Fundamentos ba sicos de las A lgebras Booleanas. Informe Final de Pasantı a

(1)

Universidad de Carabobo

Facultad Experimental de Ciencias y Tecnolog´ıa Departamento de Matem´aticas

Fundamentos b´

asicos de las ´

Algebras

Booleanas

Informe Final de Pasant´

ıa

Br. C´esar Luna Lic.Oreste Montilla Lic. Nelson Hermandez C.I. 19.701.244 C.I. 6.887.736 C.I. 5.307.449

Pasante Tutor Acad´emico Tutor Empresarial

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´

_{Indice general}

Introducci´on 3

1. ´Algebras Booleanas 6

1.1. Conjunto parcialmente ordenado . . . 6

1.2. Reticulado . . . 7

1.3. ´Algebra Booleana . . . 9

1.4. Ideal . . . 10

1.5. Teorema del Ideal Maximal . . . 13

1.6. Homeomorfismo Booleano . . . 16

1.7. Teorema del homeomorfismo . . . 17

2. Teorema de representaci´on de Stone para Algebras´

Booleanas 21

(3)

Introducci´

on

A mediados del siglo XIX, George Boole (1815-1864), en sus libros: “The Mathematical Analysis of Logi” (1847) y “An Investigation of te Laws of Thought” (1854), desarrolló la idea de que las proposiciones lógicas pod´ıan ser tratadas mediante herramientas matemáticas. Las proposiciones lógicas (asertos, frases o predicados de la lógica clásica) son aquellas que ´

unicamente pueden tomar valores Verdadero/Falso, o preguntas cuyas ´

unicas respuestas posibles sean S´ı/No. Según Boole, estas proposiciones pueden ser representadas mediante s´ımbolos y la teor´ıa que permite trabajar con estos s´ımbolos, sus entradas (variables) y sus salidas (respuestas) es la Lógica Simbólica desarrollada por él. Dicha lógica simbólica cuenta con operaciones lógicas que siguen el comportamiento de reglas algebraicas. Por ello, al conjunto de reglas de la Lógica Simbólica se le denomina ÁLGEBRA DE BOOLE.

A mediados del siglo XX el Álgebra Booleana resultó de una gran importancia práctica, importancia que se ha ido incrementando hasta nuestros d´ıas, en el manejo de información digital (por eso hablamos de Lógica Digital). Gracias a ella, Shannon (1930) pudo formular su teor´ıa de la codificación y John Von Neumann pudo enunciar el modelo de arquitectura que define la estructura interna de los ordenadores desde la

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4

primera generaci´on.

Todas las variables y constantes del Álgebra Booleana, admiten sólo uno de dos valores en sus entradas y salidas: S´ı/No, 0/1 o Verdadero/Falso. Estos valores bivalentes y opuestos pueden ser representados por números binarios de un d´ıgito (bits), por lo cual el Álgebra Booleana se puede entender cómo el Álgebra del Sistema Binario. Al igual que en Álgebra tradicional, también se trabaja con letras del alfabeto para denominar variables y formar ecuaciones para obtener el resultado de ciertas operaciones mediante una ecuación o expresión Booleana. Evidentemente los resultados de las correspondientes operaciones también serán binarios.

Todas las operaciones (representadas por s´ımbolos determinados) pueden ser materializadas mediante elementos f´ısicos de diferentes tipos (mecánicos, eléctricos, neumáticos o electrónicos) que admiten entradas binarias o lógicas y que devuelven una respuesta (salida) también binaria o lógica. Ejemplos de dichos estados son: Abierto/Cerrado (interruptor), Encendida/Apagada (bombilla), Cargado/Descargado (condensador) , Nivel Lógico 0/Nivel lógico 1 (salida lógica de un circuito semiconductor), etcétera.

Los dispositivos con los cuales se implementan las funciones lógicas son llamados puertas (o compuertas) y, habitualmente, son dispositivos electrónicos basados en transistores. Estos dispositivos, y otros que veremos a lo largo de esta unidad, son los que permiten el diseño, y la ulterior implementación, de los circuitos de cualquier ordenador moderno, as´ı como de muchos de los elementos f´ısicos que permiten la existencia de las telecomunicaciones modernas, el control de máquinas, etcétera. De hecho,

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5

pensando en los ordenadores como una jerarqu´ıa de niveles, la base o nivel inferior ser´ıa ocupada por la lógica digital (en el nivel más alto del ordenador encontrar´ıamos los actuales lenguajes de programación de alto nivel).

Podemos afirmar que hay 2 aspectos relacionados con la teor´ıa de las ´

Algebras de Boole: La algebraica y la conjuntista. Una Álgebra Booleana puede ser considerada como un tipo especial de anillo algebraico, o como una generalización de la noción conjuntista de un cuerpo de conjuntos (B ̸= ∅ es un cuerpo de conjuntos de un conjunto X si B ⊆ ℘(X) y B es cerrado por unión finita, intersección y complementación).

La teor´ıa de Álgebras Booleanas es, por un lado, relativamente simple y,por el otro, profundamente rica como estructura algebraica. Sus estudios detallados sirve en muchos aspectos como introducción a técnicas las cuales uno podr´ıa emplear en el desarrollo de una teor´ıa axiomática especifica.

Por otro lado esta teor´ıa ha resultado de gran aplicación en las matemáticas (recordemos las pruebas de independencia de algunos axiomas de la teor´ıa de conjuntos usando modelos Booleanos-valuados), de manera que el estudio de este tópico seguramente sera un complemento apreciado en la formación de una Licenciado en Matemática.

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Cap´ıtulo 1

´

Algebras Booleanas

1.1. Conjunto parcialmente ordenado

Definici´on 1. Conjunto parcialmente ordenado: A junto con una

relaci´on ≤, denotado como (A,≤), es parcialmente ordenado si cumple que: 1) Reflexivo: ∀a∈A, a≤a.

2) Transitivo: ∀a, b, c∈A, si a≤b y b≤c, entonces a≤c. 3) Antisim´etrico: ∀a, b∈A, si a≤b yb ≤a, entonces a=b.

Observaci´on:

Supongamos que A es un conjunto parcialmente ordenado, la raz´on por la cual decimos que A es parcialmente ordenado, y no totalmente ordenado, es porque dos elementos arbitrarios de A no necesariamente son comparables. Podemos muy bien tener elementos a y b en A tal que a≰ b y

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1.2. RETICULADO 7 b ≰a.

Por ejemplo, consideremos el conjunto X = {{0},{1},{0,1},{0,2}}, y supongamos el siguiente orden parcial sobre X, a ≤ b si A ⊆ B., as´ı tendriamos que {0} ≤ {0,1} y {0} ≤ {0,2} ya que {0} ⊆ {0,1} y

{0} ⊆ {0,2}, sin embargo {1} ≰ {0,2}, es decir estos dos conjuntos simplemente no pueden ser comparados bajo este orden parcial.

SiS es un subconjunto finito de un conjunto A parcialemente ordenado, definiremos el supremo de S como el elemento ∨S (´unico si existe) tal que:

∀s∈S, s≤∨S

Para cualquier x∈A tal que s ≤x∀s ∈S, tenemos que ∨S ≤x

El dual del supremo de S es el´ınfimo y denotada como ∧S la cual es definido indenticamente como el supremo pero con la desigualdad contraria.

Definici´on 2. Un conjunto totalmente ordenado L es un conjunto

parcialmente ordenado, donde si a, b∈L entonces a≤b ´o b ≤a .

Lema 1. (Lema de Zorn) Sea P un conjunto no vac´ıo parcialmente

ordenado, tal que todo subconjunto totalmente ordenado de L tiene supremo u (en P) entonces P posee un elemento m´aximal.

1.2. Reticulado

Definici´on 3. Reticulado: Un reticulado es un conjunto A parcialmente ordenado tal que todo par de elemento finito de A, estos poseen ´ınfimo y supremo. Diremos que el reticulado es completo si para cualquier elemento

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1.2. RETICULADO 8 arbitrario de A, estos poseen ´ınfimo y supremo. Diremos que esdistributivo

si se cumple que

∀a, b, c∈A, a∧(b∨c) = (a∧b)∨(a∧c) .

Ejemplo:

Sea X ̸= ∅ un conjunto arbitrario, y ℘(X) la colecci´on de todos los subconjuntos de X, tomemos 0 = ∅ y 1 = X, y definamos ∨ = ∪,

∧ = ∩, Para A, B ∈ ℘(X), digamos que A ≤ B si A ⊆ B, entonces ℘(X) es un reticulado completo y distributivo.

Veamos que esto es cierto:

Orden Parcial

1) Reflexividad: Notemos que ∀A ∈ ℘(X) tenemos que A ≤ A ya queA ⊆A.

2) Transitividad: Sean A, B, C ∈ ℘(X) tal que A ≤ B y B ≤ C, entonces sabemos que A ⊆B y B ⊆ C por lo tanto A ⊆ C y en consecuenciaA≤C.

3) Antisimetr´ıa: Sea A, B ∈ ℘(X) tal queA ≤ B y B ≤ A, es decir A⊆B y B ⊆A, entonces es inmediato que A=B.

Reticulado completo

Sean {Bi : i ∈ I} subconjunto de ℘(X), notemos que

∪

i∈IBi es el conjunto mas peque˜no tal que para todo i ∈ I tenemos que Bi ⊆

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1.3. ´ALGEBRA BOOLEANA 9

∪

i∈IBi por lo tantoSupi∈I{Bi}=

∪

i∈IBi por otra parte

∩

i∈IBi es el conjunto mas grande tal que ∩_i_∈_IBi ⊆Bi para todoi∈I por lo tanto Infi∈I{Bi}=

∩

i∈IBi Reticulado distributivo

Sean A, B, C ∈ ℘(X) luego por las propiedades de intersecci´on(∩) y uni´on(∪) tenemos queA∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) y en consecuencia A∧(B∨C) = (A∧B)∨(A∧C).

Definici´on 4. Supongamos que A es un reticulado distributivo, y

supongamos que, para a∈A, existe un elemento ¬a∈A tal que 1) a∧ ¬a= 0

2) a∨ ¬a= 1

entonces llamaremos ¬a el complemento de a.

1.3. Algebra Booleana

´

Definici´on 5. Algebra Booleana:´ Todo reticulado distributivo tal que todo elemento tiene un complemento es llamado ´Algebra Booleana.

A continuaci´on dos ejemplos de ´Algebras Booleanas:

El conjunto 2 = {0,1} con el orden natural 0 < 1 es un ´Algebra de Boole llamada el ´Algebra de Boole minimal.

(10)

1.4. IDEAL 10 Si X es un conjunto no vac´ıo, entonces el conjunto de partes de X, denotado con ℘(X), es un ´Algebra de Boole donde el orden definido es la relación de inclusión, el primer elemento es el conjunto ∅, el último elemento es X, y si A, B ∈ ℘(X), entoncesA∨B =A∪B y A∧B = A∩B. M´as aún, el complemento de un elemento A ∈ ℘(X) coincide con el habitual complemento conjuntista X\A.

Proposición 1. Los complementos son únicos en un Álgebra Booleana

Demostraci´on:

Supongamos que alg´un elemento a en un ´Algebra Booleana tiene dos complementos x e y. entonces:

x = x∧(x∨a)

x = x∧1 (Por definici´on de complemento)

x = x∧(y∨a) (Por hip´otesis y es complemento de a )) x = (x∧y)∨(x∧a) (El ´Algebra Booleana es distributiva) x = (x∧y)∨0

x = (x∧y)

De manera an´aloga se prueba quey=x∧y en consecuencia x=y. □

1.4. Ideal

Definici´on 6. Ideal: Sea A un ´Algebra Booleana. Un ideal es un conjunto I ⊂A tal que:

(11)

1.4. IDEAL 11 ii) si a∈I yb ∈I, entonces a∨b∈I

iii) si a∈I yb ∈A, entonces a∧b∈I

Diremos que un ideal I ⊂ A es propio si I ̸=A y máximal si es propio y no esta contenido en otro ideal propio, es decir, I es un ideal máximal si I ̸= A y además si N es un ideal en A tal que I ⊂ N entonces N = A ´

o N =I.

Ejemplos:

Sea B un ´Algebra Booleana, Si a ∈ B entonces el ideal principal generado por a es el ideal definido por I ={x∈B :x≤a}.

Sean X un conjunto no vac´ıo y B = ℘(X) un ´Algrebra Booleana entonces la familia de todos los subconjuntos finitos de B es un ideal en B.

Notar que {0} es siempre un ideal en un ´Algebra Booleana.

Teorema 1. En un ´Algebra Booleana A, un ideal I ⊂ A es maximal si y

s´olo si para todo a0 ∈A, a0 ∈I ´o ¬a0 ∈I, pero no ambos.

Demostraci´on:

(⇒)

Esta direcci´on la demostraremos por reducci´on al absurdo

Supongamos que a0 ∈/ I y ¬a0 ∈/ I, debemos probar que I no es un ideal maximal, para ello definamos J como la colecci´on de todos los elementos de la forma a∨b donde a≤a0 y b ∈I.

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1.4. IDEAL 12 a) 0 ∈J, notemos que 0≤a0 y comoI es un ideal entoncesb = 0∈I

as´ı 0 = 0∨b ∈J

b) Sean a, b ∈ J, por lo tanto a = a1 ∨a2 y b = b1 ∨b2 con a1 ≤ a0, b1 ≤a0 ya2, b2 ∈I, luego (a∨b) = (a1∨a2)∨(b1∨b2) o lo que es lo mismo (a∨b) = (a1∨b1)∨(a2∨b2)∈J, ya que (a1∨b1)≤a0 y (a2∨b2)∈I debido a que I es un ideal.

c) Sean a ∈ J y b ∈ A, tenemos que a = a1 ∨a2, donde a1 ≤ a0 y a2 ∈I por lo tantoa∧b = (a1∨a2)∧bcomo las ´Algebras Boolenas son distributivas entonces (a∧b) = (a1∧b)∨(a2∧b)∈J, debido a que a1∧b ≤ a0 ya que a1 ≤ a0 y a2 ∧b ∈ I por definici´on del ideal I

Ahora notemos que como se define el ideal J, es claro que, a0 ∈ J y I ⊂ J, as´ı J ̸= I, falta probar que J ̸= A, lo cual es cierto ya que

¬a0 ∈/ J, puesto que si ¬a0 ∈ J entonces existen a, b ∈ A (a ≤ a0 y b ∈ I) tal que ¬a0 = a∨ b, pero notemos que ¬a0 = ¬a0 ∧ ¬a0 = (a∨b)∧ ¬a0 = (a∧ ¬a0)∨(b∧ ¬a0) = (b∧ ¬a0) = b ya que b ≤ ¬a0 y esto contradice el hecho de que ¬a0 ∈/ I en consecuencia I no es un ideal m´aximal.

Supongamos que a0 ∈ I y ¬a0 ∈ I,probemos que I de nuevo no es un ideal máximal, como a0 ∈ I y ¬a0 ∈ I entonces a0 ∨ ¬a0 = 1 ∈ I por lo tanto ∀a ∈ A tenemos que a ∧1 = a ∈ I por definición de ideal, por tanto I =A y de esta forma I no seria un ideal propio y en consecuencia no seria máximal.

En consecuencia para todo a0 ∈A, a0 ∈I ´o ¬a0 ∈I, pero no ambos. (⇐)

Supongamos que para todo a0 ∈ A, a0 ∈ I ó ¬a0 ∈ I, pero no ambos, debemos probar que I es un ideal máximal, para ello probemos que el único

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1.5. TEOREMA DEL IDEAL MAXIMAL 13 ideal que contiene aI esA, supongamos queJ ̸=I es un ideal tal que I ⊂J por lo tanto ∃a ∈ J tal que a /∈ I luego por hip´otesis si a /∈ I entonces

¬a ∈ I, pero esto implica que ¬a ∈ J en consecuencia J = A por el mismo argumento usado anteriormente, se concluye que I es un ideal m´aximal.□

Proposición 2. Sea A un Álgebra Booleana. Si {Ik : k ∈ K} (K es un conjunto no vacio de ´ındices) es una colección de ideales propios totalmente ordenados entonces I =∪_k_∈_KIk es un ideal propio.

Demostraci´on:

Probemos que Ies un ideal:

0∈Ipues 0∈Ik∀k∈K.

Sean a ∈ I (∃j ∈ K tal que a ∈ Ij) y b ∈ I (∃i ∈ K tal que b ∈ Ii) notemos que (a∨b)∈(Ij ∪Ii) por lo tanto (a∨b)∈I.

Seana∈I(∃j ∈K tal quea∈Ij) yb ∈AcomoIj es un ideal entonces (a∧b)∈Ij en consecuencia (a∧b)∈I

Probemos que Ies un ideal propio:

Notemos que Ik ⊂ A ∀k ∈ K por lo tanto

∪

k∈KIk ⊂

∪

k∈KA = A en consecuencia I⊂A.

1.5. Teorema del Ideal Maximal

Lema 2. (Teorema del Ideal Maximal:)Todo ideal propio en un Álgebra Booleana esta contenido en algún ideal máximal.

(14)

1.5. TEOREMA DEL IDEAL MAXIMAL 14

Demostraci´on:

Sea B un Algebra Booleana con alg´´ un ideal propio I. Adem´as asumamos que B es contable. Podemos entonces enumerar los elementos en B : p0, p1, p2, . . ., de manera inductiva definamos una sucesi´on de ideales de la siguiente manera. Definamos J0 = I,el resto de la sucesi´on sera definido como (n∈N, n ≥1): Jn+1 =        Jn si ¬pn∈Jn (p∨q) :p≤pn;q∈Jn si ¬pn∈/ Jn

Notemos que esta es una sucesión de ideales son propios, supongamos que para algún n ∈ N tenemos que Jn =I entonces por definición Jn es un ideal propio, ahora supongamos que Jn = (p∨q) : p ≤ pn;q ∈ Jn−1, por el

teorema 1 Jn definido de esa manera es un ideal, ahora solo basta probar que Jn ̸= B, supongamos que Jn = B entonces pn,¬pn ∈ Jn luego por el mismo argumento usado en el teorema 1 tenemos que ¬pn ∈ Jn−1 lo cual es una contradicci´on por la forma como esta definido Jn−1. (Pues negp /∈Jn−1)

Ahora sea M=∪_n_∈_NJn, M definido de esa manera es un ideal propio ya que la unión de ideales propios totalmente ordenados es propio (Proposición 2) y I ⊂ M, luego por el teorema 1 M es maximal ya que si ¬pn ∈ Jn, entonces ¬pn ∈ M (si pn ∈ M entonces M no seria ideal propio), por otra parte, si ¬pn ∈/ Jn entonces ¬pn ∈ Jn+1 ⊂ M en consecuencia para todo pn ∈B,pn ∈M ó ¬pn∈M, pero no ambos. □

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1.5. TEOREMA DEL IDEAL MAXIMAL 15 el lema de Zorn de la siguiente manera:

Definamos el siguiente conjunto parcialmente ordenado mediante la relaci´on ⊆como:

P ={J ⊂B :J es un ideal propio tal que I ⊆J}

Seleccionemos un subconjunto L totalmente ordenado de P, es decir, si A, B ∈L entonces ´o A⊆B ´o B ⊆A. Sea

ML=

∪

J∈L J

Ya que ML es la uni´on de todos los J ∈ L entonces ML ⊇ J para todo J ∈L, esto es, que ML es el supremo de L. Para satisfacer el Lema de Zorn necesitamos probar que ML ∈ P, es decir que ML es un ideal propio que contiene a I.

Como ML es la uni´on de ideales propios totalmente ordenados entonces por la Proposici´on 2 ML es un ideal propio y I ⊆ ML ya que I ⊆J ∀J ∈P.

Ya queP satisface la condiciones del Lema de Zorn, este tiene un elemento máximal, el cuál es un ideal propio máximal deB que contiene a I. □

En particular tenemos que, para todo a∈B, existe alg´un ideal maximal en donde esta contenido. para ver esto consideremos el conjunto:

↓(a) ={b ∈B :b≤a}

este conjunto lo llamaremos ideal principal generado por a, es facil verificar que dicho conjunto es un ideal propio que contiene al elemento a entonces

(16)

1.6. HOMEOMORFISMO BOOLEANO 16 por el lema 2 este ideal esta contenido en alg´un ideal maximal.

Otra herramienta util en Algebras´ Booleanas es la noci´on de

Homeomorfismo. Especificamente en un Algebra´ Booleana un

homeomorfismo preserva intersecci´on, uni´on y complemento. Formalmente

1.6. Homeomorfismo Booleano

Definici´on 7. SeaAyB Agebras Booleanas. Un homeomorfismo (Booleano)´ es una funci´on f :A→B tal que, para todo p, q, a∈A:

(1) f(p∧q)=f(p)∧f(q) (2) f(p∨q)=f(p)∨f(q) (3) f(¬a)=¬f(a)

Observaci´on:

Un homeomorfismo sobreyectivo es llamado epimorfismo, un homeomorfismo injectivo es llamado monomorfismo y un homeomorfismo que es tanto inyectivo como sobreyectivo es llamado isomorfismo. Si existe un isomorfismo entre A y B, diremos que ellos son isomorfos.

Definici´on 8. Si f es un homeomorfismo de A a B, el Kernel de f es un subconjunto de A tal que f mapea sus elementos al elemento cero de B, es decir:

Ker(f) = {x∈A|f(x) = 0}

El kernel es la clave para una inesperada conexi´on entre ideales y homeomorfismo.

(17)

1.7. TEOREMA DEL HOMEOMORFISMO 17

1.7. Teorema del homeomorfismo

Lema 3. (Teorema del homeomorfismo:) Todo Ideal propio es el kernel

de alg´un epimorfismo entre ´Algebras Booleanas.

Demostraci´on:

Sea A un Álgebra Booleana, sea I un ideal propio de A y definamos la relación ≡I como a ≡I b si y solo si existen i y j en I tal que a∨i = b∨j entonces ≡I es una relación de equivalencia:

Reflexiva: a ≡I a basta tomari=j ∈I, as´ıa∨i=a∨j

Transitiva: Seana, b, c∈Atal que si a≡I by b≡I c, entonces notemos que existen i, j, k, l∈I tal que a∨i=b∨j yb∨k =c∨l, notemos que b∨k =c∨l es lo mismo queb∨k∨j =c∨l∨j, luego comoa∨i=b∨j entonces b∨k∨j =a∨i∨k =c∨l∨j , luego por definici´on de ideal i∨k ∈I y l∨j ∈I, en consecuenciaa ≡I c

Antisimetr´ıa: Sean a, b ∈ A tal que a ≡I b y b ≡I a entonces existen i, j ∈I tal quea∨i=b∨j y l, k∈I tal queb∨l=a∨k notemos que:

• (i∨l) = (j ∨k)

Comoa∨i=b∨j entoncesa∨i∨l=b∨j∨lluego comob∨l =a∨k entonces a∨i∨l=a∨k∨j en consecuencia (i∨l) = (j ∨k).

• a=b

Sabemos quea∨i=b∨j luego comob∨l=a∨k entonces (a∨i)∨ (a∨k) = (b∨j)∨(b∨l) o lo que es lo mismo (a∨i)∨k= (b∨j)∨l, recordemos que a∨i=b∨j por lo tanto b∨(j∨k) = a∨(i∨l), por la parte anterior (i∨l) = (j ∨k) en consecuensia a=b

(18)

1.7. TEOREMA DEL HOMEOMORFISMO 18 Dado a ∈ A, sea [a] = {b|b ≡I a} notemos que la colecci´on de todos estos conjuntos es un algebra Booleana B. Sea f : A → B la funci´on que mapea a ∈A a [a]∈B.

Probemos quef definido de esta manera es un homeomorfismo:

(1) f(p∧q)=f(p)∧f(q)

Sean p, q ∈A, entonces por definici´on de f tenemos que: f(p∧q) = [p∧q] Luego [p∧q] = {b ∈A|(p∧q)≡I b} = {b ∈A|(p≡I b)∧(q≡I b)} = {b ∈A|p≡I b} ∧ {b∈A|q≡I b} = [p]∧[q] = f(p)∧f(q) (2) f(p∨q)=f(p)∨f(q)

Sean p, q ∈A, entonces por definici´on de f tenemos que: f(p∨q) = [p∨q]

(19)

1.7. TEOREMA DEL HOMEOMORFISMO 19 Luego [p∨q] = {b ∈A|(p∨q)≡I b} = {b ∈A|(p≡I b)∨(q≡I b)} = {b ∈A|p≡I b} ∨ {b∈A|q≡I b} = [p]∨[q] = f(p)∨f(q) (3) f(¬a)=¬f(a)

Notemos que f(¬a) = [¬a] = {b ∈ A|b ≡I ¬a} y que

¬f(a) =¬[a] ={b∈A|b ̸≡I a} por lo tanto probemos que [¬a] =¬[a] Sea u ∈ [¬a] luego tenemos que u ≡I ¬a lo que implica que u ̸≡I a y as´ı u ∈ ¬[a]; para la otra contenci´on basta regresarse en esta, as´ı demostramos que f(¬a)=¬f(a).

Notemos que ∀[b]∈B se cumple que f−1_{([b]) =}_b _{en consecuencia f es} sobreyectiva, por lo tanto f es epimorfismo, para terminar la demostraci´on debemos probar que Kern(f) = I.

Notemos que el kernel de f es [0], probemos que [0] =I.

Sea u∈A−I y supongamos que u∈[0] entonces u≡I 0 por lo tanto existen i, j ∈ I tal que u∨i = 0∨j o lo que es lo mismo u∨i =j lo que quiere decir que u∨i∈ I, y por lo tanto u∈ I, lo que contradice que u∈A−I, en consecuencia ∀u∈A−I tenemos que u /∈[0].

(20)

1.7. TEOREMA DEL HOMEOMORFISMO 20 Sea u ∈ I y supongamos que u ∈ [0] entonces u ≡I 0 por lo tanto existen i, j ∈ I tal que u∨i = 0∨j o lo que es lo mismo u∨i = j, notemos que como u, i ∈ I entonces u∨i ∈ I as´ı que basta tomar j =u∨i y as´ıu∈[0], en consecuencia ∀u∈I tenemos que u∈[0].

(21)

Cap´ıtulo 2

Teorema de representaci´

on de

Stone para ´

Algebras Booleanas

En esta sección encontraremos la conección entre la construcción algebraicas del Álgebra Booleana y la construcción topológica de los espacios de Stone.

Definición 9. Espacios topológicos Hausdorff: Un espacio topológico (X, τ) es Hausdorff si, para x, y ∈ X con x ̸= y existen P, Q ∈ τ donde P ∩Q=∅ tal que x∈P e y ∈Q

Definición 10. (Cubrimiento.) Sea (X, τ) un espacio topológico, una familia C de conjuntos es un cubrimiento de un conjunto B ⊆ X si y sólo si B ⊆ ∪

A∈C

A. Si C es una familia de conjuntos abiertos diremos entonces que C es un cubrimiento abierto.

(Subcubrimiento.) Sea (X, τ) un espacio topol´ogico, un subcubrimiento de C es una subfamilia que tambi´en es un cubrimiento.

(22)

22

Definici´on 11. (Espacios topol´ogicos compactos.) Un espacio

topol´ogico (X, τ) es compacto si y s´olo si para todo cubrimiento abierto de (X, τ) admite un subcubrimiento finito.

Definici´on 12. (Espacios topol´ogicos conexos.) Diremos que un

espacio topol´ogico (X, τ) es conexo si X no es uni´on de dos subconjuntoss no vacios y separados. En caso contrario diremos que X es disconexo.

Definici´on 13. (Espacios topol´ogicos totalmente disconexos.) Se

dice que un espacio topol´ogico (X, τ) es totalmente disconexo si ninguno de sus subconjuntos conexos contiene m´as de un punto.

Definici´on 14. (Conjuntos cerrados-abiertos:) Un conjunto

cerrado-abierto en un espacio topol´ogico es un conjunto que es a la vez abierto y cerrado.

Definición 15. Un espacio Hausdorff X es totalmente disconexo si todo conjunto abierto es la unión de los conjuntos cerrados abiertos que contiene.

Ejemplo:

Consideremos el espacio X = [0,1]∪[2,3], la topolog´ıa en X se hereda como la topolog´ıa del subespacio de la topolog´ıa ordinaria en la recta real. En X, el conjunto [0,1] es cerrado-abierto, al igual que el conjunto [2,3], pues es claro que [0,1] y [2,3] son cerrados pero como X es un abierto entonces tambi´en ellos son abiertos.

Esto es un ejemplo absolutamente t´ıpico: siempre que un espacio se componga de un n´umero finito de componentes conexos disjuntos de esta manera, los componentes ser´anconjuntos cerrado-abierto.

Definici´on 16. Espacios de Stone: Un espacio de Stone es un espacio

(23)

23

Sea Aun ´Algebra Booleana y 2={0,1}, consideremos el conjunto 2A=

{f :f es una funci´on de dominio A en 2}, si S(A) ⊂2A que consiste de lo homeomorfismo de A a2.

Antes de continuar se realiza una aclaratoria acercar de las topolog´ıa que usaremos para los conjuntos 2 y 2A.

Observaci´on:

De ahora en adelante al conjunto 2 = {0,1} lo dotaremos con la topolog´ıa discreta.

Sean a ∈ A y xa el el valor de una funci´on x ∈ 2A. La topolog´ıa producto es la topolog´ıa donde todas las proyeccionesxa :2A→2 son continuas. Para forma una subbase para esta topolog´ıa tomamos todos los conjuntos abiertos de la forma {x ∈ 2A : xa = 1} y {x ∈ 2A : xa = 0}. Un conjunto en {x ∈ 2A : xa = 1} es el complemento de un conjunto en {x ∈ 2A : xa = 0},y viceversa, as´ı todo conjunto abierto en esta subbase son conjuntos cerrados y abiertos.

Pero primero ser´ıa tranquilizador saber que el conjunto S(A) es no vac´ıo, ¿podr´ıa alguna vez ser el caso de que no haya homomorfismos de A a 2? El siguiente lema nos permite deducir que S(A)̸=∅:

Lema 4. Si p es un elemento no cero de un ´Algebra Booleana A, entonces existe un homeomorfismo de f :A→2 tal que f(p) = 1.

Demostraci´on:

Sea I el ideal principal generado por ¬p, por el Lema 2 (Teorema del Ideal Maximal) este ideal esta contenido en alg´un ideal maximal M tal que

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¬p ∈ M. Por el teorema 1, p /∈ M, luego por el Lema 3 (Teorema del Homeomorfismo) existe alg´un homeomorfismo f :A→2 cuyo kernel esM. Ya que p no esta en el kernel entonces f(p) = 1. □

Teorema 2. Todo subconjunto cerradoC de un espacio topol´ogico compacto (X, τ) es compacto.

Demostraci´on:

Sea C = {Oi : i ∈ I} un cubrimiento abierto de C entonces C ∪Cc es un cubrimiento abierto de X. Luego existen O1,· · · , On en C tales que X = O1∪O2∪,· · · , On∪Cc. As´ı que C =O1∪O2∪,· · · , On □

Proposici´on 3. Para cada ´Algebra Booleana B, S(B) es un espacio de Stone.

S(B) es Hausdorﬀ

Sea x1, x2 ∈ S(B) tal que x1 ̸= x2 entonces existe p ∈ B tal que x1(p)̸=x2(p), sin perdida de generalidad supongamos quex1(p) = 1 y x2(p) = 0 entonces notemos que:

x1(p)⊆S={x∈S(B) :x(p) = 1} y x2(p)⊆T ={x∈S(B) :x(p) = 0} Claramente S, T son conjuntos abiertos en S(B) y adem´asS∩T =∅ S(B) es compacto

• Paraa, b∈B, sea Ua,b={x∈2B :x(a∨b) =x(a)∨x(b)}es claro queU =∩_a,b_∈_BUa,b es un conjunto cerrado ya que la intersecci´on arbitraria de conjuntos cerrados es cerrada.

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• Para a, b ∈ B, sea Va,b = {x ∈ 2B : x(a∧b) = x(a)∧x(b)} de igual forma V =∩_a,b_∈_BVa,b es un conjunto cerrado.

• Para a ∈ B, sea Ta = {x ∈ 2B : x(¬a) = ¬x(a)} entonces T =∩_a_∈_BTa es un conjunto cerrado.

Notemos que S(B) = (U ∩ V ∩ T), es decir S(B) es un conjunto cerrado, adem´as notemos que 2 con la topolog´ıa discreta es un conjuno compacto, por lo tanto el Teorema de Tychonoﬀ garantiza que el conjunto 2B es compacto.

As´ı por el Teorema 2 S(B) es compacto. S(B) es totalmente disconexo.

Ya sabemos que los conjuntos de la subbase para generar la topologia producto de 2B son conjunto cerrados-abiertos, por lo tanto como S(B) es Hausdorﬀ y todo conjunto abierto en S(B) es la uni´on de los conjuntos cerrados abiertos entonces por la definici´on 15 S(B) es totalmente disconexo.

En consecuencia S(B) es un espacio de Stone.

Definici´on 17. Dada un ´Algebra Booleana A, llamaremos S(A) el espacio de Stone asociado a A.

Proposici´on 4. El conjunto A = {Y ⊆ X : Y es un conjunto

cerrado-abierto} es un ´Algebra Booleana.

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(A,⊆) es un reticulado distributivo.

Es claro que (A,⊆) es un conjunto parcialmente ordenado, y adem´as para S, T ∈A tenemos que

Sup(S, T) = S∪T y el Inf(S, T) = S∩T Donde∨=∪ y ∧=∩.

Para B, C, D ∈ A por las propiedades de intersecci´on(∩) y uni´on(∪) tenemos que: B ∩(C ∪D) = (B ∩C)∪(B ∩D) y en consecuencia B∧(C∨D) = (B ∧C)∨(B∧D).

Notemos que para cada S ∈ A tenemos que Sc ₌_A_\_S _{es decir cada} S ∈A posee complemento.

En consecuencia A es un ´Algebra Boolena.

Definici´on 18. Si X es un espacio de Stone, entonces el ´Algebra Dual de X es la clase de todos los conjuntos cerados-abiertos en X.

Definici´on 19. Sea X un conjunto no vac´ıo arbitrario y ℘(X) el conjunto potencia de X, un campo de conjuntos es un subconjuntos F ⊂℘(X)que es cerrado bajo uniones finitas, intersecciones y complementos,

Diremos que F es un campo de separaci´on si dado x, y ∈X con x̸=y entonces existen S, T ∈F tal que x∈S e y∈T y adem´as S∩T =∅.

Lema 5. SeaX un espacio de Stone yF un campo de separaci´on deX tal que F ⊆ {O ⊆X :O es un conjunto cerrado-abierto} entonces F ={O⊆X :O es un conjunto cerrado-abierto}.

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Demostraci´on:

Sea F = {Fi : i ∈ I} (I es un conjunto de indice para F) entonces si D ⊆ X es un conjunto cerrado-abierto; debemos probar que D ∈ F, notemos que Dc _{es un subconjunto cerrado-abierto tambi´}_en.

Como por hip´otesis F es un campo de saparaci´on entonces para y ∈ Dc y para cada x∈D existen ix, iy ∈I tal que

x∈Fix; y∈Fiy y (Fix∩Fiy)=∅

Es claro que la familia {Fix : ix ∈ I, x ∈ D} es un cubrimiento abierto

de D. Como D es cerrado y X es compacto entonces por el teorema 2

D = F1 ∪F2∪,· · · ,∪Fn y en consecuencia D ∈ F pues F es cerrado bajo uniones finitas. □

Teorema 3. Teorema de representaci´on de Stone: Toda ´Algebra

Booleana es isomorfo al ´Algebra Dual de su espacio de Stone asociado.

Demostraci´on:

Sea A un Álgebra Booleana y sea B el Álgebra Dual del espacio de Stone asociado a A; Necesitamos encontrar un isomorfismo entre A y B. Para ello definamos la siguiente función f :A→B tal que para cada p∈A:

f(p) = {x∈S(A) :x(p) = 1}

Probemos quef es un isomorfismo entre A y B.

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• f(¬a) = ¬f(a)

f(¬a) = {x∈S(A) :x(¬a) = 1} (Por definici´on de f) = {x∈S(A) :¬x(a) = 1} (x es un homeomorfismo) = {x∈S(A) :x(a) = 0}

= {x∈S(A) :x(a)̸= 1} = ¬{x∈S(A) :x(a) = 1} = ¬f(a)

• f(a∨b) =f(a)∪f(b)

f(a∨b) = {x∈S(A) :x(a∨b) = 1} (Por definici´on de f) = {x∈S(A) :x(a) = 1∨x(b) = 1}

= {x∈S(A) :x(a) = 1} ∪ {x∈S(A) :x(b) = 1} = f(a)∪f(b)

• f(a∧b) =f(a)∩f(b)

An´alogo a la parte anterior basta cambiar∨ por ∧y ∪por ∩. f es inyectiva

Notemos que (a−b) = a∧ ¬b entonces

f(a−b) =f(a)∧ ¬f(b) = f(a)−f(b)

Sea f(a) = f(b) por lo tanto f(a)−f(b) = 0, o lo que es lo mismo f(a−b) = 0 es decir que {x ∈ S(A) : x(a−b) = 1} =∅ luego por el

lema 3 (a−b) tiene que ser cero, por lo tanto a=b lo que f es sobreyectiva

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Es claro que el rango de cualquier homeomorfismo Booleano y en particular f, es tambi´en un Algebra Booleana, probemos que esta Algebra Booleana es B, notemos que los conjuntos cerrados-abiertos de la forma {x∈S(A) :x(p) = 1} constituyen un campo, digamos H, Este campo es de separaci´on pues para dos distintos homeomorfismo g y h en S(A), es decir existe q ∈ A tal que g(q)̸=h(q), tenemos que g(q) = 1 y h(q) = 0 ´o g(q) = 0 y h(q) = 1; as´ı sin perdida de generalidad existe algun conjunto en H que contiene a g pero no a h. Luego por el Lema 5 H es el ´algebra dual de S(A), la cual ya fue conocida como B.

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Bibliograf´ıa

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The theory of representative for Booleans algebras. Trans Amer. Math. Soc, 40:37-111. (1936).

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Boolean Algebras. Springer, Berlin-G¨ottingen-Heidelberg. (1960). 3. Bell, J.R

Boolean-valued Models and Independence Proofs in set theory. Clarendon Press,. (1977).

4. Paul R. Halmos

Lectures on Boolean Algebras. D. Van Nostrand Company, Inc. New Jersey. 1963.

Logic as Algebra. The Mathematical Association of America. 1998. 5. Peter T. Johnstone. Stone Spaces. Cambridge University Press.