FUNCIONES: Repaso Functions: A Review
Intuitivamente la palabra función se refiere a un asignación o correspondencia de un conjunto a otro Por ejemplo: Considera un conjunto de estudiantes y un conjunto de edades, en que a cada estudiante le corresponde un número que es su edad en años.
A function is a relationship between two sets. The following is a relation between a set of students and a set of numbers representing their age in years.
Estudiante Edad Omar 19 Teresa 18 Miguel 21 Sonia 18 Andrés 20
En la tabla se observa que a cada estudiante le corresponde una edad. A ese tipo de asociación se le llama función.
Notice that to each student there is One corresponding age. This relationship is a FUNCTION between students and their ages.
Definición: Una función f de un conjunto A a un conjunto B es una correspondencia que le asigna a cada elemento x de A un único elemento y en B. Al conjunto A se le llama dominio de la función y al conjunto B el recorrido (o rango) de f que consiste de todos los valores posibles f(x), donde x está en A.
A function f between set A and set B is a relationship where to each element x of set A UNIQUE element y from set is assigned. The set A is the domain , and set B is the range of function f consisting of all possible values f(x) , where x belongs to A.
En el ejemplo anterior el dominio es {Omar, Teresa, Miguel, Sonia, Andrés} y el recorrido es {18,19,20,21}. La función se puede ilustrar mediante un diagrama usando flechas para indicar la forma en que se asocian los elementos de los dos conjuntos. Dibuja ese diagrama en el espacio provisto.
In the example above the domain is {Omar, Teresa, Miguel, Sonia, Andrés} and the range is {18,19,20,21}. Functions can be represented using a diagram with arrows that associate the elements of both sets. Draw the diagram in the space provided.
Nota: Si x es un elemento en el dominio de la función, entonces el elemento en el recorrido que f asocia con x se denota simbólicamente f(x), y se llama la imagen de x bajo la función f. En el ejemplo anterior f(Sonia) = 18, f(Miguel) = 21. También se conoce la imagen como el valor de la función f en x.
Note: If x is an element of the domain of the function f, then its corresponding element of the range of f is denoted f(x), also known as the image of x under function f. In the previous example f(Sonia) = 18, f(Miguel) = 21. The image is also known as the value of the function f on x.
Definiciones:
1) Una función de la forma f(x) = b, donde b es una constante, se conoce como una función constante. Por ejemplo, f(x) = 3, donde el dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es {3}. La gráfica es una recta horizontal. A function f(x) = b, b a constant, is known as the constant function. For example, f(x) = 3, where the domain is the set of Real numbers, and the range is {3}. The graph is a horizontal line.
2) Una función f es una función polinómica si,
f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0
donde a0,a1,...,an son números reales y los exponentes son enteros positivos.
El dominio de todas estas funciones polinómicas es el conjunto de los números reales.
A function f is a polinomial function with form
f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0
where a0,a1,...,an are real number coefficients and the exponents are whole number.
Examples: f(x) = x2 - 2x -3; g(x) = 5x + 1; h(x) = x3
The domain of all polynomial functions are the Real numbers.
3) Una función de la forma f(x) = mx + b se conoce como una función lineal, donde m representa la pendiente y b representa el intercepto en y. La representación gráfica de una función lineal es una recta. Las funciones lineales son funciones polinómicas, igual que la función constante.
A function f(x) = mx + b is known as the linear function, where m represents the slope and b the y-intercept . The graphical representation of the linear function is the line. Linear functions are polynomial functions, as well as the constant function.
Ejemplo: f(x) = 2x - 1 es una función lineal con pendiente m = 2 e intercepto en y en (0,-1). Su gráfica es una recta ascendente.
Example: f(x) = 2x - 1 is a liner function, with slope m = 2 and y-intercept (0,-1). The graph is an increasing line.
4) Una función de la forma f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y a es diferente de cero, se conoce como una función cuadrática. La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola. Una parábola abre hacia arriba si a>0 y abre hacia abajo si a<0. El vértice de una parábola se determina por la fórmula:
(−𝑏 2𝑎, 𝑓 (
−𝑏 2𝑎))
A function f(x) = ax2 + bx + c, where a, b and c are constants, a 0, is the Quadratic Function. The graphical representation of the quadratic function is
the parabola. A parabola open upward (cup) if a>0, and downward (cap) if a<0. The vertex of the parabola is determined by the formula:
(−𝑏 2𝑎, 𝑓 (
−𝑏 2𝑎))
Los interceptos del eje de x de la función cuadráticas son los ceros de la función: 0 = ax2 + bx + c, y se resuelven usando factorización o la fórmula cuadrática:
x =−b ± √b2 − 4ac 2a
The x-intercepts of the quadratic function are zeros of the function: 0 = ax2 + bx + c, and solved by factoring or the quadratic formula:
𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎
Las funciones cuadráticas son funciones polinómicas con grado n=2.
Ejemplo: f(x) = x2 representa una parábola que abre hacia arriba con vértice en
(0,0).
Quadratic functions are also polynomial functions of degree n=2.
Example: f(x) = x2 represents an upward parábola (cup) with vertex (0,0).
5) Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas. Así que q es una función racional si para todo x en el dominio, g(x) 0 se tiene:
para los polinomios f(x) y g(x). Ejemplos:
A rational function is the quotient of two polynomial functions. So that q is una a rational function if for every x in the domain g(x) 0 :
para los polinomios f(x) y g(x).
Examples:
Nota: El dominio de una función polinómica son los números reales, sin embargo el dominio de una función racional consiste de todos los números reales excepto los ceros del polinomio en el denominador (ya que la división por cero no está definida).
Note: The domain of a polynomial function consists of all real numbers, nonetheless the domain of rational functions is all numbers except the roots of the denominator, i.e. all numbers that make the denominator zero (division by zero is not defined ).
Ejemplos para discusión: (Examples for discussion):
1) Para cada una de las siguientes funciones identifica el tipo de función, halla el dominio y recorrido, y dibuja su gráfica.
For the following functions, identify the type of function, Domain and Range, and draw the Graph.
k) f(x) = sin(x)
l) f(x) = cos(x)
2) Considera f(x) = 2x2 + 4x + 1, halla:
For the function f(x) = 2x2 + 4x + 1 find:
a) f(-2) = b) f(3x) = c) f(x - 1) =
d) f(x + Δx) =
Definición sobre la suma, resta, multiplicación y división de funciones (algebra de funciones): Sean f y g dos funciones cualesquiera. Se define f ± g, f · g, y f/g como:
(f ± g)(x) = f(x) ± g(x) (f · g)(x) = f(x) · g(x)
Definition: sum, subtraction, multiplication and division of functions (algebra of funtions): Let f and g be any two functions. Let’s define f ± g, f · g, y f/g as:
(f ± g)(x) = f(x) ± g(x) (f · g)(x) = f(x) · g(x)
Ejemplo para discusión: Sea f(x) = 3x3 + 7 y g(x) = x2 – 1. Halla la suma,
diferencia, producto y cociente de las funciones.
Example for discussion: Let f(x) = 3x3 + 7 and g(x) = x2 – 1. Find the sum, difference, product and quotient of the functions.
Definición: Sean f, g funciones tales que el recorrido de g está en el dominio de f. La función cuyos valores vienen dados por f(g(x)) se llama
la composición de f con g.
Definition: Let f, g be functions such that the range of g is in the domain of f. The function with values f(g(x)) is called the composition of f and g.
Ejercicio para discusión: Sean f(x) = 2x - 3 y g(x) = x2 + 1, halla:
Exercises to discuss: Let f(x) = 2x - 3 and g(x) = x2 + 1, find:
1) f(g(x)) = 3) f(g(2)) = 2) g(f(x)) = 4) g(f(-1)) =
