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Un estanque se alimenta de dos bocas de agua. Abriendo solamente laprime-ra, el estanque se llena en 8 horas y, abriendo ambas, en 3 horas. ¿Cuánto tar-da en llenarse si se abre solo la seguntar-da boca?
La primera boca llena el estanque en 8 horas. Por tanto, cada hora llena de estan-que.
Las dos bocas juntas llenan el estanque en 3 horas. Por tanto, cada hora llenan de estanque.
La segunda boca llenará, cada hora, – = de estanque.
Si en una hora la segunda boca llena del estanque, en llenarlo tardará: horas = 4 h 48 min
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Un depósito dispone de dos grifos, A y B. Abriendo solamente A, el depósitose llena en 3 horas. Abriendo ambos se llena en dos horas. ¿Cuánto tardará en llenarse el depósito si se abre solamente el grifo B?
El grifo A tarda en llenar el depósito 3 horas 8En una hora llena de depósito. Los grifos A y B tardan en llenar el depósito 2 horas 8En una hora llenan de depósito.
El grifo B llena, en una hora, – = de depósito. El grifo B tarda en llenar el depósito, él solo, 6 horas.
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En una balsa hay un grifo y un sumidero. El sumidero vacía la balsa en doshoras. Un día, sin darnos cuenta, y estando la balsa llena, abrimos el sumi-dero pero dejamos el grifo abierto. La balsa tardó 5 horas en vaciarse. ¿Cuánto tarda el grifo en llenar la balsa?
El sumidero vacía la balsa en 2 horas 8En una hora vacía de balsa.
La balsa se vacía, con sumidero y grifo abiertos, en 5 horas 8Cada hora se vacía de balsa.
El grifo llena, cada hora, – = de balsa.
El grifo tarda en llenar la balsa, horas = 3 h + de hora = 3 h 20 min.1 3 10 3 3 10 1 5 1 2 1 5 1 2 1 6 1 3 1 2 1 2 1 3 24 5 5 24 5 24 1 8 1 3 1 3 1 8 Pág. 1
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Un motorista sale de su casa a las cinco de la tarde para acudir a una cita. Seda cuenta de que si viaja a 60 km/h llegará un cuarto de hora tarde, pero que si lo hace a 100 km/h llegará un cuarto de hora antes. ¿A qué hora es la cita? ¿A qué distancia está su destino?
Yendo a 60 km/h, en 15 minutos recorre 15 kilómetros (los que le faltarían para llegar al lugar de la cita).
Yendo a 100 km/h, en los 15 minutos que le sobran recorrería 25 km.
Es decir, en el mismo tiempo, recorrería 40 km más yendo a 100 km/h que yendo a 60 km/h. Y esto solo ocurre si ese tiempo es de una hora.
Por tanto, el lugar de la cita está a 3/4 de hora yendo a 100 km/h, o a 5/4 de hora yendo a 60 km/h:
· 100 = · 60 = 75 km La cita es a las seis y cuarto de la tarde.
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Un tren avanza a 90 km/h por un tramo recto de vía. Por una carreteraparale-la, y en la misma dirección avanza un coche a 120 km/h.
¿Cuál es la longitud del tren sabiendo que el coche tarda 18 segundos en so-brepasarlo?
El coche sobrepasa al tren (lo adelanta) a una velocidad de 120 – 90 = 30 km/h. El tren mide lo mismo que la distancia que recorre un móvil en 18 segundos, yen-do a una velocidad de 30 km/h:
30 · km = 0,15 km = 150 m
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Dos operarios sueldan piezas para circuitos electrónicos. El primero suelda tres piezas por minuto, y el segundo, dos piezas por minuto. Sabiendo que el segundo ha trabajado media hora más que el primero y que entre ambos han soldado 460 piezas, calcula el tiempo que ha trabajado cada uno.En media hora, el segundo operario suelda 30 · 2 = 60 piezas.
Quitando esa media hora, entre los dos, trabajando el mismo tiempo, han soldado 460 – 60 = 400 piezas. 18 60 · 60 5 4 3 4 A 60 km/h A 100 km/h 1/4 de hora 1/4 de hora 100 í 1/4 = 25 km 60 í 1/4 = 15 km EN UN CIERTO MOMENTO CITA Pág. 2
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El primero suelda 3/5 de las 400 piezas = 240 piezas. El segundo suelda 2/5 de las 400 piezas = 160 piezas. Tardan en soldarlas 240 : 3 = 160 : 2 = 80 minutos. Por tanto:
El primero trabaja 80 minutos = 1 h 20 min. El segundo trabaja 110 minutos = 1 h 50 min.
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Un profesor de tenis, en un entrenamiento, reparte tres pelotas a cada alumnoy le sobran 11. Al día siguiente lleva 20 pelotas más, con lo que cada uno recibe cinco y solo le sobra una. ¿Cuántos son los alumnos?
Si se entregan tres pelotas a cada uno, sobran 11.
Con 20 pelotas más, y entregando 5 a cada uno, sobra una.
La diferencia de pelotas, entre entregar 3 o entregar 5 a cada uno es 11 + 20 – 1 = 30. El número de alumnos es 30 : (5 – 3) = 15.
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Entre todos los amigos, aportando 6 €cada uno, íbamos a comprar un balónpara regalárselo a nuestro amigo Jordi. Pero Iván y Julia no pueden pagarlo, por lo que ahora tocamos a 10 €. ¿Cuántos amigos somos en la pandilla?
Entre Iván y Julia habrían aportado 12 €.
Ahora, cada uno de los que quedan debe aportar 10 – 6 = 4 €más. Los 12 €se reparten, por tanto, entre 12 : 4 = 3 personas.
En total, con Iván y Julia, son 5 amigos los que compran el regalo, más Jordi, son 6 en la pandilla.
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Una vela dura una hora. Con las sobras de 10 velas se fabrica una nueva.a) ¿Cuántas horas de luz tendremos con 442 velas? b) ¿Cuántas velas se necesitan para 1 000 horas de luz?
a) Con 442 velas se tiene luz para 442 horasy hay 442 sobrantes.
Con 442 sobrantes se hacen 44 velas + 2 sobrantes 844 horasde luz y 46 so-brantes
Con 46 sobrantes se hacen 4 velas + 6 sobrantes 84 horasde luz y 10 sobrantes Con 10 sobrantes se hace 1 vela 81 horade luz y 1 sobrante
Total: 442 + 44 + 4 + 1 = 491 horas de luz
OTRA FORMA DE RESOLVERLO (MÁS TÉCNICA)
Con una vela se consigue 1 hora de luz y sobra 1/10 de vela. Por tanto, una hora de luz se consigue con 9/10 de vela. Como hay 442 velas 8442 : = 491 +
Es decir, se consiguen 491 horas de luz y sobra algo de vela. 1
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b) El número de velas que necesitamos debe estar alrededor de 1 000 · = 900. Veamos, con más exactitud, cuántas necesitamos.
Con 900 velas se tiene luz para 900 horasy hay 900 sobrantes.
Con 900 sobrantes se hacen 90 velas 890 horasde luz y 90 sobrantes Con 90 sobrantes se hacen 9 velas 89 horasde luz y 9 sobrantes Conseguimos, en total, 999 horas de luz y nos quedan 9 sobrantes.
Necesitamos, por tanto, una vela más, 901, aunque con ellas conseguiremos, no 1 000, sino 1 001 horas de luz.
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Una granjera fue al mercado a vender una cesta de huevos. La primera clientacompró la mitad de los huevos más medio huevo. La segunda compró la mitad de los que le quedaban más medio huevo, y lo mismo hizo la tercera. Con esto concluyó la venta, ya que a la granjera no le quedaban más huevos. ¿Cuántos huevos tenía?
RESOLUCIÓN UTILIZANDO ÁLGEBRA
Después de la tercera venta, no le queda nada. Por tanto, = 0 8 x= 7
Comprobación:
RESOLUCIÓN SIN UTILIZAR ÁLGEBRA
Si después de una compra le quedan a huevos, antes de la compra tenía:
a+ 1
)
· 2 = 2a+ 1 huevos. 2(
x– 7 8 9 10 Pág. 4 T E N Í A V E N D E L E Q U E D A 1 .a V E N TA x x 1 x+ 1 — + — = — 2 2 2 x+ 1 x– 1 x– — = — 2 2 2 .a V E N TA x– 1 — 2 x– 1 1 x+ 1 — + — = — 4 2 4 x– 1 x+ 1 2x– 2 – x– 1 x– 3 — – — = —— = — 2 4 4 4 3 .a V E N TA x– 3 — 4 x– 3 1 x+ 1 — + — = — 8 2 8 x– 3 x+ 1 2x– 6 – x– 1 x– 7 — – — = —— = — 4 8 8 8 T E N Í A V E N D E L E Q U E D A 1 .a V E N TA 7 7 1 — + — = 4 2 2 3 2 .a V E N TA 3 3 1 — + — = 2 2 2 1 3 .a V E N TA 1 1 1 — + — = 1 2 2 0 L E Q U E D A N T E N Í A A N T E S 3 .a V E N TA 0 2 · 0 + 1 = 1 2 .a V E N TA 1 2 · 1 + 1 = 3 1 .a V E N TA 3 2 · 3 + 1 = 7E
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Un padre repartió entre sus hijos un rebaño de ovejas.• El mayor de ellos se llevó una oveja más 1/7 de las restantes. • Al segundo le correspondieron dos ovejas más 1/7 de las restantes. • El tercero recibió tres ovejas más 1/7 de las que quedaban.
• Y así sucesivamente hasta llegar al más pequeño.
De esta manera, todos recibieron la misma herencia y no sobró ninguna oveja. ¿Cuántos hermanos eran?
¿Cuántas ovejas había en el rebaño?
Como a todos les toca lo mismo, = 8 x= 36. Había 36 ovejas.
Al primer hermano (y a todos los demás) le tocan 1 + (35/7) = 6 ovejas. Hay, por tanto, 36 : 6 = 6 hermanos. Comprobación: 6x+ 78 49 x+ 6 7 Pág. 5 H A B Í A L E T O C A N S O B R A N P R I M E R O x 1 + — + —x– 1 x+ 6 7 7 x+ 6 6x– 6 x– — = — 7 7 S E G U N D O —6x– 6 7 6x– 6 — – 2 7 49 · 2 + 6x– 6 – 2 · 7 6x+ 78 2 + — = ——— = — 7 49 49 H A B Í A L E T O C A S O B R A N 1 . ° 36 1 + (35/7) = 6 30 2 . ° 30 2 + (28/7) = 6 24 3 . ° 24 3 + (21/7) = 6 18 4 . ° 18 4 + (14/7) = 6 12 5 . ° 12 5 + (7/7) = 6 6 6 . ° 6 6 + (0/7) = 6 0
