la desembocadura de la ria de Sanlúcar de Barrameda on hi arribaven les embarcacions de les Índies.
El 1670, després d’una dècada a València, es va traslladar a Madrid per ocupar una càtedra de Matemàtiques als Reials Estudis del Col·legi Imperial regentat per jesuïtes i ajudar al rei Carles II en la seva educació científica. Compaginava càrrecs com el de cosmògraf o inspector de mines amb les classes i el desenvolupament dels seus estudis que el van portar a poder publicar la major part dels seus llibres en aquesta etapa. El 1670 fou el mateix any en què Zaragoza es va obrir camí amb la seva obra Arithmetica universal que comprehende el Arte Menor y Maior, Álgebra vulgar y especiosa, un text per al qual Zaragoza va haver de dissenyar personalment els caràcters tipogràfics de l’àlgebra inexistents en les publicacions espanyoles del moment.
Zaragoza mor el 1679 a Madrid, un mes abans de complir els 52 anys.
3.2. Influència com a matemàtic
La principal vessant de l’estudi matemàtic de Zaragoza va ser la recuperació de la geometria clàssica grega i en especial, la recuperació del llibre perdut d’Apol·loni (262 – 190 a.C.) del segle III aC, De Locis Planis (Dels Llocs Plans), que tractava dels espais geomètrics resolubles a partir de rectes i circumferències. L’interès per aquest llibre també va captivar a Pierre de Fermat (1601 – 1665) durant la seva joventut.
El llibre d’Apol·loni va ser comentat per Pappus d’Alexandria (290 – 350) en el llibre VII de la seva Synagoge. L’obra és del 340 i se’n troba una traducció llatina al Mathematicae Collectiones (Commandino, 1588). En aquest llibre s’agrupen diferents enunciats que figuraven en el llibre d’Apol·loni i els presenta en forma de dos llistats de vuit enunciats cadascun però sense emprar cap demostració. Els enunciats de les llistes es corresponen a diferents situacions o llocs geomètrics. A més, Pappus introdueix uns lemes previs que faciliten la comprensió de l’obra d’Apol·loni.
Zaragoza va parar molta atenció a l’espai geomètric que ocupava el cinquè lloc del segon llistat de Pappus, igual que faria més endavant Fermat. Aquest lloc és el que segueix:
Si des de punts donats en nombre qualsevol tracem segments rectilinis cap a un altre punt i les espècies sobre aquests totes juntes igualen una extensió donada,
aquest punt es troba en una circumferència donada en posició. (Commandino, 1588)11
La resolució d’aquest espai presentava una dificultat afegida ja que el lloc geomètric dels punts que complien la condició imposada per Apol·loni era una circumferència que tenia com a centre, el centre de gravetat dels punts donats, suposats amb uns pesos associats, però el concepte de centre de gravetat de punts pesants no formava part de la geometria grega euclidiana.
Zaragoza va saber superar aquest inconvenient introduint una nova construcció en termes estrictament pertanyents a la geometria euclidiana per definir el concepte de “Centre mínim d’un sistema de punts geomètrics amb classes de polígons associats”. Les propietats geomètriques que oferia aquest centre mínim coincideixen amb les del centre de gravetat de punts pesants. (Recasens, 1991, 1994)
És aquest nou concepte, l’aportació fonamental de Zaragoza i el que li va donar base per escriure una de les seves principals obres en matemàtiques, la Geometria Magna in Minimis, publicada el 1674 a Toledo. Zaragoza introdueix per primera vegada en geometria pura un punt geomètric que fa de centre de gravetat físic d’un sistema de punts amb pesos associats tot demostrant amb estricte rigor euclidià les propietats de la seva aportació i exemplificant el cas en la resolució de problemes lligats al càlcul de raons entre magnituds geomètriques. D’aquesta manera podem afirmar que Zaragoza s’anticipa un segle al Càlcul Baricèntric de August Ferdinand Möbius (1790 – 1868) desenvolupat en llenguatge algebraic el 1827. (Recasens, 1991, 1994)
L’obra Geometria Magna in Minimis mereix el seu reconeixement entre els llibres publicats en geometria a l’Europa del segle XVII, tot i que no va tenir la difusió esperada, fet que ha provocat que Zaragoza passés desapercebut en el seu temps i fa que atorguem aquests descobriments a matemàtics posteriors. Entre els exemples, trobem el Càlcul Baricèntric de Möbius o el Teorema de Ceva on es dona una relació que també s’exposa en la Geometria Magna in Minimis.
Per altra banda, cal tenir en compte també el seu primer llibre publicat el 1670 a València, Arithmetica Universal. Aquesta obra amaga dins seu l’empremta de l’art analític de Viète. Al llarg del llibre s’intueixen diferents lloances a l’Àlgebra com una disciplina en sí mateixa, independent del “Arte Menor” o Aritmètica i a un pas més de l’”Arte Maior”. Zaragoza desenvoluparà el seu propi llenguatge simbòlic influenciat per la notació d’altres autors com Aurel o Rudolff però amb el desig d’aplicar el tractament dels elements com “espècies” propi de Viète. A més, amb un clar objectiu didàctic, l’autor descriu en aquesta obra els passos de resolució d’equacions establerts en el nou mètode analític. Novament com en el cas de l’obra Geometria Magna in Minimis, l’Arithmetica Universal no va tenir el seu reconeixement en la societat de l’època.
11 Si a quotcumque datis punctis ad punctum unum inflectantur rectae lineae et sint species quae ab omnibus fiunt dato spacio aequales punctum continget positione datam circumferentiam
Aquesta situació es deu a l’escàs cultiu de les matemàtiques que es va donar a l’Espanya del segle XVII o més ben dit, a l’escassa difusió que se’n va fer. Alguns matemàtics de renom com Julio Rey Pastor (1888 – 1962) o José Echegaray (1832 – 1916)12 han donat pes a la visió pessimista de la cultura matemàtica espanyola del segle XVII però no és cert que res de valor matemàtic s’hagi aportat per part de la ciència espanyola del segle XVII. L’excepció la trobem en un grup petit de matemàtics jesuïtes, relacionats directa o indirectament amb el Col·legi Imperial de Madrid, els quals van treballar en el camp de la docència i van realitzar aportacions notables en el camp de la geometria pura. (Recasens, 2007)
Amb tot això, podem entendre la poca divulgació que es va fer i menys encara a nivell europeu on s’estaven desenvolupant mètodes analítics algebraics i el càlcul infinitesimal. Així, obres amb tanta abstracció com la que mostra la Geometria Magna in Minimis o l’Arithmetica Universal no van tenir l’oportunitat de ser ben estudiades ni aplicades.
3.3. Publicacions
Com hem comentat anteriorment, durant la seva última etapa a Madrid, Zaragoza va publicar la major part dels seus llibres. A més de la Geometria Magna in Minims, molts d’ells van representar un gran avenç del nivell matemàtic espanyol del segle XVII. Zaragoza va publicar un total de catorze llibre de matemàtiques pures i aplicades de caràcter didàctic per impartir les seves classes i va escriure moltes obres més que han quedat manuscrites. És sabut que la prioritat d’estudi dels jesuïtes se centrava en la geometria pura. Dins d’aquesta, durant el segle XVII es va investigar sobre els tres problemes clàssics: la trisecció de l’angle, la duplicació del cub i la quadratura del cercle. Zaragoza els treballarà en la seva versió dels Elements del 1678, en el capítol “De los problemas no resueltos”.
El primer llibre que va publicar Zaragoza constitueix el centre d’estudi d’aquest treball. Arithmetica universal que comprehende el Arte Menor y Maior, Álgebra Vulgar y especiosa (València, 1670) va introduir per primera vegada a España el concepte analític i àlgebra especiosa descrits per Viète abans en diferents punts d’Europa. (Recasens, 2010)
Aquest llibre obre les portes a l’algebraització d’un nou llenguatge simbòlic, el mètode analític de resolució i la construcció geomètrica en sistemes d’equacions. En les diferents seccions que segueixen en aquest treball aprofundirem més en la seva anàlisi i descriurem amb tot detall l’ús que Zaragoza fa de l’àlgebra amb la definició d’un nou mètode de resolució coincident amb les fases de Zetètica, Porística i Exegètica ja definides per Viète, del qual en rep una gran influència.
12 Vegeu per exemple el Discurso académico de apertura de curso 1912-13 de Rey Pastor (1934) o la Historia de las Matemáticas puras en nuestra España de Echegaray (1866)
Zaragoza va redactar dues versions dels Elements d’Euclides, una en llatí i l’altra en castellà. De la versió castellana se’n va realitzar dues impressions: la primera, publicada el 1671 a València, Geometría especulativa y práctica de los planos y sòlidos i la segona publicada el 1678 a Madrid, Euclides Nuevo-Antiguo. Geometria especulativa y pràctica de los planos y sólidos. En la primera publicació, Zaragoza no introdueix nous corol·laris ni explicacions per complementar l’estudi de la geometria, però sí reorganitza l’obra dels Elements agrupant les definicions, els problemes i els teoremes en tres blocs.
Geometría especulativa y práctica de los planos y sòlidos va ser el llibre més conegut i utilitzat a Espanya i colònies americanes. Es tracta d’una versió didàctica que recull la part geomètrica dels Elements d’Euclides, exceptuant els apartats corresponents a poliedres regulars, els quals s’estudiaran en la Geometria Magnae in Minimis publicada el 1674.
El 1672, Zaragoza publica a Mallorca la seva Trigonometría espanyola, resolución de triángulos planos i esféricos. Fábrica y uso de los senos y logaritmes. Canon Trigonometricus y Tabula logarithmica on, novament per primera vegada a Espanya, s’explica què són els logaritmes, les seves propietats, la manera de calcular-los i la seva aplicació en la resolució de triangles. Zaragoza és l’autor que més influeix en la generalització del coneixement dels logaritmes a Espanya. També s’estudien en l’Arithmetica Universal i l’autor és el primer en imprimir taules de logaritmes: Canon Trigonometricus y Tabula logarithmica. (Navarro Loidi, 2007)
Zaragoza introdueix els logaritmes com una correspondència entre progressions i els identifica amb els exponents de la progressió geomètrica. Tot seguit presentem dos extractes de la definició de logaritme en les dues obres mencionades per veure la rellevància de les progressions en aquesta definició:
Los Logarithmos son ciertos números artificiales, que en Progresión Arithmetica corresponden a los números verdaderos de una Progresión Geométrica. (Zaragoza, 1672)
De suerte esta progresión aritmética natural es Exponente de la geométrica, porque sus términos exponen y declaran, el lugar que tienen los términos Geométricos en su Progresión. Este es el fundamento del Arte Mayor y de los logaritmos como en su lugar veremos. (Zaragoza, 1670)
El 1674 va ser l’any culminant de Zaragoza amb la publicació de Geometria Magna in Minimis seguida, el 1675, de Esphera en común celeste y terráquea, obra vinculada a l’Astronomia. A més, aquest mateix any i com a regal del 14è aniversari del rei Carles II, Zaragoza va redactar un petit i curiós llibre sobre la construcció d’instruments matemàtics, Fabrica y uso de varios instrumentos matématicos i li’n va construir alguns de senzills.
En la dècada dels anys 30 del segle XX, Patricio Peñalver de la Universitat de Sevilla, va fer notar l’excepcionalitat de Zaragoza en la publicació dels seus articles (Peñalver, 1930). També Albert Dou descriu en articles de les matemàtiques del segle XVII (Dou,
1990) la rellevància matemàtica d’aquest autor i Eduard Recasens de la Universitat Politècnica de Catalunya va elaborar la tesis doctoral el 1991 analitzant la Geometria Magna in Minimis juntament amb l’article de 1994 descrivint el mètode baricèntric de Zaragoza. Víctor Navarro Brotons de la Universitat de València ha estudiat també la seva obra astronòmica i la seva influència en la renovació científica valenciana (Navarro, 1996).
És per tota la trajectòria i aportacions que ha deixat aquest gran matemàtic del segle XVII pel qual considerem que mereix un reconeixement que no va poder atorgar-se-li en el seu moment. S’ha mantingut desconegut per la Història de les Matemàtiques i per un seguit d’experts que han mantingut l’opinió de la poca riquesa científica i matemàtica espanyola del segle XVII.
Capítol 4 – Anàlisi de l’obra
Arithmetica Universal
4.1. IntroduccióAquest capítol se centra en l’anàlisi de l’obra Arithmeticauniversalquecomprehendeel Arte Menor y Maior, Álgebra vulgar y especiosa, d’ara en endavant Arithmetica Universal, que Zaragoza va publicar el 1670 a València, treballar el seu contingut i valorar les aportacions que va deixar l’autor en els seus capítols.
Aquesta obra és el centre del nostre estudi i comparació ja que en ella trobem un gran valor en l’ús de l’àlgebra Vietiana, en la qual predomina l’ús d’una nova simbologia i un nou tractament de les equacions amb una metodologia basada en l’anàlisi per identificar la incògnita buscada.
Concretament, aquest capítol el dedicarem a la motivació i elaboració de l’Arithmetica Universal, treballant el contingut dels seus llibres i aspectes clau com la notació. Tot i així, el nostre treball es focalitza en el tractament que Zaragoza fa de la nova Àlgebra, un pas més enllà de l’“Arte Maior”. És tanta la rellevància d’aquesta ciència en sí mateixa, que hem considerat oportú dedicar el capítol 5 únicament a l’anàlisi del llibre tercer de l’Arithmetica Universal titulat “De la Álgebra”. Per arribar a aquest punt, cal haver entès prèviament els conceptes que descriurem a continuació (objectiu de l’obra, valoració de l’Àlgebra com a entitat pròpia, contingut dels llibres primer i segon, regles bàsiques de l’aritmètica, càlculs d’arrels, presentació de la notació, “Arte Menor” i “Maior”), i les influències i primeres nocions que deixa entreveure l’autor en la seva introducció i primers llibres, així com les primeres traces de la notació que farà servir.
4.2. Propòsit de l’autor en la interpretació de l’obra
Abans de presentar els quatre llibres que constitueixen el nucli central de l’Arithmetica Universal, Zaragoza ens introdueix aspectes rellevants de la seva intenció en aquest llibre a través de diferents apartats introductoris: el prefaci o dedicatòria de l’obra, la llicència i censura o reconeixement d’altres personatges significatius i finalment, una introducció on veurem les primeres intencions de l’autor de cara al tractament de l’àlgebra i l’aritmètica.
4.2.1. Prefaci
Tota l’obra en sí i el coneixement que l’emmarca està dedicada al rei Carles II, al qual Zaragoza rendeix homenatge i del qual n’era professor de matemàtiques formant part de la seva cort. Com es descriu en el prefaci de ArithmeticaUniversal, l’autor diposita en Carles II tota la confiança per conduir al poble espanyol a aconseguir els èxits per al regne d’Espanya.
A continuació, comença la seva ferma lloança a l’àlgebra com l’esperit i ànima del cos de les matemàtiques. Zaragoza entén l’àlgebra com una entitat pròpia, una branca independent de les matemàtiques, una extensió de l’”Arte Maior” concebut en aquella
època. El fet de no considerar l’”Arte Maior” com un complement de l’”Arte Menor” ens fa apropar més al pensament d’Aurel que al de Rudolff, com hem vist en el capítol 2 d’aquest treball.
La nobleza del Algebra busca en los Reales pies de V. Majestad su centro, y como el espíritu que transciende y anima todo el cuerpo de las Matemáticas, unidas en sí, las rinde todas para su mayor gloria.13
En la seva obra Arithmetica Universal, Zaragoza recorrerà un camí que anirà creixent en complexitat. Començarà treballant l’”Arte Menor”, del qual mantindrà l’estil per introduir l’”Arte Maior” i l’Àlgebra. En el segon llibre desenvoluparà l’”Arte Maior” i aquest pas li servirà com esgraó per culminar amb la descripció de la seva Àlgebra, terme que guarda per descriure l’Art analític de Viète.
Seguint amb el prefaci, l’autor valora l’ingeni per sobre la força i com el valor del saber hauria de reforçar-se, sobretot en el domini de les matemàtiques ja que són aquestes les que serveixen per alimentar el coneixement. És en aquest punt en el qual menciona l’aplicació militar de les matemàtiques, la qual podem relacionar amb altres autors precedents com Diego de Alava y Beaumont (c.a. 1557) i la seva obra El Perfecto capitán de 1590.
No pelea el acero sin el impulso; ni los dos, tanto como el discurso que les dirige. Prevalece el arte a la fuerza, al León, aunque más robusto, le señorea el hombre, pero a este fin la industria quedará sujeta a la violencia de un bruto. El ingenio solo no erige trofeos, pues cuando más fecundo, si falta el beneficio, le viste de malezas y de corona de abrojos. Las Matemáticas fertilizan el ingenioso suelo y fecundan el campo militar, que con su riego produce triunfos en victoriosas palmas, y rinde coronas en eternos laureles.14
Més endavant fa referència a les tres branques de les matemàtiques que ell considera creació de Déu i, per tant, les més fonamentals: Aritmètica, Estàtica i Geometria. Menciona també la convivència d’aquestes tres amb la filosofia.
Dios en número, peso y medida crio toda la gran máquina del orbe; Aritmética, Estática y Geometría concurrían a su creación y las mismas en buena Filosofía han de conservar el Imperio de V. Majestad pues sin hipérbole comprende al mundo, nunca pierde al Sol de vista, ni tiene otros términos, que los del universo.15
En l’inici del prefaci, Zaragoza parla de l’àlgebra com l’esperit i ànima de la matemàtica però a mesura que avança el discurs, observem com lloa l’aritmètica com la branca de les matemàtiques que ocupa el primer i un lloc superior a la resta de branques. La considera, però, amb molt més potencial que el que ofereix actualment i poc treballada,
13ArithmeticaUniversal, Señor (Dedicatòria), Zaragoza, 1670 14ArithmeticaUniversal, Señor, Zaragoza, 1670
reduïda a una essència substancial. Podem relacionar aquesta idea amb la influència del tractament clàssic de les matemàtiques que perdura des del segle XVI.
Goza la Aritmética el primer lugar por superior y transcendente a todas las Matemáticas; sube por sus grados hasta la suprema cumbre. Reducida hoy a breve y compendioso volumen, se consagra a V Majestad por sí misma, como quien pronuncia, que por las ciencias a que se entiende, ha de llegar V. Majestad a lo sumo de la militar gloria…16
Amb aquesta primera visió tanca el prefaci i dedicatòria de l’obra. A continuació presenta la llicència i censura i tot seguit, en la introducció de l’Arithmetica Universal es tornarà a obrir el debat de la idea que tenia l’autor de l’Àlgebra.
4.2.2 Llicència i Censura
Qui atorga la llicència de impressió és el pare Jacinto Piquer, provincial de la Companyia de Jesús a Aragó, segellada al Col·legi de Barcelona a 6 d’Octubre de 1667.
La censura consisteix en l’opinió d’altres personatges de renom sobre l’estil i coneixement exposats en l’ArithmeticaUniversal.
En la censura de l’obra de Zaragoza, el doctor Ivan Bautista Ballester Arcediano de Morviedro, professor de filosofia de Zaragoza a la universitat de València on es va formar com a teòleg, parla de la seva forma de tractar l’àlgebra en relació a l’aritmètica. Segons aquesta censura, sembla ser que Zaragoza treballa amb una nova àlgebra enginyosa i la tracta com una ciència relacionada amb l’aritmètica però d’una forma “especiosa”, per la qual cosa podem començar a imaginar-nos una certa relació amb l’àlgebra de Viète. Més endavant analitzarem com en fa menció, però cal assenyalar la diferència entre àlgebra “en xifres” i “especiosa”. Es pot parlar de l’àlgebra en termes de logística per referir-nos a “càlcul”. El terme logística el va emprar ja Viète i en diferenciava dos tipus: la numerosa i l’especiosa. La logística “numerosa” treballa amb el càlcul de nombres mentre que la logística “especiosa” treballa amb el càlcul d’espècies, on una espècie pot representar qualsevol magnitud tant numèrica com geomètrica. S’associa l’adjectiu “vulgar” al primer tipus d’àlgebra. En paraules de Bautista:
Esta ingeniosa Álgebra en compendiosas cifras epiloga dos bien distantes extremos, así por la parte, que abate a lo vulgar, pero no vulgarmente el vuelo, como por la que sublimemente se remonta a lo más especioso de la Aritmética.17 Bautista distingeix en el llibre dos objectius diferenciats. Per una banda el descobriment de noves aplicacions de les matemàtiques en àmbits ja coneguts com el sector de les mercaderies o indústries. Per altra banda, el segon objectiu consisteix en dibuixar noves línies d’estudi de l’”Arte Maior”. Fa especial èmfasi en com Zaragoza deixa enrere l’estil
16ArithmeticaUniversal, Señor, Zaragoza, 1670 17ArithmeticaUniversal, Censura, Zaragoza, 1670
d’enginy i retòrica de la Grècia clàssica per trobar un nou enfocament a l’embolcall de l’aritmètica, amb una nova simbologia de lletres.
El otro es delinear nuevos rumbos en los inmensos Océanos del Arte Mayor, casi no arados con el estilo del ingenio, ni medidos con la fonda del discurso: uno y otro, en útiles experiencias de la pluma, logran todos los hombres de cuenta y razón, que no es menester poca, para dar alcance a este reciente Colon de la Aritmética, que deja muy atrás las Hercúleas Columnas.18
Fa menció d’aquelles ciències i procediments que es veuen beneficiats per l’ús de la simbologia com a notació, enlloc de la retòrica emprada com anys enrere. Astrònoms, enginyers, demarcadors o calculadors de fallides en podran fer ús i corregir errades detectades en el seu treball.
En aquesta censura es considera l’obra de Zaragoza com un document universal que treballa amb demostracions estrictes basades en la regla “Lesbia”, considerada la regla per excel·lència i usada per Aristòtil. Aquest matemàtic i filòsof va saber definir el concepte d’Equitat aplicat a l’ús de les lleis més abstractes a casos particulars a partir de la similitud amb l’ús d’un instrument per mesurar objectes amb superfícies còncaves convexes. A aquest instrument se l’anomena Regla Lesbia.
...exactísimas demostraciones sin el torcido de la regla Lesbia, porque esta es sin duda con propiedad la inflexible regla de oro.19
Trobem també altres citacions que mostren la gran admiració per l’estil universal de l’àlgebra que realitza l’autor. A continuació en presentem algunes d’elles:
...donde enlaza el ingenio y elegancia con el fruto, y viveza con el espíritu.20 …le juzgan otros Euclides en la Geometría y Arquímedes en la Estática, en lo Astronómico, Ptolomeo y Diofanto en la Aritmética.21
Quien no venera con rendimiento estos estudios, si hubiere leído en Joachimo Ratico, y en la Perla de Exisio su importancia, y más ponderando lo que dijo en sus elogios Alberto Magno.22
18ArithmeticaUniversal, Censura, Zaragoza, 1670 19ArithmeticaUniversal, Censura, Zaragoza, 1670 20ArithmeticaUniversal, Censura, Zaragoza, 1670 21ArithmeticaUniversal, Censura, Zaragoza, 1670 22ArithmeticaUniversal, Censura, Zaragoza, 1670
4.3. Introducció de l’Arithmetica Universal
Zaragoza destina una introducció de sis pàgines en la qual fa una anàlisi de l’estructura i importància de cadascun dels llibres i capítols que constitueixen l’Arithmetica Universal. En les diferents seccions que presenta aquesta introducció, comença parlant de l’aritmètica per després moure’s cap a la vessant de l’àlgebra. Menciona també els logaritmes com hem comentat en el capítol 3 d’aquest treball. A continuació segueixen algunes seccions per entendre la matèria, l’estil, el mètode, la simbologia i la manera d’estudiar el conjunt dels llibres.
4.3.1. La importància de l’Aritmètica en el cos de les Matemàtiques
Zaragoza considera l’aritmètica com la branca fonamental que dóna cos a les matemàtiques, que permet estendre els càlculs discrets als continus. L’aritmètica obre les portes al coneixement de les matemàtiques i, a la vegada, demana el coneixement de totes les altres ciències per entendre-la. A més, l’autor remarca el fort vincle que existeix entre la geometria i la seva interpretació a través de l’aritmètica. En l’últim llibre de l’Arithmetica Universal, Zaragoza treballa la resolució de problemes aplicats a diferents àmbits, entre ells la geometria i estudiarem com, a més de l’aritmètica, també l’ús de l’àlgebra serà clau com a eina de resolució de problemes. Tot i així, el veritable estudi de geometria el desenvoluparà en altres de les seves obres posteriors com Geometriaespeculativayprácticadelosplanosysólidos (1671) o GeometriaMagnain Minimis (1674).23
Trobem ja en les primeres paraules de Zaragoza una evidència compartida amb Viète en la menció de Plató com el pare que descriu el camí de l’aritmètica a l’anàlisi.
La Aritmética es la primera, y la última de las Matemáticas. Primera en orden, por ser la llave de estas sublimes ciencias, o puerta según Platón de las otras facultades mayores. 24
Viète, en el primer capítol de l’obra In artem analyticen isagoge escriu:
Hi ha una certa manera de buscar la veritat en matemàtiques que es diu que Plató va descobrir primer. Theon l’anomena anàlisi [...]25
Aquest només és un petit exemple de la influència de Viète en l’obra de Zaragoza, però més endavant analitzarem amb més detall altres evidències de l’Isagoge com a font original de l’Arithmetica Universal.
23 Més informació a Recasens, 1991 i 1994.
24Arithmetica Universal, Introducció, Zaragoza, 1670 25In artem analyticen isagoge, Capítol I, Viète, 1591
4.3.2. Arte Menor, Arte Maior i Àlgebra
En l’inici de les seves explicacions, Zaragoza divideix l’Aritmètica en dues: la menor i la major. El primer llibre de l’Arithmetica Universal el dedicarà plenament a la menor, mentre que el segon se centrarà en l’aritmètica major o “Arte Maior”. El terme Àlgebra el reserva per explicar i desenvolupar l’àlgebra introduïda per Viète, a la qual li dedica el llibre tercer. Aquesta separació dels dos “Artes” s’ha d’entendre com la necessitat de l’aritmètica menor en l’aplicació i ús de la major i, conseqüentment, en l’àlgebra. El fet de mantenir l’estil de l’”Arte Menor” ens fa allunyar una mica del pensament d’Aurel de l’entitat de l’àlgebra per si sola tot i que creiem que Zaragoza desitja que sigui independent de l’aritmètica menor, influenciat pels pensaments de Viète i la manera en com lloa l’àlgebra en el tercer llibre. Per introduir el concepte d’àlgebra, Zaragoza treballarà prèviament amb l’Aritmètica major, presentada més tard sota la nomenclatura d’”Arte Maior”. Però anirà més enllà, tractant l’àlgebra com un últim esgraó més complex que l’”Arte Maior” ja treballat i necessari per desenvolupar la seva àlgebra.
L’aritmètica menor inclou les operacions, proporcions, alineació, falses posicions, progressions i combinacions, juntament amb les regles bàsiques de la suma, resta, multiplicació i quocient. La major fa un pas més i treballa amb les potències [potestades] numèriques. És l’eina per analitzar la composició d’aquestes potències i resoldre les seves arrels, la qual servirà de fonament a l’Àlgebra. En la definició d’Àlgebra, Zaragoza deixa entreveure la visió d’anàlisi que començava a aflorar a la resta d’Europa i havia introduït Viète. Utilitza la paraula “caràcter” per designar les incògnites substituïdes per la notació de la simbologia, igual que feien Rudolff, Aurel i altres. A més, el procediment de resolució analítica també sembla coincidir amb aquests autors, ja que considera un caràcter suposat per després resoldre la magnitud i trobar el valor que li correspon.
La mayor sube a las Potestades numéricas, examina sus composiciones, inquiere sus raíces, como principal fundamento del Algebra. Esta nobilísima ciencia es verdadera Analítica, que con superior artificio suponiendo un Carácter en lugar de la Cantidad continua, y discreta incógnita, llega a determinar el valor del Carácter supuesto y a resolver con él la magnitud de que se dudaba.26
4.3.3. La utilitat de l’Àlgebra
Zaragoza presenta l’Àlgebra amb gran admiració, definint-la com la llum i essència de les Matemàtiques. Un descobriment que aporta valor i certesa a la resolució de qualsevol problema ja que ens ajuda a determinar falses suposicions i a verificar el resultat trobat. Aquest procediment de resolució de problemes coincideix amb l’art analític de Viète, assumint la incògnita com si fos ja admesa i treballar a partir d’unes regles donades per arribar a allò que és veritablement cert.
