Proyecto para optar al título profesional de educación básica mención matematicas y ciencias naturales

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(1)Facultad de Educación Pedagogía Educación Básica. PROYECTO PARA OPTAR AL TÍTULO PROFESIONAL PROFESOR DE EDUCACIÓN GENERAL BÁSICA MENCIÓN MATEMÁTICAS Y CIENCIAS NATURALES. Por Sebastián Eduardo Amigo Duarte. Profesores Didactas Macarena Valenzuela Molina Erich Martens Albizú. Santiago de Chile 2016.

(2) Aprender, aprender más… Aprender siempre.. AGRADECIMIENTOS Quiero comenzar concediendo autoría y responsabilidad por este trabajo a todos con quienes compartí durante los último cinco años, y cómo no, agradecerles también a aquellos que desde mucho antes, me insistieron en seguir mi vocación dándome las fuerzas necesarias para tomar la decisión de estudiar pedagogía. Este documento es tan suyo como mío. La construcción de conocimiento es un proceso social y no una iluminación individual, y por lo tanto es mi deber situarlos como coautores de este trabajo. En particular quiero agradecer a mi madre, por ser el Pilar fundamental que levanta a toda mi familia, por ser una madre abnegada y una trabajadora sin descanso. De ella aprendí que nunca se deja de luchar. A mis hermanos, de quienes siempre puedo conseguir los mejores consejos y la más leal amistad, desde ellos y para ellos el más sincero respeto y admiración. A mi viejo, que aunque estando lejos, ha sabido estar presente y siempre me ha brindado de las mejores y más desafiantes conversas. A tantos buenísimos profesores que nos han acompañado desde que comenzamos esta hermosa carrera: a Tito, Neira, Rosita, Géneby y Alejandra, y cómo no decirlo, a los principales coautores de este trabajo y los más grandes didactas, Maca y Erich. Para todos ustedes, les dejo mi granito de arena, de todos ustedes, me llevo una costa llena de aprendizajes. ¿Cómo no? A la Anita, profesora jefe del segundo básico C del Colegio San Ignacio, donde realicé mi práctica profesional. De ella me llevo el ejemplo vivo del tipo de profesor que quiero ser.. -1-.

(3) A cada uno de los pequeños sujetos, que desde hace tantos años me acompañan, con quienes he aprendido a ser más revolucionario y mejor profesor, quienes me convencen cada día de que elegí el camino correcto. Espero ser lo suficientemente bueno para retribuirles todo lo que me han enseñado. A mis vecinos, con quienes llevamos años construyendo vida digna para todos los pobladores. En especial quiero agradecerles a mis amigas y amigos, personas excelentes de las que no dejo de aprender. Desafiantes, alegres, apañadores. Tuve tanta suerte de encontrarme con gente como ustedes. Saludo nuestra amistad. Vaya este último saludo y responsabilidad de coautoría para mis compañeras, algunas más lejos y otras más cerca, sé que comparten mi felicidad en este momento. Y a mis compas… Si no fuera por ustedes no estaría aquí. Todo lo que sé, todo lo que soy, todo lo que he aprendido, de adonde vengo y hacia donde voy, se los debo a ustedes, mis amigos fieles, mi pedazo de tierra, mi sueño rebelde.. -2-.

(4) RESUMEN El documento que se presenta a continuación es un trabajo de sistematización de la labor realizada en el marco de mi práctica profesional durante el año 2015 en el Colegio San Ignacio de Alonso Ovalle, entre los meses de abril y diciembre. Con este proyecto puedo optar al Título de Profesor de Educación General Básica con Mención en Matemáticas y Ciencias Naturales, por lo tanto, será el principal instrumento con el que se podrá evaluar el sustento teórico, la implementación y la reflexión acerca de las secuencias didácticas que diseñé para cada una de las menciones. Durante el primer semestre del año diseñé e implementé una secuencia didáctica para la asignatura de Matemáticas y durante el segundo semestre diseñé e implementé, a su vez, una secuencia didáctica para la asignatura de Ciencias Naturales. Los Objetivos de Aprendizaje que desarrollamos en cada una fueron el número 7 de las bases curriculares de Matemáticas en segundo básico, que refiere al concepto de Valor Posicional; y el número 9 de las bases curriculares de Ciencias Naturales en segundo básico, que tratan las características del agua. Para el diseño de ambas secuencias, lo primero que hicimos fue un diagnóstico institucional con la información del funcionamiento y características del establecimiento y del curso en el cual realizaría mi práctica profesional. Luego del levantamiento de esta información, definimos generar un marco teórico que fuera el cimiento de cada uno de los sustentos teóricos que implican el diseño de una secuencia didáctica para la asignatura de Matemáticas, la cual está basada en el modelo del Análisis Didáctico, y el diseño de una secuencia didáctica para la asignatura de Ciencias Naturales, que se corresponda con el modelo de Enseñanza de las Ciencias Basada en la Indagación.. -3-.

(5) Con el objetivo de evaluar los desafíos y aprendizajes que experimenté durante mi práctica profesional, en la parte final de este documento se podrá encontrar un análisis reflexivo y un análisis de los resultados de la implementación del diseño de estas secuencias didácticas.. -4-.

(6) Tabla de contenido INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................... - 8 Capítulo I ............................................................................................................................... - 9 CONTEXTUALIZACIÓN INSTITUCIONAL ................................................................... - 9 1.. 2.. DIAGNÓSTICO DEL ESTABLECIMIENTO. ................................................... - 10 1.1.. Antecedentes Generales: ......................................................................... - 10 -. 1.2.. Proyecto Educativo: .................................................................................. - 12 -. 1.3.. Organigrama del Colegio: ........................................................................ - 14 -. 1.4.. Recursos e infraestructura del colegio: ............................................... - 15 -. DIAGNÓSTICO DEL CURSO. ........................................................................... - 16 2.1.. Características del curso: ........................................................................ - 16 -. 2.2.. Horario del 2° básico C: ............................................................................ - 16 -. 2.3.. Organización del trabajo en clases: ...................................................... - 17 -. 2.4.. Organización espacial de la sala de clases: ....................................... - 17 -. 2.5.. Clima del Aula: ............................................................................................ - 18 -. Capítulo II CONTEXTUALIZACIÓN PEDAGÓGICA ............................................................... - 19 1.. MARCO TEÓRICO GENERAL.......................................................................... - 20 -. Capítulo III 1.. 2.. 3.. MATEMÁTICAS ............................................................................................. - 25 -. ANTECENTES TEÓRICOS PARA LA ENSEÑANZA. .................................. - 26 1.1.. Por qué enseñar Matemáticas. ............................................................... - 26 -. 1.2.. El Valor Posicional en la Enseñanza de las Matemáticas. .............. - 31 -. ANÁLISIS DIDÁCTICO. ...................................................................................... - 32 2.1.. Análisis de Contenido: ............................................................................. - 32 -. 2.2.. Análisis Cognitivo. ..................................................................................... - 36 -. SECUENCIA DIDÁCTICA. ................................................................................. - 42 3.1.. Diseño de clases. ....................................................................................... - 42 -. Objetivo de aprendizaje 07: Identificar las unidades y decenas en números del 0 al 100, representando las cantidades de acuerdo a su valor posicional, con material concreto, pictórico y simbólico. ........................................................ - 44 -5-.

(7) Objetivo de aprendizaje 07: Identificar las unidades y decenas en números del 0 al 100, representando las cantidades de acuerdo a su valor posicional, con material concreto, pictórico y simbólico. ........................................................ - 46 Objetivo de aprendizaje 07: Identificar las unidades y decenas en números del 0 al 100, representando las cantidades de acuerdo a su valor posicional, con material concreto, pictórico y simbólico. ........................................................ - 49 4.. 5.. REFLEXIONES. ................................................................................................... - 52 4.1.. Reflexiones Generales. ............................................................................. - 52 -. 4.2.. Clase 1........................................................................................................... - 53 -. 4.3.. Clase 2........................................................................................................... - 57 -. 4.4.. Clase 3........................................................................................................... - 65 -. EVALUACIÓN Y ANÁLISIS DE RESULTADOS. .......................................... - 70 -. Capítulo IV 1.. CIENCIAS NATURALES ................................................................................. - 79 -. ANTECEDENTES TEÓRICOS PARA LA ENSEÑANZA ............................. - 80 INTRODUCCIÓN...................................................................................................... - 80 1.1.. Marco teórico. ............................................................................................. - 81 -. 2. Fundamentación de las estrategias didácticas de la secuencia a implementar. ............................................................................................................ - 86 CONCLUSIONES..................................................................................................... - 91 3.. 4.. SECUENCIA DIDÁCTICA. ................................................................................. - 92 3.1.. Nombre de la Secuencia: ......................................................................... - 92 -. 3.2.. Presentación de la secuencia. ................................................................ - 92 -. 3.3.. Selección curricular. ................................................................................. - 92 -. 3.4.. Diseño de clases. ............................................................................................ - 95 -. REFLEXIONES. ................................................................................................. - 114 4.1.. Clase 1 ......................................................................................................... - 114 -. 4.2.. Clase 2......................................................................................................... - 121 -. 4.3.. Clase 3......................................................................................................... - 127 -. 4.4.. Clase 4......................................................................................................... - 135 -. 4.5.. Clase 5......................................................................................................... - 140 -6-.

(8) 5.. EVALUACIÓN Y ANÁLISIS DE RESULTADOS. ........................................ - 148 -. Capítulo V REFLEXIONES Y APRENDIZAJES PROFESIONALES............................................. - 163 1.. REFLEXIONES FINALES. ............................................................................... - 164 1.1.. Reflexiones generales. ........................................................................... - 164 -. 1.2. Reflexiones a partir de los estándares pedagógicos de la formación inicial docente. .................................................................................................................... - 165 1.3.. Mis fortalezas y debilidades. ......................................................................... - 168 -. 1.4.. Reflexiones personales y proyecciones como profesor. ............................... - 169 -. BIBLIOGRAFÍA. .............................................................................................................. - 171 ANEXOS. ......................................................................................................................... - 174 a). MATEMÁTICAS. ................................................................................................ - 174 -. b). CIENCIAS NATURALES. ................................................................................. - 178 -. -7-.

(9) INTRODUCCIÓN El presente documento tiene por objetivo plasmar el trabajo realizado durante el año 2015 en mi práctica profesional en el Colegio San Ignacio de Alonso Ovalle, para lo cual dividimos su contenido en 5 capítulos. En el primer capítulo realizaremos un diagnóstico institucional, que consiste en una breve descripción del contexto educativo nacional y territorializado en el lugar donde implementaré mi proyecto de título, junto a su proyecto educativo, visión y misión, etc. En el capítulo II realizaremos una contextualización pedagógica, que no es otra cosa que un marco teórico general, base para las dos secuencias didácticas que se presentarán en los capítulos siguientes. En los capítulos III y IV encontraremos la secuencia didáctica de Matemática y la secuencia didáctica de ciencias naturales, respectivamente. En cada uno de estos capítulos encontraremos: un marco teórico específico, en el que se desarrollan los conceptos centrales a trabajaremos durante el diseño y la implementación de cada secuencia didáctica; la planificación y el diseño de la secuencia; las reflexiones clase a clase; y el análisis de los resultados obtenidos por los estudiantes en relación a los aprendizajes esperados. Por último, en el capítulo V encontraremos las reflexiones finales sobre el presente documento y los desafíos a los que nos enfrentaremos como futuros profesores. Además, en las últimas páginas del presente podrán encontrar la bibliografía y fuentes visitadas y citadas para construir este documento; y los anexos con el material utilizado en cada clase de la secuencia de Matemáticas y de la secuencia de Ciencias Naturales.. -8-.

(10) Capítulo I CONTEXTUALIZACIÓN INSTITUCIONAL. -9-.

(11) 1. DIAGNÓSTICO DEL ESTABLECIMIENTO.. 1.1.. Antecedentes Generales:. Las Secuencias Didácticas que estoy diseñando para las asignaturas de Matemáticas durante el primer semestre y en Ciencias Naturales durante el segundo, van a ser implementadas en el colegio San Ignacio Alonso Ovalle, el cual está ubicado en Alonso Ovalle #1452, en la comuna de Santiago Centro. Este establecimiento tiene una dependencia de carácter particular privado, y forma parte de la Red Educacional Ignaciana (REI). El colegio se organiza por niveles que dividen los 14 años de escolaridad que se desarrollan en este. Los cursos están organizados del siguiente modo: pre kínder y kínder, como el preescolar; de primero a cuarto básico, el primer ciclo básico, desde quinto a octavo básico, el segundo ciclo básico, y de primero a cuarto medio, el tercer ciclo. El establecimiento presenta una jornada escolar completa para todos sus estudiantes (que superan los 1360 matriculados) es decir, tanto para estudiantes preescolares, como para estudiantes de educación básica y media. Además, cabe destacar que hasta el año recién pasado fue un colegio exclusivamente de estudiantes varones. Desde este año, ingresó la primera generación de niñas al nivel de pre-kínder, en un consenso al que llegaron tras deliberar tanto profesores y directivos, como estudiantes y apoderados. Ahora bien, el curso en el que voy a implementar mi Secuencia Didáctica de Matemáticas, y también la de Ciencias Naturales durante el segundo semestre, es el 2°C, el cual cuenta con 36 estudiantes, como ya dijimos, todos varones. Los niños del curso tienen distintos estilos de aprendizaje. Según test de VAK aplicado durante el año 2014, mientras los niños cursaban primero básico, unos 25 los estudiantes figuran con un estilo de aprendizaje visual, unos 10 los que aprenden de forma auditivo-visual, y solo un par, los que encarnan más un aprendizaje kinésico. Estos últimos, también coinciden con. - 10 -.

(12) estudiantes menos autorregulados y que necesitan atención personalizada, así como con niveles altos de intolerancia a la frustración. En general las formas y dinámicas de trabajo que se dan en el aula se caracterizan por permitir el diálogo colaborativo entre los niños, es decir, que se favorece el que compartan ideas al realizar sus tareas. La organización de los pupitres de la sala, dispuestos en grupos de 4 o 6 estudiantes, es una expresión de esto. Junto con lo anterior, me ha tocado observar como algunos niños, tras terminar anticipadamente sus trabajos en clases, espontáneamente ayudan a sus compañeros de grupo a terminar. Lo especial de lo que experimenté, es que muchos de ellos no les daban las respuestas obtenidas a sus compañeros, sino que, imitando lo que hace su profesora jefe, les revisan las preguntas o ejercicios que tienen mal contestados y les indican que no están bien, sugiriendo que los revisan para corregirlos. Desconozco si la experiencia relatada en el párrafo anterior es una situación particular de mi curso, o es expresión del modelo de enseñanza que promueve el colegio. Por otro lado, un elemento que es importante considerar en esta breve descripción del establecimiento escolar es que los apoderados han declarado sus ingresos, los que en promedio superan el $1.200.001 por hogar, y tener en promedio 16 o más años de escolaridad. De esta manera, se explica que todos puedan costear la matrícula y mensualidad del colegio, las que no descienden de los $250.000. Para el colegio, la familia es un importante aliado y corresponsable de la formación de sus hijos. Para ello promueven la participación de los padres y apoderados en las actividades académicas y extracurriculares. La alianza que se construye con la familia, y el rol que esta juega es distinto en cada ciclo escolar, por ejemplo, en el primer ciclo básico (al que pertenece el segundo básico en el que ejerzo como practicante) los padres, además de las reuniones regulares, deben participar en “jornadas de apoderados” que tienen por objetivo que adquieran herramientas. - 11 -.

(13) pedagógicas y/o criterios educativos adecuados para fortalecer la labor formadora del establecimiento. En el segundo ciclo básico los papás asisten a las reuniones para informarse de las evaluaciones de sus hijos y de actividades extracurriculares, como salidas a terreno, retiros espirituales, jornada padres e hijos y fiestas del colegio, no obstante, aunque se les invita, no necesariamente ellos deben participar en estas actividades. Sobre el documento del Proyecto Educativo Institucional (PEI) del colegio, puedo decir que promueve el compromiso social y busca respuesta a las distintas necesidades de la sociedad desde la iglesia. Se destaca aquí, un principio que rige todo el proceso de enseñanza: “Entramos para aprender y salimos para servir”.. 1.2.. Proyecto Educativo:. En el propio documento, se describen la visión y misión del establecimiento. Los mismos, los presentamos a continuación:. 1.2.1. Visión y Misión: Visión: “soñar con personas nuevas, renovadas en su espíritu y en su mente. Soñamos con una sociedad nueva, en la que sea posible vivir la fraternidad y soñamos también con una Iglesia misionera para una nueva evangelización. Esta visión de la persona, de la sociedad y de la Iglesia, desde la que creemos poder servir a Chile, nos impulsa a trabajar en una misión compartida”. “La sociedad nueva que soñamos es justa, fraterna y más respetuosa de la dignidad de todas las personas, con estructuras que hagan posible las soluciones para superar la inequidad, la pobreza, la discriminación y la exclusión. Que sea democrática y participativa. Que equilibre el desarrollo material con el - 12 -.

(14) crecimiento en el espíritu, en la que bienes y valores no se opongan” (Colegio San Ignacio, 2008). Misión: “Ofrecer una formación integral de calidad a niños, niñas, jóvenes y personas adultas, a través de comunidades educativas que vivan la sociedad justa y solidaria que queremos construir, que aporten para mejorar la educación nacional y que colaboren con la misión evangelizadora de la Iglesia”. “Buscamos el incentivo del pensamiento crítico en docentes y estudiantes, los mejores aprendizajes en nuestras aulas, las experiencias de inserción y compromiso social, y la valoración de la identidad cultural de quienes se forman en nuestros centros. Es decir, queremos promover procesos de calidad que sean inclusivos para producir resultados de calidad” ”Organizamos nuestras instituciones en diálogo e interacción con su entorno, convocando a las familias y estableciendo distintas redes de apoyo en el ámbito local y sectorial. Desarrollamos así comunidades escolares participativas, bien insertas en su medio. Las comunidades también son en algún sentido “personas-paray-con-las-demás” (Colegio San Ignacio, 2008). La visión y misión del colegio, y en general todo lo que se desprende de su PEI, favorecen un clima de solidaridad, respeto democrático y justicia entre sus estudiantes, con lo que se busca desarrollar a un sujeto integral, responsable tanto de sus problemas individuales, como de los problemas del colectivo y de la sociedad. Se construye así, comunidad escolar. A su vez, esto supone un establecimiento que no se entiende solo como un espacio de enseñanza escolarizada, sino de formación y desarrollo integral que no termina en los estudiantes, sino que invita a la familia y a todos los miembros de la comunidad escolar. - 13 -.

(15) 1.3.. Organigrama del Colegio:. El establecimiento presenta un organigrama con distintas áreas, entre las que destacan dirección académica, la unidad técnico pedagógica, y un equipo docente con profesionales de todas las disciplinas. Este organigrama es encabezado por el rector del colegio, quien por primera vez este año, no es un sacerdote. Director: Marcelo Mackeney es el rector del establecimiento y su ocupación es velar por el cumplimiento de los objetivos y metas trazado al inicio del año escolar, los cuales consisten en mejorar la calidad de los aprendizajes y perfeccionar aquellos sistemas que apoyen a la formación de los estudiantes. Dirección académica: El equipo lo conforman docentes especialistas de todas las disciplinas y en el área de gestión educativa, su rol es definir planes de capacitación para los profesores con el fin de mejorar el proceso de enseñanza y aprendizaje. Su principal desafío es la implementación de un currículum integrador. Los cargos del equipo académico son Director Académico, Director Primer Ciclo, Director Segundo Ciclo, Director Tercer Ciclo, Directora Sector Formación, Jefe de área para los distintos subsectores en el Primer, Segundo y Tercer ciclo; Coordinador de Talleres; Coordinadora de Cultura, Psicopedagoga Primer Ciclo y Psicopedagoga para Segundo y Tercer Ciclo. El responsable de este equipo es el director académico es Olivers Flores, quien es el responsable a su vez, de la unidad técnico pedagógica del colegio. Así, sus ocupaciones son las siguientes:  . Definir los lineamientos, objetivos y la planificación curricular de los programas y proyectos institucionales. Liderar la labor educativa de la institución, supervisando que en todos los niveles educativos se implemente un curriculum integrador de forma coherente con el PEI. - 14 -.

(16) . Debe definir y elaborar los objetivos, actividades y contenidos de cada Programa y proyecto académico que se desarrolla.. Equipo Docente: El equipo docente cuenta con profesores de distintos subsectores que trabajan en conjunto. Cada equipo tiene un plan de trabajo con objetivos anuales para mejorar sus desempeños profesionales. Así, el liderazgo en la escuela se ejerce por áreas pero está debidamente jerarquizado, siguiendo la tradición Ignaciana, y busca desarrollar mejoras en el establecimiento dirigidas a conseguir una excelente formación técnico, espiritual y humana.. 1.4.. Recursos e infraestructura del colegio:. El colegio cuenta con diversos espacios para fomentar el aprendizaje como lo son una biblioteca CRA para los estudiantes del ciclo pre-escolar y primer ciclo, y una biblioteca para los estudiantes mayores, tres salas para cursos electivos, un laboratorio de ciencias para enseñanza media, un laboratorio de tecnología para todos los estudiantes, una sala de computación para el ciclo pre-escolar y primer ciclo y una sala de computación para los estudiantes mayores, tres laboratorios de inglés, dos salas de música, dos salas de artes plásticas, un anfiteatro, un auditorio, un gimnasio y cuatro multi-canchas, un centro de fotocopiado, una enfermería, una sala de carpintería, y una capilla. Además, cada sala de clases cuenta con pizarra, un proyector digital, equipamiento básico para el uso de cada estudiante (como lápices, reglas, tijeras, pegamento, blocks o cartulinas y otros materiales afines), materiales didácticos específicos de distintas asignaturas, etcétera.. - 15 -.

(17) 2. DIAGNÓSTICO DEL CURSO. 2.1.. Características del curso:. El 2° básico C suma 36 estudiantes varones de entre 7 y 8 años. Su profesora jefe imparte las asignaturas de Lenguaje y Comunicación, Matemáticas, Historia y Ciencias Sociales, Ciencias Naturales, Formación, Computación y Tecnología. Asignaturas como Música, Artes Visuales, Inglés y Orientación las imparten profesores especialistas en dichas áreas. Cada día, durante la mañana, se acoge a los estudiantes cuando llegan a la sala de clases y se realiza la oración, un espacio de reflexión católica en el que los estudiantes piden o dan las gracias a Dios por situaciones personales o del conjunto del curso. Es a su vez, un espacio de promoción de los valores ignacianos y de refuerzos positivos ante las actitudes virtuosas de los estudiantes.. 2.2.. Horario del 2° básico C:. 1 8:00 – 8:15 2 8:15 – 9:00 3 9:00 – 9:45 4 10:05 – 10:50 5 10:50 – 11:35 6 11:45 – 12:25 7 12:25 –. Lunes. Martes. Miércoles. Jueves. Viernes. Acogida. Acogida. Acogida. Acogida. Acogida. Lenguaje y Comunicación. Música. Inglés. Lenguaje y Comunicación. Religión. Lenguaje y Comunicación. Ciencias Sociales. Lenguaje y Comunicación. Educación Física. Artes Visuales. Matemáticas. Formación Ciencias Naturales Computación. Inglés Inglés Ciencias Naturales. - 16 -.

(18) 13:05 8 13:55 – 14:35 9 14:35 – 15:15. 2.3.. Educación Física. Ciencias Sociales Matemáticas. Matemáticas Tecnología. Organización del trabajo en clases:. La participación de los estudiantes en clases en general es guiada, no obstante, también se generan espacios de tiempo breves en los que discuten entre ellos organizados, en ocasiones por parejas y otras en grupos desde los 3 hasta los 6 estudiantes, dependiendo de la disposición del docente de cada asignatura. A su vez, los estudiantes participan de la clase levantando la mano para poder intervenir cuando los profesores se lo solicitan o cuando les surgen dudas de forma espontánea. Su trabajo de sistematización es mediado por fichas de trabajo, la utilización de los libros de clase de cada asignatura, y por la toma de apuntes en sus cuadernos los que la gran mayoría de las veces son dictados por el docente o copiados de la pizarra.. 2.4.. Organización espacial de la sala de clases:. - 17 -.

(19) 2.5.. Clima del Aula:. Se construyen ambientes nutritivos en base al diálogo, el respeto y la auto-regulación de los estudiantes, lo que permite que las clases se desarrollen en silencio escuchando a solo un interlocutor, quien generalmente es el docente. El diálogo entre pares siempre es mediado por las preguntas planteadas por el profesor o las que aparecen en los libros de clases o las fichas de trabajo. En las situaciones en que los estudiantes están más inquietos, dispersos o desordenados se utilizan diversas estrategias para re-focalizar la atención en la clase, con movimientos que exijan la imitación de los estudiantes, como el Yoga, o la premiación a los estudiantes más ordenados en los cuadros de refuerzos positivos expresados con estrellas.. - 18 -.

(20) Capítulo II CONTEXTUALIZACIÓN PEDAGÓGICA. - 19 -.

(21) “En mi larga vida he aprendido una cosa: que toda nuestra ciencia, comparada con la realidad, es primitiva e infantil y que, a pesar de todo, es lo más valioso que tenemos”. Albert Einstein. 1. MARCO TEÓRICO GENERAL.. Es parte de la contingencia nacional el que presenciamos un periodo de profundos cuestionamientos al sistema educativo en particular, y al modelo capitalista de mercado en general, no obstante, si leemos al detalle los frecuentes estallidos en que los movimientos sociales han puesto sobre la mesa el conflicto educación/mercado en Chile, podríamos sospechar intuitivamente que el propio currículum nacional no ha sido blanco de mayores críticas, no al menos, con el gran impacto esperable en la contingencia nacional ni en los noticieros o reportajes de los periódicos. Sin embargo, es precisamente en los cimientos, en las bases, donde se encuentran los problemas más concretos y prácticos de la labor docente, rol que, independiente de la ideología personal del profesor, supone ser parte de la construcción de sociedad en la medida en que educamos a los futuros ciudadanos, es decir, cumplimos con la responsabilidad de ser los “formadores de personas democráticas que estén comprometidas con la democracia, que tengan actitudes democráticas y se esfuercen en desarrollar la actitud de la tolerancia que se traduce en respeto real a la dignidad de toda persona” (Martinez, pp 8, 2012). En este sentido, no es casualidad que el marco que rige los aprendizajes, contenidos, habilidades y actitudes que todo profesional de la educación debe enseñar se halle en las “Bases Curriculares”. Pues bien, ¿en qué consisten y cómo podemos evaluar su significancia dentro del proceso de enseñanza – aprendizaje? Según lo define el Ministerio de Educación, las Bases Curriculares constituyen el documento fundamental que establece el Currículum Nacional. - 20 -.

(22) Allí se definen los aprendizajes esperados para cada persona que asista a cierto nivel escolar. Es una suerte de guía o pauta que delimita lo que el profesor debe enseñar y lo que el estudiante debe aprender. Declaran así mismo, cuales son los objetivos mínimos de aprendizaje que deben alcanzar todos los establecimientos del país en cada nivel. El conocimiento que todo estudiante debe adquirir sobre las Matemáticas, por ejemplo, se organiza en lecciones sucesivas, según un plan y a un ritmo que tiene en cuenta, en principio, el nivel medio y las adquisiciones anteriores de los alumnos, con momentos de revisión y otros de evaluación (Perrenoud, pp. 16, 2005). Pues bien, un primer obstáculo o crítica que podemos levantar acerca de las Bases Curriculares y del Currículum Nacional, es que es un marco más bien rígido del proceso educativo y, por lo mismo, limita el desarrollo de un buen proceso de enseñanza – aprendizaje en la medida en que no supone la consideración de los contextos de aprendizaje de cada establecimiento y de sus estudiantes, por lo que urge “una redefinición epistemológica de las orientaciones, contenidos, finalidades y concepciones curriculares, que incluya la identidad étnica, saberes socioculturales y el contexto sociohistórico para enriquecer procesos de aprendizaje” de los estudiantes en sus propios contextos (Quintriqueo, pp. 176, 2010). Sin mediar dichos contextos, se aplican pruebas estandarizadas para todos los establecimientos públicos y privados, expresándose sus resultados en desigualdades sociales que son reflejo de la sociedad en que vivimos. “El origen socioeconómico explica marcadamente el desempeño escolar en términos de SIMCE. De hecho cuando se pasa de considerar el SIMCE de Cuarto Básico a Segundo Medio, y el desempeño PSU, la correlación con el origen socioeconómico se acentúa significativamente” (Pérez, pp. 8, 2014). El rol del docente en la sociedad es garantizar las mejores oportunidades de aprendizaje para todos sus estudiantes, y así, asegurar su constitución como ciudadanos conscientes, capaces de participar de la vida social y política del país. Ahora bien, ¿cómo podemos hacerlo si desde las “bases” el profesional de la educación se encuentra limitado por barreras definidas para - 21 -.

(23) todo el territorio nacional? La respuesta proviene de la propia investigación metodológica en Educación. Debemos incitar la realización de un exhaustivo análisis didáctico que nos permita evaluar correctamente qué enseñar y cómo enseñarlo, dando respuesta a las necesidades y contextos de nuestros estudiantes. No obstante, no basta con desarrollar incluso las mejores competencias pedagógicas pues asistimos a un periodo agravado por una crisis de las finanzas públicas y de las finalidades de la escuela, las representaciones se hacen añicos, no se sabe muy bien ni a dónde vamos (Perrenoud, pp. 4, 2005), es un periodo de transición en el que se ha perdido el sentido del rol del profesional de la educación en la sociedad. Lo importante hoy es redescubrir la pólvora y algo más. Si nos limitamos a las formulaciones sintéticas, seguramente todos coincidiremos en que la profesión del docente consiste también, por ejemplo, en “conducir la progresión de los aprendizajes” o “implicar a los alumnos en sus aprendizajes y en su trabajo”, pero quizá lo que dejamos fuera, es lo que nos riñe en polémica: ¿es el profesor un agente fundamental en el proceso de definir y construir los valores de una nueva sociedad? El desafío es gigante, y responder negativamente, aunque cobarde, podría ser esperable e incluso válido, en especial en aquellos profesores que asisten al cuarto decenio de su profesión y que ya muestran un claro agotamiento de sus ideales y un estancamiento de sus prácticas docentes (Perrenoud, 2005). La respuesta afirmativa, por otro lado, se justifica en que nuestra profesión no es inmutable. Desarrollar competencias didácticas, relacionar los contenidos con los objetivos y con los contextos sociales de los estudiantes y/o con situaciones problema permite avanzar hacia la reconceptualización de la labor docente. A pesar de lo optimista de la definición anterior, lo más difícil a enfrentar entre los profesionales de la educación hoy, es la expresión del individualismo entre los profesores, expresión que se puede observar en que cada uno tiene su propia respuesta, más o menos alejada de las Bases - 22 -.

(24) Curriculares, a preguntas como: ¿qué es enseñar?, ¿qué es aprender? (Perrenoud, pp. 5, 2005). La capacidad de movilizar recursos cognitivos para hacer frente a determinados tipo de situación es el concepto último de Competencias pedagógicas que definió Perrenoud (2005). Esto es, tener corazón, cabeza y manos dispuestas a mejorar nuestra profesión y la educación que impartimos a nuestros estudiantes. Entonces, para ir cerrando, ¿desde dónde debemos situarnos los docentes para ser un aporte real y consistente en la construcción de una nueva sociedad? Desde la escuela. Renovando nuestras escuelas. Perrenoud proponía para esto lo siguiente: individualizar y diversificar los itinerarios de formación, es decir adaptando la enseñanza a cada estudiante y contexto específico; introducir ciclos de aprendizaje y diferenciar la pedagogía, codefiniendo con los estudiantes qué les interesa aprender y dotando de sentido la labor pedagógica; ir hacia una evaluación más formativa que normativa, que permita que cada evaluación se constituya en una verdadera retroalimentación del proceso de enseñanza – aprendizaje tanto para los estudiantes como para el profesor; dirigir proyectos de institución y desarrollar el trabajo en equipos de profesores y la responsabilidad colectiva de los alumnos, es decir, construir comunidad escolar donde todos debemos ser partícipes conscientes en esta; situar a los niños en el centro de la acción pedagógica y recurrir a métodos activos y de gestión de proyectos, provocando no solo una motivación mayor para los estudiantes, sino especialmente, dotar de significado y sentido el aprendizaje y la construcción de conocimiento por parte de ellos; trabajar en base a problemas abiertos y situaciones problema, que fomente la capacidad de respuesta de los estudiantes ante los imprevistos cotidianos; desarrollar las competencias y la transferencia de conocimientos y educar en la ciudadanía (Perrenoud, pp. 6, 2005). Es por esto que concluye señalando que la didáctica descansa en todo momento en la cuestión del sentido y la subjetividad del profesor y el alumno, por lo tanto, también en las relaciones intersubjetivas que se construyen a propósito del conocimiento (Perrenoud, pp. 28, 2005). - 23 -.

(25) Justamente por esto, y como antesala del apartado de este marco teórico propiamente específico de las Matemáticas, sería válido preguntarnos tal como lo hiciera Sain-Onge en el año 1996 sobre las situaciones didácticas de aprendizaje: Yo enseño, pero ellos, ¿aprenden?. - 24 -.

(26) Capítulo III MATEMÁTICAS. - 25 -.

(27) La imagen de la matemática se enmarca dentro de la imagen del mundo, la imagen del matemático dentro de la del hombre y la imagen de la enseñanza de la matemática dentro de la sociedad Hans Freudhental.. 1. ANTECENTES TEÓRICOS PARA LA ENSEÑANZA.. 1.1.. Por qué enseñar Matemáticas.. Para responder a esta cuestión es necesario partir desde lo que nos nace como educadores de la ciencia matemática para luego contrastarlo con lo que podemos encontrar en la teoría. Estoy convencido, y dirijo mi vida desde esta posición, que la capacidad de leer el mundo a través de los números nos permite evaluar más precisamente las decisiones que tomamos para intervenir en este. Aunque desde nuestra subjetividad intentamos definir criterios más o menos objetivos, estos siempre podrán ser interpretables, no obstante, lo que con seguridad sí podemos hacer, es limitar dentro de un mismo patrón numérico este criterio subjetivo, y en este sentido, encuadramos nuestra propia subjetividad en el marco del análisis de la situación que estamos leyendo. De esta forma, la capacidad de leer matemáticamente el mundo, nos permite nadar con mayor seguridad en un mar de incertidumbres. Pues bien, tras leer a Hans Freudenthal, reconocido como el fundador de la Educación Matemática Realista (EMR), modelo pedagógico que será la base de mi secuencia didáctica, he constatado que se le denomina “Matematización” al proceso por el cual se comprende la matemática como los lentes con los cuales se puede leer el mundo, pero aún más, es una herramienta fundamental para ordenar y manipular la información leída. En este sentido escribe en 1973, en su libro “Las Tareas de la Educación Matemática”, que el quehacer matemático es una actividad estructurante y - 26 -.

(28) organizadora (matematización) que está al alcance de todos los seres humanos, de allí la premisa de una matemática para todos. No obstante, lo más interesante de la cita no proviene de esta conceptualización matematizadora, sino más bien, de su posición pedagógica, la cual, además de afirmar la necesidad y alcance de la matemática para todos, supone una visión humanista que exige a la sociedad la enseñanza de la matemática como una actividad plenamente humana. Junto con esto, continúa y define las matemáticas como una actividad de resolución de problemas, de reconocer (o encontrar) problemas, afrontando la realidad de “nadar en un mar de incertidumbres” abordando lo desconocido desde lo que conocemos: los números. Es interesante cuando como educadores encontramos a un pedagogo, a un investigador y autor reconocido de la ciencia matemática en este caso, con quien concordamos plenamente en sus definiciones. Yo digo, la matemática nos permite apostar por un tipo de organización de la sociedad, Freudenthal afirma que la matemática es una actividad de organización de una disciplina. Comparto esta mirada y la instalo como un principio que puede regir frente a cualquier situación científica o fenómeno social. Puede ser, y con muchos compañeros hemos dado largas discusiones al respecto, que la matemática, y en general, la lectura del mundo a través de los números, no sea la única forma de mirar la sociedad y probablemente no responda “correctamente” a las problemáticas sociales de la actualidad, sin embargo, sí pavimenta el camino y permite ir evaluando los aciertos y desaciertos. Como afirma Freudenthal, nos ayuda a organizar las ideas. Así como yo la he definido como un par de lentes que nos permiten leer la realidad y ordenar las ideas, la conceptualización teórica reciente la ha definido como un lenguaje que es preciso y eficaz: “las razones principales para la existencia y uso de las matemáticas es la elaboración de un lenguaje que permita resumir la presentación de otras ciencias y disciplinas. Más aún, el análisis sistemático u ordenado de muchos problemas técnicos o prácticos - 27 -.

(29) es frecuentemente imposible sin una buena presentación matemática, sin hacer un modelo formal” (Markarian, pp. 2, 2002). De acuerdo, es necesario enseñar matemáticas pues nos permite estructurar el pensamiento y ayuda a comprender la realidad desde distintas disciplinas. Pero si se comprende la ciencia matemática para su uso “fuera de las matemáticas”, acaso no sería válido preguntarse si tiene algún sentido sobre sí misma ¿o es solo un medio para el estudio de otras disciplinas? Pienso que sería un sinsentido enseñar matemáticas si fuera solo una herramienta para otras ciencias. Si este fuera el caso, podríamos enseñarla como un contenido dentro de otras disciplinas. Por ejemplo, estudiando Historia y Geografía, al enseñar el contenido de los relieves en la superficie terrestre, deberíamos explicar el contenido matemático de la medición de alturas, en este caso desde el nivel del mar, pero aislándolo de la ciencia matemática y de los estadios de progresión de su aprendizaje. Esto no resultaría en un aprendizaje realmente útil para la vida de los estudiantes, serían incapaces de relacionar la altura de los relieves terrestres con otras posibles mediciones. Es la capacidad de reconocer, comprender y aplicar relaciones una de aquellas competencias que son propias de la ciencia matemática. Sin ir más lejos, siempre que identificamos una igualdad que se registra como patrón común constatado y proyectable como predicción, estaremos hablando de una relación. Este tipo de pensamiento se ha definido como la actividad o acción intelectual de examinar y buscar relaciones entre objetos matemáticos, reflexionar y utilizar dichas relaciones con una intencionalidad, como puede ser resolver un problema, tomar una decisión o aprender más sobre la situación o los conceptos involucrados (Molina y Castro, pp. 2, 2005). Esta capacidad, este tipo de pensamiento, solo puede desarrollarse como tal en el marco de la enseñanza de la ciencia matemática, no obstante, su aplicabilidad es mucho más amplia. Se puede emplear en cualquier contexto de la vida real y cotidiana, es decir, en toda situación que se presenta ante el sujeto que aprende como razonable, realizable o susceptible de ser imaginada. (Freudhental, 1991). - 28 -.

(30) En este sentido, mientras el estudiante pueda relacionar sus conocimientos previos con aquellos aprendizajes nuevos, podrá salir al paso frente a cualquier desafío. La incertidumbre así, pasa de ser un mar con oleajes fuertes y peligrosos, a un lago tranquilo pero profundo, en el cual si se sabe nadar, aunque aún no sepamos qué esconde bajo la superficie, se van asegurando de a poco las condiciones para cruzarlo. De este modo el pensamiento relacional puede ser utilizado para producir respuestas o resultados que no se conocen o no se recuerdan en un determinado momento, a partir de otros que se conocen, o para resolver una secuencia de operaciones de forma más sencilla transformándola mediante la aplicación de propiedades aritméticas fundamentales (Molina y Castro, pp. 2, 2005). Pero no solo nadando se puede cruzar un lago, ¿cómo podríamos cruzarlo si se quiere hacer en el menor tiempo posible? Quizá en una lancha, o en una moto de agua. La enseñanza de la matemática, si bien permite al estudiante enfrentar problemas de la vida cotidiana, es a su vez, un eficaz instrumento para resolver cuestiones de la más sofisticada tecnología (…) y hasta difíciles procesos de cálculo numérico, como saber cuán cerca de la tierra pasará un cometa (Markarian, pp. 2, 2002), medición interesante e intuitivamente de cálculo sencillo, pero que para comprender en su magnitud, se debería aprender ciencias derivadas directamente de teorías matemáticas: mecánica cuántica, teoría de la relatividad, etcétera. Ahora bien, es en la práctica concreta donde se verá realmente si los estudiantes aprenden, pues no basta con enseñarles. Ya lo veíamos con la pregunta que se hacía Sain-Onge. En este sentido, ¿cuáles son las habilidades que debe desarrollar un profesor para lograr se alcancen los objetivos de aprendizaje, de un determinado nivel escolar, en el proceso de enseñanza – aprendizaje? Primero que todo, se tiene que conocer muy bien lo que se va a enseñar, pues como decía Boileau “lo que se concibe correctamente se expresa con claridad y las palabras para decirlo salen con facilidad” (Perrenoud, pp. 17, 2005). - 29 -.

(31) No obstante, aunque se maneje con claridades el contenido a enseñar, si esto no se acompaña con la forma correcta de enseñarlo, con cierta metodología o didáctica, lo más probable es que no todos puedan aprenderlo, y lo verdaderamente importante para cualquier profesor debe ser asegurar las mejores oportunidades de aprendizaje para todos sus estudiantes, para esto, será necesario crear otra clase de situaciones de aprendizajes, que las didácticas contemporáneas consideran situaciones amplias, abiertas, con sentido y control, que hacen referencia a un proceso de investigación, identificación y resolución de problemas (Perrenoud, pp. 15, 2005). Es decir, se debe manejar con pinzas el contenido de tal forma que sea flexible en el cómo enseñarlo, pero aun así el proceso de enseñanza – aprendizaje podría seguir siendo inútil si no se conoce bien a quienes se les va a enseñar, si no comprenden las realidades y los contextos culturales de los estudiantes a quienes se va a educar. Es más, para dotar de verdadero sentido el aprendizaje de las matemáticas se debe situar el aprendizaje de esta ciencia como necesario y útil para la sociedad. Tal y como lo afirma Markarian: “los profesores debemos impregnar la didáctica de la matemática de estos contenidos culturales, destacar la influencia de la matemática en la formación de los valores más ricos de la humanidad, de su profundo carácter histórico y evolutivo. No quepan dudas de que si ese espíritu caracteriza la enseñanza, su aprendizaje será facilitado” (Markarian, pp. 2, 2002). Para concluir el marco en el que se basa mi secuencia didáctica de matemáticas, en forma de síntesis de lo que se ha descrito hasta ahora, señalaré a continuación los principios de la Educación Matemática Realista (EMR): a. Los contextos y situaciones problemáticas realistas como generadoras de la actividad matematizadora de los alumnos. b. El uso de modelos (materiales, esquemas, diagramas y símbolos) como herramientas para simbolizar y organizar estos contextos y situaciones. - 30 -.

(32) c. La centralidad de las construcciones y producciones de los alumnos en el proceso de enseñanza – aprendizaje. d. El papel clave del docente como guía. e. La importancia de la interacción, tanto grupal como de toda la clase. f. La fuerte interrelación e integración de los ejes curriculares de las Matemáticas.. 1.2.. El Valor Posicional en la Enseñanza de las Matemáticas.. El Objetivo de Aprendizaje establecido en las Bases Curriculares que vamos a desarrollar por medio de esta secuencia didáctica es el OA 07: “Identificar las unidades y decenas en números del 0 al 100, representando las cantidades de acuerdo a su valor posicional, con material concreto, pictórico y simbólico”. Es un objetivo de gran importancia científica y cotidiana en la medida en que nos permite comprender nuestro sistema decimal de numeración. Para ello se definen ciertos indicadores de logro que debiesen funcionar como la expresión directa de que los estudiantes han alcanzado la comprensión de un Objetivo de Aprendizaje. Los Indicadores de Logro del OA 07, y por lo tanto, establecidos también en las Bases Curriculares, son los siguientes: a. Usan material concreto para identificar las unidades y decenas de un número en el ámbito hasta 100. b. Identifican el valor de un dígito en un número hasta 100, en forma concreta, pictórica y simbólica con el uso de material multibase. c. Indican decenas y unidades en un número de dos dígitos en el ámbito numérico hasta 100. d. Describen un numeral dado hasta 99, al menos de dos formas. Por ejemplo: 98 como 9 grupos de 10 con 8 unidades sobrantes o 98 como 9 decenas con 8 unidades y también 98 unidades.. - 31 -.

(33) Si el Objetivo de Aprendizaje es claro, y los Indicadores de Logro precisos, ¿Por qué no entienden los niños en los niveles de enseñanza básica el valor posicional? Más adelante, en el apartado del Análisis Didáctico, específicamente en el Análisis Cognitivo, tendremos que trabajar en torno a los errores y dificultades comunes de los estudiantes. Gracias a la teoría de Piaget, podemos concluir que tanto la comprensión del aprendizaje del valor posicional, como el de las operaciones y situaciones problemas en las que este se aplique, debe ser construido por el propio niño, es decir, su enseñanza debe ser mediada por andamiajes que estimulen el desarrollo lógico – matemático de este. Comprender su forma de pensar será un desafío aun mayor para el profesor, no obstante, necesario para adecuar su diseño de clases a las necesidades y obstáculos que deban superar, y por qué no, para potenciar las capacidades de sus estudiantes.. 2. ANÁLISIS DIDÁCTICO.. El análisis didáctico es una técnica metodológica utilizada en la investigación educativa en distintas áreas del conocimiento, en particular, aquí nos ocuparemos del análisis didáctico utilizado en la investigación sobre la enseñanza de las matemáticas. Lupiáñez y Rico (2008), definen el análisis didáctico como un procedimiento que nos orienta para realizar un correcto diseño, desarrollo y evaluación del proceso de enseñanza de un contenido matemático en específico. Junto con esto, se planifica una secuencia didáctica que dé respuesta a este análisis, el cual se compone de cuatro aspectos a analizar.. 2.1.. Análisis de Contenido:. Estructurado por medio de tres organizadores gráficos, el análisis conceptual nos permite estudiar al detalle los contenidos que deben ser trabajados y cómo se podrían ir desarrollando progresivamente. - 32 -.

(34) Develay (1992) lo llamaba matriz disciplinaria, es decir, los conceptos, las preguntas, los paradigmas que estructuran los conocimientos en el seno de una disciplina. (Perrenoud, pp. 17, 2005). Los tres organizadores gráficos se presentan a continuación:. 2.1.1. Los sistemas de representación:. Más extenso que los siguientes esquemas, en este se expone cómo pueden ser representados desde distintas expresiones una misma cantidad. Situado desde los números naturales hay expresiones a la que los estudiantes no podrían llegar dado que son contenidos que aún no han visto (por ejemplo las fracciones) en el nivel en el que se va a diseñar esta secuencia didáctica. - 33 -.

(35) Es por esta razón que Bernard Charlot afirma que una relación con el saber siempre es solidaria con una representación de las prácticas sociales en las que ésta se emplea (Perrenoud, pp. 55, 2005).. 2.1.2. El análisis fenomenológico: Este organizador del análisis de los contenidos estructura los posibles escenarios y/o contextos desde los cuales se planteará la secuencia didáctica. Considera así los tipos de problemas y situaciones con los que se podrían encontrar los estudiantes al aplicar los aprendizajes de un contenido determinado.. Para ello se utilizarán dispositivos pedagógicos intencionados para desarrollar el contenido con los cuales se va a mediar el aprendizaje de los estudiantes, haciendo hincapié en el hecho de que una situación de aprendizaje no se produce al azar, sino que la genera un dispositivo que sitúa a los alumnos ante una tarea que cumplir, un proyecto que realizar, un problema que resolver (Perrenoud, pp. 21, 2005). - 34 -.

(36) 2.1.3. La estructura conceptual: Habiendo definido las representaciones que los estudiantes podrían realizar, junto con las situaciones en las que estas podrían desarrollarse, el análisis de contenidos también señala la progresión de conceptos que el estudiante necesita para desarrollar correctamente determinado contenido. Este organizador gráfico supone el análisis y la relación con los dos que lo anteceden, integrando el sistema de representaciones y el análisis fenomenológico.. La construcción del conocimiento es un progreso colectivo que el profesor orienta creando situaciones y aportando ayuda, sin convertirse en el experto que transmite el saber, ni el guía que propone la solución del problema (Perrenoud, pp. 24, 2005). - 35 -.

(37) 2.2.. Análisis Cognitivo.. En base al reciente análisis de contenido, en esta sección se estudian las condiciones reales de aprendizaje de los estudiantes, es decir, es un análisis que se sustenta en sus características, niveles de desempeño, logros previos, expectativas y dificultades, y su disposición frente a los nuevos contenidos y a la problematización que realiza el profesor acerca del tema a trabajar.. 2.2.1. Expectativas de aprendizaje: Los estudiantes del segundo nivel deben aprender a identificar las unidades y las decenas de cifras que van desde el número 0 al 100, representando las cantidades correctas de acuerdo a su valor posicional con material concreto, pictórico y simbólico. Para lograrlo partiremos definiendo a los sujetos que aprenderán. Los estudiantes del 2° básico C parten con conocimientos previos muy avanzados. La base de la enseñanza que han recibido en el establecimiento y en especial de su profesora jefe, María Anita Toledo, es de gran calidad por lo que en las actividades que se diseñen para la secuencia didáctica se definirán dos niveles de exigencia: un nivel medio y un nivel avanzado. En este sentido, se puede interpretar que las expectativas de aprendizaje sobre los estudiantes del curso son muy altas. Son buenos estudiantes, responsables con sus tareas, curiosos y dispuestos a aprender, autorregulados y autónomos, pero especialmente atentos a los nuevos aprendizajes: “ellos quieren saber más”. Siempre que las actividades sean interesantes y les motiven, ellos podrán resolver los problemas matemáticos a los que se enfrenten. Para ello utilizaremos los 2 registros de motivación que propone Perrenoud: a. Crear, intensificar, diversificar el deseo de saber. b. Favorecer o reforzar la decisión de aprender. - 36 -.

(38) Es decir, por medio de actividades que permitan diversificar el deseo de aprender que ya tienen, pretendemos hacer que todos los estudiantes desarrollen una buena comprensión de lo que están aprendiendo. Junto con estas actividades, los desafíos y situaciones problemas a los que se tendrán que enfrentar, deberán reforzar su decisión de aprender pues tendrán que estar plenamente dispuestos a otorgarle una aplicabilidad innovadora al concepto del valor posicional. Quizá uno de los pocos elementos negativos que se tendrán que considerar para el correcto desarrollo de esta secuencia didáctica sea el que en el curso hay un par de estudiantes con altos niveles de intolerancia a la frustración. Con ellos dos el trabajo será diferenciado y contaré con el apoyo de la profesora jefe, pues habiendo dos profesores en el aula, se puede desarrollar un trabajo personalizado. No obstante, esto no quiere decir que ellos realizarán actividades distintas a las del resto de sus compañeros, el trabajo personalizado con ellos solo implicará que lo harán en tiempos distintos. Esto es, que podríamos esperar se retrasen en resolver algunas situaciones problema por su “negación” a ser capaces de resolver un problema que no entienden a primera vista. Pero que junto con el apoyo pedagógico personalizado y las preguntas guiadoras precisas, es del todo posible que sean capaces de resolver. De esta forma, situamos al profesor desde el paradigma cognitivo, pues comprendemos que el error ha sido construido por el estudiante como una estructura cognitiva del dominio del mismo. La estrategia de remedio pasa porque el alumno modifique esa estructura cognitiva errónea y la sustituya por la correcta, para ello, el profesor debe facilitar actividades que provoquen conflicto y haga tambalear esa estructura cognitiva errónea (Socas, pp. 153, 1997). Es precisamente desde esta perspectiva que se da inicio al siguiente elemento que forma parte del análisis cognitivo.. - 37 -.

(39) 2.2.2. Limitaciones del aprendizaje: Astofi (1997) propone considerar el error como un instrumento para enseñar, como un dispositivo pedagógico por medio del cual se puede “hacer aparecer” el conflicto cognitivo y las dificultades que tienen los estudiantes para aprender. Excepto para unos cuantos, aprender cuesta tiempo, esfuerzos, emociones dolorosas: angustia por el fracaso, frustración por no lograrlo, sentimiento de llegar a sus límites, miedo de lo que pensarán los otros (Perrenoud, pp. 54, 2005). Para superar las posibles situaciones de frustración que experimenten algunos de los estudiantes será necesario reforzar principalmente su interés en aprender y su placer por el saber, es decir, estimular su motivación a partir de actividades que eleven su horizonte de aplicabilidad del contenido del valor posicional. Ahora bien, en general, es aceptado y percibido en la cultura escolar que el buen desempeño en matemáticas es considerado, como una muestra de sabiduría e inteligencia (Markarian, pp. 3, 2002), en este sentido, los estudiantes, aunque no sean muy competitivos entre ellos, sí están motivados por cumplir con las expectativas de sus padres, muy altas y con grados de exigencia muy elevados, y por esta razón, las clases de matemáticas son un “arma de doble filo” pues en esta quieren sobresalir, pero a su vez, podrían fallar lo que les produce gran ansiedad. No obstante, para el profesor que se sitúa desde el paradigma cognitivo los posibles obstáculos del aprendizaje van a ser considerado como la presencia en el alumno de un esquema cognitivo inadecuado y no solamente como consecuencia de una falta específica de conocimiento o de un despiste (Socas, pp. 125, 1997), por lo que resolverlo pasa por reconstruir su aprendizaje y estructurar un nuevo esquema cognitivo a partir análisis crítico y la constatación por parte del estudiantes de las inexactitudes del primero. De esta forma, los obstáculos (Socas, pp. 136, 1997), que podríamos encontrar en el sistema didáctico podrían ser: - 38 -.

(40) a. De origen ontogénico o psicogénico, debido a las características del desarrollo del niño. Por ejemplo dificultades que tienen su origen en su intolerancia a la frustración y que por esta razón no sean capaces de enfrentarse a un ejercicio o situación matemática con claridades en su comprensión del problema, reduciendo enormemente su posibilidad de resolverlo. b. De origen didáctico, resultado de una opción o de un proyecto del sistema educativo, esto es, de las elecciones didácticas que se hacen para establecer la situación de enseñanza. Por ejemplo dificultades con la utilización del material concreto, que dado el tipo de uso que se da en la escuela, los niños lo ven más como juguetes que como insumos para su aprendizaje, o bien, que prefieren resolver ejercicios y problemas matemáticos representados en el sistema simbólico o pictórico, perdiendo la posibilidad de desarrollar la capacidad de manipular el material concreto. c. De origen epistemológico, intrínsecamente relacionados con el propio concepto. Se les puede encontrar en la historia de los mismos conceptos. Esto no quiere decir que se deban reproducir en el medio escolar las condiciones históricas donde se les ha vencido. Por ejemplo cuando los estudiantes tienen dificultades para concebir el significado del signo igual y lo utilizan solo para identificar el lugar donde poner el resultado de determinada operación, sin comprender que representa una igualdad en relación al ejercicio pero que no necesariamente antecede al resultado de una operación, ya sea, la suma o la diferencia. Ahora bien, estas dificultades las vamos a concebir como aquellos objetivos del momento, un objetivo obstáculo (Perrenoud, pp. 21, 2005), concepto que levanta el estudio de los errores y dificultades, y el de las oportunidades de aprendizaje de los estudiantes, ambos, últimos aspectos a considerar en el análisis cognitivo.. - 39 -.

(41) 2.2.3. Errores y dificultades. Nos preguntábamos más arriba: ¿por qué no entienden los niños en los niveles de enseñanza básica el valor posicional? Una de las posibles respuestas proviene de Madell (1985), citado por Kamii y Joseph (1990), quien constató que cuando se les pide a los niños que resuelvan una adición de dos columnas (con números de dos dígitos) de forma natural, como les “nace hacerlo”, universalmente proceden de izquierda a derecha, sumando primero las decenas y luego las unidades. Es decir, podría evaluarse como un obstáculo didáctico o plenamente procedimental, no obstante, automatizar el mecanismo operativo de la adición tampoco resuelve el conflicto cognitivo. Proviene, entonces, de mucho antes. Nuestro sistema de lectura procede de izquierda a derecha, por lo tanto se naturaliza esta forma de enfrentarse a cualquier lectura, incluso la lectura de números. Pues bien, el problema se suscita en la medida en que tras leer un número de dos dígitos, estando bien primero pronunciar las decenas que las unidades (se dice cuarenta y dos, y no dos y cuarenta), al operar en una adición se disgrega el número total y se resuelve, tanto con el procedimiento habitual como de la forma natural por parte de los niños, sumando una cifra a la vez, como si el cuatro y el tres en el número 43, fueran dos números distintos. En este sentido el profesor debe diseñar sus clases considerando la comprensión por parte del niño de las reglas de esa convencionalidad, pactándola con ellos mediante procedimientos didácticos diferentes a los tradicionalmente utilizados en preescolar (Kamii y Joseph, pp. 27, 1990), y de esta forma, procurar que los estudiantes comprendan que un número de dos cifras es un número y no dos disgregados. En una investigación ya no tan reciente se ha constatado la sorpresa de los profesores cuando se enteran de que los niños habían dicho que el 1 en 16 significa uno (Kamii y Joseph, pp. 27, 1990). Continúa y precisa lo siguiente: en la instrucción tradicional, se fuerza a los niños a sumar (en este caso 32 + 32) las unidades primero y a tratar la columna de las decenas - 40 -.

(42) como 3 y 3. Por ende piensan en 3 y 3, y no en “treinta y treinta” (Kamii y Joseph, pp. 33, 1990). En definitiva, el desafío será enseñar el valor posicional integrado al concepto de número y no como una actividad útil para desarrollar la adición o sustracción de dos columnas. Este es un problema muy común pues en la práctica, el uso que se le da al concepto de valor posicional solo se utiliza en los mecanismos de adición de dos columnas. En esta secuencia didáctica no queremos repetir esta mala experiencia. La comprensión de decenas y unidades requiere la construcción en la mente de uno de los dos sistemas que funcionan de manera simultánea: uno de unidades y otro de decenas. Cada niño tiene que crear estos sistemas a través de su propia actividad mental (Kamii y Joseph, pp. 31, 1990).. 2.2.4. Oportunidades de aprendizaje: Vamos a entender el concepto de objetivo del momento o de objetivo obstáculo como un espacio donde situar el aprendizaje de los estudiantes, es decir, lo vamos a comprender como una oportunidad para enseñarles y superar sus dificultades de aprendizaje, asumiendo su origen, lo que nos va a orientar desde dónde proceder. Para ello deberemos construir el dispositivo adecuado para provocar el aprendizaje y como dijera Piaget, "movilizar a los alumnos ya sea para entender, ya sea para tener éxito, si es posible para las dos cosas”. Aquel dispositivo puede ser tan sencillo como el uso de un ábaco o bien el diseño de toda una secuencia didáctica. Por medio de la categorización del origen de los distintos obstáculos podemos identificar desde dónde empezar a superar las dificultades de aprendizaje y reconstruir el aprendizaje de los estudiantes, pero cabe preguntarse, ¿hasta dónde podemos llegar con la introducción de un nuevo contenido? El concepto de Zona de Desarrollo Próximo (ZDP), introducido por Lev Vygotski desde 1931, nos podría aportar los elementos teóricos necesarios - 41 -.

(43) para otorgar las mejores oportunidades de aprendizaje para todos nuestros estudiantes. Vamos a entender por Zona de Desarrollo Próximo ese espacio que existe entre lo que el estudiante es capaz de hacer sin la ayuda de nadie más, es decir, su nivel efectivo de desarrollo, y lo que sería capaz de hacer con la ayuda de un sujeto más avanzado, es decir, su nivel de desarrollo potencial. En este sentido, el concepto de Zona de Desarrollo Próximo nos permite determinar el margen de incidencia de la acción educativa, es decir, nos ayuda a responder la pregunta por el “hasta dónde puedo llegar”. Conscientes de lo anterior, utilizaremos situaciones problemas para generar los quiebres cognitivos necesarios para superar las dificultades cognitivas de nuestros estudiantes y estructurar nuevos conocimientos. Vamos a asegurarles oportunidades de aprendizajes adecuadas para cada uno de ellos apelando a actividades de nivel medio y nivel avanzado, dada sus características. Por último, conocer los errores más comunes presentes entre nuestros estudiantes será importante porque nos provee de información sobre la forma en que los alumnos interpretan los problemas y utilizan los diferentes procedimientos para alcanzar una buena meta (Socas, pp. 145, 1997), lo que en contexto y flexibilizando el diseño de esta secuencia didáctica nos va a permitir el mejor desarrollo del proceso de enseñanza – aprendizaje.. 3. SECUENCIA DIDÁCTICA. 3.1.. Nombre de la Secuencia:. Aplicando el Valor Posicional matematizamos la realidad.. - 42 -.

(44) 3.2.. Presentación de la secuencia.. La secuencia didáctica que presentamos a continuación tiene por objetivo que los estudiantes de segundo básico logren los aprendizajes esperados señalados en las bases curriculares y que corresponden al OA 7 de la asignatura de Matemáticas, no obstante, la identificación de unidades y decenas en números de dos dígitos por sí sola, no permite la aplicación de este conocimiento a la vida no escolarizada, por lo que para dotar de sentido y significancia este contenido, se enseñará a través de la matematización del espacio del colegio y de la utilización del Valor Posicional como código.. 3.3.. Mapa de la Unidad.. - 43 -.

(45) 3.4.. Diseño de clases.. Clase 1 Curso: 2° Básico. Tiempo: 6 horas pedagógicas.. Fecha:. Objetivo de aprendizaje 07: Identificar las unidades y decenas en números del 0 al 100, representando las cantidades de acuerdo a su valor posicional, con material concreto, pictórico y simbólico.. Objetivo de evaluación. Actividades. Materiales. Usan material concreto para identificar las unidades y decenas de un número en el ámbito hasta 100.. Meta de la clase : Comprender el valor posicional en sumas de números de dos dígitos utilizando material concreto y de forma simbólica y pictórica.. Material multibase. Cuaderno. Libro de matemáticas.. Activación de c. previos Inicio Referirse al concepto de dígito recordando lo que vieron el año el anterior sobre este concepto.. Identifican valor de un dígito en un número hasta 100, en forma concreta, pictórica y simbólica con el uso de material multibase.. Para situar la clase en el desarrollo del valor posicional, se empezará con una situación problema en relación con la numeración de unidades y decenas. Ej: Cristian y José quieren comprar dulces para compartirlos con su curso, pero no saben quién puede comprar más. Cristian tiene 9 unidades de pesos, - 44 -.