Commande robuste multicrite¿re approche espace d'état et LMI

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(1)THÈSE Préparée au : LAAS-CNRS Laboratoire d’Analyse et d’Architecture de Systèmes du CNRS et l’Université des Andes, Bogotá-Colombie En vue de l’obtention du : Doctorat Systèmes Automatiques Université Paul Sabatier Toulouse III Doctorat en Ingénierie Université des Andes Bogotá-Colombie par : Ricardo ARIZA URANGO Ingénieur Navale Électronique Ecole Navale de Cadettes Almirante Padilla Cartagena-Colombie. ———————————— COMMANDE ROBUSTE MULTICRITÈRE APPROCHE ESPACE D’ÉTAT ET LMI ———————————— Soutenue le 25 juillet 2005 devant le jury : President. Jean-Louis CALVET. Rapporteurs. Mauricio Josep. DUQUE FUERTES. Examinateurs. Joseph. AGUILAR. Directeurs de thèse Jacques Alain. BERNUSSOU GAUTHIER.

(2) A ma femme Martha, son amour, tendresse et compréhension, ont été mon appui pendant ce long chemin qu’est la vie.. A nos enfants : Hannya, Valentina et Ricardo, qui sont ma plus pure motivation.. A ma Mère et à mon soeur Cecilia, qui ont toujours attendu autant de moi.. et... finalement, à mon Père et à Jaime mon frère, qui du ciel illuminent mon chemin..

(3) Remerciements Ce travail a été développé dans le cadre d’une cotutelle de thèse entre l’Université Paul Sabatier de Toulouse, France et l’Université des Andes à Bogotá, Colombie. La recherche a été developpée au LAAS-CNRS (Laboratoire d’Analyse et Architecture de Systèmes du Centre National de la Recherche Scientifique) dans le groupe MAC, (Méthodes et Algorithmes en Commande) et dans la Faculté d’Ingénierie de l’Université des Andes. Je remercie M. Jean Claude LAPRIE et M. Malik GHALLAB, ancien et nouveau directeur du LAAS, de m’avoir permis de travailler dans le laboratoire. Je remercie ainsi Mme. Sophie TARBOURIECH , directeur de recherche au CNRS et nouvelle responsable du groupe MAC, qui m’a accepté dans son groupe. Je tiens plus particulièrement à remercier M. Jacques BERNUSSOU, directeur de recherche au CNRS et ancien responsable du groupe MAC, qui non seulement m’a accepté dans son groupe, mais ainsi a été mon tuteur et mon conseiller direct pour le développement de ce travail. Je le remercie pour son dévouement, son professionnalisme, ses conseils et sa patience tout au long de ces cinq années, initialement pendant le développement du DEA et postérieurement pendant tout le développement de la thèse. Je remercie ainsi M. Alain GAUTIER, Doyen de la Faculté d’Ingénierie de l’Université des Andes et mon tuteur en Colombie, merci par son soutien, son appui, sa confiance et sa collaboration. Je souhaite exprimer ma gratitude à LA MARINE DE LA COLOMBIE, Institution militaire dont je fais partie, qui a financé mes études et mon séjour en France et m’a permis de développer ce travail. Enfin, je veux ainsi remercier tous les membres du groupe MAC pour leur amitié, leur collaboration et leur appui durant les moments de doutes.. ii.

(4) Table des matières Dédicatoires. i. Remerciements. ii. Table des Matières. iii. Glossaire. v. Table des Figures. v. Avant Propos. 1. 1 Préliminaires. 1. 2 Solution du problème standard avec ARE. 2. 3 Solution du problème mixte H2 /H∞ avec ARE. 3. 4 Stabilisation - Stabilisation Robuste 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Problème standard à temps continu 4.1.2 Problème standard à temps discret 4.1.3 Retour de sortie . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 4 4 4 8 12. 5 Synthèse H2 et H∞ 5.1 Normes H2 et H∞ avec LMI . . . . . . 5.1.1 La norme H2 d’un modèle LT I . 5.1.2 La norme H∞ d’un modèle LT I 5.2 Synthèse H2 à temps continu . . . . . . 5.2.1 Problème général . . . . . . . . . 5.2.2 Retour d’état . . . . . . . . . . . 5.2.3 Retour de sortie . . . . . . . . . . 5.3 Synthèse H2 à temps discret . . . . . . . 5.3.1 Retour d’état . . . . . . . . . . . 5.3.2 Retour de sortie . . . . . . . . . . 5.4 Synthèse H∞ à temps continu . . . . . . 5.4.1 Problème général . . . . . . . . . 5.4.2 Retour d’état . . . . . . . . . . . 5.4.3 Retour de sortie . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. 14 14 14 16 17 17 18 21 24 24 24 27 27 28 30. iii. . . . . . . . . . . . . . ..

(5) TABLE DES MATIÈRES 5.5. iv. Synthèse H∞ à temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 5.5.1 Retour d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5.5.2 Retour de sortie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32. 6 Problème Multicritère H2 /H∞ 6.1 Synthèse multicritère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Solution LMI à temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Solution LMI à temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34 34 34 37. 7 Une Nouvelle Condition de Stabilité Robuste, Solution avec LMI 7.1 Le “G Shaping” Paradigme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Optimisation LMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Extension à la caractérisation des spécifications H2 et H∞ . 7.2.2 Extension dans la paramétrisation des contrôleurs . . . . . . .. 40 40 42 43 45. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 8 Exemples Numériques. 52. Conclusions et Prospectives. 53. Bibliographie. 55.

(6) Glossaire. Notations Terme ? s ? || . ||2 , || . ||∞ ? ⊗ ? 1, 0 ? trace. Description ? Variable de Laplace ? Norme H2 et Norme H∞ ? Opérateur de Kroeneker ? Matrice Identité et Matrice Nulle (de dimensions appropriées) ? Trace d’une matrice : somme de ses éléments diagonaux. Abréviations Terme ? LMI ? BMI ? LT I ? LF T ? F LDP. Description ? Inégalité Matricielle Linéaire ? Inégalité Matricielle Bilinéaire ? Linéaire Invariant dans le Temps ? Transformée Fractionnaire Linéaire ? Fonctions de Lyapunov Dépendant des Paramètres. Terme ? c ? m ? q ? p ? no ? np. Dimensions Description ? Nombre d’entrées de commande u ∈ Rc ? Nombre de sorties de mesure y ∈ Rm ? Dimensions de vecteur d’entrée w ? Dimensions de vecteur de sortie z ? Nombre de paramètres incertain, modèles parallélotopiques ? Nombre de sommets, modèles polytopiques. Ensembles Terme ? R, C ? Rm×n ? Sn. Description ? Ensemble des nombres réels et nombres complexes ? Ensemble des matrices à m lignes et n colonnes ? Ensemble des matrices symétriques de dimension n v.

(7) Glossaire. Correcteurs Terme ? K ? Kre ? Kres ? Kred ? Krs ? Krss ? Krsd. Description ? Correcteur quelconque ? Gain de retour d’état ? Gain de retour d’état statique ? Gain de retour d’état dynamique ? Correcteur dynamique de retour de sortie ? Correcteur dynamique de retour de sortie statique ? Correcteur dynamique de retour de sortie dynamique. Terme ? x, ẋ ? u, y ? w/z ? w1 , w 2 ? z1 , z2. Vecteurs Description ? État du système LT I et sa dérivée temporelle ? Entrées de commande et sortie de mesure ? Entrées/Sorties quelconque ? Perturbations d’entrée des transfert T1 et T2 ? Sorties de commande des transfert T1 et T2. Terme ? A ? B ? C ? D ? K̃ ? M (∆) ? sym(A) ? M [i] ? M |i| ? ∆, ∆ ? ∆ ∈ Rq∆×p∆ ? ∆C , ∆B. Matrices Description ? Matrice dynamique d’un système ? Matrice de commande d’un système ? Matrice de mesure d’un système ? Matrice de transmission directe d’un système ? Matrice de changement de variable linéarisant ? Matrice définissant le modèle incertain d’un système 0 ? A + A Matrice symètrique de la matrice A ? Définit le ieme sommet d’un polytope ? Définit le ieme exe d’un parallélotope ? Matrice incertaine, ensemble des matrices incertaines ? Opérateur incertain ? = ∆(1 + D∆∆ ∆)−1 , = (1∆D∆∆ )−1 ∆. · ? · ? · ? · ?. A B D C A B ∗ C. ¸ ? Matrice définissant la représentation d’état d’un système ¸ ?. Ac Bc Cc Dc Ã B̃ C̃ D̃. ·. A B 0 B C. ¸. ¸ ? Matrices de représentation d’état de un correcteur K. ¸ ? Matrices de changement de variable linéarisant. vi.

(8) Avant Propos Pour le résumé en français de la thèse en cotutelle rédigée en espagnol il a été pris le parti de conserver la structuration de cette dernière mais en réduisant à un simple descriptif rapide le contenu de certains chapitres pour conserver un contenu plus ample à ceux qui présentent le plus de proximité par rapport à l’objectif de cette thèse qui porte essentiellement sur le développement de l’ approche LMI (inégalités matricielles linéaires) à la synthèse de commandes robustes multicritère.. Chapitre 1 Préliminaires Dans ce chapitre introductif sont données, le plus souvent sous forme de rappel, quelques réflexions générales concernant le domaine des systèmes dynamiques linéaires invariants dans le temps en insistant sur le fait que, généralement, tout modèle n’est qu’une approximation plus ou moins précise du processus qu’il prétend représenter. Ceci introduit naturellement le domaine et l’intérêt associé de l’analyse et la commande des systèmes à représentation incertaine. La stabilité est, bien sûr, une des premières exigences à rechercher pour tout système physique et, dans le domaine des systèmes linéaires, la théorie de Lyapunov occupe une place centrale pour l’analyse et la synthèse des systèmes dynamiques. Les définitions et résultats de base de cette théorie sont rappelés. La stabilité, certes essentielle, n’ est pas suffisante pour assurer un comportement convenable pour un système donné. Les éléments permettant d’ aborder le problème de synthèse avec performances requises sont énoncés à travers la définition et le calcul des normes H2 et H∞ . L’approche de commande robuste consiste, dans un premier temps, à caractériser et modéliser en quelque sorte l’incertitude qui affecte le modèle représentatif de telle sorte que le processus réel corresponde à un modèle appartenant à la classe des modèles incertains incluant le modèle nominal. Le traitement du modèle incertain permet alors d’assurer un certain niveau de performances, on parle alors de performances garanties ou problème à coût garanti. Le problème de la modélisation incertaine (incertitudes non structurées, structurées) est traité avec un certain détail. Finalement, le chapitre se ferme sur un exposé concernant les inégalités matricielles non linéaires qui constituent l’outil en priorité développé dans le mémoire tant pour des problèmes d’analyse que pour des problèmes de synthèse. 1.

(9) Chapitre 2 et Chapitre 3. Chapitre 2 et Chapitre 3 “Solution du problème standard avec équations algébriques de Riccati” et “Solution du problème mixte H2/H∞ avec équations algébriques de Riccati” Ces deux chapitres constituent un survol d’un assez grand nombre de problèmes de synthèse de commande robuste (synthèse H∞ ) qui peuvent être abordés par le biais de l’outil “équations algébriques de Riccati”. Ce type d’outil a pris un rôle prééminent depuis l’avènement de l’approche d’espace d’état pour la synthèse de commandes multivariables, c’est à dire, depuis le début des années 70 avec les travaux de Kalmann. On le rencontre dans la résolution du problème de commande optimale LQ (linéaire-quadratique) ainsi que dans celui, plus intéressant en pratique, du problème LQG (linéaire - quadratique - gaussien) qui, dans le cas d’horizon infini, propose une solution par résolution de deux équations algébriques de Riccati découplées. Le découplage mentionné est conséquence du principe de séparation bien connu où une loi de retour de sortie stabilisante est obtenue par estimation d’état (filtre dans le cas stochastique, observateur dans celui déterministe) appliqué à un retour d’état stabilisant. Ce type d’approche de commande optimale, mathématique, basé sur l’utilisation d’un modèle nominal unique de représentation du processus à commander, souffrait, entre autres, d’un manque de garantie du point de vue robustesse. Ceci a surtout été mis en évidence dans le cas de synthèse LQG pour laquelle il a été observé, sur des exemples simples, une extrême sensibilité paramétrique de la solution pouvant conduire à l’instabilité. Cette découverte qui mettait à mal l’approche d’espace d’état, par ailleurs très puissante et conviviale pour la synthèse de commandes multivariables (difficiles en approche fréquentielle) suscité, au début des années 80, le démarrage de nombre d’études qui ont constitué le début du domaine, encore vivant à l’heure actuelle, de la “Commande Robuste”. Le but central était (et le reste encore maintenant) de conférer à l’approche d’espace d’état quelques propriétés naturelles de l’approche fréquentielle (observées facilement pour le cas monovariable) de marges de stabilité (c’est à dire de robustesse) et de marges de performances (précision rapidité). En d’autres termes il s’agissait de conférer à cette approche puissante au plan de la représentation, description, solution de problèmes par outils mathématiques une plus grande crédibilité au plan des applications pratiques industrielles. Un pas essentiel dans cette direction fut réalisé par la définition et l’utilisation de la norme H∞ qui a découlé de la caractérisation de gains équivalents pour les systèmes multivariables à partir des valeurs singulières de la matrice de transfert. Cette caractérisation, faite dans le domaine fréquentiel, a conduit au fait que les premiers outils de synthèse étaient, eux même, de type fréquentiel, donc, relativement complexes et lourds dans leur manipulation. Un pas essentiel vers l’objectif défini plus haut de rendre robustes les solutions des approches mathématiques d’espace d’état a été réalisé par le résultat développé dans le fameux papier DGKF (Doyle, Glover, Khargonekar, Francis). Il y a été montré que tout comme la résolution des problèmes LQ (retour d’état), LQG (retour de sortie dynamique) - problèmes qui, à l’heure actuelle, sont à mettre dans la classe des problèmes de synthèse H2 - la résolution du problème de synthèse H∞ , où il s’agit de borner la norme 2.

(10) Chapitre 2 et Chapitre 3 H∞ d’un transfert défini sur le processus à commander, est également possible à partir d’équation(s) algébrique(s) de Riccati (singulier pour le retour d’état, pluriel pour celui du retour de sortie). Toutefois, à la différence du cas H2 , et pour le cas de retour de sortie les matrices solution des deux équations de Riccati sont liées par la nécessité de devoir satisfaire une condition de borne (pas de satisfaction d’un principe de séparation dans ce cas). Le chapitre 2 reprend essentiellement les résultats contenus dans le papier DGKF établissant le parallélisme mentionné ci-dessus des problèmes de synthèse H2 et de synthèse H∞ en termes de solution par équations de Riccati. La synthèse H∞ , comme écrit précédemment, s’appuie sur la considération d’un gain équivalent pour (en fait, sur la valeur maximale de ce gain, on parle aussi de synthèse de pire cas). La solution du problème H∞ dans le domaine temporel (espace d’état) a été indubitablement une grande avancée en commande robuste mais l’aspect “optimisation” qui avait été au coeur des approches H2 (LQ - LQG) y était beaucoup moins couverte. La définition du problème multicritère, appelé problème mixte H2 /H∞ , a répondu à cette demande en établissant, en quelque sorte, un, problème de minimisation H2 (commande optimale) sous une contrainte de robustesse de type H∞ . Ce problème mixte H2 /H∞ ne possède pas de solution simple même pour la recherche d’une solution sous optimale. Le chapitre 3 fournit une idée de la complexité du problème abordant des questions de base telles que l’unicité de la solution, l’ordre du compensateur optimal et, enfin, donnant quelques approches pour la recherche de solutions sous optimales par le biais d’équations algébriques de Riccati. De ces résultats, il est apparent que l’utilisation d’équations algébriques de Riccati pour la résolution de problèmes multicritère - multicontrainte présente une complexité certaine et d’autant plus élevée que doivent être prises en compte des exigence multiples. C’est le cas, par exemple, pour la résolution de problèmes de commande H2 ou/et H∞ avec incertitudes structurées (paramètres incertains multiples), cas intéressant en pratique. La synthèse H∞ correspond à la résolution d’un problème de commande robuste avec incertitude non structurée (cas d’incertitude bornée en norme à un seul bloc). La solution de ce type de problème au moyen de l’outil LMI (inégalités matricielles linéaires) présente un avantage du point de vue de la simplicité de l’approche car cet outil permet sans difficulté, au plan théorique du moins, de traiter des problèmes avec nombreuses contraintes LMI.. 3.

(11) Chapitre 4 Stabilisation - Stabilisation Robuste 4.1. Introduction. Ce chapitre est consacré à l’étude détaillée d’un problème fondamental en automatique : “le problème de la stabilisation et plus exactement le problème de la stabilisation robuste”, c’est-à-dire la stabilisation de systèmes avec modélisation incertaine, travail dans lequel l’utilisation des inégalités matricielles linéaires (LMI), sera le fil conducteur pendant tout le développement de cette approche. La solution du problème avec LMI, permet de traiter le problème comme un problème d’optimisation convexe en utilisant, par exemple l’algorithme du point intérieur. Cette forme de solution du problème standard permet de faire une définition plus générale du problème et nécessite la seule hypothèse : (A, B2 ) est stabilisable et (C2 , A) est detectable.. 4.1.1. Problème standard à temps continu. Retour d’état Cas non incertain. Soit le système : ẋ = Ax + B2 u. (4.1). où x ∈ Rn , u ∈ Rm , sont respectivement les vecteurs d’état, de commande. Le modèle du système en boucle fermée, avec u = Kx, où K ∈ Rm×n , s’écrit alors : ẋ = (A + B2 K)x. (4.2). Théorème 4.1 [17] : Le système LT I (4.1) est stabilisable asymptotiquement en boucle fermée par la loi de commande u = Kx si, et seulement s’il existe une matrice symétrique définie positive S ∈ Rn×n et une matrice R ∈ Rm×n telles que : AS + SA0 + B2 R + R0 B20 < 0 Le gain de retour d’état est alors donné par K = RS −1 .. 4. (4.3).

(12) 4.1 Introduction. 4. Stabilisation - Stabilisation Robuste. Cas incertain Incertitudes polytopiques Considérons le système (4.1) incertain (A = A(ν)). Le domaine d’incertitude étant de type polytopique convexe, tel que : A ∈ DA B2 ∈ DB2 avec. ( DA :=. A : A=. λi Ai , λi ≥ 0,. i=1 M X. ( DB2 :=. N X. B2 : B2 =. N X. ) λi = 1. i=1. µj B2j , µj ≥ 0,. j=1. M X. (4.4) ). µj = 1. (4.5). j=1. Nous nous plaçons ici dans le cas de la stabilité quadratique, où une seule fonction de Lyapunov est utilisée pour garantir la stabilité du système dans tout le domaine d’incertitudes. Théorème 4.2 [11] : Le système linéaire incertain défini en (4.1 et 4.4 et 4.5) est quadratiquement stabilisable par retour d’état u = Kx si, et seulement s’il existe une matrice définie positive S ∈ Rn×n et une matrice R ∈ Rm×n telles que : 0 Ai S + SA0i + B2j R + R0 B2j < 0,. ∀i = 1, 2, ..., N ; ∀j = 1, 2, ..., M. (4.6). et le gain stabilisant est donné par K = RS −1 . Retour de sortie dynamique Seule est disponible pour l’élaboration d’une loi de commande, une sortie mesurée (information partielle), ce qu’est le cas en pratique. Soit le système ẋ = Ax + B2 u (4.7) y = C2 x on se propose de déterminer un compensateur dynamique (strictement propre) soit : ẋc = Ac xc + Bc y u = C c xc le problème consiste à trouver les matrices {Ac ; Bc ; Cc }, telles que : ¸· ¸ · ¸ · x ẋ A B2 Cc = Bc C2 Ac xc x˙c. (4.8). (4.9). soit asymptotiquement stable. Une condition nécessaire et suffisante est donnée par la théorie de Lyapunov : ∃ une matrice P = P 0 > 0 et les matrices Ac ; Bc ; Cc telles que ·. A B2 Cc Bc C2 Ac. z·. ¸0 P +P. 5. A. }| ¸{ A B2 Cc <0 Bc C2 Ac. (4.10).

(13) 4.1 Introduction. 4. Stabilisation - Stabilisation Robuste. Ce sont des inégalités matricielles bilinéaires BMI ; mais pour le cas où dim xc = dim x il existe une transformation (projection) qui permet d’obtenir une condition équivalente qui peut s’exprimer comme LMI. On partitionne la matrice P de Lyapunov en quatre blocs de dimension n × n · ¸ · ¸ X U Y V −1 P= ; P = U 0 X̂ V 0 Ŷ Définissons T comme. ·. Y 1 V0 0. T =. ¸ (matrice régulière) ⇒ ·. 0. T PT > 0 =⇒ · 0. 0. T [A P + PA]T < 0 ⇒. Y 1 1 X. Z =A+. £. Y. R. 0. ¤. ·. (4.12). ¸ >0. (4.13). AY + Y A0 + B2 R + R0 B20 Z +M 0 0 0 Z +M A X + XA + LC2 + C20 L. où. (4.11). A B2 C2 0. ¸·. X L. ¸ <0 (4.14). ¸ (4.15). en effectuant les changements de variables M = V A0c U 0 R = Cc V 0 L = U Bc. (4.16). La relation précédente n’est pas une LMI du fait que Z est bilinéaire par rapport aux inconnues ; toutefois, sans contraintes sur Ac , c’est-à-dire sur M, il est possible d’effectuer un nouveau changement de variable M = −Z + M̃ et ainsi obtenir les LMI par rapport à (X, Y, R, L, M̃) · ¸ Y 1 >0 ¸ · 1 X M̃ AY + Y A0 + B2 R + R0 B20 <0 M̃0 A0 X + XA + LC2 + C20 L0. (4.17). (4.18). C’est une condition nécessaire et suffisante d’existence des matrices {Ac ; Bc ; Cc } stabilisantes. En effet à partir de X, Y, R, L, M, on obtient Cc = R(V 0 )−1. (4.19). Par choix de V régulière, on détermine U , tel que U V 0 + XY 0 = 1, et : Bc = U −1 L. (4.20). on calcule alors M, puisque M = M̃−Z, et enfin : Ac = V −1 M(U 0 )−1 6. (4.21).

(14) 4.1 Introduction. 4. Stabilisation - Stabilisation Robuste. Remarque 4.1 il est possible de faire M̃ = 0 et alors, la condition nécessaire et suffisante, devient Y > 0; AY + Y A0 + B2 R + R0 B2 < 0 (4.22) X > 0; A0 X + XA + LC2 + C20 L0 < 0 qui sont les conditions de stabilité et de détectabilité. Les deux conditions sont une condition nécessaire et suffisante de retour de sortie dynamique stabilisant. Solution avec observateur ẋ = Ax + B2 u y = C2 x. (4.23). Les équations de l’observateur sont données par : x˙o = Axo + B2 u + L(C2 xo − y) u = Kxo. (4.24). Le problème consiste à trouver K et L qui stabilisent le système · ¸ · ¸· ¸ ẋ A B2 K x = x˙o −LC2 A + B2 K + LC2 xo. (4.25). La stabilisation du système global est obtenue en déterminant un gain de retour d’état K et un gain de filtre stabilisant respectivement (A + B2 K) et (A + LC2 ) (principe de séparation), Ceci devient clair en effectuant le changement de variable ε = xo − x. (4.26). le système équivalent est alors ¸· ¸ · ¸ · A + B2 K B2 K x ẋ = ε̇ 0 A + LC2 ε. (4.27). (A + B2 K) stable, la solution est trouvée en résolvant les LMI : P >0 AP + P A + B2 R + R0 B20 < 0 0. (4.28) avec K = RP −1. et pour le cas dual : (A + LC2 ) stable, la solution est trouvée en résolvant les LMI : Q>0 A Q + QA + C20 S 0 + SC2 < 0 0. (4.29) −1. avec L = Q S. Il est impossible d’appliquer cette approche dans le cas avec incertitudes car, alors le principe de séparation ne s’applique plus. Il est impossible, par exemple d’écrire une relation telle que (4.27).. 7.

(15) 4.1 Introduction. 4. Stabilisation - Stabilisation Robuste. Cas incertain Incertitudes polytopiques L’intérêt de la commande par retour de sortie, vient du fait que l’accès à tous les états du système n’est pas toujours possible. Le système décrit par (4.7) est maintenant considéré incertain. Le domaine d’incertitudes étant de type polytopique convexe est défini par : · ¸ A B2 A := ∈ DA C2 0 ( ) N N (4.30) X X DA := A : A = λi Ai ≥ 0, λi = 1 i=1. i=1. L’approche de stabilité quadratique se caractérise par l’utilisation d’une seule fonction de Lyapunov garantissant la stabilité du modèle dans tout le domaine d’incertitudes. Théorème 4.3 [17] : S’il existe deux matrices symétriques définies positives X, Y ∈ Rn×n et les matrices M ∈ Rn×n , L ∈ Rm×n et F ∈ Rn×q solutions des inégalités matricielles suivantes : · ¸ Y 1 >0 1 X · ¸ Hi Zi + M (4.31) <0 Zi0 + M 0 Gi ∀i = 1, 2, ..., N Avec. 0 Hi := Ai Y + Y A0i + B2i L + L0 B2i 0 Gi := A0i X + XAi + F C2i + C2i F0 0 0 0 0 Zi := Ai + Y Ai X + L B2i X + Y C2i F0. Alors le système incertain décrit par (4.7) incertain est quadratiquement stabilisable par retour de sortie dynamique du type (4.8). Ce problème n’est pas réductible à un problème LMI du fait de la présence des termes non linéaires Zi .. 4.1.2. Problème standard à temps discret. Retour d’état Cas non incertain d’état :. Soit le système linéaire à temps discret décrit avec représentation xk+1 = A xk + B2 uk. (4.32). où xk ∈ Rn , uk ∈ Rm , sont les vecteurs d’état et de commande, avec uk = K xk , où K ∈ Rm×n , il vient xk+1 = (A + B2 K)xk (4.33) Théorème 4.4 [17] : Un système (4.32) est stabilisable par retour d’état de type uk = Kxk si, et seulement s’il existe une matrice symétrique définie positive S ∈ Rn×m , et une matrice R ∈ Rm×n , telles que ¸ · S AS + B2 R >0 (4.34) S SA0 + R0 B20 Le gain de retour d’état est donné par K = RS −1 . 8.

(16) 4.1 Introduction. 4. Stabilisation - Stabilisation Robuste. Cas incertain Incertitudes polytopiques A ∈ DA B2 ∈ DB2. (4.35). Théorème 4.5 [31] : Le système linéaire incertain à temps discret défini par (4.32) est quadratiquement stabilisable par retour d’état du type uk = Kxk si, et seulement s’il existe une matrice symétrique définie positive S et une matrice R telles que · ¸ S Ai S + B2i R >0 0 S A0i + R0 B2i S (4.36) ∀i = 1, 2, ..., N ∀j = 1, 2, ..., M La preuve de ce théorème est directe vu la linéarité de (4.36) par rapport à Ai et Bi . Comme dans le cas continu les conditions de stabilisabilité sont exprimées à l’aide de LMI. Retour de sortie dynamique Cas non incertain. Soit le système par retour de sortie dynamique : xk+1 = A xk + B2 uk yk = C2 xk ; y ∈ Rq. (4.37). Avec un compensateur strictement propre de représentation d’état xck +1 = Ac xck + Bc yk uk = Cc xck. (4.38). Le système dynamique global s’exprime Xk+1 = Ae Xk zk = Ce Xk. (4.39). où la matrice Ae est donnée par · Ae :=. A B2 Cc Bc C2 Ac. ¸. Théorème 4.6 : Le système à temps discret défini par (4.37) est stabilisable par retour de sortie dynamique avec un compensateur de type (4.38) si, et seulement s’il existe deux matrices symétriques définies positives X et Y ∈ Rn×n et les matrices M ∈ Rn×n , L ∈ Rm×n et F ∈ Rn×q solutions de l’inégalité matricielle suivante   Y 1 Y A + F C2 Z +M  X A AX + B2 L  >0  0 1 0 0 (4.40) 0   A Y + C2 F A Y 1 1 X Z0 + M 0 XA0 + L0 B20 9.

(17) 4.1 Introduction. 4. Stabilisation - Stabilisation Robuste. avec Z := Y AX + Y B2 L + F C2 X. (4.41). D’après la théorie de Lyapunov pour les systèmes à temps discret, le système (4.39) est asymptotiquement stable si, et seulement s’il existe une matrice symétrique définie positive P ∈ R2n×2n · ¸ P Ae P >0 (4.42) P A0e P On partitionne P et P −1 en blocs de dimension n × n ¸ · ¸ · Y V X U −1 P := P := V 0 Ŷ U 0 X̂ et l’on pré et post multiplie (4.42), respectivement, par Te0 etTe :   Y 1 0 0  V0 0 0 0   Te :=   0 0 Y 1  0 0 V0 0. (4.43). (4.44). Après avoir effectué le changement de variables suivant : L := Cc U 0 , F := V Bc , M := V Ac U 0. (4.45). on obtient alors l’inégalité matricielle linéaire (4.40), après changement de variable M = M̃ − Z. La représentation entrée-sortie du compensateur dynamique est : Tc (ξ) = Cc (ξ1−Ac )−1 Bc = L(U 0 )−1 (ξ1−V −1 M (U 0 )−1 )−1 V −1 F = L(ξV U 0 −M )−1 F (4.46) où XY + V U 0 = 1 Tc (ξ) = L(ξ(1 − Y X) − M −1 )F. (4.47). Ce qui donne la représentation d’état du compensateur (1 − Y X)xk+1 = M xk + F yk uk = Lxk. (4.48). et d’où Ac := (1−Y X)−1 ; Bc := (1−Y X)−1 F ; Cc := L ; d’où l’on voit que le compensateur est défini uniquement par les matrices X, Y, L, F et M . Cas incertain Incertitudes polytopiques Soit le système incertain défini par (4.37), le domaine d’incertitudes du type polytopique convexe est défini par ¸ · A B2 ∈ DA A := C2 0 ) ( N N X X λi = 1 (4.49) DA := A : A = λi Ai , ≥ 0, i=1. i=1. 10.

(18) 4.1 Introduction. 4. Stabilisation - Stabilisation Robuste. Théorème 4.7 : S’il existe deux matrices symétriques définies positives X, Y ∈ Rn×n et les matrices M ∈ Rn×n , L ∈ Rm×n et F ∈ Rn×q solutions des inégalités matricielles   Y 1 Y Ai + F C2i Zi + M  X Ai Ai X + B2i L   0 1 >0 (4.50) 0  Ai Y + C2i F 0  Ai Y 1 0 Zi0 + M 0 XA0i + L0 B2i 1 X ∀ i = 1, 2, ..., N avec Zi := Y Ai X + Y B2i L + F C2i X. (4.51). alors, le système incertain décrit par (4.37) est quadratiquement stabilisable par retour de sortie avec un compensateur de type (4.38). Comme pour le cas continu il n’est pas possible de réduire cela à une expression LMI. Incertitudes bornées en norme ẋ. Soit le système incertain avec représentation d’état : = (A + DV E)x + B2 u. (4.52). où VV0 ≤1. (4.53). Le problème consiste à trouver un compensateur K tel que (A + DV E + B2 K) soit asymptotiquement stable ∀ V , tel que V V 0 ≤ 1. Une condition suffisante de stabilité est : ∃P = P 0 ≥ 0 et R telles que. ·. AP + P A0 + B2 R + R0 B20 + DD0 P E 0 EP −1. ¸ <0. (4.54). solution avec LMI par rapport à P et R ; K = RP −1 Remarque 4.2 Ce problème a une équivalence avec le problème suivant ẋ = Ax + Dw + B2 u y=x z = Ex w =Vz. (4.55). Le système de la figure (4.1) est stable si ||E(s1 − A − B2 K)−1 D||∞ < 1 où V V 0 ≤ 1. 11. (4.56).

(19) 4.1 Introduction. 4. Stabilisation - Stabilisation Robuste. Fig. 4.1 – Modélisation du problème robuste. 4.1.3. Retour de sortie. Soit le système incertain : ẋ = A(ν)x + B2 u y = C2 x. (4.57). Le problème est de déterminer u(y) qui stabilise le système ∀ ν, où u(y) est un opérateur dynamique linéaire. Cas incertain Incertitudes bornées en norme Cas général ẋ = (A + DV E)x + B2 u ; y = C2 x. (4.58) 0. ∀ V : V V ≤1 Les équations du compensateur sont données par ẋc = Ac xc + Bc y u = C c xc. (4.59). Ce problème consiste à trouver les matrices {Ac ; Bc ; Cc }, telles que ¸ · A + DV E B2 Cc Bc C 2 Ac soit asymptotiquement stable ∀ V : V 0 V ≤ 1 ; ¸ · ¸ · ¸ · £ ¤ A B2 Cc D A + DV E B2 Cc = + V E 0 Bc C2 Ac Bc C2 Ac 0 | {z } | {z } | {z } E A. Une condition suffisante de stabilité est ∃P = P 0 > 0 12. D. (4.60).

(20) 4.1 Introduction telle que. 4. Stabilisation - Stabilisation Robuste. (A + DV E)0 P + P(A + DV E) < 0 ∀ V : V 0V ≤ 1. (4.61). Une condition suffisante s’écrit AP + PA0 + PDD0 P + E 0 E < 0. (4.62). ou, de manière équivalente P = P0 > 0 .  AP + PA0 PD E 0  D0 P −1 0  < 0 E 0 −1 En opérant des projections utilisant la matrice T déja définie la s’écrire : ¸ · Y 1 >0 1 X  AY + Y A0 + B2 R + R0 B20 M̃ D 0 0 0 0  M̃ A X + XA + LC2 + C2 L XD  0  D D0 X −1 EY E 0. (4.63). condition (4.63) peut.  Y E0 E0  <0 0  −1. (4.64). où sont utilisés les changements de variable précédemment definis. Il est ici possible d’efffectuer le changement de variable M = M̃ − Z ce qui conduit a l’ecriture d’une LMI par rapport à (X, Y, L, R, M ).. 13.

(21) Chapitre 5 Synthèse H2 et H∞ Avant d’initier les études sur les différentes méthodes de solution avec LMI, il est bon de partir de la définition du problème standard représenté dans la figure (5.1).. Fig. 5.1 – La forme standard Dans le contexte linéaire le problème consiste à chercher un compensateur K qui stabilise le système de la figure (5.1), de telle façon que ||Tzw || ≤ γ ∀ ν (incertitude).. 5.1 5.1.1. Normes H2 et H∞ avec LMI La norme H2 d’un modèle LT I. La norme H2 d’un système nominal peut être interprétée comme la variance de la sortie pour une entrée bruit blanc gaussien centré et de variance unité, ou bien comme l’énergie de la sortie pour une entrée impulsionnelle. pour plus de détails voir [24]. Calcul de la norme H2 Soit le système avec représentation d’état : ½ ẋ(t) = Ax(t) + B2 w2 (t) z2 (t) = C2 x(t) + D22 w2 (t). (5.1). Le transfert T2 : w2 → z2 pour le système LT I est décrit par la matrice : T2 (s) = C2 (s1 − A)−1 B2 + D22. (5.2). L’intégrale sur l’ensemble des fréquences est finie si, et seulement si, le système est stable et le transfert direct est nul (système strictement propre) : matrice A stable et D22 = 0. 14.

(22) 5.1 Normes H2 et H∞ avec LMI. 5. Synthèse H2 et H∞. Cas continu. La norme H2 d’un système stable strictement propre est définie par : Z +∞ 1 2 2 ||T2 (s)||2 = kTzw (s)k2 = trace[Tzw (jω) Tzw (−jω)0 ]dω 2π Z +∞−∞ (5.3) = trace[G(t) G(t)0 ]dt 0. où G(t) = C2 eAt B2 = Laplace−1 [G(s)] comme : G(s) = C2 (s1 − A)−1 B2 =⇒ Z ∞ h i 0 2 ||Tzw ||2 = trace B20 eA t C20 C2 eAt B2 dt 0       Z   0  ∞ A0 t 0  At  e C C e dt B = trace  B 2 2 2 2     0   | {z } Q = trace [B20 QB2 ]. (5.4). (5.5). Avec Q : “Gramien de Observabilité”, solution définie positive de l’équation de Lyapunov : A0 Q + QA + C20 C2 = 0. (5.6). ||Tzw ||22 = trace [C2 P C20 ]. (5.7). Ou de façon duale : Avec P : “le Gramien de Commandabilité”, solution définie positive de l’équation de Lyapunov : AP + P A0 + B2 B20 = 0 (5.8) Cas discret Z ||Tzw ||22. = =. 1 2π 0 ∞ X. 2π. trace. trace. £. £. ¤ Tzw (ejwT )Tzw (e−jwT )d(wT ) dt. G(kT )G(kT )0. k=o. G(kT ) = C2. k−1 X. ¤. , avec :. (5.9). Ak−l B2. l=o. Il n’est pas nécessaire de retenir l’hypothèse de stricte propreté, le calcul de la norme H2 repose sur la détermination des gramiens de commandabilité et d’observabilité : £ ¤ (5.10) ||Tzw ||22 = trace C2 P C20 Avec P =Gramien de Commandabilité solution de AP A0 − P + B2 B20 = 0 15. (5.11).

(23) 5.1 Normes H2 et H∞ avec LMI. 5. Synthèse H2 et H∞. ou en forme duale : ||Tzw ||22 = trace. £. B20 Q B2. ¤. (5.12). Avec Q=Gramien d’Observabilité solution de A0 QA − Q + C20 C2 = 0. (5.13). On peut calculer la norme H2 du système (5.1) en résolvant le problème LMI suivant : Théorème 5.1 : La norme H2 du système (5.1) est l’optimum Γ2 du problème d’optimisation LMI : 0 + 2 ½ Γ2+= min(trace(B2 Q B2 )) Q >0 (5.14) sous : A0 Q+ + Q+ A + C20 C2 < 0 ou en forme duale 2 + 0 ½ Γ2+= min(trace(C2 P C2 )) P >0 sous : AP + + P + A0 + B2 B20 < 0. (5.15). Nous pouvons transformer les équations des gramiens (5.6 et 5.8) en inégalités : ½ 0 + ½ A Q + Q+ A + C20 C2 < 0 AP + + P + + B2 B20 < 0 et + Q >0 P+ > 0 où Q+ et P + sont respectivement une borne supérieure du gramien d’observabilité Q : Q < Q+ et du gramien de commandabilité P : P < P + .. 5.1.2. La norme H∞ d’un modèle LT I. La norme H∞ d’un transfert w1 → z1 indique la plus grande amplification sur toutes les fréquences pour une entrée sinusoı̈dale (ceci est immédiat par le cas SISO et étendu en utilisant le gain équivalent défini par des valeurs singulières pour le cas multivariable). Le coût H∞ caractérise la plus grande puissance susceptible d’être transmise par le système pour n’importe quel signal d’entrée d’énergie finie. Calcul de la norme H∞ Soit le système LT I : ½. ẋ(t) = Ax(t) + B1 w1 (t) z1 (t) = C1 x(t) + D11 w1 (t). (5.16). la transfert w1 → z1 est décrit par la matrice de transfert T1 : T1 (s) = C1 (s1 − A)−1 B1 + D11. (5.17). La norme H∞ d’un système stable se définit par : Γ∞ = kT1 (s)k∞ = ||Tzw (s)||∞ = sup σ [Tzw (jω)] = max w. 16. kz1 k2 kw1 k2. (5.18).

(24) 5.2 Synthèse H2 à temps continu. 5. Synthèse H2 et H∞. où σ est la valeur singulière maximale structurée ; c’est-à-dire : p σ = λmax (Tzw (−jω)0 Tzw (jω)). (5.19). Le calcul de la norme H∞ d’un modèle LT I est difficile du fait de la non existence d’une méthode de calcul direct de cette norme ; on peut utiliser un algorithme de bisection calculant les valeurs propres d’une matrice hamiltionienne pour déterminer si la norme H∞ du système est inférieure ou non à une valeur γ donnée. Calcul de la norme H∞ avec LMI Comme pour la norme H2 , nous pouvons faire le calcul de la norme H∞ avec LMI : Théorème 5.2 : Soit le système défini par (5.16), alors la norme H∞ est l’optimum Γ∞ du problème d’optimisation LMI suivant : 2  Γ∞ = min(γ)  P · >0 0 ¸ A P + P A + C10 C1 P B1 + C10 D11 sous <0  0 0 B10 P + D11 C1 −γ1 + D11 D11. (5.20). ou en forme duale : 2  Γ∞ = min(γ) Q>0  · ¸ 0 AX + XA0 + B1 B10 XC10 + B1 D11 sous <0  0 C1 X + D11 B10 −γ1 + D11 D11. 5.2 5.2.1. (5.21). Synthèse H2 à temps continu Problème général. Soit le système de la figure (5.2). w. µ(ν). z y. u Fig. 5.2 – Synthèse H2 représenté par les équations d’état ẋ = Ax + B1 w + B2 u z = C1 x + D12 u y = C2 x + D21 w. (5.22). où (z) représente la sortie commandée et (y) la sortie mesuré. Le problème H2 consiste à déterminer une loi de commande u qui stabilise le système de la figure (5.2) et minimise la norme H2 de la fonction de transfert Tzw . 17.

(25) 5.2 Synthèse H2 à temps continu. 5.2.2. 5. Synthèse H2 et H∞. Retour d’état. Avec une loi de commande : u = Kx, le transfert de la entrée w à la sortie z est : Tzw = (C1 + D12 K)(s1 − A − B2 K)−1 B1. (5.23). Cas sans incertitude Le problème consiste en trouver une matrice de gain K qui stabilise le système et minimise ||Tzw ||22 . min trace [B10 P B1 ] K. sous. P >0 (A + B2 K)0 P + P (A + B2 K) + (C1 + D12 K)0 (C1 + D12 K) = 0 (≤ 0). (5.24). ce qu’est équivalent à min trace [W ] sous. K. P >0 B10 P B1 ≤ W (A + B2 K)0 P + P (A + B2 K) + (C1 + D12 K)0 (C1 + D12 K) ≤ 0. (5.25). Soit ; par complement de Schur et Q = P −1 min trace [W ]. (5.26). K. sous. ·. ·. W B10 B1 Q. ¸ ≥0 0. AQ + QA + B2 R + R C1 Q + D12 R. 0. B20. 0. (C1 Q + D12 R) −1. Solution du problème avec LMI par rapport à W, Q, R, d’où. (5.27). ¸ ≤0 Kopt = RQ−1. Un autre problème, d’intérêt est de trouver un compensateur K tel que ||Tzw ||22 ≤ µ. (5.28). trace W ≤ µ. (5.29). ce qu’est simplement résolu par sous (5.27). De façon alternative (Gramien de commandabilité) : min trace [(C1 + D12 K)P (C1 + D12 K)0 ] sous. K. (5.30) 0. (A + B2 K)P + P (A + B2 K) + 18. B1 B10. =0.

(26) 5.2 Synthèse H2 à temps continu. 5. Synthèse H2 et H∞. Après opérations similaires à ce qui précède, il vient : min trace [W ] sous. K. P · ≥0. ¸ −W C1 P + D12 R ≤0 (C1 P + D12 R)0 −P AP + P A0 + B2 R + R0 B20 +B1 B10 ≤ 0 | {z }. (5.31). Condition Stabilite. Solution avec LMI par rapport à P et R. Le gain de retour d’état est donné par K = RP −1 . Cas incertain Dans le cas incertain qui correspond à un problème de dimension infinie la formulation la plus “naturelle” est la suivante : Problème 5.1 Trouver un compensateur K : (u = Kx) qui stabilise le système et i h (5.32) minimise max ||Tzw ||22 ν. Ceci constitue la meilleure formulation, mais est peu utilisée à cause de la grande complexité mathématique qu’implique la solution du problème(5.32). La solution est cherchée par approximations itératives successives pour trouver une solution sous-optimale. Le problème qui va être résolu est le suivant : Problème 5.2 Trouver un compensateur K : (u = Kx) qui stabilise le système et minimise une borne supérieure de la norme H2 pour toute réalisation du système dans son domaine d’incertitudes, c’est-à-dire : min µ sous (5.33) 2 ||Tzw ||2 ≤ µ, ∀ ν ou trouver un compensateur K : (u = Kx), qui stabilise le système et : ||Tzw ||22 ≤ µ, ∀ ν. (5.34). Incertitudes polytopiques Une solution au problème de la minimisation d’une borne supérieure de ||Tzw ||22 ∀ ν est : min µ sous ¸≤ µ ·trace W 0 W B1 ≥0 B Q 1 ¸ · Ai Q + QAi + B2 R + R0 B20 (C1 Q + D12 R)0 <0 C1 Q + D12 R −1 i = 1, 2, ....na 19. (5.35).

(27) 5.2 Synthèse H2 à temps continu. 5. Synthèse H2 et H∞. Solution avec LMI par rapport à µ, W, Q, R ; avec K = RQ−1 , ou alternativement, une solution est donné par min µ sous trace W ≤ µ · ¸ −W C1 P + D12 R ≤0 C1 P + D12 R −P Ai P + P Ai + B2 R + R0 B20 + B1 B10 ≤ 0 i = 1, 2, ...na. (5.36). Solution avec LMI par rapport à µ, W, P et R. Incertitudes bornées en norme ẋ = (A + DV E)x + B2 u. avec V V 0 ≤ 1. (5.37). z = C1 x + D12 u Problème 5.3 Trouver une matrice de gain K tel que (A + DV E + B2 K) soit asymptotiquement stable et qui minimise µ, borne supérieure de ||Tzw||22 , quelque soit V : V V 0 ≤ 1 La formulation de ce problème peut s’exprimer ainsi : min µ sous trace W ≤ µ B10 P B1 ≤ W (A + DV E + B2 K)0 P + P (A + DV E + B2 K) + (C1 + D12 K)0 (C1 + D12 K) = 0 (≤ 0) ∀V (5.38) −1 si Q = P et R = P , alors nous pouvons réécrire les LMI ainsi : min µ sous trace W ≤ µ B10 Q−1 B1 − W ≤ 0 AQ + QA0 + B2 R + R0 B20 + (C1 Q + D12 R)0 (C1 Q + D12 R) + DV EQ + QE 0 V 0 D0 ≤ 0 {z } | ≤DD 0 +QE 0 EQ. (5.39) En forme équivalente min µ sous ¸ µ · trace W0 ≤ −W B1 ≤0 B1 −Q   AQ + QA0 + B2 R + R0 B20 + DD0 (C1 Q + D12 R)0 QE 0  C1 Q + D12 R −1 0 ≤0 EQ 0 −1 Solution avec LMI par rapport à (µ , W , Q , R). 20. (5.40).

(28) 5.2 Synthèse H2 à temps continu. 5.2.3. 5. Synthèse H2 et H∞. Retour de sortie ẋ = A(ν)x + B1 w + B2 u z = C1 x + D12 u y = C2 x + D21 w. (5.41). Problème 5.4 Trouver une loi de commande u(y) qui stabilise le système et minimise une borne de ||Tzw ||22 , ∀ ν. Cas sans incertitude A(ν) = A Les équations d’état du compensateur s’expriment ainsi : ẋc = Ac xc + Bc y u = Cc xc le modele étendu est : · ¸ · ¸· ¸ · ¸ ẋ A B2 Cc x B1 = + w ẋc Bc C2 Ac xc Bc D21 | {z } | {z } A B · ¸ £ ¤ x C1 D12 Cc z = | {z } xc Avec les nouvelles matrices. ¡. C. A, B, C. ¢. (5.42). (5.43). la formulation équivalente est : trace [ B 0 P B ]. min. Ac , Bc , Cc. (5.44). sous 0. 0. A P + PA + C C ≤ 0 c’est-à-dire : min trace W sous ·. P PB B0 P W. ¸. ≥0 · ¸ AP + PA C 0 ≤0 C −1. (5.45). Partitionnant P et P −1 définissant T l’opérateur de projection il vient : min trace [W ] sous .  Y 1 B1  1 X XB1 + LD21  ≥ 0 0 0 W B1 (XB1 + LD21 )  0 Z +M Y C10 + R0 D12 AY + Y A0 + B2 R + RB20 ≤0  C10 Z 0 + M0 A0 X + XA + LC2 + C20 L C1 Y + D12 R C1 −1 (5.46) . 21.

(29) 5.2 Synthèse H2 à temps continu. 5. Synthèse H2 et H∞. avec M = −Z + M̃. Solution avec LMI par rapport à W, X, Y, R, L, M̃ ; qui permet de trouver les matrices {Ac , Bc , Cc } qui minimisent kTzw k22 . Cas incertain Problème 5.5 Déterminer les matrices {Ac , Bc , Cc } qui stabilisent le système et minimisent µ tel que kTzw k22 ≤ µ, ∀ ν. Incertitudes polytopiques. Le problème s’écrit : min µ. sous · trace W ≤ ¸µ P PB ≥0 0 · 0 BP W 0 ¸ Ai P + PAi C ≤0 C −1 i = 1, 2, ...no. (5.47). Les transformations T et les changements de variable sont dépendants des blocs de la matrice de lyapunov P, qu’est une matrice unique ; alors tous les calculs se repèlent à l’identique sur tous les sommets Ai , il vient alors : min µ sous trace [W ] ≤ µ   Y 1 B1  1 X XB1 + LD21  ≥ 0 0 0 B1 (XB1 + LD21 ) W .  0 Ai Y + Y A0i + B2 R + R0 B20 Zi + M Y C10 + R0 D12  ≤0 Zi0 + M0 A0i X + XAi + LC2 + C20 L0 C10 C1 Y + D12 R C1 −1 i = 1, 2, ..., no (5.48) C’est une BMI ( inégalité matricielle bilinéaire) à cause de la présence des Zi . Pour trouver une solution, il est nécessaire de développer un travail algorithmique plus grand (techniques de relaxation par exemple). Incertitudes bornées en norme ẋ = (A + DV E)x + B1 w + B2 u Le système étendu s’écrit : ·. ẋ ẋc. ¸.  D · ¸ z· }| ¸{ x   £ ¤ + Bw =  A+ D V E 0  x c 0 | {z } . E. · z=C. (5.49). x xc. ¸. 22. (5.50).

(30) 5.2 Synthèse H2 à temps continu. 5. Synthèse H2 et H∞. Avec les nouvelles matrices définies en (5.50), le formulation du problème peut s’exprimer comme : min µ sous trace [W ] ≤¸µ · P PB ≥0 0 · BP W 0 ¸ (A + DV E) P + P(•) C 0 ≤0 C −1. (5.51). soit min µ sous · trace [W ] ¸≤ µ P PB ≥0 B0 P W   0 0 0 A0 P + PA + PDD P +EE C | {z }  ≤0 Schur C −1. (5.52). il vient : min µ sous · trace [W ] ¸≤ µ P PB ≥0 0 B P W  0  A P + PA + EE 0 C 0 PD  C −1 0  ≤ 0 0 DP 0 −1. (5.53). Après transformations (P, P −1 , T ) il vient min. µ. sous trace [W ] ≤ µ  Y 1 B1  1 X XB1 + LD21 B10 (XB1 + LD21 )0 W    . AY + Y A0 + B2 R + R0 B20 + E 0 E Z 0 + M0 C1 Y + D12 R D0.  >0. Z +M A0 X + XA + LC2 + C20 L0 C1 D0 X. 0 Y C10 + R0 D12 D 0 C1 XD −1 0 0 −1.   <0  (5.54). Avec M = −Z + M̃. Solution avec LMI par rapport à µ, W, X, Y, R, L, M̃ ; et puis détermination des matrices {Ac , Bc , Cc }. 23.

(31) 5.3 Synthèse H2 à temps discret. 5.3 5.3.1. 5. Synthèse H2 et H∞. Synthèse H2 à temps discret Retour d’état. Théorème 5.3 : Le système (4.32) est stabilisable par retour d’état et kTzk wk (ξ)k22 ≤ µ si, et seulement s’il existe deux matrices symétriques définies positives S ∈ Rn×n , W ∈ Rp×p et une matrice R ∈ Rm×n solutions des inégalités matricielles ·. trace[W ] ≤ µ ¸ 0 S SC10 + R0 D12 ≥0 C1 S + D12 R W. (5.55) (5.56). .  S AS + B2 R B1  SA0 + R0 B20 S 0 ≥0 0 B1 0 1. (5.57). Le gain de retour d’état étant défini par K = RS −1 .. 5.3.2. Retour de sortie. Cas sans incertitude Théorème 5.4 [17] : Le système (4.37) est stabilisable par retour de sortie dynamique de type (4.38) et kTzk wk k22 ≤ µ si, et seulement s’il existe une matrice symétrique définie positive W ∈ Rp×p et les matrices X, Y, ∈ Rn×n , L ∈ Rm×n , F ∈ Rn×q et M ∈ Rn×n telles que. .      . Y  1 B10. trace[W ] ≤ µ  1 B1 X XB1 + F D21  > 0 0 0 0 W B1 X + D21 F. 0 Z +M Y C10 + L0 D12 Y 1 Y A0 + L0 B20 C10 1 X A0 A0 X + C20 F 0 AY + B2 L A Y 1 0 0 0 Z +M XA + F C2 1 X 0 C1 Y + D12 L C1 0 0 1. où les matrices L, F, M et Z sont définies au théorème (4.6). 24. (5.58) (5.59)    >0  . (5.60).

(32) 5.3 Synthèse H2 à temps discret. 5. Synthèse H2 et H∞. Cas incertain Incertitudes polytopiques Théorème 5.5 [17] : S’il existe deux matrices symétriques, définies positives X, Y ∈ Rn×n , une matrice symétrique définie positive W ∈ Rp×p et les matrices M ∈ Rn×n , L ∈ Rm×n et F ∈ Rn×q solutions des inégalités matricielles bilinéaires (BMI) suivantes .      .  Y 1 B1  1 X XB1 + F D21  > 0 0 0 0 0 B1 B1 X + D21 F W 0 0 Y 1 Y A0i + L0 B2i Zi + M Y C10 + L0 D12 0 1 X A0i A0i X + C2i F0 C10 Ai Y + B2i L Ai Y 1 0 Zi0 + M 0 XAi + F C2i 1 X 0 C1 Y + D12 L C1 0 0 1 ∀i = 1, 2, ..., N. (5.61)    >0  . (5.62) où : 0 0 Zi = Y A0i X + Y C2i F 0 + L0 B2i X. le système incertain à temps discret (4.37), avec des incertitudes polytopiques, est quadratiquement stabilisable par retour de sortie dynamique avec un compensateur de type (4.38), et ||Tzk wk ||22 < trace[W ] La présence des variables d’optimisation apparaissant bilinéairement dans Zi , ne nous permet pas de résoudre ce problème directement en utilisant les outils de résolution LMI. Afin de déterminer le compensateur, nous utilisons un algorithme par décomposition croisée, le quel s’appuie sur la résolution alternative de deux problèmes linéaires, en relaxant alternativement certaines variables d’optimisation : Problème 5.6 Premier problème : Supposons qu’à l’itération j les matrices Xj , Yj , Lj , Fj et Mj satisfassent les inégalités (5.61 et 5.62) et considérons le problème d’optimisation convexe avec contraintes LMI suivant : min. X,Q1 ,F,S1 ,W. sous.  Q1 Q1 Q 1 B1  Q1 X XB1 + F D21  > 0 0 0 0 0 W B1 Q1 B1 X + D21 F  0 F 0 + S1 Cj0 Q1 Q1 A0ij Q1 A0ij X + C2i 0 F0 C10  A0i X + C2i Q1 X A0i Q1  Q1 Aij Q1 Ai Q1 Q1 0  > 0 0 Q1 X 0  XAij + F C2i + S1 XAi + F C2i Cj C1 0 0 1 ∀ i = 1, 2, ..., N (5.63) .      . trace[W ]. 25.

(33) 5.3 Synthèse H2 à temps discret. 5. Synthèse H2 et H∞. où Cj := C1 + D12 Lj Yj−1. Aij := Ai + B2i Lj Yj−1 ,. Les inégalités matricielles linéaires LMI (5.63) sont obtenues ainsi : – Multiplier l’inégalité (5.61) à gauche et à droite par diag[Y −1 , 1, 1] – Multiplier l’inégalité de (5.62) à gauche et à droite par diag[Y −1 , 1, Y −1 , 1, 1] – faire les changements de variable suivants : Q1 := Y −1 et S1 := Y −1 M La résolution du problème (5.63) conduit à une solution telle que : trace[W ] ≤ trace[Wj ] −1 et les matrices Y = Q−1 1 , Lj , X, F, M = Q1 S1 , W étant faisables pour les inégalités (5.61 et 5.62) et pouvant servir à l’initialisation du problème dual suivant :. Problème 5.7 Second problème : Supposons, comme précédemment, qu’à l’itération j les matrices Xj , Yj , Lj , Fj et Mj sont faisables pour les inégalités (5.61 et 5.62), alors le problème dual s’écrit : min. Q2 ,Y,L,S2 ,W. sous. trace[w]. . . Y Q2  Q2 X   A L + B L A i 2i i Q2   Aij Y + B2i L + S20 Aij Q2 C1 Y + D12 L C 1 Q2.  Y Q 2 B1  Q2 Q2 XBj  > 0 B10 Bj0 W  0 0 0 Y A0i + L0 B2i Y A0ij + L0 B2i + S2 Y C10 + L0 D12  Q2 A0i Q2 A0ij Q2 C10  > 0 Y Q2 0   Q2 Q2 0 0 0 1 ∀ i = 1, ..., N (5.64). où : Aij := Ai + Xj−1 Fj C2i. Bj := B1 + X −1 Fj D21. Les LMI (5.64) sont obtenues ainsi : – Multiplier à gauche et à droite l’inégalité (5.61) par diag[1, X −1 , 1] – Multiplier à gauche et à droite l’inégalité (5.62) par diag[1, X,−1 , 1, X −1 , 1] – Faire le changement de variable Q2 := X −1 et S2 := M X −1 La résolution du problème (5.64) conduit à une solution telle que : trace[W ] ≤ trace[Wj ] −1 Les matrices Y = Q−1 1 , Lj , X, F, M = Q1 S1 sont faisables pour les inégalités (5.61 et 5.62) et peuvent servir à l’initialisation du problème (5.6). L’utilisation simultanée des problèmes (5.6 et 5.7), conduit à l’algorithme suivant.. Algorithme 5.1 : ? Étape 1 : A l’itération j = 0, on pose Y0 , L0 , X0 , F0 , et M0 comme solution admissible. 26.

(34) 5.4 Synthèse H∞ à temps continu. 5. Synthèse H2 et H∞. ? Étape 2 : Avec les matrices Yj et Lj , résolution du problème (5.6) et détermination de la valeur courante du coût αj := trace[Wj ]. La solution optimale donne les matrices Xj et Fj , qui vont être utilisées à l’étape 3. ? Étape 3 : Avec les matrices Xj et Fj , résolution du problème (5.7) et détermination de la valeur courante du coût βj := trace[Wj ]. La solution optimale donne les matrices Yj et Lj qui vont être utilisées à l’étape 2. ? Étape 4 : Si αj −βj < ², avec ² > 0 mais suffisamment petit alors =⇒ Yj , Lj , Xj , Fj et M sont les solutions du problème, STOP. Sinon, j ← j + 1 et retourner à l’étape 2. Cet algorithme, qui, à partir d’une solution admissible faisable, résout alternativement deux problèmes convexes (5.6 et 5.7)avec contraintes LMI, génére une séquence de solutions admissibles à coût décroissant. Si nous ne possédons pas de solution admissible faisable pour initialiser l’algorithme par décomposition croise, il est possible d’en obtenir une, si elle existe, en résolvant le problème de valeur propre généralisée suivant : min. X,Y,L,F,M. λ. sous .  0 Y − λY 1 Y A0i + L0 B2i Zi + M 0  1 X − λX A0i A0i X + C2i F0   > 0  Ai Y + B2i L  Ai Y − λY 1 0 0 Zi + M XAi + F C2i 1 X − λX ∀ i = 1, 2, ..., N. (5.65). Et en utilisant l’algorithme (5.1) par relaxation, on résout deux problèmes d’optimisation convexes avec contraintes LMI. L’initialisation de ces deux problèmes se faisant avec une valeur très grande de λ, ainsi les les contraintes sont satisfaites. Et lorsque λ < 0, l’on dispose d’une solution faisable pour initialiser le problème avec les inégalités (5.61 et 5.62). Remarque 5.1 Il est possible de montrer que le problème H2 est une généralisation du problème LQ.. 5.4 5.4.1. Synthèse H∞ à temps continu Problème général. Soit les équations d’état du système ẋ = A(ν)x + B1 w + B2 u z = C1 x + D12 u y = C2 x + D21 w. (5.66). Le problème général H∞ consiste à faire la synthèse d’une loi de commande de type rétro-action qui : – Stabilise le système – Vérifie que ||Tzw ||∞ < γ ∀ ν (5.67) 27.

(35) 5.4 Synthèse H∞ à temps continu. w. 5. Synthèse H2 et H∞. z. µ(ν). y. u Fig. 5.3 – Synthèse H∞ Cas strictement propre ||C(s1 − A)−1 B||∞ < γ. et stable. (5.68). si, et seulement si : ∃ P = P0 > 0 tel que ·. AP + P A0 + BB 0 P C 0 CP −γ1. ¸. (5.69) < 0. ou, de manière équivalente,si et seulement si, ∃ Q = Q0 > 0 tel que ·. A0 Q + QA + C 0 C QB B0Q −γ1. ¸. (5.70) < 0. Cas propre ||C(s1 − A)−1 B + D||∞ < γ si et seulement si,. et stable. (5.71). ∃ P = P0 > 0 tel que .  AP + P A0 B P C0  B0 −γ1 D0  < 0 CP D −γ1. (5.72). ou, de manière équivalente,si et seulement si, ∃ Q = Q0 > 0 tel que .  A0 Q + QA QB C 0  B0Q −γ1 D0  < 0 C D −γ1. (5.73). Solution avec LMI.. 5.4.2. Retour d’état u = Kx Tzw = (C1 + D12 K)(s1 − A − B2 K)−1 B1 28. (5.74).

(36) 5.4 Synthèse H∞ à temps continu. 5. Synthèse H2 et H∞. Cas sans incertitude Le problème consiste à déterminer un compensateur K stabilisant qui satisfait kTzw k∞ < γ. (5.75). Une condition nécessaire et suffisante s’écrit : ∃ P = P 0 > 0 et R telle que : ·. 0 AP + P A0 + B2 R + R0 B20 + B1 B10 P C10 + R0 D12 C1 P + D12 R −γ 2 1. ¸. (5.76) < 0. Solution LMI par rapport à P et R, le gain par retour d’état est donné par K = RP −1 . Cas incertain Incertitudes polytopiques fert Tzw tel que. Le problème consiste à déterminer la norme H∞ du transkTzw k∞ < γ. ∀ A ∈ DA. une condition suffisante est : ∃P = P 0 > 0 et R tel que : ·. 0 Ai P + P A0i + B2 R + R0 B20 + B1 B10 P C10 + R0 D12 2 C1 P + D12 R −γ 1 i = 1, 2, ..., na. ¸ < 0. (5.77) Par combinaison linéaire convexe des inégalités matricielles on peut arriver à une solution LMI par rapport à P et R, le gain de retour d’état est donné par K = RP −1 . Incertitudes bornées en norme Le problème consiste à trouver la norme H∞ de la fonction de transfert ||Tzw ||∞ de manière que ||Tzw ||∞ = ||(C1 + D12 K)(s1 − A − DV E − BK)−1 B1 ||∞ < γ (et stable) ∀ V : V 0 V ≤ 1. (5.78). ce qui s’écrit : ∃ P = P 0 > 0, tel que : ·. 0 (A + DV E)P + P (A + DV E)0 + B2 R + R0 B20 + B1 B10 P C10 + R0 D12 2 C1 P + D12 R −γ 1. ¸ < 0 (5.79). Une condition suffisante est : ∃ P = P0 > 0 tel que .  0 P E0 AP + P A0 + B2 R + R0 B20 + B1 B10 + DD0 P C10 + R0 D12  C1 P + D12 R −γ 2 1 0  < 0 EP 0 −1 (5.80) Solution avec LMI par rapport à P et R. Le gain de retour d’état est donné par K = RP −1 . 29.

(37) 5.4 Synthèse H∞ à temps continu. 5.4.3. 5. Synthèse H2 et H∞. Retour de sortie. Soit les équations d’état (5.66), les équations d’état du compensateur admissible sont données par : ẋc = Ac xc + Bc (C2 x + D21 w) (5.81) u = Cc xc Sous forme étendue. ·. ẋ ẋc. ¸. ·. =A · x z=C xc. x x¸c. ¸ + Bw (5.82). Cas sans incertitude Le problème consiste à minimiser la norme H∞ du transfert Tzw tel que kTzw k∞ < γ (et stable) ce qui s’écrit :. ∃ P = P0 > 0 tel que ·. En multipliant à droite par. et à gauche par. On obtient les LMI suivantes   . (5.83). AY + Y A0 + B2 R + R0 B20 Z 0 + M0 B10 C1 Y + D12 R. A0 P + PA + C 0 C PB B0 P −γ1 ·. ·. T 0 0 1 T0 0 0 1 ·. ¸. (5.84) < 0. ¸. ¸. Y 1 1 X. ¸ > 0. Z +M A0 X + XA + LC2 + C20 L0 (XB1 + LD21 )0 C1. B1 XB1 + LD21 −γ1 0. 0 Y C10 + R0 D12 0 C1 0 −1.    < 0. donde M = −Z+M̃ (5.85) Solution avec LMI par rapport à X, Y, R, L, M̃, et le but est de chercher les matrices {Ac , Bc , Cc }. Cas incertain Incertitudes bornées en norme · ¸ · ¸ ẋ x = (A + DV E) + Bw ẋc xc · ¸ x z = C xc 30. (5.86).

(38) 5.5 Synthèse H∞ à temps discret. 5. Synthèse H2 et H∞. Le problème consiste à minimiser la norme H∞ de la fonction de transfert Tzw tel que kTzw k∞ < γ ∀ V (et stable). (5.87). Soit : ∃ P = P0 > 0 tel que .  (A + DV E)0 P + P(•) PB C 0  B0 P −γ1 0  < 0 C 0 −1. Une condition suffisante est :  0 A P + PA PB C 0 PD E 0  (•)0 −γ1 0 0 0  0 0  (•) (•) −1 0 0   D0 P 0 0 −1 0 E 0 0 0 −1. 5.5. (5.88).     < 0  . (5.89). Synthèse H∞ à temps discret. Le problème consiste à trouver un compensateur stabilisant pour le système (4.32), garantissant ||Tzk wk ||∞ < γ. Pour aborder ce problème nous allons utiliser une définition du lemme borné réel pour les systèmes à temps discret [27] : Lemme 5.1 [17] : Soit une fonction de transfert discrète T (z) = D + C(z1 − A)−1 B̂ Les expressions suivantes sont alors équivalentes : i. ||D + C(z1 − A)−1 B||∞ < γ et A est stable au sens des systèmes à temps discret (i.e. |λi (A)| < 1) ; ii. Il existe une matrice symétrique définie positive P telle que  A0 P A − P A0 P B C0  B0P A B 0 P B − γ1 D0  < 0; C D −γ1 . (5.90). iii. Il existe une matrice symétrique définie positive P telle que  −inv(P ) A B 0  A0 −P 0 C0  <0   B0 0 −γ1 D0  0 C D −γ1 . 31. (5.91).

(39) 5.5 Synthèse H∞ à temps discret. 5.5.1. 5. Synthèse H2 et H∞. Retour d’état. Théorème 5.6 [17] : Le système (4.32) est stabilisable par retour d’état et H∞ < γ si, et seulement s’il existe une matrice symétrique définie positive S ∈ Rn×n et une matrice R ∈ Rm×n telles que   −S AS + B2 R B1 0 0   SA0 + R0 B20 −S 0 SC10 + R0 D12  <0 (5.92)   B10 0 −γ1 0 0 C1 S + D12 R 0 −γ1 Le gain stabilisant par retour d’état est donné par K = RS −1 . Ce théorème est conséquence du lemme borné réel pour les systèmes à temps discret.. 5.5.2. Retour de sortie. Cas sans incertitude Théorème 5.7 [17] : Le système (4.37) est stabilisable par retour de sortie dynamique, par un compensateur de type (4.38) et ||Tzk wk ||∞ < γ si, et seulement s’il existe deux matrices symétriques, définies positives X, Y ∈ Rn×n et les matrices M ∈ Rn×n , L ∈ Rm×n et F ∈ Rn×q telles que :   −X −1 Z +M XA + F C2 XB1 + F D21 0   −1 −Y AY + B2 L A B1 0   0 0 0 0 0 0 0 0   Z + M Y A + L B −Y −1 0 Y C + L D 2 1 12  0 <0  A X + C20 F 0  A0 −1 −X 0 C10  0  0 0 0  B1 X + D21  F B1 0 0 −γ1 0 0 0 C1 Y + D12 L C1 0 −γ1 (5.93) avec : L = Cc V 0 , F = U Bc , M = U Ac V 0 Z = Y A0 X + Y C20 F 0 + L0 B20 X Cas incertain Incertitudes polytopiques Le problème consiste à déterminer une commande robuste garantissant la stabilité et garantissant aussi que ||Tzk wk (z)||∞ < γ pour le système (4.37). Théorème 5.8 [17] : S’il existe deux matrices symétriques, définies positives X, Y ∈ Rn×n et des matrices M ∈ Rn×n , L ∈ Rm×n et F ∈ Rn×q solutions des BMI suivantes :   −X −1 Zi + M XAi + F C2i XB1 + F D21 0   −1 −Y Ai Y + B2i L Ai B1 0   0 0 0 0 0 0 0 0  −Y −1 0 Y C1 + L D12  <0  0 Zi + M0 0 Y Ai + 0L B2i 0   Ai X + C2i F −1 −X 0 C A 1 i   0 0   B1 X + D21 0 0 −γ1 0 F0 B10 0 0 C1 Y + D12 L C1 0 −γ1 (5.94) 32.

(40) 5.5 Synthèse H∞ à temps discret. 5. Synthèse H2 et H∞ ∀i = 1, 2, ..., N. avec : 0 0 Zi = Y A0i X + Y C2i F 0 + L0 B2i X. (5.95). Alors, le système incertain (4.37) avec les incertitudes polytopiques de type (4.49) est quadratiquement stabilisable par retour de sortie dynamique de type (4.38) et ||Tzk wk ||∞ < γ. Pour prouver le dernier théorème, du fait de la dépendance linéaire de (5.91) par rapport à Ae , Be et Ce et donc Ai , B2i et C2i , il est aisé de vérifier que : · ¸ Ae Be ∀ Ae := ∈ DA : ||Tzk wk ||∞ < γ Ce 0 S’il existe une matrice P ∈ R2n×2n solution  −inv(P ) Aei Bei  A0ei −P 0  0  Bei 0 −γ1 0 Ce 0. des inégalités matricielles suivantes :  0 Cei0   < 0 ∀i = 1, 2, ..., N 0  −γ1. (5.96). en appliquant à chacune des inégalités matricielles précédentes le même développement que celui conduit pour le théorème (5.7) on obtient l’inégalité matricielle (5.94). Ce résultat rentre bien dans l’approche quadratique dans le quelle une matrice unique est utilisée pour tester les propriétés de stabilisabilité du système incertain et également pour fournir une borne supérieure à la norme H∞ .. 33.

(41) Chapitre 6 Problème Multicritère H2/H∞ Bien que les théories H2 et H∞ individuelles soient parfaitement maı̂trisées, le problème mixte H2 /H∞ reste jusqu’à maintenant un problème très largement ouvert. En effet, mis à part quelques résultats particuliers analytiques, nous ne disposons pas de la solution littérale du problème ni de la solution numérique que pourrait apporter le cadre de travail LMI. Une première explication vient de la difficulté de l’ordre des correcteurs mixtes. Aussi bien dans le cadre H2 que dans le cadre H∞ , il est connu qu’il existe un correcteur optimal ou sous-optimal d’ordre au plus égal à l’ordre du système. Cela signifie que l’on dispose toujours d’une solution d’ordre borné. Dans le cas mixte, le problème est d’autant plus compliqué que dans les cas réellement intéressants, il est prouvé que l’ordre du correcteur est infini et qu’il est impossible de trouver une réalisation finie stabilisante à ce correcteur. Dans le chapitre 3, Nous avons abordé le problème de l’unicité et l’ordre du compensateur pour le problème mixte H2 /H∞ ; maintenant nous faisons une approche du problème mixte H2 /H∞ avec LMI.. 6.1 6.1.1. Synthèse multicritère Solution LMI à temps continu. Pour l’étude de la synthèse multicritère, soit le système de la figure (6.1), avec représentation dans l’espace d’état ẋ = A(ν) x + B12 w2 + B1∞ w∞ + B2 u z2 = C12 x + D122 u (6.1) z∞ = C1∞ x + D12∞ u y = C2 x + D22 w2 + D2∞ w∞. Fig. 6.1 – Problème multicritère où, x ∈ Rn , u ∈ Rm , w ∈ Rl sont respectivement les vecteurs d’état, de commande et de perturbation, z∞ ∈ Rp−r et z2 ∈ Rr sont les vecteurs des sorties commandées, et y ∈ Rq 34.

(42) 6.1 Synthèse multicritère. 6. Problème Multicritère H2 /H∞. est le vecteur des sorties mesurées. Le problème multicritère, consiste à développer la synthèse de u(y) qui 1 -Stabilise le système en boucle fermée. 2 -Vérifie que ||Tz2 w2 ||22 < µ 3 -Vérifie que ||Tz∞ w∞ ||∞ < γ pour tout ν. Cas non incertain A(ν) = A Retour d’état u = Kx avec K = RP −1 , R et P solutions de :  trace[W ] ≤ µ   ¸  · 0  W B12   ≥0    B12 P pour H2 < µ, · ¸   AP + P A0 + B2 R + R0 B20 (C12 P + D122 R)0   ≤0   (C12 P + D122 R) −1    ½ · ¸ 0 AP + P A0 + B2 R + R0 B20 + B1∞ B1∞ (C1∞ P + D12∞ R)0 pour H∞ < γ, <0 (C1∞ P + D12∞ R) −γ1 (6.2) Retour de sortie dynamique Avec un retour se sortie dynamique du type : ẋc = Ac xc + Bc y u = Cc xc le système étendu en boucle fermé s’écrit : Ẋ = Ae X + Be ω z∞ = Ce∞ X z2 = Ce2 X où. · Ae := Ce∞ :=. A B2 Cc Bc C2 Ac £. ¸. C1∞ D12∞ Cc. · ;. Be := ¤. ; Ce2 :=. £. (6.3). B1 Bc D21. ¸ ;. C12 D122 Cc. ¤. On obtient alors les deux fonctions de transferts suivantes : Tz∞ w (s) := Ce∞ (s1 − Ae )−1 Be Tz2 w (s) := Ce2 (s1 − Ae )−1 Be Cas sans incertitudes Une condition suffisante de stabilisabilité et de performance H2 /H∞ pour le cas de retour de sortie est énoncée dans le théorème qui suit : 35.

(43) 6.1 Synthèse multicritère. 6. Problème Multicritère H2 /H∞. Théorème 6.1 : S’il existe deux matrices symétriques définies positives X, Y ∈ Rn×n , une matrice symétrique définie positive W ∈ Rp×p et les matrices M ∈ Rn×n , L ∈ Rm×n et F ∈ Rn×q solutions des inégalités matricielles suivantes :   Y 1 B1  1 X XB1 + F D21  > 0 0 B10 B10 X + D21 F0 W   H(Y, L) Z + M Y C10 2 + L0 D122  <0 Z0 + M 0 G(X, F ) C10 2 (6.4) C12 Y + D122 L C12 −1   H(Y, L) Z +M B1 Y C10 ∞ + L0 D12∞   Z0 + M 0 G(X, F ) XB1 + F D21 C10 ∞  <0 0 0 0 0   B1 B1 X + D21 F −γ1 0 C1∞ Y + D12∞ L C1∞ 0 −γ1 avec Z := A + Y A0 X + Y C20 F 0 + L0 B20 X et. H(Y, L) := Y A0 + AY + B2 L + L0 B20 G(X, F ) := A0 X + XA + C20 F 0 + F C2. Alors, le système LT I est stabilisable par un retour de sortie dynamique, de plus : ||Tz∞ w (s)||∞ < γ et ||Tz2 w (s)||22 < trace[W ] La condition suffisante par le cas Cas incertain avec incertitudes polytopiques sans incertitudes peut être étendu au cas avec incertitudes polytopiques, ajoutant encore du conservatisme : Théorème 6.2 : S’il existe deux matrices symétriques définies positives X, Y ∈ Rn×n , une matrice symétrique définie positive W ∈ Rp×p et les matrices M ∈ Rn×n , L ∈ Rm×n et F ∈ Rn×q solutions des inégalités matricielles suivantes :   Y 1 B1  1 X XB1 + F D21  > 0 0 0 0 0 W B1 B1 X + D21 F   Hi Zi + M Y C10 2 + L0 D122 <0  Gi C10 2 Zi0 + M 0 C12 Y + D122 L C12 −1 (6.5)   0 0 Hi Zi + M B1 Y C1∞ + L D12∞ 0 0   Gi XB1 + F D21 C10 ∞ Zi + M <0  0 0 0 0   −γ1 0 B1 X + D21 F B1 C1∞ Y + D12∞ L C1∞ 0 −γ1 ∀i = 1, 2, ..., N avec Zi := Ai + Y A0i X + Y C20 i F 0 + L0 B20 i X 36.

(44) 6.1 Synthèse multicritère et. 6. Problème Multicritère H2 /H∞. Hi := Y A0i + Ai Y + B2 Li + L0 B20 i Gi := A0i X + XAi + C20 i F 0 + F C2i. Alors, le système LT I est quadratiquement stabilisable par retour de sortie dynamique, de plus : ||Tz∞ w (s)||∞ < γ et ||Tz2 w (s)||22 < trace[W ] La résolution de ce type de problème peut être abordé au moyen de l’algorithme de décomposition croisée décrit auparavant.. 6.1.2. Solution LMI à temps discret. Retour de sortie dynamique Le système linéaire à temps discret est défini par la représentation d’état suivante : xk+1 zk∞ zk2 yk. = = = =. Axk + B1 wk + B2 uk C1∞ xk + D12∞ uk C12 xk + D122 uk C2 xk + D21 wk. (6.6). Le but de la commande mixte est de minimiser ||Tzk2 wk (z)||2 , en garantissant ||Tzk∞ wk (z)||∞ < γ γ étant fixé à priori. Cela grâce à un retour de sortie dynamique de type : xck+1 = Ac xck + Bc yk uk = Cc xck on obtient alors le système global en boucle fermée : Xk+1 = Ae Xk + Be wk zk∞ = Ce∞ Xk zk2 = Ce2 Xk où. · Ae := Ce∞ :=. A B2 Cc Bc C2 Ac £. ¸. C1∞ D12∞ Cc. · ;. Be := ¤. ; Ce2 :=. £. B1 Bc D21. ;. C12 D122 Cc. On obtient alors les deux fonctions de transferts suivantes : Tzk∞ wk (z) := Ce∞ (z1 − Ae )−1 Be Tzk2 wk (z) := Ce2 (z1 − Ae )−1 Be 37. ¸. ¤.