Tema 9: ESPACIO AFÍN EUCLÍDEO. MOVIMIENTOS RÍGIDOS

ESPACIO AF´

IN EUCL´

IDEO.

MOVIMIENTOS R´

IGIDOS

Prof. Rafael L´

opez Camino

Departamento de Geometr´ıa y Topolog´ıa

Universidad de Granada

Material docente para el alumno

Asignatura:

Geometr´ıa I. Curso 2003/04

Licenciatura: Matem´

aticas (Plan 2000)

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Espacio af´ın eucl´ıdeo

Definici´on 1.1 El espacio af´ın eucl´ıdeo es el espacio af´ın Rn dotado con la m´etrica usual ,: x, y= n i=1 x_iy_i.

Se define la distancia entre dos puntos P, Q∈Rn como la distancia vectorial entre ellos, es decir,

d(P, Q) =|−→P Q|.

Definici´on 1.2 Dos subespacios afines S yT se dice que son ortogonales o perpen-diculares si lo son las respectivas variedades de direcci´on. Se definen las proyecciones ortogonales y simetr´ıas ortogonales como las proyecciones y simetr´ıas respecto de un subespacio y paralelo al subespacio ortogonal.

De forma an´aloga a lo que suced´ıa en el caso vectorial, si P ∈ Rn y S es un subespacio af´ın, se define la distancia de P aS como

d(P, S) = inf{d(P, Q);Q∈S}.

Se tiene entonces que d(P, S) = d(P, π_S(P)). Por ejemplo, si S es el hiperplano

{x∈Rn;a_ix_i+b = 0}, y si P = (p₁, . . . , p_n), entonces d(P, S) = | _n i=1aipi+b| _n i=1a2i .

Como novedad respecto del caso vectorial, podemos definir la distancia entre dos subespacios afines S y T:

d(S, T) =∈ {d(P, Q);P ∈S, Q∈T}. Ahora tenemos

d(S, T) = d(P, π_W(P)),

donde P es un punto cualquiera de S y W es el subespacio af´ın definido por W = Q+ (−→S +−→T), donde Q∈T.

2

Tri´

angulos y cuadril´

ateros

A continuaci´on definimos lo que son tri´angulos y cuadril´atero en un espacio af´ın.

Definici´on 2.1 Un tri´angulo en un espacio af´ın son tres puntos af´ınmente indepen-dientes. Un cuadril´atero son cuatro puntos contenidos en un plano af´ın y de forma que tres a tres son af´ınmente independientes. Se define un lado de un tri´angulo

{P₀, P₁, P₂} como

P_iP_i+1 ={P_i+λP−−−−→_iP_i+1;λ∈[0,1]}.

De forma an´aloga se define los lados de un cuadril´atero.

Definici´on 2.2 Un cuadril´atero{P₀, P₁, P₂, P₃}se llama paralelogramo si< P₀, P₁ >

< P₂, P₃ > y< P₁, P₂ >< P₃, P₄ >.

Consideramos ahora el espacio af´ın eucl´ıdeo. Un paralelogramo se llamarect´angulo

si los lados son dos a dos perpendiculares. Si adem´as, las longitudes de los lados son iguales, se llama cuadrado.

En un paralelogramo del espacio af´ın eucl´ıdeo, las longitudes de los lados op-uestos coinciden.

Definici´on 2.3 Si P, Qson dos puntos de un espacio af´ın, se define el punto medio entre P y Q como M =P +1 2 −→ P Q= P +Q 2 .

3

Movimientos r´ıgidos

Definici´on 3.1 Un movimiento r´ıgido de Rn es una aplicaci´on af´ın f : Rn → Rn

La definici´on es equivalente a que d(P, Q) = d(f(P), f(Q)), para cualesquiera puntos P y Q. De la misma forma, se dice que f es directo o inverso si lo es −→f .

Si escribimos f(X) = AX+b, entonces f es un movimiento r´ıgido si y s´olo si A ∈O(n).

1. Las traslaciones son movimientos r´ıgidos.

2. Las simetr´ıas ortogonales son movimientos r´ıgidos.

3. La composici´on de movimientos r´ıgidos es otro movimiento r´ıgido.

4. La aplicaci´on inversa de un movimiento r´ıgido es otro movimiento r´ıgido. Antes de clasificar los movimientos r´ıgidos del plano y espacio af´ın eucl´ıdeo, estudiamos dos subespacios notables en todo movimiento r´ıgido.

Proposici´on 3.2 (Subespacio de puntos fijos) Seaf :Rn →Rnuna aplicaci´on af´ın y sea P_f ={X ∈Rn;f(X) = X} el conjunto de puntos fijos (que puede ser un conjunto vac´ıo). Supongamos que f(X) =AX+b. Entonces son equivalentes:

1. P_f =∅.

2. r(A−I_n) =r(A−I_n| −b).

Si no es vac´ıo, y el rango anterior es m, entonces P_f es un subespacio de dimensi´on

n−m cuya variedad de direcci´on es V₁(−→f ).

Definici´on 3.3 Sea f :Rn →Rn una aplicaci´on af´ın. Un subespacio af´ın S se dice que es invariante por f sif(S) =S.

Por ejemplo, si f : R2 → R2 es una simetr´ıa respecto una recta L y paralela a otra recta T, entonces toda recta W paralela a T queda invariante por f ya que si P ∈ W, −−−−→P f(P) ∈ −→T . Por tanto, f(P) ∈ P +−→T = W, es decir, f(W) = W. Observemos que si −→T =v, −→f(v) =−v.

Definici´on 3.4 Si f : Rn → Rn es una aplicaci´on af´ın, el conjunto I_f = {X ∈

Rn_;−−−−→_Xf(X)∈V

1(−→f)} se llama subespacio invariante por f.

Proposici´on 3.5 (Subespacio invariante) Sea f :Rn→Rn una aplicaci´on af´ın y sea I_f = {X ∈ Rn;Xf−−−−→(X)∈ V₁(−→f)} el subespacio invariante (que puede ser un conjunto vac´ıo). Supongamos que f(X) =AX+b. Entonces son equivalentes:

1. I_f =∅.

2. r(A−I_n) =r(A−I_n)2.

Si no es vac´ıo, y el rango anterior es m, entonces I_f es un subespacio de dimensi´on

n − m cuya variedad de direcci´on es V₁(−→f) y est´a determinado por I_f = {X ∈

Rn_{; (A−I}

n)2X+ (A−In)b = 0}.

Recordemos que una isometr´ıa g tal que g◦g = 1_V era una simetr´ıa respecto de un subespacio U. Concretamente, U era el subespacio propio asociado al valor propio 1, V₁(g), y queU⊥ =V₋₁(g). En el espacio af´ın eucl´ıdeo el resultado an´alogo es el siguiente:

Teorema 3.6 Sea f un movimiento r´ıgido de Rn tal que −→f es una simetr´ıa ortog-onal vectorial. Si el conjunto de puntos fijos P_f de f no es vac´ıo, entonces f es una simetr´ıa ortogonal respecto del subespacio P_f.

Clasificamos los movimientos r´ıgidos de R2 y R3.

Teorema 3.7 (Plano eucl´ıdeo) Sea f :R2 →R2 un movimiento r´ıgido y denota-mos por P_f el conjunto de puntos fijos. Entonces se tiene la siguiente clasificaci´on:

1. La aplicaci´on f es un movimiento r´ıgido directo.

(a) P_f =∅. Entonces f es la identidad (θ = 0), una simetr´ıa central (θ = π) o un giro respecto de un punto (θ = 0, π).

(b) P_f =∅. Entonces f es una traslaci´on

2. La aplicaci´on f es un movimiento r´ıgido inverso.

(a) P_f = ∅. Entonces f es una simetr´ıa respecto de la recta P_f, donde −P→_f = V₁(−→f).

(b) P_f =∅. Entoncesf es unasimetr´ıa deslizante: si f(x) =Ax+b, entonces

f es una simetr´ıa respecto de una recta L (llamada eje), seguida de una traslaci´on con vector de traslaci´on v =−−−−→P f(P), P ∈ L llamado vector de deslizamiento.

P_f =∅ P_f =∅ directo identidad,

simetr´ıa central,

giro respecto de un punto

traslaci´on

inverso simetr´ıa respecto de una recta

simetr´ıa deslizante

Teorema 3.8 (Espacio eucl´ıdeo) Seaf :R3 →R3 un movimiento r´ıgido y deno-tamos porP_f el conjunto de puntos fijos. Entonces se tiene la siguiente clasificaci´on: 1. La aplicaci´on f es un movimiento r´ıgido directo. En tal caso existe una base

ortonormal B ={e₁, e₂, e₃} tal que

M(−→f , B, B) =    cos (θ) −sin (θ) 0 sin (θ) cos (θ) 0 0 0 1   . (a) P_f =∅. i. Si −→f es la identidad (θ= 0), f es la identidad.

ii. Si θ =π, f es una simetr´ıa ortogonal respecto de la recta P_f.

iii. Siθ = 0, π, f es un giro de ´anguloθ respecto de la recta P_f, llamada eje del giro.

(b) P_f =∅.

i. Si θ = 0, f es una traslaci´on.

ii. Si θ = 0, f es un movimiento helicoidal de ´angulo θ respecto de una recta L y con paso −−−−→P f(P), P ∈L.

2. La aplicaci´on f es un movimiento r´ıgido inverso. En tal caso existe una base ortonormal B ={e₁, e₂, e₃} tal que

M(−→f , B, B) =    cos (θ) −sin (θ) 0 sin (θ) cos (θ) 0 0 0 −1   . (a) P_f =∅.

i. Si θ = 0, f es una simetr´ıa respecto del plano P_f. ii. Si θ =π, f es una simetr´ıa central.

iii. Si θ = 0, π, P_f es un ´unico punto c y f es la composici´on de una reflexi´on respecto de un plano Π seguido de un giro de ´angulo θ re-specto de una recta L (L y Π son perpendiculares). Adem´as c es el punto de corte entre L y Π.

(b) P_f =∅. En tal caso, f es una simetr´ıa deslizante: una reflexi´on respecto de un plano Π seguido de una traslaci´on v, con v =−−−−→P f(P), P ∈Π.

P_f =∅ P_f =∅

directo identidad,

simetr´ıa respecto de una recta, giro respecto de una recta

traslaci´on,

movimiento helicoidal inverso simetr´ıa respecto de un plano,

simetr´ıa central,

simetr´ıa respecto de un plano seguido de un giro respecto de una recta