Incertidumbres y Métodos Gráficos *

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Departamento de F´ısica

Fundamentos de Electricidad y Magnetismo Gu´ıa de laboratorio 02

Incertidumbres y M´

etodos Gr´

aficos

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Objetivos

1. Aprender a expresar y operar correctamente medidas con sus respectivas incertidumbres. 2. Aprender a presentar los resultados de un experimento en forma gr´afica.

3. Aprender a analizar gr´aficos.

4. Encontrar la expresi´on matem´atica que relaciona las variables que intervienen en un experimento.

1. Incertidumbres y propagaci´

on de incertidumbres

La f´ısica se basa en el experimento, y el experimento exige medir. El resultado de una medida solo se aproxima al valor exacto de la magnitud que se está midiendo pero nunca llega ser igual a éste. Se habla de incertidumbre de una medida para indicar la imprecisión de ésta debida a las limitaciones del instrumento y del proceso de medida. En general el resultado de una medida se expresa en la forma x±∆x( %x), donde x es el valor medido, ∆x es la incertidumbre absoluta y el porcentaje o incertidumbre relativa es %x≡(∆x/x)×100 %. Estos tres valores están interconectados; de hecho %xdepende de los otros dos. No hay que olvidar quexestá expresado con un cierto número de d´ıgitos de los cuales el último es estimado y los anteriores son ciertos. El valor de ∆xafecta básicamente al último d´ıgito. Por ejemplo, si se mide la longitud de una barra con una cinta métrica graduada en mil´ımetros y al colocar uno de los extremos de la barra en 0,000 m, el otro extremo cae entre 2,345 y 2,346 entonces la medida puede expresarse como

2,3455±0,0005m La incertidumbre relativa ser´ıa

0,0005

2,3455×100 % = 0,02 %

Como criterio general, si la apreciación o valor de la división más pequeña de la escala del instrumento es a, la incertidumbre absoluta de las medidas realizadas con dicho instrumento será:

∆x≥a/2

debido a que entran a jugar otros factores de incertidumbre diferentes a la del instrumento de medida y la incertidumbre total podr´a ser mayor.

1.1. Reglas para expresar incertidumbres de cantidades derivadas

Algunas cantidades como velocidad, momentum, energ´ıa, resistencia el´ectrica, campo magn´etico, y muchas otras, se obtienen en forma indirecta de medidas de longitud, tiempo, etc. Existe un procedimiento para determinar la incertidumbre de estas cantidades derivadas. Cuando las incertidumbres relativas no son muy grandes, se procede de la siguiente forma

*_{Tomado y adaptado de: E. Bautista et ´}_al._{Gu´ıas de laboratorio de F´ısica II. Electromagnetismo}_{. Universidad Nacional De Colombia.}

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1. Suma y resta de cantidades

→Si se deben sumar dos cantidadesx±∆x( %x) yy±∆y( %y) entonces: [x±∆x( %x)] + [y±∆y( %y)] = [z±∆z( %z)] donde

z=x+y, ∆z= ∆x+ ∆y y %z= ∆z

z ×100 %

→Si las cantidades se deben restar, entonces

[x±∆x( %x)]−[y±∆y( %y)] = [z±∆z( %z)] donde

z=x−y, ∆z= ∆x+ ∆y y %z=∆z

z ×100 %

Como pudo notar, tanto para la suma como para la resta, ∆z se calcula sumando las incertidumbres absolutas en ∆xy ∆y, lo cual debe tenerse tambi´en en cuenta para encontrar la incertidumbre relativa.

2. Multiplicaci´on y divisi´on de cantidades

→Si se deben multiplicar dos cantidadesx±∆x( %x) yy±∆y( %y), entonces: [x±∆x( %x)]×[y±∆y( %y)] = [z±∆z( %z)] donde

z=x×y, ( %z) = ( %x) + ( %y) y ∆z= z( %z) 100 % →Si las dos cantidades se deben dividir:

[x±∆x( %x)]/[y±∆y( %y)] = [z±∆z( %z)] donde z= x y, ( %z) = ( %x) + ( %y) y ∆z= z( %z) 100 %

N´otese nuevamente que las incertidumbres relativas se suman. Ahora se suma primero las incertidumbres rela-tivas para calcular despu´es la incertidumbre absoluta.

Ejemplo

Las medidas de la longitud y el ancho de una hoja son 25,9±0,1 cm y 19,5±0,1 cm, entonces el ´area A

de la hoja ser´a:

A= (25,9±0,1 cm)(19,5±0,1 cm) = 505,05 cm2(0,4 % + 0,5 %)≈505±5 cm2(1 %)

3. Funci´onf(x) de una cantidad medidax

→Cuando se trata de una funci´onf(x) de una cantidad medidaxse procede de la siguiente forma:

∆f(x) = df dx∆x Ejemplos Seaf(x) = lnx, entonces ∆f(x) = ∆ lnx= df dx∆x= 1 x∆x

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Seaf(x) = tanx, entonces

∆f(x) = ∆ tanx= df

dx∆x=

1 cos2_x∆x

4. Funci´onf(x, y, ...) de dos o m´as variables

Si se tienez=f(x, y), ∆zpuede ser calculada como:

∆z=∂f

∂x∆x+ ∂f ∂y∆y

Ejemplo

Seaz=xy, entonces procedemos de la siguiente manera para hallar ∆z:

∂f

∂x =y y

∂f ∂y =x

de esta forma se obtiene que:

∆z=y∆x+x∆y

Ejercicios

a) La energ´ıa cin´etica de un cuerpo esta dada por la expresi´onEc=

mv2

2 , dondemes la masa del cuerpo yv su velocidad. Sim±∆m= 5,45±0,05 kg yv±∆v= 2,1±0,2 m/s, hallarEc±∆Ec

b) La potencia el´ectrica puede expresarse como:

P =V I= V

2

R =I

2_R

dondeP es la potencia eléctrica, V la diferencia de potencial yR la resistencia eléctrica. Si R = 150,2± Ω, V = 52,7±0,2 V e I= 0,35±0,01 A ¿Cuánto valeP y ∆P en cada caso y qué puede concluir de esto?**

c) Al leer un volt´ımetro y un amper´ımetro de aguja y escala, y evalúo visualmente el margen de incertidumbre. Estoy seguro de que la lectura del amper´ımetro está entre 1,24 y 1,25 A, y la del volt´ımetro entre 3,2 y 3,4 V. Exprese cada medida con su respectiva incertidumbre y evalúe la incertidumbre relativa de cada medición.

d) La distancia focal,f, de un lente delgado se va a medir usando la ecuaci´on 1

f = 1 do + 1 di , en donde: do= distancia al objeto = 0,154±0,002 m di= distancia a la imagen = 0,382±0,002 m

¿Cu´al es el valor calculado de la distancia focal, su incertidumbre absoluta y su incertidumbre relativa?

2. M´

etodos gr´

aficos

En f´ısica es frecuente la búsqueda de la expresión matemática que relaciona dos o más magnitudes f´ısicas. Por ejemplo la elongación ∆y que sufre un resorte suspendido verticalmente con el peso,F =mg, de masasmque se coloquen en su extremo libre, la variación de la presión P con la profundidadδhbajo el nivel del mar o la intensidad de la corriente I en un material conductor con la aplicación del un voltaje V. Los dos conjuntos de datos se representa en una tabla y, más convenientemente, en un gráfico.

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Dado un conjunto de datos {xi±∆xi, i = 1,2, ...}, la variable que se controla a voluntad o variable independi-ente, y otro conjunto {yi±∆yi, i= 1,2, ...}, la variable dependiente, se puede elaborar un gráfico en papel especial para este propósito, tomando como puntos las parejas (xi, yi), dibujando las respectivas barras de incertidumbre (±∆x,±∆y), que en el gráfico se verán como cruces centradas en (xi, yi) con longitudes horizontal y vertical 2∆xi y 2∆yi, respectivamente.

La relación entre estos conjuntos de datos aparecerá en el gráfico como la mejor l´ınea continua, suave, que cae dentro de las barras de incertidumbre correspondiente a cada dato y está lo más cerca posible de todos los puntos.

Con frecuencia el gráfico muestra una l´ınea recta, es decir, es la representación de la expresióny=mx+b, donde m

es la pendiente de la recta yb es el punto de corte con el ejey. Los valores dem yb son constantes que determinan la l´ınea un´ıvocamente. El valor de bse lee directamente de la gr´afica, mientras que el valor demse determina as´ı:

1. Se toman dos puntos de la l´ınea (que no pertenezcan a la tabla de datos) y que est´en suficientemente separados. 2. Se encuentran las coordenadas de los puntos escogidos en 1. (xa, ya) y (xb, yb)

3. Se encuentra la pendiente

m= ya−yb

xa−xb

Es necesario encontrar la incertidumbre que resulta al determinarmyb. Esto se hace en el gráfico dibujando las dos l´ıneas que representan más pobremente los datos, usando los valores extremos que dan las barras de incertidumbre. Se determinan las pendientes y los cortes con el ejey de estas l´ıneas, como se explicó anteriormente, obteniéndose los valoresm0,b0 ym00,b00. Entonces las incertidumbres demybserán:

∆b=1 2|b

0₋_b00_| _∆_m₌ 1

2|m

0₋_m00_|

El resultado final de un an´alisis gr´afico debe ser:

m±∆m( %m) b±∆b( %b)

2.1. Linealizaci´

on

Ejercicios

1. La siguiente tabla brinda resultados experimentales para la medici´on del periodo T de un p´endulo de longitud L. Longitud L(m) Periodo T(s) 0.25 1.00 0.50 1.40 0.75 1.75 1.00 2.00 1.50 2.50 2.00 2.80

a) Realice un gr´afico en papel milimetrado donde se relacionen los datos anteriores. ¿La gr´afica tiene un comportamiento lineal?

b) Ahora utilice papel tipo log-log y realice un gráfico donde se relacionen los anteriores datos. Dado que la relación que presentan las variables es del tipoT =CLn _¿C´_{omo a partir del gr´}_{afico encuentra los valores} deCyn? ¿Qué dimensiones debe tener C para que la relación anterior sea dimensionalmente correcta?

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2. Un elemento muy utilizado en circuitos eléctricos y electrónicos es el condensador. Un estudiante tomó un condensador del laboratorio y lo conectó a los bornes de una pila de 6V. Luego reemplazó la pila por un volt´ımetro y observó que inicialmente el volt´ımetro marcaba 6 V, pero a medida que el tiempo transcurr´ıa la lectura disminu´ıa. Decidió elaborar una tabla de datos anotando la lectura del volt´ımetro (voltaje medido en voltios), el tiempo transcurrido desde que conectó el condensador al volt´ımetro hasta el momento en que realizaba la lectura (para este propósito utilizó un reloj común) y sus respectivas incertidumbres instrumentales. La siguiente tabla de datos muestra el resultado obtenido después de repetir el experimento varias veces y promediar los datos.

Tiempo (s)±1 s Voltaje (V) ±0,1 V 0 6,0 10 5,2 20 4,5 30 3,9 40 3,4 50 2,9 60 2,6 70 2,2 80 1,9 90 1,7 100 1,4 110 1,2 120 1,1 130 0,9 140 0,8 150 0,7 160 0,6 170 0,5 180 0,5 190 0,4 200 0,4 210 0,3 220 0,3 230 0,2 240 0,2 250 0,2 260 0,2 270 0,1 280 0,1 290 0,1 300 0,1 310 0,1 320 0,1 330 0,1

1. Elabore un gráfico de voltaje V en el condensador en función del tiempo t (esto es: el voltaje debe ir en el eje vertical y el tiempo en el eje horizontal) Use papel milimetrado y realice el gráfico a mano. El gráfico debe ocupar toda la hoja de papel, resalte los datos experimentales y muestre las correspondientes incertidumbres de las medidas.

2. ¿Qué puede decir sobre el proceso que está analizando al observar el gráfico? Por ejemplo: ¿cuándo cambia más rápidamente la lectura en el volt´ımetro? ¿qué le permite afirma esto? ¿qué espera que suceda cuando ha transcurrido un tiempo muy grande? ¿Puede predecir la lectura del volt´ımetro parat= 45 s? ¿parat= 400 s?

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(de el resultado con su incertidumbre correspondiente) ¿en qu´e momento la lectura del volt´ımetro es la mitad de la lectura inicial? ¿en qu´e momento la lectura del volt´ımetro es el 37 % de la lectura incial?

3. Ahora realice el gráfico de voltaje vs tiempo en un papel tipo semilog. Determine la expresión matemática que relaciona el voltaje y el tiempo.

4. Use el resultado de la expresi´on anterior para predecir la lectura del volt´ımetro en t = 45 s y en t = 400 s. Compare estos resultados con los obtenidos en el punto 2.

5. Utilizando el resultado del punto 3, ¿en qu´e momento la lectura del volt´ımetro es el 37 % del valor inicial?

Referencias

[1] Bair D. C.Experimentación. Una introducción a la teor´ıa de mediciones y al diseño de experimentos.Prentice-Hall Hispanoamericana, S. A. 1991.