Aplicaciones de la derivada

(1)

338

La ecuación de la recta tangente es: La ecuación de la recta normal es:

004 Calcula las ecuaciones de las rectas tangentes a la función f ( x ) = 2x3₊₃ en los puntos x= 1 y x=−1.

Comprueba que son paralelas a la recta y= 6x.

f(1) = 5

La ecuación de la recta tangente es:

f(−1) = 1

Las rectas son paralelas a la recta y = 6x, porque su pendiente es 6. 005 Decide dónde crecen y decrecen estas funciones.

a) f ( x ) =x3₋₃_x2₊_x₊₁ b)

a) Como f ( x ) es continua en R, estudiamos el crecimiento para todos los números reales.

• En → → f ( x ) creciente

• En → → f ( x ) decreciente

b) Como g ( x ) es continua en R, estudiamos el crecimiento para todos los números reales.

• En → → g ( x ) decreciente • En → → g ( x ) creciente

ANTES DE COMENZAR… RECUERDA

Determina el crecimiento y decrecimiento 001

de esta función.

Indica en qué puntos alcanza máximos o mínimos relativos y absolutos.

La función es decreciente en (− − ∪

`

, 2) ( , ) ( ,1 3 ∪ 6 +

`

). Y es creciente en (−2, 1) ∪ (3, 6).

Tiene un máximo relativo en (1, 2) y en (6, 1). Tiene un mínimo relativo en (−2, −2) y en (3, −1).

A la vista de la función, no podemos asegurar que presente máximos ni mínimos absolutos.

Una función definida para todos los números reales es decreciente en el intervalo 002

(−2, 5) y creciente en el resto. ¿Cuáles son los máximos y mínimos? Se alcanzará un máximo en x =−2 y un mínimo en x = 5. Si

003 lim f x L lim g x

x→+` ( )= yx→+` ( )= +

`

, calcula estos límites.

a) lim f x g x x→+`

(

( )+ ( )

)

b) xlim f x g x→+`

(

( )⋅ ( )

)

c) xlim f x g x →+`

( )

( ) ( ) a) lim f x g x x→+`( ( )+ ( ))= +

`

b) lim f x g x x→+`( ( ) ( ))⋅ = +

`

c) lim f x L x g x →+ = + > `

`

( ( ))( ) si Indeterminación si 1 si L L = < <       1 0 0 1

ACTIVIDADES

Halla la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función

001 f ( x ) = 6x2₊_{1 en}_x₌_1. f limf h f h lim h h h h '( )1 (1 ) ( )1 6 1( ) 1 7 0 0 2 = + − = + + − → → == + ₌ = + = lim h h h lim h h h → → 0 2 0 12 6 12 6 12 ( )

¿Cuál es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función

002 f ( x ) =x3_en_x₌_1? f limf h f h lim h h li h h '( )1 (1 ) ( )1 (1 ) 1 0 0 3 = + − = + − = → → mm h h h h lim h h h h → → 0 2 3 0 2 3 3 3 3 3 + + ₌ = ( + + )=

003 Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f ( x ) =x2₊₃ en el punto P(−1, 4).

¿Cuál es la ecuación de la recta normal?

Y

X

1 1

(2)

Aplicaciones de la derivada

SOLUCIONARIO

7

f limf h f h lim h h h '( )− =1 (− +1 )− −( )1 = (− +1 ) +3 0 0 2 → → − − = − + = = − + = − 4 2 2 2 0 2 0 h lim h h h lim h h h → →( )

La ecuación de la recta tangente es: y− = −4 2(x+1)→y= −2x+2 La ecuación de la recta normal es: y− =4 1 x+ y= x+

2 1 1 2 9 2 ( )→

004 Calcula las ecuaciones de las rectas tangentes a la función f ( x ) = 2x3₊₃ en los puntos x= 1 y x=−1.

Comprueba que son paralelas a la recta y= 6x.

f(1) = 5 f limf h f h lim h h h h '( )1 (1 ) ( )1 2 1( ) 3 5 0 0 3 = + − = + + − → → == + + = = + + = lim h h h h lim h h h h → → 0 2 3 0 2 6 6 2 6 6 2 6 ( )

La ecuación de la recta tangente es: y− =5 6(x−1)→ y=6x−1

f(−1) = 1 f limf h f h lim h h h '( )− =1 (− +1 )− −( )1 = 2 1(− + ) + 0 0 3 → → 33 1 6 6 2 6 6 2 6 0 2 3 0 2 − ₌ − + ₌ = − + = h lim h h h h lim h h h h → →( )

La ecuación de la recta tangente es: y− =1 6(x+1)→y=6x+7 Las rectas son paralelas a la recta y = 6x, porque su pendiente es 6. 005 Decide dónde crecen y decrecen estas funciones.

a) f ( x ) =x3₋₃_x2₊_x₊₁ b) g x x x ( )= + 2 ₁

a) Como f ( x ) es continua en R, estudiamos el crecimiento para todos los números reales.

f x'( )=3x −6x+ =1 0 x= −1 6 ,x= + 3 1 6 3 2 _→ • En − −        ∪ + +        

`

,1 6 ,

`

3 1 6 3 → f x'( )>0 → f ( x ) creciente • En 1 6 3 1 6 3 − +         , → f x'( )<0 → f ( x ) decreciente

b) Como g ( x ) es continua en R, estudiamos el crecimiento para todos los números reales.

g x x x x '( ) ( ) = − + + = = ± 2 2 2 1 1 0→ 1 • En (− − ∪

`

, 1) ( ,1+

`

)→ g x'( )<0 → g ( x ) decreciente • En ( , )−1 1 → g x'( )>0 → g ( x ) creciente

ANTES DE COMENZAR… RECUERDA

Determina el crecimiento y decrecimiento 001

de esta función.

Indica en qué puntos alcanza máximos o mínimos relativos y absolutos.

La función es decreciente

en .

Y es creciente en (−2, 1) ∪ (3, 6).

Tiene un máximo relativo en (1, 2) y en (6, 1). Tiene un mínimo relativo en (−2, −2) y en (3, −1).

A la vista de la función, no podemos asegurar que presente máximos ni mínimos absolutos.

Una función definida para todos los números reales es decreciente en el intervalo 002

(−2, 5) y creciente en el resto. ¿Cuáles son los máximos y mínimos? Se alcanzará un máximo en x =−2 y un mínimo en x = 5. Si

003 , calcula estos límites.

a) b) c)

ACTIVIDADES

Halla la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función

001 f ( x ) = 6x2₊_{1 en}_x₌_1.

¿Cuál es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función

002 f ( x ) =x3_en_x₌_1?

003 Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f ( x ) =x2₊₃ en el punto P(−1, 4).

¿Cuál es la ecuación de la recta normal?

(3)

340

b) g ( x ) es continua en .

Así, estudiamos el crecimiento en , y . • En → → g ( x ) creciente

• En → → g ( x ) decreciente

En presenta un máximo, y sus coordenadas son . 008 Halla las coordenadas de los máximos y mínimos de la siguiente función:

Como f ( x ) es continua en , el extremo se encuentra en . • En → → f ( x ) decreciente

• En → → f ( x ) creciente

En presenta un mínimo, y sus coordenadas son .

009 Halla los máximos y mínimos de estas funciones mediante la derivada segunda.

a) f ( x ) es continua en , con → mínimo → máximo b) g ( x ) es continua en R. → mínimo → máximo → máximo 006 Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones, y compruébalo

gráficamente.

a) f ( x ) =−x2₋₂_x₊₅ _b)_g₍_x₎₌₋_x₊₇_x2

a) Como f ( x ) es continua en R por ser una función polinómica, estudiamos el crecimiento para todos los números reales.

f x'( )= − − =2x 2 0→ x= −1 • En (− −

`

, 1 )→ f x'( )>0 → f ( x ) creciente • En ( ,− +1

`

)→ f x'( )<0 → f ( x ) decreciente 1 1 f ( x ) Y X

b) Como g ( x ) es continua en R por ser una función polinómica, estudiamos el crecimiento para todos los números reales.

g x'( )= − +1 14x=0 x= 1 14 → • En −  

`

, 1_ 14 → g x'( )<0 → g ( x ) decreciente • En 1 14,+   

`

→ g x'( )>0 → g ( x ) creciente 1 2 g ( x ) Y X

007 Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y calcula los máximos y mínimos de estas funciones.

a) f x x x ( )= − + 2 2 1 1 b) g x x x ( )= + 3 ₁ a) f ( x ) es continua en R. f x x x x '( ) ( ) = + = = 4 1 0 0 2 2 → • En (−

`

, )0 → f x'( )<0 → f ( x ) decreciente • En ( ,0 +

`

)→ f x'( )>0 → f ( x ) creciente

(4)

Aplicaciones de la derivada

SOLUCIONARIO

7

b) g ( x ) es continua en R− −{ }1 . g x x x x '( ) ( ) = − + + = = 2 1 1 0 1 2 3 3 2 → 3

Así, estudiamos el crecimiento en (− −

`

, 1 , )−        1 1 2 3 , y 1 2 3 _,+        

`

. • En (− − ∪ −, )  ,       

`

1 1 1 2 3 → g x'( )>0 → g ( x ) creciente • En 1 2 3 _,₊        

`

→ g x'( )<0 → g ( x ) decreciente En x= 1 2

3 presenta un máximo, y sus coordenadas son 1 2 2 3 1 2 3 _, 3        .

008 Halla las coordenadas de los máximos y mínimos de la siguiente función:

f x x x ( )= 3+₄ 3 f x x x x '( )= − −3 = = − 5 3 12 ₀_→ ₁₂

Como f ( x ) es continua en R−{ }0 , el extremo se encuentra en (−

`

, )0 . • En

(

−

`

,−312

)

_→_{f x}_'_{( )}_<₀_→_f₍_{x ) decreciente}

• En

(

−312 0_,

)

_→_{f x}_'_{( )}_>₀_→_f₍_x_{) creciente}

En x= −312_{presenta un mínimo, y sus coordenadas son}₋ −

      12 3 4 12 3 3 , .

009 Halla los máximos y mínimos de estas funciones mediante la derivada segunda.

a) f x x x ( )= 2−₃ 1 b) g x x x ( )= + 2 6 ₂ a) f ( x ) es continua en R−{ }0 , con f x x x x '( )=− +2₄ 3 =0→ = ± 3 f x x x "( )= 2 2−12 5 f"

(

− 3

)

>0 → x= − 3 mínimo f"

( )

3 <0→ x= 3 máximo b) g ( x ) es continua en R. g x x x x x x x '( ) ( ) , , = − + + = = = − = 4 4 2 0 0 1 1 7 6 2 → g x x x x "( ) ( ) = − + + 20 100 8 2 12 6 6 3 g"( )0 8 8 1 0 = = > → x=0 mínimo g"( )− =1 20 100− +8 < 27 0 → x= −1 máximo g"( )1 20 100 8 27 0 = − + < → x=1 máximo 006 Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones, y compruébalo

gráficamente.

a) f ( x ) =−x2₋₂_x₊₅ _b)_g₍_x₎₌₋_x₊₇_x2

a) Como f ( x ) es continua en R por ser una función polinómica, estudiamos el crecimiento para todos los números reales.

• En → → f ( x ) creciente • En → → f ( x ) decreciente

b) Como g ( x ) es continua en R por ser una función polinómica, estudiamos el crecimiento para todos los números reales.

• En → → g ( x ) decreciente • En → → g ( x ) creciente

007 Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y calcula los máximos y mínimos de estas funciones.

a) f ( x ) es continua en R.

• En → → f ( x ) decreciente • En → → f ( x ) creciente

(5)

342

Gráficamente:

b) g ( x ) es continua en R, por tanto, estudiamos la concavidad para todos los números reales.

→ g ( x ) convexa Gráficamente:

013 Estudia los intervalos de concavidad y convexidad de estas funciones, y a partir de ellos, determina los puntos de inflexión.

a) f ( x ) es continua en R.

• En → → f ( x ) convexa • En → → f ( x ) cóncava Así, en tiene un punto de inflexión.

b) Como el dominio de g ( x ) es , estudiamos la concavidad en , , (0, 7) y .

• En → → g ( x ) convexa • En → → g ( x ) cóncava Hay un punto de inflexión en .

010 Utiliza la derivada segunda para determinar los máximos y mínimos de la siguiente función: f x x x x x ( )= + + − 3 6 3 2 f ( x ) es continua en R− −{ 3 0 2 ., , } f x x x x x x x x x x '( ) ( ) =− − − + + − = − + − 2 10 6 18 6 2 2 4 3 2 3 2 2 4 33₊₄_x2 =0→x=1 f x x x x x x x x x x "( ) ( ) ( ) = − + − − + = − 6 24 32 16 4 4 2 4 3 2 4 3 2 2 (( ) ( ) ( ) ( ) 6 12 8 2 3 6 12 8 2 2 4 2 2 2 3 x x x x x x x x x − + − + = − + − ((x+3)2 f"( )1<0 → x=1 máximo

011 Decide dónde son cóncavas y dónde son convexas estas funciones. a) f ( x ) = 7x3₋_x2₋_x₊₂ b) g x x x ( )= + 3 2 ₁

a) Como f ( x ) es continua en R, estudiamos la concavidad para todos los números reales.

f x'( )=21x2−2x−1 f x"( )=42x− =2 0 x= 2 = 42 1 21 → • En −  

`

, 1_ 21 → f x"( )<0 → f ( x ) convexa • En 1 21,+   

`

_→ f x"( )>0 → f ( x ) cóncava

b) Como g ( x ) es continua en R, estudiamos la concavidad para todos los números reales.

g x x x x '( ) ( ) = + + 4 2 2 2 3 1 g x x x x x x x x "( ) ( ) , , = − + + = − + = = = − 2 6 1 0 3 0 0 3 3 2 3 3 → → xx= 3 • En

(

−

`

, − 3

)

∪

(

0, 3

)

→ g x'( )>0 → g ( x ) cóncava • En

(

− 3 0,

)

∪

(

3,+

`

)

→ g x'( )<0 → g ( x ) convexa

012 Halla los intervalos de concavidad y convexidad de las siguientes funciones, y comprueba el resultado gráficamente.

a) f ( x ) =−x 2₋_x₊₄ _b)_g₍_x₎₌₋_x₋₅_x2

a) f ( x ) es continua en R, por tanto, estudiamos la concavidad para todos los números reales.

f x'( )= − −2x 1

(6)

Aplicaciones de la derivada

SOLUCIONARIO

7

Gráficamente: 1 1 f ( x ) Y X

b) g ( x ) es continua en R, por tanto, estudiamos la concavidad para todos los números reales.

g x'( )= − −1 10x g x"( )= − <10 0 → g ( x ) convexa Gráficamente: 1 1 g ( x ) Y X

013 Estudia los intervalos de concavidad y convexidad de estas funciones, y a partir de ellos, determina los puntos de inflexión.

a) f x( )=x3+₃x2 _b) _{g x} x x x ( )= − + 1 7 2 a) f ( x ) es continua en R. f x'( )=3x2+6x f x"( )=6x+ =6 0→ x= −1 • En (− −

`

, 1 )→ f x"( )<0 → f ( x ) convexa • En ( ,− +1

`

)→ f x"( )>0 → f ( x ) cóncava Así, en x= −1 tiene un punto de inflexión.

b) Como el dominio de g ( x ) es R− −{ 7 0 , estudiamos la concavidad , } en (− −

`

, 7 , () −7 0 , (0, 7) y ( ,, ) 7 +

`

). g x x x x x '( ) ( ) = − + + + 2 2 2 2 7 7 g x x x x x x x "( ) ( ) = − − − + = = 2 6 42 98 7 0 7 3 2 2 3 → • En (− − ∪

`

, 7) ( , )0 7 → g x"( )<0 → g ( x ) convexa • En (−7 0, ) ( ,∪ 7 +

`

)→ g x"( )>0 → g ( x ) cóncava Hay un punto de inflexión en x=7.

010 Utiliza la derivada segunda para determinar los máximos y mínimos de la siguiente función: f ( x ) es continua en . f x x x x x x x x x x "( ) ( ) ( ) = − + − − + = − 6 24 32 16 4 4 2 4 3 2 4 3 2 2 (( ) ( ) ( ) ( ) 6 12 8 2 3 6 12 8 2 2 4 2 2 2 3 x x x x x x x x x − + − + = − + − ((x+3)2 → máximo

011 Decide dónde son cóncavas y dónde son convexas estas funciones. a) f ( x ) = 7x3₋_x2₋_x₊₂

a) Como f ( x ) es continua en R, estudiamos la concavidad para todos los números reales.

• En → → f ( x ) convexa • En → → f ( x ) cóncava

b) Como g ( x ) es continua en R, estudiamos la concavidad para todos los números reales.

• En → → g ( x ) cóncava • En → → g ( x ) convexa

012 Halla los intervalos de concavidad y convexidad de las siguientes funciones, y comprueba el resultado gráficamente.

a) f ( x ) =−x 2₋_x₊₄ _b)_g₍_x₎₌₋_x₋₅_x2

a) f ( x ) es continua en R, por tanto, estudiamos la concavidad para todos los números reales.

(7)

344

La primera derivada no nula tiene orden par y → En alcanza un máximo.

b)

El orden de la primera derivada no nula es impar → En presenta un punto de inflexión.

017 Si el número de visitantes a un museo se obtiene mediante , siendo x la hora desde su apertura, ¿cuándo recibe mayor número de visitantes?

Debemos maximizar esta función:

→ En alcanza un máximo. El mayor número de visitantes lo recibe cuando pasa una hora desde su apertura. 018 Halla el número real x que minimiza esta función:

D( x ) = (a−x)2₊₍_b₋_x₎2₊₍_c₋_x₎2 _a_,_b_,_c_∈_R

→ En alcanza un mínimo.

019 La capacidad de concentración de una saltadora de altura, en una competición de atletismo de tres horas de duración, viene dada por la función:

f ( t ) = 300 t (3 −t )

donde t mide el tiempo en horas. ¿Cuál es el mejor momento, en términos de su capacidad de concentración, para que la saltadora pueda batir su propia marca?

→ En alcanza un máximo.

El mejor momento para que la saltadora pueda batir su propia marca es cuando ha transcurrido 1 hora y media.

014 Estudia los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de las siguientes funciones.

a) f ( x ) = 4 x 3₋₈_x₊₇ _b) _{g x} x x ( )= − +3₂ 2 a) f x'( )=12x2− =8 0 f x"( )=24x=0→ x=0 f x"'( )=24→f"'( )0 ≠0→ x=0 punto de inflexión • En (−

`

, )0 → f x"( )<0 → f ( x ) convexa • En ( ,0 +

`

)→ f x"( )>0 → f ( x ) cóncava b) g x x x '( )=− −3₃ 4 g x x

"( )= 12₄ >0→ No hay puntos de inflexión y la función es cóncava en (−

`

, ) (0 ∪ +0

`

), ya que 0 no está en el dominio.

015 Calcula los puntos de inflexión de las siguientes funciones mediante la derivada tercera. a) f x x x ( )= 2−₃1 2 b) g x x x ( )= − − 2 ₇ a) f x x x '( )=− +2 ₄ 3 2 f x x x x x "( )= 2− = = − , = 5 6 ₀_→ ₆ ₆ f x x x "'( )= −3 2+30 6 f"'

(

− 6

)

≠0,f"'

(

6

)

≠0→ En x= − 6 y en x= 6 presenta puntos de inflexión. b) g x x x '( ) ( ) = + − 2 2 2 7 7 g x x x x x "( ) ( ) = − − − = = 2 42 7 0 0 3 2 3 → g x x x x g "'( ) "' ( ) ( ) = + + − ≠ 6 252 294 7 0 0 4 2 2 4 → → En x=0 presenta un punto de inflexión.

016 Halla los máximos, mínimos o puntos de inflexión de estas funciones. a) f ( x ) =−4x 6

b) g( x ) = 3x7

a) f x'( )= −24x5=0_→x=0 f x"( )= −120x4=0_→x=0 f x"'( )= −480x3_→f"'( )0 =0

(8)

Aplicaciones de la derivada

SOLUCIONARIO

7

fIV)_{( )}x _{= −}_{1 440}_. x2_→fIV)_{( )}₀ ₌₀

f xV)_{( )}_{= −}_{2 880}_. x_→fV)_{( )}₀ ₌₀ fVI)_{( )}x _{= −}_{2 880}_. _≠₀

La primera derivada no nula tiene orden par y fVI)_{( )}₀ _<₀_→_En_x₌_{0 alcanza} un máximo. b) g x'( )=21x6=0_→ x=0 g x"( )=126x5=0_→x=0 g x"'( )=630x4_→g"'( )0 =0 g xIV)_{( )}₌_{2 520}_. x3_→gIV)_{( )}₀ ₌₀ g xV)_{( )}₌_{7 560}_. x2_→gV)_{( )}₀ ₌₀ g xVI)_{( )}₌_{15 120}_. x_→gVI)_{( )}₀ ₌₀ gVII)_{( )}x ₌_{15 120}_. _≠₀

El orden de la primera derivada no nula es impar → En x=0 presenta un punto de inflexión.

017 Si el número de visitantes a un museo se obtiene mediante f x x x ( )= + 300 2 3 , siendo x la hora desde su apertura, ¿cuándo recibe mayor número de visitantes?

Debemos maximizar esta función: f x x x ( )= + 300 2 3 f x x x x '( ) ( ) = − + + = = 600 600 2 0 1 3 3 2 → f x x x x f "( ) . . " ( ) ( ) = − + < 1 800 7 200 2 1 0 5 2 3 3 → → En x=1 alcanza un máximo. El mayor número de visitantes lo recibe cuando pasa una hora desde su apertura. 018 Halla el número real x que minimiza esta función:

D( x ) = (a−x)2₊₍_b₋_x₎2₊₍_c₋_x₎2 _a_,_b_,_c_∈_R D x'( )= −2(a−x)−2(b−x)−2(c−x) D x'( )= − +2a 2x−2b+2x−2c+2x=6x−2(a+ +b c)=0 →x= 2a+ +b c = a+ +b c 6 3 ( ) D x"( )= >6 0 → En x= a+ +b c ∈ 3 R alcanza un mínimo.

019 La capacidad de concentración de una saltadora de altura, en una competición de atletismo de tres horas de duración, viene dada por la función:

f ( t ) = 300 t (3 −t )

donde t mide el tiempo en horas. ¿Cuál es el mejor momento, en términos de su capacidad de concentración, para que la saltadora pueda batir su propia marca?

f x'( )=900 600− t=0 t= 3

2

→

f x"( )= −600<0 → En t= 3

2 alcanza un máximo.

El mejor momento para que la saltadora pueda batir su propia marca es cuando ha transcurrido 1 hora y media.

014 Estudia los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de las siguientes funciones.

a) f ( x ) = 4 x 3₋₈_x₊₇ a) → punto de inflexión • En → → f ( x ) convexa • En → → f ( x ) cóncava b)

→ No hay puntos de inflexión y la función es cóncava en , ya que 0 no está en el dominio.

015 Calcula los puntos de inflexión de las siguientes funciones mediante la derivada tercera. a) → En y en presenta puntos de inflexión. b) → En presenta un punto de inflexión.

016 Halla los máximos, mínimos o puntos de inflexión de estas funciones. a) f ( x ) =−4x 6

b) g( x ) = 3x7 a)

(9)

346

Sean x e y las dimensiones del rectángulo de modo que: La función que se va a optimizar viene dada por:

Como la solución negativa no es válida, tenemos que:

→ En este punto se alcanza un mínimo. Las dimensiones son metros, metros; por tanto, se trata de un cuadrado de lado metros.

024 Un jardinero dispone de 160 metros de alambre que va a utilizar para cercar una zona rectangular y dividirla en tres partes, colocando las alambradas de las divisiones paralelas a uno de los lados del rectángulo. ¿Qué dimensiones debe tener la zona cercada para que el área sea la mayor posible?

Llamamos x e y a las dimensiones de la zona rectangular, y consideramos que las divisiones son paralelas a los lados de medida x. Para dividir la zona rectangular en tres partes necesitamos realizar dos divisiones, por lo que se debe cumplir que:

Debemos optimizar la función que nos da el área, es decir:

Las dimensiones de la zona rectangular deben ser metros e metros.

025 Halla la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x= 2.

La pendiente coincide con el valor de la derivada en el punto . La pendiente es .

026 Dada la función f ( x ) =x 3₊₃_x2₋_{4, calcula la pendiente de la tangente a la gráfica} de la función f en el punto de abscisa x=−1.

(Baleares. Junio 2002. Opción B. Cuestión 6)

La pendiente es −3. 020 Halla dos números reales positivos, sabiendo que su suma es 10 y que el producto

de sus cuadrados es máximo.

Si llamamos x e y a los dos números reales positivos, se cumple que: x+ =y 10 Debemos maximizar la función:

P x y( , )=x y2 2_→P x( )=x2(₁₀−x)2=x2(₁₀₀+x2−₂₀x)=₁₀₀₀_x2₊_x4₋₂₀_x3

P x'( )=200x+4x3−60x2=0_→ x=0,x=5,x=10

Veamos cuál es el número que maximiza la función P ( x ). P x"( )=200 12+ x2−120x

P"( )0 =200>0→ En x=0 alcanza un mínimo. P"( )5 = −100<0→ En x=5 alcanza un máximo. P"( )10 =200>0→ En x=10 alcanza un mínimo. Los dos números que buscamos son x=5 e y=5.

021 De todos los prismas rectos de base cuadrada y tales que el perímetro de una cara lateral es de 30 cm, halla las dimensiones del que tiene volumen máximo.

Llamamos x a la longitud de la arista de la base e y a la altura del prisma. Como el perímetro de una cara lateral es de 30 cm, se cumple que: 2x+2y=30→x+ =y 15→ y=15−x

La función que debemos optimizar es: V x( )=x2(₁₅−x)=₁₅x2−x3

V x'( )=30x−3x2=0_→x=0,x=10

V x"( )=30 6 − x→ V"( )0 >0, V"( )10 <0→ El máximo se alcanza en x=10. Las dimensiones del prisma recto de base cuadrada son:

Arista de la base: 10 cm Altura: 5 cm

022 Determina el punto de la gráfica de la función que a cada número le hace corresponder su doble y cuya distancia al punto (6, 3) es mínima. ¿Cuál es esa distancia?

La función que a cada número le hace corresponder su doble es: y=2 x Un punto que satisface esta función es ( ,x x2 y la función que nos da la distancia ) desde este punto a ( , )6 3 es: d x( )= (x−6)2+(2x−3)2

Optimizamos la función D x( )=d x2( )=(x−₆)2+(₂x−_{3 .})2 D x'( )=2(x− +6) 4 2( x− =3) 2x− +12 8x−12 10= x−24=0→x== 24 = 10 12 5 D x"( )=10>0 → En x=12 5 alcanza un mínimo. Así, la distancia al punto (6, 3) será mínima en el punto 12

5 24 5 ,    _.

023 Entre todos los rectángulos de área 3 m2_{, encuentra las dimensiones del que tiene} mínimo el producto de sus diagonales.

(10)

Aplicaciones de la derivada

SOLUCIONARIO

7

Sean x e y las dimensiones del rectángulo de modo que: xy=3

La función que se va a optimizar viene dada por:

d d d P x y x y P x x x ⋅ = = + = +   _ = 2 2 2 2 2 3 → ( , ) → ( ) xx x 2 2 9 + P x x x x x x '( )=2 −18₃ =0_→2 4−18=0_→ = − 3, = 3

Como la solución negativa no es válida, tenemos que: P x

x P

"( )= +2 54₄ → "

( )

3 >0→ En este punto se alcanza un mínimo. Las dimensiones son x= 3 metros, y= 3 =

3 3 metros; por tanto, se trata de un cuadrado de lado 3 metros.

024 Un jardinero dispone de 160 metros de alambre que va a utilizar para cercar una zona rectangular y dividirla en tres partes, colocando las alambradas de las divisiones paralelas a uno de los lados del rectángulo. ¿Qué dimensiones debe tener la zona cercada para que el área sea la mayor posible?

x y

Llamamos x e y a las dimensiones de la zona rectangular, y consideramos que las divisiones son paralelas a los lados de medida x. Para dividir la zona rectangular en tres partes necesitamos realizar dos divisiones, por lo que se debe cumplir que:

4x+2y=160→2x+ =y 80→y=80 2− x

Debemos optimizar la función que nos da el área, es decir:

A x y( , )=xy→ A x( )=x(80 2− x)=80x−2x2

A x'( )=80−4x=0→ x=20

A x"( )= − <4 0 → En x=20 alcanza un máximo.

Las dimensiones de la zona rectangular deben ser x=20 metros e y=40 metros.

025 Halla la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f x x ( )= −2 en el punto de abscisa x= 2.

La pendiente coincide con el valor de la derivada en el punto x=2.

f'(x)= 2 x2 →f'(2)= 1 2 → La pendiente es 1 2.

026 Dada la función f ( x ) =x 3₊₃_x2₋_{4, calcula la pendiente de la tangente a la gráfica} de la función f en el punto de abscisa x=−1.

(Baleares. Junio 2002. Opción B. Cuestión 6)

f'(x)=3x2₊_6x_→_f_'₍₋₁₎₌₃₋₆_{= −}₃_→_{La pendiente es}₋_3.

020 Halla dos números reales positivos, sabiendo que su suma es 10 y que el producto de sus cuadrados es máximo.

Si llamamos x e y a los dos números reales positivos, se cumple que: Debemos maximizar la función:

P x y( , )=x y2 2_→P x( )=x2(₁₀−x)2=x2(₁₀₀+x2−₂₀x)=₁₀₀₀_x2₊_x4₋₂₀_x3

Veamos cuál es el número que maximiza la función P ( x ).

→ En alcanza un mínimo.

→ En alcanza un mínimo. Los dos números que buscamos son e .

021 De todos los prismas rectos de base cuadrada y tales que el perímetro de una cara lateral es de 30 cm, halla las dimensiones del que tiene volumen máximo.

Llamamos x a la longitud de la arista de la base e y a la altura del prisma. Como el perímetro de una cara lateral es de 30 cm, se cumple que: La función que debemos optimizar es:

→ , → El máximo se alcanza en . Las dimensiones del prisma recto de base cuadrada son:

Arista de la base: 10 cm Altura: 5 cm

022 Determina el punto de la gráfica de la función que a cada número le hace corresponder su doble y cuya distancia al punto (6, 3) es mínima. ¿Cuál es esa distancia?

La función que a cada número le hace corresponder su doble es:

Un punto que satisface esta función es y la función que nos da la distancia desde este punto a es:

Optimizamos la función . D x'( )=2(x− +6) 4 2( x− =3) 2x− +12 8x−12 10= x−24=0→x== 24 = 10 12 5 → En alcanza un mínimo.

Así, la distancia al punto (6, 3) será mínima en el punto .

023 Entre todos los rectángulos de área 3 m2_{, encuentra las dimensiones del que tiene} mínimo el producto de sus diagonales.

(11)

348

031 Calcula la ecuación de la recta tangente a la curva x 2₊₁₆_y2₋₁₆₌_{0 en el punto} de abscisa 3 y ordenada positiva.

Consideramos el punto .

Despejamos y como raíz positiva por ser la ordenada positiva.

032 Determina la ecuación de la recta tangente a la curva 4x 2₋₉_y2₋₃₆₌_{0 en el punto} de abscisa 4 y ordenada positiva.

Consideramos el punto

033 Se considera la función .

Obtén la expresión de la recta tangente a dicha función en x= 3.

(Castilla y León. Septiembre 2006. Bloque A. Pregunta 2)

La recta tangente es:

027 Dada la función: f x x x x x ( )= − − ≤ < ≤ ≤     16 2 2 2 3 2 2 si

si calcular la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en x= 1.

(Castilla-La Mancha. Junio 2002. Bloque 2. Ejercicio A)

x=1→f(x)=16−x2_→_f_'₍_x₎_{= −}_2x_→_f_'₍₁₎_{= −}₂_→_{La pendiente es}₋_2.

028 Dada la función f x x x ( )=

−2, ¿existe algún punto de la gráfica en el que la recta tangente tenga pendiente positiva? Justifica la respuesta.

(Galicia. Septiembre 2001. Bloque 2. Ejercicio 1)

f'(x)= −2

(x−2)2 <0,∀x∈R−{2}→ No existe ningún punto de la gráfica

en el que la recta tangente tenga pendiente positiva.

029 Halla la ecuación de la tangente a la gráfica de cada una de estas funciones en los puntos que se indican.

a) y = sen x + x, en x =π. b) y x en x x = 4−3, = −1. c) y= ln (x 2₊_{7), en}_x₌_0. d) y= 3x + 1_{, en}_x₌₋_1. a) f( )π =π f x'( )=cos x+1→f'( )π =0

La ecuación de la recta tangente es: y− =π 0(x−π)→ y=π

b) f( )− =1 2 f x x x x x x x f '( )= 4 3⋅ −( 4−3) = 3 +3 '( )− =1 6 2 4 2 →

La ecuación de la recta tangente es: y− =2 6(x+1)→ y=6x+8 c) f( )0 =ln7 f x x x f '( )= '( ) + = 2 7 0 0 2 →

La ecuación de la recta tangente es: y−ln7=0(x−0)→y=ln7 d) f(−1)=30₌₁

f'(x)=3x+1_⋅_{ln 3}_→_f_'₍₋₁₎₌₃0_⋅_{ln 3}₌_{ln 3}

La ecuación de la recta tangente es: _y−1=ln 3(x+1) 030 Determina la ecuación de la tangente a la parábola y= 1x

2

2_{en el punto}_A_{(2, 2).}

f x'( )= 1⋅ x=x f'( )=

2 2 → 2 2

(12)

Aplicaciones de la derivada

SOLUCIONARIO

7

031 Calcula la ecuación de la recta tangente a la curva x 2₊₁₆_y2₋₁₆₌_{0 en el punto}

de abscisa 3 y ordenada positiva.

x=3 9 16+ y −16=0 16y =7 y= ± 7 4 2 2 → → → Consideramos el punto 3 7 4 ,        .

y x y x x = − = − − 16 4 _{4 16} 2 2 → ' y'( )3 3 4 16 9 3 7 28 = − − = −

y− 7 = − x− y= − x+ 4 3 7 28 3 3 7 28 4 7 7 ( )→

032 Determina la ecuación de la recta tangente a la curva 4x 2₋₉_y2₋₃₆₌_{0 en el punto} de abscisa 4 y ordenada positiva.

x=4 64 9− y −36=0 9y =28 y= ±2 7 3 2 2 → → → Consideramos el punto 4 2 7 3 , .        

y x y x x = − = − 4 36 3 4 3 4 36 2 2 → ' y'( )4 16 3 64 36 8 7 21 = − =

y−2 7 = x− y= x− 3 8 7 21 4 8 7 21 6 7 7 ( )→ 033 Se considera la función f x x x ( )= −2.

Obtén la expresión de la recta tangente a dicha función en x= 3.

(Castilla y León. Septiembre 2006. Bloque A. Pregunta 2)

f(3)=3 f'(x)= −2

(x−2)2 →f'(3)= −2

La recta tangente es: _y−3= −2(x−3)→y−3= −2x+6→ y= −2x+9

027 Dada la función: calcular la pendiente de la recta

tangente a la gráfica de la función en x= 1.

(Castilla-La Mancha. Junio 2002. Bloque 2. Ejercicio A)

La pendiente es −2.

028 Dada la función , ¿existe algún punto de la gráfica en el que la recta tangente tenga pendiente positiva? Justifica la respuesta.

(Galicia. Septiembre 2001. Bloque 2. Ejercicio 1)

No existe ningún punto de la gráfica en el que la recta tangente tenga pendiente positiva.

029 Halla la ecuación de la tangente a la gráfica de cada una de estas funciones en los puntos que se indican.

a) y = sen x + x, en x =π.

c) y= ln (x 2₊_{7), en}_x₌_0. d) y= 3x + 1_{, en}_x₌₋_1.

a)

La ecuación de la recta tangente es: b)

La ecuación de la recta tangente es: c)

La ecuación de la recta tangente es: d)

030 Determina la ecuación de la tangente a la parábola en el punto A(2, 2).

(13)

350

038 Halle los valores de a y b para que la recta tangente a la gráfica de f ( x ) =ax 2₋_b en el punto (1, 5) sea la recta y= 3x+ 2.

(Andalucía. Junio 2007. Opción B. Ejercicio 2)

Como la pendiente de la recta tangente es 3 resulta: Por tanto:

De este modo tenemos que:

039 Determina las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de la función y= ln x en el punto de abscisa x= 1.

040 Obtén las ecuaciones de las rectas tangente y normal a las siguientes curvas en los puntos que se indican.

a)

b)

La ecuación de la recta tangente es: La ecuación de la recta normal es: 034 Dada la función f x x

x ( )=

−

1 2, hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f ( x ) en x= 0.

(Madrid. Junio 2003. Opción B. Ejercicio 2)

f(0)=0

f'(x)= x2+1

(1−x2₎2 →f'(0)=1

Ecuación de la recta tangente: y=x

035 Sea la función f x x x

x ( )= ( −1)(₂ −2).

Calcula la ecuación de la recta tangente a la curva en x=−3.

(La Rioja. Junio 2004. Parte C. Problema 1)

f(−3)= 20 9 f'(x)= 3x−4 x3 →f'(−3)= −9−4 −27 = 13 27 Ecuación de la recta tangente:

y−20 9 = 13 27(x+3)→y− 20 9 = 13 27x+ 39 27 →y= 13 27x+ 11 3

036 Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f ( x ) = (x+ 1) e−x_{en el punto} de corte de f ( x ) con el eje X.

Calculamos el punto de corte con el eje de abscisas: (x₊₁)e−x₌₀_→x_{+ =}_{1 0}_→x_{= −}₁

f x_'_{( )}₌e−x₋₍x₊₁₎e−x _→f_'_{( )}_{− =}₁ e

La ecuación de la recta tangente es: y=e x( +1)

037 Se considera la función f x x x ( )= + 2 5.

Determinar los valores de a y b para que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f ( x ) en el punto x=−3 sea y=ax+b.

(Aragón. Septiembre 2004. Opción A. Cuestión 2)

f(−3)= −6 2 = −3 f'(x)= 10 (x+5)2 →f'(−3)= 10 4 = 5 2 Ecuación de la recta tangente:

y+3= 5 2(x+3)→ y+3= 5 2x+ 15 2 → y= 5 2x+ 9 2 →a= 5 2,b= 9 2

(14)

Aplicaciones de la derivada

SOLUCIONARIO

7

038 Halle los valores de a y b para que la recta tangente a la gráfica de f ( x ) =ax 2₋_b

en el punto (1, 5) sea la recta y= 3x+ 2.

(Andalucía. Junio 2007. Opción B. Ejercicio 2)

f(1)=5→a−b=5

f'(x)=2ax→f'(1)=2a

Como la pendiente de la recta tangente es 3 resulta: 2a=3→a= 3

2 Por tanto: a−b=5→ 3 2−b=5→b= 3 2−5→b= −7 2 De este modo tenemos que: f(x)= 3

2x

2₊7

2

039 Determina las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de la función y= ln x en el punto de abscisa x= 1.

f( )1=0

f x

x f

'( )= 1 → '( )1=1

La ecuación de la recta tangente es: y= −x 1

La ecuación de la recta normal es: y= − −(x 1)→ y= − +x 1

040 Obtén las ecuaciones de las rectas tangente y normal a las siguientes curvas en los puntos que se indican.

a)

y

₌

xe

x_,en_x₌₄_. b) y=arc sen x,enx= 1. 2 a) f( )4 ₌4e2 f x e xe x e xe x f e x x x x '( )= + ⋅ 1 − = + '( )= 2 ₂ 4 2 1 2 _→ 2

La ecuación de la recta tangente es: y−4e2=2e x2₍ −4₎_→y=2e x2 −4e2 La ecuación de la recta normal es:

y e e x y e x e e −4 = − 1 − = − + + 2 4 1 2 2 4 2 2 2 2 2 ( )→ b) f 1 2 4       = π f x x x x x f '( )= ' − ⋅ = −    _ = − 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 →

La ecuación de la recta tangente es: y−π = −x y= −x +π

4 1 2 1 2 4 →

La ecuación de la recta normal es: y− = − −x y x

      = − + + π π 4 1 2 1 2 4 →

034 Dada la función , hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f ( x ) en x= 0.

(Madrid. Junio 2003. Opción B. Ejercicio 2)

Ecuación de la recta tangente:

035 Sea la función .

Calcula la ecuación de la recta tangente a la curva en x=−3.

(La Rioja. Junio 2004. Parte C. Problema 1)

036 Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f ( x ) = (x+ 1) e−x_{en el punto} de corte de f ( x ) con el eje X.

Calculamos el punto de corte con el eje de abscisas:

037 Se considera la función .

Determinar los valores de a y b para que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f ( x ) en el punto x=−3 sea y=ax+b.

(Aragón. Septiembre 2004. Opción A. Cuestión 2)

(15)

352

Si esta recta pasa por el punto (5, 0), entonces: Por tanto, la ecuación de la recta tangente es: La ecuación de la recta normal es:

045 Dada la función f ( x ) =−x 2₊_bx₊_c_{, calcula los valores}_b_y_c_{si esa función pasa por} el punto (1, 4) y en ese punto la ecuación de la recta tangente es y= 4.

(Galicia. Junio 2001. Bloque 2. Ejercicio 2)

046 Halla los valores de a, b y c para que las gráficas de las funciones

f ( x ) =x 2₊_ax₊_b_y_g₍_x₎₌_x3₊_c_{pasen por el punto (1, 2) y en ese punto tengan} la misma tangente.

Si la gráfica de f pasa por el punto (1, 2), entonces: Y si la gráfica de g pasa por el punto (1, 2) tenemos que:

Además, si en este punto tienen la misma tangente se verifica que:

047 Obtén el punto de la curva en el cual la recta tangente es paralela a la recta .

Las rectas son paralelas si tienen la misma pendiente; por tanto, buscamos el punto que verifica que:

Entonces, tenemos que:

El punto tiene por coordenadas (1, 1).

048 Halla los puntos de la gráfica de f ( x ) =x 3₋₃_x2₊_x_{en los cuales la recta tangente} es paralela a la recta y=x.

Si la recta tangente es paralela a la recta y = x, resulta que: Entonces, tenemos que:

Por tanto, los puntos de la gráfica que verifican la condición son (0, 0) y (2, −2). 041 Determina las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica

de g x( )=x2−_{9 en el punto de abscisa} _x₌_2. g( )2 =5 g x x x x x g x ( )= − ≥ ( − + − < <     2 2 9 3 9 3 3 si si  → ' ))= > − − < <     2 3 2 3 3 x x x x si si  g'( )2 = −4

La ecuación de la recta tangente es: y− = −5 4(x−2)→ y= −4x+13 La ecuación de la recta normal es: y− =5 1 x− y= x+

4 2 1 4 9 2 ( )→

042 Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva y=x 3₊_x2₋₆_x₊₁ en el punto de ordenada 1 y abscisa positiva.

x x x x x x x x x x x x 3 2 ₆ _{1 1} 3 2 ₆ ₀ 2 ₆ ₀ 0 2 + − + = + − = + − = = = → → ( ) → = = −       3

Tenemos que hallar las rectas que pasan por el punto (2, 1).

f x'( )=3x2+2x−6_→f'( )2 =10

La ecuación de la recta tangente es: y− =1 10(x−2)→ y=10x−19 La ecuación de la recta normal es: y− = −1 1 x− y= − x+

10 2 1 10 6 5 ( )→

043 Determina en qué puntos de la gráfica de la función y=x 3₋₃_x2₊_x₊_{1, la recta} tangente a la misma es paralela a la recta y=x+ 7.

Escribe las ecuaciones de las rectas tangente y normal en los puntos obtenidos. Si la recta tangente es paralela a la recta y = x, resulta que: f'(x)=1

f'(x)=3x2₋_6x₊₁

Entonces, tenemos que: 3x2₋_6x₊₁₌₁_→_x2₋_2x₌₀_→ x=0

x=2

   

Por tanto, los puntos de la gráfica que verifican la condición son: (0, 1) y (2, −1) Ecuación de la recta tangente en (0, 1): _y−1=x→y=x+1

Ecuación de la recta normal en (0, 1): _y−1= −x →y= −x+1 Ecuación de la recta tangente en (2, −1): _y+1=x−2→ y=x−3 Ecuación de la recta normal en (2, −1):

y+1= −(x−2)→ y= −x+2→y= −x+1

044 Calcula el valor de a para que la recta tangente a la gráfica de la función f ( x ) =−ax 2₊₅_x₋_{4, en el punto de abscisa 3, corte al eje}_X_{en el punto}_x₌_5. ¿Cuál es la ecuación de la recta normal?

f( )3 = −9a+11

f x'( )= −2ax+5→f'( )3 = −6a+5

(16)

Aplicaciones de la derivada

SOLUCIONARIO

7

Si esta recta pasa por el punto (5, 0), entonces:

(−6a+5 5 9) + a− =4 0→−21a= −21→a=1

Por tanto, la ecuación de la recta tangente es: y− = − −2 (x 3)→y= − +x 5 La ecuación de la recta normal es: y− = −2 x 3→y= −x 1

045 Dada la función f ( x ) =−x 2₊_bx₊_c_{, calcula los valores}_b_y_c_{si esa función pasa por} el punto (1, 4) y en ese punto la ecuación de la recta tangente es y= 4.

f(1)=4→−1+b+c=4→b+c=5

f'(x)= −2x+b→f'(1)= −2+b

y−4=(−2+b)(x−1)→y=(−2+b)x+2−b+4 −2+b=0 2−b+4=4 b+c=5       →b_c₌=₃2  →f(x)= −x 2₊_2x₊₃

046 Halla los valores de a, b y c para que las gráficas de las funciones

f ( x ) =x 2₊_ax₊_b_y_g₍_x₎₌_x3₊_c_{pasen por el punto (1, 2) y en ese punto tengan} la misma tangente.

Si la gráfica de f pasa por el punto (1, 2), entonces: 1+ + =a b 2→a+ =b 1 Y si la gráfica de g pasa por el punto (1, 2) tenemos que: 1+ =c 2→c=1 Además, si en este punto tienen la misma tangente se verifica que: f'( )1=g'( )1

f x x a f a g x x g ' ' ' ' ( ) ( ) ( ) ( ) = + = + = =     2 1 2 3 2_→→1 3 →2+ =a 3→a=1→b=0

047 Obtén el punto de la curva y= x en el cual la recta tangente es paralela a la recta y= 1x

2 .

Las rectas son paralelas si tienen la misma pendiente; por tanto, buscamos el punto que verifica que: f x'( )= 1

2 f x x x '( )= 1⋅ − = 2 1 2 1 2

Entonces, tenemos que: 1 2

1

2 1 1

= = =

x → x →x

El punto tiene por coordenadas (1, 1).

048 Halla los puntos de la gráfica de f ( x ) =x 3₋₃_x2₊_x_{en los cuales la recta tangente} es paralela a la recta y=x.

Si la recta tangente es paralela a la recta y = x, resulta que: f x'( )=1

f x'( )=3x2−6x+1

Entonces, tenemos que: 3 6 1 1 2 0 0 2 2 2 x x x x x x − + = − = = =     → →

Por tanto, los puntos de la gráfica que verifican la condición son (0, 0) y (2, −2). 041 Determina las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica

de en el punto de abscisa x= 2.

042 Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva y=x 3₊_x2₋₆_x₊₁ en el punto de ordenada 1 y abscisa positiva.

Tenemos que hallar las rectas que pasan por el punto (2, 1). La ecuación de la recta tangente es:

La ecuación de la recta normal es:

043 Determina en qué puntos de la gráfica de la función y=x 3₋₃_x2₊_x₊_{1, la recta} tangente a la misma es paralela a la recta y=x+ 7.

Escribe las ecuaciones de las rectas tangente y normal en los puntos obtenidos. Si la recta tangente es paralela a la recta y = x, resulta que:

Por tanto, los puntos de la gráfica que verifican la condición son: (0, 1) y (2, −1) Ecuación de la recta tangente en (0, 1):

Ecuación de la recta normal en (0, 1): Ecuación de la recta tangente en (2, −1): Ecuación de la recta normal en (2, −1):

044 Calcula el valor de a para que la recta tangente a la gráfica de la función f ( x ) =−ax 2₊₅_x₋_{4, en el punto de abscisa 3, corte al eje}_X_{en el punto}_x₌_5. ¿Cuál es la ecuación de la recta normal?

(17)

354

a) Pendiente de la recta Se debe verificar que: b)

Recta tangente en :

054 Considera la función:

Determina el punto de la gráfica en el que la recta tangente tiene pendiente 0. ¿Qué más se puede afirmar de ese punto? Justifica la respuesta.

Si la recta tangente tiene pendiente 0, se debe verificar que: El punto tiene coordenadas (2, 1).

Además, podemos afirmar que es un punto de corte con el eje X y un extremo relativo. Como en el intervalo (1, 3), el punto (2, 1) es un máximo.

055 Dibujar la parábola f ( x ) =x 2₋₆_x₊_8. a) ¿En qué punto de la gráfica la tangente

es paralela al eje de abscisas?

b) Hallar la ecuación de la recta tangente a f ( x ) en el punto P (2, 0).

(Murcia. Septiembre 2005. Bloque 3. Cuestión 2)

Se trata de una parábola con vértice (3, −1). Puntos de corte con el eje X: (2, 0) y (4, 0) Punto de corte con el eje Y: (0, 8)

a) Para que la tangente sea paralela al eje de abscisas: (vértice de la parábola) 049 Determina el punto de la parábola y=x2₋₇_x₊_{3 en el cual la recta tangente}

que pasa por dicho punto es paralela a la recta y =−5x+ 5.

Las rectas son paralelas si tienen la misma pendiente; por tanto, buscamos el punto que verifica que: f x'( )= −5

f x'( )=2x−7

Entonces, tenemos que: 2x− = −7 5→2x=2→x=1 El punto tiene por coordenadas (1, −3).

050 Encontrar el dominio de la función y= log(1 +x +x 2_{) y los puntos en los que} la tangente a la curva es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.

Nota: log significa logaritmo neperiano.

(País Vasco. Julio 2007. Apartado B. Ejercicio 1)

1+x+x2_>_0,_∀_x_∈_R_→_Dominio₌_R

Como la bisectriz del primer cuadrante es la recta y = x, se debe verificar que:

y'= 1+2x 1+x+x2 =1→1+2x=1+x+x 2_→_x2₊_x₋_2x₌₀_→_x2₋_x₌₀ →x x → x x ( − =) = =     1 0 0 1 Los puntos son (0, 0) y (1, log 3).

051 Halla la ecuación de la parábola y=x 2₊_bx₊_c_{cuya recta tangente en el punto (1, 1)} es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.

f x'( )=2x+b→f'( )1= +2 b

La bisectriz del primer cuadrante es la recta y = x.

Si la recta tangente es paralela a ella, entonces: 2+ =b 1→b= −1 Así, la ecuación de la función es de la forma: y=x2− +x c Si pasa por el punto (1, 1), tenemos que: 1 1 1= − +c→c=1 Luego la ecuación de la parábola es y=x2− +x _1.

052 Halle los valores de a, b y c para que la curva f ( x ) =ax 2₊_bx₊_c_{pase por el punto} (1, 3) y sea tangente en el origen de coordenadas a la bisectriz del primer cuadrante.

(Navarra. Septiembre 2005. Ejercicio 2. Opción B)

f(1)=3→a+b+c=3 f'(x)=2ax+b Pasa por el punto (0, 0): _f(0)=0→c=0

Debe ser tangente en este punto a la bisectriz del primer cuadrante:

f'(0)=1→b=1

Por tanto, resulta: _a+b+c=3→a+1=3→a=2 Así, la función es _f(x)=2x2₊_x_.

053 Considere la función f x x x ( )= −3 2 .

a) Halle los puntos de la gráfica en los que la recta tangente es paralela a la recta 3x+ 4y+ 5 = 0.

b) Calcule las ecuaciones de dichas rectas tangentes.

(18)

Aplicaciones de la derivada

SOLUCIONARIO

7

a) Pendiente de la recta 3x+4y+5=0→ −3

4 Se debe verificar que: f'(x)= −3

4 →f'(x)= −3 x2 = −3 4 → x 2₌₄_→ _x_{= ±}₂ b) f(2)= 3−4 2 = −1 2 Recta tangente en 2 1 2 , −    _: y+ 1 2 = −3 4 (x−2)→y+ 1 2 = −3 4 x+ 3 2 →y= −3 4 x+1 f(−2)= 3+4 −2 = −7 2 Recta tangente en − −   2  7 2 , : y+7 2 = −3 4 (x+2)→y+ 7 2= −3 4 x− 3 2 →y= −3 4 x−5 054 Considera la función: f x x x x x x x x x ( )= − + ≤ − + − < ≤ − _>    1 1 4 3 1 3 3 ₃ 2 si si si     

Determina el punto de la gráfica en el que la recta tangente tiene pendiente 0. ¿Qué más se puede afirmar de ese punto? Justifica la respuesta.

f'(x)= −1 si x<1 −2x+4 si 1<x<3 3 x2 si x>3       

Si la recta tangente tiene pendiente 0, se debe verificar que:

f'(x)=0→−2x+4=0→ x=2

El punto tiene coordenadas (2, 1).

Además, podemos afirmar que es un punto de corte con el eje X y un extremo relativo. Como f"(x)= −2<0 en el intervalo (1, 3), el punto (2, 1) es un máximo.

055 Dibujar la parábola f ( x ) =x 2₋₆_x₊_8. a) ¿En qué punto de la gráfica la tangente

es paralela al eje de abscisas?

b) Hallar la ecuación de la recta tangente a f ( x ) en el punto P (2, 0).

(Murcia. Septiembre 2005. Bloque 3. Cuestión 2)

Se trata de una parábola con vértice (3, −1). Puntos de corte con el eje X: (2, 0) y (4, 0) Punto de corte con el eje Y: (0, 8)

1 1

f ( x )

Y

X

a) Para que la tangente sea paralela al eje de abscisas: f'(x)=0→2x−6=0→x=3 (vértice de la parábola) 049 Determina el punto de la parábola y=x2₋₇_x₊_{3 en el cual la recta tangente}

que pasa por dicho punto es paralela a la recta y =−5x+ 5.

Las rectas son paralelas si tienen la misma pendiente; por tanto, buscamos el punto que verifica que:

El punto tiene por coordenadas (1, −3).

050 Encontrar el dominio de la función y= log(1 +x +x 2_{) y los puntos en los que} la tangente a la curva es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.

Nota: log significa logaritmo neperiano.

(País Vasco. Julio 2007. Apartado B. Ejercicio 1)

Dominio = R

Como la bisectriz del primer cuadrante es la recta y = x, se debe verificar que:

Los puntos son (0, 0) y (1, log 3).

051 Halla la ecuación de la parábola y=x 2₊_bx₊_c_{cuya recta tangente en el punto (1, 1)} es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.

La bisectriz del primer cuadrante es la recta y = x. Si la recta tangente es paralela a ella, entonces: Así, la ecuación de la función es de la forma: Si pasa por el punto (1, 1), tenemos que: Luego la ecuación de la parábola es

052 Halle los valores de a, b y c para que la curva f ( x ) =ax 2₊_bx₊_c_{pase por el punto} (1, 3) y sea tangente en el origen de coordenadas a la bisectriz del primer cuadrante.

(Navarra. Septiembre 2005. Ejercicio 2. Opción B)

Pasa por el punto (0, 0):

Debe ser tangente en este punto a la bisectriz del primer cuadrante: Por tanto, resulta:

Así, la función es .

053 Considere la función .

a) Halle los puntos de la gráfica en los que la recta tangente es paralela a la recta 3x+ 4y+ 5 = 0.

b) Calcule las ecuaciones de dichas rectas tangentes.