ejercicios repaso primer examen

Ejercicios de repaso primer examen.

Nombre y apellidos:...

1.-

f(x) =  

 x2

−ax+ 4b si x≤1 b

x+ 2x+a si x≥1

Calcular el valor deaybpara que la función sea continua y derivable en todo su dominio.

Las funciones que componenf son polinómicas por tanto son funciones continuas y derivables en todo

R.

Estudiaremos la continuidad enx= 1para ello calculamos

l´ım

x→1f(x)

l´ım

x→1+f(x) = l´ımx→1+

b

x+ 2x+a

=b+ 2 +a

l´ım

x→1−

f(x) = l´ım

x→1−

(x2₋ax+ 4b) = 1−a+ 4b

Para que existe el límite deben coincidir los límites laterales por tanto

b+ 2 +a= 1−a+ 4b

Estudiamos la derivabilidad enx= 1para ello.

f′ (x) =

  

2x−a si x <1

−b

x2 + 2 si x >1

f′ (1+

) =−b+ 2 = 2−a=f′ (1−

)

Por tanto planteamos un sistema

(

b+ 2 +a= 1−a+ 4b

−b+ 2 = 2−a =⇒ b=a

a+ 2 +a= 1−a+ 4a =⇒ 2a+ 2 = 1 + 3a =⇒ a= 1

b= 1

2.-

a₎ f(x) = (2x−3)7_+e11x

f′

(x) = 7(2x−3)6

·2 + 11·11e11x

= 14(2x−3)6

+ 11·11e11x

b_{) f(x) = 4x}2_ln(1 −x)

f′

(x) = 8xln(1−x) + 4x2 1

1−x(−1) = 8xln(1−x)−

4x2 1−x

c_{) f(x) =} 3x 2

x₋6

f′

(x) =6x(x−6)−3x 2

·1 (x₋6)2 =

3x2

−36x

(x₋6)2

3.-

+ 8x

a_{) Calcular las coordenadas del punto en el que la recta tangente es paralela a la recta}y= 2x

m= 2 =f′

(x) =⇒ f′

(x) = 2x+ 8 = 2 =⇒ x=−3

A(−3, f(−3)) = (−3,−15)

b_{) Calcular la ecuación de dicha recta tangente.}

y−f(−3) = 2(x+ 3) =⇒ y+ 15 = 2x+ 6 =⇒ y= 2x−9

4.-

f(x) =     

   

2x+ 1

x₋3 si x≤0 x2

x₋1 si x >0

a_{) Calcula su dominio.}

D=R_{− {1}}

b_{) Estudia su continuidad.}

Las funciones que componen f son funciones continuas en D por tanto debemos estudiar la continuidad enx= 0, para ello calculamos

l´ım

x→0f(x)

l´ım

x→0+f(x) = l´ımx→0

x2

x₋1 = 0

l´ım

x→0−

= l´ım

x→0−

2x+ 1

x−3 =− 1 3 Los límites laterales no coinciden por tanto

l´ım

x→0+f(x)6= l´ımx→0−

f(x) =⇒ ∄l´ım

x→0

f(x)

y la función no es continua enx= 0. La función es continua enR_{− {0},1}

c_{) Calcula las asíntotas.}

Asíntota vertical enx= 1

l´ım

x→1+

x2

x−1 = +∞

l´ım

x→1−

x2

Asíntota horizontal

l´ım

x→∞

x2

x₋1 = +∞

l´ım

x→−∞ 2x+ 1

x−3 = 2

La función presenta una asíntota horizontal eny= 2cuandox_{→ −∞}Asíntota oblicua

m= l´ım

x→∞

x2

x−1

x = l´ımx→∞

x2

x2

−x = 1

n= l´ım

x→∞

x2

x₋1 −x

= l´ım

x→∞

x2

−x2 +x

x₋1 = l´ımx→∞

x x₋1 = 1

Tiene una asíntota oblicua eny=x+ 1cuandox_→+∞

5.-

a_{) l´ım}

x→2

x3

−7x+ 6 x2_+x−6

l´ım

x→2

x3

−7x+ 6

x2_+x−6 = 0 0 Aplicamos L’Hôpital

l´ım

x→2

3x2

−7 2x+ 1 =

5 5 = 1

b_{) l´ım}

x→1

1 x₋1 −

2 x2₋₁

l´ım

x→1

1

x₋1 − 2

x2₋₁

=∞ − ∞

l´ım

x→1

₁

x−1−

2 (x−1)(x+ 1)

= l´ım

x→1

_{x+ 1} (x+ 1)(x−1)−

2 (x−1)(x+ 1)

=

l´ım

x→1

x−1 (x+ 1)(x₋1)

= l´ım

x→1 ₁

x+ 1

= 2

c_{) l´ım}

x→∞ _2x2 −6 2x2 3x l´ım x→∞ ₂ x2 −6 2x2

3x

= 1∞

e l´ım x→∞ ₂ x2 −6 2x2 −1

3x = e l´ım x→∞

2x2

−6−2x2 2x2

3x =e l´ım x→∞ −6 2x2

3x

=exl´ım→∞

−9

x ₌e0 = 1

6.-

f(x) = (x−1)

2

a_{) Determínense las asíntotas.}

Determinamos el dominio

D=R_{− {−2}}

Asíntota vertical enx=−2

l´ım

x→−2

(x−1)2

x+ 2 = 9 0 =±∞

l´ım

x→−2+

(x₋1)2

x+ 2 = 9

0 = +∞ x→−2l´ım−

(x₋1)2

x+ 2 = 9 0 =−∞ La función tiene una asíntota vertical enx=−2.

Asíntota horizontal

l´ım

x→+∞

(x₋1)2

x+ 2 = +∞ x→−∞l´ım

(x₋1)2

x+ 2 =−∞

Los límites son infinito por tanto no tiene asíntota horizontal. Asíntota oblicuay=mx+n

m= l´ım

x→+∞

f(x)

x = l´ımx→+∞

(x₋1)2

x+ 2

x = l´ımx→+∞

(x−1)2

x2_{+ 2x} = 1

l´ım

x→+∞(f(x)−mx) = l´ımx→+∞

(x₋1)2

x+ 2 −x

= l´ım

x→+∞

x2

−2x+ 1−x2

−2x x+ 2

l´ım

x→+∞

−4x+ 1

x+ 2 =−4

La asíntota oblicua sería la misma cuandox→ −∞, por tanto, la función presenta una asíntota eny=x₋4 cuandox_{→ ±∞}

b_{) Estudia la monotonía y los extremos relativos.}

Hallamos la derivada de la funciónf(x) = (x−1) 2

x+ 2 por tanto

f′

(x) =2(x−1)(x+ 2)−(x−1) 2

·1 (x+ 2)2 =

(x₋1)(2x+ 4−x+ 1) (x+ 2)2 =

(x₋1)(x+ 5) (x+ 2)2

Igualamos la derivada a 0 para obtener los extremos relativos

f′

(x) = 0 =⇒ (x−_(x1)(_{+ 2)}x+ 5)2 = 0 =⇒ (x−1)(x+ 5) = 0 =⇒ x= 1 x=−5

Estudiamos el signo de la derivada primera para estudiar la monotonía

−5 −2 1

f′

(x) + + + + + 0 − − − − − − − ∄ _{− − − − −−} 0 + + + + + + +

ր máximo ց AV ց mínimo ր

La función es creciente en(−∞,₋5)∪(1,+∞)

La función es decreciente en(−5,−2)∪(−2,1)

7.-

f(x) =4−2x x2

Hállense los puntos de inflexión y los intervalos de concavidad y de convexidad. (1,5 puntos)

Hallamos la derivada segunda de la funciónf(x) = 4−2x

x2

f′

(x) = −2x 2

−(4−2x)2x

x4 =

−2x2

−8x+ 4x2

x4 =

2x2

−8x x4 =

x(2x−8)

x4 = 2x−8

x3

f′′

(x) =2·x 3

−(2x−8)3x2

x6 =

2x3

−6x3_{+ 24}

x2

x6 =

−4x3_{+ 24}

x2

x6

x2₍₂₄

−4x)

x6 =

24−4x x4 Igualamos a 0 la derivada segunda

24−4x

x4 = 0 =⇒ 24−4x= 0 =⇒ 4x= 24 =⇒ x= 6

0 6

f′′

(x) + + + + + ∄ + + ++ 0 + + + + + + +

∪ AV ∪ Punto de Inflexión ∩

La función es cóncava∩en(6,+∞)y convexa∪en(−∞,0)∪(0,6). En(6, f(6)) =

6,−2

9

tenemos

un un punto de inflexión

8.-

f(x) =  

 2

x+ 2 si x≤ −1 ln(2x2

−1) si x >₋1

Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función.

El dominio de la función es D =

−∞,−√1

2

∪

₁

√

2,∞

y las funciones que componen a f son

funciones continuas en sus dominios por tanto únicamente debemos estudiar la continuidad enx=−1.

l´ım

x→−1−

f(x) = l´ım

x→−1−

2

x+ 2 = 0

l´ım

x→−1−

f(x) = l´ım

x→−1−

ln(2x2−1) = 0

l´ım

x→−1−

f(x) = l´ım

x→−1−

f(x) = 0 =f(−1) =⇒ la función es contínua enx=−1

Por tanto la función es continua enD=

−∞,₋√1

2

∪

₁

√

2,∞

Estudiamos la derivabilidad para ello calculamos la derivada de la función.

f′ (x) =

     −2

x2 si x <−1 4x

2x2

−1 si x >−1 Calculamos las derivadas laterales

f′

(1+) = −2 1 =−2

f′ (−1−

) = 4(−1)

2(−1)2₋₁ =−4

9.-

f(x) =x3−ax+ 1

a_{) Determínese el valor del parámetroapara que la función tenga un máximo local enx=−2 y un} mínimo local enx= 2. (1 punto)

Calculamos la derivada de la función

f′

(x) = 3x2−a

Sustituimos los extremos relativosx= 2yx=−2e igualamos a 0

3(−2)2

−a= 0 =⇒ 12−a= 0 =⇒ a= 12

3·22

−a= 0 =⇒ 12−a= 0 =⇒ a= 12

Para determinar si es máximo o mínimo calculamos la derivada segunda

f′′

(x) = 6x

f′′

(2) = 12>0mínimo relativo f′′

(−2) =−12<0máximo relativo

b_{) Para}a= 48calcular la ecuación de la recta tangente a la gráfica def enx= 5.

f(x) =x3−48x+ 1 A(5, f(5)) =A(5,53

−5·48 + 1) =A(5,−114)

f′

(x) = 3x2

−48 =⇒ f′

(5) = 3·52

−48 = 27

y₋f(5) =f′

(5)(x₋5) =⇒ y+ 114 = 27(x₋5) =⇒ y= 27x₋135−114 =⇒ y= 27x₋249

10.-

B(x) =−x2

+ 60x−800

Dondexrepresenta el número de artículos vendidos en un día. (2 puntos)

a_{) Calcúlese el número de artículos que deben venderse en un día para que el beneficio sea máximo.}

Derivamos el la función beneficio para obtener los extremos relativos

B′

(x) =−2x+ 60 = 0 =⇒ x= 30

Derivamos dos veces para determinar si es un máximo

B′′

(x) =−2 =⇒ B′′

(30) =−2<0 máximo

Tenemos (30, B(30)) = (30,100) máximo relativo es decir para 30 unidades obtenemos 100000 euros de beneficio

b_{) Determínese entre que valores debe estar la producción diaria para que la empresa no tenga}

pérdidas.

Para que la empresa no entre en pérdidas el beneficio debe ser positivo es decir

por tanto

B(x) = 0 =⇒ −x2+ 60x−800 = 0 =⇒ x= 20 x= 40

vemos el signo de la función

20 40