MATRICES Y
MATRICES Y
SISTEMAS
SISTEMAS
C.C.S.S.
C.C.S.S.
EJERCICIOS
EJERCICIOS
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Ejercicios de Selectividad propuestos en Castilla-La Mancha
Bloque I. Álgebra
Matrices
(Ejercicios propuestos antes del año 2000)
1. ¿Se puede encontrar una matriz
B, tal que
A B⋅
sea una matriz de 3 filas, siendo
1 3 2
1
4 5 3
2
A=
−
? Hallar
23
1
2
B− +
B I, siendo
2 3
1 1
B=
;
1 0
0 1
I=
2. Dada la matriz
2 2 1
1 3 1
1 2 2
A
=
se pide:
– Calcular
(
A−
I) (
2 A−
5
I)
, siendo
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
=
– Obtener
tA
(matriz traspuesta de
A) y razonar si existe la inversa de
A.
3. Si
1 2 3
1
4 5 3
2
A
=
−
:
a) ¿Se puede encontrar una matriz tal que
A B⋅
sea una matriz de 3 filas?
b) Si
2 3
1 1
B=
, calcular
23
B−
B.
c) Si
1 2 0
0 1 2
1 2 1
A
=
, calcular
A−1.
4. Dadas las matrices:
1 2 3
2 1 1
A=
,
1 0
2
2
1
1
B−
=
− −
,
1
1
1 0
C=
−
, se pide:
a) Obtener
C+
AB.
b) ¿Son iguales las matrices
C−1+
(
AB)
−1y
(
C+
AB)
−1?
5. Sean las matrices:
1
0 2
1 3 0
A=
−
,
2
0
1 1
1
1
B
= −
,
1
1
3
4
C=
−
,
1
1
3
4
D=
−
. Se
pide:
a)
A B⋅ +
Cb) ¿Es cierto que
AB+ =
C AB+
C6. Encontrar una matriz
Xque verifique
X− = ⋅
B2 A B; siendo
1 2 1
1 3 1
0 0 2
A
=
;
1 0
1
2 2
2
0 0
6
B−
=
7. Encontrar una matriz
Xpara la que se cumpla que
A X⋅ − = ⋅
B2 C D, siendo
1
2
1
1
A=
− −
;
1 1
1 0
B=
;
2 1 0
1 1 2
C=
;
1
0
2
1
0
1
D
=
−
8. Sean las matrices:
1 0 0
0 2 0
1 0 3
A
=
;
1 0
1
0 0
0
9 3
3
B−
=
−
;
1 1 1
2 3 0
3 4 5
C
=
i) Calcular la matriz inversa de
A.
ii) Encontrar una matriz
Xtal que:
A X⋅ − =
B2
C.
9. Dadas las matrices:
2
2
1
1
1 1
1
2
2
A−
= − −
− −
;
1
0 0
3
1 5
4 0 2
B
=
−
i) Calcular la matriz
M= −
(
A B)
2.
ii) Calcular la matriz inversa de
B.
10. Dadas las matrices:
1 0 1
2 2 2
0 0 1
A
=
;
1 2 0
1 3 1
0 0 2
B
=
i) Hallar la matriz
M= +
A2 BA.
ii) Calcular la matriz inversa de
A.
11. Dada la ecuación matricial
A X⋅ + =
B C, se pide obtener la matriz
Xsiendo
1 1 0
1 2 0
0 0 1
A
=
;
1 1
0 1
1 2
B
=
;
0 1
1 3
1 1
C
=
12. Una fábrica decide distribuir sus excedentes en tres productos alimenticios A, B y C
a cuatro países de África P
1, P
2, P
3y P
4según se describe en la matriz
M1(cantidades en toneladas). Esta fábrica ha recibido presupuestos de dos empresas
para el transporte de los productos a los países de destino como indica la matriz
M2(en euros por tonelada).
A
B
C
P
1P
1P
2P
3P
4P
2E
1P
3 2 M=
E
2500 450 375 350
510 400 400 350
1 M=
200 100 120
110 130 200
220 200 100
;
Efectúa el producto de las matrices y responde a las cuestiones:
i) ¿Qué representa el elemento
a11de la matriz producto?
ii) ¿Qué elemento de la matriz producto nos indica lo que cuesta transportar el
producto C con la empresa E
2?
iii) Indica qué elementos de la matriz producto te permiten decir cuál es la empresa
que más barato transporta el producto B a todos los países.
13. Resuelve la ecuación
X A⋅ + =
X2
B, siendo
1
0
1
0
1
0
1 1
1
A−
=
−
−
,
2
1
1
0
1 1
1
1
2
B−
=
−
−
.
14. Dadas las matrices
A,
By
C:
1
1 3
2
4 1
A=
−
;
3
0
3
1
5
2
B
=
−
;
4
1 0 2
3
2 4 1
C=
−
−
i) Halla
A B⋅
y
B A⋅
. ¿Puedes sacar alguna conclusión de los resultados
obtenidos?
ii) ¿Existe alguna matriz tal que multiplicada por C, dé lugar a una matriz de 3
filas?
15. Dadas las matrices
Cy
Dse pide:
3
1
2
1
2 0
0
1
0
C−
=
−
;
1
0
1
1 2
1
2
0
1
D
= −
−
i) Hallar
C−1y
D−1.
ii) Calcular la matriz inversa de
C D⋅
.
iii) Comprobar que
(
C D⋅
)
−1=
D− 1⋅
C−1 (Ejercicios propuestos a partir del año 2000)16. Dadas las matrices
1 2
1
1 0
1
2 1
0
A−
=
,
2
1
1 2
B=
−
−
y
5
2
3
0
7
2
C
=
−
, se pide:
1º) Calcular la matriz inversa de A y la matriz inversa de B.
2º) Hallar una matriz X tal que
A X B⋅ ⋅ =
C.
(J unio, 2000)
17. Dadas las matrices
1
1 1
1
2
1
0
1
2
A−
=
,
1 2 2
1 1 3
2 0 2
B
=
y
0
0
4
2
8
6
4
2
0
C
= − − −
−
,
calcular una matriz
Xtal que
X A⋅ = ⋅ +
2
B C.
(Septiembre, 2000)
18. Dadas las matrices
1 1 0
0 1 1
1 0 1
A
=
y
3 1 2
0 3 3
3 2 1
B
=
, se pide:
1º) Calcular la matriz inversa de
A.
2º) Calcular una matriz
Xtal que
A X⋅ + =
A B19. Una fábrica de calzado deportivo dispone de zapatillas para Atletismo (A),
Balonmano (B) y Tenis (T), en dos modelos: Mujer (M) y Hombre (H). El número
de pares existentes en el almacén viene definido por la matriz
E. El precio, en euros,
de cada uno de los pares viene definido por la matriz
P.
M H
A B T
A
M
B
P=
H
20 19 18
22 19 21
E=
T
70 120
45 65
60 50
Se pide:
1º) Obtener, si es posible, las matrices
C P E⋅
y
D= ⋅
E P.
2º) ¿Qué información proporcionan los elementos
c11de
Cy
d33de D?
3º) ¿Qué elemento de
Co de
Dnos informa de la valoración de todas las zapatillas
de balonmano?
(Reserva 2, 2000)
20. Determina una matriz
Xtal que
A+ ⋅ ⋅ =
2
X B C, siendo
1
2 1
0
3 1
A=
−
,
1
1 1
2
0 1
1 1 1
B−
=
−
,
1
2
3
8
1
1
C=
− −
.
(J unio, 2001)21. Los precios, en euros, de las entradas a un parque temático para Adultos (AD) y
Niños y Jubilados (NJ) en Temporada Alta (TA), Temporada Media (TM) y
Temporada Baja (TB) vienen dados por la matriz
P. El número de asistentes, en
miles, a dicho parque a lo largo de un año viene dado por la matriz
N.
AD NJ TA TM TB TA AD TM P
=
NJ25 20 14
20 15
7
N=
TB500 600
350 300
125 100
Se pide:
a) Obtener, si es posible, las matrices
R1= ⋅
P Ny
R2= ⋅
N P.
b) ¿A cuántos euros asciende la recaudación total correspondiente a los niños y
jubilados? ¿Y la correspondiente a la Temporada Baja?
c) ¿Qué elemento de
R1o de
2
R
nos proporciona información sobre la recaudación
total correspondiente a los adultos?
d) ¿A cuántos euros asciende la recaudación total?
(Septiembre, 2001)
22. Dadas las matrices
8
2
3
5
5
7
A−
=
,
1
1 2
0
1
1
1 2
1
B−
=
−
y
1
1
0
2
3
1
C−
=
, hallar otra
matriz
Xtal que
A− ⋅ =
B X C23. En una tienda de discos se dispone de música Rap (R), Pop (P) y Folk (F) en dos
formatos: Compact-Disc (CD) y Musicassette (MC). Los precios, en euros, de los
distintos ejemplares vienen determinados por la matriz
Dy el número de existencias
de cada tipo de música y formato por la matriz
E.
CD MC R P F R CD P
E =
MC15 20 14
10
8
7
D=
F13 10
12 10
14 9
Se pide:
a) Obtener, si es posible, las matrices
V1= ⋅
D Ey
V2= ⋅
E D.
b) ¿A cuántos euros asciende la valoración de las existencias de música pop? ¿Y
las de todos los Compact-Disc?
c) ¿Qué elemento de la matriz
V1o de
2
V
nos proporciona información sobre la
valoración de las existencias de música Folk?
d) ¿A cuántos euros asciende la valoración de existencias de todos los tipos de
música?
(Reserva 2, 2001)
24. En una clínica dental colocan tres tipos de prótesis P
1, P
2y P
3, en dos modelos
diferentes, M
1y M
2. El número de prótesis que tienen ya construidas viene dado en
la matriz
A. El precio, en euros, de cada prótesis viene dado en la matriz
B.
M
1M
2P
1P
1P
2P
3P
2M
1 A =P
311 21
16 12
9 14
B=
M
2150 160 240
210 190 220
a) Obtener, si es posible, las matrices
C A B⋅
y
D= ⋅
B A.
b) ¿Qué información proporcionan los elementos
c12de la matriz
Cy el elemento
22
d
de
D?
c) ¿Qué elemento de
Co de
Dproporciona el valor total de todas las prótesis del
tipo P
2?
(J unio, 2002)
25. Considerando las matrices
1 4
2 3
A=
,
1 0
1 1
B=
y
2 0
4 1
C=
, calcular una
matriz
Xque verifique:
AX=
BX+
C.
(Septiembre, 2002)
26. Considerando las matrices
1 1
1 0
A
=
y
B
una matriz que verifica:
1 4
2
2 0
A+ =
B
a) Calcular
A2+
B2b) Calcular la inversa de la matriz producto
A B⋅
.
(Reserva 1, 2002)
27. En una academia se imparten clases de Inglés (I), Lengua (L) y Matemáticas (M)
para tres niveles (1º, 2º, 3º). El número de horas de clase de cada asignatura por cada
nivel en la academia viene dado por la siguiente matriz A:
I
L M
1º
2º
A=
3º
20 5
3
18 6
5
22 1 22
La academia paga a sus profesores cada hora de clase según el nivel al que imparta,
8 euros por el primer nivel, 9 por el segundo y 10 por el tercero.
a) ¿Cuántas horas totales de Inglés se dan en la academia?
b) ¿Cuántas horas totales se dan al segundo nivel?
c) ¿Cuánto le cuesta a la academia las clases de Lengua?
(Reserva 2, 2002)
28. Dadas las matrices
2 0
1
0 2
1
1 1
1
A−
=
;
2 1
0 1
0 2
B
=
y
0 0
1 0
0 0
C
=
1)
Halla la matriz inversa de
A.
2)
Resuelve la ecuación matricial
A X⋅ − =
B C.
3)
Calcula la matriz
X.
(J unio, 2003)
29. Dadas las matrices
1
0
1
0
1
0
1
1 2
A
=
− −
y
1
1
2
3
3
3
4
5
5
B− −
= − −
−
1)
Halla la matriz inversa de
A.
2)
Resuelve la ecuación matricial
X A⋅ = +
A B.
3)
Calcula la matriz
X.
(Septiembre, 2003)
30. Dadas las matrices
2 1 0
0 0 2
3 1 3
A
=
;
4
2
2
3
2
0
1
1 4
B
=
−
e
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
=
1)
Halla la matriz inversa de
(
A−
I)
.
2)
Resuelve la ecuación matricial
X A⋅ − =
B X.
3)
Calcula la matriz X.
(Reserva 1, 2003)
31. Dadas las matrices
1
2
1 1
A=
−
;
1 0
1
2 1
0
1 1
2
B−
=
−
y
10
4
5
2
1
1
C=
−
− −
1)
Halla las matrices inversas de
Ay
B.
2)
Resuelve la ecuación matricial
A X B⋅ ⋅ =
C.
3)
Calcula la matriz X.
(Reserva 2, 2003)
32.
1)Resuelve la ecuación matricial
X A⋅ + = ⋅
At X B, siendo
Atla matriz traspuesta
2)
Halla la matriz
Xsabiendo que
1
0
0
0
1
1
1 0
1
A
=
−
−
y
3
0
1
2
1
1
1
2
3
1
1
2
B
−
=
−
−
.
(J unio, 2004)33.
1)Resuelve la ecuación matricial
X A⋅ + ⋅ =
X At C, siendo
Atla matriz traspuesta
de A.
2)
Halla la matriz
Xsabiendo que
1
1 0
0
1
2
1
1 0
A−
=
− −
y
0 1
1
3 0
1
B=
−
−
.
(Septiembre, 2004)34.
1)Resuelve la ecuación matricial
X+
3
A−1= +
A B, siendo
A−1la matriz inversa de
A.
2)
Halla la matriz
Xsabiendo que
1 0
2
0 1
1
2 1
0
A−
=
y
3
3
3
2
3
1
3
1
1
B− −
=
−
− − −
.
(Reserva 1, 2004)35.
1)Resuelve la ecuación matricial
X A⋅ + =
X B.
2)
Halla la matriz
Xsabiendo que
1
0
2
1
1 1
1
0
2
A−
= − −
y
1
2
1
0
0
4
3
2
3
B
=
− − −
.
(Reserva 2, 2004)36.
1)Despeja la matriz
Xen la ecuación:
A X⋅ − = − ⋅
A I A X.
2)
Halla la matriz
Xsabiendo que
1 1 0
0 1 2
1 0 1
A
=
e
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
=
.
(J unio, 2005)37.
1)Despeja la matriz
Xen la ecuación:
A X⋅ + ⋅ =
A−1 X Isiendo
A−1la matriz
inversa de A.
2)
Halla la matriz
Xsabiendo que
1 0 1
0 1 1
0 1 0
A
=
e
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
=
.
(Septiembre, 2005)38.
1)Despeja la matriz
Xen la ecuación:
X− ⋅ =
A2 X B.
2)
Halla la matriz
Xsabiendo que
1 0 1
1 1 0
0 2 1
A
=
y
2
6
2
2
2
3
6
4
2
B− − −
= − − −
− − −
.
(Reserva 1, 2005)39.
1)Despeja la matriz
Xen la ecuación:
A− ⋅ =
X B C.
2)
Halla la matriz
Xsabiendo que
2
3
1
1
1 1
0
2
1
A
=
−
−
,
0 1 2
1 0 2
1 1 1
B
=
y
4
4
7
0
3
5
3
1
3
C
=
− −
−
−
.
(Reserva 2, 2005)40.
1)Despeja la matriz
Xen la ecuación:
A X⋅ − = ⋅ +
X B X C.
2)
Halla la matriz
Xsabiendo que
1 1 0
1 0 1
1 1 1
A
=
,
2
0 0
1 1 2
0
0 1
B
= −
y
2
2
0
2
4
3
1
2
3
C−
=
− −
−
.
(J unio, 2006)41.
1)Despeja la matriz
Xen la ecuación:
X A⋅ − =
2 B X.
2)
Halla la matriz
Xsabiendo que
1 1 0
0 1
1
1 1 1
A
=
−
−
y
0
2 1
1
1 3
1
2 4
B−
= − −
−
.
(Septiembre, 2006)42.
1)Despeja la matriz
Xen la ecuación: 2
⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅
X A B X3
C.
2)
Halla la matriz
Xsabiendo que
1
1 2
1 0 1
A=
−
,
1 0
2
1
1 1
B−
=
−
y
2
1 1
0
3
C=
−
.
(Reserva 1, 2006)43.
1)Despeja la matriz
Xen la ecuación:
X A⋅ − =
X B.
2)
Halla la matriz
Xsabiendo que
1 1 0
0 1 2
2 1 0
A
=
y
2 2
3
2 3
1
B=
−
−
(Reserva 2, 2006)44.
1)Despeja la matriz
Xen la ecuación: 2
⋅ − ⋅ = − ⋅
X A X C B X.
2)
Halla la matriz
Xsabiendo que
2
1 0
1
2 1
1 1 2
A
=
−
,
1 1 0
0 1 0
1 2 1
B
=
y
0
0
1
1
1
2
1
3
3
C
=
− −
.
45.
1)Despeja la matriz
Xen la ecuación:
X−1⋅ + =
A A B.
2)
Halla la matriz
Xsabiendo que
1 0
1
0 1
0
0 0
1
A−
=
y
1 1 0
0 1 1
1 0 1
B
=
.
(Septiembre, 2007)46.
1)Despeja la matriz
Xde la ecuación:
A− ⋅ = − ⋅
2
X I A X.
2)
Halla la matriz
Xsiendo
Ila matriz identidad de orden 3 y
1 0 1
0 1 1
1 0 0
A
=
.
(Reserva 1, 2004)47.
1)Despeja la matriz
Xde la ecuación:
A+ + ⋅ =
X A X B.
2)
Halla la matriz
Xsabiendo que
1 1 1
0 1 2
1 0 1
A
=
y
0 5 6
2 5 4
2 3 5
B
=
.
(Reserva 2, 2007)48.
1)Despeja la matriz
Xen la ecuación: 2
⋅ − = ⋅
X B A X.
2)
Halla la matriz
Xde la ecuación anterior sabiendo que
1
0 1
2
1 0
1 3 1
A
=
−
y
1
2
3
3
4
3
B−
= −
−
.
(J unio, 2008)49.
1)Despeja la matriz
Xen la ecuación:
X A⋅ − =
X B.
2)
Halla la matriz
Xde la ecuación anterior sabiendo que
1
1 2
0
1
3
1 1
1
A−
=
−
−
y
0
1
8
1 2
10
B=
−
−
−
.
(Septiembre, 2008)50.
1)Despeja la matriz
Xen la ecuación:
A X⋅ − ⋅ =
2
X B.
2)
Halla la matriz
Xde la ecuación anterior sabiendo que
2
1
1
1
0
1
1
1 0
A−
=
− −
y
5
0
0
3
1
1
B
=
− −
.
(Reserva 1, 2008)51.
1)Despeja la matriz
Xen la ecuación:
A X⋅ − = − ⋅
B3
X.
2)
Halla la matriz
Xde la ecuación anterior sabiendo que
0 1
1
1 0
1
1 1
1
A
=
−
y
2
1
2
3
3 1
B
=
−
.
(Reserva 2, 2008)52.
1)Despeja la matriz
Xen la ecuación: 2
⋅ + ⋅ =
X A X I.
2)
Halla la matriz
Xde la ecuación anterior sabiendo que
1 0
1
0 0
2
1 1
1
A
=
−
e
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
=
.
(J unio, 2009)53.
1)Despeja la matriz
Xen la ecuación:
A2+ ⋅ =
A X B.
2)
Halla la matriz
Xde la ecuación anterior sabiendo que
1 1 0
0 1 1
1 0 1
A
=
y
0 2 0
1 0 0
1 0 0
B
=
.
(Septiembre, 2009)54.
1)Despeja la matriz
Xen la ecuación:
X− ⋅ = −
A X B X.
2)
Halla la matriz
Xde la ecuación anterior sabiendo que
1 1 0
1 0 1
0 0 1
A
=
y
1
1
2
1
1
1
B−
= −
.
(Reserva 1, 2009)55.
1)Despeja la matriz
Xen la ecuación:
A+ ⋅ = ⋅
B X A X.
2)
Halla la matriz
Xde la ecuación anterior sabiendo que
1
1 0
1
0
1
2
1
1
A−
=
−
y
0 0 1
1 1 0
1 1 0
B
=
.
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Ejercicios de Selectividad propuestos en Castilla-La Mancha
Bloque I. Álgebra
Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
(Ejercicios propuestos antes del año 2000)
1. La suma de las edades de un padre y sus dos hijos es 48. Dentro de 10 años, el doble de la suma de las edades de los hijos, excederá en 6 años a la edad del padre. Cuando nació el pequeño, la edad del padre excedía en 6 unidades al triple de la edad que tenía el hijo mayor. Calcula las edades de los tres
2. En una reunión, cierta parte de los presentes están jugando, otra parte, están charlando y el resto, que es la cuarta parte del total, bailando. Más tarde, 4 dejan el juego por el baile, 1 de la charla por el juego y 2 dejan el baile por la charla, con lo cual, el número de personas que está en cada grupo es el mismo. ¿Cuántas personas componen la reunión?
3. Tres amigos acuerdan jugar tres partidas de dados de forma que, cuando uno pierda una partida, entregará a cada uno de los otros dos una cantidad igual a la que cada uno de ellos posea en ese momento. Cada uno perdió una partida y al final cada uno tenía 24 pesetas. ¿Cuánto dinero tenía cada jugador al comenzar el juego?
4. La suma de las edades, en el momento actual de un padre y sus dos hijos es 73 años. Dentro de 10 años la edad del padre será el doble de la edad del hijo menor. Hace 12 años la edad del hijo mayor era doble de la edad de su hermano. Hallar la edad de cada uno.
5. Se venden tres especies de cereales: trigo, cebada y mijo. El trigo se vende cada “cahíz” por 4 denarios. La cebada se vende cada “cahíz” por 2 denarios. El mijo se vende cada “cahíz” por 0,5 denarios. Si se venden 100 “cahíces” y se obtiene por la venta 100 denarios, ¿cuántos “cahíces” de cada especie se vende? Interpreta la(s) solución(es).
6. La edad de un padre es doble que la suma de las edades de sus dos hijos, mientras que hace unos años (exactamente la diferencia de las edades actuales de los hijos) la edad del padre era triple que la suma de las edades en aquel tiempo de sus hijos. Cuando pasen tantos años como la suma de las edades actuales de los hijos, la suma de edades de las tres personas será 150 años. ¿Qué edad tenía el padre en el momento del nacimiento de cada uno de sus hijos?
7. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales utilizando el método de Gauss: a) 1 0 1 2 x y z t x y z t x y z t x y z t
+ + + =
− + − =
+ − − = −
+ + − =
; b) 3 4 3 3 2 3 1 0 3 2 x y z x y z x y z x y z+
+
=
+
+
=
− + =
−
− =
; c) 1 3 2 0 2 3 1 2 x y z t x y z t x y z t x z t− − + =
+ + + =
+ + + =
− + − = −
;d) 3 3 5 8 2 3 3 2 4 7 4 x y z x y z x y z x y z
−
−
=
−
−
=
− −
=
+ − =
; e) 3 2 2 3 4 2 2 1 3 x y z t x y t x y z t x y t− − + = −
− + − =
− − + =
+ + = −
; f) 2 4 2 3 4 6 3 5 1 2 3 4 3 x y z x y z x y z x y z+
+ =
−
+
=
− +
=
− + = −
; g) 3 0 2 2 2 4 3 3 5 6 x y z t x y z t x y z t x y z t+ − + =
+ + + = −
+ − + = −
+ + − =
8. Clasificar y resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
a) 2 2 4 5 6 6 3 3 2 32 x y z t x y z t x y z t x y z t
− − + =
+ + − =
− − + =
− − + =
; b) 4 2 2 1 2 3 1 4 9 5 x y z x y z x y z x y z+ −
=
− − =
− + = −
+ −
=
9. Entre Carlos, Pedro y Raúl suman 515 libros de distintos géneros literarios. Si al número de libros que posee Carlos le sumamos el triple de la diferencia entre los que tienen Pedro y Raúl, entonces Carlos tendría tantos como Raúl. Además 8 veces el número de volúmenes de Pedro equivale a 9 veces el número de los de Carlos. ¿Cuántos libros tiene cada uno?
10. Los gastos diarios de tres estudiantes, Marta, Raúl y Pedro suman 1545 pesetas. Si a lo que gasta Marta se le suma el triple de la diferencia entre los gastos de Raúl y Pedro obtendremos lo que gasta Pedro. Ocho veces la diferencia entre el gasto de Raúl y de Marta es igual al gasto de Marta. Averiguar cuál es la cantidad que gasta cada uno.
11. Una tienda ha vendido 330 discos compactos de música clásica, rock y cantautores por un importe total de 740.000 pesetas. El precio de un disco compacto de música clásica es de 2.500 pesetas, y los de grupos de rock y cantantotes un 15% y un 20% más baratos que los de música clásica, respectivamente. También se sabe que se ha vendido una cantidad de compactos de cantautores que es igual a los dos tercios del número de compactos de rock vendidos. Averiguar cuántos discos compactos se han vendido de cada clase.
12. En una tienda de alimentación hay tres productos en oferta: harina, vinagre y botes de guisantes. Un cliente compró un paquete de harina, cuatro botellas de vinagre y dos botes de guisantes, por un importe de 200 pesetas, otro cliente compró un bote de guisantes, dos botellas de vinagre y devolvió un paquete de harina que tenía insectos en su interior, pagó 70 pesetas, y un tercer cliente compró tres botellas de vinagre y devolvió dos paquetes de harina, pagando 20 pts. ¿Cuáles eran los precios de los tres productos? ¿Cómo sería el sistema si el tercer cliente hubiera comprado dos botes de guisantes y 4 botellas de vinagre y hubiera devuelto dos paquetes de harina y le hubieran cobrado 150 pesetas?
13. Una editorial va a lanzar al mercado tres libros de bolsillo L1, L2 y L3. El importe
total de la edición es 3.750.000 pesetas. Los costes en pesetas por unidad son 700, 500 y 600 respectivamente. Se sabe que el número de ejemplares de L3 es igual a los
le suma el número de ejemplares de L3 se obtiene el doble del número de ejemplares
de L2. Averiguar cuántos libros se han editado de cada tipo.
(Ejercicios propuestos a partir del año 2000)
14. En la lista de precios de una cafetería figura la siguiente información: – Cuatro cafés y un bocadillo cuestan lo mismo que cinco refrescos. – Cuatro cafés y tres bocadillos cuestan lo mismo que diez refrescos. – Dos cafés, un refresco y un bocadillo cuestan 950 pesetas.
Calcular el precio de un café, de un refresco y de un bocadillo.
(J unio, 2000)
15. Los 345 atletas que llegaron a la meta en una prueba de maratón se peden agrupar así: Grupo A: Atletas cuyo tiempo final está comprendido entre 2 y 3 horas. Grupo B: Atletas cuyo tiempo final está comprendido entre 3 y 4 horas y grupo C: Atletas cuyo tiempo final está comprendido entre 4 y 5 horas.
El número de atletas del grupo A excede en 4 unidades al triple del número de atletas del grupo C. La diferencia entre el número de atletas del grupo B y el número de atletas del grupo A es cuatro veces el número de atletas del grupo C disminuido en 4 unidades. Calcular el número de atletas que hay en cada grupo.
(Septiembre, 2000)
16. Según la Guía Oficial de Hoteles, en una ciudad del litoral levantino existen 106 establecimientos contando los de 2* (dos estrellas), los de 3* (tres estrellas) y los de 4* (cuatro estrellas). Si 9 hoteles de 3* pasaran a la categoría de 2*, entonces habría igual número de hoteles de 2* y de 3*. En cambio, si hubiera un hotel más de 2*, entonces el número de éstos sería cuatro veces el número de los de 4*. ¿Cuántos hoteles hay de 2*, 3* y de 4*?
(Reserva 1, 2000)
17. Una persona reparte entre sus tres hijos el premio obtenido en un sorteo, de la forma siguiente: Al mayor le asigna la mitad de la suma de las cantidades que corresponden a los otros dos. Al hijo mediano le asigna la mitad de la suma de las cantidades que corresponden a los otros dos. Al hijo menor le asigna la mitad de la diferencia de las cantidades que corresponden a los otros dos más 100 euros. Hallar la cantidad de dinero asignada a cada hijo y el importe total del premio.
(Reserva 2, 2000)
18. En una competición deportiva celebrada en un I.E.S. participaron 50 atletas distribuidos, según la edad, en tres categorías: Infantiles, Cadetes y Juveniles. El doble del número de atletas infantiles, por una parte excede en una unidad al número de atletas cadetes y, por otra parte, coincide con el quíntuplo del número de atletas juveniles. Determina el número de atletas que hubo en cada categoría.
(J unio, 2001)
19. Dividimos un número de tres cifras “xyz”, entre la suma de éstas y obtenemos 20 de cociente y 3 de resto. La cifra de las decenas, “y”, es igual a la mitad de la suma de las otras dos. La cifra de las unidades, “z”, es igual a la suma de las otras dos. Hallar el número “xyz”.
(Septiembre, 2001)
20. Las edades de tres miembros de una misma familia, el abuelo, el hijo y el nieto, verifican lo siguiente: La suma de las edades del abuelo y del nieto excede en 5 años al doble de la edad que tienen el hijo. Hace 5 años la edad del abuelo era doble de la edad que tenía el hijo. Sumando las edades que tendrán los tres dentro de 10 años se
obtiene 28 veces la edad que tenía el nieto hace 5 años. Halla las edades actuales de los tres.
(Reserva 1, 2001)
21. Se reparten 18400 euros entre tres personas A, B y C de modo que: Por cada 2 euros que recibe A, recibe B tres euros. Por cada 5 euros que recibe B, recibe C siete euros. ¿Qué cantidad corresponde a cada persona?
(Reserva 2, 2001)
22. De la edad de tres hermanos, Ana, Jesús y Fernando, se sabe que: el doble de la edad de Ana más el triple de la edad de Jesús es tres años superior a cuatro veces la edad de Fernando; el triple de la edad de Fernando menos el doble de la edad de Jesús es siete años inferior al doble de la edad de Ana; y el doble de la edad de Ana más el doble de la edad de Fernando es tres años inferior a cinco veces la edad de Jesús. Calcular la edad de cada uno de los hermanos.
(J unio, 2002)
23. Una determinada compañía de teatro presenta una obra en una ciudad, dando sólo tres representaciones. Se sabe que el número de espectadores que asiste a la segunda representación se incrementó en un 12% respecto a la primera, que en la tercera representación asistieron 336 espectadores menos que a la segunda y que el número de espectadores de la primera superó en 36 espectadores el de la tercera. Calcular el número de espectadores que asistieron a cada representación.
(Septiembre, 2002)
24. Los habitantes de una ciudad tienen los ojos de color azul, o de color negro o de color marrón. El número de los que tienen ojos azules, aumentado en 5, es igual a la sexta parte del número de los que tienen los ojos negros o marrones. El número de los que tienen ojos negros, disminuido en 75, es igual a la mitad de los que tienen los ojos azules o marrones. Finalmente, el número de los que tienen ojos marrones, aumentado en 50, es igual al número de los que tienen ojos azules o negros. ¿Cuántos habitantes tiene la ciudad?
(Reserva 1, 2002)
25. Tres amigas, Elena, Carmen y Cristina, entran en una tienda de deportes en la que sólo hay tres tipos de artículos. Elena se compra 2 pares de zapatillas, 1 sudadera y 1 pantalón. Carmen se compra 1 par de zapatillas, 2 sudaderas y 2 pantalones, y Cristina se compra 2 pares de zapatillas y 3 pantalones. Elena se ha gastado en total 70 euros, Carmen 80 euros y Cristina 75 euros. ¿Cuánto vale cada art ículo?
(Reserva 2, 2002)
26. Un grupo de 30 alumnos de 2º de bachillerato realiza una votación a fin de determinar el destino de la excursión fin de curso, entre los siguientes lugares: Baleares, Canarias y París. El número de los que prefieren Baleares triplica al número de los que prefieren París. El 40% de los que prefieren Canarias coincide con la quinta parte de la suma de los que prefieren los otros dos lugares. Halla el número de votos que obtuvo cada destino.
(J unio, 2003)
27. Tres amigos A, B y C, deciden hacer un fondo común con el dinero que tienen para hacer una compra de golosinas. La razón entre la suma y la diferencia de las cantidades que tienen A y B es 11/5. Dividiendo la cantidad de dinero que tiene A entre la cantidad de dinero que tiene B se obtiene de cociente 2 y de resto la cantidad de dinero que tiene C. Halla la cantidad de dinero que tiene cada uno sabiendo, además, que el doble de la suma de las que tienen B y C excede en dos euros a la que tiene A.
(Septiembre, 2003)
28. Hallar las edades de un padre y de sus dos hijos sabiendo que actualmente las tres suman 88 años; que dentro de 10 años, la suma de las edades que tendrán el padre y el hijo menor excederá en 2 años al triple de la edad que tendrá el hijo mayor y que hace 12 años, la suma de las edades que tenía el padre y el hijo mayor era doce veces la edad que tenía el hijo pequeño.
(Reserva 1, 2003)
29. A los 10 minutos de comenzar una clase de matemáticas de 2º de bachillerato, una parte de los alumnos están mirando las anotaciones que el profesor hace en la pizarra, otra parte está tomando apuntes y el resto, que es la sexta parte del total, están distraídos. Quince minutos más tarde, tres alumnos distraídos pasan a tomar apuntes, un alumno de los que toma apuntes pasa a mirar la pizarra y 8 alumnos que miraban la pizarra, se distraen. En este momento hay el mismo número de alumnos en cada uno de los tres grupos: los que miran la pizarra, los que toman apuntes y los distraídos. Hallar el número de alumnos que hay en la clase.
(Reserva 2, 2003)
30. Las edades de tres vecinos suman 54 años y son proporcionales a 2, 3 y 4. Halla la edad de cada uno de ellos.
(J unio, 2004)
31. En una clase se celebran elecciones para Delegado. Se presentan dos candidatos: X e Y. El 5% del total de votos emitidos es nulo. Cuatro veces el número de votos obtenido por Y menos tres veces el número de votos obtenidos por X excede al número de votos nulos en una unidad. Si dividimos el número de votos obtenidos por X entre el número de los obtenidos por Y se obtiene de cociente 1 y de resto 7.
¿Cuántos votos obtuvo cada candidato?
(Septiembre, 2004)
32. Una determinada Universidad tiene 1000 profesores entre Catedráticos, Titulares y Asociados. Si 50 Titulares pasaran a ser Catedráticos, el número de Titulares restantes sería doble que el número de Catedráticos que resultarían del traspaso más el número de Asociados. En cambio si 100 Titulares pasaran a ser Catedráticos, entonces el número de Titulares restantes sería igual que la suma del número de Catedráticos resultantes del traspaso y el número de Asociados. Halla el número inicial de profesores de cada categoría.
(Reserva 1, 2004)
33. En una bolsa hay canicas de tres colores: amarillo, verde y negro. Si sacamos una bola de la bolsa, el total de bolas negras coincide con un tercio de las que quedan. Introducimos de nuevo la bola en la bolsa y a continuación sacamos dos bolas. Entonces pueden ocurrir dos cosas: El total de bolas verdes coincide con la mitad de las que quedan o el total de bolas amarillas coincide con la cuarta parte de las que quedan. Determina el número de bolas de cada color que hay en la bolsa.
(Reserva 2, 2004)
34. Un video-club está especializado en películas de tres tipos: Infantiles, Oeste americano y Terror. Se sabe que: (a) El 60% de las películas Infantiles más el 50% de las del Oeste representan el 30% del total de las películas. (b) El 20% de las infantiles más el 60% de las del Oeste más el 60% de las de terror representan la
mitad del total de películas. (c) Hay 100 películas más del Oeste que de Infantiles. Halla el número de películas de cada tipo.
(J unio, 2005)
35. Los 30 alumnos de un grupo de 4º de ESO cursan tres asignaturas optativas distintas: Francés, Cultura Clásica y Energías alternativas. Si dos alumnos de Francés se hubiesen matriculado de Cultura Clásica, entonces estas dos asignaturas tendría el mismo número de alumnos. Si dos alumnos de Cultura Clásica se hubiesen matriculado en Energías Alternativas, entonces Energías Alternativas tendría doble número de alumnos que Cultura Clásica. Halla el número de alumnos matriculado en cada asignatura.
(Septiembre, 2005)
36. Para poder comprar 5 bolígrafos necesito 2 euros más de los que tengo. En cambio, me sobra un euro de lo que tengo si compro 2 lapiceros. Finalmente, necesito 60 céntimos de euro más de lo que tengo para poder comprar dos bolígrafos y dos lapiceros. Halla el precio de un bolígrafo y el de un lapicero. ¿De cuánto dinero dispongo?
(Reserva 1, 2005)
37. Se consideran, el número de tres cifras “xyz” y el que resulta de éste al permutar las cifras de las unidades y de las centenas. Halla el valor de las cifras “x”, “y” y “z” sabiendo que la suma de los dos números es 585, que la división del primero entre el segundo tiene de cociente 1 y de resto 99 y que la suma de la cifra de las centenas y la cifra de las decenas del primer número es 7.
(Reserva 2, 2005)
38. Un hombre le dice a su esposa: ¿Te has dado cuenta que desde el día de nuestra boda hasta el día del nacimiento de nuestro hijo transcurrieron el mismo número de
años que desde el día del nacimiento de nuestro hijo hasta hoy? El día del nacimiento de nuestro hijo la suma de nuestras edades era de 55 años. La mujer le replicó: “Me acuerdo que en ese día del nacimiento de nuestro hijo, tú tenías la edad que yo tengo ahora y además recuerdo que el día de nuestra boda el doble de la edad que tu tenías excedía en 20 años a la edad que yo tengo hoy. Halla las edades actuales de ambos.
(J unio, 2006)
39. Para la compra de un artículo de precio 10,70 euros se utilizan monedas de 1 euro, de 50 céntimos de euro y de 20 céntimos de euro. El número total de monedas excede en una unidad al triple de monedas de 1 euro. El 30% de la suma del número de monedas de 1 euro con el doble del número de monedas de 50 céntimos coincide con el número de monedas de 20 céntimos. Halla el número de monedas que se utilizan de cada clase.
(Septiembre, 2006)
40. En un grupo de 2º de Bachillerato todos los alumnos tienen como materia optativa una de estas tres asignaturas: Literatura, Psicología o Francés. El número de alumnos matriculados en Literatura representa el 60% del total de alumnos del grupo. Si tres alumnos de Psicología se hubiesen matriculado en Francés, entonces estas dos asignaturas tendrían el mismo número de alumnos. Finalmente, el doble de la diferencia del número de matriculados en Literatura y en Psicología es el triple de la diferencia de los matriculados en Psicología y en Francés. Halla el número de alumnos matriculados en cada una de las materias optativas y el número alumnos del grupo.
41. En un Instituto se imparten enseñanzas de ESO, Bachillerato y Ciclos Formativos. La suma del número de los alumnos de Bachillerato y del doble de los alumnos de Ciclos Formativos excede en 100 al número de los alumnos de ESO. Si sumamos el 40% de los matriculados en ESO con el 30% de los matriculados en Bachillerato y con el 20% de los matriculados en Ciclos Formativos se obtiene un número que excede en 45 unidades al 30% del número total de alumnos. Sabiendo que cursan estos tres tipos de enseñanza un total de 1200 alumnos, halla el número de matriculados en cada tipo de enseñanza.
(Reserva 2, 2006)
42. Un alumno de 2º de Bachillerato emplea en la compra de tres lápices, un sacapuntas y dos gomas de borrar, tres euros. El doble del precio de un lápiz excede en cinco céntimos de euro a la suma de los precios de un sacapuntas y de una goma de borrar. Si cada lápiz costara cinco céntimos de euro más, entonces su precio duplicaría al de una goma de borrar. Determina el precio de un lápiz, de un sacapuntas y de una goma de borrar.
(J unio, 2007)
43. La suma de las edades actuales de los tres hijos de un matrimonio es 59 años. Hace cinco años, la edad del menor era un tercio de la suma de las edades que tenían los otros dos. Dentro de cinco años, el doble de la edad del hermano mediano excederá en una unidad a la suma de las edades que tendrán los otros dos. Halla las edades actuales de cada uno de los hijos.
(Septiembre, 2007)
44. Un Instituto compra 500 paquetes de folios a tres proveedores diferentes a 2,75; 2,70 y 2,80 euros cada paquete, respectivamente. La factura total asciende a 1360 euros. La diferencia entre el número de paquetes suministrados por el 2º y el 3º proveedor, es triple del número de paquetes suministrados por el 1º proveedor.
¿Cuántos paquetes suministra cada uno de los proveedores?
(Reserva 1, 2007)
45. En una población se han presentado dos partidos políticos A y B a las elecciones municipales. Si 250 votantes del partido A hubiesen votado el partido B, ambos partidos hubiesen empatado a votos. El número de votos en blanco o nulos es el 1% de la suma del número de votos obtenidos por ambas candidaturas. Sabiendo que fueron a votar 11615 electores, halla el número de votos obtenido por cada partido y cuantos son blancos o nulos.
(Reserva 2, 2007)
46. En una fábrica de artículos deportivos se dispone de 10 cajas de diferente tamaño: Grandes, Medianas y Pequeñas para envasar las camisetas de atletismo producidas, con capacidad para 50, 30 y 25 camisetas, respectivamente. Si una caja grande fuera mediana, entonces habría el mismo número de grandes y de medianas. En total se envasan 390 camisetas. Determina el número de cajas que hay de cada clase.
(J unio, 2008)
47. En la XXI Olimpiada Nacional de Química se contrataron 5 autobuses de 55 plazas cada uno, incluida la del conductor, para el transporte de alumnos, profesores y acompañantes. La suma del 10% del número de profesores y del 20% del número de acompañantes excede en una unidad al 10% del número de alumnos. El número de alumnos duplicaría al de profesores en el caso de que hubieran asistido 5 profesores menos. Determina el número de alumnos, de profesores y de aco mpañantes.
48. Los 147 alumnos de un Instituto participan en un taller de percusión organizado por el Departamento de Música. Hay tres modalidades: Merengue, Tango y Samba. Si 15 alumnos de los que han elegido Merengue hubieran elegido Samba, entonces ambas modalidades hubieran tenido el mismo número de alumnos inscritos. La suma del número de inscritos en Merengue y del doble del número de inscritos en Samba excede en 20 al doble del número de inscritos en Tango. Determina el número de alumnos inscritos en cada modalidad.
(Reserva 1, 2008)
49. En una tienda especializada, un cliente adquiere dos Pen Drive de 1 GB, uno de 2 GB y uno de 4 GB abonando por todos ellos 33 euros. Otro cliente adquiere uno de 1 GB, dos de 2 GB y devuelve uno de 4 GB adquirido el día anterior, abonando por todo ello 6 euros. Sabiendo que una rebaja del 20% en el precio de los de 1 GB permitiría adquirir dos de éstos por el precio de uno de 2 GB. Calcula el precio de
los Pen Drive de cada clase.
(Reserva 2, 2008)
50. Con las 12 monedas que tengo en el bolsillo (de 50 céntimos, de 20 céntimos y de 10 céntimos de euro) puedo comprar un pastel cuyo precio es 2,80 euros. Si una moneda de 50 céntimos lo fuera de 20, entonces el número de las de 20 céntimos y el número de las de 10 céntimos coincidiría. ¿Cuántas monedas tengo de cada clase?
(J unio, 2009)
51. En una caja hay monedas de 1, de 2 y de 5 céntimos de euro. El número de monedas de 1 céntimo excede en cuatro unidades a la suma del número de las de 2 céntimos y del número de las de 5 céntimos. El número de monedas de 2 céntimos excede en una unidad al 40% del número de monedas de 1 céntimo. Sabiendo que si tuviéramos una moneda más de 1 céntimo, el valor de todas ellas sería de 50 céntimos, calcula el número de monedas que hay de c ada clase.
(Septiembre, 2009)
52. En una bolsa hay caramelos de tres sabores: menta, café y limón. Cada caramelo cuesta 5 céntimos de euro. El precio total de la bolsa es de 3 euros. El 30% del número de los de sabor menta excede en dos unidades al 10% de la suma de los de café y los de limón. Sabiendo que la suma del número de los de sabor menta y los de sabor limón es el triple de los de sabor café, determina el número de caramelos de cada sabor que hay en la bolsa
(Reserva 1, 2009)
53. La suma de las edades de tres hermanos es 32 años. Dividiendo la edad del mayor entre la edad del más pequeño se obtiene 2 de cociente y 1 de resto. Sabiendo que la edad del pequeño es igual a la suma del 20% de la edad del mayor y del 40% de la edad del mediano, determina las edades de cada uno de ellos.
