Geometría UNI 5º

(1)

(2)

Índice

Capítulo 1

Triángulos con ángulos entre paralelos ... 4

Capítulo 2

Líneas notables en el triángulo ... 9

Capítulo 3

Congruencia de triángulos ... 14

Capítulo 4

Aplicaciones de la congruencia ... 20

Capítulo 5

Polígonos ... 25

Capítulo 6

Cuadrilátero ... 30

Capítulo 7

Repaso ... 35

Capítulo 8

Circunferencia - Ángulos asociados ... 39

Capítulo 9

Circunferencia - Propiedades ... 46

Capítulo 10

Puntos notables ... 52

Capítulo 11

Puntos notables (Recta de Euler) ... 57

Capítulo 12

Proporcionalidad ... 62

Capítulo 13

Semejanza ... 67

Capítulo 14

Relaciones métricas en la circunferencia ... 73

Capítulo 15

Relaciones métricas en triángulos rectángulos ... 79

Capítulo 16

Repaso ... 85

Capítulo 17

(3)

Geometría

Capítulo 18

Polígonos regulares ... 93

Capítulo 19

Áreas triangulares ... 98

Capítulo 20

Áreas cuadrangulares ... 104

Capítulo 21

Áreas de regiones circulares ... 110

Capítulo 22

Repaso ... 117

Capítulo 23

Geometría del espacio ... 122

Capítulo 24

Ángulo diedro y ángulo triedro ... 128

Capítulo 25

Poliedros y poliedros regulares ... 133

Capítulo 26

Prisma y cilindro ... 138

Capítulo 27

Repaso ... 143

Capítulo 28

Tronco de prisma y cilindro ... 147

Capítulo 29

Pirámide y cono ... 154

Capítulo 30

Repaso ... 160

Capítulo 31

Tronco de cono y pirámide ... 163

Capítulo 32

Superficie esférica y Pappus ... 168

Capítulo 33

Esfera y Pappus ... 173

Capítulo 34

(4)

Quinto UNI 4 www.trilce.edu.pe 5 Central: 619-8100

TRILCE

Colegios

Problemas resueltos

1. En el gráfico: L1//L2//L3; L4//L5. Calcular "x". 4β 80º L₃ L₂ L₁ L₅ L₄ x β θ θ Resolución: 4β 50º B E F 80º L₃ L₂ L₁ L₅ L₄ x β θ _θ L1//L2 : 2θº+80º=180º ⇒ θ=50º L2//L3 : mBEBF=50º L4//L5 : 5β=2θ 5β=100º ⇒ βº=20º ∆EBF : 50º+x=4 βº 50º+x=4(20º)

\

x=30º.

2. En el gráfico mostrado, calcule: a+b. α 2α 30º β θ2θ γ γ β a b Resolución: α 2α 2θ 30º β θ γ γ β a a 25º b b En el ∆ABC : 3α+3θ=150º : α+θ=50º Por Prop. mBEBF=α+ = º₂ θ 50 =25º ₂ ∆FNG : 25º+a+b=180º

\

a+b=155º.

3. En el gráfico mostrado, calcule "x".

B 2B nº nº x x m m θ θ Resolución: B 2B B B A m mS T 2B nº nº x x θ θ θ C m 2x m 90º+x₂ Piden: "x" Por propiedad de bisectrices interior y exterior: mBABC=4B ∆BTS: Prop. Bisectriz interior y exterior mBBTS=2x. ∆ABC: Prop. Bisectrices interiores mBATB=90º+ x₂. 90º+ x₂+2x=180º

\

x=36º. Quinto UNI 4

TRILCE

Colegios

(5)

Geometría

TRILCE

Colegios 1. En el gráfico, a // b , αº + θº=160º y el ángulo PQS es recto, calcule el valor de "β".

P Q a αº _βº θº b S a) 35º b) 40º c) 50º d) 55º e) 80º 2. En el gráfico, calcule "x": xº αº _βº 7βº 8θº θº φº 8φº 7αº a) 140º b) 110º c) 100º d) 160º e) 120º

3. En el gráfico, αº=24º. Calcule el valor de "θº". θº θº θº

θº αº

a) 28° b) 36º c) 39º d) 42º e) 52º

4. Tenemos m // n , el ángulo AOB es recto. Calcule el valor de "α". m A B O αº αº αº n a) 12º b) 15º c) 30º d) 45º e) 60º

Problemas para clase

4. En un triángulo ABC, se ubica en AB y BC los puntos "P" y "Q", respectivamente. mBBAQ=30º, mBQAC=50º, mBPCA=60º y AB=BC. Calcule mBQPC. Resolución: a a a 60º a a 30º 20º 20º 80º 50º 50º 60º 40º 40º 40º x A E P Q B C Piden: "x"

Se traza CE tal que mBECA=20º ∆EQC: equilátero. ∆EPQ: isósceles: 40+x =70º

\

x=30º.

5. Según el gráfico, calcule α+β+θ, si AN=AT, BM=BR y CS=CP. M B R S P C A β θ α N T Resolución: M B R S P C A a a 2a b 2b 2c c c β θ b α N T Piden : α+β+θ ∆ABC : 2a+2b+2c=180º a+b+c=90º ∆TRS : a+α+β+b+θ+c=360º 90º a+b+c+α+β+θ=360º \ α+β+θ=270º.

x

(6)

TRILCE

Colegios Quinto UNI 6 www.trilce.edu.pe 7 Central: 619-8100

TRILCE

Colegios

5. Si: m // n , calcule el valor de "x". 160º 160º xº 2xº m n x+40º xº+10º a) 5° b) 10º c) 15º d) 20º e) 30º 6. En el gráfico: a // b ; m // n y α=66º, calcule "x". a m n αº 3xº βº φº φº βº b a) 66º b) 60º c) 33º d) 15º e) 11º

7. Si: L1// L2, calcule el valor de "x". φº φº 64º 2xº αºαº L₁ L₂ a) 40º b) 36º c) 32º d) 16º e) 8º 8. Si: BA = AD = DC, calcule: mBBCD. 5αº 3αº αº A C D B a) 12º b) 10º c) 15º d) 18º e) 16º

9. En el gráfico mostrado, calcule "xº", si: β=50º.

αº αº βº βº βº xº a) 90º b) 100º c) 120º d) 130º e) 150º 10. Si : a // b , calcule: xº+yº+zº. αº αº αº αº a b xº zº yº a) 120º b) 135º c) 150º d) 165º e) 180º

11. Si: L1// L2// L3 ; αº+βº=200º. Calcule el valor del ángulo ABC. L₁ L₂ L₃ A B βº αº aº bº bº aº C a) 60° b) 70º c) 80º d) 90º e) 100º 12. Si : L1// L2 ; b° - a°=70°. Hallar "xº" aº xº bº L₁ L₂ a) 50º b) 60º c) 70º d) 75º e) 90º

13. Si: a // b , AB // EF, α=22º y θ=144º, calcule el valor de "x°". θº αº xº A a b B E F a) 54º b) 58º c) 78º d) 122º e) 128º

50°

36°

(7)

Geometría

TRILCE

Colegios

1. En el gráfico mostrado, calcule la medida del ángulo ABC. aºaº 120º _40º A B C D a) 20º b) 60º c) 30º d) 40º e) 50º

2. En el gráfico mostrado, calcule: y - x.

80º x y 60º

a a

a) 20º b) 10º c) 60º d) 30º e) 25º

3. En el gráfico mostrado, hallar el valor de "xº". dº dº cº cº xº bº bº aº aº 80º a) 20º b) 15º c) 35º d) 10º e) 25º

4. Los lados de un triángulo miden 8, "x" y "3x", calcule el valor entero de "x".

a) 1µ b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

5. En un triángulo ABC, AB=5µ, BC=9µ. Calcule la diferencia entre el máximo y el mínimo valor entero que puede tomar AC.

a) 9µ b) 7 c) 6

d) 8 e) 5

6. En un triángulo ABC, se trazan las cevianas BE y BD, donde "E" ∈ AD y

m EBD 3 B _{= m DBC} 2 B _{=mBABE=xº, AB=AD y} BC=EC, calcule "xº". a) 10º b) 12º c) 15º d) 18º e) 20º

7. En el gráfico mostrado, calcule "xº".

4aº 4bº

aº bº

x

a) 120º b) 118º c) 144º d) 132º e) 126º

8. En el gráfico mostrado, calcular "xº". aº 2aº 2bº bº bº xº a) 120º b) 150º c) 144º d) 135º e) 105º

Tarea domiciliaria

14. En la figura L1// L2, si: mº+nº+qº=135º, calcule: (αº+θº) 48º mº nº qº 86º αº θº L₁ L₂ a) 93º b) 97º c) 100º d) 107º e) 108º

15. En el gráfico: L1// L2. Calcule el valor de "x°". xº 2αº 2θº θºαº αº L₁ L₂ a) 30º b) 37º c) 40º d) 45º e) 60º

(8)

TRILCE

Colegios 9. En un triángulo rectángulo ABC, recto en "B", se traza la ceviana CM. Si CM=12µ, MB=2x y AC=3x+6, calcule los valores enteros que puede tomar "x". a) 2,3,4,5,6 b) 2,3,4 c) 3,4,5 d) 4,5,6 e) 3,4 10. Dado el triángulo obtusángulo ABC, obtuso en "C", AC=6 cm y BC=4 cm. Calcular la suma del máximo y mínimo valor entero de AB. a) 13 cm b) 14 cm c) 17 cm d) 12 cm e) 16 cm

11. Dada la región triangular ABC cuyo perímetro es igual a 10 m. (en dicha región de ubica el punto "P"). Calcular PA+PC, sabiendo que dicha suma es entero y que además AC toma su máximo valor entero. a) 6,5 m b) 5,5 c) 4 d) 5 e) 6 12. En un triángulo isósceles ABC cuya base es AC, se ubican los puntos "P" en AB y "Q" en BC de modo que: mBPAQ=20º, mBACP=50º y mBPCQ=30º. Calcule la mBPQA.

a) 30º b) 28º c) 29º d) 31º e) 32º

13. Los lados de un triángulo isósceles miden 5µ y 12µ. Calcule el perímetro de la región del triángulo. a) 22µ b) 25 c) 24 d) 29 e) 30 14. Del gráfico mostrado, calcule "xº". 100º xº xº a) 120º b) 130º c) 135º d) 110º e) 145º

15. En el gráfico, halla el valor de "θº".

2θº 2θº 2θº θº 2θº a) 10º b) 15º c) 18º d) 20º e) 25º

16. Cuál es el máximo valor entero de la longitud de un lado de un triángulo, si el perímetro de su región es igual a 40µ.

a) 20µ b) 21 c) 22 d) 19 e) 18

17. En un triángulo ABC, en los lados AB y AC se ubican los puntos "D" y "E" respectivamente, DE=EC=BC. La medida del ángulo BAC es igual a 25º y la del ángulo ADE es igual a 35º. Calcular la medida de ángulo ABC.

a) 68º b) 85º c) 99º d) 70º e) 92º

18. En el gráfico, L1// L2 y el ángulo AOB es recto. Luego, el suplemento del complemento de "αº" es: αº 2αº B O A L₂ L₁ a) 30º b) 45º c) 60º d) 90º e) 120º

19. Calcular "x" si L1// L2 y el triángulo ABC es equilátero. 7θ x θ A C B L₂ L₁ a) 100º b) 130º c) 120º d) 140º e) 110º

(9)

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TRILCE

Colegios

Problemas resueltos

1. En un triángulo ABC, se traza la mediana BM, si mBBAC=106º y mBBCA=23º. Calcule: mBBMA. Resolución: 37º 3m 4m 6m 5m 5m A M S T B C 5m 6m 14º 106º x 23º Sea : TA=AC ∆BST : NOT 37º y 53º ∆BSC : NOT 14º y 76º :_{BTCM : Trapecio isósceles} • BM//TC ` xº=37º. 2. En un triángulo ABC, se traza la mediana BM, luego se traza AH ⊥ BM (H ∈ BM). BH=2(HM). Calcule mBCBM. (mBABH=45º) Resolución: 45 2m 2m 2m m m H x C S A B M Piden "x" Se prolonga BM y luego CS ⊥ BM ∆ AHM ≅ ∆ MSC HM=MS, AH=SC ∆ BSC: _`NOT53₂ y 127₂ _j ` X= 2 53 3. En un triángulo ABC, se traza la ceviana BN, tal que BN=AC, mBBAC=100º, mBBCN=30º. Calcule mBNBC. Resolución: x 100º 50º 80º 80º 20º 30º N B A T C Se prolonga BA tal que TC=BT ∆BNCT: Prop. del cuadrilátero no convexo mBTBN=40º.

\

x=10º.

4. En un triángulo isósceles ABC (BC=AC), se traza la ceviana BL, tal que mBBCA=2mBCBL. Calcule mBBCA, (AB=LC). Resolución: B A 90º-α 2α 2α 30 H L E S S S N α α α C Piden: 2α Se traza LE tal que mBLCE=2α

Se traza BH ⊥ AC, ∆ABH ≅ ∆BEN • BN=NL=BH (∆HBL: NOT 30º y 60º) 30=α+2α α=10

(10)

TRILCE

Colegios 1. Del gráfico, calcule "x". x _x θ θ α α a) 12° b) 18º c) 24º d) 36º e) 60º 2. Calcule "xº": B A C 80º xº α α θθ a) 140° b) 130º c) 120º d) 110º e) 125º

3. En el gráfico, calcule el valor de "xº".

3xº α α θ θ 4xº a) 18º b) 16º c) 19º d) 12º e) 20º

4. En un triángulo ABC, mBA - mBC=18º. Calcule la medida del ángulo formado por la bisectriz interior del BB y la mediatriz de AC. a) 16º b) 24º c) 18º d) 12º e) 9º

5. En un triángulo ABC, mBA=2(mBC), la bisectriz interior BD prolongada intersecta en "E" a la bisectriz exterior del BC. Si: DE=8µ. Calcule CE.

a) 4µ b) 7 c) 8

d) 6 e) 10

6. En un triángulo ABC, sobre la prolongación del lado CB se ubica el punto "Q", tal que la medida del suplemento del ángulo AQC es el doble de la medida del ángulo ACB. Calcule QB. Si: AQ=9 y BC=7. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 7. Sobre el lado AC de un triángulo ABC, se ubica el punto "E", de tal manera que: EB=AB=10, BC=16 y mBC=30°. Calcule EA. a) 16 b) 15 c) 14 d) 13 e) 12 8. En la figura, calcule "α". A B C F α E 15º 45º a) 30º b) 24º c) 20º d) 18º e) 15º

Problemas para clase

5. En un triángulo rectángulo ABC recto en "B" (AB=BC), se ubica un punto interior "P" PA=AB, mBBCP=135º. Calcule mBBCP. Resolución: B A 135º 45º I H P α a a a a θ θ θ C x Piden: "x" Se traza AH ⊥ BP BH=HP=α • ∆ABH ≅ ∆BIC (ALA) IC=BH • ∆BCI:NOT (37 y ₂º 143 ) • θ= º₂º 37₂ • x+ º 2 37 =45º

\

x=53 .₂º

(11)

Geometría

TRILCE

Colegios 9. En la figura, calcule "θ". A B C M 135º 8º θ a) 30º b) 31º c) 33º d) 35º e) 37º 10. En el gráfico, calcule: "xº ". AB = BC. A B C 21º 63º 30º xº a) 15º b) 20º c) 25º d) 30º e) 45º

11. En el gráfico 2 AB=2BC. Calcule: "α", si: AM=MB. B A M 135º α C a) 15º b) 37/2º c) 12º d) 45/2º e) 8º 12. En el gráfico, AM=MB, calcule "x". B A M 135º C x 53º/2 a) 10º b) 8º c) 12º d) 18º e) 16º

13. En un triángulo ABC, "M" punto medio de AC. Si: mBA=14º, mBC=25º/2, calcule la mBABM. a) 75º b) 82º c) 90º d) 100º e) 105º 14. En el grafico, PB=PC, AB=BC, calcule "xº". B A C P 75º xº a) 14º b) 15º c) 37º/2 d) 53/2º e) 30º 15. En un triángulo ABC, "P" punto medio de AC. Si la mBA=53º, mBC=23º, calcule la mBCBP. a) 28º b) 30º c) 36º d) 37º e) 53º/2

(12)

TRILCE

Colegios

Geometría

TRILCE

Colegios

Tarea domiciliaria

1. Dos lados de un triángulo isósceles miden 5µ y 12µ. Calcular su perímetro. a) 22µ b) 25 c) 27 d) 29 e) 31 2. Calcular "θ", si: AE=EF=FP=PB. 140º 3θ 2θ A E F P B C a) 10º b) 18º c) 15º d) 20º e) 24º 3. Calcular "x". β θ θ β xº 27º a) 9º b) 18º c) 27º d) 15º e) 28º

4. Si BC // ED, m - n=16º. Calcular "α". AD=DE.

A B C D E 2xº xº mº nº αº a) 16º b) 18º c) 22º d) 14º e) 26º

5. Calcular "θ" si los ángulos ACE y BFD son suplementarios. A B C D E F 3θ 3θ 2θ θ a) 10º b) 12º c) 15º d) 18º e) 20º

6. Calcular el valor de "x", si: a+b=220º y CN=NM. θ θ x b a M N C a) 110º b) 120º c) 140º d) 150º e) 135º 7. En un triángulo ABC, se tiene que 6AB=5AC y mBA=7º. Calcule la mBC. a) 37º b) 45º c) 30º d) 53º e) 60º 8. Según el gráfico, calcular "2x", si AB=AC. B A 80º 70º C x θ θ a) 60º b) 40º c) 10º d) 20º e) 50º 9. En un triángulo rectángulo ABC, recto en "B", se traza la ceviana interior CM, de tal manera que mBBCM=39º. Calcule "AM". Si: BC=9,6 y mBA=37º.

a) 6,4º b) 5º c) 4,8º d) 4º e) 3,2º

10. Según el gráfico, calcular: m+n. θ α α θ 40º 20º m n a) 220º b) 210º c) 145º d) 200º e) 250º

(13)

Geometría

TRILCE

Colegios

Geometría

TRILCE

Colegios

11. Según el gráfico, calcular (x+y).

A 40º x C y y y-α α B a) 200º b) 210º c) 220º d) 280º e) 245º 12. Calcular el valor de "x". si: 2mBABD+mBBCA=130º. α α 60º 2θº A _D R C B x 3θº a) 40º b) 50º c) 30º d) 45º e) 35º 13. Calcular "x", si AD=DC=BC. xº 35º 60º B A C D a) 85º b) 80º c) 65º d) 95º e) 75º 14. Calcular BC, si: AB+AD=4. αº 2θ θ αº A B C D a) 3º b) 5º c) 7º d) 9º e) 4º

15. Calcular "x", del gráfico mostrado. θ β β θ 80º x+m m x a) 8º b) 10º c) 12º d) 13º e) 15º

16. En la figura mostrada, calcular "xº"

A B C x 45º 30º D a) 10º b) 20º c) 30º d) 40º e) 25º

17. Sobre el lado BC de un triángulo ABC, se ubica el punto "D", tal que la mBADC es igual a la semisuma de los ángulos interiores de "A" y "B". Calcular BD, si además: AC=12µ y BC=16µ. a) 14µ b) 10 c) 8 d) 4 e) 6 18. Se tiene un triángulo obtusángulo ABC, obtuso en "C", de modo que mC! - mA!=32º. Calcular la medida del ángulo que forman la bisectriz exterior BE y la altura BH.

a) 64º b) 68º c) 70º d) 72º e) 74º

19. En un triángulo ABC la mBA=30º mBC=7º, BC=10. Calcule: AC. a) 12µ b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 20. En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior BD. Si mBA-mBC=20º. Hallar mBBDC. a) 100º b) 90º c) 105º d) 110º e) 120º

(14)

TRILCE

Colegios

Problemas resueltos

1. En la figura, los triángulos ABC y CPQ son equiláteros. Calcule: mBBQP. A B C Q P Resolución: a A B C Q P b 60º α θ θ x 60º a Se pide: "x" θ+α=60º ∆PQC : equilátero ∆APC ≅ ∆BCQ (L.A.L.) mBBQC=90º x+60º=90º x=30º 2. Dado un triángulo ABC, recto en "B", en la cual la ceviana interior es BR, tal que mBBAC=2mBABR y AB=RC. Calcule mBBCA. Resolución: a A B E C R x 2θ 2θ 90º-θ 90º-θ θ θ b b a Piden "x"

Se traza RE tal que: mBREB=90-θ ∆ ABR ≅ ∆ REC (L.A.L.) 2θ=x ∆ ABC: 2θ+2θ=90º 2θ=45º ` X=45º. 3. En el gráfico AB=BC=2, AR=1. Calcule BT. A R T B C 45º Resolución: x A R T B C F 45º 2 4 2 1 1 θ θ β β Se pide: "x" Se prolonga AC tal que mBTFC=90º ∆RAC ≅ ∆CTF (A.L.A.) • CF=1, TF=4 ∆ BTF (NOT 53 y 37) x=5 4. Del gráfico AB=EC. Calcule "x". A _B C E x 20º 20º Quinto UNI 14

TRILCE

Colegios

(15)

Geometría

TRILCE

Colegios

1. Si CD=CA, AB=2µ y BC=5µ. Calcule la distancia de "D" a L A B C D L a) 5µ b) 3 c) 6 d) 7 e) 8

2. En el gráfico, los triángulos ABC y BED son equiláteros. Calcule la medida del ángulo EDC. Si: mBAEB=108º. A B C D E a) 60º b) 30º c) 48º d) 45º e) 53º

3. En el gráfico, el triángulo ABC es equilátero. AB=a y AT=b. Calcular: BL. A B 60º T L C a) b b) a.b c) a-b d) b₂ e) a+₂ b

4. En el gráfico: AB=ED, AE=CD y CE=6. Calcular: BC. A B C D E 60º 60º a) 6 b) 6 2 c) 8 2 d) 12 e) 9

Problemas para clase

Resolución: a a M A B C E a a 40º 40º x 40º 30º 30º 20º 20º Piden: "x" Se construye el ∆ABM equilátero ∆AME ≅ ∆EBM (L.A.L.) ∆MBE ≅ ∆EBC (L.A.L.)

\ x

=30º. 5. En un triángulo ABC, obtuso en "B", se traza la mediana AM, mBBAM=30º, mBBCA=2mBMAC. Calcule mBMAC. Resolución: A B T M C 30º x l l l E S _x 2x 2x 30º+3x x Piden: "x" Se traza ME tal que mBMEC=2x

Se traza MT = AB ∆BTM ≅ ∆SME

mBBTM = x 30º+3x+x+90º=180º ` X=15º.

(16)

TRILCE

Colegios 5. En el gráfico, calcule "xº". A B C D P xº 24º 42º 48º 24º a) 30º b) 36º c) 42º d) 46º e) 48º 6. En gráfico: AE=MF, AE // MN y MN=AF. Halle "fº". A E M N F 70º φº a) 20º b) 30º c) 40º d) 25º e) 35º

7. En la siguiente figura, calcule la mBDCE. Si: BD=DE y la mBADE=100º. A B C D E α α a) 40º b) 30º c) 10º d) 20º e) 25º

8. En un triángulo equilátero ABC, en su región interior se ubica un punto "P" , si:

m ABP 4 B _{= m CAP} 5 B _{= m BCP} 6 B _. Calcule mBABP. a) 24º b) 24º c) 30º d) 37º e) 45º

9. En la siguiente figura, calcule mBCDA. si AB=BC=CD. A B C D 5x 7x 10x a) 50º b) 10º c) 40º d) 70º e) 100º

10. En la siguiente figura, calcule MP si: AD=16, BM=MC y mBBAD=mBPDC. A B C D M P a) 16 b) 12 c) 6 d) 4 e) 8

11. En el gráfico, calcule "αº" AP=BC.

A B C H 2αº 3αº 5α P a) 5º b) 7º c) 9º d) 10º e) 15º

12. En un ∆ ABC se traza la ceviana BD, tal que: AB ≅ CD y "D" está en el lado AC. Además, mBABD=60º y mBBAC=20º. Calcule la mBBCA.

a) 15º b) 30º c) 25º d) 22º30' e) 20º

(17)

Geometría

TRILCE

Colegios

Tarea domiciliaria

1. En el gráfico, AB=CD. Hallar la medida del ángulo formado por las rectas AB y CD. A B C D θ θ a) 60º b) 45º c) 30º d) 40º e) 15º

2. En el gráfico, los triángulos ABC y LCD son congruentes. Hallar la medida del ángulo formado por las rectas AB y LD. B L A C D a) 90º b) 100º c) 120º d) 150º e) 135º 3. Si: AB=CD. Calcule "α": A B D C α 2α 90 - α a) 10º b) 12º c) 16º d) 8º e) 18º

4. En cierto triángulo PQT, se traza de ceviana interior QM, de tal manera que: QM=PT y mMTSQ=4(mMQSP). Hallar: mMQSP, si: mQPSM=7(mMQSP).

a) 18º b) 16º c) 12º d) 10º e) 9º

5. En un triángulo ABC, se traza la ceviana interior BM, de modo que: mMBSC=2 (mMBSA) y mMCSB=2 (mMBSC). Calcular mMBSA, si BM=AC. a) 15º b) 18º c) 20º d) 24º e) 10º 13. Si mBBCD=30º, AB=BC y BD=AD. Calcular "θº". A B C D 4θº θº a) 12º b) 15º c) 10º d) 18º e) 20º

14. Dado un triángulo equilátero ABC, en AC y en la región exterior relativa a BC se ubican los puntos "D" y "E", respectivamente, tal que AD=EC, AE=BC y mBBAE=40º. Calcule la mBBDE. a) 30º b) 45º c) 40º d) 50º e) 60º 15. Del gráfico, BM=AC. Calcule "θ". A B C M 2θ 90º-θ θ a) 20º b) 30º c) 60º d) 10º e) 40º

(18)

TRILCE

Colegios

6. Sobre el lado AC de un triángulo ABC, se construye exteriormente el triángulo isósceles AEC, (AE=EC) de tal manera que mAESB=3mACSB y mCASB=2mECSA. Calcular mEASC,

si ECSA=mACSB.

a) 10º b) 12º c) 15º d) 18º e) 24º

7. En un triángulo ABC, obtuso en "B", se traza la ceviana interior BM, de tal manera que: MC=AB. Además, se sabe que mAS=12º y mCS=18º. Calcular mMBSA.

a) 9º b) 12º c) 15º d) 18º e) 24º

8. Se tiene un triángulo escaleno ABC. Exteriormente se construyen los triángulos equiláteros BAD y BEC. Hallar la medida del ángulo formado por CD y AE .

a) 135º b) 120º c) 125º d) 115º e) 130º 9. Calcule AD. Si: AB=9µ y CD=12µ. A B C D E 90º- αº 2αº 2αº 2αº a) 18µ b) 15 c) 22 d) 21 e) 20

10. En un triángulo ABC, sobre AC y BC se ubican los puntos "D" y "E", respectivamente. Si: AB=DC, mBBAC=mBBDE=32º, mBDBE=74º. Calcule la mBABD.

a) 32º b) 36º c) 40º d) 42º e) 48º

11. En un triángulo ABC, sobre AC se ubica un punto "P", sea "Q" un punto exterior relativo al lado AC, si: AB=BP, AQ=PC, mBBAC=2xº, mBCAQ=5xº, mBBQC=mBBCQ. Calcule "xº".

a) 8º b) 10º c) 12º d) 15º e) 20º

12. Si AB=BC, AH=3µ y HC=8µ. Halle la distancia de "B" a L A B C H L a) 4,5µ b) 6,5 c) 5,5 d) 5 e) 6

13. En el gráfico, calcule: "θº", si: AB=CD y BC = AD . A B C D 3θ 2θ 45º a) 7º b) 8º c) 9º d) 12º e) 15º 14. En un triángulo escaleno ABC, sobre sus lados exteriores se grafican los triángulos isósceles ABM y CBN. MC=12. Calcule la medida del segmento AN.

a) 6 b) 6 2 c) 6 3

d) 8 e) 12

15. En el gráfico, las regiones sombreadas son congruentes. Si: BM=3 y AC=11, calcule AB. A B C M H a) 4 2 b) 7 2 c) 5 2 d) 5 e) 10

(19)

Geometría

TRILCE

Colegios

16. Calcule "x", si los triángulos ABR y PBC son equiláteros. A B C R P x a) 30º b) 35º c) 45º d) 53º e) 60º 17. En el gráfico, calcular "x" 10º 40º 40º 80º x a) 10º b) 12º c) 15º d) 18º e) 20º 18. En la figura: AB=FC, calcular "αº". A B C F 2α α α a) 15º b) 18º c) 22º30' d) 30º e) 36º 19. En la figura, AP=BC, calcule "xº". A B C P 70º 40º xº a) 20º b) 10º c) 15º d) 30º e) 40º

(20)

TRILCE

Colegios

Problemas resueltos

1. Del gráfico, calcule: AC. Si: PB=4. A B C P α α α Resolución: A B C P 4 α α α α M T x Se prolonga CP ⇒ TP=PC Se traza por "P" MP // AC ⇒ MP: base media del ∆ATC ∆MPB: isósceles: MP=4 \x=8 2. En el gráfico AB=BC= ED 2 . Calcule "x". A B E C 4θ x _θ D Resolución: A B E C 2θ 2θ 2θ x _θ θ D S S m m m k k k T m m Sea ED=2n Se prolonga CP ⇒ TP=PC ⇒ Por dato: AB=BC=m T. mediana: CS=SE=SD=m ∆BSC ≅ ∆TSD: SC=TC ⇒ ∆ACT: NOT 30º y 60º \x=30º

3. Según el gráfico, AB=CD. L1 y L2 son mediatrices de AC y BD, respectivamente. Calcule

αθ L₁ L₂ B A C D α θ Resolución: // // m L₁ L₂ B A C D αα θ θ m β M Se pide: αθ T. mediatriz: AM=MC, MB=MD ∆ABM ≅ ∆CMD (L.L.L.) ⇒ 2α+β=2θ+β α=θ \ αθ =1

(21)

Geometría

TRILCE

Colegios

1. En la figura, calcule BC, si: HM=6.

A B C H M α α a) 9 b) 12 c) 15 d) 18 e) 24 2. En un triángulo ABC la medida del B ABC es igual a 128°. Las mediatrices de AB y BC cortan a AC en los puntos "R" y "S", respectivamente. Luego, la suma de las medidas de los ángulos ABR y SBC es :

a) 40º b) 48º c) 50º d) 52º e) 64º

3. En un triángulo ABC (AB<BC), se ubica "P" sobre AB y "Q" sobre BC, tal que : PB=QC. Las mediatrices de PQ y BC se intersectan en "F", Si: mBB=48º, calcule la mBFCQ. a) 20º b) 24º c) 30º d) 36º e) 48º 4. Calcule QP, si: AM=MP, BP=PC y MC = 18 A B C Q P M α α a) 36 b) 24 c) 18 d) 12 e) 9

5. En la siguiente figura, calcule "α". 30º 20º

70º

10º α

a) 9º b) 10º c) 15º d) 22,5º e) 30º

Problemas para clase

4. En el gráfico mostrado, AD=BC. Calcule "x". 3x 2x x x A B D C Resolución: 2x 2x x x x x A B C 120-2x D T m 3x 2x 4x x x m

Se traza DS tal que mBDSC=2x ∆ASD ≅ ∆BDC (L.A.L.)

∆ATD ≅ ∆ADS

ABDT: propiedad cuadrilátero no convexo ⇒mBABD=120 - 2x

\ x

=10º.

5. En el gráfico mostrado, calcule: "x".

x 30 1010 A B C M T Resolución: 50º 40º 40º 40º 30º H F x 10º 10º m m m m A B C M T G ∆AFG: NOT (30º y 60º) AF=2m, FG=m T. bisectriz: FG=FR ∆ MHF ≅ ∆ FRT (A.L.A.) ⇒ MF=FT

\

x=20º

(22)

Geometría

TRILCE

Colegios 6. En el gráfico, calcule HM, AM=MC. AB=12 y BC=18. A B C H M θ θ a) 3 b) 3,5 c) 4 d) 5 e) 6 7. En un triángulo ABC, se traza la mediana BM. Si: AB=8µ y BC=12µ, calcule el máximo valor entero de BM.

a) 8µ b) 11 c) 9

d) 10 e) 12

8. En un triángulo ABC, se traza la mediana BM. Si: AB=50µ, BC=14µ, BM=24µ, calcule la mBABM.

a) 37º/2 b) 24º c) 30º d) 32º e) 16º

9. En un triángulo isósceles ABC (AB=BC) se ubica el punto "P" en el interior, AP=AB, mBABC=2(mBBAP) y mBPCB=2(mBPAC). Calcule: mBAPC. a) 100º b) 110º c) 120º d) 130º e) 140º 10. De la figura, calcule: MN. Si: QM=7. Q M R N P θ θ 2α α a) 12º b) 13º c) 14º d) 15º e) 16º 11. En la figura mostrada, AC=CD. Calcule : "θ". A D B C 2θ θ 3θ 4θ a) 10º b) 12º c) 15º d) 18º e) 20º

12. En el gráfico: EL=2(FB). Calcule la mBFBC.

A B C F E L αº 3αº 15º αº a) 30º b) 40º c) 50º d) 53º e) 60º 13. En el gráfico : AH 2 =AB=HC. Calcule la mBABD. A B C D H a) 37º/2 b) 45º/2 c) 53º/2 d) 30º e) 38º

14. Según el gráfico, calcule "x".

A B C D 80º 40º 30º 70º x a) 40º b) 50º c) 30º d) 45º e) 60º 15. Según el gráfico, calcule "x", si AM=MC. A B C M 90º-2x x 45º a) 18º b) 20º c) 37º/2 d) 53º/2 e) 15º

(23)

Geometría

TRILCE

Colegios

Tarea domiciliaria

1. Sobre el lado BC de un triángulo ABC, se construye exteriormente el triángulo BEC, de tal manera que mBEBC=90º, mBE!A=14º, mEA!C=30º y AE=2EB. Calcular mBC!E, si AC!B=74º a) 30º b) 37º c) 45º d) 53º e) 60º 2. Hallar PH, si: BH=36µ. A C B P M H a) 18µ b) 15 c) 12 d) 9 e) 6

3. En un triángulo ABC, se traza la altura BH y la mediana BM; de tal manera que:

mBABH=mBHBM=mBMBC. Calcule mBHBM.

a) 30º b) 37º c) 45º d) 53º e) 60º

4. En un triángulo rectángulo ABC, recto en "B", sobre la hipotenusa AC se ubica un punto "D" tal que el ángulo ABD mide 24º. Si el ángulo "C" mide 38º y BD=5. Calcule AC. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 5. En la figura, calcule "x", si: AP=PB y PC=2AB. A B C P x a) 15º b) 18º c) 20º d) 24º e) 10º 6. En la figura: AM=MB, MO=OC y MN // OA. Calcule MN, si: OA=21µ. A B C M N O a) 10µ b) 7 c) 10,5 d) 9 e) 14 7. En la figura, calcule "x", si MN=NC, AM=CB y mBANC=120º. A B C M N xº a) 53º b) 60º c) 63º30' d) 75º e) 80º 8. En un triángulo ABC, se traza la mediana BM. AB=7µ y BC=9µ. Calcule el mayor valor entero de BM.

a) 6µ b) 7 c) 8 d) 5 e) 4

9. En un triángulo rectángulo ABC, recto en "B", se traza la ceviana CE y en los triángulos ABC y AEC se trazan las alturas BD y EF, respectivamente. Si BC=5µ, EF=3µ y la mBBAC=2(mBBCE), calcule: BD.

a) 1µ b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

10. En un triángulo rectángulo ABC, recto en "B", sobre la hipotenusa AC se ubica un punto "D" tal que el ángulo ABD mide 24º. Si el ángulo "C" mide 38º y BD=8, hallar AC.

a) 6 b) 7 c) 16

(24)

TRILCE

Colegios 11. En la figura, calcule "x". Si HC=4AH. A B H C φ 2φ x a) 62º b) 60º c) 53º d) 45º e) 37º

12. En la figura, calcule "θ". Si: AM=BM y CM=BC/2.

θ 2θ A B C M a) 32º b) 37º c) 36º d) 24º e) 18º 13. En un triángulo rectángulo ABC, la altura BH y la bisectriz interior AD se cortan en "P". Luego, por "P" se traza una paralela al lado AC que corta a BC en "N". Calcular NC, si: BD=6cm. a) 2cm b) 3 c) 4 d) 6 e) 5 14. En la figura, calcule BC si MH=9cm. α α A B C H M a) 9cm b) 12 c) 15 d) 18 e) 24 15. En un triángulo acutángulo ABC, se trazan las alturas BQ y CP. Calcular mBPMQ, siendo "M" punto medio de BC y mBA=50º.

a) 80º b) 70º c) 60º d) 40º e) 50º

16. En un triángulo ABC, se traza la altura BH de tal manera que mBHBC=2(mBHBA) y 8(AH)=3(HC). Calcular mBC. a) 37º b) 30º c) 24º d) 16º e) 15º 17. En la figura mostrada, hallar "x", si AM=MC. A B C H M x 70º a) 20º b) 45º c) 50º d) 40º e) 25º 18. En la figura mostrada, AM=MC. Calcular "α". 45º 2α α B A C M a) 10º b) 15º c) 20º d) 5º e) 18º

19. En un triángulo ABC: mBABC=62º; sobre AB y BC se ubican los puntos "P" y "Q", respectivamente. Tal que BP=QC y las mediatrices de BC y PQ se cortan en "O". Hallar mBOBC. a) 30º b) 31º c) 28º d) 26º30' e) 24 20. En un triángulo obtusángulo ABC, obtuso en "A", mBB=2(mBC), se levanta AP perpendicular a AC ("P" en BC). Calcule: PC, si: AB=6µ. a) 3µ b) 6 c) 9 d) 12 e) 15

(25)

TRILCE

Colegios

Problemas resueltos

1. Se tiene un polígono equiángulo tal que el número de diagonales más el doble del número de lados es 36. Calcule la medida del ángulo interior de dicho polígono.

Resolución: Dato: N diag + 2n = 36 ( ) n n 2- +2n = 36 3 ⇒ n=8. • BInterior =180(_nn- 2) =180 6 =135º. ₈( ) BInterior =135º. 2. En el gráfico, ABCDEF es un polígono equiángulo, L es mediatriz de CD, y BT=6. Calcule TN. A B C D E F T N θ θ L Resolución: A B C D E F T N θ θ=60º 60º _{6 x} x 120º 120º α α S BInterior = ( ) 6 180 6 2_{- =120º} ⇒ θ=60º T. mediatriz: CT=TD ∆STC ≅ ∆TDN (A.L.A.) ⇒ ST=x ∆BTS: NOT(30º y 60º)

\

=3 3 .

3. Si el número de diagonales aumenta en 18 en un polígono regular, su ángulo central disminuye en 20º. Calcule el número de lados.

Resolución:

Lados Diag B_central Polig 1 n n n( ) 2-3 360n Polig 2 m m m(₂-3) 360_m Dato: n n( ) 2- + 18= (3 m m2-3) n 360 - 20 = 360_m Despejando y operando :

\ n

=6 4. Se tiene un octógono equiángulo ABCDEFGH tal que AB=1, CD=2, BC= 2 y DE=2 2 . Calcule mBDEA. Resolución: 2 2 2 5 45º 45º 37º/2 53º/2 135º 135º 53º/2 2 5 2 53 x A B C D E F G H S T 1 1 1 2 2 2 Piden "x" B_{interior : 180 (} ) 8 8 2_{- =135º} ∆SCA (NOT 53 y ₂º 127 ) ₂º ∆CTE (NOT 53 y ₂º 127 ) ₂º ∆ACE (NOT 53 y ₂º 127 ) ₂º

(26)

TRILCE

Colegios x= 2 53 + 37 ₂

\

x=45º.

5. Según el gráfico, calcular "x" si los polígonos ABCDE... y MCNP... son equiángulos, además el número de lados del segundo es mínimo.

A B C D N P M 3θ 2θ x Resolución: A B C N P M 3θ 2θ x m lados n lados

1. Calcule el número de vértices de un polígono cuyo número de diagonales es el triple del número de lados.

a) 10 b) 11 c) 12

d) 9 e) 8

2. Si: ABCDEF es un hexágono regular, calcule "x". A B C D E F xº 5xº a) 8° b) 10º c) 15º d) 20º e) 21º

3. Si a un polígono se le aumentan cuatro lados, entonces la suma de las medidas de sus ángulos internos se duplica. Calcule el número de vértices del polígono :

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 4. Marcar la proposición correcta : • El círculo es un conjunto convexo. • Las rectas paralelas son un conjunto convexo. • Todo ángulo es conjunto no convexo. • Todo polígono es un conjunto convexo. a) VFFF b) FVVV c) FVFV d) VFVF e) VFVV 5. Al aumentar en tres el número de lados de un polígono, el número de diagonales se duplica. Calcule la suma de las medidas de los ángulos internos de dicho polígono.

a) 720º b) 900º c) 1080º d) 1440º e) 1260º

Problemas para clase

Piden "x" Dato: 3θ= n 360 ⇒ θ= n 120 ⇒ n (mínimo) Si: n=3 ⇒ θ=40º n=4 ⇒ θ=30º ⇒ 2θ=360 ⇒ 80=_mº 360_mº m: no existe ⇒ 2θ =360 ⇒ 60=_mº 360_mº m= 6 (existe) ⇒ 3θ+x+2θ=180º 90º+x+60º=180º

\

x=30º.

(27)

Geometría

TRILCE

Colegios 6. Indicar el valor verdadero de cada proposición: • Todo polígono tiene ángulos exteriores. • Si un polígono presenta ángulos internos de igual medida será polígono regular.

• Todo polígono es un conjunto convexo. • Todo polígono es no convexo. • Si a toda región poligonal se le extrae una diagonal, el conjunto resultante será no convexo. a) FVFFF b) FFVVV c) FFFFV d) FFVVF e) FFFFF

7. Si de cuatro vértices consecutivos de un polígono convexo se trazan 25 diagonales, ¿cuántas diagonales tiene en total el polígono?

a) 27 b) 35 c) 44 d) 54 e) 45 8. En un decágono regular ABCDEFG ... Calcular "x". x= m ADE m ADC B B + m CEF m DEC B B a) ₇1 b) ₂₁2 c) ₁₇9 d) 21 10 e) ₂₃5

9. Indicar verdadero o falso, según corresponda: • La semirrecta es un conjunto convexo. • Una región triangular cuyos vértices se han omitido, es aún una región convexa. • Dos rectas paralelas al ser intersectadas por una recta secante determinan cuatro regiones convexas y dos no convexas en el plano. a) VFV b) VVF c) VVV d) VFF e) FFV

10. Exteriormente y sobre los lados AB y BC, de un triángulo ABC equilátero, se construyen el hexágono regular ABMNLT y el cuadrado BCQP. Calcule la medida del menor ángulo que forman las prolongaciones de MT y PA. a) 10º b) 15º c) 25º d) 30º e) 20º

11. Al disminuir 5º, la medida de cada ángulo interno de un polígono equiángulo resulta otro polígono cuyo número de lados es 3/4 del número de lados del polígono original. Calcule la medida del ángulo externo del polígono original.

a) 10º b) 15º c) 18º d) 30º e) 24º

12. Se grafica el octógono equiángulo ABCDEFGH y se prolonga el lado GF hasta "M" (M={GF∩DE}), de modo que: EM=DE= CD

2 2= BC2 . Calcule mBEBM.

a) 16º b) 8º c) 4º d) 32º e) 15º

13. Calcule el número de diagonales del polígono regular ABCDEFGH .... A B C D E F G H α 2α a) 27 b) 35 c) 44 d) 54 e) 65 14. Dar el valor de verdad de: • Una región triangular en la cual se han omitido dos de sus vértices, es una región convexa. • La diferencia de dos conjuntos no convexos puede ser un conjunto convexo. • Todo polígono es un conjunto no convexo. a) VVV b) VVF c) FVV d) FFV e) VFF 15. En un pentágono regular ABCDE, se considera el punto interior "P", tal que: PD=DE y mBPAB=42º. Calcule mBPDE. a) 60º b) 50º c) 30º d) 45º e) 75º

(28)

TRILCE

Colegios

Geometría

TRILCE

Colegios

Tarea domiciliaria

1. Desde tres vértices consecutivos de un polígono se trazan 14 diagonales. Calcular cuántas diagonales en total se pueden trazar en el polígono.

a) 15 b) 20 c) 25

d) 30 e) 40

2. En un pentágono regular ABCDE, las diagonales AC y BE se intersecan en "F", de modo que: EF= 5. Calcular la medida del lado del pentágono.

a) 5 b) 5 2 c) 2 3 d) 5 3 e) 2 5

3. Si a un polígono se le aumentara 3 lados, su número de diagonales aumentará en 15. Hallar el número de vértices del polígono.

a) 4 b) 5 c) 8

d) 12 e) 18

4. La diferencia del número de diagonales de cierto polígono y el número de ángulos rectos a que equivale la suma de las medidas de sus ángulos interiores es 8. Entonces, el polígono tiene:

a) 4 vértices b) 5 c) 8 d) 12 e) 18

5. La medida de los ángulos interiores de 2 polígonos convexos regulares difieren en 20º y las medidas de los ángulos exteriores suman 100º. ¿Cuántas diagonales tiene el polígono de mayor número de lados?

a) 27 b) 18 c) 32

d) 40 e) 52

6. En un polígono convexo de "n" lados, calcular la suma de las medidas de los ángulos formados al prolongar los lados del polígono.

a) 180º n b) 360º n c) 90º (n-2) d) 180º (n-4) e) 360º (n-2) 7. Un octógono equiángulo ABCDEFGH tiene por lados GH=4µ, AH=4 2 µ, AB=3µ. Hallar GB. a) 12µ b) 113 c) 120 d) 13 e) 15 8. Desde 5 vértices consecutivos de un polígono se trazan 59 diagonales. Hallar el número de diagonales de dicho polígono.

a) 16 b) 100 c) 104 d) 150 e) 130

9. Se tiene un polígono regular ABCDEF..., de "n" lados donde mACD% =135. Hallar el número total de diagonales

a) 30 b) 45 c) 54

d) 84 e) 104

10. El lado de un polígono equilátero mide 6 cm y el número que expresa su cantidad total de diagonales equivale al perímetro del polígono. ¿Cuántos lados tiene el polígono?

a) 10 b) 12 c) 15

d) 18 e) 20

11. Al disminuir en 2 el número de lados de un polígono convexo, se obtendrá otro polígono con 15 diagonales menos. Hallar el número de lados original.

a) 10 b) 12 c) 15

d) 18 e) 20

12. En un polígono regular ABCDEF... de "n" lados, las diagonales AD y BF se intersecan en el punto "P". Hallar "n" si el ángulo APB mide 27º.

a) 18 b) 20 c) 12

d) 15 e) 16

13. La diferencia de los ángulos exteriores de dos polígonos regulares es 9º. Si uno de ellos tiene dos lados más que el otro, hallar el número de lados del polígono que tiene menor ángulo exterior.

a) 8 b) 6 c) 10

d) 12 e) 15

14. Si la diferencia entre los ángulos exteriores de dos polígonos regulares es 18º. ¿Cuál es la diferencia entre las medidas de sus ángulos centrales?

a) 12º b) 15º c) 18º d) 20º e) 36º

(29)

Geometría

TRILCE

Colegios

Geometría

TRILCE

Colegios

15. En un polígono convexo, el número de diagonales es igual a cuatro veces el número de vértices. Hallar el número de lados.

a) 13 b) 12 c) 10

d) 11 e) 9

16. En cierto polígono de "n" lados, desde (n-7) vértices consecutivos se trazan (7n+4) diagonales. Hallar "n". a) 24 b) 23 c) 21 d) 19 e) 17 17. De uno de los vértices de un polígono convexo se pueden trazar (a+3) diagonales. ¿A cuántos ángulos rectos equivale la suma de los ángulos internos de dicho polígono?

a) 2(a+3) b) 3(a-3) c) a+3 d) 2(a+4) e)₂3 (a+5)

18. Si se disminuye en dos el número de lados de un polígono, el número de diagonales disminuye en 19. Hallar el número de diagonales media, trazadas desde un punto medio de un lado de dicho polígono.

a) 11 b) 13 c) 15

d) 16 e) 18

19. En cierto polígono de "n" lados, desde (n-7) vértices consecutivos se trazan "2n" diagonales. Hallar el máximo número de diagonales media de dicho polígono.

a) 55 b) 50 c) 48

d) 45 e) 42

20. La diferencia de las medidas de los ángulos internos de dos polígonos regulares es 6º. Si la diferencia de sus lados es 16, hallar el número de lados de uno de ellos.

a) 15 b) 24 c) 30

(30)

TRILCE

Colegios

Problemas resueltos

1. Según el gráfico, ABCD es un paralelogramo. Si CM=MD, calcule "θ". 40º θ θ A B C D M Resolución: 40º 40º θ θ A B C D M 2θ a a a a F S Se prolonga BM ∆BMC ≅ ∆MDF ⇒ mBMFD=θ. ⇒ ∆ SDF: isósceles

\ θ

=50

2. En un trapecio rectángulo ABCD, recto en "C" y "D", se ubica el punto medio "M" de AC y el punto "T" en la prolongación de

CB. Tal que mB TBA=80º y 3(BC)=2(AD). Calcule mBABM. Resolución: a a 80º 80º x 80º 2m 3m A B C D m m E M H _T Piden "x":

AH = EC Tal que: EH=HB=m ∆ EAC: BM es la base media ⇒ EA // BM, mBMBC=80º

\

x=20º.

3. En el gráfico, ABCD es un rectángulo. Calcule DC si la distancia de "F" a BC es 4 y AE=20. A B C D θ _θ F E Resolución: A B C D θ θ 2θ E F S 4 4 x 20 20 20 N Piden: "x" Por el T. bisectriz: SF=FE AS=AE=20 FN=SB=4 x+4=20

\

x=16.

4. En un trapecio ABCD (BC // AD), se ubica el punto medio "M" de CD, tal que BM es perpendicular a AB, mBCBA= 120º, AB=8 y BC=4. Calcule AD. Resolución: A B C D 8 30º 30º 4 T 4 4 M a a 8 x Se traza la base media MT ∆BTM: (NOT 30º y 60º)⇒ TM=8 T. base media: 8=4 + ₂ x

\

x=12. Quinto UNI 30

TRILCE

Colegios

(31)

Geometría

TRILCE

Colegios 5. En el gráfico, ABCD es un cuadrado, BCNM es un romboide, DM=2MB. Calcule "x". x A B C D N M

1. En un romboide ABCD, se traza BP y DQ perpendiculares a AC, tal que : AB=PQ y mBABP=53º. Calcule: mBACB. a) 22º b) 16º c) 8º d) º 2 37 e) º 2 53 2. En el gráfico, ABCD es un rectángulo. AR=10µ, CD=8µ. Calcule : PQ. A B C D P Q R θ 2θ a) 1µ b) 2 c) 2,5 d) 3 e) 4 3. En el gráfico, ABCD es un rombo. "O": centro, BM=MO y CH=12u. Calcule: AM. A B _C D E M H 45º O a) 9 2 µ b) 8 2 c) 9 d) 5 2 e) 4 4. En el gráfico, ABCD es un rectángulo. Además: PD=6 cm, AL=3 cm. Calcule: LC. A B C D L P θ θ a) 7 cm b) 8 c) 10 d) 9 e) 11 5. Se tiene un rombo ABCD. Se traza la mediatriz de BC que intersecta a AC en "G", se prolonga DG que intersecta a BC en "F", tal que: mBCFG=2(mBACD). Calcule : mBFAG. a) 16º b) 18º c) 36º d) 72º e) 24º

6. Sea ABCD un trapezoide, tal que: AC es bisectriz del ángulo BAD. Sea DF una perpendicular de AC, tal que: mBFBC=4mBDCF y mBABC=90º. Calcule la mBFCD. a) 15º b) 18º c) 20º d) 24º e) 32º 7. En el gráfico, ABCD es un romboide. Calcule: "x". A B C D O 90º+x x 53º/2 a) 10º b) 12º c) 15º d) 18º15' e) 20º

Problemas para clase

Resolución: n 2n 3n x A B C D N M 37/2 n Se traza BD=AC=3n BD // CN: mBACN=90º ∆ACN (NOT 37 y ₂ 143 ) ₂

\

x=53 .₂º

(32)

Geometría

TRILCE

Colegios

8. En el gráfico, BCEF rombo ("O" centro del rombo). AO=CH. Calcule "xº". Si: CD=BC. A B _C D F E H O 10º xº θ θ a) 30º b) 40º c) 50º d) 60º e) 70º 9. En el cuadrilátero ABCD; FB, CD y ED miden 18; 24 y 16 unidades, respectivamente. Si: FM=ME y BN=NC. Calcule MN. A B C D E F M N 37º 53º a) 15µ b) 16 c) 17 d) 18 e) 20

10. En el gráfico, calcular "θº", si: BC=AD.

A C B D 2θº 2θº 3θº θº a) 10º b) 12º c) 15º d) 18º e) 20º

11. En un trapecio ABCD (BC // AD), mBA=28º, mBD=76º y AB=32u. Calcule la longitud del segmento que une los puntos medios de AC y BD.

a) 32µ b) 24 c) 18 d) 16 e) 12

12. En un paralelogramo ABCD, las mediatrices de AB y BC se cortan en "P", un punto que pertenece a AD, si: mBD=112º. AB<BC. Calcule la mBPCD.

a) 12º b) 15º c) 18º d) 20º e) 24º

13. En el gráfico mostrado: 2α+θ=90º, 2β+γ=90º, AD=4 , AB=AE, CD=ED. Calcule la distancia del punto medio de BC a AD.

A B C D E θ α β γ a) 4 b) 3 c) 2 d) 6 e) 8 14. En un romboide ABCD, sobre AB se ubica un punto "M" y el punto medio "N" del lado BC. Si: mBNMD=90º y MN = MD, calcule la mBBMN. a) º 2 37 b) º 2 53 c) 30º d) 36º e) º 2 45

15. Del gráfico, ABCD y MNPQ son cuadrados y "M" centro del cuadrilátero. Calcule "x".

A B C D M N P Q 36º x a) 36º b) 54º c) 48º d) 72º e) 45º

(33)

Geometría

TRILCE

Colegios

Tarea domiciliaria

1. En el trapezoide ABCD, se cumple que: mBA - mBB=11º; mBA - mBC=13º, mBA - mBD=16º. ¿Cuánto mide el ángulo "A"? a) 80º b) 90º c) 120º d) 100º e) 115º

2. Calcule PQ, si: BC // CD, AB=7u, BC=8u, CD=11µ y AD=20µ. A B C D M N P Q α α θ θ a) 6µ b) 4 c) 5 d) 3 e) 7 3. En un trapezoide ABCD: mBB=120º, mBC=100º. Calcule la medida del ángulo que forman las bisectrices interiores de "A" y "D". a) 100º b) 120º c) 115º d) 110º e) 105º

4. Dado el cuadrilátero ABCD, tal que las diagonales AC=m y BD=n. Luego se toman los puntos medios "P", "Q", "R" y "S" de los lados AB, BC, CD y AD, respectivamente. Luego, el perímetro de PQRS, es:

a) 2(m+n) b) ₂3 (m+n) c) m+n d) m+ e) ₂ n ₃2 (m+n)

5. Se tiene un cuadrado ABCD cuyo lado mide 24µ. "F" es punto medio de BC, los segmentos DF y AC se cortan en "G". Calcule OG ("O" es centro del cuadrado).

a) 2 b) 2 2 c) 4 2 d) 6 2 e) 8 2

6. En el trapecio isósceles donde uno de los ángulos mide 45º y uno de los lados no paralelos mide 6µ, calcule el segmento que une los puntos medios de las diagonales.

a) 6µ b) 3 c) 3 2

d) 6 2 e) 4

7. El perímetro de un rombo es 24µ y uno de los ángulos interiores mide 120º. Calcular la distancia que hay entre dos lados opuestos. a) 2 3 b) 3 3 c) 2 6 d) 6 e) 3 2

8. En un romboide ABCD, la base AD mide el doble de la altura BH. mBBDA=30º. Calcule la mBBCD. a) 45º b) 95º c) 60º d) 85º e) 75º 9. En el trapezoide ABCD: AC = BD; AC=16µ y BD=12µ. Calcule "x". A B C D x a) 7µ b) 10 c) 14 d) 13 e) 20 10. En un trapecio isósceles ABCD de bases AD y BC, calcule: mBABC. Si: 2(AB)=2(BC)=AD. a) 100º b) 90º c) 110º d) 120º e) 135º 11. Hallar el perímetro del romboide ABCD, donde las bisectrices interiores de "B" y "C" se cortan en un punto de AD y además: AB=3,5. a) 31,5 b) 24,5 c) 17,5 d) 28 e) 21 12. ABCD es un paralelogramo. Calcule:( ABEF )-1 A B _C D H F E 2θ θ a) ₃1 b) ₉1 c) ₂1 d) ₃2 e) 1

(34)

TRILCE

Colegios

13. Sea ABCD un trapecio (BC // AD) en el cual se cumple que: AD=36+BC y mBB+mBC=270º. Calcule la longitud del segmento que une los puntos medios de las bases.

a) 14 b) 17 c) 15

d) 18 e) 20

14. ABCD es un cuadrado y ARD es un triángulo equilátero interior al cuadrado. Calcule la mBRCB.

a) 15º b) 20º c) 30º d) 18º e) 10º

15. Se tiene un trapecio isósceles ABCD, donde BC y AD son las bases. Si AC es el doble de la mediana, calcule el menor ángulo formado por AC y BD. a) 15º b) 30º c) 37º d) 45º e) 60º 16. En el gráfico mostrado, ABCD es un cuadrado. CH=3µ y PH=4µ. Calcule AH. A B C D H P a) 7µ b) 9 c) 11 d) 13 e) 14

17. Si los ángulos adyacentes de la base mayor de un trapecio son complementarios. Dichas bases miden 4µ y 10µ. Calcule la longitud del segmento que une los puntos medios de la base.

a) 2 b) 3 c) 2,5

d) 4,5 e) 4

18. Se tiene un rombo ABCD y se construye exteriormente el cuadrado CDEF. Calcule la mBAEC, si mBBAD=42º. a) 67º b) 58º c) 62º d) 47º e) 69º 19. Calcule "x", si : AD = DC y el triángulo AED es equilátero. A B C D E 37º 23º xº a) 35º b) 45º c) 30º d) 60º e) 75º 20. Dado el cuadrado ABCD, se ubica en el punto "F", en diagonal AC, de manera que

mBAFB=10mBCDF, calcule mBCDF. a) 22,5º b) 15º c) 10º d) 9º e) 5º

(35)

TRILCE

Colegios

Problemas para clase

1. En el gráfico: AB ≅ BC ≅ AC y aº+bº=140º. Calcule la mBFCB. A B C F θ θ bº aº a) 10º b) 15º c) 20º d) 30º e) 40º

2. En el gráfico mostrado, calcule xº +yº. 2αº αº 20º 2θº θº yº xº a) 240º b) 260º c) 270º d) 320º e) 340º 3. En un triángulo ABC, mBA=53 y mBB=45º. ₂ Calcule "AB", si BC+AC=8( 2 + 5 ) a) 16( 2 + 5 ) b) 24 c) 4(2+ 5 ) d) 4( 2 +5) e) 16

4. En la figura, AB=BC. Calcule QC, si AQ=8, PC=2. Q A B C P α α θ θ a) 6 b) 5 c) 3 d) 4 e) 7 5. En la figura, calcule "x", si: MC=2AB. A B C M x 2x a) 22,5º b) 30º c) 15º d) 12º e) 9º

6. En un triángulo ABC, sobre AC y BC se ubican los puntos "D" y "E", respectivamente. Si AB=DC, mBBAC=mBBDE=32º, mBDBE=74º, calcule la mBABD.

a) 32º b) 36º c) 40º d) 42º e) 48º

7. En un triángulo ABC se traza la mediana BM. AB=50µ, BC=28µ y BM=25µ. Calcular la mBABM.

a) 16º b) 37º/2 c) 53º/2 d) 30º e) 32º

8. En un triángulo ABC, sobre AB y BC se ubican los puntos "M" y "N", respectivamente, tal que BM=NC, las mediatrices de MN y BC se intersecan en "P". Si mBABC=56º, calcular la mBPCB.

a) 56º b) 42º c) 40º d) 30º e) 28º

9. Calcule el número de lados de un polígono cuyo número de diagonales excede al número de vértices en 18.

a) 5 b) 6 c) 7

(36)

Geometría

TRILCE

Colegios

10. Si a un polígono se le aumenta cuatro lados, entonces la suma de las medidas de sus ángulos se duplica. Calcule el número de vértices del polígono.

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

11. En un trapezoide ABCD, las bisectrices de los ángulos ABC y BCD se intersectan en "P". Si mBBAD=mBCDA, CD - AB=3, BC=15 y mBBPC=45º, calcule la mBABC.

a) 120º b) 127º c) 135º d) 143º e) 150º

12. Del gráfico, ABCD y CPQR son cuadrados, calcular "x". A B C D R Q P 15º x a) 18º30' b) 22º30' c) 26º30' d) 30º e) 31º 13. Del gráfico, calcular DP, si ABCD y APQR son cuadrados. AB=4 y BR=6. A B C D P Q R a) 9 b) 8 c) 10 d) 15 e) 7,5

14. En un trapecio ABCD (BC // AD) se cumple que 2CD=5AB y mBD=23º. Calcular mBABC. a) 104º b) 143º c) 135º d) 127º e) 120º 15. En el gráfico, ABCD es un cuadrado, BQ=9µ y DR=6µ. Calcular la medida de PS. A B C D P Q R S a) 12µ b) 15 c) 13 d) 18 e) 16

(37)

Geometría

TRILCE

Colegios

Tarea domiciliaria

1. Calcule la medida del ángulo interno de un polígono equiángulo de 35 diagonales.

a) 120º b) 135º c) 144º d) 160º e) 150º

2. Calcule la suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono de 44 diagonales . a) 1260º b) 1080º c) 900º d) 1440º e) 1620º 3. En la siguiente gráfico, calcule AC, si MD=4 y CM=ME. A B C M D E 45º a) 8 b) 4 c) 6 d) 12 e) 18

4. En un triángulo equilátero ABC, se traza la ceviana exterior BR, luego se ubica un punto "P" exterior y relativo al lado BC de tal manera que BP=8, AB // PC. Calcule BR, si AR=PC.

a) 16 b) 12 c) 6

d) 4 e) 8

5. Los lados de un triángulo miden (α+2), (α+3) y 8. Calcular el menor valor primo que puede tomar "α" para que el triángulo exista.

a) 13 b) 7 c) 5 d) 11 e) 2 6. En el siguiente gráfico, calcule "x", si AC=5 y PQ=1. A B C Q P x x a) 37º/2 b) 45º/2 c) 30º d) 15º e) 53º/2

7. En el gráfico mostrado, (BC // AD), BC=5µ y AD=9µ. Calcular BH. A B C D H 2θ θ 3θ a) 1 b) 2 c) 4 d) 3 e) 6 8. Exteriormente a un triángulo ABC, se construyen los cuadrados ABDE, ACFG y el paralelogramo AEHG. Además, ED=6µ y AH=10µ. Calcule BC.

a) 8µ b) 9 c) 10

d) 12 e) 16

9. En la figura mostrada, si AM=MD, mBBCD=mBCAD y AC+3AB=64, calcular MN. A B C D M N a) 13µ b) 14 c) 15 d) 16 e) 18

10. En el trapezoide donde las diagonales al cortarse forman un ángulo de 120º y una de las diagonales mide 8µ, calcule la suma de las diagonales del rombo que se forma al unir los puntos medios de los lados consecutivos del trapezoide.

a) 4( 3 +1) b) 8( 3 +1) c) 2( 3 +1) d) 6( 2 +1) e) 8( 6 +1)

11. Se tiene un trapecio ABCD (BC // AD) donde mBA=40º y mBD=70º. Hallar el segmento que une los puntos medios de sus diagonales, siendo además: AB=8µ.

a) 2µ b) 4 c) 3

(38)

TRILCE

Colegios

12. En un hexágono equiángulo ABCDEF, AF=a, CD=b, DE=c. Calcule AB. a) a+b - c b) b+c - a c) a+c - c d) a b c 2 + + e) 2a+b - c 13. En un paralelogramo ABCD, AB<BC, se trazan las bisectrices interiores BE y CF que se cruzan por "P". Calcule el segmento que uno los puntos medios de BE y CF, si AF=4µ.

a) 3µ b) 4 c) 5

d) 6 e) 2,5

14. Las mediatrices de los lados AD y CD de un paralelogramo ABCD se intersectan en un punto "M" que pertenece a BC. CalculeBMAB, si mBB=110º. a) 40º b) 50º c) 45º d) 35º e) 30º 15. En la figura, calcular "α". 5α 2α 2α 2α 40º a) 18º b) 20º c) 22º d) 23º e) 25º

16. En la figura mostrada, hallar "x", si AB=BC.

B C 2x 2x x A a) 10º b) 12º c) 15º d) 18º30' e) 18º

(39)

TRILCE

Colegios

Problemas resueltos

1. En el gráfico, mAB!=40º y mCD!=70º. Calcule mPQ!. b b A B C D P _Q aa Resolución: A B C D P Q b b aa β+35º S _β+20º γ x 70º 40º 2β Piden "x" Sea mBC!=2β. jABCD: 2a+2b+2β+55=360º a+b+β=305 ₂º ∆BSC: a+b+γ=180º γ - β=55 ₂º γ=55 +β ₂º B_{interior: γ=} x 2 2β + 55 +β=₂º 2β + ₂ x

\

x=55º.

2. En el gráfico mostrado, "T" es punto de tangencia. Calcule "x" en función de "θ". T θ x Resolución: T θ x 2θ B _2x C A 360º- (2θ+2x) Piden "x" B_{exterior : 90=} º ( x) 2 360 - 2θ+2 -2θ 180º=360º - 2θ - 2x - 2θ 2x=180º - 4θ

\

x=90º - 2θ. 3. ABCD es un cuadrado, calcule BF ._TF T B C A D F Resolución: T B C A D F 2 53º 2 53º 53º 53º a a 2a O

(40)

Geometría

TRILCE

Colegios Piden: TF BF VBAO ≅ VOCD: ⇒ AO=OD VBOA: NOT ( º 2 53 y º 2 127 ) B central : mBC!=53º B exterior : mBBTC= 53º 2

\

TF BF =₂1 .

4. Si "T", "Q" y "R" son puntos de tangencia, calcule "x" en función de "θ" y "α". θ Q _x T R α Resolución: θ Q _x T R α x - θ 180 - x Prop: B exterior : mQR=180º - x Prop: B exterior : m TR =180º - θ ⇒ mTQ =x - θ B exterior : α=x ( º )x 2 180 θ - - _- 2α=2x - θ - 180º

\

x= º 2 2α+180 +θ . 5. En la figura mFG=αº, Calcule: θº αº. B C M L G F E θº Resolución: α/2 B C M L G F E θ β β β α

Se traza ME :BCME: inscrito B_{inscrito: mBLGE=β} ⇒ BC // GL mBCBL=mBFLG 2 α =θ

\

_αθ = 2 1 .

(41)

Geometría

TRILCE

Colegios 1. Del gráfico mostrado, calcule (bº+aº). aº bº 40º a) 100º b) 150º c) 160º d) 180º e) 200º

2. En el gráfico mostrado: mAB!+mBC!=280º. Calcule: mPN!. A B C P N a) 40º b) 50º c) 60º d) 70º e) 80º

3. En el gráfico, "B", "C" y "D" son puntos de tangencia y la mDEC!=70º. Calcule la mBPAC.

A B C D P E a) 28º b) 30º c) 32º d) 35º e) 78º

4. En el gráfico, "C" es un punto de tangencia. Calcule "xº". xº A _B C a) 120º b) 60º c) 90º d) 80º e) 100º

5. En el gráfico mostrado, calcule: mAB!.

A B a) 22,5º b) 30º c) 60º d) 120º e) 90º 6. Del gráfico mostrado, calcule: "xº". ("T" y "Q": puntos de tangencia). mBTAC=mBTBD. A B C D _Q T xº a) 70º b) 36º c) 45º d) 60º e) 75º

7. En una circunferencia de diámetro AB, se ubican los puntos "P" y "Q", tal que: mAP!=90º y AQ intersecta a PB en "M", luego en AB se ubica el punto "L", tal que: mBAQL=45º y AM=2(LB). Calcule : mBPAM. a) 19º b) 18º c) 14º d) 16º e) 15º 8. Del gráfico, calcule : "xº". xº 140º - a 120º+a a) 70º b) 80º c) 40º d) 50º e) 45º

(42)

TRILCE

Colegios 9. Del gráfico, calcule : "xº". xº 20º a) 20º b) 30º c) 40º d) 50º e) 70º 10. En el gráfico mostrado, "A", "B" y "C" son puntos de tangencia. Calcule : xº+yº.

A B C xº₄₀yº a) 160º b) 150º c) 180º d) 140º e) 170º 11. En el gráfico mostrado: AB=AP=r. Calcule: mAC!. ("A": punto de tangencia). A B C P r a) 10º b) 20º c) 30º d) 25º e) 35º 12. Del gráfico, calcule "x". θ θ θ α α x a) 35º b) 45º c) 60º d) 53º e) 90º 13. Si "A", "B", "C" y "D" son puntos de tangencia. mAB!=120º y mAE!=110º. Calcule "x".

A B C D E xº a) 50º b) 40º c) 30º d) 25º e) 20º

14. En el gráfico, si: mBQ!+mQD!=100º, calcular "xº". ("A", "B", "Q" y "D" son puntos de tangencia). A B C D Q O E P x a) 95º b) 100º c) 105º d) 110º e) 115º

15. En el gráfico, "T" es punto de tangencia. Calcule "x". O 100º x T 10º a) 20º b) 10º c) 15º d) 40º e) 35º

(43)

Geometría

TRILCE

Colegios

Tarea domiciliaria

1. Según el gráfico: mBC=60º. Calcule el valor de "xº" A B C D E 100º xº a) 60º b) 70º c) 80º d) 90º e) 100º

2. Según el gráfico, calcule la mBN, si: ABCT es un paralelogramo y CT=CD.("T" es punto de tangencia). A B C D N T 70º a) 70º b) 50º c) 60º d) 80º e) 65º 3. Si: mAB=80º, mCD=40º y mMN=50º. Calcule el valor de "xº". xº A B C D M N a) 30º b) 35º c) 50º d) 55º e) 45º 4. Calcule "xº". 100º xº a) 110º b) 55º c) 70º d) 65º e) 80º

5. En el gráfico mostrado, calcule "αº", si: PA=AB y además: 2(mBQ)=3m(QC). A B C P Q αº a) 15º b) 50º c) 40º d) 30º e) 25º 6. Del gráfico, calcule "xº". A B C 2xº xº a) 15º b) 20º c) 22º30' d) 30º e) 36º

7. Se tiene una circunferencia en la cual se ubican los puntos consecutivos "A", "B", "C", "D", "E" y "F", de manera que mBFAB=150º y mBBCD=90º. Calcule la mBFED. a) 100º b) 125º c) 120º d) 130º e) 110º 8. Calcule "θ". 2θ 3θ a) 37º b) 58º c) 45º d) 30º e) 27º

(44)

TRILCE

Colegios

9. Calcule el valor de "xº", en función de "α" y "β".

αº _βº _xº

a) α β₂- b) α - β c) β - α d) β α₂- e) β+₂α

10. En una semicircunferencia de diámetro AB y centro "O" se ubica el punto "M", de modo que: m AM =m MB . Se traza el cuadrado MNLP. (N en AM ) y "L" en AO. Calcule la mBOMN. a) 60º b) 75º c) 71º30' d) 63º30' e) 67º30' 11. Calcular: mBABO. 20º A B C D O a) 60º b) 50º c) 80º d) 70º e) 75º 12. Si ABCD es un trapecio isósceles (BC // AD). BC=CE, BE=CD,("E" y "D" son puntos de tangencia). Calcule la mBEBC.

A B _C D E a) 10º b) 15º c) 20º d) 25º e) 30º 13. Del gráfico, calcule "xº", siendo : "A", "B" y "C" puntos de tangencia. A B C 20º xº 40º a) 10º b) 20º c) 30º d) 40º e) 60º

14. En el gráfico mostrado, θ+β=160º. Calcule: mBBAC. A B C β θ a) 10º b) 20º c) 15º d) 25º e) 30º

15. En el gráfico mostrado, "T" y "B" son puntos de tangencia. Si: MTN=50º, calcule: m TL .

L T B N 70º a) 100º b) 80º c) 120º d) 130º e) 150º 16. En el gráfico mostrado: β+γ - (θ+φ)=30º. Calcule "xº". xº β θ γ φ a) 160º b) 165º c) 175º d) 145º e) 150º

(45)

Geometría

TRILCE

Colegios

17. En el gráfico mostrado, si: mBAEB+ mAB

2 =90º. Calcule "θº". A B C E θ a) 60º b) 80º c) 75º d) 30º e) 82º 18. En el gráfico mostrado, "H" y "G" son puntos de tangencia. Calcule m EF , si mAB=20º.

A B _G H F E 80º a) 60º b) 90º c) 100º d) 80º e) 30º 19. Si OFEM es un cuadrado, calcule mAE. A E F M O a) 53º b) 37º c) 37º/2 d) 53º/2 e) 30º

20. Según el gráfico, calcule la mPB, si "T" es punto de tangencia. A B M N T P 70º a) 40º b) 80º c) 70º d) 60º e) 45º