Análisis de Cables Por Elementos Finitos

An

Análiálisis de sis de cabcables por les por eleelemenmentos tos finfinitoitos, s, parpara a la la estiestimacmación de ión de lala tención de cables en puentes atirantados con base en la medición tención de cables en puentes atirantados con base en la medición ex

expeperirimenmental tal en en lalaboboratratororio io y y cacampmpo o de de susus s nonododos s y y frfrecuecuenenciciasas naturales de vibración.

naturales de vibración.

Este suele hacerse a través de un grupo definido de elementos finitos, los Este suele hacerse a través de un grupo definido de elementos finitos, los cuales son: elementos de dos nodos tipo Truss (ANSYS, 200!, elementos cuales son: elementos de dos nodos tipo Truss (ANSYS, 200!, elementos de m"ltiples nodos # los cuales tienen la venta$a de tener funciones de de m"ltiples nodos # los cuales tienen la venta$a de tener funciones de fo

formrma a de de ma%ma%or or orordeden, n, aunaun&ue &ue re&re&uiuiereeren n de de inintetegragracici'n 'n nunumémériricaca# # %% fifinanalmlmenentete, , elelememenentotos s curcurvovos s cocon n gragrados dos de de lilieertrtad ad rorotatacicionaonaleles) s) ElEl eelleememenntto o dde e ddos os nnooddos os ees s eel l mm**s s ccoomm""n n dde e lloos s aannttereriioormrmeennttee me

mencncioionanadodos, s, la la mamatrtri+ i+ de de ririgigidede+ + de de eseste te es es **sisicacamementnte e la la de de unun elemento sometido a efectos aiales, sin emargo, presenta una serie de elemento sometido a efectos aiales, sin emargo, presenta una serie de limitaciones &ue lo hacen aplicale a solo ciertos casos espec-ficos) .entro limitaciones &ue lo hacen aplicale a solo ciertos casos espec-ficos) .entro de las consideraciones, est* &ue el cale a modelar dee tener una longitud de las consideraciones, est* &ue el cale a modelar dee tener una longitud no mu% larga % una pre/tensi'n alta, para la correcta modelaci'n se dee no mu% larga % una pre/tensi'n alta, para la correcta modelaci'n se dee calcul

calcular un ar un m'dulm'dulo o de rigide+ aial efectivo (para tener de rigide+ aial efectivo (para tener en cuenta el en cuenta el efectefectoo de catenaria!) A continuaci'n se muestra la matri+ de rigide+ tangencial del de catenaria!) A continuaci'n se muestra la matri+ de rigide+ tangencial del elemento truss)

elemento truss)

 Ktangencial

 Ktangencial==

((

 A A∗∗ ^ ^  E  E  L  L

))

∗∗

[[

1 1 00 ₋₋1 1 00 0 0 0 0 0 0 00 − −11 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0

]]

.o

.ondnde e el el vavalolor r de de 11  es es el el m'm'dudulo lo de de elelastasticicididad ad e&e&uiuivavalelentnte e (p(paraara considerar el efecto de catenaria!, el cual puede ser calculado por medio de considerar el efecto de catenaria!, el cual puede ser calculado por medio de la epresi'n (f'rmula de .ischinger!:

la epresi'n (f'rmula de .ischinger!:

^ ^

 E

 E== _E E 11

1 1++ 11 12 12∗∗

((

 Yl  Yl T  T 22

))

2 2 ∗ ∗ _EAT  EAT  .onde: .onde: Y 

Y   _{Es el peso por unidad de longitud del cale) Es el peso por unidad de longitud del cale)}

ll _{Es la Es la pro%ecci'n hori+ontal pro%ecci'n hori+ontal del cale)del cale)}

T 

 A  _{El *rea %}

 E  _{El m'dulo de Young)}

Es haitual no usar la pro%ecci'n hori+ontal del cale sino la pro%ecci'n del peso en la componente local del cale) Adem*s de la matri+ tangencial, se re&uiere de una matri+ adicional de rigide+ geométrica, funci'n de la tensi'n: geomètria=

(

T   L

)

∗

[

0 0 0 0 0 1 0 ₋1 0 0 0 −1 0 0 0 1

]

Esta matri+ le da estailidad al c*lculo del elemento3 no ostante, adicional a esta informaci'n, es necesario utili+ar f'rmulas de interpolaci'n funciones de forma % dem*s epresiones &ue descrian la geometr-a de la catenaria, si se reali+a el c*lculo con una condici'n no deformada, los resultados no ser-an adecuados para un an*lisis modal, este método puede permitir la aparici'n de eigen valores imaginarios producto del grado de precisi'n con &ue se calcul' la geometr-a del elemento)

El elemento multinodal es una versi'n m*s s'lida del elemento de dos nodos en cuanto a precisi'n % convergencia, las limitaciones siguen siendo similares por lo &ue su aplicailidad contin"a siendo relativa a cales con deformaciones pe&ue4as, de lo contrario, se re&uerir-a de una gran cantidad de elementos para evitar errores de convergencia) 5inalmente, el modelo con elementos curvos es el m*s efectivo de estos, al usar un elemento sencillo de dos nodos sin necesidad de nodos internos &ue puede ser utili+ado para pe&ue4as defleiones, como ocurre en el caso de puentes atirantados % as- mismo para grandes defleiones en cales de puentes colgantes (esto tamién implica &ue el elemento permita anali+ar cales cortos % largos de puentes atirantados con igual precisi'n!)

Elemento de cale curvo: Elemento catenaria (Thai % 6im, 2070!, (6aroumi, 78!

Este elemento est* asado en las epresiones anal-ticas eactas del elemento de catenaria el*stico, dentro de las consideraciones se tiene &ue el cale es perfectamente fleile % &ue el peso propio est* distriuido a lo

largo de su longitud, tamién se considera constante el valor del *rea transversal del cale, tal como se ve en la 5igura)

as Ecuaciones de e&uilirio para el cale son las siguientes (en coordenadas lagrangianas!: T 

(

 dx dp

)

=− F 1 T 

(

 dy dp

)

=− F 2 T 

(

 dz dp

)

=− F 3+ws .onde:

57, 52 % 59 son las reacciones en , % % +, respectivamente)  es el peso por unidad de longitud)

S es la longitud de la cuerda (la longitud curva deformada!)

;or est*tica se puede epresar la tensi'n como la suma de las componentes de las reacciones:

T (s)=

√ 

 _F 12+ _F 22+

(

 _F 3−_WS

)

2

.e igual forma, la tensi'n puede ser relacionada con la deformaci'n unitaria por medio de la le% de <oo=e a partir de la siguiente epresi'n:

T = _EAε= _EA

(

dp−ds

ds

)

= EA

(

dp

ds−1

)

as cuales presentan las siguientes condiciones de frontera:  (0! > % (0! > + (0! > 0,  (0! > 7 , % (0! > 7 %, + (0! > 7+) A partir de las anteriores

epresiones, es posile formular las longitudes pro%ectadas del cale en los tres e$es del siguiente modo:

l _X =− F 1 L0  EA −  F ₁ w

 {

ln

[

√ 

 F 1 2₊  F ₂2+

(

_wL 0− F 3

)

2 +_wL 0− F 3

]

−ln

(

√ 

 F 1 2₊  F ₂2+ _F  3 2

)

}

l_Y =− F 2 L0  EA −  F ₂ w

 {

ln

[

√ 

 F 1 2₊  F ₂2+

(

_wL 0− F 3

)

2₊ wL₀− _F  3

]

−ln

(

√ 

 F 1 2₊  F ₂2+ _F  3 2

)

}

l _z=− F 3 L0  EA + w L0 2 2 EA−  1 w

[

√ 

 F 1 2₊  F ₂2+

(

_wL 0− F 3

)

2₋

√ 

 F ₁2+ _F  2 2₊  F ₃2

]

.e modo &ue l, l% % l+ son respectivamente funci'n de 57, 52 % 59)

l _x=_f 

 (

 _{F 1 F 2 F 3}

)

_l

 y=g

(

 F 1 F 2 F 3

)

l z=!

(

 F 1 F 2 F 3

)

as cuales se pueden epresar igualmente en forma matricial:

{

d 1 _x d 1 _y d 1 _z

}

=

[

f ₁₁ f ₁₂ f ₁₃ f ₂₁ f ₂₂ f ₂₃ f ₃₁ f ₃₂ f ₃₃

]

{

d f ₁ d f ₂ d f ₃

}

=_f 

{

d f ₁ d f ₂ d f ₃

}

En donde "f " es la matriz de flexibilidad cuyas componentes

f ₁₁=−

(

L0  EA+¿ 1 W  ln T _" +¿ _F  6 T _i−¿ _F 3

)

+  F ₁2 W 

[

1 T _i

(

T _i−¿ _F  3

)

−¿ 1 T  _#

(

T  _#−¿ _F  6

)

]

f 12=f 21= f 1 f 2 w

[

1 T i

(

T i−¿ F 3

)

−¿ 1 T  #

(

T  #−¿ F 6

)

]

 f 13=f 31= f 1 w

[

1 T  _#− ¿ 1 T _i

]

f  ₂₂=−

(

L0  EA+ 1 W log T ₁ + _F  6 T _i − _F  3

)

+ F 2 2 w

[

1 T _i

(

T _i− _F  3

)

− 1 T  _#

(

T  _#− _F  6

)

]

f ₂₃=_f  32 f ₂ w

[

1 T  _#−¿ 1 T _i

]

 f 33=  L₀  EA−  1 w

[

 f ₆ T  _#− f ₃ T _i

]

Ti % T$ son las tensiones al inicio % al final del elemento, &ue pueden ser  calculadas como: T _i=

√ 

 F 1 2 + F 2 2 + F 3 2 T  _#=

√ 

 F 4 2 + F 5 2 + F 6 2

.el mismo modo 5?, 5@ % 5 pueden ser calculadas como:

 F 4=− F 1

 F ₅=− _F  2

 F ₆=−_wL 0

 Ahora ien, la matri+ de rigide+ es el resultado de calcular la inversa de la matri+ f :  K = F −1=

[

f 11 f 12 f 13 f 21 f 22 f 23 f 31 f 32 f 33

]

−1

5inalmente, la matri+ de rigide+ tangencial del elemento ser-a:

 K _T =

[

− K K 

 K  − _K 

]

Bna ve+ otenidos los valores, es posile calcular la geometr-a del elemento adem*s de su longitud inicial % longitud deformada:

S=

√

_l  z 2 +

(

_l  x 2 +_l  y 2

)

 sin!2 $  $2

 $=w 2

 √ 

(

l x 2₊ l _y2

)

/

(

 _F  1 2₊  F ₂2

)

La deflexión se calcula con la siguiente expresión (en la cual  X está normalizado en función de la proyección horizontal).

% _S= _$L

[

3+(1−2 _X ) _$sin 0

]

 _x(1− _X )/3

Referencias:

http:DD)scielo)clDscielo)phpFscript>sciGarttetHpid>S087I/ @089207200090000?