T6_Sistemas de ecuaciones 

Tema 6

SISTEMAS

DE

1. Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas

Nos vamos a ocupar ahora de las ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Una ecuación de este tipo es, por ejemplo:

2

x

+

y

= 50

Observa que el par de valores

x

= 20

y

= 10

2·20 + 10 = 50

Decimos entonces que ese par de valores es una solución de la ecuación. Sin embargo, la solución no es única. Observa que hay otros pares que también son soluciones de la misma ecuación:

x

= 5,

y

= 40

2·5 + 40 = 50

En realidad, la ecuación tiene infinitas soluciones.

x

= 10,

y

= 30

2·10 + 30 = 50

► Las ecuaciones de primer grado con dos incógnitas reciben el nombre de ecuaciones lineales.

► Una solución de una ecuación lineal es un par de valores que hace cierta la igualdad.

► Una ecuación lineal tiene infinitas soluciones.

FORMA GENERAL

Toda ecuación lineal puede escribirse de la forma:

ax + by = c

término independiente

incógnitas

Una

ecuación de primer grado con dos incógnitas

x

,

y

se puede

escribir así: a

x

+ b

y

= c

coeficientes

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN LINEAL

Para obtener distintos pares de valores que sean soluciones de una ecuación lineal, se suele despejar una incógnita y dar valores a la otra. Los valores se recogen, ordenados, en una tabla.

2

x

+

y

= 5

y

= 5 – 2

x

Despeja y

Obtén distintas

soluciones en una tabla

x y = 5 – 2x

0

1 2 3

–1

y = 5 – 2·0 = 5

y = 5 – 2·1 = 3

y = 5 – 2·2 = 1

y = 5 – 2·3 = –1

y = 5 – 2·(–1) = 7

EJEMPLO

EJEMPLO

Con la tabla de valores hemos encontrado cinco soluciones

(0, 5),

(1, 3),

(2, 1),

(3, –1), y

► Cada ecuación lineal tiene una recta asociada en el plano.

► Cada punto de esa recta representa una de las infinitas soluciones de la ecuación.

Representar gráficamente la ecuación

3

x

– 2

y

= 4.

Despejamos y para construir la tabla de valores:

3

x

– 2

y

= 4

3

x

– 4 = 2

y

2

4

3





x

y

Representamos los pares de valores en el plano. EJEMPLO

EJEMPLO

x y

0 1

2 1 3 2,5 –1 –3,5 –2 –5

La línea recta que pasa por los puntos es la gráfica de la ecuación.

y = 3·0 – 4 = –2 2

y = 3·1 – 4 = –0,5 2

2. Sistemas de ecuaciones lineales

ax + by = c

a'x + b'y = c'

Un

sistema de dos ecuaciones

de primer grado con

dos incógnitas

es

un conjunto de dos ecuaciones en las que las incógnitas representan los

mismos valores.

• Una

solución de un sistema

es un par de números que verifican las

dos ecuaciones simultáneamente.

x

+

y

= 7 

y

= 7 –

x

3

x

–

y

= 9 

y

= 3

x

– 9

La solución del sistema es el punto común:

x

= 4,

y

= 3

El par de valores

x

= 4

y

= 3

x

= 4 4 + 3 = 7

y

= 3 3·4 – 3 = 9

EJEMPLO Halla gráficamente la solución del sistema:

3

x

–

y

= 9

Gráficamente, la solución del sistema es el punto de corte de las rectas que representan a las ecuaciones.

x

2 3 4 5 6 7 ....

y

5 4 3 2 1 0 ....

x

1 2 3 4 5 6 ....

a)

x

+

y

= 5

x

–

y

= 3

1. Resuelve gráficamente:

c)

y

–

x

= 3

2

x

+

y

= 0

ACTIVIDADES

_ACTIVIDADES

b)

x

+

y

= 1

y

= 2

x

+ 1

d)

2

x

+ 3

y

= 12

Ya has visto que la solución de un sistema lineal es el punto de corte de dos rectas. Por tanto, un sistema lineal tendrá generalmente una solución única. Sin embargo, como verás a continuación, hay casos especiales.

SISTEMAS SIN SOLUCIÓN

Puede ocurrir que las dos ecuaciones del sistema sean portadoras de

información contradictoria.

x

+

y

= 3

x

+

y

= 6

En este caso es imposible encontrar un par de valores (

x, y

El sistema no tiene solución.

► Los sistemas sin solución se llaman incompatibles.

► Gráficamente, las rectas que representan a las ecuaciones no tienen ningún punto común, es decir, son paralelas.

EJEMPLO

SISTEMAS CON INFINITAS SOLUCIONES

También puede ocurrir que las dos ecuaciones sean portadoras de informaciones idénticas.

x

+

y

= 3

2

x

+ 2

y

= 6

En este caso, cualquier par de valores que haga cierta la primera igualdad, también hace cierta la segunda.

El sistema tiene infinitas soluciones.

► Los sistemas con infinitas soluciones se llaman indeterminados. ► Gráficamente, las rectas que representan ambas ecuaciones tienen todos sus puntos comunes, es decir, coinciden.

EJEMPLO

2. Escribe un sistema de ecuaciones lineales que sea: a) Incompatible b) Indeterminado

Representa gráficamente las ecuaciones.

3. Representa estos sistemas y di cuál es determinado, cuál es incompatible y cuál es indeterminado.

a)

x

+

y

= 3

x

–

y

= 5

ACTIVIDADES

_ACTIVIDADES

b)

2

x

–

y

= 1

2

x

–

y

= 5

c)

x

– 2

y

= 3

3. Sistemas equivalentes

Sistemas equivalentes

: son aquellos que tienen las mismas soluciones

Solución:

x

= 2,

y

= 1

Solución:

x

= 2,

y

= 1

Para

resolver un sistema

hay que obtener otro equivalente más sencillo

2

x

+ 3

y

= 7

x

= 4

y

– 2

–2

x

+ 3

y

= –1

x

– 4

y

= – 2

Si a los dos miembros de una ecuación de un sistema se le suma o resta

un mismo número o una misma expresión algebraica, resulta otro

sistema equivalente al dado.

3

x

= –6 + 4

y

x

+ 2

y

= 8

3

x

– 4

y

= –6

x

+ 2

y

= 8

Sumamos 4

y

a los dos

Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación de un

sistema por un mismo número distinto de cero, resulta otro sistema

equivalente al dado.

Multiplicamos los dos miembros

de la segunda ecuación por 2.

3x = –6 + 4y

x + 2y = 8

3

x

– 4

y

= –6

x

+ 2

y

= 8

Si a una ecuación de un sistema se le suma o resta otra ecuación del

mismo, resulta otro sistema equivalente al dado

Sumamos a la segunda

ecuación la primera.

3

x

– 4

y

= –6

2

x

+ 4

y

= 16

3

x

– 4

y

= –6

5

x

= 10

3

x

– 4

y

= –6

x

= 2

y

= 3

4. Métodos para la resolución de sistemas lineales

Este método consiste en despejar una incógnita en una ecuación y sustituir el valor obtenido en la otra. De esta manera, se obtiene una ecuación de una sola incógnita.

EJEMPLO

EJEMPLO _{1. Se despeja}

una incógnita:

2. Se sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación:

3. Se resuelve la ecuación de una incógnita:

4. Se calcula la incógnita en la ecuación despejada:

5. Se comprueba el resultado en el sistema inicial:

2

5

10

_







x

x

+ 21 – 6

x

= 11

x

– 6

x

= 11 – 21

– 5

x

= – 10

y

= 7 – 2·2

y

= 7 – 4 = 3

2·2 + 3 = 7

2 + 3·3 = 11

x = 2

y = 3

2

x

+

y

= 7

x

+ 3

y

= 11

x

+ 3(7 – 2

x

) = 11

3

)

3

·(

2

6







x

23

5

3

2

6

2

_













 

y

_y

4

3

12

3

6

6









x

23

5

3

4

12







y

y

EJEMPLO _{1. Se despeja}

una incógnita:

2. Se sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación:

3. Se resuelve la ecuación de una incógnita:

4. Se calcula la incógnita en la ecuación despejada:

5. Se comprueba el resultado en el sistema inicial:

3

19

57

_

_





y

La solución del sistema es:

12 – 4

y

– 15

y

= 69

–4

y

– 15

y

= 69 – 12

– 19

y

= 57

3·4 + 2·(–3) = 6

2·4 – 5·(–3) = 23

x = 4

y = –3

3

x

+ 2

y

= 6

2

x

– 5

y

= 23

3

x

= 6 – 2

y

4. Resuelve por sustitución: a)

2

x

–

y

= 8

4

x

+ 5

y

= 2

c)

5

x

+ 2

y

= 16

2

x

+ 3

y

= 2

ACTIVIDADES

_ACTIVIDADES

d)

5

x

– 2

y

= 7

3

x

+ 4

y

= –1

b)

x

–

y

= 6

En este método se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones y se igualan las expresiones obtenidas. De esta forma, se obtiene una ecuación con una sola incógnita.

3

x

– 2

y

= 10

x

+ 3

y

= 7

1. Despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones.



3

x

= 10 + 2

y



2. Igualar las expresiones obtenidas para la incógnita despejada.

¡Ya tenemos la ecuación con una sola incógnita!

EJEMPLO

EJEMPLO

3. Resolver la

ecuación obtenida.

10 + 2

y

= 3(7 – 3

y

)

4. Sustituir el valor de la incógnita ya resuelta, en

cualquiera de las expresiones obtenidas al principio.

4

3

12

3

1

2

10











x

Solución:

x

= 4

y

= 1

10 + 2

y

= 21 – 9

y

11

y

= 11

y

= = 1

11

11



x

= 7 – 3

y

3

2

10

y

x





y

y

3

7

3

2

10







5. Se comprueba el resultado en el sistema inicial:

5. Resuelve por el método de igualación: a)

2

x

–

y

= 8

4

x

+ 5

y

= 2

c)

x

– 4

y

= 1

2

x

– 7

y

= 3

ACTIVIDADES

_ACTIVIDADES

b)

x

+

y

= 2

x

–

y

= 10

d)

2

x

+ 3

y

= 5

Consiste en multiplicar las ecuaciones por los números adecuados para que, al sumarlas, desaparezca una de las incógnitas. Así obtenemos una ecuación que sabemos resolver.

3

x

+

y

= 11

2

x

+ 3

y

= 12

1. Multiplicar los dos miembros de cada ecuación por los números adecuados para que los coeficientes de una de las incógnitas

resulten de igual valor absoluto y signos contrarios.

EJEMPLO EJEMPLO

3

7

21

_



x

2. Se suman las ecuaciones:

3. Se resuelve la ecuación de una incógnita: 4. Se calcula la otra incógnita

en la otra ecuación:

5. Se comprueba el resultado en el sistema inicial:

La solución del sistema es:

9

x

+ 3y = 33

–2

x

– 3

y

= –12

7

x

+ 0 = 21

3·3 + 2 = 11

2·3 + 3·2 = 12

3

x

+

y

= 11

3·3 +

y

= 11

9 +

y

= 11

y

= 2

x = 3

y = 2

1. Se igualan los coeficientes de una de las incógnitas:

2. Se suman las ecuaciones:

3. Se resuelve la ecuación:

4. Se calcula la otra incógnita en la otra ecuación:

5. Se comprueba el resultado en el sistema inicial:

( ) ·2

( ) ·(-3)

3

19

57

_

_





y

2

3

6





x

La solución del sistema es:

EJEMPLO

EJEMPLO

x = 2

y = –3

3·2 – 2·(–3) = 12

2·2 + 5·(–3) = –11

3

x

– 2

y

= 12

3

x

– 2·(–3) = 12

3

x

+ 6 = 12

6

x

– 4

y

= 24

–6

x

– 15

y

= 33

– 19

y

= 57

3

x

– 2

y

= 12

6. Resuelve por el método de reducción: a)

2

x

–

y

= 8

4

x

+ 5

y

= 2

c)

5

x

– 2

y

= 4

3

x

– 4

y

= 1

ACTIVIDADES

_ACTIVIDADES

b)

x

+

y

= 4

x

–

y

= 6

d)

4

x

– 5

y

= 2

Si las ecuaciones del sistema no están en forma general, primero las expresamos en forma general y después aplicamos un método.

5

2

2

3

5







x

y

x

3(2

x

+ 1) – 4

y

= 4(1 – 2

y

) – 7

5

x

– 3

y

= 4

x

+ 10

5

x

– 4

x

– 3

y

= 10

6

x

– 4

y

+ 8

y

= 4 – 7 – 3

3(10 + 3

y

) + 2

y

= –3

11

y

= –33

y

= –3

x

= 10 + 3

y

EJEMPLO

EJEMPLO

6

x

+ 3 – 4

y

= 4 – 8

y

– 7

Transforma las ecuaciones hasta que estén en forma general

Ya están en forma general. Ahora aplica algún método de resolución

30 + 9

y

+ 2

y

= –3

y

= –3

x

– 3

y

= 10

6

x

+ 4

y

= –6

x

= 10 + 3

y

3

x

+ 2

y

= –3

5. Resolución de problemas con la ayuda de los

sistemas de ecuaciones lineales

PROBLEMA 1. Calcula dos números sabiendo que su suma es 119 y que el triple del menor sobrepasa en 17 unidades al doble del mayor.

> Identifica y da nombre a los

elementos del problema. El número menor _{El número mayor }

_y

x

> Escribe las ecuaciones que relacionan los elementos del problema.

x

+

y

= 119

EJEMPLO

La suma de ambos 

x + y

3

x

El doble del mayor 

2

y

La suma de los números es 119

El triple del menor es 17 unidades

> Resuelve el sistema.

x

+

y

= 119

3

x

= 2

y

+ 17

x

= 119 –

y

3(119 –

y

) = 2

y

+ 17

y

= 68

> Expresa la solución en el contexto del problema y compruébala.

Solución:

El número menor es 51. El número mayor es 68.

Comprobación:

PROBLEMA 1. Calcula dos números sabiendo que su suma es 119 y que el triple del menor sobrepasa en 17 unidades al doble del mayor.

x

= 119 – 68

x

= 51

357 – 3

y

= 2

y

+ 17

340 = 5

y

51 + 68 119

PROBLEMA 2. Alejandro ha pagado 6,6 euros por tres kilos de naranjas y dos de manzanas. En la misma frutería, Zoraida ha pagado 3,9 euros por dos kilos de naranjas y uno de manzanas ¿Cuánto cuesta un kilo de naranjas? ¿Y uno de manzanas?

> Identifica y da nombre a los elementos del problema.

Precio de un kilo de naranjas 

x

Precio de un kilo de manzanas 

y

> Escribe las ecuaciones que relacionan los elementos del problema.

COSTE DE LA COMPRA DE ALEJANDRO

3

x

+ 2

y

6,6

3

x

+ 2

y

= 6,6

2

x

+

y

= 3,9

Coste de 3 kg de naranjas y 2 kg de manzanas 

3

x

+ 2

y

2

x

+

y

COSTE DE LA COMPRA DE ZORAIDA

2

x

+

y

> Resuelve el sistema.

3

x

+ 2

y

= 6,6

2

x

+

y

= 3,9

2

x

+

y

= 3,9

x

= 1,2

> Escribe la solución en el contexto del problema.

Solución: Un kilo de naranjas cuesta 1,2 euros. Un kilo de manzanas cuesta 1,5 euros. Comprobación:

Alejandro 3·1,2 = 3,6 2·1,5 = +3___ 6,6 euros

Zoraida 2·1,2 = 2,4 1·1,5 = +1,5

3,9 euros

de manzanas. En la misma frutería, Zoraida ha pagado 3,9 euros por dos kilos de naranjas y uno de manzanas ¿Cuánto cuesta un kilo de naranjas? ¿Y uno de manzanas?

 –3

x

– 2

y

= –6,6

 4

x

+ 2

y

= 7,8

x

= 1,2 

x

= 1,2

2·1,2 +

y

= 3,9

PROBLEMA 3. ¿Qué cantidades de café, uno de calidad superior, a 13 €/kg y otro de calidad inferior, a 8 €/kg, hay que aportar para conseguir 20 kg de mezcla que resulte a 10 €/kg?

> Identifica y da nombre algebraico a los elementos del problema.

Kilos de café superior 

x

y

> Escribe las ecuaciones que relacionan los elementos del problema.

PESO DE LA MEZCLA:

COSTE DE LA MEZCLA:

EJEMPLO

EJEMPLO

Coste del café superior 

13

x

Coste del café inferior 

8

y

13

x

+ 8

y

= 20·10

> Resuelve el sistema.

x

+

y

= 20

13

x

+ 8

y

= 200 13(20 –

y

) + 8

y

= 200

260 – 13

y

+ 8

y

= 200

260 – 200 = 13

y

– 8

y

60 = 5

y

y

= 60/5 

y

= 12

x

+

y

= 20

y

= 12

x

+ 12 = 20

x

= 20 – 12

x

= 8

> Expresa la solución en el contexto del problema.

Solución: Para conseguir 20 kg de mezcla, a 10 euros/kg, se necesitan 8 kg de café superior y 12 kg de café inferior.

Coste del café superior  8·13 = 104 Coste del café inferior  12·8 = + 96 Coste de la mezcla  200

Precio de la mezcla  200 : 20 = 10 €/kg

x

= 20 –

y

Comprobación:

5. ¿Qué cantidades de aceite, uno puro de oliva, a 3 euros/l y otro de orujo, a 2 euros/l, hay que emplear para conseguir 600 litros de mezcla a 2,4 euros/l?

6. ¿Qué cantidades de oro, a 8 euros/g, y de plata, a 1,7 euros/g, hay que usar para obtener 1 kg de mezcla a 4,22 euros/g?

ACTIVIDADES

_ACTIVIDADES

3. Cinco bolígrafos y dos rotuladores cuestan 4,8 €. Cuatro rotuladores y tres bolígrafos cuestan 5,4 €. ¿Cuánto cuesta un bolígrafo? ¿Y un rotulador?

4. En cierta cafetería, por dos cafés y un refresco nos cobran 2,7 euros. Dos días después, nos cobraron 4,1 euros por un café y tres refrescos. ¿Cuánto cuesta un café? ¿Y un refresco?

1. Calcula dos números sabiendo que: - La suma de ambos es 81.

- La diferencia de ambos es 19.

Resolución gráfica

1. Observa el gráfico y responde: a) Escribe un sistema de

ecuaciones lineales que tenga por solución

x

= 5

y

= 6

b) Escribe un sistema cuya solución sea

x

= 7

y

= 0

c) Escribe un sistema sin solución. d) Escribe un sistema con infinitas soluciones.

2. Representa gráficamente las siguientes ecuaciones lineales:

x

+

y

= 2

2

y

–

x

= 4

Escribe las coordenadas del punto de corte.

Escribe la solución del sistema que forman ambas ecuaciones.

3. Resuelve gráficamente: a)

2

x

– 3

y

= 0

2

x

+ 3

y

= 12

Resolución algebraica

4. Resuelve por sustitución estos sistemas: a)

x

= 5

2

x

+ 3

y

= 22

c)

x

+

y

= –4

2

x

+

y

= –1

5. Resuelve por igualación estos sistemas: a)

x

=

y

– 7

x

= (

y

– 10)/2

c)

3

x

+ 2

y

= 11

5

x

+ 2

y

= 21

b)

2

y

=

x

+ 8

y

= 2

x

+ 10

b)

y

= 3

x

– 1

5

x

+ 2

y

= 9

d)

8

x

+ 5

y

= 1

3

x

– 2

y

= 12

b)

x

+ 2

y

= –5

x

– 3

y

= 5

6. Resuelve por reducción estos sistemas: a)

x

+ 2

y

= 5

3

x

– 2

y

= 7

c)

6

x

– 2

y

= 0

3

x

– 5

y

= 12

7. Resuelve, por el método que consideres más oportuno, estos sistemas: a)

3

x

+

y

= 7

5

x

+ 2

y

= 11

b)

x

+ 3

y

= 7

4

x

– 3

y

= 13

c)

2

x

–

y

= 9

2

x

+ 7

y

= 17

d)

2

x

– 5

y

= 14

7

x

+ 4

y

= 6

b)

5

x

–

y

= 10

4

x

+ 3

y

= 8

d)

7

x

– 5

y

= 10

2

x

– 3

y

= –5

9. Resuelve el siguiente sistema:

2(

x

– 1) = 3(

y

+ 1) – 3

x

–

y

= 0

10. Resuelve:

4(2

x

– 7) – 5

y

= 0

3(3

y

– 4) – 4

x

= 0

11. Resuelve:

3

x

– 1 = 4(

y

+ 5) + 2

2

5

1

)

3

(

2

x







y



12. Resuelve:

2

8

7

3

1

2







y

x

3(

x

– 2) =

y

+ 7

13. Resuelve:

2

1

1

_





y

x

2

2

)

1

(

3







y

x

14. Resuelve:

0

5

2

3

1

_



_



y

x

2

5

3

2



_

_

y

x

Problemas para resolver con sistemas de ecuaciones

15. La suma de dos números es 87 y su diferencia 25. ¿Cuáles son esos números?

16. Calcula dos números de forma que su diferencia sea 43 y el triple del menor supere en cinco unidades al mayor.

17. Dos números están en la relación de 2 a 5 y su suma es 210. ¿De qué números se trata?

x

+

y

= 210

18. Entre Pedro y yo tenemos 12 euros. Si yo le diera 1,7 euros entonces él tendría el doble que yo. ¿Cuánto tenemos cada uno?

19. Un puesto ambulante vende los melones y las sandías a un tanto fijo la unidad. Raquel compra 5 melones y 2 sandías por 9 euros. Alfredo compra 3 melones y 4 sandías por 7,5 euros. ¿Cuánto vale un melón? ¿Y una sandía?

5

2



20. Doscientos gramos de jamón y ciento cincuenta de queso cuestan 5,4 euros. Cien gramos de jamón y doscientos cincuenta de queso cuestan 4,8 euros. ¿Cuánto cuesta un kilo de jamón? ¿Y un kilo de queso?

21. En una granja, entre gallinas y conejos hay 100 cabezas y 252 patas. ¿Cuántas gallinas y cuántos conejos hay en la granja?

22. Amelia tiene el triple de edad que su hermano Enrique, pero dentro de 5 años solo tendrá el doble. ¿Cuál es la edad de cada uno?

Hoy Dentro de 5 años Amelia

x

x

+ 5

Enrique

y

y

+ 5

x

= 3

y

x

+ 5 = 2(

y

+ 5)

23. El doble de la edad de Sara coincide con la cuarta parte de la edad de su padre. Dentro de dos años la edad de Sara será la sexta parte de la de su padre. ¿Qué edad tiene cada uno?

25. Un comerciante tiene a la venta 50 pares de zapatillas deportivas, a 40 euros el par. Cuando lleva vendidos unos cuantos, los rebaja a 30 euros el par, continuando la venta hasta que se agotan. La recaudación total ha sido de 1620 euros. ¿Cuántos pares vendió sin rebajar y cuántos rebajados?

26. En un club deportivo, los hombres y las mujeres están en relación de 2 a 3, pero si hubiera 40 hombres más y 30 mujeres menos, entonces estarían a la par. ¿Cuántos hombres y cuántas mujeres son socios del club?

HOMBRES 

x

x

/

y

= 2/3

MUJERES 

y

x

+ 40 =

y

– 30

27. Un test consta de 50 preguntas y se evalúa sumando 2 puntos por cada acierto y restando 1,5 puntos por cada fallo. ¿Cuántos aciertos y cuántos fallos tendrá una persona cuya calificación es de 58 puntos?

EJERCICIOS DE LA UNIDAD

29. Un trabajador gana 60 euros en un turno de día y 80 euros en un turno de noche. ¿Cuántos días y cuántas noches ha trabajado en un mes, si en total ha hecho 24 turnos y ha recibido 1 600 euros por su trabajo?

30. Un orfebre recibe el encargo de confeccionar un trofeo, en oro y plata, para un campeonato deportivo. Una vez realizado, resulta de un peso de 1 300 gramos, habiendo costado 2840 euros. ¿Qué cantidad ha utilizado de cada metal precioso, si el oro sale por 8 euros/gramo y la plata por 1,7 euros/gramo?

EJERCICIOS DE LA UNIDAD

32. Un camión parte de cierta población a 90 km/h. Diez minutos después, sale en su persecución un coche a 110 km/h. Calcula el tiempo que tarda en alcanzarle y la distancia recorrida desde el punto de partida.

15 km x - 15 x

33. Un peatón sale de A hacia B caminando a una velocidad de 4 km/h. Simultáneamente, sale de B hacia A un ciclista a 17 km/h. Si la distancia entre A y B es de 7 km, ¿cuánto tardarán en encontrarse y a qué distancia de A lo hacen?

34. Calcula las dimensiones de una parcela rectangular sabiendo que es 25 m más larga que ancha y que el perímetro mide 210 metros.

EJERCICIOS DE LA UNIDAD

31. Un coche parte de A hacia B a 110 km/h. A la misma hora, sale de B hacia A un camión a 70 km/h. Sabiendo que la distancia de A a B es de 270 km, ¿cuánto tardan en encontrarse y a qué distancia de A lo hacen?

110 km/ h

70 km/h

270 - x x

· La solución de un sistema de ecuaciones lineales es el par de valores que satisface ambas ecuaciones a la vez.

2

x

–

y

= 4

x

+ 3

y

= 9

· Gráficamente, la solución del sistema es el punto de corte de las rectas asociadas a las ecuaciones que lo forman.

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN

2

x

–

y

= 4

x

+ 3

y

= 9

SUSTITUCIÓN

18 – 6

y

–

y

= 4

18 – 4 = 6

y

+

y

14 = 7

y



y

= 2

x

= 9 – 3

y

2(9 – 3

y

) –

y

= 4

Solución:

x

= 3

y

= 2

2·3 – 2 = 4

3 + 3·2 = 9

x

= 9 – 3y

2

x

–

y

= 4

x

+ 3

y

= 9

2

_x

_{+ 3}

x

–

y

_y

= 4

_{= 9}

REDUCCIÓN

x

+ 3

y

= 9

3 + 3

y

= 9

3

y

= 9 – 3

3

y

= 6



y

= 2

7

x

= 21



x

= 3

6

x

– 3

y

= 12

x

+ 3

y

= 9

7

x

= 21

IGUALACIÓN

4 +

y

= 2(9 – 3

y

)

7

y

= 14



y

= 2

x

= (4 +

y

)/2

x

= 9 – 3

y

(4 +

y

)/2 = 9 – 3

y

x

= 9 – 3

y

1. Resuelve gráficamente el sistema:

x

+

y

= 4

x

–

y

= 2

2. Escribe un sistema incompatible. ¿Cuál es la interpretación gráfica de un sistema incompatible?

3. Resuelve por sustitución:

2

x

+

y

= 5

x

– 3

y

= 6

4. Resuelve por igualación:

3

x

– 5

y

= 11

3

x

+ 2

y

= 4

5. Resuelve por reducción:

5

x

– 2

y

= 14

x

+ 4

y

= 16

6. Resuelve:

2(

x

– 1) + 3

y

= 2

y

– 7

6

1

5

4

2



_

_

_

y

y

x

7. Un cuaderno y cuatro carpetas cuestan 4,8 euros. Dos cuadernos y tres carpetas cuestan 5,1 euros.

¿Cuánto cuesta un cuaderno? ¿Y una carpeta?