Pushover - Análisis No Lineal Estático
en Edificios de Concreto Armado
Pushover - Análisis No Lineal
Estático en Edificios de
Concreto Armado
Libro III de la Colección: Ingeniería
Sísmica Basada en Desempeño - PBEE
COMUNIDAD PARA LA INGENIERÍA CIVIL Perú
www.cingcivil.com
Primera Edición: Agosto 2011
Pushover - Análisis No Lineal Estático en Edificios de Concreto Armado con Sap2000 y Perform 3D Publicación Cingcivil: Ingeniería Sísmica y Estructural 01
© El Autor ISBN
vi
Prólogo a la Colección
La presente publicación forma parte de la colección sobre la Ingeniería Sísmica Basada en Desempeño - PBEE, que se realizó para el curso del mismo nombre, curso desarrollado en el Centro Virtual de la Comunidad para la Ingeniería Civil.
La colección consta de cinco libros en los que se cubre el cálculo y diseño de edificios de concreto armado, desde el cálculo lineal al cálculo no lineal, para obtener el desplazamiento máximo de un edificio y el punto de desempeño; se sigue la metodología planteada en el estándar ASCE/SEI 41-06 “Seismic Rehabilitation of Existing Buildings” y reportes como el FEMA 440 “Improvement of Nonlinear Static Seismic Analysis Procedures”, FEMA P440A “Effects of Strength and Stiffness Degradation on Seismic Response”, FEMA P695 “Quantification of Building Seismic Performance Factors”, PEER/ATC 72-1 “Modeling and Acceptance Criteria for Seismic Design and Analysis of Tall Buildings”, por citar algunas referencias. Para el procedimiento de obtención de las cargas para el diseño, que incluyen las cargas por peso propio, sobrecargas y cargas laterales por sismo, se utilizó el estándar ASCE/SEI 7-10 “Minimum Design Loads for Buildings and Other Structures”, así como los procedimientos de análisis. El diseño de los elementos estructurales se realizó de acuerdo al ACI 318-08 “Requisitos de Reglamento para Concreto Estructural y Comentario”.
Los cinco libros que forman la colección son los siguientes:
1. Ingeniería Sísmica Basada en Desempeño, se desarrollan los conceptos teóricos y actuales
de la PBBE, conceptos a aplicar posteriormente en un caso práctico en los siguientes libros de la colección. Los temas tratados son en su mayoría traducciones de los reportes y estándares actuales en la Ingeniería Sísmica.
2. Cálculo de Edificios de Concreto Armado con Sap2000, se modela un edificio irregular de
quince pisos, se desarrollan los comandos básicos para el dibujo de la estructura y se indican parámetros del modelamiento a tener en cuenta para el análisis. Se realizan las comprobaciones al Sap2000 utilizando el Etabs y hojas de cálculo, indicando el proceso del análisis. Se desarrolla el cálculo por el procedimiento de la Fuerza Lateral Equivalente (FLE), y el procedimiento de Análisis Modal de Respuesta Espectral.
3. Pushover - Análisis No Lineal Estático en Edificios de Concreto Armado, usando el Sap2000
y el Perform 3D se realiza el análisis no lineal estático al edificio de quince pisos para obtener el desplazamiento máximo y el punto de desempeño. Cada resultado de acuerdo al ATC-40, FEMA 440, y ASCE/SEI 41-06, como el uso de las curvas backbone y los contornos de capacidad, se explica mediante el uso de hojas de cálculo indicando todo el proceso como la formación de rótulas. 4. Análisis Tiempo Historia en Edificios de Concreto Armado con Sap2000 y Perform 3D,
Tiempo-vii
Historia Lineal y No Lineal, con el objetivo de comparar los resultados de los procedimientos de análisis realizados en los libros anteriores de la colección.
5. Colapso y Curvas de Fragilidad en Edificios de Concreto Armado, como último volumen de la
colección se desarrollará el estudio del colapso estructural y el uso de curvas de fragilidad para la evaluación económica y el daño en edificios de concreto armado, ante eventos sísmicos.
Además de estas publicaciones, en el Centro Virtual se podrá encontrar los videos de cada uno, disponibles a los usuarios inscritos en el curso.
Se pretende que esta colección sirva al investigador y a todo el interesado en conocer la metodología actual a aplicar en la Ingeniería Sísmica, cubriendo muchos vacíos ya sea por el uso del idioma o falta de bibliografía en estos temas.
Se agradece la participación de los miembros y usuarios de la Comunidad para la ingeniería Civil en el Centro Virtual, ya que sin su apoyo no se podría realizar esta colección.
Agosto de 2011, Vlacev Toledo Espinoza.
desplazamiento máximo y
punto de desempeño en
procedimientos lineales
En este capítulo se hace una introducción a la Ingeniería Sísmica Basada en Desempeño, cubriendo temas sobre la historia del PBEE, resumiendo los primeros esfuerzos como el FEMA 273/356 y el ATC 40. Se desarrollan los objetivos de la PBEE, formados de la matriz de Objetivos Principales vs Niveles de Peligrosidad Sísmica, se indican cómo se definen los objetivos principales a partir de niveles de desempeño en elementos estructurales y no estructurales.
2
1.
Desplazamiento Máximo y Punto de Desempeño en Procedimientos
Lineales
Conocidos los métodos de análisis lineales se realizará la evaluación del desplazamiento máximo y el punto de desempeño. Los valores que se obtendrán nos servirán para compararlos al procedimiento estático no lineal y posteriormente a los procedimientos tiempo-historia.
1.1.
Análisis por la Fuerza Lateral Equivalente o Procedimiento Estático Lineal
Se trabajará con el edificio de quince pisos que se ha modelado y calculado en la publicación “Cálculo de Edificios de Concreto Armado con Sap2000”. De acuerdo a las disposiciones del ASCE/SEI 46-01 “Seismic Rehabilitation of Existing Buildings”, se usará una carga pseudo-lateral para calcular las fuerzas y desplazamientos en el edificio y posteriormente deberá verificarse usando los criterios de aceptación.
La carga pseudo-lateral aplicada al modelo elástico lineal, nos dará resultados de los desplazamientos de diseño aproximados al desplazamiento máximo esperado.
1.1.1. Determinación del Periodo
Se trabajará con la rigidez inicial del modelo, que se consigue analizando la estructura pero sin considerar las secciones agrietadas. Del análisis modal realizado por el método de los Eigen Vectores con el Sap2000 se obtienen los periodos característicos, en la Tabla 1-1 se puede observar los periodos y los porcentajes de participación de masa modal para el modelo considerando las secciones agrietadas (rigidez efectiva) y secciones no agrietadas (rigidez inicial). Comparando ambos modelos se puede apreciar cómo se obtienen valores menores cuando se utilizan secciones no agrietadas, siendo el edificio más rígido para la misma distribución de masa.
El periodo fundamental para el modelo con secciones no agrietadas en la dirección X es igual a 1.69s, y en la dirección Y el periodo fundamental correspondiente es de 1.56s.
En la Tabla 1-2 se presentan los periodos, las frecuencias, y los valores de las aceleraciones espectrales para cada periodo.
1.1.2. Espectro Sísmico de Diseño
Se trabajara directamente con el espectro elástico, es decir sin dividir por el factor (𝑅 𝑙⁄ ) del 𝑒 análisis modal de respuesta espectral (espectro inelástico). Entonces los desplazamientos se obtendrán directamente del programa, sin la necesidad de usar el factor de multiplicación de deflexión (𝐶𝑑).
En la Figura 1-1 se puede observar el espectro de diseño elástico, el cual se usará a lo largo de esta publicación.
3
Tabla 1-1: Periodos y porcentaje de participación de masa modal para el modelo con secciones agrietadas y no agrietadas.
Tabla 1-2: Periodos, frecuencias y aceleraciones espectrales del análisis modal. 1.1.3. Carga Pseudo-Lateral
La carga o fuerza pseudo-lateral en una dirección horizontal dada se determina con la siguiente ecuación:
𝑉 = 𝐶1𝐶2𝐶𝑚𝑆𝑎𝑊
En la Figura 1-2 se puede observar el concepto de la carga pseudo lateral. En el eje de desplazamientos se tiene el desplazamiento máximo (𝛿𝑇𝐴𝑅𝐺𝐸𝑇) que intersecta a la curva de la respuesta inelástica actual (curva de capacidad) en el punto de desempeño, punto calculado para cualquier movimiento del suelo. Usando el concepto de iguales desplazamientos, se proyecta el desplazamiento máximo para intersectar a las rectas de respuesta elástica. Dichas rectas representan a la recta con rigidez elástica inicial 𝐾𝑖 (que no considera el agrietamiento en los componentes del edificio), y a la recta con rigidez elástica efectiva 𝐾𝑒 (que considera el agrietamiento en los componentes del edificio) que puede usarse en un análisis lineal o no lineal. Modo Periodo (s) PPMM Acumulado en UX (%) PPMR Acumulado en UY (%) Periodo (s) PPMM Acumulado en UX (%) PPMM Acumulado en UY (%) 1 2.1135 69.011 0.001 1.6873 69.765 0.019 2 1.9401 69.011 62.394 1.5576 69.789 62.836 3 1.4938 69.098 66.780 1.1839 69.816 67.485 4 0.8367 83.912 66.780 0.6833 84.701 67.485 5 0.7264 83.967 78.290 0.5950 84.791 79.745 6 0.6271 83.977 83.005 0.5140 84.828 84.060 7 0.4542 91.068 83.019 0.3785 91.832 84.071 8 0.3693 91.078 90.932 0.3120 91.833 91.788 9 0.2954 93.846 91.000 0.2465 94.966 91.823 10 0.2287 95.679 91.429 0.1863 95.737 94.461 11 0.1824 95.874 97.677 0.1445 97.248 97.626 12 0.1246 99.291 97.790 0.1002 99.435 98.527 AGRIETADO NO AGRIETADO
Modo Periodo (s) Frecuencia Cíclica (1/S)
Frecuencia Circular, ω (rad/s)
Eigenvalor o
Ritz valor, ω2 Sa g Periodo (s)
Frecuencia Cíclica (1/S) Frecuencia Circular, ω (rad/s) Eigenvalor o Ritz valor, ω2 Sa g 1 2.113 0.473 2.973 8.838 0.054 1.687 0.593 3.724 13.867 0.068 2 1.940 0.515 3.239 10.489 0.059 1.558 0.642 4.034 16.272 0.073 3 1.494 0.669 4.206 17.692 0.077 1.184 0.845 5.307 28.164 0.097 4 0.837 1.195 7.509 56.388 0.137 0.683 1.463 9.195 84.556 0.168 5 0.726 1.377 8.650 74.819 0.158 0.595 1.681 10.560 111.515 0.192 6 0.627 1.595 10.020 100.402 0.183 0.514 1.946 12.224 149.438 0.223 7 0.454 2.202 13.835 191.408 0.229 0.378 2.642 16.601 275.584 0.229 8 0.369 2.707 17.012 289.396 0.229 0.312 3.205 20.139 405.592 0.229 9 0.295 3.385 21.268 452.340 0.229 0.247 4.056 25.488 649.614 0.229 10 0.229 4.373 27.477 754.977 0.229 0.186 5.368 33.730 1137.699 0.229 11 0.182 5.482 34.442 1186.225 0.229 0.145 6.920 43.480 1890.471 0.229 12 0.125 8.023 50.413 2541.480 0.229 0.100 9.977 62.689 3929.901 0.229 AGRIETADO NO AGRIETADO
4
Figura 1-1: Espectro elástico según el ASCE/SEI 7-10.
Figura 1-2: Representación del procedimiento estático lineal.
La carga pseudo-lateral nos dará el desplazamiento máximo utilizando la rigidez inicial del edificio. En la Figura 1-2 se puede observar la fuerza cortante de fluencia del edificio marcando el inicio del rango plástico, esta fuerza cortante y el desplazamiento que le corresponde, se pueden aproximar con un análisis modal de respuesta espectral considerando secciones agrietadas y usando el primer modo fundamental correspondiente a la dirección de análisis. Ubicado el punto de fluencia se puede trazar la curva bilineal de la respuesta inelástica.
El uso de las normas de diseño nos asegura que el edificio se mantendrá en el rango elástico, por lo tanto, una vez que se tenga la curva de capacidad, con el procedimiento no lineal, se podrá verificar este comportamiento.
5
1.1.3.1. 𝑪𝟏, Factor de Modificación Relacionado al Desplazamiento Inelástico Máximo Esperado
Para periodos menores a 0.2s, 𝐶1 no necesita ser mayor que el valor que resulta para un periodo de T=0.2s. Para Periodos mayores a 1.0s, el valor de 𝐶1= 1.0. Para calcular 𝐶1 se usará:
𝐶1= 1 + 𝑅 − 1
𝑎𝑇2
donde a es un factor a la clase de sitio, siendo igual a 130 para las clases de sitio A y B, 90 para la clase de sitio C, y 60 para las clases de sitio D y E; R es la relación de resistencia con la capacidad elástica al corte en la base sustituida por la resistencia de fluencia al corte, 𝑉𝑦.
Ya que los periodos para las dos direcciones principales son mayores a T=1.0s, el valor de 𝐶1= 1. 1.1.3.2. 𝑪𝟐, Factor de Modificación para Representar el Efecto de la Forma Histerética Apretada,
Degradación de la Rigidez Cíclica y el Deterioro de la Resistencia en la Respuesta de Desplazamiento Máximo
Para periodos mayores a T=0.7s, 𝐶2= 1. La ecuación para 𝐶2 es: 𝐶2= 1 + 1 800( 𝑅 − 1 𝑇 ) 2
Ya que los periodos para las dos direcciones principales son mayores a T=0.7s, el valor de 𝐶2= 1. 1.1.3.3. 𝑪𝒎, Factor de Masa Efectiva
El factor de masa efectiva toma en cuenta los efectos de participación de masa de los modos elevados. Si el periodo T es mayor a 1.0s, 𝐶𝑚= 1.
1.1.3.4. 𝑺𝒂, Aceleración del Espectro de Respuesta
Este valor se obtiene directamente del espectro de respuesta usando los periodos fundamentales en cada dirección para las secciones no agrietadas. Para la dirección X y un periodo T=1.69s, 𝑆𝑎= 0.38; y para la dirección Y con un periodo T=1.56s, 𝑆𝑎= 0.41.
Por tanto, retomando la ecuación para la fuerza pseudo lateral, se tendrá para las dos direcciones: 𝑉𝐾𝑙 𝑋= 𝐶1𝐶2𝐶𝑚𝑆𝑎𝑋𝑊 = (1.0)(1.0)(1.0)(0.38)(13885.94) = 5273.09 𝑇𝑛
6 1.1.4. Distribución Vertical de la Carga Pseudo-Lateral
Según el ASCE/SEI 41-06 sección 3.3.1.3.2, la carga pseudo-lateral (𝐹𝑥), aplicada en cada piso será determinada por la siguiente ecuación:
𝐹𝑥= 𝐶𝑣𝑥𝑉 𝐶𝑣𝑥=
𝑤𝑥ℎ𝑥𝑘 ∑𝑛𝑖=1𝑤𝑖ℎ𝑖𝑘 donde:
𝐶𝑣𝑥 = factor de distribución vertical. 𝑉 = fuerza pseudo-lateral.
𝑤𝑖 y 𝑤𝑥 = la porción del peso efectivo sísmico total de la estructura localizada o asignada al nivel i o x.
ℎ𝑖 y ℎ𝑥 = la altura desde la base al nivel i o x.
𝑘 = exponente relativo al periodo de la estructura. 𝑘 = 1 para estructuras que tienen un periodo de 0.5s o menos; 𝑘 = 2 para estructuras que tienen un periodo 2.5s o más; para estructuras que tienen un periodo entre 0.5s y 2.5s, 𝑘 = 2, o deberá determinarse por interpolación lineal entre 1 y 2.
En la Tabla 1-3 se puede observar el cálculo de las cargas pseudo-laterales aplicadas a los pisos en la dirección X. Y en la Tabla 1-4 se tiene el cálculo de las cargas pseudo-laterales aplicadas a los pisos en la dirección Y. El valor de k para la distribución de las fuerzas pseudo-laterales en la dirección X es igual a 1.594, luego de evaluarse por interpolación lineal; en la dirección Y el valor de k es igual a 1.529.
En el programa de cálculo, se puede ingresar las fuerzas pseudo-laterales para el análisis estático lineal de dos formas, bien por el cálculo del coeficiente sísmico (coeficientes de usuario) o ingresando directamente las fuerzas pseudo-laterales aplicadas a los centros de masas.
7
Tabla 1-3: Fuerzas pseudo-laterales, y sus cortantes y momentos de volteo aplicados a cada piso en la dirección X.
Tabla 1-4: Fuerzas pseudo-laterales, y sus cortantes y momentos de volteo aplicados a cada piso en la dirección Y. En la Tabla 1-5 se tiene el formulario para usar el patrón de cargas laterales utilizando los coeficientes de usuario. El coeficiente de la cortante en la base en la dirección X es:
𝐶𝑃𝑟𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎,𝑋 = 𝐶1𝐶2𝐶𝑚𝑆𝑎𝑋= (1.0)(1.0)(1.0)(0.38) = 0.38
En la Tabla 1-6 se tiene el formulario para usar el patrón de cargas laterales utilizando los coeficientes de usuario. El coeficiente de la cortante en la base en la dirección X es:
𝐶𝑃𝑟𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎,𝑌= 𝐶1𝐶2𝐶𝑚𝑆𝑎𝑌= (1.0)(1.0)(1.0)(0.41) = 0.41
En la segunda opción se deben de ingresar directamente las fuerzas a los centros de masas, por tanto se usará como patrón de cargas laterales las cargas de usuario “User Loads”. El formulario de entrada
Nivel W, Peso (Tn) h, Altura (m) W x hk Cvx F (Tn) V (Tn) M (Tn-m)
15 513.69 61.00 359637.75 0.117 614.70 614.70 14 568.07 57.00 356964.52 0.116 610.13 1224.83 2458.79 13 568.14 53.00 317922.70 0.103 543.40 1768.23 7358.11 12 568.27 49.00 280613.36 0.091 479.63 2247.86 14431.02 11 568.40 45.00 245059.34 0.079 418.86 2666.72 23422.44 10 568.56 41.00 211330.59 0.069 361.21 3027.92 34089.30 9 898.16 37.00 283460.60 0.092 484.50 3512.42 46201.00 8 927.12 33.00 243831.83 0.079 416.76 3929.18 60250.68 7 927.36 29.00 198505.83 0.064 339.29 4268.47 75967.41 6 1109.00 25.00 187384.74 0.061 320.28 4588.75 93041.29 5 1120.08 21.00 143344.82 0.046 245.01 4833.76 111396.30 4 1120.67 17.00 102414.77 0.033 175.05 5008.81 130731.34 3 1445.99 13.00 86175.17 0.028 147.29 5156.10 150766.57 2 1471.56 9.00 48807.82 0.016 83.42 5239.52 171390.97 1 1510.87 5.00 19639.41 0.006 33.57 5273.09 192349.07 Total 13885.94 3085093.26 5273.09 218714.53
Nivel W, Peso (Tn) h, Altura (m) W x hk Cvx F (Tn) V (Tn) M (Tn-m)
15 513.69 61.00 275512.36 0.113 645.92 645.92 14 568.07 57.00 274669.30 0.113 643.94 1289.86 2583.68 13 568.14 53.00 245784.70 0.101 576.22 1866.09 7743.12 12 568.27 49.00 218047.28 0.089 511.20 2377.28 15207.47 11 568.40 45.00 191474.46 0.079 448.90 2826.18 24716.60 10 568.56 41.00 166120.23 0.068 389.46 3215.64 36021.33 9 898.16 37.00 224306.91 0.092 525.87 3741.51 48883.89 8 927.12 33.00 194384.26 0.080 455.72 4197.23 63849.93 7 927.36 29.00 159581.07 0.065 374.13 4571.36 80638.85 6 1109.00 25.00 152096.93 0.062 356.58 4927.94 98924.28 5 1120.08 21.00 117672.89 0.048 275.88 5203.81 118636.03 4 1120.67 17.00 85232.55 0.035 199.82 5403.63 139451.28 3 1445.99 13.00 72975.47 0.030 171.09 5574.72 161065.82 2 1471.56 9.00 42328.80 0.017 99.24 5673.96 183364.70 1 1510.87 5.00 17693.82 0.007 41.48 5715.44 206060.53 Total 13885.94 2437881.02 5715.44 234637.73
8
para este tipo de patrón de carga lateral, en la dirección X, se puede apreciar en la Tabla 7; y en la Tabla 1-8, se tiene el formulario para las cargas de usuario en la dirección Y.
Tabla 1-5: Formulario de ingreso al Sap2000 para el cálculo por las fuerzas pseudo-laterales en la dirección X, por el coeficiente de usuario.
Tabla 1-6: Formulario de ingreso al Sap2000 para el cálculo por las fuerzas pseudo-laterales en la dirección Y, por el coeficiente de usuario.
Tabla 1-7: Formulario de ingreso al Sap2000 para el cálculo por las fuerzas pseudo-laterales en la dirección X, por las cargas de usuario.
9
Tabla 1-8: Formulario de ingreso al Sap2000 para el cálculo por las fuerzas pseudo-laterales en la dirección Y, por las cargas de usuario.
1.1.5. Desplazamiento Máximo según el ASCE/SEI 41-06 para el Procedimiento Estático Lineal
Analizando los casos de cargas creados, ya sea por los coeficientes de usuarios o por las cargas de usuario en el Sap2000, se obtienen los desplazamientos máximos.
En las Figuras 1-3 a la Figura 1-6, se pueden observar los desplazamientos máximos del techo. A continuación mostramos a manera de resumen los resultados obtenidos:
Sismo en la dirección X:
Caso de carga Push-CU-X, Desplazamiento Máximo en el Techo : 0.67 m (Coeficientes de Usuario). Caso de carga Push-CL-X, Desplazamiento Máximo en el Techo : 0.67 m (Cargas de Usuario). Sismo en la dirección Y:
Caso de carga Push-CU-Y, Desplazamiento Máximo en el Techo : 0.68 m (Coeficientes de Usuario). Caso de carga Push-CL-Y, Desplazamiento Máximo en el Techo : 0.70 m (Cargas de Usuario). Cabe mencionar que no es necesario realizar el análisis tanto para casos de carga por coeficientes de usuarios y otro para cargas de usuarios, aquí se están presentando ambos casos como modo comparativo, se puede apreciar que los resultados son similares o muy cercanos.
10
Figura 1-3: Desplazamiento Máximo en el Techo para el caso de cargas por los coeficientes de usuario en la dirección X, elevación del Eje 5.
Figura 1-4: Desplazamiento Máximo en el Techo para el caso de cargas por cargas de usuario en la dirección X, elevación del Eje 5.
11
Figura 1-5: Desplazamiento Máximo en el Techo para el caso de cargas por los coeficientes de usuario en la dirección Y, elevación del Eje E.
Figura 1-6: Desplazamiento Máximo en el Techo para el caso de cargas por cargas de usuario en la dirección Y, elevación del Eje E.
El concepto del máximo desplazamiento del ASCE/SEI 41-06 es similar al concepto del punto de desempeño del ATC, por lo tanto los valores obtenidos serían válidos para ambos procedimientos. La diferencia radica en que para evaluar el punto de desempeño del ATC-40 (y los procedimientos mejorados del FEMA 440), se debe de conocer la curva de capacidad. La curva de capacidad se podría aproximar conociendo el punto de fluencia del edificio, trabajando con el análisis modal espectral usando los primeros valores y vectores característicos en cada dirección de análisis (las primeras formas de modo), y el punto de desplazamiento máximo. Se grafica la curva bilineal con el primer segmento que partirá desde el origen hasta
12
el punto de fluencia y el segmento en el rango plástico se puede aproximar graficándolo con una pendiente entre cero y 10%.
1.2.
Análisis Modal de Respuesta Espectral o Procedimiento Dinámico Lineal
Para calcular el desplazamiento máximo y ubicación del punto de desempeño se usará el análisis modal espectral, procedimiento similar al usado en el libro “Cálculo de Edificios de Concreto Armado con Sap2000”, pero al igual que en la sección 1.1 se usará el espectro elástico (Figura 1.1). Posteriormente el desplazamiento obtenido del análisis modal de respuesta espectral, se multiplicará por los factores de modificación 𝐶1 y 𝐶2; el desplazamiento así calculado será el desplazamiento máximo según el ASCE/SEI 41-06.
Se deberá de calcular el punto de fluencia del edificio. Observando la Figura 1.2, el punto de fluencia corresponde a un punto sobre la recta del análisis lineal con rigideces efectivas; por tanto, se realizará un análisis modal de respuesta espectral pero con las rigideces efectivas (secciones agrietadas), el punto de fluencia se aproximará usando sólo los resultados para el primer modo de vibración.
1.2.1. Determinación del Periodo
En la Tabla 1-1 y la Tabla 1-2 se tienen los periodos, frecuencias y aceleraciones espectrales del análisis modal, tanto para secciones agrietadas como para no agrietadas.
1.2.2. Espectro Sísmico de Diseño
Se trabajará con el espectro elástico presentado en la Figura 1-1. 1.2.3. Factores de Modificación
Los valores son similares para los calculados en la sección 1.1.3. 𝐶1= 1
𝐶2= 1
1.2.4. Desplazamiento Máximo según el ASCE/SEI 41-06 para el Procedimiento Estático Lineal En el programa Sap2000, se ingresa el espectro elástico (ver Figura 1-7).
13
Figura 1-7: Espectro elástico en el Sap2000.
Luego se definen los casos para el análisis dinámico lineal en ambas direcciones (ver Figuras 1-8 y 1-9).
14
Figura 1-9: Caso de carga para el análisis dinámico lineal en la dirección Y.
Luego de analizar el modelo se obtienen los desplazamientos al nivel de techo, ver las Figuras 1-10 y 1-11. Los desplazamientos calculados se deben de convertir a desplazamientos máximos, por lo que se deberán de multiplicar por los factores de modificación 𝐶1 y 𝐶2. El mismo procedimiento se aplica para las cortantes en la base.
Como los factores de modificación 𝐶1= 1.0 y 𝐶2= 1.0, los desplazamientos del techo obtenidos por el programa serán también los desplazamientos máximos según el ASCE/SEI 41-06.
Sismo en la dirección X:
Caso de carga Push-DL-X, Desplazamiento Máximo en el Techo : 0.42 m. Caso de carga Push-DL-X, Cortante en la Base 𝑉𝐾𝑒 𝑋 : 4428.19 Tn. Sismo en la dirección Y:
Caso de carga Push-DL-Y, Desplazamiento Máximo en el Techo : 0.37 m. Caso de carga Push-DL-Y, Cortante en la Base 𝑉𝐾𝑒 𝑌 : 4575.13 Tn. 1.2.5. Determinación del Punto de Fluencia
Observando la Figura 1-2, el punto de fluencia pertenece a la recta del análisis lineal pero con rigideces efectivas, por lo que se deberá realizar el análisis con secciones agrietadas (similar al realizado en el libro “Cálculo de Edificios de Concreto Armado con Sap2000”), pero usando el espectro de diseño elástico.
15
Figura 1-10: Desplazamiento Máximo en el Techo para el análisis dinámico lineal en la dirección X, elevación del Eje 5.
Figura 1-11: Desplazamiento Máximo en el Techo para el análisis dinámico lineal en la dirección Y elevación del Eje E. El punto de fluencia se aproximará usando los resultados de los primeros modos de vibración para ambas direcciones. Las formas modales serán las mismas a los calculados en el libro “Cálculo de Edificios de Concreto Armado con Sap2000”, los desplazamientos y las fuerzas variarán por la utilización del espectro elástico. Se usará nuevamente los valores del modelo calculado con las rigideces agrietadas en el Etabs, por la facilidad de obtener las formas de modo en la Tabla “Building Modes”.
Según el ATC se tienen las siguientes ecuaciones básicas de la dinámica estructural:
16 𝑃𝐹𝑚= [ ∑ (𝑤𝑁𝑖=1 𝑖𝜙𝑖𝑚)/𝑔 ∑ (𝑤𝑁𝑖=1 𝑖𝜙𝑖𝑚2)/𝑔 ] donde:
𝑃𝐹𝑚 = factor de participación modal para el modo m. 𝑤𝑖/𝑔 = masa asignada al nivel i.
𝜙𝑖𝑚 = amplitud del modo m en el nivel i 𝑁 = nivel N.
El factor de participación modal de piso es:
𝑃𝐹𝑖𝑚= 𝑃𝐹𝑚 𝜙𝑖𝑚
COEFICIENTE DE MASA EFECTIVA 𝜶𝒎:
𝛼𝑚=
[∑ (𝑤𝑁𝑖=1 𝑖𝜙𝑖𝑚)/𝑔]2 [∑ (𝑤𝑁 𝑖)/𝑔
𝑖=1 ] ∑ (𝑤𝑁𝑖=1 𝑖𝜙𝑖𝑚2)/𝑔
ACELERACIONES DE PISO MODALES:
𝑎𝑖𝑚 = 𝑃𝐹𝑚 𝜙𝑖𝑚 𝑆𝑎𝑚
FUERZAS LATERALES DE PISO MODALES:
𝐹𝑖𝑚= 𝑃𝐹𝑚 𝜙𝑖𝑚 𝑆𝑎𝑚 𝑤𝑖
CORTANTE EN LA BASE MODAL:
𝑉𝑚= 𝛼𝑖𝑚 𝑆𝑎𝑚 𝑊
DESPLAZAMIENTOS Y DERIVAS MODALES:
𝛿𝑖𝑚= 𝑃𝐹𝑚 𝜙𝑖𝑚 𝑆𝑑𝑚= 𝑃𝐹𝑖𝑚 𝑆𝑑𝑚
Las ecuaciones son similares a las ya usadas en el análisis modal, sólo presentan algunos arreglos de aplicación del ATC-40. El primer modo de vibración es un modo traslacional en la dirección X, por tanto usando el vector característico calculamos el desplazamiento del techo y la cortante en la base; estos valores nos indicarán el posible punto de fluencia cuando analizamos la estructura en la dirección X. De igual forma
17
se usará el modo 2 (modo traslacional en la dirección Y), para predecir el punto de fluencia para el análisis en la dirección Y.
En la Tabla 1-9 y 1-10, se puede apreciar el cálculo del punto de fluencia en las direcciones X y Y respectivamente.
Tabla 1-9: Cálculo del punto de fluencia para el análisis en la dirección X, usando el valor y vector característico del modo 1 con secciones agrietadas.
Tabla 1-10: Cálculo del punto de fluencia para el análisis en la dirección Y, usando el valor y vector característico del modo 2 con secciones agrietadas.
1.3.
Comprobación de los Procedimientos Lineales
1.3.1. Procedimiento Estático Lineal
Nivel Masa Peso φ1 Masa x φ1 Masa x φ1
2 FP i a1 F V Desp. 1 154.013 1510.87 0.0021 0.323 0.001 0.066 0.195 30.061 2889.916 0.0221 2 150.006 1471.56 0.0052 0.780 0.004 0.162 0.483 72.500 2859.855 0.0547 3 147.399 1445.99 0.0089 1.312 0.012 0.278 0.827 121.931 2787.355 0.0936 4 114.238 1120.67 0.0129 1.474 0.019 0.402 1.199 136.971 2665.423 0.1357 5 114.177 1120.08 0.0171 1.952 0.033 0.533 1.589 181.470 2528.452 0.1798 6 113.048 1109.00 0.0212 2.397 0.051 0.661 1.970 222.755 2346.982 0.2229 7 94.532 927.36 0.0254 2.401 0.061 0.792 2.361 223.173 2124.227 0.2671 8 94.508 927.12 0.0292 2.760 0.081 0.911 2.714 256.495 1901.054 0.3071 9 91.556 898.16 0.0327 2.994 0.098 1.020 3.039 278.267 1644.559 0.3439 10 57.957 568.56 0.0363 2.104 0.076 1.132 3.374 195.543 1366.292 0.3817 11 57.941 568.40 0.0396 2.294 0.091 1.235 3.681 213.261 1170.748 0.4164 12 57.928 568.27 0.0425 2.462 0.105 1.326 3.950 228.826 957.487 0.4469 13 57.915 568.14 0.0449 2.600 0.117 1.401 4.173 241.693 728.661 0.4722 14 57.908 568.07 0.0468 2.710 0.127 1.460 4.350 251.890 486.968 0.4922 15 52.364 513.69 0.0483 2.529 0.122 1.507 4.489 235.078 235.078 0.5079 ∑ 1415.488 13885.938 0.413 31.092 0.997 2889.916
Factor de Participación Modal, FP = 31.196
αm = 0.685
Cortante Total en la Base Vm = 2889.916 Vm / W= 0.208
Modo1
T = 2.113 Sa = 2.979 Sd = 0.337
Nivel Masa Peso φ1 Masa x φ1 Masa x φ12 FPi a1 F V Desp.
1 154.013 1510.87 0.0016 0.246 0.000 0.050 0.149 22.904 2742.229 0.0168 2 150.006 1471.56 0.0042 0.630 0.003 0.131 0.390 58.558 2719.325 0.0442 3 147.399 1445.99 0.0074 1.091 0.008 0.231 0.688 101.381 2660.767 0.0778 4 114.238 1120.67 0.0110 1.257 0.014 0.343 1.022 116.797 2559.386 0.1157 5 114.177 1120.08 0.0146 1.667 0.024 0.455 1.357 154.940 2442.589 0.1535 6 113.048 1109.00 0.0184 2.080 0.038 0.574 1.710 193.334 2287.650 0.1935 7 94.532 927.36 0.0219 2.070 0.045 0.683 2.036 192.421 2094.315 0.2303 8 94.508 927.12 0.0255 2.410 0.061 0.795 2.370 223.994 1901.895 0.2682 9 91.556 898.16 0.0292 2.673 0.078 0.911 2.714 248.483 1677.901 0.3071 10 57.957 568.56 0.0367 2.127 0.078 1.145 3.411 197.698 1429.417 0.3859 11 57.941 568.40 0.0406 2.352 0.096 1.267 3.774 218.647 1231.719 0.4270 12 57.928 568.27 0.0441 2.555 0.113 1.376 4.099 237.440 1013.072 0.4638 13 57.915 568.14 0.0471 2.728 0.128 1.469 4.378 253.536 775.632 0.4953 14 57.908 568.07 0.0498 2.884 0.144 1.554 4.629 268.037 522.096 0.5237 15 52.364 513.69 0.0522 2.733 0.143 1.628 4.852 254.059 254.059 0.5490 ∑ 1415.488 13885.938 0.404 29.504 0.973 2742.229
Factor de Participación Modal, FP = 30.310
αm = 0.632
Cortante Total en la Base Vm = 2897.823
Vm / W= 0.209
Modo 2
T = 1.940 Sa = 3.241 Sd = 0.309
18
Una primera conclusión se puede realizar comparando los desplazamientos máximos en el techo evaluados previamente (sección 1.2.4). En la dirección X se tiene un valor de 0.67m y el punto de fluencia se llega con un desplazamiento de 0.51m en el piso 15; por lo tanto, la estructura estará trabajando en el rango inelástico. La misma conclusión se llega analizando el movimiento en la dirección Y, ya que el desplazamiento máximo es de 0.70m y el punto de fluencia se produce a un desplazamiento de 0.55m en el techo. Se debería de rigidizar la estructura, ya que para el sismo y nivel de peligrosidad de diseño se espera que la estructura trabaje elásticamente.
Los desplazamientos en el techo calculados por el procedimiento de la FHE en la publicación “Cálculo de Edificios de Concreto Armado con Sap2000” son:
El punto de fluencia en la dirección X es de 0.51 m, y en la dirección Y es de 0.55m; por tanto en la dirección X se debería rigidizar la estructura ya que estaría fluyendo y trabajando inelásticamente. En la dirección Y el diseño estaría adecuado.
Los procedimientos elásticos lineales siempre darán desplazamientos elevados, entonces no sería conveniente rigidizar el edificio sin antes realizar un procedimiento modal de respuesta espectral.
1.3.2. Procedimiento Dinámico Lineal
Los desplazamientos en el techo calculados por el procedimiento modal de respuesta espectral en la publicación “Cálculo de Edificios de Concreto Armado con Sap2000” son:
El punto de fluencia en la dirección X es de 0.51 m, y en la dirección Y es de 0.55m; por tanto en ambas direcciones la estructura estará trabajando elásticamente (como se esperaba) de acuerdo a las metodologías de diseño.
El punto de fluencia se verificará cuando se analice la estructura con métodos de análisis no lineal. Como se verá con un análisis no lineal el punto de fluencia que hemos calculado no será preciso, por lo que no es conveniente tomar decisiones.
Despl. del Sap2000 Desp. Inelástico
FHE Elástico Lineal en X 0.133 0.585
FHE Elástico Lineal en Y 0.117 0.513
Despl. del Sap2000 Desp. Inelástico
Modal de Resp. Espec. en X 0.074 0.324
pushover:
procedimiento
estático no lineal
con Sap2000
En este capítulo se realiza un resumen sobre la Predicción de la Demanda Sísmica, pero enfocado al uso del Análisis Estático No lineal, conocido comúnmente como Pushover o técnica del Empujón.
20
2.
Pushover – Procedimiento Estático No Lineal con Sap2000
2.1.
Descripción del Modelo Usado
Debido a la necesidad de representar explícitamente la fluencia en las vigas, columnas y uniones viga-columna, hace que se requiera un modelo más detallado al realizar un análisis no lineal.
Se realizará un primer análisis considerando sólo la formación de rótulas en las vigas y columnas, el segundo análisis considerará los efectos P-Δ. En el Sap2000 no se podrá modelar explícitamente las uniones entre los elementos, a diferencia del Perform 3D.
2.1.1. Diseño del Modelo
En el archivo en formato “dwg” que acompaña a la publicación, se tiene la distribución en planta de los elementos estructurales y el detalle del refuerzo a considerar en cada sección. Las secciones planteadas corresponden a secciones obtenidas de un diseño previo, por lo tanto cumplirán de acuerdo a los criterios del ACI 318. En el Sap2000 se elegirá, en los parámetros de diseño de concreto “Check/Design”, la opción “Reinforcement to be Checked” (reforzamiento a ser revisado).
A continuación se presentan las imágenes de las vistas en planta y secciones a usar para el modelamiento no lineal (Figuras 2-1 a la 2-6).
21
Figura 2-2: Vista en planta del cuarto al sexto nivel.
Figura 2-3: Vista en planta del séptimo al noveno nivel.
22
Figura 2-5: Detalle del refuerzo en las secciones en columnas y vigas.
Figura 2-6: Detalle del refuerzo en las secciones en muros.
Se trabajará con el modelo que considera las rigideces iniciales de los elementos (secciones no agrietadas), y con el espectro de diseño inelástico.
En la Figura 2-7 y 2-8 se puede apreciar los parámetros de los casos dinámicos para el diseño de las secciones.
Antes de proceder a realizar un análisis no lineal es necesario realizar el proceso de diseño de los elementos. Al analizar el modelo es necesario seleccionar la opción o realizarlo directamente desde “Model Alive”, así podremos asignar propiedades a los elementos sin necesidad de desbloquear el análisis.
23
Figura 2-7: Caso de carga de diseño para el análisis dinámico lineal en la dirección X.
Figura 2-8: Caso de carga de diseño para el análisis dinámico lineal en la dirección Y. Las combinaciones de diseño a utilizar serán:
𝐶𝑜𝑚𝑏.01= 1.4 𝐷𝐸𝐴𝐷 + 1.4 𝐶𝑀
𝐶𝑜𝑚𝑏.02= 1.2 𝐷𝐸𝐴𝐷 + 1.2 𝐶𝑀 + 1.6 𝐿𝐼𝑉𝐸 + 0.5 𝐿𝐼𝑉𝐸𝑈𝑃 𝐶𝑜𝑚𝑏.03= 1.2 𝐷𝐸𝐴𝐷 + 1.2 𝐶𝑀 + 1.0 𝐿𝐼𝑉𝐸 + 1.6 𝐿𝐼𝑉𝐸𝑈𝑃
24 𝐶𝑜𝑚𝑏.04= 1.4564 𝐷𝐸𝐴𝐷 + 1.4564 𝐶𝑀 + 0.5 𝐿𝐼𝑉𝐸 + 1.3 𝐸𝑄𝑋𝑋 − 𝐷𝑖𝑠 𝐶𝑜𝑚𝑏.05= 1.4564 𝐷𝐸𝐴𝐷 + 1.4564 𝐶𝑀 + 0.5 𝐿𝐼𝑉𝐸 + 1.3 𝐸𝑄𝑌𝑌 − 𝐷𝑖𝑠 𝐶𝑜𝑚𝑏.06= 0.6436 𝐷𝐸𝐴𝐷 + 0.6436 𝐶𝑀 + 1.3 𝐸𝑄𝑋𝑋 − 𝐷𝑖𝑠 𝐶𝑜𝑚𝑏.07= 0.6436 𝐷𝐸𝐴𝐷 + 0.6436 𝐶𝑀 + 1.3 𝐸𝑄𝑌𝑌 − 𝐷𝑖𝑠 𝐸𝑁𝑉𝑂𝐿𝑉𝐸𝑁𝑇𝐸 = 𝐶𝑜𝑚𝑏.01, 𝐶𝑜𝑚𝑏.02, 𝐶𝑜𝑚𝑏.03, 𝐶𝑜𝑚𝑏.04, 𝐶𝑜𝑚𝑏.05, 𝐶𝑜𝑚𝑏.06, 𝐶𝑜𝑚𝑏.07
Una vez realizado el diseño y verificación de los elementos, se asignan las rótulas al modelo. 2.1.2. Modelamiento de las Vigas
De acuerdo al diseño por capacidad (columna fuerte/viga débil), se espera que las vigas fluyan antes que las columnas. Para modelar cada rótula plástica se necesita la siguiente información:
La rigidez inicial (momento por unidad de rotación). El momento de fluencia efectivo.
La rigidez secundaria.
La ubicación de la rótula con respecto a la cara de la columna.
La determinación de las propiedades enumeradas, en particular la ubicación de la rótula, es complicada por el hecho que las rótulas crecen en longitud durante el aumento de la deriva de piso. Ya que no se tiene cómo representar este cambio de la longitud de rótula, se hará considerando una longitud y ubicación fija para las rótulas. Para las vigas se usarán dos rótulas en los extremos (se puede usar una rótula al centro del claro de la viga con la finalidad de mejorar la forma deflectada del elemento).
Para determinar las propiedades de las rótulas es necesario desarrollar un análisis momento-curvatura de la sección transversal (función de la curva esfuerzo-deformación del material). Para fines de esta publicación, se trabajarán con los diagramas estándar del ASCE/SEI 41-06 y gráficas normalizadas que el Sap2000 utiliza en la opción de asignar rótulas automáticamente. Las rótulas se asignarán a una distancia de 0.15 de la longitud total de la viga, para así asegura que la formación esté cercana a la cara de la columna y no dentro de la unión, en ambos extremos del elemento.
Para la asignación de las rótulas se seleccionan todas las vigas, y desde el menú: “Assign/Frame/Hinges…” se tendrá acceso al formulario “Frame Hinge Assignments”, en el cuadro de texto “Relative Distance” de la sección “Frame Hinge Assignment Data”, ingresamos 0.15 y luego presionamos el botón . En el formulario “Auto Hinge Assignment Data” seleccionamos “From Tables In Fema 356” de la sección “Auto Hinge Type”, y en la sección “Select a FEMA 356 Table” elegimos “Table 6-7 (Concrete Beams - Flexure) Item i”, el resto de parámetros se pueden observar en la Figura 2-9. Se hace click en el botón
25
Haciendo click al botón se aceptan los cambios y se sale del formulario “Frame Hinge Assignments”, de vuelta a la ventana principal del programa se podrán ver las rótulas asignadas a las vigas.
Figura 2-9: Parámetros para la asignación automática de rótulas a las vigas según el FEMA 356. En la Figura 2-10 se puede apreciar las rótulas asignadas en la vista en elevación del Eje 4.
Figura 2-10: Rótulas asignadas, vista en elevación del eje 4.
Al asignar las rótulas de manera automática, el programa genera los parámetros necesarios de acuerdo al diseño de las secciones realizadas, de esta forma se ahorra tiempo en comparación a definir e ingresar las propiedades para cada sección.
26
En la Figura 2-11 se presentan los parámetros de una de las rótulas asignadas. En la sección “Displacement Control Parameters” se observa las coordenadas normalizadas de los puntos característicos de las relaciones fuerza-deformación (ver Figura 2-12). También se tienen los factores de escala que se obtienen de la curva momento-curvatura, y los criterios de aceptación de acuerdo al ASCE/SEI 41-06 (ver Tabla 2-1).
Figura 2-11: Parámetros de una rotula a momento asignada a una viga.
Figura 2-12: Relaciones generalizadas para elementos de concreto armado, según el ASCE/SEI 41-06. 2.1.3. Modelamiento de las Columnas
Para la asignación de las rótulas a las columnas se seleccionan todas las columnas, y desde el menú: “Assign/Frame/Hinges…” se tendrá acceso al formulario “Frame Hinge Assignments”, en el cuadro de texto “Relative Distance” de la sección “Frame Hinge Assignment Data”, ingresamos 0.15 y luego presionamos el botón . En el formulario “Auto Hinge Assignment Data” seleccionamos “From Tables In Fema 356” de la sección “Auto Hinge Type”, y en la sección “Select a FEMA 356 Table” elegimos “Table 6-7 (Concrete Columns - Flexure) Item i”, el resto de parámetros se pueden observar en la Figura 2-13. Se hace click en el botón y se repite el procedimiento para una distancia relativa de 0.85.
27
Tabla 2-1: Parámetros de modelamiento y criterios de aceptación en vigas, según el ASCE/SEI 41-06. En el caso de las vigas se modelaron rótulas esperando una fluencia del acero longitudinal antes que se presente una falla por corte (el diseño conforme al ACI 318-08 nos asegura este comportamiento en edificios nuevos, de tenerse edificios existentes se debe de estudiar el tipo de falla que puede presentarse y seleccionar los parámetros de modelamiento adecuados), eligiendo el tipo M3 (teniendo en cuenta el momento flector en el eje local 3). En el caso de las columnas se elige una rótula del tipo P-M2-M3, esta rótula tiene un acoplamiento para la formación de rótulas debidas a flexión y carga axial, comportamiento propio de una columna.
Haciendo click en el botón se aceptan los cambios y se sale del formulario “Frame Hinge Assignments”, de vuelta a la ventana principal del programa se podrán ver las rótulas asignadas a las columnas.
Figura 2-13: Parámetros para la asignación automática de rótulas a las columnas según el FEMA 356. En la Figura 2-14 se puede apreciar las rótulas asignadas en la vista en elevación del Eje 4.
28
Figura 2-14: Rótulas asignadas, vista en elevación del eje 4.
Figura 2-15: Parámetros de una rotula a momento asignada a una columna.
En las Figuras 2-15 y 2-16 se presentan los parámetros de una de las rótulas asignadas. Entre el FEMA 356 y el ASCE/SEI se presentan algunas variaciones entre los parámetros de modelamiento y criterios de aceptación, por tanto de considerarse necesario se podrían editar las rótulas asignadas para usar con los valores del ASCE/SEI 41-06, ya que el programa está calculando automáticamente con los valores del FEMA 356. La comparación de estos valores se puede hacer en las Tablas 2-2 y 2-3. Para editar las rótulas a valores distintos al FEMA 356 o teniendo criterios que se obtienen de trabajos de investigación, se tienen que convertir a rótulas definidas por el usuario.
29
Figura 2-16: Diagrama de interacción normalizada para modelar la formación de rótulas en una columna.
Tabla 2-2: Parámetros de modelamiento y criterios de aceptación en columnas, según el FEMA 356.
30
2.2.
Consideraciones para el Análisis
2.2.1. Nodo de Control
El nodo de control se ubicará en el centro de masas del diafragma del techo, o en su defecto se controlará un nodo que pertenezca a dicho diafragma. En la Figura 2-17 se pueden observar las etiquetas asignadas a los nodos en el techo del edificio, se escogerá como nudo de control el nodo 950. Del análisis modal de respuesta espectral se tienen desplazamientos en el techo cercanos a los 40 cm, por tanto el desplazamiento a controlar en el nodo de control será igual a un 200% de 40cm (80 centímetros).
Figura 2-17: Etiquetas de los nodos en el techo. 2.2.2. Patrones de Carga Lateral
Para realizar un análisis no lineal en edificios con múltiples grados de libertad, se requiere, en el caso del FEMA, realizar dos análisis por separado usando vectores de carga diferentes; el primer grupo de vectores pueden ser: Distribución por Código, Primer Modo, SRSS de cargas de piso modales; el segundo grupo puede elegirse de los vectores de carga: Distribución Uniforme, Distribución de Carga Adaptativa. Los valores que son mayores son los que se comparan con los criterios de aceptabilidad.
El ATC-40 recomienda usar el primer modo como vector de carga. Sin embargo, también se pueden usar los siguientes vectores en orden jerárquico: Carga Concentrada, Distribución por Código, Primer Modo, Adaptativa, Pushover Multimodal.
Se usarán los siguientes vectores de carga: (1) Distribución por Código (la distribución es la que se usó para evaluar el desplazamiento máximo en el procedimiento lineal elástico, ya sea introduciendo los
31
coeficientes de usuario o las cargas de usuario, vistas en la sección 1.1.4 distribución de la carga Pseudo-Lateral), (2) Primer Modo, y (3) Carga Uniforme.
2.2.2.1. Vector de Carga para la Distribución por Código
La Distribución del vector de cargas “Distribución por Código” se puede ver en las Tablas 2-4 y 2-5.
Tabla 2-4: Vector de carga para “distribución por código” en la dirección X, por las cargas de usuario, caso de carga Push-CL-X.
Tabla 2-5: Vector de carga para “distribución por código” en la dirección Y, por las cargas de usuario, caso de carga Push-CL-Y.
32
De la sección 1.2.5 (Tablas 1-9 y 1-10) se tienen las fuerzas en el primer y segundo modo, que corresponden a las fuerzas a aplicar en las direcciones X e Y respectivamente. En las Tablas 2-6 y 2-7 se pueden observar las cargas a usar para considerar el vector de fuerzas en el primer modo.
Tabla 2-6: Vector de carga para el primer modo en la dirección X, por las cargas de usuario, caso de carga Push-CL-1M-X.
Tabla 2-7: Vector de carga para el primer modo en la dirección Y, por las cargas de usuario, caso de carga Push-CL-1M-Y.
Otra forma de considerar las cargas del primer modo, sin la necesidad de usar el formulario de cargas de usuario, Es Por Medio De La Introducción De Un Caso De Carga No Lineal, Que Se Verá En La Sección 2.3.2.2.
33
En las Tablas 2-8 y 2-9 se pueden observar las cargas uniformes a usar.
Tabla 2-8: Vector de cargas uniformes en la dirección X, por las cargas de usuario, caso de carga Push-CL-U-X.
Tabla 2-9: Vector de cargas uniformes en la dirección Y, por las cargas de usuario, caso de carga Push-CL-U-Y. Si bien el modelo no logrará desplazarse los 60 centímetros necesarios utilizando el vector de cargas uniformes (10 toneladas en casa piso), si se realizara un análisis lineal, la distribución de las cargas sirve sólo como un patrón, ya que el Sap2000 irá incrementando las cargas hasta conseguir el desplazamiento esperado en el nodo de control.
34 2.3.1. Caso de Carga No Lineal Gravitacional
El siguiente paso previo a realizar los casos de análisis no lineales para cargas laterales es realizar un caso de carga no lineal para las cargas gravitacionales. Ya que no se considera por requerimientos del ASCE/SEI 7-10 un porcentaje de cargas vivas, en este caso sólo se considerarán las cargas por peso y cargas muertas. En la Figura 2-18 se presentan los parámetros para el caso de cargas gravitacionales no lineal.
Figura 2-18: Caso de carga no lineal para cargas gravitacionales. 2.3.2. Casos de Carga No Lineales Laterales - Pushover
Tomando como caso previo las deformaciones del caso de cargas gravitacionales no lineal, se definirán los casos para el análisis estático no lineal en cada dirección.
2.3.2.1. Caso de Carga No Lineal para el Vector de Carga para la Distribución por Código
En las Figuras 2-19 a la 2-22 se pueden observar los casos de carga no lineal para la Distribución por Código. Se están considerando los patrones de carga “Cargas de Usuario” y “Coeficientes de Usuario” sólo con la finalidad de compararlos, ya que por concepto deben de arrojar similares resultados. Entonces no es necesario considerar los cuatro patrones necesariamente.
35
Figura 2-19: Caso de carga no lineal para la distribución por código en la dirección X, usando los coeficientes de usuario.
Figura 2-20: Caso de carga no lineal para la distribución por código en la dirección Y, usando los coeficientes de usuario.
36
Figura 2-21: Caso de carga no lineal para la distribución por código en la dirección X, usando las cargas de usuario.
Figura 2-22: Caso de carga no lineal para la distribución por código en la dirección Y, usando las cargas de usuario. 2.3.2.2. Caso de Carga No Lineal para el Vector de Carga para el Primer Modo
De la sección 2.2.2.2 se tienen los vectores de fuerzas en el primer y segundo modo, que corresponden a las fuerzas a aplicar en las direcciones X e Y respectivamente. En las Figuras 2-23 y 2-24 se puede observar los casos de carga no lineales usando los vectores de carga.
37
Figura 2-23: Caso de carga no lineal para el primer modo en la dirección X, usando las cargas de usuario.
Figura 2-24: Caso de carga no lineal para el primer modo en la dirección Y, usando las cargas de usuario. Otra manera de considerar el primer modo sin necesidad de usar un vector de cargas de usuario es eligiendo como tipo de carga los modos de vibración. En las Figuras 2-25 y 2-26 se presentan los casos de carga eligiendo directamente el primer modo y el segundo modo para las direcciones X y Y respectivamente.
38
Figura 2-25: Caso de carga no lineal para el primer modo en la dirección X, usando como tipo de carga el modo.
Figura 2-26: Caso de carga no lineal para el primer modo en la dirección Y, usando como tipo de carga el modo. 2.3.2.3. Caso de Carga No Lineal para el Vector de Carga Uniforme
En las Figuras 2-27 y 2-28 se pueden observar los casos de carga no lineales considerando los vectores de carga uniforme.
39
Figura 2-27: Caso de carga no lineal para el vector de carga uniforme en la dirección X, usando las cargas de usuario.
Figura 2-28: Caso de carga no lineal para el vector de carga uniforme en la dirección X, usando las cargas de usuario. 2.3.3. Control de la Carga Aplicada (Traducción del Manual de Referencia del Programa)
A continuación se detallarán los parámetros a tomar en cuenta para un análisis no lineal en el Sap2000. Se debe elegir entre un análisis estático no lineal de carga-controlada o de desplazamiento-controlado. Para ambas opciones, el patrón de cargas actuantes sobre la estructura es determinado por la combinación de cargas especificadas. Sólo la escala es diferente.
40
Normalmente se podría elegir el control de la carga. Es la situación física más común. El control del desplazamiento es una característica avanzada para propósitos especiales.
Para especificar el tipo de control de la carga aplicada, en la sección “Other Parameters” de los casos de análisis no lineales, hacemos click en el botón en “Load Aplication” y tendremos acceso al formulario para modificar los parámetros (ver Figura 2-29).
Figura 2-29: Formulario para especificar el control de la carga aplicada. 2.3.3.1. Control de Carga
Se selecciona el control de carga cuando se conoce la magnitud de la carga que será aplicada y se espere que la estructura pueda soportar aquella carga. Un ejemplo podría ser cuando se aplican cargas de gravedad, ya que son gobernadas por la naturaleza.
Bajo el control de carga, todas las cargas son aplicadas incrementalmente desde cero hasta la magnitud total especificada.
Se selecciona en el formulario de la Figura 2-29, y se desactiva automáticamente la opción de controlar el desplazamiento.
2.3.3.2. Control de Desplazamiento
Se selecciona el control de desplazamiento cuando se conoce cuán lejos se quiere que la estructura se mueva, pero no se conoce cuanta carga es requerida. Es más útil para estructuras que serán inestables y pueden perder capacidad de trasportar carga durante el curso del análisis. Aplicaciones típicas incluyen el análisis pushover estático y análisis de pandeo snap-throught.
41
Para usar el control de desplazamiento, se debe de seleccionar un componente de desplazamiento a monitorear. Puede ser un simple grado de libertad en una unión, o un desplazamiento generalizado que se haya definido previamente.
También se debe dar la magnitud del desplazamiento que el objetivo principal para el análisis. El programa intentará aplicar la carga hasta alcanzar aquel desplazamiento. La magnitud de la carga debe ser incrementada y disminuida durante el análisis.
Se debe estar seguro de elegir un componente de desplazamiento que aumente monotónicamente durante la carga. Si esto no es posible, se necesitará dividir el análisis en dos o más casos secuenciales, cambiando el desplazamiento monitoreado en los diferentes casos. El uso del control de desplazamiento conjugado, descrito más adelante, debe resolver automáticamente este problema.
Nota Importante: ¡Usar el control de desplazamiento no es la misma cosa como aplicar una carga
de desplazamiento sobre la estructura! El control de desplazamiento es simplemente usado para MEDIR el desplazamiento en un punto que resulte de las cargas aplicadas, y para ajustar la magnitud de las carga en un intento para alcanzar un cierto valor de desplazamiento medido. La forma desplazada total será diferente para distintos patrones de carga, incluso si el mismo desplazamiento es controlado.
Se selecciona en el formulario de la Figura 2-29, para activar las opciones de este parámetro, como el tipo de desplazamiento y la magnitud del desplazamiento a monitorear.
2.3.3.3. Control del Desplazamiento Conjugado
Si el programa tiene problemas en converger, se puede elegir la opción para el programa para usar el desplazamiento conjugado para el control. El desplazamiento conjugado es un promedio pesado de todos los desplazamientos en la estructura, cada grado de libertad desplazado siendo pesado por la carga actuante sobre el grado de libertad. En otras palabras, es la medida del trabajo realizado por la caga aplicada.
Cuando son detectados cambios significativos en el patrón de deformación de la estructura, tales como cuando una rótula fluye o se descarga, el control del desplazamiento conjugado lo ajustará automáticamente para encontrar un aumento monotónico del componente desplazado para controlar. Esto sólo se aplica al modelo con elementos aporticados con rótulas o grandes desplazamientos.
Si se elige usar el control del desplazamiento conjugado, esto será usado para determinar si la carga deberá ser aumentada o disminuida. El desplazamiento monitoreado especificado será aún usado para establecer el objetivo principal de desplazamiento, esto es, cuán lejos la estructura debería moverse. Sin embargo, este objetivo principal no será exactamente igualado.
42
Las condiciones iniciales describen el estado de la estructura al inicio de un Caso de Carga. Estos incluyen:
Desplazamientos y velocidades. Fuerzas y esfuerzos internos.
Estados internos variables para los elementos no lineales. Valores de energía para la estructura.
Cargas externas.
Para un análisis estático, las velocidades son siempre tomadas como cero.
Para análisis no lineales, se deben de especificar las condiciones iniciales en el inicio del análisis. Se tienen dos elecciones:
Condiciones iniciales cero: la estructura tiene desplazamiento y velocidad cero, todos los elementos no están esforzados, y no hay una historia de deformaciones no lineales.
Continuando de un análisis no lineal previo: los desplazamientos, velocidades, esfuerzos, cargas, energías, e historias de estados no lineales desde el final de un análisis previo son llevados adelante.
Los casos estático no lineal y no lineal integración-directa tiempo-historia pueden ser encadenados juntos en una combinación, esto es, ambos tipos de análisis son compatibles uno con el otro. Se recomienda fuertemente que se seleccione los mismos parámetros de no linealidad geométrica para el paso actual como el caso previo.
Cuando se continúa desde un paso previo, todas las cargas especificadas aplicadas para el presenta Caso de Carga son incrementales, esto es, ellas son agregadas a las cargas ya actuantes al final del caso previo. Los casos estáticos no lineales no pueden ser encadenados junto con casos modales no lineales tiempo-historia.
2.3.5. Pasos de Salida
Normalmente sólo el estado final es salvado para un análisis estático no lineal. Este es el resultado luego que la carga total ha sido aplicada.
Se puede elegir salvar resultados intermedios para ver cómo la estructura responde durante la carga. Esto es particularmente importante para el análisis estático pushover, donde se necesita desarrollar la curva de capacidad. Desde la sección “Other Parameters”, haciendo click en el botón , podemos indicarle al programa si sólo queremos salvar el estado final o salvar múltiples pasos, en la Figura 2-30 se presenta el formulario respectivo.
43
Figura 2-30: Formulario para especificar el control de la carga aplicada. Si el interés es sólo salvar el resultado final, se puede omitir el resto de este tópico.
2.3.5.1. Salvando Múltiples Pasos
Si se elige salvar múltiples estados, el estado en el inicio del análisis (paso 0) será salvado, así como un número de pasos intermedios. Desde un punto de vista terminológico, salvar cinco pasos significa la misma cosa que salvar seis estados (paso 0 al 5): el paso es el incremento y el estado es el resultado.
El número de pasos salvados es determinado por los parámetros siguientes: Mínimo Número de Pasos Salvados.
Máximo Número de Pasos Salvado.
Opción de salvar sólo incrementos positivos. Estos son descritos a continuación.
Mínimos y Máximos Pasos Salvados
El Mínimo Número de Pasos Salvados y el Máximo Número de Pasos Salvados proporcionan el control sobre el número de puntos actualmente salvados en el análisis. Si el mínimo número de pasos salvados es demasiado pequeño, se puede no tener suficientes puntos para representar adecuadamente una curva pushover. Si el mínimo y máximo número de pasos salvados es demasiado grande, entonces el análisis puede consumir una considerable cantidad de espacio en disco, y ello podía tomar una excesiva cantidad de tiempo para mostrar los resultados.
El programa determinará automáticamente el espaciamiento de pasos a ser salvados como sigue. La máximo longitud el paso es igual a la fuerza total objetivo o al objetivo principal de desplazamiento total dividido por el Mínimo Número de Pasos Salvados especificado. El programa inicia salvando los pasos en este incremento. Si un evento significante ocurre en una longitud de paso menor que este incremento, entonces el programa salvará aquel paso también y continuará
44
con el máximo incremento desde ahí. Por ejemplo, suponer que el Mínimo Número de Pasos Salvados y el Máximo Número de Pasos Salvados se establecen en 20 y 30 respectivamente, y el objetivo principal está para ser un desplazamiento de 10 pulgadas. El máximo incremento de pasos salvados será 10/20 = 0.5 pulgadas. Así, los datos son salvados en 0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5 pulgadas. Suponer que un evento significativo ocurre en 2.7 pulgadas. Entonces el dato es salvado también en 2.7 pulgadas, y continua a partir de aquí salvando en 3.2, 3.7, 4.2, 4.7, 5.2, 5.7, 6.2, 6.7, 7.2, 7.7, 8.2, 8.7, 9.2, 9.7 y 10.00 pulgadas.
El Máximo Número de Pasos Salvados controla el número de eventos significativos para los cuales los datos serán salvados. El programa siempre alcanzará el objetivo de fuerza o desplazamiento dentro del máximo número de pasos salvados especificados, sin embargo, al hacerlo podría tener que omitir salvar pasos en eventos posteriores. Por ejemplo, suponer que el Mínimo Número de Pasos Salvados es 20, el Máximo Número de Pasos Salvados es 21, y el pushover es realizado para un desplazamiento de 10 pulgadas. El máximo incremento de pasos salvados es 10/20 = 0.5 pulgadas, Así, los datos son salvados en 0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5 pulgadas. Suponiendo que un evento significativo ocurre en 2.7 pulgadas. Entonces el dato es también salvado en 2.7 pulgadas, y continúa desde aquí siendo salvados en 3.2 y 3.7 pulgadas. Suponer que otro evento significativo ocurre en 3.9 pulgadas. El programa no salvará el dato en 3.9 pulgadas ya que si lo hiciera no será capaz de limitar el máximo aumento a 0.5 pulgadas y aún así obtener el pushover total en no más de 21 pasos. Notar que si un segundo evento significativo ocurre en 4.1 pulgadas en lugar de 3.9 pulgadas, entonces el programa podría ser capaz de salvar el paso y aún cumplir el criterio especificado para el máximo incremento y el máximo número de pasos.
Opción de salvar sólo incrementos positivos.
Esta opción primariamente de interés para el análisis pushover bajo control de desplazamiento. En el caso de no linealidad extrema, particularmente cuando un pórtico articulado pierde carga, la curva pushover puede mostrar incrementos negativos en el desplazamiento monitoreado mientras la estructura está intentando redistribuir la fuerza desde un componente averiado.
Se debe elegir si se quiere o no salvar sólo los pasos teniendo incremento positivo. Los incrementos negativos a menudo hacen que la curva pushover se vea confusa. Sin embargo, puede proporcionar una visión en el desarrollo del análisis y la estructura.
Se debe querer elegir Salvar Sólo Incrementos Positivos en muchos casos excepto cuando el análisis es teniendo problemas en converger.
