DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
ECUACIONES DIFERENCIALES
MIREYA GARCÍA – GUÍA Nº 6
Tema: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Orden Superior
Contenido:
Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas. Método de Coeficientes Indeterminados
Método del Anulador.
Objetivos:
Identificar y resolver ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas.
Utiliza de forma adecuada el método de coeficientes indeterminados y del anulador para resolver ecuaciones diferenciales de orden superior no lineal.
Metodología:
Realizar una lectura de la guía con los temas dados.
Estudiar los temas presentados en la guía.
Investigar por cuenta propia en otros textos acerca de los temas dados, para que estos sean ampliados.
Realizar los ejercicios propuestos al final de esta guía para así precisar el entendimiento de los temas presentados.
Realizar un trabajo más detallado en la solución de las ecuaciones diferenciales de orden superior.
Asistir a tutorías tanto presenciales como virtuales para aclarar dudas cerca de los temas dados.
Introducción: Para resolver una ecuación diferencial lineal no homogénea 𝑎𝑛 𝑥 𝑦 𝑛 + 𝑎
𝑛−1 𝑥 𝑦 𝑛−1 + … + 𝑎1 𝑥 𝑦′ + 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥)
Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas y de orden superior: En esta primera parte se trabajaran las ecuaciones diferenciales de orden dos y posteriormente de orden mayor a dos.
La ecuación diferencial lineal no homogénea de orden dos 𝑦′′ + 𝑎𝑦′+ 𝑏𝑦 = 𝑔 𝑥 , 𝑔(𝑥) ≠ 0 tendrá como solución general
𝑦 𝑥 = 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑜𝑚𝑜𝑔é𝑛𝑒𝑎 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑑𝑎 + 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑛𝑜 𝑜𝑚𝑜𝑔é𝑛𝑒𝑎
Método de coeficientes indeterminados:
Caso I: Cuando 𝑔 𝑥 = 𝐴𝑒∝𝑥 ; 𝑦′′ + 𝑎𝑦′ + 𝑏𝑦 = 𝐴𝑒∝𝑥
Se resuelve la homogénea asociada 𝑦′′ + 𝑎𝑦′ + 𝑏𝑦 = 0 mediante el método de coeficientes constantes, es decir que se determine la ecuación característica 𝑚2+ 𝑎𝑚 + 𝑏 = 0 y luego encontraremos la solución particular de la no homogénea tomando la 𝑦 = 𝑒∝𝑥 , 𝑦′ =∝ 𝑒∝𝑥 , 𝑦′′ =∝2𝑒∝𝑥
Ejemplo: Resolver 𝑦′′ + 𝑦′ − 6𝑦 = 𝑒4𝑥
𝑦′′ + 𝑦′ − 6𝑦 = 0 ⟶ 𝑚2+ 𝑚 − 6 = 0 ⟶ 𝑚 + 3 𝑚 − 2 = 0
Luego: 𝑚1= −3 , 𝑚2= 2 entonces la solución asociada a la homogénea corresponde a:
𝑦 𝑥 = 𝑐1𝑒−3𝑥+ 𝑐2𝑒2𝑥
Solucionando la no homogénea tenemos que 𝑔 𝑥 = 𝑒4𝑥, 𝑒4𝑥 ∉ 𝑔𝑒𝑛 𝑒−3𝑥, 𝑒2𝑥 entonces la solución
particular tiene la forma 𝑔 𝑥 = 𝐴𝑒4𝑥 ⟶ 𝑔′ = 4𝐴𝑒4𝑥 , 𝑔′′ = 16𝐴𝑒4𝑥 Reemplazamos en la ecuación y determinamos el valor de la constante 𝐴.
16𝐴𝑒4𝑥 + 4𝐴𝑒4𝑥− 6𝐴𝑒4𝑥 = 𝑒4𝑥 ⟶ 14𝐴𝑒4𝑥 = 𝑒4𝑥 ⟶ 𝐴 = 1 14
Por tanto, la solución particular es: 𝑦𝑝 𝑥 =141 𝑒4𝑥 y la solución general es: 𝑦 𝑥 = 𝑐1𝑒−3𝑥 + 𝑐2𝑒2𝑥+141 𝑒4𝑥
Ejemplo: Resolver 𝑦′′ − 2𝑦′ + 𝑦 = 𝑒𝑥
La solución de la homogénea es: 𝑦′′ − 2𝑦′ + 𝑦 = 0 ⟶ 𝑚2− 2𝑚 + 1 = 0 ⟶ 𝑚
1= 𝑚2 = 1 𝑦 = 𝑐1𝑒𝑥 + 𝑐
2𝑥𝑒𝑥
Como 𝑔 𝑥 = 𝑒𝑥 pertenece al generado por las soluciones de la homogénea, es decir 𝑒𝑥 ∈ 𝑔𝑒𝑛 𝑒𝑥, 𝑥𝑒𝑥 Luego la solución particular tiene la forma de:
𝑔 𝑥 = 𝐴𝑥2𝑒𝑥 , 𝑔′ = 2𝐴𝑥𝑒𝑥 + 𝐴𝑥2𝑒𝑥 , 𝑔′′ = 2𝐴𝑒𝑥 + 4𝐴𝑥𝑒𝑥 + 𝐴𝑥2𝑒𝑥 Reemplazando y determinando el valor de la constante 𝐴 se tiene:
2𝐴𝑒𝑥 + 4𝐴𝑥𝑒𝑥 + 𝐴𝑥2𝑒𝑥 − 4𝐴𝑥𝑒𝑥 − 2 𝐴𝑥2𝑒𝑥 + 𝐴𝑥2𝑒𝑥 = 𝑒𝑥
𝐴 = 1
2 Por tanto, 𝑦 = 𝑐1𝑒 𝑥 + 𝑐
Caso II: Cuando 𝑔 𝑥 = 𝐴 cos 𝑥 + 𝛽 sin 𝑥 ; 𝑦′′ + 𝑎𝑦′ + 𝑏𝑦 = βsin 𝑥
Ejemplo: Resolver 𝑦′′ + 2𝑦′ + 𝑦 = sin 𝑥
La solución asociada a la homogénea es 𝑦 = 𝑐1𝑒−𝑥+ 𝑐
2𝑥𝑒−𝑥 , luego derive dos veces 𝑔 𝑥 = 𝐴 cos 𝑥 + 𝛽 sin 𝑥 y se reemplazan en la ecuación diferencial dada determinando 𝐴 = −1
2 , 𝛽 = 0 entonces
𝑦 𝑥 = 𝑐1𝑒−𝑥+ 𝑐2𝑥𝑒−𝑥− 1 2cos 𝑥 Caso III: 𝑔 𝑥 = 𝐴𝑒𝑥 + 𝛽 sin 𝑥 , 𝑦′′ + 𝑎𝑦′ + 𝑏𝑦 = 𝑔(𝑥)
Ejemplo: Resuelva 𝑦′′ − 3𝑦′ = 8𝑒3𝑥 + 4 sin 𝑥
Solucionando la homogénea se obtiene 𝑦′′ − 3𝑦′ = 0 , 𝑚2− 3𝑚 = 0 , 𝑚 𝑚 − 3 = 0 ⟶ 𝑚1= 0 , 𝑚2= 3 , por consiguiente 𝑦 = 𝑐1+ 𝑐2𝑒3𝑥 y la solución particular de la no homogénea es:
𝑔 𝑥 = 8𝑒3𝑥 + 4 sin 𝑥
𝑔 𝑥 = 𝐴𝑥𝑒3𝑥+ 𝐵 sin 𝑥 + 𝐶 cos 𝑥 ⟶ 𝑔′ = 𝐴𝑒3𝑥+ 3𝐴𝑥𝑒3𝑥 + 𝐵 cos 𝑥 − 𝐶 sin 𝑥
𝑔′′ = 6𝐴𝑒3𝑥 + 9𝐴𝑥𝑒3𝑥− 𝐵 sin 𝑥 − 𝐶 cos 𝑥
Reemplazando en la ecuación diferencial se halla el valor de las constantes 𝐴, 𝐵, 𝐶
𝐴 =8
3 , 𝐵 = 6
15 , 𝐶 = − 6 5
Por tanto la solución asociada a la no homogénea es: 𝑔 𝑥 =83𝑥𝑒3𝑥 − 6
15sin 𝑥 + 6
5cos 𝑥 y la solución general es:
𝑦 𝑥 = 𝑐1+ 𝑐2𝑒3𝑥 + 8
3𝑥𝑒3𝑥 − 6
15sin 𝑥 + 6 5cos 𝑥
Para ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de orden superior se resuelven de la misma manera, se determina la función asociada a la homogénea por coeficientes constante como se mostro en la guía número 5 (anterior), y posteriormente se halla la solución particular de igual manera dada anteriormente.
Método del Anulador: Si 𝐿 es un operador diferencial lineal con coeficientes constantes y 𝑓 es una función suficientemente diferenciable tal que 𝐿 𝑓 𝑥 = 0 entonces se dice que 𝐿 es un anulador de la función. Por ejemplo, 𝐷 anula una función constante 𝑦 = 𝑘 puesto que 𝐷𝑘 = 0. El operador diferencial 𝐷2 anula la función 𝑦 = 𝑥 puesto que las derivadas primera y segunda de 𝑥 son 1 y 0, recíprocamente. De manera similar 𝐷3𝑥2= 0, etc.
El operador diferencial 𝐷𝑛 anula cada una de la funciones 1, 𝑥, 𝑥2, … , 𝑥𝑛−1.
El operador diferencial 𝐷2− 2 ∝ 𝐷 + (∝2+ 𝛽2) 𝑛 anula cada una de las funciones : 𝑒∝𝑥cos 𝛽𝑥 , 𝑥𝑒∝𝑥cos 𝛽𝑥 , 𝑥2𝑒∝𝑥cos 𝛽𝑥 , … , 𝑥𝑛−1𝑒∝𝑥cos 𝛽𝑥
𝑒∝𝑥sin 𝛽𝑥 , 𝑥𝑒∝𝑥sin 𝛽𝑥, 𝑥2𝑒∝𝑥sin 𝛽𝑥, … , 𝑥𝑛−1𝑒∝𝑥sin 𝛽𝑥
Ejemplos: Encuentre un operador diferencial que anule la función que se proporciona.
a) 1 − 5𝑥2+ 8𝑥3 b) 𝑒−3𝑥
c) 4𝑒2𝑥 − 10𝑥𝑒2𝑥
Para (a) el anulador es 𝐷4 1 − 5𝑥2+ 8𝑥3 = 0
Para (b) el anulador ∝= −3 , 𝑛 = 1, se ve que 𝐷 + 3 𝑒−3𝑥 = 0
Para (c) el anulador con ∝= 2 , 𝑛 = 2 se tiene 𝐷 − 2 2 4𝑒2𝑥 − 10𝑥𝑒2𝑥 = 0
Resuelva la ecuación diferencial mediante el método del anulador 𝑦′′ + 3𝑦′+ 2𝑦 = 4𝑥2
Primero se determina la solución asociada a la homogénea 𝑦′′ + 3𝑦′ + 2𝑦 = 0 por el método de coeficientes constantes se tiene 𝑦𝑐 = 𝑐1𝑒−𝑥+ 𝑐2𝑒−2𝑥. Ahora para encontrar la solución particular por el método del anulador es 𝐷3 se ve que 𝐷3 𝐷2+ 3𝐷 + 2 𝑦 = 4𝐷3𝑥2 ⟶ 𝐷3 𝐷2+ 3𝐷 + 2 𝑦 = 0 luego la ecuación característica de la anterior ecuación es: 𝑚3 𝑚2+ 3𝑚 + 2 = 0 ⟶ 𝑚3 𝑚 + 1 𝑚 + 2 = 0 Las raíces respectivas son: 𝑚1= 𝑚2= 𝑚3= 0 , 𝑚4= −1 , 𝑚5 = −2 así que la solución general es:
𝑦 = 𝑐1+ 𝑐2𝑥 + 𝑐3𝑥2+ 𝑐
4𝑒−𝑥+ 𝑐5𝑒−2𝑥
Ejercicios:
1. Encuentre la solución particular de la ecuación dada ya sea por el método de coeficientes indeterminados ó el método del anulador.
a. 𝑦′′ + 2𝑦′ − 𝑦 = 𝑥−1𝑒𝑥 h. 𝑦′′ + 2𝑦′ + 𝑦 = 8𝑥3𝑒−𝑥 b. 5𝑦′′ − 3𝑦′ + 2𝑦 = 𝑥3cos 4𝑥 i. 𝑦′′ + 3𝑦′− 7𝑦 = 𝑥4𝑒𝑥 c. 𝑦′′ + 5𝑦′ − 3𝑦 = 3𝑥 j. 𝑦′′ − 2𝑦′ + 𝑦 = 7𝑒𝑥cos 𝑥 d. 2𝑦′′ − 6𝑦′ + 𝑦 = sin 𝑥 / 𝑒4𝑥 k. 𝑦′′ + 2𝑦′− 𝑦 = 10 e. 2𝑦′′ − 3𝑦 = 4𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 4𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 l. 𝑦′′ + 3𝑦 = −9 f. 𝑥𝑦′′ − 𝑦′+ 2𝑦 = sin 3𝑥 m. 𝑦′′ + 4𝑦 = 8 sin 2𝑥
2. Use el método de coeficientes indeterminados para hallar una solución particular de la ecuación de orden superior.
a. 𝑦′′′ − 𝑦′′ + 𝑦 = sin 𝑥 b. 2𝑦′′′ + 3𝑦′′ + 𝑦′− 4𝑦 = 𝑒−𝑥 c. 𝑦(4)− 3𝑦′′ − 8𝑦 = sin 𝑥
BIBLIOGRAFÍA
1. Texto Guía: Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valores En la Frontera, Nagle,Saff, Zinder, cuarta edición, Pearson Addison Wesley.
2. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería, Kreyzig, volumen II, Tercera edición, Limusa Wiey.
3. Ecuaciones Diferenciales, Braun Martin, Segunda edición, Grupo editorial Iberoamerica.
4. Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelo, Dennis Zill, séptima edición, MATH LEARNING, Thomas.
5. Ecuaciones Diferenciales, Takeuchi, Ramiro – Ruiz, Segunda edición, Limusa.
