DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
Anteriormente se analizó el conceptoAnteriormente se analizó el concepto de probabilidad. El objetivo era determinar la de probabilidad. El objetivo era determinar la probabilidad de ocurrencia deprobabilidad de ocurrencia de uno o varios eventos relacionados. A continuación se combinaran los métodos de estadística descriptiva y los de uno o varios eventos relacionados. A continuación se combinaran los métodos de estadística descriptiva y los de probabilidad para crear
probabilidad para crear distribuciones de probabilidaddistribuciones de probabilidad que describan lo que que describan lo que probablemente probablemente sucederá en lugar de sucederá en lugar de
lo que en realidad
lo que en realidadsucediósucedió..
Este aspecto es fundamental para discernir las distribuciones de frecuencia de las distribuciones de probabilidad. Este aspecto es fundamental para discernir las distribuciones de frecuencia de las distribuciones de probabilidad. Una distribución de frecuencias es un listado de las frecuencias observadas de todos los resultados de un Una distribución de frecuencias es un listado de las frecuencias observadas de todos los resultados de un experimento, que en realidad se han presentado cuando se llevó a cabo el experimento; en cambio, una experimento, que en realidad se han presentado cuando se llevó a cabo el experimento; en cambio, una distribución de probabilidad es un listado de las probabilidades de todos los resultados posibles que podrían distribución de probabilidad es un listado de las probabilidades de todos los resultados posibles que podrían presentarse si se
presentarse si se efectuara un experimefectuara un experimento.ento.
Dado que esta clase de distribuciones se ocupan de las expectativas, son modelos de gran utilidad para hacer Dado que esta clase de distribuciones se ocupan de las expectativas, son modelos de gran utilidad para hacer inferencias y tomar
inferencias y tomar decisiones en condiciones de incertidumbre.decisiones en condiciones de incertidumbre.
Por ejemplo, si se realiza el experimento de lanzar una moneda tres veces y anotar el número de caras que se Por ejemplo, si se realiza el experimento de lanzar una moneda tres veces y anotar el número de caras que se obtienen. Los posibles resultados son 0 caras, 1 cara, 2 caras, o 3 caras. Además, con los conceptos de obtienen. Los posibles resultados son 0 caras, 1 cara, 2 caras, o 3 caras. Además, con los conceptos de probabilidad desarrollados anteriormente se puede
probabilidad desarrollados anteriormente se puede determinar que la determinar que la probabilidad de obtener (1) probabilidad de obtener (1) ninguna cara esninguna cara es 1/8, (2) 1 cara es 3/8, (3) 2 caras es 3/8 y (4) 3 caras es 1/8. Esta distribución de probabilidad se presenta en la 1/8, (2) 1 cara es 3/8, (3) 2 caras es 3/8 y (4) 3 caras es 1/8. Esta distribución de probabilidad se presenta en la siguiente tabla, la cual
siguiente tabla, la cual muestra todos los resultados posibles y sus muestra todos los resultados posibles y sus probabilidades.probabilidades.
Resultado
Resultado (caras) (caras) ProbabilidadProbabilidad
0 0,125 0 0,125 1 0,375 1 0,375 2 0,375 2 0,375 3 0,125 3 0,125 Total: Total: 11
En general, la probabilidad de que la variable aleatoria
En general, la probabilidad de que la variable aleatoria X X tome algún valor específico, tome algún valor específico, x xii, se escribe, se escribe PP
X X x xii
.. Por tanto, la probabilidad de quePor tanto, la probabilidad de que los tres lanzamientos de una los tres lanzamientos de una moneda resulten en dos caras moneda resulten en dos caras puede denotarse comopuede denotarse como
X X 22
00,,375375P
P .Vale la pena notar que toda distribución de probabilidad debe satisfacer cada uno de los dos.Vale la pena notar que toda distribución de probabilidad debe satisfacer cada uno de los dos
requisitos siguientes: requisitos siguientes: (1) (1)
PP
X X x xii
11 (2) (2) 00PP
X X x xii
11El primer requisito establece que la suma de las probabilidades de todos los valores posibles de la variable El primer requisito establece que la suma de las probabilidades de todos los valores posibles de la variable aleatoria debe ser igual a 1. Lo anterior tiene sentido cuando nos damos cuenta de que los valores de la variable aleatoria debe ser igual a 1. Lo anterior tiene sentido cuando nos damos cuenta de que los valores de la variable
Una
Una distribución distribución de de probabilidad probabilidad es una lista de todos los resultados posibles de algún es una lista de todos los resultados posibles de algún experimento y de
aleatoria
aleatoria X X representan todos los resultados posibles en el espacio muestral completo, de modo que tenemos la representan todos los resultados posibles en el espacio muestral completo, de modo que tenemos la
certeza (con probabilidad 1) de que uno
certeza (con probabilidad 1) de que uno de los sucesos ocurrirá. El segundo requisito implica quede los sucesos ocurrirá. El segundo requisito implica que PP
X X x xii
debe debeestar entre 0 y 1 para cualquier valor de estar entre 0 y 1 para cualquier valor de x xii..
TIPOS DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD TIPOS DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
Las distribuciones de probabilidad se clasifican como
Las distribuciones de probabilidad se clasifican como discretasdiscretas yy continuascontinuas, de acuerdo al tipo de variable, de acuerdo al tipo de variable
aleatoria considerada. En una
aleatoria considerada. En una distribución de probabilidad discretadistribución de probabilidad discreta la variable aleatoria la variable aleatoria X X puede asumir sólo puede asumir sólo
ciertos valores, con frecuencia números enteros, y resulta principalmente del conteo. La tabla anterior, donde se ciertos valores, con frecuencia números enteros, y resulta principalmente del conteo. La tabla anterior, donde se muestran los resultados posibles al lanzar una moneda tres veces, es un ejemplo de una distribución de muestran los resultados posibles al lanzar una moneda tres veces, es un ejemplo de una distribución de probabilidad discreta, pues lo
probabilidad discreta, pues los valores de la variable aleatoria se restringen sólo a ciertos números: 0, 1, 2 y 3. Des valores de la variable aleatoria se restringen sólo a ciertos números: 0, 1, 2 y 3. De manera análoga, la probabilidad de que usted haya nacido en un mes dado es también discreta, puesto que sólo manera análoga, la probabilidad de que usted haya nacido en un mes dado es también discreta, puesto que sólo hay 12 posibles valores (los 12 meses del
hay 12 posibles valores (los 12 meses del año).año). En una
En una distribución de probabilidad continuadistribución de probabilidad continua, por otro lado, la variable aleatoria, por otro lado, la variable aleatoria X X resulta principalmente de la resulta principalmente de la
medición y puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado. Suponga que se está examinando el tiempo medición y puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado. Suponga que se está examinando el tiempo transcurrido entre la llegada de cada cliente a la biblioteca; puesto que la variable aleatoria puede medirse con transcurrido entre la llegada de cada cliente a la biblioteca; puesto que la variable aleatoria puede medirse con cualquier valor, incluyendo fracciones de unidad, podríamos decir que la distribución de esta variable es una cualquier valor, incluyendo fracciones de unidad, podríamos decir que la distribución de esta variable es una distribución continua. Las distribuciones de probabilidad continuas también son una forma conveniente de distribución continua. Las distribuciones de probabilidad continuas también son una forma conveniente de presentar
presentar a a las las distribuciones distribuciones de de probabilidad probabilidad discretas discretas que que tienen tienen muchos muchos resultados resultados posibles, posibles, todos todos muymuy cercanos entre sí.
cercanos entre sí.
MEDIA Y VARIANZA DE LAS DISTRIBUCIONES DISCRETAS MEDIA Y VARIANZA DE LAS DISTRIBUCIONES DISCRETAS
Así como en la unidad anterior se calculó la
Así como en la unidad anterior se calculó la media de un conjunto de datos, también se puede determinar la mediamedia de un conjunto de datos, también se puede determinar la media de una distribución de probabilidad. La
de una distribución de probabilidad. La media aritméticamedia aritmética de una distribución de probabilidad se llama de una distribución de probabilidad se llama valorvalor esperado
esperado E E
X X y, cuando la variable aleatoria es y, cuando la variable aleatoria es discreta, se obtiene multiplicando cada resultado posibldiscreta, se obtiene multiplicando cada resultado posible por sue por suprobabilidad y
probabilidad y sumando los sumando los resultados, tal resultados, tal como se mcomo se muestra en la siguestra en la siguiente ecuación:uiente ecuación:
E E X X x xii PP xxii La distribución de probabilidad para el experimento de lanzar tres veces una moneda y anotar el número de caras La distribución de probabilidad para el experimento de lanzar tres veces una moneda y anotar el número de caras se muestra en las primeras dos
se muestra en las primeras dos columnas de la siguiente tabla. La columna (3) ilustra el cálculo del valor columnas de la siguiente tabla. La columna (3) ilustra el cálculo del valor esperadoesperado para
para el experimento utilizando el experimento utilizando la ecla ecuación anterior, produciendouación anterior, produciendo E E
X X 11,,55. Este resultado sugiere que si el. Este resultado sugiere que si elexperimento se repite muchas veces (teóricamente, un número infinito) se obtendrá, en
experimento se repite muchas veces (teóricamente, un número infinito) se obtendrá, en promedio, 1,5 caras.promedio, 1,5 caras.
(1) (1) ii x x (2) (2) ii x x P P (3) (3) ii ii P P xx x x (4) (4) ii ii P P xx x x 22 0 0 0,125 0,125 0,000 0,000 0,281250,28125 1 1 0,375 0,375 0,375 0,375 0,093750,09375 2 2 0,375 0,375 0,750 0,750 0,093750,09375 3 3 0,125 0,125 0,375 0,375 0,281250,28125 11 11,,55 22 75 75 ,, 0 0
La
La varianzavarianza de una distribución de probabilidad es conceptualmente es la misma varianza que se calculó en la de una distribución de probabilidad es conceptualmente es la misma varianza que se calculó en la unidad anterior. Es el promedio de las desviaciones al cuadrado con respecto a la media. La varianza se obtiene a unidad anterior. Es el promedio de las desviaciones al cuadrado con respecto a la media. La varianza se obtiene a partir de la sig
partir de la siguiente ecuación:uiente ecuación:
x xii 22 PP xxii 2 2 La fórmula anterior mide la diferencia entre cada uno de los resultados y su media. Tales diferencias se elevan al La fórmula anterior mide la diferencia entre cada uno de los resultados y su media. Tales diferencias se elevan al cuadrado y se multiplican por sus respectivas probabilidades. Luego se suman sus resultados. La columna (4) de cuadrado y se multiplican por sus respectivas probabilidades. Luego se suman sus resultados. La columna (4) de la tabla presentada anteriormente revela que
la tabla presentada anteriormente revela que 22 00,,7575..LaLa desviación estándardesviación estándar es es 22 00,,757500,,8787..
La varianza y la desviación estándar tienen la misma interpretación que se les dio en la unidad anterior, miden la La varianza y la desviación estándar tienen la misma interpretación que se les dio en la unidad anterior, miden la dispersión de los resultados alrededor de su media. La varianza se expresa en unidades al cuadrado, pero la dispersión de los resultados alrededor de su media. La varianza se expresa en unidades al cuadrado, pero la desviación estándar se expresa en las mismas unidades que la variable aleatoria y por ende con frecuencia tiene desviación estándar se expresa en las mismas unidades que la variable aleatoria y por ende con frecuencia tiene una interpretación más racional.
una interpretación más racional.
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Una de las distribuciones teóricas de probabilidad discreta ampliamente utilizada es la
Una de las distribuciones teóricas de probabilidad discreta ampliamente utilizada es la distribución binomialdistribución binomial.. Esta distribución es aplicable como modelo para situaciones de toma de decisiones en las que puede suponerse Esta distribución es aplicable como modelo para situaciones de toma de decisiones en las que puede suponerse que un proceso de
que un proceso de muestreo responde a unmuestreo responde a un proceso de Bernoullii proceso de Bernoull..
El
El proceso de Bernoulliproceso de Bernoulli, llamado así por Jacob Bernoulli (1654-1705), miembro de una familia de matemáticos, llamado así por Jacob Bernoulli (1654-1705), miembro de una familia de matemáticos suizos, es un proceso que presenta cuatro
suizos, es un proceso que presenta cuatro propiedades:propiedades: (1)
(1) Sólo debe haber dos resultados posibles mutuamente excluyentes. Por convención, estos resultados seSólo debe haber dos resultados posibles mutuamente excluyentes. Por convención, estos resultados se identifican como éxito y fracaso. Sin embargo, se advierte que estos términos no tienen ninguna connotación de identifican como éxito y fracaso. Sin embargo, se advierte que estos términos no tienen ninguna connotación de "bueno" o "malo". Son completamente objetivos, y un "éxito" no implica necesariamente un resultado deseable. "bueno" o "malo". Son completamente objetivos, y un "éxito" no implica necesariamente un resultado deseable. (2)
(2) La probabilidad de un éxito en un La probabilidad de un éxito en un ensayo es totalmente independiente de cualquier otro ensayo.ensayo es totalmente independiente de cualquier otro ensayo. (3)
(3) La probabilidad de un éxito,La probabilidad de un éxito, p p, sigue siendo constante de un ensayo al , sigue siendo constante de un ensayo al siguiente.siguiente.
(4)
(4) El experimento puede repetirse muchas veces.El experimento puede repetirse muchas veces. Note
Note que que el el experimento de experimento de lanzar la lanzar la moneda discutido moneda discutido anteriormente tiene anteriormente tiene sólo dos sólo dos posibles resultados: posibles resultados: cara cara yy sello. La probabilidad de cada uno es conocida y constante de un intento (lanzamiento) al siguiente, y además el sello. La probabilidad de cada uno es conocida y constante de un intento (lanzamiento) al siguiente, y además el experimento puede repetirse muchas veces. Por lo tanto, el lanzamiento de la moneda cumple con los requisitos experimento puede repetirse muchas veces. Por lo tanto, el lanzamiento de la moneda cumple con los requisitos de una
de una distribución binomdistribución binomial.ial.
En general, si se conoce la probabilidad de que un ensayo determinado producirá un éxito, es posible estimar En general, si se conoce la probabilidad de que un ensayo determinado producirá un éxito, es posible estimar cuánto éxitos habrá en un número dado de ensayos. Es decir, la distribución binomial puede servir para cuánto éxitos habrá en un número dado de ensayos. Es decir, la distribución binomial puede servir para determinar la probabilidad de obtener un número establecido de éxitos en un
determinar la probabilidad de obtener un número establecido de éxitos en un proceso de Bernoulli.proceso de Bernoulli. Específicamente, se puede determinar la probabilidad de un número específico de éxitos,
Específicamente, se puede determinar la probabilidad de un número específico de éxitos, x x, en una distribución, en una distribución
binomial a part
x x n n x x q q p p x x n n x x n n x x X X P P !! !! !! Donde: Donde: nn = Número de = Número de ensayos efectuados.ensayos efectuados. x
x = Número de = Número de éxitos esperados.éxitos esperados. p
p = Probabilidad de éxito de = Probabilidad de éxito de cada ensayo.cada ensayo. q
q = Probabilidad de fracaso de cada ensayo ( = Probabilidad de fracaso de cada ensayo (qq11 pp))..
El símbolo de factorial !, denota el producto de factores decrecientes. Dos ejemplos de factoriales son El símbolo de factorial !, denota el producto de factores decrecientes. Dos ejemplos de factoriales son
6 6 1 1 2 2 3 3 !! 3
3 y y 00!! 11(por definición). Muchas calculadoras incluyen una tecla para el factorial, al igual que una(por definición). Muchas calculadoras incluyen una tecla para el factorial, al igual que una
tecla con
tecla con nnC C r r que permite simplificar los cálculos. Para las calculadoras con esa tecla, utilice esta versión de laque permite simplificar los cálculos. Para las calculadoras con esa tecla, utilice esta versión de la
fórmula de
fórmula de probabilidad binomial:probabilidad binomial:
x x nn xx x x n nC C p p qq x x X X P P A menudo interesa la probabilidad acumulada de “
A menudo interesa la probabilidad acumulada de “ x xo más” éxitos o “o más” éxitos o “ x xo menos” éxitos eno menos” éxitos en nn ensayos. En tal caso ensayos. En tal caso
debe determinarse la probabilidad de cada resultado incluido en el intervalo establecido, después de lo cual se debe determinarse la probabilidad de cada resultado incluido en el intervalo establecido, después de lo cual se suman estas pr
suman estas probabilidadesobabilidades..
La media y la varianza de una di
La media y la varianza de una distribución binomiastribución binomial l ::
Anteriormente se mostró cómo determinar la media, la
Anteriormente se mostró cómo determinar la media, la varianza y la desviación estvarianza y la desviación estándar de cualquier distribuciónándar de cualquier distribución de probabilidad discreta. Sin embargo, si sólo hay dos resultados posibles, como en la distribución binomial, la de probabilidad discreta. Sin embargo, si sólo hay dos resultados posibles, como en la distribución binomial, la media y la varianza
media y la varianza pueden determinarse más fácilmente:pueden determinarse más fácilmente: Media o
Media o““valor esperadovalor esperado”:”: E E
X X npnpVarianza: Varianza: 22 npqnpq Desviación estándar: Desviación estándar: npqnpq DISTRIBUCIÓN DE POISSON DISTRIBUCIÓN DE POISSON
Es una distribución de probabilidad discreta, ideada por el matemático francés Simeon Poisson (1781-1840), que Es una distribución de probabilidad discreta, ideada por el matemático francés Simeon Poisson (1781-1840), que se aplica a las ocurrencias de algún suceso
se aplica a las ocurrencias de algún suceso durante un intervalo específicodurante un intervalo específico. Usualmente, la medición de la. Usualmente, la medición de la
probabilidad
probabilidad de de un un evento evento se se realiza realiza sobre sobre alguna alguna unidad unidad de de tiempo tiempo o o espacio; espacio; por por ejemplo, ejemplo, se se utiliza utiliza parapara describir el número de llegadas de clientes por hora, el número de accidentes industriales cada mes, el número de describir el número de llegadas de clientes por hora, el número de accidentes industriales cada mes, el número de conexiones eléctricas defectuosas por milla de cableado en un sistema eléctrico de una ciudad, o el número de conexiones eléctricas defectuosas por milla de cableado en un sistema eléctrico de una ciudad, o el número de máquinas que se dañan y
máquinas que se dañan y esperan ser reparadas.esperan ser reparadas. Son necesarios dos supuestos para la aplicación de la
Son necesarios dos supuestos para la aplicación de la distribución de Poisson:distribución de Poisson:
La probabilidad de ocurrencia del evento es constante para dos La probabilidad de ocurrencia del evento es constante para dos intervalos cualesquiera de tiempo o espacio.intervalos cualesquiera de tiempo o espacio.
Dados estos supuestos, es posible calcular la probabilidad de exactamente
Dados estos supuestos, es posible calcular la probabilidad de exactamente x x ocurrencias en una distribución de ocurrencias en una distribución de
Poisson mediante la siguiente formula: Poisson mediante la siguiente formula:
!! x x e e x x X X P P x x Donde: Donde: µµ = Número medio de ocurrencias por unidad de = Número medio de ocurrencias por unidad de tiempo o de espacio.tiempo o de espacio. x
x = Número de veces que ocurre el evento. = Número de veces que ocurre el evento.
ee = Constante, base del sistema de logaritmos naturales ( = Constante, base del sistema de logaritmos naturales (ee 22,,7182871828).).
En ocasiones, la distribución de Poisson se utiliza para
En ocasiones, la distribución de Poisson se utiliza para aproximar la distribución binomial, cuandoaproximar la distribución binomial, cuandonn es grande y es grande y p p
es pequeña. Una regla práctica es utilizar la distribución de Poisson como una buena aproximación de la es pequeña. Una regla práctica es utilizar la distribución de Poisson como una buena aproximación de la distribución binomial cuando se satisfacen las
distribución binomial cuando se satisfacen las siguientes dos condiciones:siguientes dos condiciones: (1)
(1) nn2020..
(2)
(2) p p 00,,0505..
Si se cumplen dichas condiciones y deseamos utilizar la distribución de Poisson, como aproximación de la Si se cumplen dichas condiciones y deseamos utilizar la distribución de Poisson, como aproximación de la distribución binomial, necesitam
distribución binomial, necesitamos un os un valor devalor de µ µ; ese valor se calcula a partir de la siguiente ecuación:; ese valor se calcula a partir de la siguiente ecuación: np np
La media y la varianza de una dis
La media y la varianza de una distribución de Poissotribución de Poissonn::
Por definición, el valor esperado y la varianza de una distribución de Poisson son iguales al número medio de Por definición, el valor esperado y la varianza de una distribución de Poisson son iguales al número medio de ocurrencias de la distribución; de modo que la
ocurrencias de la distribución; de modo que la media, la varianza y la media, la varianza y la desviación estándar vienen dadas por:desviación estándar vienen dadas por:
Media o “valor esperado”:
Media o “valor esperado”: E E
X X Varianza: Varianza: 22 Desviación estándar: Desviación estándar: DISTRIBUCIÓN NORMAL DISTRIBUCIÓN NORMAL Denominada también
Denominada también distribución de Gaussdistribución de Gauss oo distribución gaussianadistribución gaussiana, en honor al trabajo realizado por Carl, en honor al trabajo realizado por Carl
Gauss (1777-1855), es una distribución de probabilidad continua (no discreta) utilizada para reflejar la Gauss (1777-1855), es una distribución de probabilidad continua (no discreta) utilizada para reflejar la distribución de variables tales como estaturas, pesos, distancias y otras medidas que son divisibles infinitamente. distribución de variables tales como estaturas, pesos, distancias y otras medidas que son divisibles infinitamente. Las distribuciones normales son sumamente importantes por su utilidad para interpretar una gran variedad de Las distribuciones normales son sumamente importantes por su utilidad para interpretar una gran variedad de eventos naturales y porque juegan un papel fundamental en los métodos de
eventos naturales y porque juegan un papel fundamental en los métodos de estadística inferencial.estadística inferencial.
La distribución normal se caracteriza por la forma de campana (simétrica) que tiene la curva en la que se La distribución normal se caracteriza por la forma de campana (simétrica) que tiene la curva en la que se distribuyen los valores de la distribución; adicionalmente, el centro de
distribuyen los valores de la distribución; adicionalmente, el centro de la curva normal coincide con la la curva normal coincide con la media de lamedia de la población distribuida normalmente. La siguiente figura
población distribuida normalmente. La siguiente figura muestra la gráfica muestra la gráfica de una distribución normal, de una distribución normal, colocandocolocando las observaciones individuales en el eje horizontal y la frecuencia con la cual cada una de estas observaciones las observaciones individuales en el eje horizontal y la frecuencia con la cual cada una de estas observaciones ocurrió en el eje vertical.
--33,,000 0 --22,,000 0 --11,,000 0 00,,000 0 11,,000 0 22,,000 0 33,,0000 50% 50% 50% 50% μ μ
Observe que cuando los valores están distribuidos normalmente (como en la figura anterior) aparece la curva en Observe que cuando los valores están distribuidos normalmente (como en la figura anterior) aparece la curva en forma de campana; en tal caso, el 50% de toda el área bajo la
forma de campana; en tal caso, el 50% de toda el área bajo la curva normal está a la derecha de la media y el 50%curva normal está a la derecha de la media y el 50% de esta área está a la izquierda de la media.
de esta área está a la izquierda de la media.
La forma y posición de una distribución normal están determinadas por dos parámetros: su media
La forma y posición de una distribución normal están determinadas por dos parámetros: su media μ μ y su y su
desviación estándar
desviación estándar , de modo que, de modo que N N (( ,, 22)). Por lo tanto, puede existir un número infinito de distribuciones. Por lo tanto, puede existir un número infinito de distribuciones
normales posibles, cada una con su propia media y su desviación estándar. Ya que obviamente no se puede normales posibles, cada una con su propia media y su desviación estándar. Ya que obviamente no se puede analizar un número tan grande de posibilidades, es necesario convertir todas estas distribuciones normales a una analizar un número tan grande de posibilidades, es necesario convertir todas estas distribuciones normales a una forma estándar.
forma estándar.
Distribución normal
Distribución normal estándar:estándar:
Esta distribución, también denominada
Esta distribución, también denominadadistribución Z distribución Z , se creó como un modelo que permite simplificar el trabajo, se creó como un modelo que permite simplificar el trabajo
de tabulación de las distribuciones de probabilidad pues, debido a la existencia de tablas, es posible obtener con de tabulación de las distribuciones de probabilidad pues, debido a la existencia de tablas, es posible obtener con relativa rapidez los valores donde se recoge la probabilidad acumulada para cada punto de la curva de la relativa rapidez los valores donde se recoge la probabilidad acumulada para cada punto de la curva de la distribución. Específicamente, la distribución normal estándar de probabilidad tiene una media de 0 y una distribución. Específicamente, la distribución normal estándar de probabilidad tiene una media de 0 y una desviación estándar de 1, tal que
desviación estándar de 1, tal que N N ((00,,11))..
En general, toda distribución normal se puede transformar en una distribución normal estándar. Para realizar esta En general, toda distribución normal se puede transformar en una distribución normal estándar. Para realizar esta conversión se crea una nueva variable
conversión se crea una nueva variable Z Z , a partir de , a partir de la siguiente ecuación:la siguiente ecuación:
X X Z Z Donde: Donde: X
X = Valor de la variable aleatoria que nos interesa. = Valor de la variable aleatoria que nos interesa. µ
µ = Media de la = Media de la distribución de esa variable aleatoria.distribución de esa variable aleatoria. σ
σ= Desviación estándar de esa distribución.= Desviación estándar de esa distribución. Z
Z = Número de desviaciones estándar a las que = Número de desviaciones estándar a las que X X está con respecto a la media. está con respecto a la media.
--33,,0000 --22,,0000 --11,,0000 00,,0000 11,,0000 22,,0000 33,,0000 2 200 2255 3300 3355 15 15 10 10 5 5 0 1 2 3 0 1 2 3 -1 -1 -2 -2 -3 -3 Variable aleatoria Variable aleatoria X X Valores de Valores de Z Z
En la figura anterior se ilustra la transformación de una distribución normal con una media de 20 y a una En la figura anterior se ilustra la transformación de una distribución normal con una media de 20 y a una desviación estándar 5, correspondiente a una variable aleatoria
desviación estándar 5, correspondiente a una variable aleatoria X X de cierta población, a una distribución normal de cierta población, a una distribución normal
estándar con una media de 0
estándar con una media de 0 y una desviación estándar de 1.y una desviación estándar de 1.
Estandarizar una distribución normal permite determinar más fácilmente la probabilidad de que ocurra cierto Estandarizar una distribución normal permite determinar más fácilmente la probabilidad de que ocurra cierto evento. Por ejemplo, es posible determinar la probabilidad de que la variable aleatoria
evento. Por ejemplo, es posible determinar la probabilidad de que la variable aleatoria X X este entre 20 y 27, este entre 20 y 27, )) 27 27 20 20 (( X X P
P , simplemente hallando el área que está bajo , simplemente hallando el área que está bajo la curva normal entre la curva normal entre 20 y 27.20 y 27.
En general, el área de cualquier distribución normal que se limita por algún valor
En general, el área de cualquier distribución normal que se limita por algún valor X X , es igual que el área que se, es igual que el área que se
limita por el valor de
limita por el valor de Z Z equivalente en la distribución normal estándar. Como el área relacionada con un valor de equivalente en la distribución normal estándar. Como el área relacionada con un valor de Z
Z puede hallarse en la T puede hallarse en la TABLA DEABLA DEDDISTRIBUCIÓNISTRIBUCIÓN N NORMALORMALEESTÁNDAR DESTÁNDAR DEPPROBABILIDADESROBABILIDADES, es necesario realizar, es necesario realizar
el proceso de conversión de cada valor de
el proceso de conversión de cada valor de X X que sea un límite de la región sombreada a un valor de que sea un límite de la región sombreada a un valor de Z Z equivalente, equivalente,
de modo que: de modo que: 40 40 ,, 1 1 5 5 20 20 27 27 Z Z
Dado que la tabla de distribución normal estándar proporciona el área bajo la curva
Dado que la tabla de distribución normal estándar proporciona el área bajo la curva desde la media hasta algúndesde la media hasta algún valor por encima o por debajo de ésta
valor por encima o por debajo de ésta, al ubicar el valor de, al ubicar el valor de Z Z 11,,4040 se encontrará que el área bajo la curva que se encontrará que el área bajo la curva que
esta entre la media y el valor de
esta entre la media y el valor de Z Z es de 0,4192. Es decir, el 41,92% del área que está bajo la curva está entre 20 y es de 0,4192. Es decir, el 41,92% del área que está bajo la curva está entre 20 y
27. Hay 41,92% de probabilidad de que la variable aleatoria este entre 20 y 27. En la
27. Hay 41,92% de probabilidad de que la variable aleatoria este entre 20 y 27. En la siguiente figura se ilustra lasiguiente figura se ilustra la situación: situación: --33,,0000 --22,,0000 --11,,0000 00,,0000 11,,0000 22,,0000 33,,0000 2 200 2277 0 0 11,,4400 Valores deValores de Z Z 0,4192 0,4192 4192 4192 ,, 0 0 )) 40 40 ,, 1 1 0 0 (( )) 27 27 20 20 (( X X PP Z Z P P
Aunque la tabla solo muestra el área desde la media hasta algún valor por encima o por debajo de ella, otras Aunque la tabla solo muestra el área desde la media hasta algún valor por encima o por debajo de ella, otras probabilidades pueden
probabilidades pueden hallarse fácilmente. Destaca, hallarse fácilmente. Destaca, además, que la tabla de disademás, que la tabla de distribución normtribución normal estándar contieneal estándar contiene solo valores de
solo valores de Z Z positivos; no obstante, dado que la distribución es simétrica los valores de positivos; no obstante, dado que la distribución es simétrica los valores de una mitad de la curvauna mitad de la curva
lo son también para la lo son también para la otra.otra. Incidentalmente,
Incidentalmente,PP(( X X x x))PP(( X X xx)), en donde, en donde x x es cualquier valor dado. Esto se debe a que la distribución es cualquier valor dado. Esto se debe a que la distribución
normal es una distribución continua. Existe un número infinito de posibles valores que puede tomar
normal es una distribución continua. Existe un número infinito de posibles valores que puede tomar X X . Por tanto,. Por tanto,
incluir el valor de
incluir el valor de x x no incrementa la probabilidad de que el no incrementa la probabilidad de que el evento ocurra.evento ocurra.
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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Levin, Richard I. (1991).Levin, Richard I. (1991). Estadística para administradores Estadística para administradores (2ª Edición). México: Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A. P 940. (2ª Edición). México: Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A. P 940.
