Fórmulas de Diseño para Columnas
15 de noviembre de 2017
En las secciones precedentes hemos discutido la capacidad teórica de carga de las columnas ante pandeo tanto elástico como inelástico. Con esta idea en mente, estamos listos para examinar algunas fórmulas prácticas que se usan en el diseño de columnas. Estas fórmulas de diseño no se basan úni-camente en análisis teóricos, sino también en el comportamiento de columnas reales tal y como se ha observado en pruebas de laboratorio.
Los resultados teóricos se han representado en curvas de columnas en las notas anteriores. Un enfoque común de diseño es el aproximar estas curvas en el rango de pandeo inelástico (valores bajos de la relación de esbeltez) mediante fórmulas empíricas, y utilizar la fórmula de Euler en el rango elástico (grandes relaciones de esbeltez). Por supuesto, un factor de seguridad debe aplicarse para obtener las cargas permisibles a partir de las cargas máximas (o para obtener los esfuerzos permisibles a partir de los esfuerzos máximos).
Los siguientes ejemplos de fórmulas de diseño de columnas son aplicables a columnas de acero es-tructural cargadas centralmente. Las fórmulas dan el esfuerzo permisible en función de las propiedades de las columnas, tales como longitud, dimensiones de la sección transversal y condiciones de apoyos. Entonces, para una columna dada, el esfuerzo admisible puede ser rápidamente obtenido1.
Una vez que se conoce el esfuerzo permisible, podemos determinar la carga permisible multipli-cando por el área de la sección transversal.
Pperm.= σperm.A (1)
La carga permisible debe ser mayor que la carga real si no se quiere exceder el esfuerzo permisible. La selección de una columna frecuentemente precisa de un procedimiento iterativo o de prueba-y-error. Tal procedimiento es necesario cuando no conocemos de antemano cuál fórmula de diseño emplear. Como cada fórmula es únicamente válida para cierto rango de relaciones de esbeltez, y desde el momento en que la relación de esbeltez es desconocida hasta después de haber escogido la columna, no sabemos usualmente qué fórmula aplica hasta que hayamos hecho al menos un intento.
Un procedimiento común de prueba y error para escoger una columna que soporte una carga axial dada es el siguiente:
1. Estime el esfuerzo permisible σperm.. Note que el límite superior para σperm. es el esfuerzo per-misible para una columna de longitud cero. Este esfuerzo se halla rápidamente a partir de las fórmulas de diseño, y el esfuerzo estimado debe ser igual o menor que este límite superior. 2. Calcule un valor aproximado de área de sección transversal A dividiendo la carga axial dada P
por el esfuerzo permisible estimado.
3. Determine un tamaño de columna y/o forma que proporcione el área requerida, ya sea calcu-lando una dimensión requerida o seleccionando una columna a partir de las tablas de perfiles disponibles.
1Las fórmulas de diseño dadas en esta sección son muestras de muchas de las fórmulas en uso alrededor del mundo.
4. Conociendo las dimensiones de la columna de prueba del paso (3), determine el esfuerzo permisible
σperm. en la columna a partir de la fórmula de diseño apropiada.
5. Usando la ecuación 1, calcule la carga permisible Pperm. y compárela con la carga real P . 6. Si la columna no es adecuada para soportar la carga dada, seleccione una columna más grande y
repita el proceso. Si la columna parece sobrada (porque la carga permisible es mucho mayor que la carga dada), escoja una columna más pequeña y repita el proceso. Una columna adecuada se puede obtener comúnmente con sólo dos o tres intentos.
7. Son posibles muchas variaciones de este procedimiento, dependiendo del tipo de columna y qué cantidades se conocen con antelación. Algunas veces se puede ingeniar un procedimiento directo de diseño o saltarse algunos pasos de prueba y error.
1 Acero Estructural
Comencemos con las fórmulas de diseño para columnas de acero estructural cargadas en su centro. Las siguientes fórmulas fueron adoptadas por el Instituto Americano de Construcción en Acero (AISC, por sus siglas en inglés), una organización técnica que prepara especificaciones para los diseñadores de acero estructural. Dicha organización provee muchos otros servicios a los ingenieros. Las fórmulas del AISC para el esfuerzo permisible en una columna se obtienen dividiendo el esfuerzo máximo por un factor de seguridad apropiado. El término “esfuerzo máximo” significa el esfuerzo obtenido dividiendo la carga máxima (o carga última) que puede cargar la columna entre su área de sección transversal.
Cuando la relación de esbeltez L/r es grande, el esfuerzo máximo se basa en la carga de Euler:
σm´ax.=
π2E
(KL/r)2 (2)
donde la longitud efectiva KL es empleada para que la fórmula se pueda aplicar a una gran variedad de condiciones de apoyos.
La ecuación 2 sólo es válida cuando los esfuerzos en la columna son menores que el límite de proporcionalidad, σlp. Ante condiciones ordinarias, asumimos que el límite de proporcionalidad del acero es igual al esfuerzo de fluencia σy. Sin embargo, los perfiles de acero rolados (tales como las secciones de patín ancho) contienen esfuerzos residuales importantes –esfuerzos que pueden ser tan grandes como la mitad del esfuerzo de fluencia. Para tales columnas, el límite de proporcionalidad se alcanza cuando el esfuerzo axial σm´ax. debido a las cargas de compresión es igual a un medio del esfuerzo de fluencia.
σm´ax.= 0.5σy (3)
Para determinar las menores relaciones de esbeltez para las cuales es aplicable la ecuación 2, establecemos σm´ax. igual a 0.5σy y resolvemos para el valor correspondiente de KL/r, que se conoce como la relación crítica de esbeltez:
( KL r ) c = √ 2π2E σy (4) Si la relación de esbeltez real es igual o mayor que (KL/r)c, la fórmula de Euler para el esfuerzo máximo (ecuación 2) se puede usar. Entonces, la relación de esbeltez crítica dada por la expresión 4 determina la frontera entre el pandeo elástico e inelástico para columnas roladas de acero.
La ecuación 2 se puede expresar de forma adimensional dividiendo entre el esfuerzo de fluencia σy y luego sustituyendo de la ecuación 4:
σm´ax. σy = π 2E σy(KL/r) 2 = (KL/r)2c 2 (KL/r)2 KL r ≥ ( KL r ) c (5) Esta ecuación se grafica en la figura y se denomina curva de Euler.
Para la región de pandeo inelástico, donde KL/r ≤ (KL/r)c, el esfuerzo máximo está dado por una fórmula parabólica:
σm´ax. σy = 1− (KL/r) 2 2 (KL/r)2c KL r ≤ ( KL r ) c (6) Esta fórmula empírica también se grafica en la figura. Note que la curva es una parábola con una tangente horizontal en KL/r = 0, donde el esfuerzo máximo es igual a σy. En la relación de esbeltez crítica (KL/r)c la curva se mezcla suavemente con la curva de Euler (ambas curvas tienen la misma pendiente en el punto donde se encuentran). Entonces, la fórmula empírica provee de una curva de diseño que embona con la forma general de las curvas teóricas, siendo al mismo tiempo simple de usar. La validez de esta fórmula para su uso en el diseño ha sido verificada por numerosas pruebas.
Figura 1: Diagrama del esfuerzo de compresión promedio P /A contra la relación de esbeltez L/r. Para obtener los esfuerzos permisibles para el esfuerzo máximo, el AISC adoptó las siguientes fórmulas para los factores de seguridad:
n1= 5 3 + 3 (KL/r) 8 (KL/r)c − (KL/r)3 8 (KL/r)3c KL r ≤ ( KL r ) c (7) 23 KL (KL)
Figura 2: Diagrama del esfuerzo crítico contra la relación de esbeltez.
Entonces, el factor de seguridad es 5/3 cuando KL/r = 0 y gradualmente aumenta hasta 23/12 cuando KL/r = (KL/r)c. Para mayores relaciones de esbeltez, el factor de seguridad permanece constante en ese valor.
El esfuerzo permisible se obtiene ahora dividiendo el esfuerzo máximo σm´ax. entre el factor de seguridad apropiado (n1o n2); por lo tanto:
σperm. σy = 1 n1 [ 1− (KL/r) 2 c 2 (KL/r)2c ] KL r ≤ ( KL r ) c (9) σperm. σy = (KL/r) 2 c 2n2(KL/r) 2 KL r ≥ ( KL r ) c (10) Estas ecuaciones para los esfuerzos permisibles también están graficadas en la figura.
Las especificaciones del AISC imponen un límite superior de 200 para la relación de esbeltez KL/r y especifican un módulo de elasticidad de E = 29, 000 ksi. También, los símbolos usados en la especi-ficación AISC difieren ligeramente de aquellos empleados en las fórmulas precedentes. Por ejemplo, la relación de esbeltez crítica se denota Cc, el esfuerzo permisible se denota Fa, y el esfuerzo de fluencia se denota Fy.
Todas las fórmulas precedentes de diseño para acero estructural se pueden usar en los sistemas de unidades USCS o SI. Las fórmulas son aplicables a perfiles de patín ancho y otros perfiles rolados, así como para columnas con secciones transversales rectangulares y circulares.
