UNIDAD: GEOMETRÍA GEOMETRÍA PROPORCIONAL SEMEJANZA

UNIDAD: GEOMETRÍA

GEOMETRÍA PROPORCIONAL – SEMEJANZA

TEOREMA 1

Las áreas de los triángulos que tienen la misma altura están, respectivamente, en la misma razón que lo están sus bases (fig. 1).

EJEMPLOS

1. En la figura 2, ABCD es un rectángulo de perímetro 26 cm. Si EB = 3 cm y EC = 5 cm, ¿en qué razón están las áreas de los triángulos AEF y EBC?

A) 2 : 1 B) 3 : 1 C) 3 : 2 D) 4 : 3 E) 5 : 3

2. En el trapecio ABCD de la figura 3, AB // DC. Si AE = 2, ¿cuál es el área del ΔAED?

A) 60 13 B) 50 13 C) 30 13 D) 17 13

E) Ninguna de las anteriores

C

u

r

s

o

: Matemática 3º Medio

Material Nº MT-18

Si h1 = h2, entonces área ABC ₌ AB área DEF DE Δ Δ A E D F C B fig. 2 A B D E F C h1 h2 fig. 1 fig. 3 D E A B C 5 12

TEOREMA 2

Toda paralela a uno de los lados de un triángulo divide proporcionalmente a los otros dos lados (fig. 1).

EJEMPLOS

1. En el triángulo ABC de la figura 2, DE // AB. Si CB = 12 cm, CE = 4 cm y AD = 6 cm, entonces AC = A) 3 cm B) 6 cm C) 8 cm D) 9 cm E) 12 cm

2. En el ΔABC de la figura 3, DE // BC y DF // BE. Si AF = 3 y CF = 9, entonces EF = A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6 Si DE // AB, entonces CD = CE DA EB C A B D E fig. 2 C A B D _E fig. 1 B C D E fig. 3 A F

TEOREMA 3

En todo triángulo, la bisectriz interior de un ángulo divide al lado opuesto en dos trazos que están en la misma razón que los lados que forman el ángulo (fig. 1).

EJEMPLOS

1. En el triángulo ABC de la figura 2, AD es bisectriz del ángulo BAC. Si BD : AB = 2 : 3 y AB = 2AC = 6 cm, ¿cuánto mide BC? A) 10 cm B) 8 cm C) 7 cm D) 9 cm E) 6 cm

2. En el ΔABC de la figura 3, (A = 90º, AM transversal de gravedad y AD bisectriz del (A. Si AB = 6 y AC = 8, entonces el área del ΔADM es

A) 84 7 B) 79 7 C) 72 7 D) 12 7 E) 3 7 Si (ACD = (BCD, entonces DA = CA DB CB C A B D fig. 2 A D B C fig. 1 A B D C fig. 3 M

DEFINICIÓN DE POLÍGONOS SEMEJANTES

Dos polígonos de un mismo número de lados, se dirán semejantes, cuando los ángulos de uno de ellos sean respectivamente congruentes con los ángulos del otro y cuando, además, tengan sus lados homólogos proporcionales.

En la figura 1, pentágono ABCDE ∼ pentágono PQRST si y solo si: (A ≅ (P, (B ≅(Q, (C ≅ (R, (D ≅(S, (E ≅(T y AB ₌ BC ₌ CD ₌ DE ₌ EA PQ QR RS ST TP EJEMPLOS

1. Forman una pareja de polígonos semejantes: I) Dos cuadrados cualesquiera.

II) Dos triángulos equiláteros cualesquiera. III) Dos rombos cualesquiera.

IV) Dos hexágonos regulares cualesquiera. De las afirmaciones anteriores son verdaderas

A) Sólo I y II B) Sólo I y III C) Sólo I y IV D) Sólo I, II y IV E) I, II, III y IV

2. En la figura 2, cuadrilátero XMTV ∼ cuadrilátero QRAJ. Si QR = 12, entonces RA + AJ = A) 16 B) 18 C) 24 D) 26 E) 34 _Q R J A fig. 2 V X M 18 24 27 12 T A B E C D P Q T R S fig. 1

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

El hecho que todo polígono, de más de tres lados, admita descomposición en triángulos, motivó en los geómetras una especial atención por estas elementales figuras.

En la figura 1:

EJEMPLOS

1. Si ΔABC ∼ΔQRP (fig. 2), ¿cuál(es) de las siguientes relaciones es(son) verdadera(s)? I) (A ≅ (Q II) AC = QP BC RP III) AB = BC QP RP A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III 2. En la figura 3, ΔPQR ∼ ΔJKL. Entonces, JL = A) 19 B) 26 C) 48 D) 57

E) ninguna de las anteriores

ΔABC ∼ ΔPQR, si y solamente si,

(A = (P; (B = (Q ; (C = (R y AB ₌ BC ₌ CA PQ QR RP A B C P Q R fig. 1 A B C fig. 2 R Q P fig. 3 Q R P 5 x – 7 16 K L J 15 2x + 5 16

TEOREMAS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Para establecer la semejanza entre dos triángulos no es necesario verificar cada una de las seis condiciones expuestas anteriormente, sino que la ocurrencia de algunas de ellas provocan necesariamente la ocurrencia de las otras restantes.

TEOREMA 1 (TEOREMA FUNDAMENTAL)

Para que dos triángulos sean semejantes, los ángulos de uno de ellos deben ser congruentes a los ángulos del otro (fig. 1).

COROLARIO

Toda paralela a un lado de un triángulo, determina un triángulo semejante al primero (figura 2).

EJEMPLOS

1. En la figura 3, el trazo DE es paralelo al lado AB del triángulo ABC. Entonces, el triángulo CDE es semejante al triángulo ABC en su orden

A) BAC B) CBA C) CAB D) BCA E) ABC

2. En la figura 4, ABCD es un paralelogramo en el cual FE // DB. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdaderas(s)?

I) (EFC = (ABD II) (DBC = (FEC III) (FEC = (BDA A) Sólo II B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III C A B R P Q fig. 1 A B D E C fig. 2 C D E A B fig. 3 D F C A B E fig. 4 Si (A ≅(P y (B ≅(Q, entonces ΔABC ∼ΔPQR Si DE // AB, entonces ΔCDE ∼ΔCAB

Si (C ≅ (R y AC=AB PR PQ, entonces ΔABC ∼ ΔPQR TEOREMA 2

Para que dos triángulos sean semejantes, basta que tengan un ángulo congruente comprendido entre lados proporcionales (fig. 1).

TEOREMA 3

Para que dos triángulos sean semejantes, basta que tengan sus lados proporcionales (fig. 2).

TEOREMA 4

Para que dos triángulos sean semejantes, basta que tengan dos de sus lados respectivamente proporcionales, y los ángulos opuestos a los mayores de estos lados, congruentes (fig. 3).

EJEMPLOS

1. En la figura 4, PQR y STR son triángulos semejantes. Si ST : PQ = 1 : 2 y ST no es paralelo con

PQ, ¿cuál(es) de las siguientes relaciones es(son) siempre correcta(s)?

I) SR : QR = 1 : 2 II) RT : RQ = 1 : 2 III) PS = SR A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo II y III

2. ¿Qué pares de triángulos son semejantes?

I) II) III) A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) Ninguno de ellos fig. 1 R P Q C A B Si (A ≅(P y AC=AB PR PQ, entonces ΔABC ∼ΔPQR Si AB=BC =CA PQ QR RP , entonces ΔABC ∼ ΔPQR R P Q S T fig. 4 30º 120º 120º 30º 47º 9 12 47º 9 6 38º 38º AB

>

AC

PQ

>

PR fig. 3 A B C P Q R fig. 2 P Q R A B C

Si ΔABC ∼ ΔA’B’C’, entonces c a c a b t h = = = ... b' t ' h ' SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS TEOREMA 5

En triángulos semejantes, dos lados homólogos están en la misma razón que dos trazos homólogos cualesquiera (fig. 1).

OBSERVACIÓN: Este teorema también es válido en polígonos semejantes.

EJEMPLOS

1. En la figura 2, ΔABC ∼ΔPQR. Si AD = DC, PS = SR y DB = 2SQ, entonces AE : PT = A) 4 : 1

B) 3 : 1 C) 2 : 1 D) 3 : 2

E) faltan datos

2. Los triángulos ABC y PQR de la figura 3 son equiláteros. Si AE es bisectriz, CD es altura, QS es transversal de gravedad y AD : PS = 1 : 3, entonces ¿cuál(es) de las siguientes relaciones es(son) verdadera(s)?

I) BD : QR = 1 : 6 II) CE : SR = 1 : 3 III) DF : PQ = 1 : 9 A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III fig. 1 A c B C a C’ A’ c’ B’ b ha tc b’ a’ ha’ tc’ fig. 2 A B C E D mº mº P Q R T S mº mº C A D B E F R P S Q fig. 3

TEOREMA 6

Los perímetros de triángulos semejantes están en la misma razón que dos trazos homólogos cualesquiera (fig. 1).

OBSERVACIÓN: Este teorema también es válido en polígonos semejantes y en circunferencias. TEOREMA 7

Las áreas de triángulos semejantes están en una razón equivalente al cuadrado de la razón en que se encuentran dos trazos homólogos cualesquiera (fig. 1).

OBSERVACIÓN: Este teorema también es válido en polígonos semejantes y en círculos.

EJEMPLOS

1. En la figura 2, ABCD y EFGH son dos cuadrados tales que AB : EF = 3 : 4. Si el perímetro de ABCD es igual a 36 cm, ¿cuánto mide EG?

A) 3 2 cm B) 4 2 cm C) 9 2 cm D) 12 2 cm E) 12 cm

2. En el ΔPBC de la figura 3, AD // BC. Si AD = 4, BC = 6 y el área del trapecio ABCD es 25, ¿cuál es el área del ΔPAD?

A) 50 B) 30 C) 20 D) 15 E) 10 A B D C E F H G fig. 2 A c B C b _t a c ha A

’

c B C’ b’ tc’ a’ ha’ fig. 1 Si ΔABC ∼ ΔA’B’C’, entonces perímetro ABC perímetro A'B'C' Δ Δ = c a c a b t h = = = ... b' t ' h ' Si ΔABC ∼ΔA’B’C’, entonces área ABC área A'B'C' Δ Δ = 2 ₂ 2 c a a c b ₌ t ₌ h _{= ...} b' t ' h ' ⎛ ⎞_{⎟ ⎛ ⎞} ⎛ ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ _{⎜⎝ ⎟⎠ ⎜⎝} ⎟_⎠ B D C P fig. 3 A

EJERCICIOS

1. En la figura 1, si ΔABC es isósceles y AD = 4 cm, entonces su área es igual a A) 8 cm2

B) 16 cm2 C) 32 cm2 D) 48 cm2 E) 64 cm2

2. Es siempre correcto afirmar que dos rectángulos son semejantes si tienen A) iguales áreas.

B) iguales perímetros.

C) anchos de iguales medidas. D) diagonales de iguales medidas. E) ninguna de las anteriores.

3. Si el triángulo ABC, de la figura 2, es escaleno y rectángulo en C, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)?

I) (ACD = (ABC II) ΔBCD ∼ ΔBAC III) ΔADC ∼ ΔACB A) Sólo I

B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) I, II y III

E) Ninguna de las anteriores

4. Siempre son semejantes, A) dos pentágonos.

B) dos triángulos rectángulos. C) dos trapecios isósceles.

D) dos romboides de igual perímetro. E) dos cuadrados de distinto perímetro.

A D B C fig. 2 α A D B C fig. 1 α

5. Las áreas de dos triángulos equiláteros están en la razón 1 : 9. Si la altura del triángulo de menor área mide 3 3, ¿cuál es el perímetro del otro triángulo?

A) 18 B) 18 3 C) 27 3 D) 54 E) 162

6. En la figura 3, el ΔABC es isósceles y rectángulo en C. Si BC = 2 2, entonces AD + DC = A) 4

B) 2 2 C) 4 2 D) 8

E) ninguna de las anteriores

7. El triángulo ACB, de la figura 4, es rectángulo en C. Si BC = 10 y CD = 6, entonces AD = A) 4

B) 4,5 C) 5 D) 6 E) 8

8. En el ΔABC de la figura 5, CD es bisectriz del ángulo ACB, AD : AC = 3 : 4. ¿Cuánto mide AB, si BC = 12? A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18 A D B C fig. 3 A C D B fig. 4 α A D B C fig. 5 α

9. El radio de circunferencia de centro O mide 4 cm y AD mide 10 cm (fig.6). ¿Cuánto mide la cuerda BC? A) 2,4 B) 3,6 C) 4,8 D) 5,0 E) 6,0

10. En el rectángulo ABCD de la figura 7, AB = 2BC, DE ⊥ AC y EB = 9 cm. ¿Cuánto mide AB? A) 10 cm B) 12 cm C) 15 cm D) 16 cm E) 18 cm RESPUESTAS DOMT-18

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