TEMA 4: ALGEBRA
4.1 MATRICES.
Se llama matriz de dimensión m x n a un conjunto de números reales dispuestos en m filas y n columnas de la siguiente forma:
11 12 12 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
n n n
m m m mn
a a a a
a a a a
a a a a
A
a a a a
=
L L L
L L L L L
L
Las matrices suelen escribirse en letras mayúsculas, A,B, C, …También se designa una matriz completa con el símbolo
( )
aij de forma que los subíndices tomanlos valores i = 1, 2, 3, …, m y j = 1, 2, 3, …, n. La variación de estos últimos proporciona el número de filas (m) y el número de columnas (n) que tiene la matriz.
Los números que formas la matriz se denominan elementos y uno cualquiera se representa por aij. Los valores de los subíndices nos indican la fila y la columna en las que se encuentra.
En toda matriz, el número de filas por el número de columnas se denomina dimensión de la matriz y se expresa m x n. En la caso de que el número de filas y el de columnas coincida (m = n ) se dice que la matriz es cuadrada de orden n.
4.1.1 TIPOS DE MATRICES
Matriz rectangular es aquella que tiene distinto número de filas de que columnas (m n≠ ). Entre estas cabe destacar las siguientes:
Matriz fila es toda matriz rectangular con una sola fila (m = 1)
Matriz columna es toda matriz rectangular con una sola columna (n = 1)
Matriz cuadrada de orden n es aquella que tiene igual número de filas que de columnas
conjunto de elementos de la forma aii. Se llama diagonal secundaria de una matriz cuadrada al conjunto de elementos de la forma aij con i + j = n + 1.
En el conjunto de las matrices cuadradas merecen interés las siguientes:
Matriz triangular superior es toda matriz cuadrada en la que todos los términos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
Matriz triangular inferior es toda matriz cuadrada en la que todos los términos situados por encima de la diagonal principal son ceros.
Matriz diagonal es toda matriz cuadrada en la que todos los elementos no situados en la diagonal principal son ceros.
Matriz escalar es toda matriz diagonal en la que todos los términos de la diagonal principal son iguales.
Matriz unidad (identidad) es toda matriz escalar cuyos elementos de la diagonal principal valen uno. La matriz unidad de orden n se designa por In.
Matriz cero (nula) es la matriz con todos los elementos nulos, suelen designarse por On o simplemente por O.
4.1.2 OPERACIONES CON MATRICES:
Consideremos el conjunto de todas la matrices de dimensión m x n, cuyos elementos son números reales, que designaremos por Μm x n Podemos definir las operaciones siguientes.
SUMA DE MATRICES
Para dos matrices A=
( )
aij y B =( )
bij de la misma dimensión m x n, la suma de A y Bes la matriz de la misma dimensión m x n dada por: A B+ =
( ) ( ) (
aij + bij = aij +bij)
Ejemplo 1: Efectuar la suma siguiente A + B
1 5 6 2 8 4
A=
1 0 4 2 7 3
B = −
2 5 10 0 17 7
A B+ =
PRODUCTO POR UN NÚMERO (ESCALAR)
Para un número real K y una matriz A=
( )
aij de dimensión m x n , el producto de unnúmero real por una matriz es la matriz de la misma dimensión m x n dada por:
( ) (
)
· · ij · ij
K A K a= = K a Es decir, el producto K·A se obtiene multiplicando el número real por cada uno de los elementos de la matriz. El número real que multiplica a la matriz se denomina escalar. Esta operación siempre tiene sentido, es decir, puede efectuarse para matrices de cualquier dimensión.
Ejemplo 2:
3 0 12
1 0 4 3·
6 21 9 2 7 3
=
− −
PRODUCTO DE MATRICES
El producto de matrices no es una operación tan natural como las anteriores. Esta operación no siempre puede realizarse, y en los casos en que si tenga sentido, no cumplirá una propiedad tan usual como la conmutatividad. Al carecer de esta propiedad, se hace necesario precisar el orden de la multiplicación; para poder multiplicar dos matrices va a ser necesario que el número de columnas de la primera matriz coincida con el número de filas de la segunda matriz.
Para dos matrices A=
( )
aij de dimensión m x n y B =( )
bij de dimensión n x p, elproducto de A y B es matriz de dimensión m x p dada por: A B· =
( )
cij con1
· n ij ik kj
k
c a b
=
Ejemplo 3:
1 2 5 6 1·5 2·7 1·6 2·8 19 22
·
3 4 7 8 3·5 4·7 3·6 4·8 43 50
+ +
= =
+ +
1 0
1 2 3 1·1 2·( 1) 3·3 1·0 2·2 3·( 4) 8 8
· 1 2
4 5 6 4·1 5·( 1) 6·3 4·0 5·2 6·( 4) 17 14
3 4
−
+ − + + + −
− = =
+ − + + + − −
−
PRODUCTO DE MATRICES CUADRADAS
En el conjunto Μn de las matrices cuadradas de orden n, el producto de matrices siempre es posible realizarlo y además obtenemos otra matriz cuadrada de orden n. Describimos algunas propiedades y características del producto de matrices cuadradas:
• Asociativa: A B C·( · ) ( · )·= A B C
• Tiene elemento neutro, la matriz identidad o también llamada matriz unidad de orden n, que se representa por In. A I· n =I A An· =
• Distributiva: A B C·( + )=A B A C· + ·
• En general es no conmutativo: A B B A· ≠ · En el caso de que existan dos matrices cuadradas no nulas tales que AB = BA, entonces diremos que A y B conmutan
• El producto de dos matrices cuadradas no nula puede ser la matriz cero, es decir A≠0 B ≠0 y sin embargo A B· =0.
Ejemplo 4:
1 0 0 0 0 0
·
2 0 3 4 0 0
=
• Dada una matriz cuadrada A, de orden n, no siempre existe una matriz cuadrada B, que llamaremos matriz inversa de A, que cumpla:
· · n
POTENCIAS DE MATRICES CUADRADAS
Las potencias de exponente natural de matrices cuadradas en una extensión de la misma operación para número reales. Así: A1 = A ; A2 = A · A ; A3 = A·A·A ;
An = A·A·A·….·A
TRANSPOSICIÓN DE MATRICES
Se llama matriz traspuesta de una matriz A de dimensión m x n a la matriz que se obtiene al cambiar las filas por columnas o las columnas por filas. Se representa por At y su dimensión es n x m. Si la matriz es cuadrada, su traspuesta tiene el mismo orden.
Las principales propiedades de la trasposición de matrices con respecto a las operaciones con matrices son:
1)
( )
t tA =A
2)
(
A B)
t A Bt t+ = +
3)
(
K A·)
t =K A· t4)
(
A B·)
t =B At· tEn base a esta nueva operación, consideramos dos clases de matrices:
Matriz simétrica es aquella matriz cuadrada A que coincide con su traspuesta: A = At y Matriz antisimétrica es toda matriz cuadrada A que coincide con la opuesta de su traspuesta: A = -At
Ejemplo 5:
La matriz 5 2 01 5 1 1 0 3 A
−
=
−
es una matriz simétrica y la matriz 01 01 32
2 3 0
B
−
= −
−
es
4.2 DETERMINANTES
4.2.1. DETERMINANTES DE ORDEN DOS Y TRES.
A una matriz cuadrada podemos asociar un número que, como veremos con posterioridad, nos permitirá estudiar y resolver un sistema de ecuaciones, examinar si una matriz dada posee matriz inversa y calcularla, así como resolver situaciones diversas en Geometría.
Para una matriz cuadrada de orden dos 11 12 21 22 a a A= a a
llamamos determinante de A
al número real: 11 12
11 22 12 21 21 22
det( )A = aa aa =a a· −a a·
Como vemos, el determinante de una matriz cuadrada de orden dos es igual al producto de los elementos de la diagonal principal, menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria.
Ejemplo 1: 4 1 4·( 1) 1·2 4 2 6 2 −1 = − − = − − = −
Para una matriz cuadrada de orden tres 1121 2212 2313 31 32 33
a a a
A a a a
a a a
=
llamamos determinante
de A al número real: 11 12 13
21 22 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32 31 32 33
det( ) · · · ·
a a a
A a a a a a a a a a a a a
a a a
= = + + −a a a11 23 32· · −a a a12 21· · 33−a a a13 22 31· ·
Ejemplo 2:
1 2 7
1 0 1 1·0·7 2·1·4 7·( 1)·5 1·1·5 2·( 1)·7 7·0·4 18
4 5 7
− = + + − − − − − = −
4.2.2 DEFINICIÓN DE DETERMINANTE
Para extender las definiciones dadas de determinantes de orden dos y tres a un determinante de orden superior, es preciso estudiar con detenimiento dos aspectos que aparecen en las definiciones mencionadas:
• Cada uno de los términos del desarrollo del determinante está formado por factores que son elementos de cada fila y de cada columna de la matriz.
• El signo de cada término depende de la elección efectuada en el orden de las columnas (ya que, por la propiedad conmutativa de la multiplicación de números reales, las filas pueden tomarse siguiendo el orden natural).
En general para una matriz cuadrada de orden n, se llama determinante de A al número real formado por:
a) Sumandos formados por factores elegidos entre los elementos de la matriz, de forma que en cada sumando aparece uno y sólo un elemento de cada fila y cada columna.
b) A cada sumando o término del desarrollo le antecede el signo + o – según el orden del subíndice relativo a las columnas, supuesto el de las filas en el orden natural.
La utilización práctica de esta definición presenta dificultades, al ser larga y muy laboriosa. Por ello se han desarrollado procedimientos y reglas diferentes de la definición para su cálculo efectivo:
Propiedades de los determinantes: 1. El determinante de una matriz
cuadrada es igual al determinante de su matriz traspuesta.
2.Si los elementos de una fila (columna) de una matriz se multiplican por un número, el determinante de la matriz queda multiplicado por dicho número.
Ejemplo:
3.Si los elementos de una fila (columna) de una matriz pueden descomponerse en dos sumandos, su determinante es igual a la suma de dos determinantes que tiene iguales todas las filas (columnas) excepto dicha fila (columna) cuyos sumando pasan, respectivamente a cada uno de los determinantes
Ejemplo:
4. El determinante del producto de dos matrices cuadradas coincide con el producto de los determinantes de ambas matrices.
5. Si en una matriz cuadrada se permutan dos filas (columnas), su determinante cambia de signo.
Ejemplo:
6. Si una matriz cuadrada tiene dos filas (columnas) iguales, su determinante es cero.
Ejemplo:
7.Si una matriz cuadrada tiene dos filas (columnas) proporcionales, su determinante es cero.
Ejemplo:
8.Si los elementos de una fila (columna) de una matriz cuadrada son combinación lineal de las filas (columnas) restantes, su determinante es cero.
9. Si a los elementos de una fila (columna) de una matriz cuadrada se le suma una combinación lineal de otras filas, su determinante no varía.
Ejemplo:
Ejemplo 3: Demuestra sin desarrollar los determinantes, que las siguientes igualdades son ciertas:
a)
3/
3/ 0
3/
yx x x
xz y y
xy z z
= . Solución: Si multiplicamos la primera fila por x, la segunda
por y, y la tercera por z, y a su vez todo el determinante por 1/xyz.
2 2
2 2
2 2
3 1 3
3/ 1
3/ · 3 ·1 3 1·0 0
3/ 3 1 3
xyz x x
yx x x
xyz
xz y y xyz xyz y xyz y
xy z z xyz z z
= = = = . Notemos que el último
determinante es cero al tener 2 columnas proporcionales (propiedad 7)
b)
(
)
2 2
3
2 2
1 1 1
x xy y
x x y+ y = x y− . Solución: Aplicando la propiedad 9 sobre las
columnas, se obtiene:
2 2
2 2 1
3 3 1
2 2
1 1 1
x xy y C C C
x x y y
C C C
↔ −
+ = =
↔ −
2 2 2 2
2 (2 ) 2 2
1 0 0
x xy x y x
x x y x y x
− −
+ − − =
Multiplicamos por (-1) la segunda y tercera columna, sacamos factor común y
nos queda
2 ( ) ( )·( )
( 1)·( 1) 2 2( )
1 0 0
x x x y x y x y
x x y x y
− − +
= − − − − .
Ahora sacamos (x-y) factor de la segunda y tercera columna (propiedad 2)
[
]
2 2
3 3 2
( ) ·2 1 2 2
1 0 0
x x x y
x y x C C C
+
− = ↔ −
2 2
( ) ·2 1 0
1 0 0
x x y x
x y x
−
Sacamos (x-y) factor común de la tercera columna y queda 2
3
1 ( ) ·2 1 0
1 0 0 x x
x y x
−
− =(x y− )3. Este último determinante vale uno. ¿Por qué?
4.2.3. CÁCLULO DE UN DETERMINANTE POR LOS ELEMENTOS DE UNA LÍNEA
El cálculo de determinantes haciendo uso de la definición se convierte en tarea tediosa compleja. Se hace necesario estudiar algún procedimiento que facilite dicho cálculo. Para ello es preciso describir previamente algunos conceptos:
Para una matriz cuadrad de orden n, A = (aij), se llama menor complementario del elemento aij , y lo representamos por αij al determinante de la matriz cuadrada de orden (n – 1) que resulta de suprimir la fila i y la columna j.
Ejemplo 4: En la matriz
1 2 3 0 5 6 3 2 4 A
=
−
los menores complementarios de los
elementos a11 y a13, son respectivamente:
11
5 6 32 2 4
α = =
− 13
0 5 15 3 2
α = = −
−
Para una matriz cuadrada de orden n, A = (aij), se llama adjunto del elemento aij y se representa por Aij, al menos complementario de aij anteponiendo el signo más o el signo menos según sea la duma de los subíndices i + j sea para o impar:
( 1) ·i j
ij ij
Ejemplo 5: Para los menores anteriores los adjuntos serán: A11 = (-1)1 + 1·32 = 32 A13 = (-1)1 + 3 ·(-15) = -15
La propiedad siguiente nos permite el cálculo práctico de un determinante de cualquier orden, teniendo en cuenta los conceptos anteriores y reduciendo el orden del determinante una unidad:
El determinante de una matriz cuadrada de orden n es igual a la suma de los productos de los elementos de una fila (columna) cualquiera por sus adjuntos respectivos.
Ejemplo 6: Para la matriz
1 2 3 0 5 6 3 2 4 A
=
−
. Elegimos una fila o columna, por ejemplo
la primera columna, entonces detA a A a A= 11· 11+ 21· 21+a A31· 31. Calculamos los adjuntos y entonces ya podemos obtener el valor del determinante.
4.2.4. OTROS PROCEDIMIENTOS PARA EL CÁLCULO DE DETERMINANTES
• MÉTODO DE CHÍO. Conocido también como procedimiento de hacer ceros, cosiste en utilizar las propiedades de los determinantes y en especial la propiedad 9, para convertir en cero el mayor número posible de elementos de una misma fila o columna. Posteriormente se desarrolla el determinante por la línea de ceros.
Ejemplo 7: Calcular el determinante de la matriz
1 2 3 0 5 6 3 2 4 A = −
por lo métodos
anteriores.
Por el MÉTODO DE CHIO
−2 4
3 6 5 0 3 2 1 →
F3 ↔F3 −3·F1
−
−8 5
0 6 5 0 3 2 1
, Si desarrollamos por la primera
fila tenemos que: detA=1·A11−0·A21+0A31 25 ( 48) 23 5
8 6 5 ·
1 =− − − =
− − =
Por el MÉTODO DE GAUSS
Si partimos de la matriz después de hacer el cambio en el método anterior; es
decir: −
−8 5
0 6 5 0 3 2 1
solo tendremos que buscar un cero en la posición fila 3,
columna 2. −
−8 5
0 6 5 0 3 2 1 → +
↔ 3 2
3 F 58F F 5 23 0 0 6 5 0 3 2 1
Y, por lo tanto, el
determinante será la multiplicación de los elementos de la diagonal principal, es decir: 23
4.2.5 MATRIZ INVERSA
En el tema anterior, dijimos que para una matriz cuadrada A puede existir otra matriz, que llamábamos matriz inversa de A, y representábamos por A-1, que cumple que:
1 1
· ·
A A− =A A I− =
• La condición necesaria y suficiente para que una matriz posea matriz inversa, es decir, que sea una matriz inversible, es que su determinante sea distinto de cero.
• La matriz inversa de una matriz inversible coincide con la traspuesta de la matriz adjunta dividida por el determinante de la matriz dada:
(
)
1 1 · ( )
det
t
A− = A Adj A
Ejemplo 8: Calcular la inversa de las matrices siguientes 2 7
1 3
A= − −
1 0 0 4 1 0 3 1 1
B
=
y
1 2 3
5 0 6
3 6 9
C
−
=
−
En primer lugar, para la matrizA vamos a calcular su determinante: 0
1 7 6 A
det =− + = ≠ ; Es decir admite matriz inversa. Calcularemos ahora todos los adjuntos:
3
A11 =− A12 =−(−1) A21 =−
( )
7 A22 =2La matriz inversa es por lo tanto:
− −
=
− − =
−
2 1
7 3 2
7 1 3 1 1 A
t 1
Hagamos lo mismo para la matriz B 1
1 · 1 · 1
Calcularemos ahora todos los adjuntos: 1 1 1 0 1 B11 = =
4 1 3
0 4
B12 =− =−
1 3 4 1 3 1 4
B13 = = − =
0 1 1
0 0 B21 =− =
1 1 3
0 1 B22 = =
1 1 3
0 1
B23 =− =−
0 0 1
0 0 B31 = =
0 0 4
0 1 B32 =− =
1 1 4
0 1 B33 = =
La matriz inversa es por lo tanto
− − = − − = − 1 1 1 0 1 4 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 4 1 1 1 B t 1
Ahora para la matriz C
Aplicamos la regla de Sarrus para determinar su determinante
0 90 36 0 36 90 0
C = − − +− + + = Por lo tanto no tiene matriz inversa
Ejemplo 9: Dada la matiz
− = 1 0 1 0 m 3 4 1 m
A , averigua para qué valores de m la
matriz no tiene inversa. Calcular la inversa para m = 0.
En primer lugar, sabemos que no admiten inversa aquellas matrices cuyo determinante es nulo, por lo tanto vamos a calcularlo (por la regla de Sarrus)
3 m 4 m 3 0 m 4 0 0 m 1 0 1 0 m 3 4 1 m 2
2 + + + − − = + −
= −
Y valdrá cero para aquellos valores de m que verifiquen la ecuación: m2 +4m−3=0
Resolvemos 2 2 3
2 3 4 4 2 48 4 2 ) 12 ( 16 4
Para dichos valores no hay inversa, pero si la hay para cualquier otro. En particular para m = 0 que pide el ejercicio.
A partir del polinomio anterior se tiene que detA=02 +4·0−3=−3≠0 Calculemos ahora los adjuntos
0 0 0
4 1 A11 = =
3 1 1
0 3
A12 =−
− − = 0 0 1 0 3
A13 =
− = 1 1 0 4 1
A21 =− =−
4 1 1
4 0
A22 =
− − = 1 0 1 1 0
A23 =−
− − = 0 0 0 4 1 A31 = =
12 0 3
4 0 A32 =− =
3 0 3
1 0
A33 = =−
La matriz inversa será entonces
− − = − − − − − = − − − 1 0 3 1 0 0 3 12 0 1 4 1 0 3 0 · 3 1 A 3 13 43 1 1 1
4.2.6. RANGO DE UNA MATRIZ
El rango o característica de una matriz es el número de filas o de columnas distintas de cero e independientes.
Por ejemplo para la matriz 1 2 5 0 3 6 A=
, las filas o columnas pueden ser
consideradas como vectores. Así los vectores fila son f1 =
(
1 2 5)
y f2 =(
0 3 6)
ylos vectores columna son 1 1 0 c =
, 2
2 3 c =
y 3
5 6 c =
. El rango de una matriz es el
número de vectores fila o vectores columna que son independientes y distintos de cero. Es fácil ver que la columna tercera no es independiente por que c3 =c1+2c2 y por lo tanto, el rango de la matriz es 2.
los elementos que pertenecen a k filas y a k columnas. Así, llamaremos rango o característica de A al orden k del mayor menor distinto de cero.
Así en el caso de la matriz A citada anteriormente fijémonos que el menor 1 2
3 0 3 0
0 3 = − = ≠ Y que no podemos obtener un menor de orden 3 de la matriz, es
por lo que el rango de A es 2 (rangA = 2).
Ejemplo 10: Calcular el rango de las siguientes matrices: 1 3
0 2
5 2
2 3 A
−
=
−
−
El menor de orden más grande posible tiene que ser de orden 2 ya
que solo hay 2 columnas, si elegimos por ejemplo 2 0 2
0 3 1
≠ − =
− . Por lo tanto
diremos que el rango de A es 2 y se escribe rangA=2
− −
− −
=
2 4 1
3 1 1
0 1 2
3 2 1
B El menor de orden más grande posible tiene que ser de orden 3
ya que solo hay 3 columnas. Si elegimos por ejemplo: 0 3 1 1
0 1 2
3 2 1
= −
−
sin más que
fijarnos que la suma de la primera fila y la tercera es igual a la segunda (propiedad 8 de los determinantes) Esto no significa que el rango ya no sea 3, puesto que hay que comprobarlo con TODOS LOS MENORES DE ORDEN 3, y que si por ejemplo elegimos el menor
0 33 8 0 3 0 24 2 2 4 1
0 1 2
3 2 1
≠ − = − − − + − = −
−
− − − − = 7 1 8 3 7 1 3 2 1 3 4 1 2 2 3 1
C El menor más grande posible es de 4 x 4 que
habitualmente requiere un cálculo tedioso. Nos basaremos en el siguiente resultado para determinar su rango: “Si todos los orlados de un menor son igual a cero, entonces todos los menores del mismo orden que los orlados son también cero”
Elegimos entonces un menor de orden 2, el que queramos 4 3 1 4 1 3 1 = − =
El rango es por lo menos 2, para ver si es tres hay que comprobarlo con los menores de orden 3, pero NO ES NECESARIO HACERLO CON TODOS, SINO CON LOS ORLADOS DEL QUE YA HEMOS CALCULADO
Por ejemplo 4 6 18 16 9 3 0 1 3 2 3 4 1 2 3 1 = − − − − − = 0 21 3 16 6 6 28 7 3 2 1 4 1 2 3 1 = + + + − − − = − − − 0 4 3 24 24 27 16 4 1 8 3 3 4 1 2 3 1 ≠ − = − − − + + =
Entonces el rango es al menos 3. Para comprobar si es cuatro no nos queda más remedio que desarrollar el determinante 4 x 4
1 5 1 0 3 3 3 0 1 1 1 0 2 2 3 1 F 3 F F F 2 F F F F F 7 1 8 3 7 1 3 2 1 3 4 1 2 2 3 1 1 4 4 1 3 3 1 2 2 − − − − − − − = − ↔ − ↔ − ↔ = − − − −
Y este determinante
4.3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
4.3.1 CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Se llama sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas al conjunto formado por m ecuaciones lineales con las mismas n incógnitas en cada una de ellas. Puede escribirse en la forma:
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2 ...
...
... ...
n n n n
m m mn n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
+ + + =
+ + + =
+ + + =
En el sistema anterior, se llama:
• Coeficientes del sistema a los números reales aij
• Términos independientes a los números reales bj
• Incógnitas a los términos x1, x2, ………, xn
Al resolver un sistema intentamos encontrar las posible soluciones del mismo., Éstas son los valores x n x1= 1, 2 =n2, ...,xn =nn de las incógnitas que convierten las
igualdades del sistema en identidades numéricas. Además, decimos que dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
Los sistemas de ecuaciones lineales suelen clasificarse atendiendo a los siguientes criterios
Según el valor de los términos independientes, los sistemas pueden ser:
• Homogéneos, si todos los términos independientes son cero
• No homogéneos, si algún término independiente en distinto de cero. Según su solución, los sistemas pueden ser:
• Incompatibles, si no tienen solución
• Compatibles, si tienes solución
Determinados, si la solución es única
En el estudio y posterior resolución de un sistema de ecuaciones lineales es conveniente adoptar notaciones que simplifiquen la escritura.
Expresión Matricial
En un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, podemos definir las siguientes matrices:
Matriz de los coeficientes
11 12 1
21 22 2
1 2
n n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
=
L L
L L L L
L
Matriz ampliada
11 12 1 1
21 22 2 2
*
1 2
n n
m m mn n
a a a b
a a a b
A
a a a b
=
L L
L L L L L
L
Matriz de las incógnitas
1 2
n
x x X
x
=
L
Matriz de los términos
independientes: 1 2
n
b b B
b
=
L
El sistema en forma matricial se escribe en la siguiente forma: A · X = B
EXISTENCIA DE SOLUCIONES
En el estudio de un sistema de ecuaciones lineales, la primera cuestión a la que hay que dar respuesta es: ¿el sistema tiene solución? Una respuesta afirmativa dará paso a la resolución por alguno de los métodos que veremos después, pero si la respuesta es negativa, nuestro trabajo con el sistema ha concluido.
El resultado que ofrece condiciones necesarias y suficientes para la existencia de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales es el siguiente:
Teorema de Rouchè-Fröbenius
Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es compatible (tiene solución) si, y solo si, el rango de la matriz de los coeficientes coincide con el rango de la matriz ampliada.
• ran A( )≠ran A( )* , entonces el sistema es incompatible
• rang A( )=rang A( )* =r , entonces el sistema es compatible o Si r n= , entonces el sistema es determinado o Si r n< , entonces el sistema es indeterminado
Ejemplo 1: Estudia la existencia de soluciones del sistema de ecuaciones lineales dependiendo del parámetro “a”:
2 1 ax y a x ay
+ =
+ =
En primer lugar calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes:
2 1
1 1
a a
a = − . Los posibles valores del determinante nos llevan a la siguiente conclusión:
• Si a ≠1, a≠ −1, el determinante es no nulo y por lo tanto rang A( ) 2= . Además, como la matriz ampliada es de orden 2 x 3, no puede tener rango 3 y necesariamente coincide con el rango de la matriz A. El sistema es compatible determinado (Fijémonos que el valor del rango coincide con el número de incógnitas)
• Si a =1Entonces rang A( ) 1= . La matriz ampliada estará compuesta por dos filas de unos, por lo tanto, su rango será 1 también. El sistema es compatible, pero indeterminado (Fijémonos que el rango es menor que el número de incógnitas)
• Si a = −1el rango de A es uno, pero veamos qué ocurre con la matriz ampliada:
1 1 1
* 1 1 1
A = − −
, en la cual el menor:
1 1
1 ( 1) 2 0
1 1 = − − = ≠
− es decir que el
Ejemplo 2: Estudia la existencia de soluciones del sistema de ecuaciones lineales dependientes del parámetro “m”
2 0
1
3 2 1
x y z mx y z m
x mz m
+ − =
− − = −
− = −
En primer lugar tenemos que saber cuánto valen los rangos tanto de la matriz A como el de la matriz ampliada
6 m 4 m 2 m 2 3 3 0 m 4 m 2 0 3
1 1 m
1 1 2 A
det = + − − + 2 = 2 + −
− − −
− =
Si igualamos a cero este resultado y calculamos las soluciones tenemos que los valores posibles de m son 1 y -3. Es decir
Si m es diferente de 1 ó -3 (m≠1 m≠−3) El determinante no vale cero, con lo cual quiere decir que el rango de la matriz es 3. Obviamente, el de la matriz ampliada no puede ser mayor puesto que el número de filas es precisamente 3 y también e número de incógnitas es 3 por lo que es sistema es COMPATIBLE DETERMINADO.
Si m = 1. El rango de la matriz tiene que ser menor que 3. El sistema se transforma en el siguiente:
= −
= − −
= − +
0 z 2 x 3
0 z y x
0 z y x 2
Elegimos el menor 2 1 3 0 1
1 1 2
≠ − = − − =
− . Es decir la matriz
Si m = -3 El rango de la matriz tiene que ser menor que 3 y el sistema queda transformado en el siguiente:
− = +
− = − − −
= − +
4 z 6 x 3
4 z y x 3
0 z y x 2
Elegimos el menor 2 3 1 0 1
3 1 2
≠ = + − = −
− . Y por lo tanto, el
rango es 2. La matriz ampliada es
− − − − −
−
4 6 0 3
4 1 1 3
0 1 1 2
Si elegimos el meno orlado
del anterior: 8 0 12 0 0 12 16 0 4
0 3
4 1 3
0 1 2
≠ − = − − − − + = − − −
− Es decir, el rango de
la matriz ampliada es 3 y, por lo tanto, no coinciden los rangos y el sistema es INCOMPATIBLE.
SISTEMAS EQUIVALENTES:
Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Las siguientes transformaciones permiten pasar de un sistema a otro equivalente:
I. Si una ecuación de un sistema se multiplica por un número distinto de cero, se obtiene un sistema equivalente al primero.
II. Si una ecuación de un sistema se sustituye por la suma de ella con otras ecuaciones del sistema previamente multiplicadas por números cualesquiera, se obtiene un sistema equivalente al primero
III. Si un sistema de ecuaciones se despeja una incógnita y la expresión resultante se sustituye en las demás ecuaciones, el sistema que resulta es equivalente al primero
No debe olvidarse que: si dos sistemas de ecuaciones son equivalentes, entonces tienen el mismo número de incógnitas, aunque no es necesario que tengan el mismo número de ecuaciones
4.3.2 MÉTODOS DE RESOLUCIÓN MÉTODO DE GAUSS
Consiste en obtener mediante operaciones elementales en las filas de una matriz, un sistema equivalente al dado cuya primera ecuación tenga n incógnitas, la segunda n-1 incógnitas, la tercera n-2, y así sucesivamente hasta llegar a la última que deberá tener 1 incógnita.
Ejemplo 3: Resolver si siguiente sistema por el método de GAUSS 3
3 4 5
2 3 1
x y z
x y z
x y z
+ − =
+ − =
+ + = −
Expresamos el sistema mediante la matriz ampliada: 1 1 1 3
3 4 1 5 1 2 3 1
−
−
−
2 2
3 3 1 1
1 1 1 3
3 0 1 2 4
0 1 4 4 F F F
F F F
−
↔ − −
↔ −
−
→
3 3 21 1 1 3
0 1 2 4
0 0 2 0 F F F↔ − −
→ −
−
Escribimos ahora el sistema equivalente resultante que será: 3
2 4
2 0
x y z y z z
+ − =
+ = −
− =
, Ahora podemos obtener z de la tercera ecuación que será z = 0
Sustituyendo el valor en las dos ecuaciones anteriores tenemos: 3
4 x y
y
+ =
= −
Si sustituimos ahora el valor de y, obtenemos el de x = 7.
MÉTODO MATRICIAL O DE LA MATRIZ INVERSA
Como se vio con anterioridad, todo sistema de ecuaciones lineales puede expresarse a través de matrices de la siguiente forma: A · X = B.
En el caso de que la matriz de los coeficientes A, tenga inversa, podemos multiplicar la igualdad matricial anterior por A−1 y obtenemos:
1·( · ) 1· · 1· 1·
Ejemplo 4: Vamos a resolver el sistema del ejemplo 3, por este método:
Vamos a expresar el sistema en su forma matricial
− = − − 1 5 3 z y x · 3 2 1 1 4 3 1 1 1
Y todo consiste en calcular la matriz inversa de los coeficientes
=
A
det 12 6 1 4 2 9 2 0
3 2 1 1 4 3 1 1 1 ≠ = − + + − − = − −
Calculamos ahora los adjuntos:
14 3 2
1 4
A11 = − =
10 3
1 1 3
A12 =− − =−
2 2 1
4 3 A13 = =
5 3 2
1 1
A21 =− − =−
4 3 1
1 1
A22 = − =
1 2 1
1 1
A23 =− =−
3 1 4
1 1
A31 =
− − = 2 1 3 1 1
A32 =−
− − − = 1 4 3 1 1 A33 = =
La matriz inversa es
− − − − = − 1 1 2 2 4 10 3 5 14 · 2 1
A 1 y no efectuaremos la división para
no poner muchas fracciones.
La solución del sistema es:
− = − = − − − − − = 0 4 7 0 8 14 2 1 1 5 3 · 1 1 2 2 4 10 3 5 14 · 2 1 z y x
REGLA DE CRAMER
Se llama sistema de Cramer a los sistemas de ecuaciones lineales que tienen el mismo número de ecuaciones que de incógnitas (m = n) y además el determinante de las matriz de los coeficientes es no nulo (detA≠0). Los sistemas de Cramer son por definición compatibles, ya que el rango de la matriz de los coeficientes coincide con el rengo de la matriz ampliada y vale n. Además es determinado, es decir, tiene solución única al coincidir el valor del rango con el número de incógnitas.
La solución única de los sistemas de Cramer se obtiene poniendo en práctica la regla que sigue:
La solución única de un sistema de Cramer se obtiene, para cada una de las incógnitas, dividiendo el determinante de la matriz que resulta de sustituir, en la matriz de los coeficientes, la columna que corresponde a los coeficientes de la incógnita que se calcula por la que forman los términos independientes, por el determinante de la matriz de los coeficientes.
Ejemplo 5: Resolver aplicando la regla de Cramer el sistema siguiente:
2 0
3 7 1
x y
x y
+ =
+ =
En primer lugar vemos que es un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas, para comprobar si es un sistema de Cramer tenemos que calcular el determinante:
1 2
3 7 = − = ≠7 6 1 0
Entonces la solución es: 0 2
1 7 2 2
1 2 1 3 7
x = = − = −
1 0 3 1 1 1 1 2 1 3 7
y = = =
Ejemplo 6: Resolver mediante la regla de Cramer, el sistema: 5 13
3 2 12
2 9
x y z x y z x y z
− + =
− + =
+ + =
El sistema es de Cramer porque además de ser de orden 3 x 3, tenemos: 1 1 5
3 2 1 4 15 1 10 1 6 25 0 1 1 2
−
− = − + − + − + = ≠
Aplicando la regla de Cramer, la solución es: 13 1 5
12 2 1
9 1 2 100 4
25 25
x
− −
= = =
1 13 5 3 12 1
1 9 2 25 1
25 25
y = = =
1 1 13 3 2 12
1 1 9 50 2
25 25
z
− −
= = =
4.3.3. SISTEMAS HOMOGÉNEOS
Los sistemas denominados homogéneos son un caso particular de los sistemas de ecuaciones lineales. Son aquellos en los que todos los términos independientes son nulos. Una de las características más relevantes de estos sistemas es que todos ellos son compatibles, es decir, siempre tienen solución, ya que la última fila de la matriz ampliada tiene todos sus elementos nulos, lo cual deja invariable el rango de la matriz de los coeficientes. Al ser todos los sistemas homogéneos compatibles, tienen siempre como una de sus soluciones, la solución x1 =0,x2 =0, ,K xn =0, la
cual se denomina trivial o impropia. Esta solución carece de interés práctico en las situaciones que se resuelven con estos sistemas.
Ejemplo 7: Estudia y resuelve el siguiente sistema:
2 0
3 0
x y x y
− =
+ =
El sistema es homogéneo, por lo tanto ya sabemos que es compatible, es decir, *
rangA rangA= veamos si es determinado o no. Para ello vamos a calcular el rango de la matriz A.
2 1
2 ( 3) 5 0 3 1
−
= − − = ≠ Es decir, el rango de A es 2, igual que el número de incógnitas
Ejemplo 8: Estudia y resuelve el sistema:
3 3 0
2 3 0
3 2 0
x y x
x y z x y
− + =
+ − =
− =
El sistema es homogéneo, por lo tanto es compatible. Vamos a ver si es determinado o no, para ello analizaremos el rango de la matriz de los coeficientes:
1 3 3
2 1 3
3 2 0
− − −
0 12 27 9 6 0 0
= − + − − − = , Es decir el rango de A no es 3.
Analizaremos ahora los menos de orden 2 para ver si el rango puede ser 2.
1 3
1 ( 6) 7 0 2 1
−
= − − = ≠ Es decir, el rango de A es 2 y el sistema es compatible pero
indeterminado.
Para resolverlo adaptaremos el método de Cramer de la siguiente forma:
En primer lugar consideraremos incógnitas a aquellas que forman parte del menor que nos da el valor del rango, en este caso son: x e y. Por lo tanto la incógnita z, la pondremos en el segundo miembro de las ecuaciones y le daremos carácter de término independiente: Así, el sistema quedará de la forma:
3 3
2 3
3 2 0
x y z
x y z
x y
− = −
+ =
− =
.
Pero como el rango es 2, nos sobra una ecuación, pues eliminaremos aquella que no forma parte del determinante que nos determina el rango; en este caso, la última ecuación. Y el sistema quedará:
3 3
2 3
x y z
x y z
− = −
+ =
3 3
3 1 3 9 6 6·
1 3 1 ( 6) 7 7
2 1 z
z z z z
x z
− −
− +
= = = =
− − −
1 3
2 3 3 6 9·
7 7 7
z
z z z
y z
−
+
= = =
Dando valores a z vamos obteniendo todas las soluciones posibles del sistema. Frecuentemente la solución suele expresarse de la forma:
6· 9· 7· x y z
EJERCICIOS
1) Dadas las matrices 1 2 2 3 A= −
,
0 3 1 2 B =
y
1 3
0 2
C = − −
, calcular:
a) A B C+ −
b) A B C− +
c) 2A−3B d) A−2B +3C 2) Hallar la matriz A que satisface la igualdad: 3· 1 5 6 1 0 4
2 8 4 2 7 3 A
= +
−
3) Calcula los productos posibles entre las matrices
1 2 3 1 1 1 0 1 1 A
=
−
, 1 2 1 B
=
y
2 1 0 3 4 5 C =
4) Determinar las matrices X e Y si se cumple: 2 5 12 7 4 2 7
X Y+ =
y
11 25 0
3 2
20 10 35 X + Y =
5) Dadas las matrices A= −2 41 3
y
4 0 2 3 1 1 B = −−
, halla las matrices traspuestas
de cada una de ellas y comprueba que se cumple que
(
A B·)
t =B At· t6) Dada la matriz 0 1 a A= b
, ¿para que valores de a y b es cierto que A
2 = A?
7) ¿Es conmutativo el producto de matrices? Si la respuesta es afirmativa, demuéstralo; si es negativa, da un ejemplo que lo ponga de manifiesto? ¿Qué matrices conmutan con la matriz 1 2
0 1
?
8) Halla la matriz X2+Y2, si X e Y son dos matrices cuadradas, verificando:
a) 5 3 2 0 4 15 X + Y =
−
b)
1 1
3 2
2 9 X + Y = −
−
9) ¿Es posible que para dos matrices A y B no cuadradas pueda existir AB y BA? 10) Resuelve la ecuación AX B C− + =0, siendo: 4 1
1 0 A= −
,
1 2 0 1
2 1 1 0 B = − − −
,
11) Dada la matriz
1 2 3
5 0 6
1 2 4
A
−
=
− −
, calcula su determinante:
a) Por la regla de Sarrus
b) Desarrollando por la primera fila c) Desarrollando por la segunda columna.
12) Halla el determinante de la matriz
2 5 3 2
2 3 2 5
1 3 2 2
1 6 4 3
A
− −
− − −
=
−
− −
utilizando el método de
Chío.
13) Calcula el valor de los determinante siguientes:
a) 3
3 3
3 x x x
x x x
x x x
x x x
b)
1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1
c)
1 1 1 1 2 2 2 0 3 3 0 0 4 4 3 1
d) 0
0 0
0 a b c
a c b
b c a
c b a
e)
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
a a
a a
+ −
+ −
14) Calcula las matrices inversas de las siguientes matrices:
1 2
3 4 A= − −
2 1 4
4 1 2
5 5 0 B
−
= − −
1 2 2 1 2 3 1 3 2 C
=
0 3
1 2 D= − −
15) Sabiendo que 3 0 2 5 1 1 1 a b c
= , calcula sin desarrollar los siguientes determinantes:
a)
2 2 2
3/2 0 1
1 1 1
a b c
b) 3 3 3 3 2
1 1 1
a b c
a b c
a b c
+ +
+ + +
c)
1 1 1
4 1 3
1 1 1
16) Dada la matriz
1 0 1
0 3 4 1 A m m − =
, averigua para qué valores del parámetro m,
existe A-1. Calcular la matriz inversa para m = 2.
17) Determina, según los valores de a, el rango de las siguientes matrices:
a)
1 2 3 7 1 1 2 3 A a = b)
3 1 4 6 1 1 4 4 1 0 4 B a − = −
18) Comprueba que el determinante de A vale 0 y el determinante de B es divisible por 5, sin calcularlos, a partir de las propiedades de los determinantes:
a) 2/5 38 25 402 0 27 0 A − = −
b) 5 2 14 7 6
6 3 9 B =
19) Calcula el rengo de las siguientes matrices:
a)
1 3 0 1 2
0 5 1 2 3
3 1 2 1 0 3 11 4 5 6 A − = − − − − b)
4 2 1 5 3
2 3 2 6 5
6 5 3 12 8 12 10 6 23 16 B =
20)Escribe dos matrices A y B cuadradas de orden 2 tales que; a) det(A B+ ) det≠ A+detB
b) detA B+ ) det= A+detB
21) Resuelve los siguientes sistemas
a)
7 2 12
2 0 2 3 x y x x y − = − = − = b) 1 7 5 5 x y x y x y − = − + = − =
22)Resuelve los siguientes sistema:
a)
1 1 1 x y z x y z x y z
+ − = − + = − + + = b) 1 2 3 x y y z x z + = + = − + = c) 3 2 4
4 2 5
x y z x y z
x y z
+ + = − + = + + =
23)Dado el sistema de ecuaciones lineales
3 2 3 2
4 3 1
5 6 5
x y z
x y z
x y z
− + = − + = − + − =
24)Resuelve matricialmente el sistema de ecuaciones siguiente:
2 0
3 7
x y z y z
x y
+ − =
− =
+ =
25)Dado el sistema siguiente, que está en función de un parámetro 2
2·( 1) x my z m
x y mz m
mx y z m
+ + = +
+ + = − +
+ + =
a) Estudia si tiene o no soluciones en función del valor del parámetro m b) Resuélvelo por la regla de Cramer para m= −1
26)Discute y resuelve el siguiente sistema:
0 0 0
5 0
x y z x y z x z
x y mz
+ + =
− + =
+ =
− + =
27)Dado el sistema homogéneo
3 0
3 2 0
4 0
x y z x y kz
x y z
+ − =
+ + =
− − =
a) Indica para qué valores de k admite solución distinta de la trivial
b) Resuelve el sistema anterior para un valor de k que lo haga compatible indeterminado.
28)Dado el sistema de ecuaciones lineales 2
2 1
2 x y m x y x my
+ =
− + = −
− = −
, discútelo para los
distintos valores del parámetro y resuélvelo cuando sea compatible.
29)Discute en función del parámetro “a” el siguiente sistema: 4
1 2 ax y z
x ay z x y z a
+ + =
− + =
+ + = +
¿Existe algún caso en que el sistema es compatible
indeterminado? En caso afirmativo, resuélvelo.
30)Discute, según los valores del parámetro m, el siguiente sistema de ecuaciones: 2
1
3 1
6 3
mx y z m x y z
x y z
x y z m
+ + =
− + =
− − =
− + =
