C u r s o :
Matemática
Material N° 22
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 22
UNIDAD: GEOMETRÍA GEOMETRÍA PROPORCIONAL I SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Dos triángulos, se dirán semejantes, cuando los ángulos de uno de ellos sean, respectivamente, congruentes con los ángulos del otro o también cuando, tengan sus lados homólogos proporcionales.
OBSERVACIONES
Esta definición establece la idea de similitud de forma: es decir, dos triángulos son semejantes, si y sólo si tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño. Dos polígonos de un mismo número de lados, se dirán semejantes, cuando los ángulos de
uno de ellos sean respectivamente congruentes con los ángulos del otro y cuando además, tengan sus lados homólogos proporcionales.
La congruencia es un caso particular de semejanza.
EJEMPLOS
1. Si en la figura 1, ABC A’B’C’, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdaderas?
I) A’B’ = 6 II) A’C’ = 12 III) ’ = 3 A) Sólo I
B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III
2. Dos triángulos isósceles son semejantes. Si la base de uno de ellos mide 10 cm y un lado no basal mide 20 cm, ¿cuál es la medida del lado mayor del otro si su base mide 15 cm? A) 30 cm
B) 40 cm C) 50 cm D) 60 cm
ABC PQR si y solo si AP, B Q, C R
y
AB = BC = CA
PQ QR RP
A
C
B P
R
Q
A’
C’
B’ ’
9
C
A B
2
4 3
3. En la figura 2, siABE BCD, y los puntos A, B y C son colineales entonces, AC mide
A) 14 B) 15 C) 18 D) 20 E) 25
4. ¿Cuáles de los siguientes triángulos, son semejantes entre sí?
I) II) III)
A) Sólo I y II B) Sólo I y III C) Sólo II y III D) I, II y III
E) Ninguno de ellos
5. El triángulo ABC de la figura 3, es isósceles y rectángulo en C. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) ACD ABC II) BCD BAC III) ADC ACB A) Sólo I
B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III
6. Son polígonos semejantes: I) Dos rectángulos.
II) Dos triángulos equiláteros. III) Dos pentágonos regulares.
De las afirmaciones anteriores es (son) siempreverdadera(s) A) Sólo II
B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III
A D B
C
fig. 3 fig. 2
A B C
E D
12 3
2x + 1 9x + 2
140°
100° 140°
40°
TEOREMAS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Para establecer la semejanza entre dos triángulos no es necesario verificar cada una de las seis condiciones expuestas anteriormente, sino que la ocurrencia de algunas de ellas provocan necesariamente la ocurrencia de las otras restantes.
TEOREMA 1 (TEOREMA FUNDAMENTAL) (AA)
Para que dos triángulos sean semejantes, dos ángulos de uno de ellos deben ser congruentes con dos ángulos del otro.
O sea, en la figura 1:
COROLARIO 1
Toda paralela a un lado de un triángulo, determina un triángulo semejante al primero. O sea, en la figura 2:
COROLARIO 2
Al trazar en el interior de un triángulo ABC un segmento ED, no paralelo al lado de AB, de tal forma queEDC BAC, entonces el EDC es semejante con el ABC.
O sea, en la figura 3:
COROLARIO 3
Si se prolongan dos lados de un triángulo y se traza una paralela al otro lado, se determina un nuevo triángulo semejante al primero.
O sea, en la figura 4:
fig. 1 C
A B
R
P Q
SiEDC ≅CAB, entonces
CDE CAB
Si DE // AB , entonces
CDE CBA
fig. 2
A B
D E
C
fig. 4
D E
A B
C
fig. 3
A B
E
D C
Si AP y B Q entonces
ABC PQR
Si DE // AB , entonces
EJEMPLOS
1. En la figura 5, los puntos D, E y F son puntos medios de los lados CA , CB y AB , respectivamente. ¿Cuál de los siguientes triángulos, no es semejante con el DEC en ese orden?
A) AFD B) EDF C) FBE D) ABC E) EFD
2. ¿En cuál(es) de las siguientes situaciones los triángulos ABC y ADE son semejantes? I) II) III)
A) Sólo en I B) Sólo en II C) Sólo en I y en II D) Sólo en I y en III E) En I, en II y en III
3. Si el triángulo escaleno de la figura 6 es rectángulo en C y CD es altura, entonces ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
A) ADC DCB B) DBC CAD C) DCB DBC D) ACD ABC E) CDB ABC
3
A B
D E
C
fig. 5
F
A D B
C
fig. 6 E
A
C
D
80º 100º
B 50º
50º
D
A
C
E B
B
50º
A
E
4. En la figura 7, PQ // MN . Si PM mide el triple de RP , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)siempreverdadera(s)?
I) Los triángulos PQR y MNR son semejantes. II) PQ = 1
MN 4
III) RQ = 1
RN 3
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III
5. Si en la figura 8,ABC EDC , entonces la medida de CB es
A) 3
B) 4
C) 5
D) 8
E) 10
6. En la figura 9, PQ // MN . Si MN = 2 · PQ, PR = 6 y QR = 8, ¿cuánto mide MR ?
A) 3 B) 4 C) 6 D) 12 E) 16
M N
R
fig. 7
P Q
fig. 8
A B
D
E C
5 3
8 4
Q P
R
N M
TEOREMA 2 (LAL)
Para que dos triángulos sean semejantes, basta que tengan un ángulo congruente comprendido entre dos lados proporcionales.
O sea, en la figura 1:
TEOREMA 3 (LLL)
Para que dos triángulos sean semejantes, basta que tengan sus lados proporcionales. O sea, en la figura 2:
TEOREMA 4 (LLA>)
Para que dos triángulos sean semejantes, basta que tengan dos de sus lados respectivamente proporcionales, y los ángulos opuestos a los mayores de estos lados, congruentes.
O sea, en la figura 3:
EJEMPLOS
1. Los triángulos de la figura 4, son semejantes según el teorema
A) AA B) LAL C) LLA > D) LLL E) AAA fig. 2 P Q R q p r C A B
k · q
k · r
k · p
C A B b c fig. 1 R
P k · c Q
k · b
Si AP y AC = AB
PR PQ, entonces ABC PQR
Si AB = BC = CA
PQ QR RP, entoncesABC PQR
SiCR y AC = AB PR PQ, AB > AC,
EntoncesABC PQR
fig. 3 AB > AC
>AC PQ>PR
A B
C
k · r k · q
P Q
R
q
r
2. ¿Cuáles de los siguientes triángulos son semejantes entre si?
I) II) III)
A) Sólo I y II B) Sólo I y III C) Sólo II y III D) I, II y III
E) No hay triángulos semejantes.
3. Si en los triángulos de la figura 5, RP = PQ
WZ ZY = 1,5, entonces los triángulos PQR y ZYW son semejantes si:
I) QR : WY = 3 : 2 II) P Z
III) R W
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III
4. ¿Cuál(es) de los siguientes triángulos es (son) semejante(s) al triángulo escaleno de la figura 6?
I) II) III)
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) I, II y III
6
6 20°
12
12 40°
80°
80°
W Y
Z
P R
fig. 5 Q
a
2 b2
c 2 2a + 4 2b + 4
2c + 4 1,3 a 1,3 b
1,3 c
fig. 6
a b
5. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones permiten deducir que el triángulo ABC es semejante en ese orden con el triángulo KLM de la figura 7?
I) KL = 8 II) ML = 12 III) CBA MLK
A) Con sólo I B) Con sólo II C) Con I y II D) Con I y III E) Con II y III
6. Según los datos de la figura 8, ¿cuál es la medida de PQ?
A) 12 B) 18 C) 24 D) 27 E) 54
P Q
R
9 10
70°
fig. 8
A C
20 18
70° 36
B
fig. 7
A B
C
3 6
4 K L
M
TEOREMA 5
En triángulos semejantes, dos lados homólogos están en la misma razón que dos trazos homólogos cualesquiera y también están en la misma razón que sus perímetros (fig. 1).
TEOREMA 6
Las áreas de triángulos semejantes están en una razón equivalente al cuadrado de la razón en que se encuentran dos trazos homólogos cualesquiera (fig. 1).
OBSERVACIÓN:Estos teoremas también son válidos en polígonos semejantes .
EJEMPLOS
1. En la figura 2, ABC A’B’C’. Si AB : A’B’=1 : 2, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
A) Área ABC : ÁreaA’B’C’ =1 : 2 B) tc: tc’= 2 : 1
C) hc : hc’= 1 : 1
D) CA : C’A’= 1 : 4 E) a : a’ = 1 : 2
2. Los lados de dos pentágonos regulares están en la razón 3:7. Entonces, la razón de sus áreas es
A) 3 : 7 B) 6 : 14 C) 9 : 28 D) 9 : 49 E) 12 : 49
A c B
C
b tc a ha
A’ c’ B’ C’
b’ tc’ a’ ha’
fig. 1
c a
c' a'
b = t = h
b' t h = Perímetro A'B'C'Perímetro ABC
= ....
Área ΔABC Área
ΔA'B'C' =
2 2
2
c a
c a'
b = t = h
b' t ' h
= ....
C
A B
hc tc a
C’
A’ B’
a’ tc’
hc’
3. En la figura 3, el trazo DE // AC y el perímetro del DBE es 12 cm. ¿Cuál es el perímetro del ABC?
A) 30 cm B) 32 cm C) 33 cm D) 36 cm E) 48 cm
4. En la figura 4, ABC PQR, los perímetros respectivos, están en la razón 3 : 1 y AD = 12 cm, entonces PS mide
A) 3 cm B) 4 cm C) 6 cm D) 8 cm E) 12 cm
5. Las alturas homólogas de dos triángulos semejantes miden 4 2 y 10 2. Entonces, la razón de sus perímetros, respectivamente, es
A) 16 : 10 B) 10 : 4 C) 4 : 2 D) 2 : 2 E) 2 : 5
6. En la figura 5, el área del ABC es 48 cm2. Si DE // BC , ¿cuál es el área del ADE?
A) 120 cm2
B) 108 cm2
C) 72 cm2
D) 52 cm2
E) 48 cm2
E
A B D
15
C
10
fig. 5 fig. 3
A D B
E C
12 4
fig. 4
P
R
S
Q
40°
C
A
D
B
TEOREMA DE THALES
Si dos rectas se cortan por tres o más paralelas, los segmentos determinados en una de ellas son, respectivamente, proporcionales a los segmentos determinados en la otra.
En la figura 1, L1 y L2 son rectas y AD // BE // CF
Entonces:
EJEMPLOS
1. En la figura 2, L1 // L2 // L3, entonces xmide
A) 5,4 B) 6,0 C) 8,0 D) 13,5 E) 15,0
2. Si en la figura 3, L1// L2 // L3, entonces x – y =
A) 8 B) 10 C) 12 D) 16 E) 18
L1
L2
L3
6 x
12
y
12
4 fig. 3
A B C
D E
F
L1 L2
fig. 1 AB = DE
BC EF
fig. 2
9 12
x
20
L1
L2
3. ¿En cuál(es) de las siguientes figuras se cumple que L1// L2?
I) II) III)
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III
4. En el trapecio ABCD, de bases AB y DC , de la figura 4, ¿cuál es el valor de x?
A) 10 B) 12 C) 18 D) 24 E) 30
5. En la figura 5, FG // DE // AB y FD: FA = 3 : 5, entonces es correcto afirmar que
A) CF : FG = 3 : 5 B) DE : AB = 3 : 5 C) CD : DE = 3 : 5 D) GE : EB = 3 : 2
E) ninguna de las opciones anteriores.
6. En el PQR de la figura 6, ST // PQ . Si RT : TQ = 3 : 5 y PQ = 12 cm, entonces ST mide
A) 7,2 cm B) 4,5 cm C) 4 cm D) 2 cm E) 1,25 cm
A
fig. 4
D C
B
x + 2 x + 6
12 9
fig. 5
A B
F G
D E
C L1 L2 L3
12 18 4 6
L1 L2
12 18
6 4
L1 L2 L3
4 8
6 12
P Q
S T
R
TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR
En todo triángulo la bisectriz de un ángulo interior corta al lado opuesto en la misma razón que los lados adyacentes
EJEMPLOS
1. En el triángulo ABC de la figura 1, AD es bisectriz. Si AC : AB = 3 : 4, entonces BD : DC =
A) 3 : 4 B) 3 : 7 C) 4 : 3 D) 4 : 7 E) 7 : 4
2. En el triángulo ABC de la figura 2, CD es bisectriz del ángulo ACB, AC = 2, AD = 4, y CB = 6. ¿Cuál es la medida de DB ?
A) 4 B) 6 C) 12 D) 18 E) 20
3. En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura 3, los catetos a y b miden 21 y 28, respectivamente. Si CD es bisectriz del ángulo recto entonces las medidas dem ynson
A) 6 y 8 B) 6 y 9 C) 8 y 12 D) 12 y 15 E) 20 y 15
AD = AC
DB CB
C
D
A B
fig. 1
C
A D B
fig. 2
fig. 3
A D B
C
m n
b a
CD es bisectriz
A B
C
fig. 6
HOMOTECIA
Es una transformación que a partir de un punto fijo (centro de homotecia) multiplica todas las distancias por un mismo factor (razón de homotecia). Es decir, al aplicar una homotecia de centro O y razón k a un punto P cualquiera, se obtiene otro punto P’, tal que P, O y P’ son colineales y OP’ = k · OP
En la figura 1, si O es centro de homotecia y k es la razón de homotecia
entonces
OBSERVACIONES
La homotecia permite ampliar o reducir figuras, manteniendo la forma.
Al aplicar una homotecia se obtiene una figura semejante a la original, por lo tanto, se cumplen todas las propiedades de las figuras semejantes.
Si k> 1 implica una ampliación de la figura, sik< 1 implica una reducción de la figura. Al aplicar una homotecia de razón negativa se obtiene una imagen invertida de la figura
original.
EJEMPLOS
1. Dado un hexágono de perímetro 36 cm. si se le aplica una homotecia de razón k = 2 : 1, entonces el perímetro del nuevo hexágono es
A) 9 cm
B) 18 cm C) 36 cm D) 72 cm E) 108 cm
2. Dado un pentágono de área 108 cm2. Al cual se le aplica una homotecia de razón
k = 1 : 3, entonces el área del pentágono resultante es
A) 9 cm2
B) 12 cm2
C) 36 cm2
D) 324 cm2
E) 972 cm2
ABC A’B’C’ OA' = OB' = OC' = k
OA OB OC
fig. 1 A
B C
A’
B’ C’
3. Dado el ABC al cual se le aplica una homotecia con centro en P y razón k = -1 : 2, y se obtiene el A’B’C’. La figura que mejor representa esta transformación corresponde a
A) B) C)
D) E)
A B
C
A’ B’
C’
P
A B
C
A’ B’
C’ P
A B
C
A’ B’
C’ P
A B
C
A’ B’
C’ P
A B
C
A’ B’
RESPUESTAS
DMCAMA22
Ejemplos
Págs. 1 2 3 4 5 6
1 y 2 C A E B E D
4 y 5 E C D C E E
6, 7 y 8 B B D D C B
9 y 10 E D D B E B
11 y 12 B B D A D B
13 C C E
14 y 15 D B B
