Problema Propuesto Tensiones en Vigas

Tensiones en Vigas

29.- Una viga de Ciprés tiene una sección de 10 cm x 20 cm y flecha según

un eje paralelo a la cara de 10 cm. Si la tensión máxima producida es de 500 kg/cm2_{. Determinar el momento flector máximo. Sol. 3.333 kg-m}

10 cm 20 cm

σ =

M .Y

I

500 kg/cm

2

=

M (10 cm)

I

=

¿

50 kg /cm

3

.6666,66 cm

4

=

M =333.333 Kg/cm

20 cm

¿

¿

¿

3

(10 cm)

¿

I=

b .h

3

12

=

¿

M=3.33 Kg/cm

30.- Una viga en voladizo de 2.70 m de longitud soporta una carga aislada de

4000 kg en su extremo libre. El material es acero de estructuras y la tensión máxima por flexión no debe exceder los 1250 kg /cm2_{. Determina el diámetro}

necesario si la barra ha de ser circular. Sol. 20.7 cm

A 10cm= y 20cm 10cm D/2 D/2 D E.N 2.7m

M=F.d M=400Kg x 2.70=10800kg-m

σ =

M .Y

I

12500 kg/cm

2

=

(10800 kg−m)(D/2)

π D

4

64

=

¿

1250 kg/cm . π . D

4

=

5400 kg−m(D)(64)

D=20.7

31.- Una viga de roble de 4 cm de longitud esta simplemente apoyada en los

extremos y cargada en el centro con una fuerza aislada de 700 kg. El límite de proporcionalidad de la madera es de 550 kg/cm2 _{y es suficiente un coeficiente}

de seguridad de 4. Determinar la sección de la viga si (a) ha de ser cuadrada y (b) si la altura debe ser 1

1

₂

veces la anchura. Sol. (a) 14.5 cm, (b) 11.1 cm x 16.6 cm Mmax : X=[0,4] [0,4] B A 2m 4m

700

x-2

350

x

x

M= 350x -700(x-2) M= F.d M=350x-700x+1400 M=350x M= 1400-350x

MAX=

¿

1400 kg−m=M

M

¿

550

4

=137,5

a

¿

σ =137,5 kg/cm

2

a

¿

3

¿

a

¿

I=

b h

3

12

=

¿

I=

a

4

12

σ =

MY

I

137,5

kg

cm

2

=

(1400 kg−m)

(

a

2

)

a

4

12

a=18.28 cm

b

¿

1

1

2

=

3

2

350

3 a

2

¿

3

¿

a

¿

I=

¿

σ =

MY

I

137,5

kg

cm

2

=

(1400 kg−m)

(

3

4

a

)

27 a

4

96

a=11.1cm∗16,6 cm

32.- Una viga de pino simplemente apoyada tiene 3 m de longitud y soporta

una carga uniformemente repartida de 40 kg por metro lineal. La tensión máxima por flexión no debe exceder de 105 kg/cm2_{. Si la altura de la viga}

debe ser 1

1

₄

veces la anchura, determinar la sección necesaria. Sol.5.48 cm x 6.85 cm

3

0 ≤ x <3

(

−60 x

(

x

2

)

(

40 x)+4

M=

60 x−20 X

2

60 (1)−20 (1)

2

=40

60 (2)−20 (2)

2

=

40

60 (3)−20 (3)

2

=

0

I =b(h) 3 12 105= 4500(5 8a) 125 a4 768

∑

Fy= A−120+B

A+B=120 MA= (1.5)

(120)+(3) (B )

B=

(

1.5 )−(120)

3

=

B=60

A+B=120 Mmax 120k g 60kg 1.5 x D/2 D/2 5/8 a

5

4

a

D E.N

I=

b(

5

4

a)

3

12

a=

√

4500.5.768

125.105 .8

I=

125 a

4

768

a=5.48

b=

5

4

a

b=

5

4

(5.48 )=b=6.85

33. Se emplea un perfil H 160 para las características, véase tabla al final del

capítulo como viga en voladizo. Tiene te de seguridad de 4. Determinar la sección de la viga si(a) ha de ser cuadrada y (b) si la altura debe ser veces la anchura. Sol. (a) 14.5 cm (b) 11.1 cm x 16.6 cm

34.- Una viga de acero de 1.5 m de longitud esta simplemente apoyada en

cada extremo y soporta una carga aislada de 10000 kg a 60 cm de uno de los apoyos. Determinar las tensiones máximas que se producen por flexión en la viga si es de sección rectangular de 10 cm de anchura y 15 cm de altura. Sol. 960 km/cm2 de altura

∑ F (Y )=0

Ay +By−10000=0

Ay =6000

∑ M ( A )=0

−10000 (60)+By (150)=0

2º _corte 1º _corte 10000 kg 150 cm 60cm Ay By

By=4000

1

º

_corte:

0 ≤ X ≤ 60

∑ M ( PC )=0

−6000 x +M=0

M=6000 x

2

º

_corte:

2≤ X ≤

4

∑ M ( PC )=0

J

−6000 x +10000 ( x−60)+ M=0

M=−4000 x+600000

Mmax

= 360000 kg.cm

PC M 6000 kg X 10000 kg _V PC M 6000 kg 60 cm X 10 cm 15 cm

I=

b∗h

3

12

=

10∗15

3

12

=

2812.4 cm4

σ =

M . y

I

σ =

360000 kg . cm∗7.5 cm

2812.4 cm

4

= 960 kg/cm

2

35.- Determinar las tensiones por flexión máximas para una barra cargada

como en el problema anterior si la viga es un perfil H 180.

 Sabemos del problema anterior que el momento máximo es : 360000 kg.cm

 Por tabla sabemos que el módulo de un perfil H180 es 426 cm3

σ =

M

W

σ =

360000 kg . cm

426 cm

3

σ =845 kg /cm

2

36.- Se ha arqueado una barra de acero de 1 mm de grueso para formar un

arco de círculo de 70 cm de radio. Determinar las tensiones por flexiones máximas. Tomar E= 2.1x 106 _kg/cm2 _{Sol. 1500 kg/cm}2

E=2.1 x 10

6

kg/cm

2

t=

y

p

1mmx 0.1=0.1cm

t=

(

1

2

)

(

0.1)cm

70 cm

=7.143 x 10

−4

σ =ET=2.1 x 10

6

_{kg /c m}

2

_{x 7.143 x 10}

−4

1500.07 kg /cm

2

37.-

El momento flector máximo que existe en una viga de acero es de 550000 kg-cm. Elegir el perfil de ala ancha más económico que resiste este momento si la tensión de trabajo y la compresión es de 1400 kg/cm2_{. Sol. H}

180

M

_max

=550000 kgcm

W=

M

σ

=

550000 kgcm

1400

kg

cm

2

W=392,86 cm

3 : H180

38.- En la viga representada en la fig. Esta simplemente apoyada en sus

extremos y soporta las dos cargas colocadas simétricamente, de 6000 kg cada

una. Si la tensión de trabajo, tanto en tracción como en compresión es de 1250 kg/cm2_{. Elegir el perfil de ala ancha más económico para soportar esas cargas.}

Sol. H160 6000 Kg 6000 Kg 0.6 m 0.9 m 0.6 m

∑

M ( A )=0

-6000(0,6)-6000(1,5) +By (2,1) = 0 By = 6000

∑

Fy=0

Ay-12000+6000 = 0 Ay = 6000

0 ≤ x ≤ 0,6

−6000 x +M=0

M=6000 x

M 6000 x 6000 6000 M 0.6 6000 M 6000 x x 0.9 6000 0.6 X 0 0,6 M 0 3600

1,5 ≤ x ≤2,1

-6000+6000(x-0,6)+M=0 -6000x+6000(x-0,6)+6000(x+1,5)+M=0 M= 3600 M= -6000x+12600

M

_max

=3600 kgm

M

_max

=360000 kgcm

W=

M

σ

=

360000 kgcm

1250

kg

cm

2

W=288 cm

3 RESULTADO: H160

39.- Considerar la viga simplemente apoyada con las cargas aisladas y

uniformes de la fig. Elegir un perfil de ala ancha apropiado para resistir esas cargas basándose en la tensión de trabajo en tracción y en compresión de 1400 kg/cm2_{. Sol. H200.} 9000 Kg 1500 Kg/m X 1,5 2,1 M 3600 0

0.9 m 2.1 m

∑

Fy=0

FA+FB−900−3150=0

FA+FB=12150 … … …(I )

∑

MA=0

-9000(0.9)-3150(1,15) +FB (3) =0 Reemplazando en I -8100-5142,5+FB (3) =0 FA+4747.5=12150 FB=4747.5 FA= 74025 1,5 ≤ x ≤2,1 B A 1,05m 1,05m 0,9m FB FA 3150 9000k gv M x 1402. 5

∑

MN =0

M = 7402.5x = 0 M = 7402.5x

∑

MA=0

1500kg m 9000k g x-0.9 0.9m x 7402. N M 1500(x-0,9) 9000k g N x _M

x−0,9

2

0,9m 7402. 5 (x-0,9)

M−7402.5 x+9000 x ( x−0.9)+1500 ( x−0.9)

(

x−0.9

2

)

=0

x−0.9

¿

2

=0

M −7402.5 x+9000 x−3100+750

¿

M+15975 x−8100+750 x

2

_{−1550 x +6075=0}

M+750 x

2

+2475 x−7492.5=0

M=−750 x

2

−247.5 x−7492.5

X = 0,9

M

_max

=6662,25 kgm

M

_max

=666225 kgcm

σ =1400

kg

cm

2

W=

M

σ

=

666225 kgcm

1900

kg

cm

2

W=475.87 cm

4 Rpta: H 200

40.- Las dos cargas repartidas están soportadas por la viga simplemente

apoyada como se muestra en la fig. Se trata de un perfil H160. Determinar la magnitud y situación de la tensión por flexión máxima en la viga. Sol. 613 kg/cm2_{, a 1.83 m del soporte derecho.}

2 m 2 m 2 m 600 Kg/m 1200 Kg/m

∑

Fy=0

∑

MA=0

A – 1200-2400+B=0 -(1) (1200)-5(2400) +6B=0 A+B= 3600 B=2200 A+2200=3600 A= 1400 0 ≤ x ≤2 M 600x 1400 x

-1400X+(X/2) (600X) +M=0 -1400X+300

x

2 +M=0 -300

x

2 ++1400X=M

0 ≤ x <4

-1400X + (X-1) 1200 + M= 0 -1400X + 1200X -1200 + M=0 -200X – 1200 + M =0 200X + 1200 = M 0 ≤ x <6 x/2 1200kg/ m 1400 1m 2m (x-2) M x 1m 2m 1200kg/ m M 1400 x (x-1) / 2 2m (x-4) 200(X-4)

−1400 x +( x−1) (1200 )+

(

x−4)

2

∗1200 ( x−4)+M=0

−1400 x +1200 x−1200+600 x

2

_{−2400−4800+M=0}

−200 x−8400+6200 x

2

+

M=0

−600 x

2

+

200 x+8400=M

M=2016.66 kg . m

41.- Una viga con extremo en voladizo representada en la fig. Es de sección

circular con 15 cm de diámetro. Determinar (a) la tensión por flexión máxima en la barra y su situación, (b) el valor de esta tensión en las fibras de la barra en la sección central entre los soportes. Sol. (a) 1230 kg/cm2 _{bajo la carga}

aislada; (b) 870 kg/cm2

1 m 4500 Kg 300 Kg/m

5 m 2 m

−4500 (1)−2100 (3.5)+By (5)=0

By=2370

∑

Fy=0

Ay −4500−2100+2370=0

Ay =4230

−4230 x+300 x

(

x

2

)

+

M=0

M=−150 x

2

_{+4230 x}

x 4230 300x M x/2 4500 x 4230 300x M x/2 1m X 0 1 M 0 4080 X 2 5 M 4080 -600

−4230 x+4500 (x −1)+300 x

(

x

2

)

+

M=0

−4230 x+4500 x −4500+150 x

2

+

M=0

M=−150 x

2

−270+4500

−4230 x+ 4500 x +4500+150 x

2

−

2370( x−5 )+ M =0

270 x−4500+150 x

2

−2370 x+11850+M=0

M=−150 x

2

+2100 x−7350

Resultado 1.230 Kg/ cm2

42.- Elegir el perfil de ala ancha más económico para soportar la carga

descrita en el problema anterior. Utilizar una tensión de trabajo en tracción y en compresión de 1250 kg/cm2_{. Sol. H160.}

W=

M

σ

W=

408000 kg . cm

1250 kg /cm

2

=326 cm

3

X 5 7 M -600 0

Rpta: Perfil H160

43.- Con referencia a la fig. una viga T con la sección representada vuela

metro y medio en voladizo desde un muro, y soporta una carga uniformemente repartida de 600 kg/m incluyendo su peso propio. Determinar las tensiones de compresión y de tracción máximas. Sol. -1417 kg/cm2_{, +607 kg/cm}2_.

2 cm 2 cm 8 cm 5 cm 5 cm

∑ M ( A )=0

−900( 0.75)−M=0

It=333.3 cm

4

Y=7cm

σc=

−67500 kg .cm∗7 cm

333.3 cm

4

=−1417.6 kg /cm

2

σt=

+

67500 kg . cm∗3 cm

333.3 cm

4

=607 kg /cm

2

M=675 kg . m

44.- La viga de acero simplemente apoyada está cargada con la carga

uniformemente repartida y el par representado en la fig. tiene la sección U representada. Determinar las tensiones máximas de tracción y de compresión que se originan. Sol. 353 kg/cm2 _{tracción, 645 kg/cm}2 _compresión

1000 Kg/m 18 cm 1000 kg-m

16 cm 3.6 m 0.5 m 0.9 m

3 cm Hallamos las reacciones:

∑ M=−3600 (1.8 )−1000+By (5)=0

By=1496

Procedemos a hallar el momento flector maximo:

El momento maximo lo encontramos en el corte “0≤x≤3.6”

M=-500x

2

_+2104x

Al hallar su vertice nos da en “x” 2.104m ,

reemplazando en la ecuacion nos da como MOMENTOmax 2213.4 kg.m

Formulas:

θtension=

M∗C

I

θcompresion=

−

M∗C

I

∑ Fy=Ay +By=3600

Ay=2104 Momento de I: “I” 11285.3 cm4 0.000112853m4

θtension=

2213.4∗C

I

θcompresion=

−2213.4 .∗C

I

θtension=

2213.4∗0.032

0.000112853

θcompresion=

−2213.4 .∗0.068

0.000112853

θtension=627620.0012 kg . m θcompresion=−1333692.503kg.m

45.- Dos angulares de 120 x 120 x 12 están soldados entre sí, como puede

verse en la fig. y se utilizan como viga para soportar cargas en un plano vertical de modo q se produzca un flexión respecto a un eje neutro horizontal. Determinar el momento flector máximo q puede existir en la viga si la tensión por flexión no puede exceder 1400 kg/cm2 _{ni en tracción ni en compresión. Sol.}

1220 kg-m

120 cm

12 cm 120 cm

θ=

My

I

Reemplazamos lo que tenemos:

1400=

M∗3.7

I

1400=

M∗3.7

18587.6

M=7033145.946kg.cm

46.- La viga en Forma de U con un extremo en voladizo está cargada como se

ve en la fig. El material es fundición gris con una tensión de trabajo admisible de 350 kg/cm2 _{en tracción y 1400 kg/cm}2 _{en compresión. Determinar el}

máximo valor admisible de P. Sol. 455 kg.

2P P 16 cm 10 cm 2 m 2 m 1 m 2 cm

∑ F (Y )=0

Necesitamos hallar el eje neutro:

A y Ay

Fig. 1 25.92 cm2 _{5.4 cm 139.968}

cm3

Fig. 2 14.4 cm2 _{0.6 cm 8.64 cm}3

Eje neutro= (∑Ay/∑A) Eje neutro= 3.7cm I=18587.6cm4 3º _corte 2º _corte 1º _corte P 2P

Ay −2 P−P+9 P/4=0

Ay =3 P /4

∑ M ( A )=0

−2 P

(

2

)

−P(5)+By (4)=0

By=9 P /4

1

º

_corte:

0 ≤ X ≤ 2

∑ M ( PC )=0

−3 P/ 4(x )+ M=0

M =3 P/4 (x)

2

º

_corte:

2≤ X ≤ 4

∑ M ( PC )=0

J

−3 P

4

(

x )+2 P ( x−2)+M=0

M=

−5 P

4

x +4 P

3

º

_corte:

2m 2m By 1m Ay PC M 3P/4 X 2P M PC 3P/4 2 m X

4 ≤ X ≤ 5

∑ M ( PC )=0

J

−3 P

4

(

x )+2 P ( x−2)−9 P /4 (X−4)+M=0

M=Px−5 P

It=628.48 cm

4

_{, Y=3.2 cm}

σt=

M . y

I

350=

150 Pkg. cm∗3.2cm

628.48 cm

4

=

P=458.26 kg

47.- Una viga de madera de 8x12 cm de sección está sometida a un esfuerzo

cortante transversal máximo de 1000 kg. Determinar la tensión cortante en los puntos separados 2 cm en la altura de la viga. Sol. 0, 8.7 kg/cm2_{, 13.9 kg/cm}2_,

15.6 kg/cm2_{, 13.9 kg/cm}2_{, 8.7 kg/cm}2_{, 0}

a.-

2P M PC 9P/4 2 m 2 m 3P/4 X 12 m 8 m

Momento estático: b(hseccion)(y)=8*0*6=0cm3

τ =

T

Ib

∗

∫

y v

y da

τ =

1000 kg

1152∗8

∗0=0 kg/cm

2 b.- Momento estatico:8*2*5=80 cm3

τ =

1000 kg

1152cm

4

∗8 cm

∗80 cm

3

=

8.7 kg/cm

2 c.- Momento estatico:8*4*4=128 cm3

τ =

1000 kg

1152cm

4

∗8 cm

∗128 cm

3

_{=13.9 kg /cm}

2 d.-2cm 12 cm 8cm 4cm 8cm 12 cm 6cm 12 cm 8cm

τ =

3∗1000 kg

2∗8 cm∗12 cm

=15.6 kg /cm

2 e.-Momento estatico:8*8*2=128 cm3

τ =

1000 kg

1152cm

4

∗8 cm

∗128 cm

3

=13.9 kg /cm

2 f.-Momento estatico:8*10*1=80 cm3

τ =

1000 kg

1152cm

4

∗8 cm

∗80 cm

3

=

8.7 kg/cm

2

g.-τ =

1000 kg

1152∗8

∗0=0 kg/cm

2 12 cm 8cm 8cm 10cm 8cm 12 cm 12 cm 8cm

48.-La viga simplemente apoyada de 3 m de longitud y sección 10 cm por 20

cm soporta una carga uniforme de 300 kg/m, como puede verse en la figura adjunta. Despreciando el peso propio, hallar (a) la tensión normal máxima normal en la viga; (b) la tensión cortante máxima; (c) la tensión cortante en el punto a 60 cm de la derecha de R1 y 2.5 cm por debajo de la cara superior de

la viga. Sol. (a) 50.6 kg/cm2_{; (b) 3.4 kg/cm}2_{; (c) 0.89 kg/cm}2_.

10 cm 300 Kg/m 20 cm R1 3 m R2

∑ F (Y )=0

Ay −900+450=0

Ay =450

∑ M ( A )=0

−900(1.5 )+By (3)=0

By=450 1º _{corte 300kg/m} 3m By Ay

1

º

_corte:

0 ≤ X ≤ 3

∑ M ( PC )=0

J

−450 x+300 x (x /2)+ M=0

M=−150 x

2

_{+450 x}

Mmax= 33750 kg.m

a.-

I=

b∗h

3

12

=

10∗20

3

12

=6666.6 cm

4

σ =

33750 kg . cm∗10 cm

6666.6 cm

4

=50.6 kg/cm

2

b.- ∑ F ( y )=0

450−300 x−V =0

V =−300 X +450 Vmax=450 kg

τ medio=

450 kg

200 cm

2

=2.25 kg /cm

2

τ max=

3

2

(

2.25 kg

cm

2

)=3.4 kg /cm

2

c.-

Momento estático: 10*2.5*8.75 = 218.75 cm3 30X V M PC X/2 450kg X

τ =

270 kg

6666.6 cm

4

∗10 cm

∗218.75 cm

3

_{=0.89 kg /cm}

2

49.-Determinar (a) la tensión por flexión máxima y (b) la tensión cortante

máxima en la viga representada en la figura. La viga esta simplemente apoyada y tiene sección rectangular.

5 cm 1000 kg-m 4000 lb/ft 15 cm 1.5 m 2 m 2 m Conversión:

4000

lb

ft

∗(

0.3048) ft

m

∗1

kg

0.4535924 lb

2687.876 kg /m Hallar Reacciones ∑ Fy=0 Ay + By=26.88 ∑ MB=0 -4Ay+ 26.88(2) + 1000=0 Ay= 263.44 kg By=-236.56 kg •CORTE 1. Σ Fy=0

V=0 ∑ M=0 M=1000 •CORTE 2. Σ Fy=0 -v+3226.59=0 V=3226.59 ∑ M=0

−1000+3226.59 (x−1.5)+M =0

M=3226.59 x−3839.885

•CORTE 2. Σ Fy=0 3226.59-V-3953.18(X-3.5) =0 V=-5953.18+21979.107=V ∑ M=0

−1000−3226.59 x+4839.885+2976.59

(

x

2

_{−7 x+12.25}

₎

+

M=0

M=−2976.59 x

2

+

24062.72−40303.1125

M máx.=262500 kg • cm Entonces: σ =262500

(

7.5

)

1406.25

σ =1400 kg/c m

2

50.-Una viga rectangular de cedro Colorado que tiene una sección de 15x20

cm esta simplemente apoyada en los extremos y tiene una luz de 2.4 m. Si la tensión por flexión admisible es de 165 kg/cm2 _{y la tension cortante de 6.5}

kg/cm2_{, determinar la intensidad de la carga uniforme q puede aplicarse sobre}

toda la viga. Sol. 1083 kg/m

carga uniforme que puede aplicarse sobre toda la viga.

Ay −240 P+120 P=0

Ay =120 P

∑ M ( A )=0

−240 P (120)+By (240)=0

By=120 P

1

º

_corte:

0 ≤ X ≤ 240

∑ F (Y )=0

J 120 P−Px−V =0 240P kg 240c m Ay By 120c m PX V M PC

V =−Px+120 P

∑ M ( PC )=0

−120 Px+Px (x /2)+M=0

τ max=

3 T

2 bh

M=

−

P

(

x

2

)

2

+120 Px

6.5 kg /cm

2

=

3(120 P)

2 (15)(20)

P=1083 kg /m

51.-Una viga tiene una sección en U representada en la fig. Si el esfuerzo

cortante máximo en la viga es de 3000 kg, determinar la tensión cortante máxima que se produce. Sol. 138 kg.

2 cm 2 cm 2 cm 6 cm 8 cm X/2 120P kg X

It=272 cm

4

Y = 5 cm

Momento estático: 2(2*13*1.5)+8*2*2 = 50 cm3

τ =

3000 kg

272 cm

4

_{∗4 cm}

∗50 cm

3

=137.86 kg/cm

2