Construcción de Superficies Definidas a partir de Curvas Planas

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1 SUPERFICIE BILINEAL

Construcci´on de Superficies Definidas

a partir de Curvas Planas

Rub´en T. Urbina Guzm´an [email protected] Universidad Nacional de Piura

Resumen

Este art´ıculo presenta algunas técnicas para construir superficies defi-nidas a partir de curvas planas. La primera superficie que se estudia es la superficie bilineal, para la cual solo se requier cuatro puntos. Al generalizar la superficie bilineal obtenemos las llamada superficies Regladas, frecuente-mente usadas en la industria aureonaval. Una caso particular de la superficies regladas son las superficies cilindricas, las cuales se obtiene al desplazar una curva plana siguiendo una trayectoria recta. Otro método para generar super-ficies es rotando una curva plana alrededor de un eje en el espacio; este tipo de superficies son llamadas superficies de revolución. Las superficies Swing son una generalización de las superficies de revolución, pues en lugar que la curva gire alrededor de la circunferencia, lo hace a través de otra curva arbitraria.

1. Superficie Bilineal

Un pol´ıgono plano es un ejemplo simple de superficie. La superficie bilineal es la superficie no plana m´as simple, porque queda completamente definida por cuatro puntos; es decir, es una superficie tensorial donde las curvas producto son dos rectas.

Se emplea con frecuencia para la interpolaci´on de cuatro valores de una tabla (por ejemplo, en antialiasing de texturas) y es la superficie m´as sencilla que pasa por cuatro puntos enR3_.

Sean los cuatro puntos distintos P00, P01, P10 y P11. Las curvas frontera son

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1 SUPERFICIE BILINEAL P00 P01 P11 P10 P(u0,1) P(u,1) P(u,0) P(u0,0) P(u0,w) P(1,w) P(0,w)

Figura 1: Superficie bilineal

Cualquier punto en el interior de la superficie est´a dado por la interpolaci´on lineal entre fronteras opuestas de un cuadrado unitario como se muestra en la figura (2). Esto es,

P (u, 0) = (P10− P00)u + P00 y P (u, 1) = (P11− P01)u + P01

Figura 2: Interpolaci´on bilineal en el espacio param´etrico

Para realizar la interpolaci´on lineal entre las curvas frontera, primeros calcu-lamos los puntos P (u0, 0) y P (u0, 1) y luego los unimos mediante una linea recta

P (u0, w). Los dos puntos son

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1 SUPERFICIE BILINEAL

y la linea recta que los une esta dada por

P (u0, w) = (P (u0, 1)− P (u0, 0))w− P (u0, 0) =[(P11− P01)u0+ P01− ( (P10− P00)u0+ P00 )] w + (P10− P00)u0+ P00

Cuarquier punto en el interior del cuadrado parametrico, est´a dado por

P (u, w) = P00(1− u)(1 − w) + P01(1− u)w + P10u(1− w) + p11u w (1)

En forma matricial P (u, w) =[1− u u] [P00 P01 P10 P11 ] [ 1− w w ] (2) Es necesario que la superficie coincida con los puntos dados. Es facil verificar que la superficie interpola los puntos dados.

Si los puntos de definición de una superficie bilineal, son las diagonales opues-tas sobre caras opuesopues-tas de un cubo unitario, la superficie resultantes es un para-boloide hiperbólico. Es decir, matematicamente una superficie bilineal es un pa-raboloide hiperbólico. Las expresiones parametricas son lineales respecto a las variables u y w.

Figura 3: (Izquierda) Cubo unitario mostrando los puntos a interpolar; (derecha) Superficie bilineal resultante: Paraboloide hiperb´olico

Si consideramos los puntos ubicados en un cubo unitario, como se mues-tra en la figura (3): P00 = [ 1 0 0], P01 = [ 0 1 0], P10 = [ 0 0 1] y P11 = [

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hiperb´oli-2 SUPERFICIES REGLADAS

P (u, w) =[1 0 0](1− u)(1 − w) +[0 1 0](1− u)w +[0 0 1]u(1− w) +[1 1 1]u w

cuya ecuaci´on es

P (u, w) =[1− w + u(2w − 1) w u]

2. Superficies regladas

Las superficies reglas son frecuentemente usadas en la industria aerea y na-val. Por ejemplo, las alas de las aviones son superficies cilindricas regladas. Una superficie reglada es generada por una linea recta que se mueve a lo largo de un camino con un grado de libertad. Estas superficies son simplemente generalizacio-nes de la superficie bilineal. Es decir, una superficie reglada se obtiene mediante una interpolaci´on lineal entre dos curvas frontera conocidas asociadas a los lados opuestos de un ciadrado unitario en el espacio param´etrico.

Sean las curvas param´etricas opuestas P (u, 0) y P (u, 1). La superficie reglada est´a dada por

S(u, v) = P (u, 0)(1− u) + P (u, 1)v (3)

´o

S(u, v) =[x(u, v) y(u, v) z(u, v)]

=[1− v v] [P (u, 0)

P (u, 1)

]

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Ahora note, que dos de los extremos de la superficie interpolante coincide con las curvas dadas; es decir, Q(u, 0) = P (u, 0) y Q(u, 1) = P (u, 1).

A modo de ejemplo, considere las curvas

P (u, 0) =[cos(u) sen(u) 5] y P (u, 1) =[2 cos(u) 3 sen(u) 0] una circinferencia y una elipse, respectivamente. La ecuaci´on de la superficie re-glada es

S(u, v) =[(1 + v) cos(u) (1 + 2v) sen(u) 5− 5v]

que representa a un cono truncado, de base superior la circunferencia y base infe-rior la elipse, ver figura (4).

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3 SUPERFICIES CILINDRICAS

Figura 4: (Izquierda) curvas frontera cuyas bases son una elipse y una circunfe-rencia; (derecha) Superficie reglada resultante: cono truncado

3. Superficies Cilindricas

Recordemos que una superficie reglada queda definida conociendo las curvas frontera opuestas P (u, 0) y P (u, 1). De modo que, la superficie reglada est´a dada por

P (u, v) = P (u, 0)(1− v) + P (u, 1)v (5)

Como caso particular de superficies regladas, est´an las denominadas cilindros

generalizados, que se obtienen al desplazar una curva S(u, 0) a traves del plano

siguiendo una trayectoria recta.

Sea el vector W que indica la dirección de desplazamiento de la curva P (u, 0), y sustituyendo en la ecuación (5), por la curva de traslación P (u, 1) = P (u, 0) +

W , se obtiene

P (u, v) = (1− w)P (u, 0) + w[P (u, 0) + W ]

= P (u, 0) + wW (6)

La figura (5) muestra una superficie cilindrica, donde la curva base es una rosa de cuatro pétalos, cuya ecuación paramétrica está dada por

P (u, 0) =[cos(2u) cos(u) cos(2u) sen(u) 0]

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3 SUPERFICIES CILINDRICAS

Figura 5: (Izquierda) curvas frontera:Rosa de cuatro petalos. (Derecha) Superficie cilindrica, con vector W ={0, 1, 1}

se obtiene la curva de traslaci´on

P (u, 1) = P (u, 0) + W

=[cos(2u) cos(u) cos(2u) sen(u) 0]+[0 1 1] =[cos(2u) cos(u) cos(2u) sen(u) + 1 1]

De donde

P (u, 1) =[cos(2u) cos(u) cos(2u) sen(u) + 1 1]

La superficie cilindrica generada tiene un angulo de inclinación φ = π 4, dado por el vector W . De la ecuación (6), se tiene que la ecuación de la superficie cilindrica está dada por

P (u, w) =[cos(2u) cos(u) cos(2u) sen(u) 0]+ w[0 1 1] =[cos(2u) cos(u) cos(2u) sen(u) + w w]

Del mismo modo, un cilindro circular recto se obtiene trasladando una circun-ferencia a lo largo de un vector normal al plano que contiene a la circuncircun-ferencia, ver figura (6) . Por ejemplo, consideremos la circunferencia

P (u, 0) =[cos(u) sen(u) 0]

y el vector normal al plano XY , W ={0, 0, 2}. La ecuaci´on del cilindro generado est´a dada por

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4 SUPERFICIES DE REVOLUCI ´ON

Figura 6: Cilindro circular recto

P (u, w) =[cos(u) sen(u) 0]+ w[0 0 2] =[cos(u) sen(u) 2w]

4. Superficies de Revoluci´on

Otro m´etodo simple para generar superficies tridimensionales es rotando una curva 3D alrededor de un eje en el espacio. Este tipo de superficies son llamadas

superficies de revoluci´on. Sin perder generalidad considere como eje de rotaci´on

el eje positivo x y la curva a rotar contenida en el plano xy. Sea la curva generatriz

C(u) con ecuaci´on param´etrica

c(u) =[x(u) y(u) 0]

Una rotación del ángulo φ alrededor del eje x viene dada por la transformacóin [T (v)] =  10 cos(v)0 sen(v)0 0 − sen(v) cos(v)  

Con lo cual la superficie es:

S(u, v) = C(u) [T (v)] = [x(u) y(u) 0]  10 cos(v)0 sen(v)0 0 − sen(v) cos(v)   [ ]

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5 SUPERFICIES SWING

Figura 7: Superficie de revoluci´on alrededor del eje X.(Izquierda) Rotaci´on de una parabola: engendra un Paraboloide. (Derecha) Rotacion de la curva C(u) = [u 1,5 + sen(u) 0]

La figura (7) muestra dos ejemplos de superficies de revoluci´on. La primera es la rotaci´on de la parabola

C(u) =[u √u 0]

con u ∈ [0, 1] alrededor del eje X. La ecuaci´on de la superficie resultante es

P (u, v) = [u √u 0]  10 cos(v)0 sen(v)0 0 − sen(v) cos(v)   = [u √u cos(v) √u sen(v)]

donde, se puede apreciar que la superficie es un Paraboloide.

La segunda superficie que se muestra en la figura (7) es el resultado de rotar un segmento de la funci´on seno

C(u) =[u 1,5 + sen(u) 0]

tal que u∈ [0,3π₂ ].

5. Superficies Swing

Una generalizaci´on de las superficies de revoluci´on son la denominadas

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5 SUPERFICIES SWING

curva C1(u) gire alrededor de una circunferencia, considere una curva arbitraria

C2(v) =

[

0 c(v) s(v)].

Considere el producto de dos curvas, contenidas respectivamente en los planos

XY y XZ C1(u) = [ x(u) y(u) 0] y C2(v) = [ 0 c(v) s(v)]

Por analog´ıa con el procedimiento constructivo para las superficies de revoluci´on, se obtiene la superficie

S(u, v) =[x(u) y(u) 0]



10 c(v)0 s(v)0

0 −s(v) c(u)  

=[x(u) y(u)c(v) y(u)s(v)]

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Donde, ahora la matriz no tiene porque ser ortogonal, pues en general c2(v) +

s2_(v)_{̸= 1.}

Figura 8: Superficie swing

La figura (8) muestra una superficie Swing. Donde la curva directriz es la funci´on seno de ecuaci´on

C1(u) =

[

u 1,5 + sen(u) 0] tal que u∈ [0,3π

2 ].

que descansa en el plano XY ; y la curva generatriz es una astroide que descansa en el plano Y Z

[ ]

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REFERENCIAS REFERENCIAS

Donde la ecuaci´on de la superficie est´a dada por

S(u, v) =[u 1,5 + sen(u) 0]  10 cos03(v) sen03(v) 0 − sen3_{(v) cos}3_(v)  

=[u (1,5 + sen(u))cos3(v) (1,5 + sen(u))sen3(v)]

Referencias

[1] CORDERO JUAN Y CORTES´ JOSE´ , Curvas y Superficies para Modelado

Geom´etrico, Alfaomega, 2002.

[2] SALOMON DAVID, Curves and Surfaces for Computer Graphics Springer, 2006.

[3] FARIN, GERALD, Curves and Surfaces for CAGD (Computer Aided