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TEMA: ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES DERIVABLES
1 – DOMINIO DE DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓNEl dominio de una función está formado por aquellos valores de x (números reales) para los que se puede calcular f(x).
2 – PUNTOS DE CORTE DE UNA FUNCIÓN CON LOS EJES COORDENADOS Los primeros puntos de la gráfica que se pueden hallar son los puntos de la función que pertenecen a los ejes coordenados.
Para hallar el punto donde la función corta al eje de ordenadas se resuelve el sistema:
=
=
0
)
(
x
x
f
y
Para hallar los puntos donde la función corta al eje de abscisas se resuelve el sistema:
=
=
0
)
(
y
x
f
y
3 – SIMETRÍA Y PERIODICIDAD FUNCIÓN PARUna función f es PAR cuando
f(
−
x)
=
f(x)
,
∀
x
∈
D
Las funciones pares son simétricas respecto del eje de ordenadas (eje OY) FUNCIÓN IMPAR
Una función f es IMPAR cuando
f
(
−
x
)
=
−
f
(
x
)
,
∀
x
∈
D
Las funciones impares son simétricas respecto del origen de coordenadas. FUNCIÓN PERIÓDICA
Una función f es PERIÓDICA cuando existe un número
p
∈
R
tal que :D
x
x
f
p
x
f
(
+
)
=
(
)
,
∀
∈
(los valores de la función se repiten de p en p). El número p se llama periodo. 4 – CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN
Sea f(x) una función derivable en el punto x0
0 0
( ) 0
es estrictamente creciente en
f x
′
> ⇒
f
x
0
)
(
en
creciente
nte
estrictame
es
x
0⇒
f
′
x
0≥
f
0 0( ) 0
es estrictamente decreciente en
f x
′
< ⇒
f
x
0
)
(
en
e
decrecient
nte
estrictame
es
x
0⇒
f
′
x
0≤
f
5 – MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN Sea f(x) una función y x0 un punto del dominio.
DEFINICIÓN
La función f(x) presenta un máximo relativo en x0 , cuando existe un entorno E(x0) tal que
0 0 0
)
;
(
)
,
(
)
(
x
f
x
x
E
x
x
x
f
<
∀
∈
≠
La función f(x) presenta un mínimo relativo en x0 , cuando existe un entorno E(x0) tal que
0 0 0
)
;
(
)
,
(
)
(
x
f
x
x
E
x
x
x
f
>
∀
∈
≠
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0295-01/ed99-0295-01.html 2 Son puntos que se distinguen por ser aquellos cuya imagen es la mayor o la menor (máximo – mínimo) de todas las imágenes “de los alrededores”. No se excluye que haya otros puntos alejados de x0 cuya imagen sea mayor o menor que f(x0).
A los máximos y mínimos relativos se los llama extremos relativos o simplemente extremos.
TEOREMA (CONDICIÓN NECESARIA PARA LA EXISTENCIA DE EXTREMOS) Sea
f
:
R
→
R
una función cuyo dominio es D=Dom(f) y x0 un punto del dominio.0 0 0
( ) 0
Si f alcanza un extremo en x
f x
y f es derivable en x
′
⇒
=
NotaLa recta tangente en un extremo es paralela al eje OX, luego la derivada (la pendiente de la recta tangente) es cero.
Los puntos que anulan la derivada son los candidatos a ser extremos,
pero no puede asegurarse que lo sean. A estos puntos se les llama puntos
críticos.
0 0Si hay extremo en
x
⇒
f x
′
( ) 0
=
0 0)
0
No
hay
extremo
en
(
Si
f
′
x
≠
⇒
x
Vamos a ver unos criterios para demostrar si un punto crítico es o no un extremo. CRITERIO-1: VARIACIÓN DE LA DERIVADA
Sea la función f derivable en el intervalo (a ,b)
0
)
(
,
)
,
(
0 0∈
a
b
f
′
x
=
x
Vamos a estudiar la función derivada en ese intervalo. Los casos posibles que se pueden presentar son:
A.
I 0
)
,
(
0
)
(
x
x
a
x
f
′
>
∀
∈
yII 0
,
)
(
0
)
(
x
x
x
b
f
′
<
∀
∈
I: Si la derivada es positiva, la función es creciente.II: Si la derivada es negativa, la función es decreciente.
Estamos en el caso de una función que es creciente antes del punto x0 y es
decreciente después del punto x0, luego en el punto x0 hay un máximo relativo.
B.
I 0
)
,
(
0
)
(
x
x
a
x
f
′
<
∀
∈
yII 0
,
)
(
0
)
(
x
x
x
b
f
′
>
∀
∈
I: Si la derivada es negativa, la función es decreciente.II: Si la derivada es positiva, la función es creciente.
Estamos en el caso de una función que es decreciente antes del punto x0 y es
creciente después del punto x0, luego en el punto x0 hay un mínimo relativo.
C. Ni A. ni B.
⇒
No hay extremo. .CRITERIO-2: VARIACIÓN DE LA SEGUNDA DERIVADA Sea
f
:
R
→
R
una función derivable más de una vez.0
)
(
0=
′ x
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0295-01/ed99-0295-01.html 3 TEOREMA (CONDICIÓN SUFICIENTE PARA LA EXISTENCIA DE EXTREMOS) Pueden ocurrir los siguientes casos:
6 – CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD DE UNA FUNCIÓN Definición
Una función es convexa si fijado un vector unitario en el semieje positivo OY, dicho vector está en el mismo semiplano (determinado por las rectas tangentes a la función) que la función. En caso contrario (distintos semiplanos) se dice cóncava.
2 4 6 8 X -3 -2 -1 1 2 Y Recta tangente Recta tangente Cóncava Convexa
Condiciones analíticas de concavidad y convexidad
Si f (x)>0 en un intervalo (a, b)
′′
⇒
f(x) es convexa en el intervalo (a, b) .
Si f (x)<0 en un intervalo (a, b)
′′
⇒
f(x) es cóncava en el intervalo (a, b) .
7 – PUNTOS DE INFLEXIÓN Definición
El punto que, en una función continua, separa la parte convexa de la cóncava, se llama punto de inflexión de la función. En ellos la función no es cóncava ni convexa sino que hay cambio de concavidad a convexidad o al revés.
Los puntos de inflexión están caracterizados por:
a)
f
′′
(
x
0)
>
0
⇒
La función f tiene en el punto x0 un mínimo relativo.b)
f
′′
(
x
0)
<
0
⇒
La función f tiene en el punto x0 un máximo relativo.http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0295-01/ed99-0295-01.html 4 Teorema
Sea y= f(x) la ecuación de una función.
Si f ′′(a)=0, o f ′′(a) no existe, y la derivada f ′′(x) cambia de signo al pasar por el valor de x=a, entonces, el punto de la función de abscisa x=a es un punto de inflexión.
Puntos de inflexion
( ) 0
f x
′′
=
Nota
Los puntos de inflexión donde la función es derivable, tienen la característica de tener una recta tangente que cruza la gráfica de f.
8 – ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN
Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito.
Una definición más formal es: Definición
Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.
Las asíntotas se clasifican en:
Verticales
Asíntotas
Horizontales
Oblicuas
a. Asíntotas verticales (paralelas al eje OY)Si existe un número “a” tal, que :
∞
=
→(
)
lim
f
x
a xLa recta “x = a” es la asíntota vertical. b. Asíntotas horizontales (paralelas al eje OX)
Si existe el límite:
b
x
f
x→∞(
)
=
lim
La recta “y = b” es la asíntota horizontal. c. Asíntotas oblicuas (inclinadas)
Si existen los límites:
[
f
x
m
x
]
n
m
x
x
f
x x→∞=
;
lim
→∞(
)
−
⋅
=
)
(
lim
La recta “y = mx+n” es la asíntota oblicua. Nota-1
Las asíntotas horizontales y oblicuas son excluyentes, es decir la existencia de unas, implica la no existencia de las otras.
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0295-01/ed99-0295-01.html 5 Nota-2
En el cálculo de los límites se entiende la posibilidad de calcular los límites laterales (derecho, izquierdo), pudiendo dar lugar a la existencia de asíntotas por la derecha y por la izquierda diferentes o solo una de las dos.
Posición relativa de la función con respecto a la asíntota
Para estudiar la posición relativa de la función con respecto a la asíntota, primero calcularemos los puntos de corte de ambas resolviendo el sistema
b)
P(a,
Asíntota
y
f(x)
y
⇒
=
=
Estos puntos determinan los cambios de posición de la función respecto de la asíntota. Estos cambios quedarán perfectamente establecidos estudiando el SIGNO[f(x)-Asíntota]. 9 – REGIONES DE EXISTENCIA PARA UNA FUNCIÓN
Las regiones donde existe la función son las parcelas del plano por donde tenemos la seguridad de su existencia. Estas regiones se determinan, para funciones racionales, trazando rectas verticales sobre el eje OX, en los puntos donde se anula el numerador y el denominador de la función, considerando su orden de multiplicidad. Una región sería la porción del plano considerada entre dos líneas verticales y el eje OX. Una vez asegurada la existencia de la función en una de ellas (mediante un valor de la x), alternaremos en una “SI” y en otra “NO” por orden la existencia, hasta completar todo el plano.
Ejemplo:
)
2
)(
3
(
)
1
)(
1
(
6
1
)
(
2 2−
+
+
−
=
−
+
−
=
x
x
x
x
x
x
x
x
f
10 – REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
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REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE CURVAS
1º Representa las siguientes funciones polinómicas:
a)
y
=
x
4−
2x
2 b)y
=
2
x
2−
x
+
1
c)y
=
x
3+
5
x
−
18
2º Representa las siguientes funciones racionales:
a)
x
x
y
1
2+
=
b) 2 3)
1
(
−
=
x
x
y
c)2
2−
=
x
x
y
d) 2 31 x
x
y
−
=
e)1
1
+
−
=
x
x
y
f)1
2−
=
x
x
y
g)3
1
2+
=
x
y
h)x
x
y
−
=
2
2 i)1
6
2+
=
x
x
y
j)5
4
5
2−
+
−
=
x
x
x
y
3º Sea f(x) una función real de variable real, definida en todo R, de la cual conocemos la siguiente tabla:
x (-∞,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 (2,3) 3 (3,+∞)
f(x) - 0
+
1
+
0 - -1 -
f′(x)
+ + + 0 - - - 0 -
f′′(x)
- - - 0 + 0 -
a. Calcula los puntos de corte con los ejes. b. Calcula los máximos y los mínimos relativos.
c. Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
d. Calcula los puntos de inflexión que tiene, distinguiendo los que tienen la tangente horizontal y los que tienen la tangente inclinada.
e. Calcula los intervalos de concavidad y convexidad. f. Realiza un esbozo de su gráfica.
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0295-01/ed99-0295-01.html 7 4º Idem X (-∞,-2) -2 (-2,-1) -1 (-1,0) 0 (0,2) 2 (2,3) 3 (3,5) 5 (5,+∞)
