Solucion Pro Vectores

5.Vectores

1. Encontrar la componente horizontal y vertical de las siguientes fuerzas: F = 260 lb

_θ

₌₆₀0

F = 310 lb

_θ

₌₂₁₀0

En problemas de vectores, cuando se proporciona la magnitud del vector y su orientación, se recomienda:

i. Hacer una representación gráfica en el plano para visualizarlo. Si el tratamiento que le vamos a dar es por medio del método analítico, utilizar una regla u objeto recto (no es necesario usar el juego geométrico). Se pueden representar utilizando aproximaciones tanto para la magnitud como para el ángulo, guardando las proporciones cuando son más de dos vectores. Lo anterior es para darnos una idea global de lo que esperaríamos encontrar (Así por ejemplo, al observar la figura vemos que la componente horizontal de F1 es menor que la de F2).

ii. Trazar líneas punteadas paralelas a los ejes coordenados a partir de la punta del vector. iii. Escribir sobre los ejes las componentes de los vectores utilizando subíndices para

identificarlas.

iv. Si el vector se encuentra en el I cuadrante, aplicar los conocimientos de funciones trigonométricas a los triángulos rectángulos que se forman. Cuando el ángulo es mayor de 900_{, existen dos opciones:}

a) La primera es aplicar las funciones trigonométricas (como si el vector estuviese en el primer cuadrante) siempre y cuando el ángulo sea medido en sentido contrario a las manecillas del reloj.

b) La segunda es trazar el triángulo rectángulo que se forma identificando el cateto opuesto y el adyacente y aplicar las funciones trigonométricas al triángulo formado. Adicionalmente, observar hacia dónde apunta el vector para darle los signos (+ , - ) a nuestros resultados, Así por ejemplo, la componente horizontal del vector F2

apunta hacia la izquierda en sentido del eje x- por lo que a tal componente le habremos de agregar el signo negativo. Lo mismo ocurre para la componente vertical, ya que el vector apunta en sentido del eje y-.

Componente rectangular horizontal del vector F1.

1 1 1 . . cos F x F hip ady cat ₌ =

θ

Despejando a la componente horizontal:

lb lb lb Fx cos 260 (cos60 ) 260 (0.5) 130 0 1 1 1 = F θ = = =

Componente rectangular vertical del vector F1. De la función trigonométrica: 1 1 1 . . F y F hip op cat sen

θ

= =

despejamos la componente vertical

lb lb sen lb sen Fy 260 ( 60 ) 260 (0.8660) 225.16 0 1 1 1 = F

θ

= = =

Componente rectangular horizontal del vector F2.

De la función trigonométrica 2 2 2 . . cos F x F hip ady cat = =

θ

despejando a la componente horizontal:

lb lb lb F x cos 310 (cos210 ) 310 ( 0.8660) 268.47 0 2 2 2 = F

θ

= = − =−

Componente rectangular vertical del vector F2. De la función trigonométrica 2 2 2 . . F y F hip op cat sen

θ

= =

despejando a la componente vertical:

lb lb sen lb sen F y 310 ( 210 ) 310 ( 0.5) 155 0 2 2 2 = F θ = = − =− .

Para éste mismo vector F2, encontraremos las componentes basándonos en el triángulo rectángulo que se forma:

Componente rectangular horizontal de F2 con

θ

=300. De la función trigonométrica

2 2 2 . . cos F x F hip ady cat ₌ =

θ

despejando a la componente horizontal:

lb lb lb F x cos 310 (cos30 ) 310 (0.8660) 268.47 0 2 2 2 =F θ = = =− .

Como el vector apunta en sentido de x-, le agregamos el signo negativo F2x = - 268.47 lb.

Componente rectangular vertical de F2 con

θ

=300. De la función trigonométrica: 2 2 2 . . F y F hip op cat sen

θ

= =

despejando a la componente vertical:

lb lb sen lb sen F y 310 ( 30 ) 310 (0.5) 155 0 2 2 2 =F

θ

= = = .

Como el vector apunta en sentido de y-, le agregamos el signo negativo F2y = - 155 lb.

2. Encontrar las componentes rectangulares de una fuerza de 50 N, cuya dirección forma un ángulo de 500 _{por encima de la horizontal.}

Como el ángulo se mide en sentido contrario a las manecillas del reloj, aplicamos las relaciones:

θ cos F = x F θ sen Fy =F Fx = 50 N (cos 500_{)= 50 N (0.6428) = 32.14 N} Fy = 50 N (sen 500_{) = 50 N (0.766) = 38.30 N}

3. Encontrar la magnitud y dirección de los vectores cuyas componentes son:

Ax = 10 Bx = -10

Ay = 30 By = 30

En este problema, se nos proporcionan las componentes rectangulares y se nos pide encontrar al vector.

Para encontrar la magnitud, aplicamos el teorema de Pitágoras 2 2 _{( )} ) (Ax Ay A= + = A

Para encontrar la dirección y sentido, aplicamos la función trigonométrica tangente del ángulo. El ángulo viene dado por la tangente inversa del cociente de la componente vertical entre la componente horizontal.









=

− x y

A

A

1

tan

θ

Para el vector A

62 . 31 1000 ) 30 ( ) 10 ( 2 ₊ 2 _{= =} = =A A 0 1 1 _{tan (3) 71.56} 10 30 tan = =      = − −

θ

Para el vector B 62 . 31 1000 ) 30 ( ) 10 ( 2 _{+ −} 2 _{= =} = =B B 0 1 1 _{tan ( 3) 71.56} 10 30 tan = − =−      − = − −

θ

Antes de proceder a graficarlos, es pertinente hacer la siguiente aclaración:

Cuando se calcula el ángulo mediante la función tangente inversa, se presenta una complicación debido a que hay dos ángulos menores de 3600 que tienen la misma tangente.

Estos dos ángulos difieren en 1800 Por ejemplo:

tan 250 _{= 0.466307}

tan (250 ₊₁₈₀0 _{)= tan 205}0 _{= 0.466307}

Para salvar dicha dificultad, se debe de seguir lo siguiente:

a) Si las dos componentes del vector son positivas, el vector se encuentra en el I cuadrante y el ángulo se calcula directamente de la fórmula.

b) Si las dos componentes son negativas, el vector se encuentra en el III cuadrante y al resultado obtenido se le suman 1800_.

c) Si la componente horizontal es negativa y la vertical positiva, el vector se encuentra en el II cuadrante y al resultado (que es negativo) se le suman 1800_.

d) Si la componente vertical es negativa y la horizontal positiva, el vector se encuentra en el IV cuadrante, obteniéndose un ángulo negativo, lo cual nos indica que se mide en sentido de las manecillas del reloj. Para obtener el ángulo medido en sentido contrario a las manecillas del reloj, hay que sumarle 3600_.

Con las observaciones anteriores, el vector B se encuentra en el II cuadrante por lo que hay que sumarle 1800 _{al resultado obtenido.}

4. Encontrar la magnitud y dirección de los vectores, cuyas componentes son:

Cx = -1 0 Dx = 10 Cy = - 30 Dy = - 30 62 . 31 1000 ) 30 ( ) 10 ( ) ( ) ( 2 ₊ 2 ₌ 2 _{+ −} 2 _{= =} = =C Cx Cy C

0 1 1 _{tan (3) 71.56} 10 30 tan = =      − − = − − C

θ

Como las dos componentes son negativas, el vector se encuentra en el III cuadrante y al ángulo le sumamos 1800_.

0 0 0 _{180 251.56} 56 . 71 + = = C

θ

1000 ) 30 ( ) 10 ( ) ( ) ( 2 ₊ 2 ₌ 2 _{+ −} 2 ₌ = =D Dx Dy D 62 . 31 = D 0 1 1 _{tan ( 3) 71.56} 10 30 tan = − =−      − = − − D

θ

0 0 0 _{180 251.56} 56 . 71 + = = C

θ

Como la componente horizontal es positiva y la vertical negativa, el vector se encuentra en el IV cuadrante, por lo que al ángulo hay que sumarle 3600_.

0 0 0

₃₆₀

₂₈₈

_.

₄₄

56

.

71

+

=

−

=

D

θ

5. Un cable arrastra un carro de mina con una fuerza de 120 Newton en una dirección de 1200 sobre la horizontal. Encontrar las componentes rectangulares de esta fuerza.

) 5 . 0 ( 120 ) cos120 N( 120 cos = F 0 x F

θ

= = N − N 60 = Fx − ) 8660 . 0 ( 120 ) 120 N( 120 sen = F 0 y F

θ

= sen = N N 92 . 103 = F_y

6. Un aeroplano vuela 60 km en una dirección de 400 _al Oeste del Norte ¿Cuáles son las componentes rectangulares de su desplazamiento del avión?

) 6428 . 0 ( 60 ) cos130 ( 60 cos = D 0 x D

θ

= Km = Km − Km 57 . 38 = Dx − ) 7660 . 0 ( 60 ) (sen130 60 sen = D 0 Y D

θ

= Km = Km Km 45.96 = Dy

7. Un barco navega hacia el noroeste con una rapidez de 40km/hr. Hallar la componente de su rapidez en dirección del Oeste.

Considerando el ángulo de 1350 ) 7071 . 0 ( 40 ) (cos135 40 cos = V 0 x _hr Km hr Km ₌ =

θ

V hr Km 28.28 -= V_x Considerando el ángulo de 450 ) 7071 . 0 ( 40 ) (sen45 40 sen = V 0 x _hr Km hr Km = =

θ

V hr Km 28.28 = V_x

Vx = -28.28 km/hr (Se le agregó el signo negativo porque el vector V apunta en dirección del eje x-). 8. Encontrar la magnitud y dirección de la fuerza resultante producida por una fuerza vertical hacia arriba de 40 N y una fuerza horizontal hacia la derecha de 30 N.

a) Por el método analítico. b) Por el método gráfico. Analítico.

Como los vectores se encuentran sobre los ejes, sus componentes rectangulares son iguales a las magnitudes, es decir: N F1y =F1 =30 N F2x =F2 =40 2 1 2 2 ) ( ) ( _{x y} R F F F = + = R F 2 2 _{(30 )} ) 40 ( N N F_R = + = R F N N FR 2500 50 2 ₌ = = R F

Para determinar su orientación:

0 1 2 1 1

₎

₅₃

_.

₁₃

30

40

(

tan

tan

=

=









=

− −

N

N

R

R

x y D

θ

9. Encontrar la magnitud y dirección de la resultante de tres fuerzas:

F1 = 5 N

θ

₂

=

45

0 F2 = 3 N

φ

₂

=

180

0 F3 = 7 N

θ

3 =2250 Método Gráfico

Método Analítico: 2 2 _{( )} ) ( _{Rx Ry} R F F F = + = R F donde: x x x Rx F F F F = 1 + 2 + 3 y y y Ry F F F F = 1 + 2 + 3

.

Para las componentes en el eje x

3 3 2 2 1 1

Rx cos cos cos

F =F θ +F θ +F θ

0 0

0

Rx

5

cos

45

3

cos

180

7

cos

225

F

=

+

+

)

9497

.

4

8

39

8

5355

.

3

F

_Rx

=

+

−

+

−

N 4142 . 4 FRx =−

.

Para las componentes en el eje y

3 3 2 2 1 1 Ry

F =F senθ +F senθ +F senθ

0 0

0

Ry 5 45 3 180 7 225

F = sen + sen + sen

) 7071 . 0 ( 7 ) 0 ( 3 ) 7071 . 0 ( 5 F_Ry = + + − N 4142 . 1 FRy =−

sustituyendo los valores encontrados 2 2 _{( 1.4142)} ) 4142 . 4 (− + − = =FR R F 48 . 21 2 48 . 19 + = = =FR R F N FR =4.63 = R F

_.

Para encontrar el ángulo

)

3204

.

0

(

tan

4142

.

4

4142

.

1

tan

tan

−1 −1

_

₌

−1











−

−

=









=

N

N

F

F

Rx Ry R

θ

0

76

.

17

=

R

θ

.

Como ambas componentes son negativas, el vector resultante se encuentra en el III cuadrante por lo que tenemos que sumarle 1800_.

0

76

.

197

=

R

θ

10. Un vector D tiene 2.5 m de magnitud y apunta hacia el Norte. ¿Cuáles son las magnitudes y direcciones de los siguientes vectores?

a) - D b) D / 2 c) -2.5 D d) 4.0 D

a) magnitud de 2.5 y apunta hacia el sur b) magnitud 1.25 y apunta hacia el norte. c) magnitud 6.25 y apunta hacia el sur d) magnitud 10 y apunta hacia el norte

11. Calcular el producto punto y la magnitud del producto cruz de los vectores:

a) F1 =260lb

θ

₁

=

60

0 F2 =310lb

θ

₁

=

210

0 b) Cx = -10 Cy = -30 Dx = 10 Dy = - 30 a) Producto punto: 12 2 1 2 1 F F F cosθ F • =

Donde

θ

12 es el menor ángulo que se forma entre F1 y F2 ((θ=2100 −600 =1500)

2 0 2 1

•

F

=

(

260

lb

)(

310

lb

)(cos

150

)

=

69801

.

64

lb

F

a) Producto cruz: 12 2 1 2 1 F F F senθ F × = 2 0 2 1×F =(260lb)(310lb)(sen150 ) =40300lb F

b) Para encontrar el producto punto y la magnitud del producto cruz, primero debemos de encontrar las magnitudes y direcciones de los vectores, lo cual se hizo en el problema 4 de esta misma serie, siendo éstos: 0 56 . 251 62 . 31 = = θC C 0 44 . 288 62 . 31 = = θC D ) 56 . 251 44 . 288 cos( ) 62 . 31 )( 62 . 31 ( cos ₌ 0₋ 0 = •D C D

θ

CD C 89 . 799 88 . 36 cos 8244 . 999 0 ₌ = •D C CD senθ D C D C× =

14 . 600 88 . 36 ) 62 . 31 )( 62 . 31 ( 0 ₌ = ×D sen C

12. Dados los vectores A y B que tienen las siguientes componentes: Ax = 3.2

Ay = 1.6 Bx = 0.5 By = 4.5

Encontrar el ángulo entre los dos vectores.

El ángulo entre los vectores viene dado por el producto punto:

AB θ cos B A B A• = despejando el ángulo: B A B A• = AB θ cos

_.

Por otro lado, el producto punto entre dos vectores, expresado en función de los vectores unitarios es: ) ˆ ˆ ( ) ˆ ˆ (Axi+Ay j • Bxi +By j = •B A

_.

Efectuando las multiplicaciones como si fuese el producto de dos binomios del álgebra elemental, pero conservando el producto punto:

j B j A i B j A j B i A i B i A_xˆ_{• x}ˆ_{+ x}ˆ_{• y}ˆ_{+ y}ˆ_{• x}ˆ_{+ y}ˆ_{• y}ˆ = •B A ) ˆ ˆ ( ) ˆ ˆ ( ) ˆ ˆ ( ) ˆ (i i A B i j A B j i A B j j B A_{x x} • + _{x y} • + _{y x} • + _{y y} • = •B A donde: 1 0 cos ) 1 )( 1 ( cos ˆ_{•i=i i θ=} 0 ₌ i 1 0 cos ) 1 )( 1 ( cos ˆ ˆ_{•j =j j θ=} 0 ₌ j 0 90 cos ) 1 )( 1 ( cos ˆ ˆ_{•j =i j θ=} 0 ₌ i 0 90 cos ) 1 )( 1 ( cos ˆ ˆ_{j•i =j i θ=} 0 ₌

teniendo que el producto punto entre los vectores A y B se reduce a: y y x xB A B A + = •B A

_.

En nuestro problema: 8 . 8 2 . 7 6 . 1 ) 5 . 4 )( 6 . 1 ( ) 5 . 0 ( 2 . 3 + = + = = •B A

Adicionalmente a lo anterior, tenemos que las magnitudes de los vectores son: 577 . 3 ) 6 . 1 ( ) 2 . 3 ( ) ( ) ( 2 ₊ 2 ₌ 2 ₊ 2 ₌ = Ax Ay A 527 . 4 ) 5 . 4 ( ) 5 . 0 ( ) ( ) ( 2 ₊ 2 ₌ 2 ₊ 2 ₌ = Bx By B

Sustituyendo los valores encontrados en la ecuación para el ángulo:

0 1 1 _{cos (0.5434) 57} ) 527 . 4 )( 577 . 3 ( 8 . 8 cos = =     = − − AB

θ

b) Encontrar las componentes x y y de un vector ( B ) que sea perpendicular al vector A = 3.2i + 1.6j

y que tenga 5 unidades de longitud. Es decir: Bx = ?

By = ? B = 5

El problema se puede resolver de una forma sencilla, sin embargo, lo resolveremos utilizando el formulismo matemático, para ello aplicamos:

o El producto cruz entre dos vectores y determinamos la magnitud del vector resultante C C = A x B AB senθ B A B A C = × = donde: 577 . 3 ) 6 . 1 ( ) 2 . 3 ( ) ( ) ( 2 ₊ 2 ₌ 2 ₊ 2 ₌ = Ax Ay A B = 5 0 90 =

θ

por ser perpendiculares Sustituyendo:

C = (3.577)(5) sen 900 C = 17.885

o El producto punto entre los vectores

AB θ cos B A B A• = 0 90 cos ) 5 )( 577 . 3 ( = •B A

0

=

•

B

A

Por otro lado, en el inciso anterior de este mismo problema tenemos que el producto punto entre los vectores A y B en función de sus componentes viene dado por:

y y x xB A B A + = •B A

Adicionalmente, determinaremos el producto cruz entre los vectores y lo expresaremos de igual forma en función de sus componentes rectangulares:

A x B = (Ax i + Ay j ) x (Bx i + By j ) A x B = ( Ax i x Bx i ) + ( Ax i x By j )+( Ay j x Bx i )+ ( Ay j x By j ) A x B = Ax Bx ( i x i ) + Ax By ( i x j ) + Ay Bx ( j x i ) + Ay By ( j x j ) donde: i x i = 0 i x j = k j x i = -k j x j = 0

Donde k se determina usando la regla de la mano derecha, siendo un vector unitario perpendicular a i y a j, que se encuentra en dirección del eje de las z en el espacio tridimensional.

Sustituyendo estos valores en el producto cruz entre los vectores A y B A x B = Ax Bx ( i x i ) + Ax By ( i x j ) + Ay Bx ( j x i ) + Ay By ( j x j ) A x B = Ax Bx ( 0 ) + Ax By ( k ) + Ay Bx ( -k ) + Ay By ( 0 )

A x B = Ax By ( k ) + Ay Bx ( -k ) C = A x B = ( Ax By - Ay Bx )( k )

Donde C está en la dirección del vector unitario k, su magnitud viene expresada por: C = Ax By - Ay Bx

Esta misma magnitud es la que encontramos anteriormente, es decir, C = 17.885 Resumiendo todo lo anterior, tenemos que:

C = Ax By - Ay Bx = 17.885

Resultando un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Éstas son las componentes Bx y By, las cuales determinaremos a continuación:

Ax By - Ay Bx = 17.885 Ax Bx + Ay By = 0

Sustituyendo los valores de las componentes del vector A: 3.2 By - 1.6 Bx = 17.885

3.2 Bx + 1.6 By = 0

Multiplicando la segunda ecuación por -2 3.2 By - 1.6 Bx = 17.885

(-2) (3.2 Bx + 1.6 By )= 0 (-2) Efectuando el producto

3.2 By - 1.6 Bx = 17.885 -6.4 Bx - 3.2 By = 0

Reagrupando términos y sumando: 3.2 By - 1.6 Bx = 17.885 + - 3.2 By - 6.4 Bx = 0 - 8 Bx = 17.885 Despejando a la componente: Bx = 17.885 / -8 Tenemos que: Bx = - 2.235

De igual forma se encuentra la componente By, multiplicando la primera ecuación por 2 (aunque también se puede hacer sustituyendo el valor de Bs encontrado, en cualquiera de las dos ecuaciones)

3.2 Bx + 1.6 By = 0 obteniendo: 6.4 By - 3.2 Bx = 35.77 + 1.6 By + 3.2 Bx = 0 8 By = 35.77 Despejando By By = 35.77 / 8 By = 4.471

Para comprobar nuestros resultados, calcularemos la magnitud del vector B utilizando las componentes: 5 98 . 24 99 . 19 99 . 4 ) 471 . 4 ( ) 235 . 2 ( ) ( ) ( 2₊ 2 _{= −} 2 ₊ 2 _{= + = =} = =B Bx By B y el ángulo: 0 1 1 1

₎

_tan

₍

₂

₎

₆₃

_.

₄₇

232

.

2

471

.

4

(

tan

tan

=

=

−

=









=

− − − x y

B

B

θ

Como la componente horizontal es negativa, a este ángulo le sumamos 1800_{, obteniendo el ángulo} medido con respecto al eje de las x+.

0 0 0

₆₃

_.

₄₇

₁₁₆

_.

₅₂

180

−

=

=

B

θ

y la diferencia entre

θ

_B y

θ

_A es 0

90

56

.

26

523

.

116

−

=

=

−

A B

θ

θ

-

θ

B

Ahora resolveremos el mismo problema, aunque de una manera no muy ortodoxa, es decir, sin el formulismo vectorial.

a' ) Encontrar el ángulo entre A y B

Conociendo las componentes podemos determinar los ángulos que forman cada vector con respecto al eje de las x+, posteriormente, calculamos la diferencia entre ambos ángulos y obtenemos el ángulo entre ellos.

0 1 1 1

_tan

₍

₀

_.

₅

₎

₂₆

_.

₅₆₅

2

.

3

6

.

1

tan

tan



=

=











=









=

− − − x y A

A

A

θ

0 1 1 1

_tan

₍

₉

₎

₈₃

_.

₆₅₈

5

.

0

5

.

4

tan

tan



=

=











=









=

− − − x y B

_B

B

θ

0 0 0

₂₆

_.

₅₆₅

₅₇

_.

₀₉

658

.

83

−

=

=

−

A B

θ

θ

b' ) Encontrar las componentes x y y de un vector ( B ) que sea perpendicular al vector A = 3.2i + 1.6j

y que tenga 5 unidades de longitud. Es decir: Bx = ?

By = ? B = 5

Para que el vector B sea perpendicular a A, debemos de sumarle 900 0 0 0

₉₀

₁₁₆

_.

₅₆₅

565

.

26

90

=

+

=

+

=

A B

θ

θ

Conociendo el ángulo y la magnitud, podemos encontrar las componentes

236 . 2 ) 4472 . 0 ( 5 565 . 116 cos 5 cos ₌ 0 _{= − =−} = B x B B

θ

472 . 4 ) 8944 . 0 ( 5 565 . 116 5 0 _{= =} = = sen sen By B

θ

B