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Pacheco Castllo Alexander Pacheco Castllo Alexander
“Año del Buen Servicio al
“Año del Buen Servicio al
Ciudadano”
Ciudadano”
Nombre:
Nombre:
Arteaga Urtiaga Gina
Arteaga Urtiaga Gina
Tema:
Tema:
Funciones Reales e !ariable
Funciones Reales e !ariable
!
!ectorial ectorial " " #$mites #$mites % % ContinuidadContinuidad
ocente:
ocente:
&ac'eco
&ac'eco Re%esRe%es
Ciclo: Ciclo: (! (! )*+,- )*+,- ././
INTRODUCCIÓN
En este trabajo se estudia el concepto de límite de una función de varias variables y algunas de las técnicas ulizadas en su cálculo. Después basándose en este concepto se establece la de!nición de función connua y cómo estudiar la connuidad de una función de varias variables. En principio se comienza con campos escalares y después se e"ende la de!nición a los campos vectoriales.
DEDICATORIA
Este trabajo va dedicado a mis padres que me apoyan día a día para seguir adelante.
INDICE
INTRODCCI!N"""""""""""""""""""""""""# DEDIC$TORI$"""""""""""""""""""""""""...% INDICE""""""""""""""""""""""""""""".&
C$'(T)O I *unci+n de ,arias ,ariables Reales
-. Concepto""""""""""""""""""""""""..."../ -.-.*unci+n escalar"""""""""""""""""""".".."/ -.#.*unci+n vectorial""""""""""""""""""""...".0 #. )1mites de 2unciones en R n"""""""""""""""""..""0
#.-. )ímite de una 2unci+n en un punto""""""""""""..""..3 #.-.- De2inici+n.""""""""""""""""""""...3 #.#. límites direccionales4 reiterados4 in2initos"""""""""".."..5 #.#.-. límites direccionales""""""""""""""""...""6 #.#.#. límites reiterados"""""""""""""""""..."".-7 #.#.%. límites in2initos y en el in2inito""""""""""""".."--#.% ejercicios resueltos """""""""""""""""""..".-# %. Continuidad"""""""""""""""""""""""..""..-% %.-. De2inici+n""""""""""""""""""""""".."-% %.# 'ropiedades de las 2unciones continuas"""""""""".."...".-& %.%. Otras propiedades de las 2unciones continuas"""""""""."...-&
%.%.-. Teorema de 8eierstrass. Consecuencias"""""""""."-/ %.%.#. Conjuntos arco9cone:os""""""""""""""""..-/ %.%.%. Continuidad uni2orme""""""""""""""""...-0 %.& Ejercicios Resueltos""""""""""""""""""""...-0 ;I;)IO<R$*I$""""""""""""""""""""""""".".-5
Capítulo I
Función De Varias Variables Reales
- Concepto
Durante el presente tema4 consideraremos ℝ#y ℝ%con sus correspondientes m=tricas
euclídeas que ya >emosintroducido en el primer tema de la asignatura
∶ ?4@∈ ℝ# A ℝ# ⟶ ?4@ B B ?- F -@#G ?# F #@#
∶ ?4 @ ∈ ℝ%A ℝ% ⟶ ?4 @ B B ?- F -@# G ?# F #@# G
?%9%@#
,eamos entonces como podemos de2inir el concepto de 2unci+n real de varias variables reales4 para ello4 distinguiremos
Dos casos4 las 2unciones escalares y las 2unciones vectoriales.
1.1Función escalar
Dado un conjunto ⊂ ℝn 4 una 2unci+n escalar es una aplicaci+n ∶ ⊂ ℝn⟶ ℝ.
O lo que es lo mismo4 una 2unci+n escalar4 es una aplicaci+n de varias variables cuya imagen estH contenida en la recta real.
1.! Función "ectorial
Dado un conjunto ⊂ ℝn4 una 2unci+n vectorial es una aplicaci+n ∶ ⊂ ℝn⟶ ℝm
O lo que es lo mismo4 una 2unci+n vectorial4 es una aplicaci+n de varias variables reales cuya imagen estH contenida en el espacio euclídeo ℝ m 4 con - ?para B -4 recuperamos la de2inici+n de 2unci+n escalar@.
! . #$%ites &e 'unciones en R n
!.1. Intro&ucción
En el curso de Calculo In2initesimal se analiJaron Knicamente las 2unciones 2 R L R reales de variable real.
Min embargo4 en la naturaleJa >ay 2en+menos para cuya descripci+n matemHtica se requieren 2unciones que dependen de mHs de una variable y que4 en *ísica4 suelen denominarse campos. 'or ejemplo4
)a temperatura de una regi+n del espacio ?a lo largo del tiempo@
T $⊆ R & L R ?:4 y4 J4 t@ L T?:4 y4 J4 t@
)a velocidad de las partículas de un 2luido en movimiento
v $⊆ R % L R %?:4 y4 J@ L v?:4 y4 J@
El campo el=ctrico creado por una carga puntual.
E $⊆ R % L R %?:4 y4 J@ L E?:4 y4 J@
En este capítulo comenJaremos el estudio de este tipo de 2unciones. En concreto estudiaremos los conceptos de limite y continuidad. En los siguientes capítulos4 se abordarHn las cuestiones relativas a la di2erenciabilidad e integralidad de estas 2unciones.
!.!. #í%ite &e una 'unción en un punto.
Continuaremos el anHlisis de las 2unciones de varias variables estudiando el comportamiento de una 2unci+n en el entorno de un punto. )a primera noci+n sobre este particular es la de límite
!.!.1 De'inición
Mea 2 $ ⊆ R n L R m una 2unci+n4 a ∈ Rn un punto de acumulaci+n de $ y b ∈ R m.
Me dice que b es el límite de 2 cuando : tiende a a si4 ∀ 74 ∃P 7 tal que4 si : ∈ $
Qa y SS:aSS P4 entonces SS2?:@ F bSS . Me escribirH l1m:La2?:@ B b4 o bien 2?:@ L:La b
-)a siguiente proposici+n nos da una de2inici+n alternativa de límite.
Mea 2 $ ⊆ R n L R m una 2unci+n4 a ∈ R n un punto de acumulaci+n de $ y
b ∈ R m.
Entonces l1m:La 2?:@ B b ⇐⇒ para toda sucesi+n Q:U ⊂ $ Qa tal que l1mULV :U B a4
se tiene para la sucesi+n de las imHgenes4 l1m ULV 2?:U@ B b.
Mean 24 g $ ⊆ R n L R m 2unciones4 a ∈ Rn un punto de acumulaci+n de $
y b4 c ∈ R m.
-. Mi una 2unci+n tiene límite4 =ste es Knico. #. l1m:La2?:@ B b ⇐⇒ l1m:La2 j ?:@ B b j?j B -4...4m@
$sí4 el cHlculo de límites de 2unciones vectoriales se reduce al cHlculo de límites de 2unciones escalares.
%. Mi l1m:La2?:@ B b y l1m:Lag?:@ B c4 entonces l1m:La?2?:@ W g?:@@ B b W c.
&. Mi l1m:La2?:@ B b y X ∈ R4 entonces l1m:LaX2?:@ B Xb.
/. Mi m B -4 2 tiene lY1mite en a y Yeste es positivo4 e:iste alguna bola per2orada con centro en a sobre la
que 2 toma valores positivos.
0. Mi l1m:La 2?:@ B b y l1m:La g?:@ B c4 entonces l1m:La2?:@g?:@B?b-c-4...4bmcm@
3. Mi l1m:La2?:@ B b y l1m:Lag?:@ B c4 entonces l1m:LaSS2?:@4 g?:@SS B SSb4 cSS lo que implica
l1m:La
SS2?:@SS B SSbSS.
6. Mi 2 tiene límite en a4 entonces estH acotada sobre alguna bola de centro a.
-7. Mi m B - y 2 Z > Z g en un entorno per2orado ?sin el punto a@ de a4 y l1m :La2?:@ B
l1m:Lag?:@ B b4entonces l1m:La>?:@ B b.
!.(. #í%ites Direccionales) Reitera&os) In'initos
En el cHlculo de límites de 2unciones de varias variables no se dispone de t=cnicas anHlogas a las del caso de una variable4 no e:iste nada semejante a la regla de )[\opital. Ello obliga a desarrollar otros m=todos de cHlculo basados en los conceptos que se van a e:poner en este apartado. Dado que el límite de una 2unci+n vectorial se obtiene calculando el de sus 2unciones componentes4 s+lo vamos a considerar4 en adelante4 el caso de 2unciones escalares.
!.(.1. #í%ites Direccionales
Mea 2 $ ⊆ Rn L R y a ∈ $ un punto de acumulaci+n de $.
Mea c I ⊂ R L $ Qa una aplicaci+n continua tal que l1mtLt7c?t@ B a con t7∈
I4 diremos que c?I@ es una curva en $. Me denomina límite de 2 para : tendiendo a a segKn la curva c?t@ al valor l1mtLt72?c?t@@. Obs=rvese que se trata de un límite
de una 2unci+n de una variable.
Con las mismas >ip+tesis que en el apartado anterior4 se denomina límite
direccional de 2 para : L a al límite segKn la recta c?t@ B a G tv4 esto es4 l1mtL72?a
G tv@.
Como caso particular4 en el caso de 2unciones de dos variables4 y con curvas ?rectas@ dadas en 2orma e:plícita se tiene que4 si 2 $ ⊆ R# L R y a B ?a-4 a#@ es un punto de
acumulaci+n de $4
-. El límite de 2 para : L a segKn la curva y B g?:@4 que pasa por a4 es l1m:La -2?:4
g?:@@
#. El límite direccional de 2 para : L a segKn la recta y B m: G b4 que pasa por a4 es l1m:La-2?:4 m: G b@.
*roposición
l1m:La2?:@ B b si4 y s+lo si4 los límites segKn todas las posibles curvas que pasen por a4
contenidas en su dominio4 e:isten y son iguales a b. Corolario
Mi l1m:La2?:@ B b entonces los límites direccionales segKn cualquier recta que pase por a
e:isten y valen b.
!.(.!. #í%ites Reitera&os
Mea 2 $⊂ R# L R4 se de2ine como límites reiterados a
l1m:La l1myLb2?:4 y@4 lY1myLbl1m:La 2?:4 y@
Comentarios
Mi l1m ?:4y@L?a4b@2?:4 y@ B p y e:isten l1m:La2?:4 y@ y l1myLb2?:4 y@ entonces e:isten
los límites reiterados de 2 y valen p.
'uede ocurrir que e:ista l1m ?:4y@L?a4b@2?:4 y@ y no e:ista alguno de los reiterados.
Mi e:isten el límite de la 2unci+n y los reiterados en un mismo punto4 >an de
coincidir.
!.(.(. #í%ites In'initos + en el In'inito.
Mea 2 $ ⊂ R n L R m
-. Diremos que l1m:La2?:@ B V si ∀) 7∃P 7 tal que ∀: ∈ $ Qa que cumpla SS: F aSS
P se tiene SS2?:@SS ). )Y1mite in2inito.
#. Mi $ es no acotado4 diremos que l1m:LV 2?:@ B b si ∀SS 7∃] 7 tal que ∀: ∈ $ que
cumpla SS:SS ] se tiene SS2?:@ F bSS SS. )ímite en el in2inito.
%. Mi $ es no acotado4 diremos que l1m:LV 2?:@ B V si ∀) 7∃] 7 tal que ∀: ∈ $ que
cumpla
SS:SS ] se tiene 2?:@ ). )ímite in2inito en el in2inito.
!., E-ercicios Resueltos
(. CONTINUIDAD
(.1. De'inición
Mea 2 $⊆ R n L R m y a ∈ $. Me dice que 2 es continua en a si4 ∀ 74 ∃P 7 tal que ∀: ∈ $ que cumpla SS: F aSS P entonces SS2?:@ 2?a@SS .
Comentarios
Mi a es un punto aislado de $ entonces 2 es continua en a.
Mi a es un punto de acumulaci+n de $ entonces 2 es continua en a si
l1m:La2?:@ B 2?a@.
2 es continua en a si para toda sucesi+n Q:U de elementos de $ tal que :U L a4 se
tiene 2?:U @ L 2?a@.
2 es continua si lo es en todo punto de su dominio.
(.! *ropie&a&es &e las Funciones Continuas
)as propiedades de las 2unciones continuas se basan en las propiedades del límite *roposición
Mean 24 g $⊆ R n L R m 2unciones y a ∈ $.
-. 2 es continua en a si y s+lo si4 cada una de sus 2unciones componentes 2i es continua en a.
#. Mi 2 y g son continuas en a4 tambi=n lo son 2 W g4 2g y SS24 gSS. %. Mea X∈ R. Mi 2 es continua en a4 tambi=n lo es X2.
&. Mi m B - y 2?:@ B 74 ∀: ∈ $4 entonces -^2?:@ esta bien de2inida en $ y si 2 es continua
en a4 tambi=n lo es -^2?:@
/. Mi m B -4 2?:@B 7 y 2 es continua en a4 2 no cambia de signo en algKn entorno de a. 0. Mi 2 es continua en a4 2 estH acotada en algKn entorno de a.
3. Mi g ; ⊆ R m L R l4 b B 2?a@ ∈ ; y 2 y g son continuas en a y b respectivamente4
entonces g _ 2 es continua en a.
Teore%a
Mea 2 $ ⊆ R n L R m. )as tres a2irmaciones siguientes son equivalentes
-. 2 es continua
#. 'ara todo abierto ,⊂ R m4 2-?, @ B $ ` donde es un abierto de R n
%. 'ara todo cerrado T⊂ R m4 2 -?T@ B $ ` M donde M es un cerrado de R n
(.(. Otras *ropie&a&es &e las Funciones Continuas.
(.(.1. Teore%a &e eierstrass. Consecuencias
$ continuaci+n4 vamos a dar algunas propiedades de las 2unciones continuas4 que son generaliJaciones de otras bien conocidas en el cHlculo de una variable.
Teorema ?de 8eierstrass@ Mea 2 ⊂ R n L R m una 2unci+n continua y
un compacto. Entonces 2?@ es compacto. 'roposici+n
Mea ⊂ Rn un compacto y 2 L R una 2unci+n continua. Entonces 2 toma en
valores e:tremos
(.(.!. Con-untos arco/cone0os
n camino en $ es un aplicaci+n continua I L $⊂ R n4 donde I ⊂ R es un intervalo.
Mi I Bt-4t#y ?t-@ B a-4 ?t#@ B a# se dice que une a- con a#.
n conjunto $ ⊂ Rn se dice arco9cone:o si para todo par de puntos a-4 a# ∈ $ e:iste un
camino en $ que los une.
En R los conjuntos arco9cone:os son los intervalos
Teorema
Mean 2 $ ⊂ R n L R m continua y $ un conjunto arco9cone:o.
Entonces 2?$@ es arco9cone:o.
? Dem. @
Mean y- y y# puntos de 2?$@4 e:isten :-4 :#∈ $ tales que 2?:-@ B y- y 2?:#@ B y#.
'or ser $ arco9cone:o4 e:iste un camino t-4 t# L $4 tal que ?t-@ B :- y ?t#@ B :#.
Entonces
2 _ t-4 t# L 2?$@ es un camino tal que 2 _ ?t-@ B y- y 2 _ ?t#@ B y#. )uego 2?$@ es
arco9cone:o.
(.(.(. Continui&a& uni'or%e
Mea 2 $ ⊆ R n L R m. 2 es uni2ormemente continua en $ si ∀ 7 ∃P 7 tal que4 si :4 y ∈
$ con SS: F ySS P4 entonces SS2?:@ 2?y@SS #.
)as propiedades de las 2unciones uni2ormemente continuas son las mismas que en el caso de una variable.
*roposición
Mea 2 $ ⊆ R n L R muna 2unci+n uni2ormemente continua en $. Entonces
-. 2 es continua en $.
#. Mi Q:m es una sucesi+n de Cauc>y4 tambi=n lo es Q2?:m@.
Teore%a &e Cauc2+3
Mi ⊂ Rn es un compacto y 2 L R m es una 2unci+n continua en 4entonces 2 es
uni2ormemente continua en .
(., E-ercicios Resueltos
4I4#IO5RAFIA >ttps^^.google.com.pe^searc>fqB2uncionesdGrealesGdeGvariblesGvectorial %$limitesGyGcontinuidadGejercicosGresueltoshoqB2uncionesdGrealesGdeGvar iblesGvectorial %$limitesGyGcontinuidadGejercicosGresueltoshgslBserp.%...&&#&.-#775.7.-# &70.7.7.7.7.7.7.7.7..7.7....7...-.-.0&.serp..7.7.7.n<#Cgp$]g >ttps^^portal.ua>.es^portal^page^portal^<'E'D^'<9]$9$MI<^'<9$MI<9 %#%6/^T$;&7%%/^,arias,ariables7#)EDmites#7y#7continuidad.pd2 >ttp^^asignaturas.topogra2ia.upm.es^matematicas^]etodos^'roblemas^)imites #7y#7continuidad.pd2 >ttps^^.dspace.espol.edu.ec^bitstream^-#%&/0356^3#53^%^%9*unciones #7de#7,arias#7,ariables.pd2 1(
