Sincronización Parcial de Redes Complejas Fraccionarias.

Sincronizaci´on Parcial de Redes Complejas Fraccionarias.

Rafael Mart´ınez-Mart´ınez

— [email protected]

Jorge A. Le´on

— [email protected]

G. Fern´andez-Anaya

— [email protected]

(a) CINVESTAV-IPN Av. Instituto Polit´ecnico Nacional No. 2508,

Col San Pedro Zacatenco, C.P. 07360, M´exico D. F. Tel (+5255) 5747 3795 ext. 4207

(b) Departamento de Fisica y Matem´aticas. Universidad Iberoamericana,

Prol. Paseo de la Reforma 880, Lomas de Santa Fe, M´exico D. F. 01219, M´exico

Resumen— En este trabajo se presenta un criterio para la sincronizaci´on parcial de redes complejas fraccionarias, es decir, dada una red de sistemas din´amicos interconectados, en donde el modelo de cada sistema es representado por un operador fraccionario, se conecta un nuevo sistema a la red, con el objetivo de que la red se comporte como ´este ´ultimo sistema; los operadores fraccionarios son extenciones de los operadores derivada e integral, comunmente usados para modelar sistemas din´amicos.

Palabras clave: C´alculo fraccionario, Sincronizaci´on parcial, Redes complejas, Sistemas fraccionarios.

I. INTRODUCCION´

El c´alculo fraccionario es tan antiguo como el c´alculo convencional, pero no es tan popular en la ciencia y en la ingenier´ıa. En los ´ultimos tres siglos, el c´alculo fraccionario fue tratado s´olo matem´aticamente, pero en a˜nos recientes se ha utilizado en varios campos de la ingenier´ıa y la ciencia (R. Hilfer, 2000). El c´alculo fraccionario es el nombre que recibe la teor´ıa de integraci´on y derivadas de orden arbitrario.

Respecto a los trabajos realizados en redes complejas frac-cionarias (sistemas din´amicos interconectados, en donde el modelo de cada sistema es representado por un operador fraccionario); en general la discusi´on se hace sobre in-terconexiones lineales entre los sistemas (Tianshou Zhou, Changpin Li, 2005; Yang Tang, Zidong Wang, Jian-An Fang, 2009; Yang Tang, Jian-An Fang, 2009), centrando el desarrollo en condiciones sobre la topolog´ıa, es decir, los acoplamientos se proponen para garantizar condiciones de estabilidad tipo (Denis Matignon, 1996). En principio el esquema planteado en este trabajo se puede aplicar a una interconexi´on arbitraria, en el sentido que la estabilizaci´on recae sobre una acci´on de control, y de manera indirecta sobre las condiciones topol´ogicas de la red, gracias a el enfoque de estabilidad de (Xiang-Jun Wen, Zheng-Mao Wu, Jun-Guo Lu, 2008), por lo que no es necesario eliminar las partes no lineales de la red, y mucho menos linealizar, sin embargo se tiene la restricci´on de que la sincronizaci´on maestro-esclavo es parcial, i. e., cuando al menos para un estado del sistema esclavo kxM− xSk 6= 0, esto se tiene

como consecuencia de que s´olo se garantiza la estabilidad del sistema error.

En general se pueden encontrar muchas aplicaciones de

redes: circuitos el´ectricos, redes m´oviles, redes ´opticas, y muchos m´as ejemplos. En particular los sistemas ca´oticos de orden fraccionario tienen m´as variables ajustables que un sistema de ca´otico de orden entero, es decir se cree ampliamente que los sistemas fraccionarios ca´oticos pueden ser aplicados en encriptaci´on de manera eficiente, pues pueden alargar el espacio de las claves (Yang Tang, Jian-An Fang, 2009).

II. OPERADORES FRACCIONARIOS

Ahora definiremos lo que se entiende por integral frac-cionaria y derivada fracfrac-cionaria.

Definici´on 1 (Integral fraccionaria de Riemann-Liouville): La integral fraccionaria de Riemann-Liouville de orden α ∈ R+ _{de una funci´on f se define como:}

v´ease (Keith B. Oldham, Jerome Spanier, 1974; Igor Podlubny, 1999; Shantanu Das, 2008)

aItαf (t) = 1 Γ(α) Z t a f (τ )(t − τ )α−1dτ (1) Γ(·) es la funci´on Gama. 

II-A. Derivada fraccionaria de Caputo

Definici´on 2 (Derivada fraccionaria de Caputo): La derivada fraccionaria de Caputo de orden α de la funci´on f se define como v´ease (Igor Podlubny, 1999)

c aD α tf (t) = 1 Γ(n − α) Z t a f(n)(τ )(t − τ )n−α−1dτ, (2)

donde: n − 1 ≤ α < n, f(n)(τ ) es la derivada n-´esima de

f (τ ) en el sentido usual, n ∈ N. 

III. REDCOMPLEJAFRACCIONARIA

El operador fraccionario que se utilizar´a ser´a el de Caputo, debido a que el significado de las condiciones iniciales es el mismo que el de los sistemas de orden entero, se considera que 0 < α < 1, se define

x(α)(t) =c0Dtαx(t) = 1 Γ(1 − α) Zt 0 x0(τ )(t − τ )−αdτ donde 0 < α < 1.

Si x(t) ∈ Rn_{, se considera que x}(α)_{(t) es el operador}

fraccionario de Caputo aplicado a cada entrada.

1x1 1x2 1x3 2x1 2x2 2x3 mx1 mx2 mx3 1xr1 1x(r1−1) 2xr2 2x_(r2−1) mxrm mx(rm−1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Figura 1. N sistemas interconectados

Sup´ongase que se tienen m sistemas diferentes de orden fraccionario α y cada uno de ellos tiene una determinada cantidad de copias, de tal suerte que la cantidad total de sistemas es N , los cuales se encuentran en interacci´on bajo una determinada interconexi´on, v´ease la Figura 1. Se tiene que: sx(α)_i =sfi(sxi) + r1 X j=1 1hij(1xj) + . . . + rs X j=1 shij(sxj)+ . . . + rm X j=1 mhij(mxj). (3)

En la Ecuaci´on (3), sxi : R → Rn donde s es el tipo

de sistema, e i es el i − ´esimo sistema de este tipo,

sfi : Rn → Rn representa la din´amica del s − i − ´esimo

sistema, shij : Rn→ Rn describe c´omo el s − i − ´esimo

sistema est´a interconectado con el s − j − ´esimo sistema, es decir, especifica la fuerza y la topolog´ıa de la interconexi´on de los sistemas. En general, no todos los sistemas est´an interconectados de igual manera. Lo anterior es para cada s = 1, 2, . . . , m e i = 1, 2, . . . , rs, r1+r2+. . .+rm= N ,

rs denota la cantidad de sistemas con la din´amica s.

sxi(t) = (sxi1(t), · · · ,sxin(t))T sfi(sxi(t)) = (sfi1(sxi), · · · ,sfin(sxi))T shij(sxj) = (shij1(sxj), · · · ,shijn(sxj))T con sxik : R → R, sfik : Rn → R, shijk : Rn → R, ∀ k ∈ {1, . . . , n}, ∀s ∈ {1, . . . , m} y ∀i, j ∈ {1, . . . , rs}. Tambi´en def´ınase: sX(t) =  sxT1, · · · ,sxTrs T sF (sX) =  sf1T(sx1), · · · ,sfrTs(sxrs) T kHs(kX) = (khT11(kx1), · · · ,khT1rk(kxrk),khT21(kx1), · · · , khT2r_k(kxrk) · · · , · · · ,kh T rs1(kx1), · · · ,kh T rsrk(kxrk)) T Is,k=         I1rk 11 ¯0 1(2∗rk) 1(rk+1) . . . ¯ 01(rk∗rk) 1(rk∗rkrk+1) ¯ 02rk 21 I 2(2∗rk) 2(rk+1) . . . ¯ 02(rk∗rk) 2(rk∗rkrk+1) . . . ... . .. ... ¯ 0rsrk rs1 ¯0 rs(2∗rk) rs(rk+1) . . . I rs(rk∗rk) rs(rk∗rkrk+1)        

donde la notaci´on Aik_ij, nos indica que se trata de una matriz cuyos elementos son matrices, donde: i es el n´umero de rengl´on, j es la columna inicial, y k es el n´umero de columna final. Por ejemplo:

A1rk

11 = [A11. . . A1rk]

As´ı el Sistema (3) se puede escribir como: sX(α)=sF (sX) + m X k=1 Is,k kHs(kX) =sF (sX) + Is,s sHs(sX) + m X k6=s Is,k kHs(kX) (4)

para s fijo se tiene: sX : R → R(rs)n, sF : R(rs)n →

R(rs)n_,

kHs: R(rk)n→ R(rk∗rs)n ∀ k ∈ {1, . . . , m}.

IV. ESTABILIZACION DE UN SISTEMA´ FRACCIONARIO

En primer lugar se estudia la establizaci´on de un sistema fraccionario de la forma:

x(α)= Ax + g(x) (5)

Donde xi : R → Rn, A : Rn→ Rn lineal, y g : Rn→ Rn

no lineal, en (Xiang-Jun Wen, Zheng-Mao Wu, Jun-Guo Lu, 2008) se presenta el siguiente resultado.

Teorema 1: Consideramos el siguiente sistema din´amico n-dimensional de orden fraccionario

x(α)= Ax + g(x) (6)

Con una matriz lineal regular A y una funci´on no lineal g de x y 0 < α < 1 si

1. La soluci´on x(t) = 0 de x(α) _{= Ax es}

asint´otica-mente estable1_{, y αρ(A) > 1}2

2. g(0) = 0 y l´ım

kxk→0 kg(x)k

kxk = 0

Entonces x(t) = 0 para 0 ≤ t0≤ t, es una soluci´on estable

de (6) 

IV-A. Sistema de Lorenz de orden fraccionario

Consid´erese el sistema de Lorenz de orden fraccionario α, con 0 < α < 1 (Xiang-Jun Wen, Zheng-Mao Wu, Jun-Guo Lu, 2008): x(α)₁ (t) = A1x1+g(x1) =   −a1 a1 0 b1 −c1 0 0 0 −d1   x1+   0 −x11x13 x11x12   (7)

Figura 2. Plano fase de los estados del Sistema (7), se utiliza la aproxi-maci´on de (Tom. T. Hartley, Carl F. Lorenzo, Helen Killory Qammer, 1995) para la integral de orden fraccionario.

con x1= [x11, x12, x13]T, α = 0.8 y una condici´on inicial

dada. Cuando a1 = 10, b1 = 28, c1 = −8, d1 = 8/3 y

α = 0.8 el comportamiento del sistema se muestra en la Figura 2. Se aplica el control u1= B1K1x con:

B1= (1, 1, 1)T K1= (0, −50, 0)

Para esta estructura del sistema se tiene, que la pareja (A1, B1) es completamente controlable, en este caso se

toma como hip´otesis que se puede observar la variable x12,

1_{los valores propios de la matriz A deben de satisfacer que el valor} absoluto de su argumento sea mayor que 0.5πα (Denis Matignon, 1996)

de no ser as´ı se puede dise˜nar un observador. Ahora se tiene que l´ım

kx1k→0

kg(x1)k

kx1k = 0, αρ(A1+ B1K1) =

31.3943 > 1 y si se desea que la soluci´on x(t) = 0 del sistema x(α)₁ = (A1+ B1K1)x1sea asint´oticamente estable

se debe de cumplir que karg(spec(A1+ B1K1))k > 0.5πα

(se demuestra en (Denis Matignon, 1996)) lo cual sucede, pues λ1 = −2.6667, λ2 = −26 + 29.3939i, λ3 = −26 −

29.3939i para la elecci´on de B1 y K1 especificadas; por

lo tanto, se satisfacen las condiciones del Teorema 1, lo cual implica que el Sistema (7), con el control propuesto, es estable, as´ı la respuesta del Sistema (7) se observa en la Figura 3.

Figura 3. Estabilizaci´on del Sistema (7), se aplica el control en t = 10 segundos.

IV-B. Sistema de L¨u de orden fraccionario

Consid´erese el sistema de L¨u de orden fraccionario α, con 0 < α < 1 (Jun Guo Lu, 2006) que se puede escribir como: x(α)2 = A2x2+g(x2) =   −a2 a2 0 0 c2 0 0 0 −b2   x2+   0 −x21x23 x21x22   , (8)

Figura 4. Plano fase de los estados del Sistema (8), utilizando la aproxi-maci´on de (Tom. T. Hartley, Carl F. Lorenzo, Helen Killory Qammer, 1995) para la integral de orden fraccionario.

con x2 = [x21, x22, x23]T y una condici´on inicial dada.

Cuando a2 = 35, b2 = 3, c2 = 28, y α = 0.8, el

comportamiento del sistema se muestra en la Figura 4.

IV-C. Sistema de Chen de orden fraccionario

T´omese el sistema de Chen de orden fraccionario α, con 0 < α < 1 (Chunguang Li, Guanrong Chen, 2004) que se puede escribir como:

x(α)₃ = A3x3+g(x3) =   −a3 a3 0 c3− a3 c3 0 0 0 −b3   x3+   0 −x31x33 x31x32   , (9)

Figura 5. Plano fase de los estados del Sistema (9), utilizando la aproxi-maci´on de (Tom. T. Hartley, Carl F. Lorenzo, Helen Killory Qammer, 1995) para la integral de orden fraccionario.

con x3 = [x31, x32, x33]T y una condici´on inicial dada.

Cuando a3 = 35, b3 = 3, c3 = 28, y α = 0.8, el

comportamiento del sistema se muestra en la Figura 5. Se aplica el control u3= B3K3x3 con:

B3= (1, 1, 1)T K3= (0, −50, 0) Ahora se tiene que l´ım

kx3k→0

kg(x3)k

kx3k = 0, αρ(A3+ B3K3) =

32.5077 > 1 y si se quiere que la soluci´on x(t) = 0 del sistema x(α)₃ = (A3+ B3K3)x3sea asint´oticamente estable

se debe cumplir que karg(spec(A3+B3K3))k > 0.5πα (se

demuestra en (Denis Matignon, 1996)) lo cual sucede, pues λ1= −3, λ2= −16.3653, λ3= −40.6347 para la elecci´on

de B3 y K3 especificadas; por lo tanto, se satisfacen las

condiciones del Teorema 1, lo cual implica que el Sistema (9), con el control propuesto, es estable, as´ı la respuesta del Sistema (9) se observa en la Figura 6.

Figura 6. Estabilizaci´on del Sistema (9), se aplica el control en t = 10 segundos.

V. SINCRONIZACION PARCIAL DE REDES COMPLEJAS´ FRACCIONARIAS

Sup´ongase que se tiene un sistema de Lorenz (Lo) de orden fraccionario 0 < α < 1, y un sistema de Chen (Ch) del mismo orden fraccionario α descritos por las Ecuaciones (7) y (9) respectivamente, los cuales no est´an en interacci´on, v´ease la Figura 7.

Lo

Ch

Figura 7. Sistemas de Lorenz y Chen sin interacci´on. el comportamiento de estos sistemas se muestra en las Figuras 2 y 5.

Ahora, sean un sistema de Lorenz (Loc) de orden frac-cionario 0 < α < 1 y un sistema de Chen (Chc) del mismo orden fraccionario α, descritos por las Ecuaciones (7) y (9) m´as un control de la forma u1 = B1K1x1 y

u3 = B3K3x3 respectivamente, en donde los sistemas no

est´an en interacci´on, v´ease Figura la 8.

Loc

Chc

Figura 8.Sistemas de Lorenz y Chen controlados sin interacci´on. El comportamiento de estos sistemas se muestra en las Figuras 3 y 6. A los sistemas (Lo)-(Ch) se agrega un sistema de L¨u (L¨u) del mismo orden fraccionario α, y se interconectan de la siguiente manera, v´ease Figura 9.

Lo

Ch L¨u L ¨u − Ch

L ¨u − Lo

Figura 9. Sistemas de Lorenz, L¨u y Chen en interacci´on. Entonces el problema es el siguiente: ¿c´omo debe de ser la interconexi´on de esta red de sistemas din´amicos fraccionar-ios de orden α para que, tanto el sistema de Lorenz como el sistema de Chen, se sincronicen con el sistema de L¨u? Para responder esta pregunta t´omese la siguiente interconexi´on:

x(α)₁ =   −a1 a1 0 b1 −c1 0 0 0 −d1   x1+   0 −x11x13 x11x12   +   ¯ a1x21+ ¯¯a1x22 −b1x21+ ¯c1x22+ 2x11x13− x21x13− x11x23 ¯_b2x23− 2x11x12+ x21x12+ x11x22   | {z } AcoplamientoL ¨u−Lo −B1K1   x21− x11 x22− x12 x23− x13   , | {z } AcoplamientoL ¨u−Lo (10) x(α)2 =   −a2 a2 0 0 c2 0 0 0 −b2   x2+   0 −x21x23 x21x22   , (11) x(α)₃ =   −a3 a3 0 c3− a3 −c3 0 0 0 −b3   x3+   0 −x31x33 x31x32   +   0 −(c3− a3)x21+ 2x31x33− x21x33− x31x23 −2x31x32+ x21x32+ x31x22   | {z } AcoplamientoL ¨u−Ch −B3K3   x21− x31 x22− x32 x23− x33   , | {z } AcoplamientoL ¨u−Ch (12) donde a1 = 10, b1 = 28, c1 = −8, d1 = 8/3, a2 =

a3 = 35, b2 = b3 = 3 y c2 = c3 = 28 son los valores

de los par´ametros para los sistemas de Lorenz, L¨u y Chen respectivamente.

De tal manera que −a2−¯a1= −a1, a2−¯¯a1= a1, c2−¯c1=

−c1, −b2− ¯b2 = −d1, entonces ¯a1 = −25, ¯a¯1 = 25,

¯

c1= 20, ¯b2= −1/3.

En este caso el sistema de Lorenz y Chen fraccionarios son los sistemas esclavos y el sistema de L¨u fraccionario es el sistema maestro. Se definen los siguientes errores:

e1= (e11, e12, e13)T= (x21− x11, x22− x12, x23− x13)T (13)

e3= (e31, e32, e33)T= (x21− x31, x22− x32, x23− x33)T (14)

Entonces la din´amica de los errores e1 (E1) y e3 (E3) es

la siguiente: e(α)₁ =   −a1 a1 0 b1 −c1 0 0 0 −d1   e1+   0 −e11e13 e11e12   + B1K1e1, (15) e(α)₃ =   −a3 a3 0 c3− a3 c3 0 0 0 −b3   e3+   0 −e31e33 e31e32   + B3K3e3, (16)

Se observa que la din´amica de la red (10)-(11)-(12) se cumple si, y s´olo si, ocurre la din´amica de los sistemas desacoplados (15)-(16) y en este caso lo que se obtiene se puede observar en la Figura 10.

Lo Ch L¨u E1= Loc E3= Chc L ¨u − Ch L ¨u − Lo

⇐⇒

Figura 10. Sistemas de Lorenz, L¨u y Chen, con la interacci´on propuesta, tienen como consecuencia Sistemas E1 y E3 que no

est´an en interacci´on y viceversa.

Debido a lo anterior la Red Compleja (10)-(11)-(12) se sincroniza si, y s´olo si, los Sistemas desacoplados (15)-(16) se estabilizan. A´un m´as obs´ervese que el Sistema E1 tiene la din´amica de un sistema de Lorenz

controlado, mientras que E3 la de un sistema de Chen

controlado y se ha visto que es posible estabilizar estos sistemas, por lo cual la Red Compleja

(10)-(11)-(12) se puede sincronizar, v´ease la Figura 11.

Figura 11. Sincronizaci´on de los estados de la red, y estabilizaci´on de los errores, se aplica el control en t = 4s.

Se utilizan los valores de B1K1y B3K3que se utilizan en

el sistema de Lorenz y Chen controlados, respectivamente.

1x1 1x2 1x3 2x1 2x2 2x3 mx1 mx2 mx3 xM 1xr1 1x(r1−1) 2xr2 2x(r2−1) mxrm mx(rm−1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Figura 12. N sistemas interconectados y un sistema M que se conectar´a a ellos.

Ahora se generaliza este problema, a la red (3) se agrega un sistema del mismo orden fraccionario α, el cual ser´a el

sistema maestro:

x(α)_M = fM(xM). (17)

xM : R → Rn y fM : Rn → Rn, ahora el problema

es el siguiente: ¿c´omo se debe de interconectar el sistema maestro a cada sistema y qu´e nuevas conexiones se deben definir, de tal manera que todos los sistemas se sincronicen con ´el? Se tiene el siguiente resultado:

Proposici´on 1: Dada una red compleja de la forma: sx(α)_i =sfi(sxi) +Pr_{j=1 1}1 hij(1xj) + . . . +P_{j=1 s}rs hij(sxj)+ . . . +Prm j=1 mhij(mxj), (18) dondesfi(xi) +P rs j=1 shij(sxj) se puede descomponer en

una parte lineal m´as una parte no lineal3_{. Esta red puede}

ser descrita de la siguiente manera: sX(α) =sF (sX) +Pmk=1Is,k kHs(kX)

=sF (sX) + Is,s sHs(sX) +Pm_k6=sIs,k kHs(kX). (19)

Se agrega un sistema maestro a esta red:

x(α)_M = fM(xM), (20)

con todos los elementos como se han descrito anterior-mente, si el Sistema (21):

sX(α)=sF (sX) + Is,s sHs(sX), (21) satisface las hip´otesis del Teorema 1 ∀ s ∈ {1, . . . , m}, entonces se tiene que la interconexi´on definida por la Ecuaci´on (22): fa(sxi) = fM(xM) − Lin(sfi+ rs P j=1 shij)xM −sBi sKi(xM−sxi) −N ol(sfi+ rs P j=1 shij)(xM−sxi) −P p6=s rp P j=1 phij(pxj) − N ol(sfi+ rs P j=1 shij)(sxi) (22)

establecida en cada sistema, ocasiona que la Red Compleja (18) se sincronice parcialmente con el Sistema Maestro (20).

Prueba:Al agregar el sistema maestro, cada sistema de la Red Compleja (18) tiene la siguiente din´amica:

sx(α)i =sfi(sxi) +Prj=1 11 hij(1xj) +Pj=1 2r2 hij(2xj) + . . . +Prs j=1 shij(sxj) + . . . +Prj=1 mm hij(mxj) + fa(sxi), (23) entonces el error: sei= xM−sxi, (24) tiene la din´amica: se(α)_i = x(α)M −sx(α)_i = Lin(sfi+ rs P j=1 shij)sei+ +N ol(sfi+ rs P j=1 shij)(sei) +sBi sKi sei. (25) Se define: sE =  seT1, · · · ,seTrs T sF (sE) =  sf1T(se1), · · ·sfrTs(sers) T sBsK =  (sB1 sK1)T, · · · , (sBrssKrs) TT

3_{Lin(·) y N ol(·) se refieren a la parte lineal y no-lineal de sus} argumentos

kHs(kE) = (khT11(ke1), · · · ,khT1r_k(kerk),khT21(ke1), · · · , khT2rk(kerk), · · · , · · · ,kh T rs1(ke1), · · · ,kh T rsrk(kerk)) Is,k=         I1rk 11 ¯0 1(2∗rk) 1(rk+1) . . . ¯ 01(rk∗rk) 1(rk∗rkrk+1) ¯ 02rk 21 I 2(2∗rk) 2(rk+1) . . . ¯ 02(rk∗rk) 2(rk∗rkrk+1) . . . . . . . .. ... ¯ 0rsrk rs1 ¯0 rs(2∗rk) rs(rk+1) . . . I rs(rk∗rk) rs(rk∗rkrk+1)        

En este caso, se obtiene:

sE(α)=sF (sE) + Is,s sHs(sE) +sBsKsE, (26) en particular de la Ecuaci´on (25):

sE(α) = Lin(sF + Is,s sHs)sE+

+N ol(sF + Is,s sHs)(sE) +sBsKsE, (27) para s ∈ 1, . . . , m, el Sistema 27 tiene la misma forma que la Ecuaci´on 21 la cual satisface las hip´otesis del Teorema 1 para cada s, con base en esto, cada sistemaseise estabiliza.

As´ı todos los sistemas de la red se sincronizan con el sistema maestro, con la elecci´on de sBsK para satisfacer

el Teorema 1, por lo cual se obtiene el resultado deseado. 

El acoplamiento de la red (10)-(11)-(12) se construy´o con base en el resultado anterior, obteniendo la sincronizaci´on parcial de los sistemas, como se ha comentado anterior-mente.

VI. CONCLUSIONES

El resultado de sincronizaci´on obtenido puede ser aplica-do a sistemas fraccionarios lineales, y a´un m´as a sistemas fraccionarios no lineales que satisfagan las hipotesis de la Proposici´on 1, con la restricci´on de que la sincronizaci´on obtenida es parcial. El esquema de control tambi´en se puede aplicar cuando todos los nodos son del mismo tipo, partiendo de condiciones iniciales distintas; tambi´en cabe se˜nalar que las hip´otesis de la Proposici´on 1 son aplicables a otro tipo de sistemas ca´oticos fraccionarios, y no s´olo a los utilizados en el ejemplo (Zhang Xiao-Dan, Zhao Pin-Dong, Li Ai-Hua, 2010). Se planea extender este tipo de resultados utilizando teor´ıa de Lyapunov para sistemas fraccionarios.

REFERENCIAS

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Shantanu Das (2008),Functional Fractional Calculus for System Identifi-cation and Controls, Springer Berlin Heidelberg New York Igor Podlubny (1999), Fractional Differential Equations, Academic Press R. L. Bagley, R. A. Calico (1999), Fractional order state equations for

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