Ejercicios solucionados de oscilaciones y ondas unidad ondas electromagneticas

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Una Universidad incluyente y comprometida con el

desarrollo integral

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 de !"

EJERCICIO 1 EJERCICIO 1

Una

Una rueda rueda de de de de radio radio tiene tiene una una manigueta manigueta en en su su borde. borde. La La rueda rueda giragira a

a con con su su eje eje de de posición posición horizontal. horizontal. Suponiendo Suponiendo que que los los rayos rayos del del solsol incidan vertical sobre la tierra, la sombra de la manigueta esta animada de incidan vertical sobre la tierra, la sombra de la manigueta esta animada de movimiento armónico simple encontrar:

movimiento armónico simple encontrar: a)

a) l pel periodriodo de oo de oscilscilacióación de ln de la soma sombra,bra, b)

b) La La !r!rececueuencnciaia,, c)

c) Su Su amamplplititudud,, d)

d) scribir lscribir las ecuacas ecuaciones quiones que e"prese e"presan su dan su desplazamieesplazamiento en !unto en !unciónnción del tiempo. Suponer la !ase inicial cero.

del tiempo. Suponer la !ase inicial cero.

Solución Solución Datos: Datos: Radio= Amplitud = Radio= Amplitud = a)

a) l pel periodriodo de oso de oscilacilación dción de la soe la sombra embra es:s:

b)

b) La !La !recrecuencuencia dia de la e la sombsombra era es:s:

c)

c) Su Su amamplplititud ud eses::

d)

d) scribir scribir las eculas ecuaciones aciones q e"presq e"presan su dan su desplazamieesplazamiento en !unto en !unciónnción del tiempo. Suponer la !ase inicial cero.

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D

Doonndde e lla a ffaasse e iinniicciiaal l ees s iigguuaal l a a cceerro o (( )).. EJERCICIO 2

EJERCICIO 2

Un oscilador armónico simple está descrito por la ecuación Un oscilador armónico simple está descrito por la ecuación Donde todos las cantidades se expresan en MK.

Donde todos las cantidades se expresan en MK. !ncuentre:

!ncuentre: a.

a. AmpliAmplitud" tud" periodoperiodo" frecu" frecuencia encia # la # la fase ifase inicinicial del al del mo$imo$imientmientoo %.

%. &e&elocidad # aceleración del mo$imientolocidad # aceleración del mo$imiento c.

c. 'o'ondindicicioneones s ininiciciaialeless d.

d. a poa posicsiciónión" $el" $elociocidad # acdad # aceleeleraciración paón parara e.

e. acer el acer el gráfico dgráfico de la posie la posición" $eción" $elocidlocidad # acelad # aceleración eeración en funcin función del tión del tiempo.empo.

Solución Solución

*or comparación con la expresión *or comparación con la expresión +e

+enemos ,nemos ,ue"ue" a)

a) AmpliAmplitud" ptud" periodo" eriodo" frecuenfrecuencia # lcia # la fase ia fase inicinicial del mal del mo$imio$imiento.ento. A

Ammpplliittuudd::

-recuencia Angular: -recuencia Angular: -ase nicial:

-ase nicial: = /.0 rad= /.0 rad *eriodo:

*eriodo:

-recuencia: -recuencia:

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! de !"

%)

%) &e&elocidad # aceleración del mo$imientolocidad # aceleración del mo$imiento

c)

c) 'ond'ondiciiciones ones iniiniciaciales les cuancuando do ""

d)

d) a posia posicióción" $eln" $elociocidad # aceldad # aceleraceración paión parara

e)

e) l gráficl gráfico de la poo de la posiciónsición" $eloci" $elocidad # aceldad # aceleración eeración en función función del tin del tiempo.empo.

GRAFICA DE DESPLAZAMIENTO CON

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GRAFICA DE VELOCIDAD CONTRA TIEMPO

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% de !"

EJERCICIO 3

Una part1cula está situada en el extremo de un $i%rador ,ue pasa por su posición de e,uili%rio con una $elocidad de la amplitud es de 2'uál es la frecuencia # el periodo del $i%rador3 !scri%ir la ecuación ,ue exprese su despla4amiento en función del tiempo.

Solución

'omo pasa por la posición de e,uili%rio tenemos"

As1 la el periodo es:

5 la frecuencia:

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& de !"

EJERCICIO 4

Una particula cu#a masa es de $i%ra con mo$imiento armónico simple de amplitud de . u aceleración en el extremo de su recorrido es de . 'alcular la frecuencia del mo$imiento # la $elocidad de la part1cula cuando pasa por la posición de e,uili%rio # cuando la elongación es de !scri%ir la ecuación ,ue expresa la fuer4a ,ue act6a so%re la part1cula en función posición # el tiempo.

Solución

Datos

" " " a aceleración de la part1cula es:

As1 la frecuencia se puede calcular"

a $elocidad de la part1cula se puede calcular" partiendo de la energ1a cin7tica"

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" de !"

'uando la elongación es de " su $elocidad se puede escri%ir"

a fuer4a ,ue act6a so%re la part1cula en función posición # el tiempo es

EJERCICIO 5

Una part1cula se mue$e con mo$imiento armónico simple con una amplitud de # frecuencia 8// ciclos por segundo 2'uál es su frecuencia angular3 'alcular su $elocidad" aceleración # su fase cuando su despla4amiento es de .

Solución

a frecuencia angular es"

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' de !"

a aceleración se puede calcular como sigue"

a fase inicial se puede calcular como sigue" para la condiciones iniciales (t=/=)"

EJERCICIO 

Un movimiento armónico simple tiene una amplitud de y un periodo de . #alcular la velocidad y la aceleración despu$s que la part%cula pase por el e"tremo de su trayectoria.

SOLUCIÓN: &'(S:

' * + cm  -.-+m ( *  seg.

La !recuencia angular es,

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( de !"

La aceleración despu$s de , es:

EJERCICIO !

Una part%cula cuya masa es de -./ 0g, se mueve con movimiento armónico simple. Su periodo es de -.1/ seg y la 'mplitud de su movimiento es de 1-cm, calcular la aceleración, la !uerza de la energ%a potencia y cin$tica cuando la part%cula est2 a / cm de la posición inicial.

DATOS 3asa: -./ 0g 4eriodo 5(): -.1/ S 'mplitud 5'): 1-cm: -.13 4o: -.-/ 3 SOLUCIÓN ') 6) #)

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) de !" &) EJERCICIO "

Encontrar* para un movimiento arm+nico simple* los valores de donde los promedios se

re,eren-Parte a.

Pero

Entonces

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 de !" Pero Entonces EJERCICIO #

Una planc9a 9ori4ontal oscila con mo$imiento armónico simple con una amplitud de 8"0 m # una frecuencia de 80 oscilaciones por minuto. 'alcular el $alor m1nimo del coeficiente de fricción a fin de ,ue un cuerpo colocado so%re la planc9a no res%ale cuando la planc9a se mue$e.

Soluci+n

a fuer4a de fricción es

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# de !"

*ara o%tener el $alor m1nimo del coeficiente de refracción tenemos

EJERCICIO #

Un %lo,ue de madera cu#a densidad es  tiene dimensiones a" %" c. Mientras está flotando en el agua con el lado a $ertical se le empu;a 9acia a%a;o # se le suelta. alle el periodo de las oscilaciones resultantes.

+omemos como sentido positi$o de despla4amiento del %lo,ue $erticalmente 9acia a%a;o. lamemos 9 a la longitud del %lo,ue de%a;o del agua cuando flota en

e,uili%rio. !n esta situación tendremos ,ue la fuer4a neta 9acia a%a;o será nula: $%& F'$(u)' * +⇒ $%* ,V sumergido ρ0- %⇒ $%* ,bchρ0- %

Donde /es la densidad del agua. i reali4amos un despla4amiento x del %lo,ue respecto de su posición de e,uili%rio" la nue$a longitud del %lo,ue por de%a;o del agua será 9 < x. !n esta nue$a situación la fuer4a neta 9acia a%a;o #a no será nula: Fneta * $%&F .'$(u)'* $%& ,V /sumergido ρ0- % * $%& ,0c [h + x] ρ0- %

ustitu#endo en esta expresión la relación entre el peso del cilindro # la altura 9: Fneta * & ,bcρ0 g - 

&emos ,ue la fuer4a es de tipo elástico con una constante elástica: * bcρ0 g

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! de !"

EJERCICIO #

'uando un 9om%re de />g se introduce en un auto" el centro de gra$edad del auto %a;a /"? cm. 2'uál es la conste de elasticidad de los muelles del auto3 uponiendo

,ue la masa del auto es de 0//>g" 2'uál es su periodo de $i%ración cuando está $ac1o # cuando está el 9om%re adentro3

SOLCIN

Representación de -uer4as

@ = ?x8/?_m

a) C6lculo 7' l6 con896n9' 7' 'l689ici767 , K) de los muelles del auto.

b) P':io7o 7' ;i0:6ción 7'l 6u9o ;6c<o=

@ m8=0//>g kx 0/ Kg kx (M8<MB)g 0// Kg M8g

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$ de !"

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% de !"

EJERCICIO 1+

El Periodo de un p0ndulo es de !s- 12u3l ser3 su periodo si su longitud 4a. aumenta* 4/. disminuye un &)56

Soluci+n

a- El periodo de un p0ndulo simple est3 dado por7

i su longitud aumenta un /C" su nue$a longitud es: uego.

%. i el periodo disminu#e en un /C" su nue$a longitud es:

EJERCICIO 11

stimar el orden relativo de magnitud de los primeros t$rminos correctivos en la serie del periodo de un p$ndulo simple si la amplitud es:

a) 1-7 b) 8-7

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& de !" Solución a) 4ara 1-7 4* 4* 4* b) 4ara 8-7 4* 4* EJERCICIO 12

Una varilla de longitud L, oscila con respecto a un eje horizontal que pasa por el e"tremo, un cuerpo de igual masa que la varilla est2 situado sobre la varilla a una distancia h del eje.

a) btener el periodo del sistema en !unción de h y de L.

b) 9ay alg;n valor de h para el cual el periodo es el mismo como si no hubiera masa<

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" de !"

Solución.

a). Lo primero que haremos ser2 encontrar el centro de masa de la masa = que en este caso es igual a la masa de la varilla, aplicando la siguiente !ormula.

Luego calculamos el momento de inercia con la siguiente ecuación.

m !actorizando m quedar%a de la siguiente !orma.

"presando el periodo con respecto al momento de inercia y al centro de masa, se tiene la siguiente ecuación:

&onde:

b*centro de masa. g*gravedad

m*masa

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' de !"

Simpli!icando:

b). ?o hay ning;n valor.

EJERCICIO 12

Un p$ndulo de torsión consiste de un bloque rectangular de madera de +cm " 1=cm " 8cm con una masa de -.8 0g, suspendido por medio de un alambre que pasa a trav$s de su centro y de tal modo que el lado corto es vertical. l periodo de oscilación es de =. s. 9#u2l es la constante de torsión K del alambre<

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( de !"

Solución:

'ntes que nada necesitamos conocer el valor del momento de inercia de este objeto en particular 5cubo de madera), para lo cual se utilizar2 la siguiente ecuación.

&onde:

3*masa del objeto, -.80g.

* la dimensión horizontal del objeto para este caso +cm*-.-+m * la pro!undidad del objeto en este caso 1=cm*-.1=m

#omo en el ejercicio nos piden encontrar la constante 0*0appa, Utilizamos la siguiente ecuación que relaciona el momento de inercia con la constante.

&onde: es igual al periodo de oscilación al cuadrado, siendo @ el momento de inercia y =A al cuadrado una constante.

aciendo la relación entre las dos ecuaciones anteriores tenemos que:

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#) de !"

0*8./BC

?.m D?eEton por metroF

EJERCICIO 13

!ncontrar la ecuación resultante de la superposición de dos mo$imientos armónicos simples paralelos cu#as ecuaciones son:

acer un gráfico de cada mo$imiento # del mo$imiento resultante. Representar sus respecti$os $ectores rotantes.

U'EF:

!s una superposicion de M.A.. *aralelos de igual frecuencia 'on resultante

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# de !" # &alores uego:

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## de !"

EJERCICIO 14

Un p7ndulo simple tiene un periodo de # un amplitud de " despu7s de

oscilaciones completas su amplitud 9a sido reducida a encontrar la constante de amortiguamiento .

Solución

Datos:

@ @

a ecuación para este mo$imiento toma la forma" donde la amplitud del mo$imiento $iene dada por"

=

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#! de !"

En el caso del oscilador amortiguado* la cantidad se denomina tiempo de

relajación-a. Veri,car 8ue tiene unidades de

tiempo-/. 1en cu3nto 9a variado la amplitud del oscilador despu0s de un tiempo 6

c. E:presar como una ;unci+n de * el tiempo necesario para 8ue la amplitud se redu<ca a la mitad de su valor

inicial-d. 12u3les son los valores de la amplitud despu0s de tiempos iguales a dos* tres veces* etc-* el valor o/tenido en c.6

Solución

a. Veri,camos 8ue tiene unidades de tiempo 9aciendo un an3lisis

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#$ de !"

c. E:presar como una ;unci+n de * el tiempo necesario para 8ue la amplitud se redu<ca a la mitad de su valor

inicial-d. 12u3les son los valores de la amplitud despu0s de tiempos iguales a dos* tres veces* etc-* el valor o/tenido en c.6

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#% de !"

Movimiento armónico simple

EJERCICIO 1

2uando una masa de oscila en un resorte ideal* la ;recuencia es de - a. 12u3l ser3 la ;recuencia si se agregan a la masa original* y b. y si se restan de la masa original6 Intente resolver este pro/lema sin calcular la constante de ;uer<a del

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#& de !"

EJERCICIO 1!

Un oscilador arm+nico tiene una masa de unida a un resorte ideal con constante de ;uer<a de - 2alcule a. el periodo* b. la ;recuencia y c. la ;recuencia angular de las

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#" de !"

EJERCICIO 1"

So/re una pista de aire 9ori<ontal sin ;ricci+n* un desli<ador oscila en el e:tremo de un resorte ideal* cuya constante de ;uer<a es - En la ,gura* la gr3,ca muestra la aceleraci+n del desli<ador en ;unci+n del tiempo- 2alcule a. la masa del desli<ador= b. el despla<amiento m3:imo del desli<ador desde el punto de e8uili/rio= c. la ;uer<a m3:ima 8ue el resorte e>erce so/re el

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#' de !"

Energía en el movimiento armónico simple

EJERCICIO 1#

Una porrista ondea su pomp+n en MAS con amplitud de y ;recuencia de - 2alcule a. la magnitud m3:ima de la aceleraci+n y de la velocidad= b. la aceleraci+n y rapide< cuando la coordenada del pomp+n es = c. el tiempo 8ue tarda en moverse directamente de la posici+n de e8uili/rio a un punto situado a12.0 cm de distancia- d. 12u3les de las cantidades pedidas en los incisos a.* b.

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#( de !"

EJERCICIO 1#

Un >uguete de )- est3 en MAS en el e:tremo de un resorte 9ori<ontal con constante de ;uer<a - 2uando el o/>eto est3 a de su posici+n de e8uili/rio* tiene una rapide< de -2alcule a. la energ?a total del o/>eto en cual8uier punto de su movimiento= b. la amplitud del movimiento= c. la rapide< m3:ima alcan<ada por el o/>eto durante su

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!) de !"

Aplicaciones del movimiento armónico simple

EJERCICIO 2+

Un orgulloso pescador de alta mar cuelga un pe< de de un resorte ideal con masa desprecia/le* estirando el resorte - a. 2alcule la constante de ;uer<a del resorte- A9ora se tira del pe< 9acia a/a>o y luego se suelta- b. 1@u0 periodo de oscilaci+n tiene el pe<6 c. 1@u0 rapide< m3:ima alcan<ar36

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! de !"

EJERCICIO 21

Una esfera de # otra de se pegan entre s1 colocando la más ligera de%a;o de la más pesada. a esfera superior se conecta a un resorte ideal $ertical" cu#a constante de fuer4a es de " # el sistema $i%ra $erticalmente con una amplitud de . !l pegamento ,ue une las esferas es d7%il # antiguo" # de repente falla cuando las esferas están en la posición más %a;a de su mo$imiento. a)

2*or ,u7 es más pro%a%le ,ue el pegamento falle en el punto mas bajo" ,ue en alg6n otro punto del mo$imiento3b) 'alcule la amplitud #

la frecuencia de las $i%raciones despu7s de ,ue la esfera inferior se despega. Solución

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!# de !"

EJERCICIO 22

Un disco met3lico delgado con masa de #-)) ! )#!g y radio de #-#) cm se une en su centro a una ,/ra

larga como se ve en la ,gura- Si se tuerce y suelta* el disco oscila con un periodo de -)) s- 2alcule la constante de torsi+n de la

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!! de !"

EJERCICIO 24

Imagine 8ue 8uiere determinar el momento de inercia de una pie<a mec3nica complicada* con respecto a un e>e 8ue pasa por su centro de masa* as? 8ue la cuelga de un alam/re a lo largo de ese e>e- El alam/re tiene una constante de torsi+n de - Usted gira un poco la pi e<a alrededor del e>e y l a suelta* cronometrando #% oscilaciones en #&% s- 12u3nto vale el momento de inercia /uscado6

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!$ de !" El péndulo simple EJERCICIO 25

En San Brancisco un edi,cio tiene aditamentos ligeros 8ue consisten en /om/illas pe8ueCas de con pantallas* 8ue cuelgan del tec9o en el e:tremo de cordones ligeros y delgados de -%) de longitud- Si ocurre un terremoto leve* 1cu3ntas oscilaciones por segundo 9ar3n tales aditamentos6

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!% de !"

EJERCICIO 2

Un péndulo en Marte. En la ierra cierto p0ndulo simple tiene un periodo de -&) s- 1@u0 periodo tendr3 en Marte* donde

6

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!& de !" El péndulo físico EJERCICIO 2!

Una /iela de de un motor de com/usti+n pivota alrededor de un ,lo de nava>a 9ori<ontal como se muestra en la ,gura- El centro de gravedad de la /iela se encontr+ por /alanceo y est3 a del pivote-2uando la /iela se pone a oscilar con amplitud corta* completa )) oscilaciones en - 2alcule el momento de inercia de la /i ela respecto al e>e de rotaci+n en el