GUÍA N 5 CÁLCULO I. = mx + n, donde m es la pendiente de la recta y

UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES

GUÍA N° 5 CÁLCULO I

Profesor: Carlos Ruz Leiva

GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES

Las funciones más usadas en Cálculo son las siguientes:

1. Función lineal: Forma general f(x)=mx+n, donde m es la pendiente de la recta y

n es la ordenada del punto de intersección de la recta con el eje Y. La siguiente figura muestra una recta cualquiera.

Ejemplo: Determine la pendiente y la intersección con el eje Y de las siguientes rectas: (a) y=2x−3, (b) 4x−5y=7.

Solución:

(a) Comparando y=2x−3 con la forma general f(x)=mx+n, concluimos que 2

=

m y n=−3. Es decir, la pendiente de la recta es m=2 y corta al eje Y en el punto (0,n)=(0,−3).

(b) Escribimos la ecuación 4x−5y=7, en la forma

5 7 5 4 ₋ = x y , de donde se deduce que m=4/5 y que n=−7/5. Usando Maple: (a)

> y:=2*x-3; := y 2x − 3 > plot(y,x=-2..5); (b) > y:=4/5*x-7/5; := y 4 − 5x 7 5 > plot(y,x=-2..4);

Ejercicios:

1. Determine la pendiente y la intersección en y de la recta, y obtenga su gráfica.

(a) x+y=3, (b) x+3y=0, (c) 1 0 3 1 2 1 _{− + =} y x , (d) 3x−4y=12.

2. Un fabricante de pequeños aparatos domésticos encuentra que si produce x hornos con tostador en un mes, su costo de producción está dado por la ecuación

000 , 3 6 + = x y (yen dólares).

a) Trace la gráfica de esta ecuación.

b) ¿Qué representan la pendiente y la intersección en y de esta gráfica?

3. Se proporcionan ecuaciones (i) y (ii) para la oferta y la demanda.

a) Trace la gráfica de las dos ecuaciones en un rectángulo de visualización apropiado.

b) Estime el punto de equilibrio de la gráfica .

c) Estime el precio y la cantidad de la mercancía producida y vendida en el punto de equilibrio.

(i) Oferta: y=0.45p+4 Demanda: y=−0.65p+28

(ii) Oferta: y=8.5p+45 Demanda: −0.6p+300.

2. Función cuadrática. Forma general f(x)=ax2 +bx+c.

Gráfica de la función cuadrática, que muestra el vértice y la intersección con el eje Y.

Ejemplo:

1. Trace la gráfica de la función cuadrática f(x)=−2x2 +3. Solución:

Para esta función tenemos que a=−2, b=0 y c=3. Como a<0, la concavidad de la función (parábola) apunta hacia abajo. Como c=3 , la función corta al eje Y, en este valor de la ordenada. El vértice de la parábola es V(−b/2a,−(b2 −4ac)/4a) =

) 3 , 0 ( ) ) 2 ( 4 / ) 3 )( 2 ( 4 ) 0 (( , ) 2 ( 2 / 0 ( 2 V

V − − − − − − = . El gráfico se obtiene, directamente o usando Maple. > f(x):=-2*x^2+3; := ( ) f x −2x2 + 3 > plot(f(x),x=-3..3,y=-15..10);

¿Cuál es el valor máximo de esta función?

2. Determine el valor máximo o mínimo de cada una de las siguientes funciones cuadráticas. a) f(x)=x2 +4x , b) ( )=−2 2 +4 −5 x x x f . Solución:

a) En este caso a = 1, b = 4 y c = 0. Por lo tanto, el vértice de la parábola es ) 4 / ) 4 ( , 2 / ( b a b2 ac a V − − − = V(−(4)/2(1),−((4)2 −4(1)(0))/4(1)) = ) 4 , 2 (− −

V . Es decir, como a>0 , en el vértice (x=−2) , tenemos un mínimo de valor f(−2)=−4. Usando Maple: > f(x):=x^2+4*x; := ( ) f x x2 + 4x

> plot(f(x),x=-6..2,y=-6..10);

b) Observe que en el vértice

a b x 2 − = , ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − a b f 2 es el valor máximo si a<0, mientras que, es el valor mínimo si a>0.

Para este ejemplo a=−2, b=4. Luego, en

a b x 2 − = = 1 ) 2 ( 2 ) 4 ( ₌ − − , tenemos un máximo de valor ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − a b f 2 = (1) 2(1) 4(1) 5 3 2_{+ − =−} − = f , ya que a<0.

Comprobación, usando Maple: > f(x):=-2*x^2+4*x-5;

:= ( )

f x −2x2 + − 4x 5 > plot(f(x),x=-1..3,y=-10..2);

Ejercicios:

1. Trace la gráfica de la parábola dada y determine las coordenadas de su vértice y de sus intersecciones. a) 8= 2 +6 + x x y , b) =2 2 −20 +57 x x y , c) =−3 2 +6 −2 x x y .

2. Determine el valor máximo o mínimo de la función dada.

a) 1f(x)=x2 +x+ , b) f(t)=100−49t−7t2, c) 2 6 2 1 ) (x = x2 + x− f .

3. Determine la función cuya gráfica sea una parábola con vértice (1,-2) y que pase por el punto (4,16).

4. Si se lanza una pelota hacia arriba con una rapidez de 40 pies/s, su altura (en pies) después de t segundos está dada por y=40t−16t2. ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la pelota?

Solución:

25 pies.

5. Obtenga dos números cuya diferencia es 100 y cuyo producto sea lo más pequeño posible.

Solución:

6. Para las funciones cuadráticas f(x)=x2 +1.79x−3.21, f(x)=1+x− 2x2 (a) Determine el valor máximo o mínimo de la función dada, correcta a dos decimales (usando Maple).

(b) Determine el valor máximo o mínimo exacto de la función, y compárelo con su respuesta del inciso (a).

3. Función exponencial. f(x)=ex. Gráfica de la función.

> plot(exp(x),x=0..5,y=0..100);

Aplicación:

Una población que experimenta crecimiento exponencial aumenta de acuerdo con la fórmula rt e n t n()= 0

donde n(t)= población al tiempo t.

=

0

n tamaño inicial de la población.

=

r tasa relativa de crecimiento (expresada como una proporción de la población).

=

Ejemplo:

El conteo de bacterias en un cultivo es de 500. Posteriormente un biólogo hace un conteo de muestra y encuentra que la tasa relativa de crecimiento es de 40% por hora.

a) Obtenga una fórmula para el número n(t) de bacterias después de t horas. b) ¿Cuál es el conteo estimado después de 10 horas?

c) Trace la gráfica de la función n(t). Solución:

a) Utilizamos la fórmula para el crecimiento exponencial de la población con 500 0 = n y r=0.4 para obtener t e t n()=500 0.4 donde t se mide en horas.

b) Utilizando la fórmula del inciso (a), determinamos que el conteo de bacterias después de 10 horas es

n(10)=500e0.4(10) =500e4 ≈27,300 c) Gráfica de la función.

Ejercicios:

1. La población de zorros en una cierta región tiene una tasa de crecimiento relativo de 8% anual. Se estima que la población en 1992 fue de 18,000.

a) Determine una fórmula para la población t años después de 1992. b) Use la fórmula del inciso a) para estimar la población en el 2000.

c) Trace la gráfica de la función de la población de zorros para los años 1992-2000. Solución:

a) n(t)=18,000e0.08t, b) 34,137.

2. Los médicos utilizan yodo radiactivo como trazador en el diagnóstico de ciertos desórdenes de la glándula tiroides. Este tipo de yodo se desintegra de forma que la masa que queda después de t días está dada por la función

m(t)=6e−0.05t

donde m(t) está en gramos.

a) Determine la masa en el tiempo t = 0. b) ¿Cuánta masa queda después de 20 días? Solución:

a) 6 g , b) 1 g.

3. La población de una especie de ave está limitada por el tipo de hábitat necesario para la anidación. La población está modelada por la fórmula de crecimiento logístico

_t e t n _0.044 5 . 27 5 . 0 600 , 5 ) ( ₋ + =

donde t se mide en años.

a) Determine la población inicial de aves. b) Trace la gráfica de la función n(t).

4. Grafique la función

x e y

x

= y comente acerca de las asíntotas verticales y horizontales.

5. Determine los valores máximo y mínimo locales de la función y el valor de x en el cual ocurre cada uno. Exprese cada respuesta a dos decimales.

a) x xe x f( )= − , b) f(x)=ex+e−3x. Solución: (a) > plot(x*exp(-x),x=0..15,y=0..0.4); > solve(0.36787944-x*exp(-x)); .9999201985 1.000079806, Del gráfico se deduce que en x=1 la función es máxima y vale 0.36787944.

4. Función logaritmo natural. f(x)=ln(x). Gráfica de la función.

Ejemplo:

1. Determine el dominio de la función f(x)=ln(4−x2). Solución:

La función dada está definida para x>0. Luego el dominio de f está definido como

{

}

)

(f = x∈IR −x2 >

Dom =

{

}

{

}

2. Trace la gráfica de la función ln(4 2)

x x

y= − y utilícela para determinar las asíntotas y los valores de los máximos y mínimos locales.

Solución:

Asíntotas verticales en x=±2.

Para determinar los valores extremos debemos cambiar ventana de visualización. Para el mínimo:

> plot(x*ln(4-x^2),x=-1.16..-1.14);

Para x=−1.15 tenemos un mínimo local que vale f(−1.15)=−1.1327, aproximadamente.

Para el máximo:

Para 15x=1. tenemos un máximo local que vale f(1.15)=1.1326 aproximadamente. Ejercicios:

1. Obtenga la gráfica de la función en un rectángulo de visualización adecuado y utilícela para determinar el dominio, las asíntotas y los valores máximo y mínimo locales.

(a) y=x+ln(x), (b)

x x

y=ln( ), (c) y=ln(x2 −x), (d) y=x(ln(x))2. 2. (a) Obteniendo la gráfica de las funciones

) 1 ln( 1 ) (x x f = + + y g(x)= x

en un rectángulo de visualización apropiado, demuestre que incluso cuando una función logaritmo empieza más arriba que una función raíz cuadrada, finalmente será alcanzada por ésta.

b) Determine, aproximadas a dos decimales, las soluciones de la ecuación )

1 ln(

1 x

5. Función parte entera.

Gráfica de la función parte entera f(x)=[[x]]

> plot(floor(x),x=-3..3,discont=true,color=blue); # En Maple esta es la función parte entera

Ejemplo:

Grafique la función (a) y=[[2x]], (b) y=[[₄1x]], (c) y=x−[[x]]. Solución:

(c) > plot(x-floor(x),x=-3..3,discont=true);

6. Funciones trigonométricas.

Gráfica de las funciones trigonométricas. (a)Función seno.

(b)Función coseno.

(c) Función tangente.

>

plot(tan(x),x=-2*Pi..3*Pi,y=-10..10,color=magenta,discont=true);

(d)Function secante.

(e) Función cosecante.

> plot(csc(x),x=-5..5,y=-10..10,discont=true,color=blue);

(f) Función cotangente.

(g)Función arcoseno.

> plot(arcsin(x),x=-1..1);

(h)Función arcocoseno.

(i) Función arcotangente.

> plot(arctan(x),x=-3*Pi..3*Pi);

Ejercicios:

1. Determine un rectángulo de visión apropiado para cada función y utilícelo para obtener la gráfica.

(a) f(x)=cos100x , (b) f(x)=sen(x/40), (c) y=tan25x , (d) y=esen20x. 2. Grafique las tres funciones en una pantalla común. ¿Cómo se relacionan las gráficas? (a) y=x2, y=−x2, y=x2senx. (b) y=ex, y=−ex, y=exsen5π x. (c) ₂ 1 1 x y + = , ₂ 1 1 x y + − = , ₂ 1 2 cos x x y + = π .

3. (a) Utilice Maple para graficar la función.

(b) Determine de la gráfica si la función es periódica, y de serlo determine el periodo.

(c) Determine de la gráfica si la función es impar, par o ninguna de ellas. (i)y= senx , (ii) y=senx, (iii) senx

e y= , (iv) y=sen2x , (v) ( 2) x sen y= .

4. Determine, usando Maple, los valores máximo y mínimo de la función. (a) y=senx+sen2x, (b) y=x−2senx, 0≤x≤2π (c) y=2senx+sen2x.

5. Determine, usando Maple, todas las soluciones de la ecuación que ocurren en el intervalo [0,π ]. Exprese cada respuesta correcta a 2 decimales.

(a) cosx=0.4, (b) tanx=2, (c) cscx=3, (d) cosx=x. 6. Suponga que

x x x

f( )=1−cos .

(a) ¿La función f es par, impar o ni otra?

(b) Determine las intersecciones con el eje X de la gráfica de f . (c) Obtenga la gráfica de f en un rectángulo de visión apropiado.

(d) Describa el comportamiento de la función conforme x→∞ y x→−∞. (e) Observe que f(x) no está definida cuando x=0. ¿Qué ocurre cuando x→0?

7. Funciones hiperbólicas.

Gráfica de las funciones hiperbólicas.

(a)Función seno hiperbólico.

Compruebe que 2 ) ( x x e e x senh − − = .

(b)Función coseno hiperbólico.

> plot(cosh(x),x=-3..3,y=0..7); Compruebe que 2 ) cosh( x x e e x − + = .

(c) Función tangente hiperbólica. > plot(tanh(x),x=-3..3,y=-1..1); Compruebe que _{x x} x x e e e e x ₋ − + − = ) tanh( .

(d)Función arcoseno hiperbólico.

(e) Función arcocoseno hiperbólico.

> plot(arccosh(x),x=0..10,y=0..3);

(f) Función arcotangente hiperbólica.

8. Funciones racionales. Son del tipo ) ( ) ( ) ( x Q x P x

f = , donde P y Q son polinomios. Gráfica de algunas funciones racionales.

(a) x x f( )=1. > f:=x->1/x; := f x → 1 x > plot(f,-5..5,y=-5..5,discont=true); (b) 2 1 ) ( − − = x x x f . > f:=x->(x-1)/(x-2); := f x → x − ₋ 1 x 2 > plot(f,-4..10,y=-8..10,discont=true);

ASÍNTOTAS

1. La recta x=a es una asíntota vertical de la función y= f(x) si y→∞ o y→−∞ cuando x→a+ o x→a−.

2. La recta y=b es la asíntota horizontal de la función y= f(x) si y→b cuando

∞ →

x o x→−∞.

Ejemplo: Trace la gráfica de la función

2 4 7 2 ) ( ₂ 2 − + − + = x x x x x f . Solución:

Factorizar el numerador y el denominador.

) 2 )( 1 ( ) 4 )( 1 2 ( ) ( + − + − = x x x x x f

Las intersecciones con el eje X, se obtienen haciendo f(x)=0, es decir, en los ceros del numerador. Estas ocurren en

2 1

=

La intersección con el eje Y se obtiene reemplazando x=0 en la función f(x). Es decir 2 2 4 ) 2 0 )( 1 0 ( ) 4 0 )( 1 ) 0 ( 2 ( ) 0 ( = − − = + − + − = f . Asíntota horizontal:

Para observar más claramente lo que ocurre cuando x→±∞ , escribimos

2 2 2 2 2 1 1 4 7 2 2 4 7 2 ) ( x x x x x x x x x f − + − + = − + − + = .

De aquí se deduce que f(x)→2, cuando x→±∞. Por lo tanto la asíntota horizontal es y=2.

Asíntota vertical:

Analizamos f(x), escrito en la forma

) 2 )( 1 ( ) 4 )( 1 2 ( ) ( + − + − = x x x x x f , y mediante la tabla siguiente:

Valores adicionales de la función dada se obtienen de: > f:=x->(2*x^2+7*x-4)/(x^2+x-2); := f x → 2x + − 2 7x 4 + − x2 x 2 > f(-6.); .9285714286 > f(-3.); -1.750000000 > f(-1.); 4.500000000

> f(1.5); 6.285714286 > f(2.); 4.500000000 > f(3.); 3.500000000

La gráfica de la función dada, es:

> plot(f,-5..5,y=-15..15,color=blue,discont=true);

El gráfico con las asíntotas:

Ejercicios:

1. Determine las intersecciones y las asíntotas, y después trace la gráfica de la función racional. a) 2 4 − = x y , b) 2 1 − − = x x y , c) 2 4 4 + − = x x y , d) x x y=2 −4, e) ₂ ) 3 ( 18 − = x y , f) ) 1 )( 4 ( 8 4 + − + = x x x y , g) ) 3 )( 1 ( ) 2 )( 1 ( − + + − = x x x x y , h) 1 2 1 2 2 2 + + + − = x x x x y , i) x x x x y 3 6 2 2 + − − = , j) 3 2 6 3 2 2 − − + = x x x y , k) 4 4 5 5 2 2 + + + = x x x y .

2. La población de conejos de la granja del señor Jenkins se comporta de acuerdo con la fórmula 1 000 , 3 ) ( + = t t t p

donde t≥0 es el tiempo (en meses) desde el principio del año. a) Trace la gráfica de la población de conejos.

b) ¿Qué pasa finalmente con la población de conejos?

3. A un paciente se le administra una medicina y se monitorea la concentración de la misma en la corriente sanguínea. En el momento t≥0 (en horas desde la administración de la droga), la concentración (en mg/l) está dada por

1 5 ) ( ₂ + = t t t c

Grafique la función c utilizando Maple.

a) ¿Cuál es la concentración de medicina más elevada alcanzada en la corriente sanguínea del paciente?

b) ¿Qué le ocurre a la concentración de la medicina después de un largo periodo?

c) ¿Cuánto tiempo pasa para que la concentración sea menor de 0.3 mg/l?

Solución: > c:=t->5*t/(t^2+1); := c t → 5 t + t2 1

> plot({2.5,c},0..25);

a) La concentración de medicina más elevada alcanzada en la corriente sanguínea del paciente, es de 2.5 mg/l.

b) Después de un largo tiempo la concentración de la medicina en la corriente sanguínea del paciente tiende a cero.

Comprobación: a) > ec1:=5*x/(x^2+1); := ec1 5 x + x2 1 > solve(2.5-ec1,{x}); {x = 1.},{x = 1.} > subs(x=1.,ec1); 2.500000000 b) > subs(x=100.,ec1); .04999500050 > subs(x=1000.,ec1); .004999995000 > subs(x=1000000.,ec1); .5000000000 10-5