IN
G
EN
A
R
O
.
W
O
R
D
PR
ES
S
.
C
O
M
Unidad: Transformada de Laplace Temas: Todos los temas de la unidad 2Profesor: Noé Amir Rodríguez Olivares
Alumno: Fecha de entrega:
Grupo:
Objetivo del recurso:Al terminar de trabajar con este recurso, usted será capaz de:
Definir el concepto y teoremas de valor inicial y final de la transformada de Laplace.
Explicar los métodos de solución de transformadas de Laplace directas e inversas.
Explicar el proceso de solución de las ecuaciones diferenciales con la transformada de Laplace y su inver-sa.
Identificar las posibles aplicaciones de la transformada de Laplace en la solución de ecuaciones diferen-ciales en situaciones de su entorno.
Instrucciones:A continuación se presentan una serie de actividades, ejemplos, programas y conceptos que le permitirán al alumno alcanzar la competencia final. Estas actividades corresponden al trabajo de la unidad 2 y se han basado en las siguientes referencias [1, 2].
IN
G
EN
A
R
O
.
W
O
R
D
PR
ES
S
.
C
O
M
Definición de la transformada de Laplace
Laplace definió un procedimiento más simple para la solución de las ecuaciones diferenciales que los méto-dos tradicionales (variación de parámetros, factor integrante), este método consiste en realizar una serie de transformaciones. Donde a partir de unaecuación diferencial, esta es pasada a unaecuación algebraica racionalpor medio de la transformada de Laplace, de esta manera se procede a resolver esa ecuación algebraica racional y posteriormente se realiza unatransformada inversa de Laplacepara obtener lasolución en el tiempo.
Una transformada de Laplace cumple con la siguiente definición.
Si f(t)es una función definida parat>0, entonces a la expresión:
L(f(t)) =
Z ∞
0 e
−stf(t)dt=F(s)
Existencia y propiedades de la transformada de Laplace
Ejemplo 1.1.1:Encuentre laL(c), dóndeces un real; por definición:
L(c) =
Z ∞
0 e
−stc dt
L(c) =c
Z ∞
0 e
−stdt
L(c) = −
ce−st s
∞
0
L(c) =−ce −s∞
s + ce−s0
s
L(c) = c
s
Ejercicio 1.1- a) Demuestre que laL(t)es 1
s2:
IN
G
EN
A
R
O
.
W
O
R
D
PR
ES
S
.
C
O
M
Ejercicio 1.1- b) Demuestre que laL(t2)es 2
s3:
Ejercicio 1.1- c) Demuestre que laL(eat)es 1
IN
G
EN
A
R
O
.
W
O
R
D
PR
ES
S
.
C
O
M
Ejemplo 1.1.2: Encuentre la transformada de Laplace de f(t) =sen(wt):
L{sen(wt)}=
Z ∞
0 e
−st sen(wt)dt
Integrando con u=e−st, dv=sen(wt)dt, du=−se−stdt, v=−cos(wt)
w
=−e
−stcos(wt)
w −
Z
−cos(wt)
w
−se−stdt
= −e
−stcos(wt)
w − s w
Z
e−stcos(wt)dt
Integrandou=e−st, dv=cos(wt)dt, du=−se−stdt, v= sen(wt)
w
=−e
−stcos(wt)
w − s w
e−stsen(wt)
w −
Z sen(wt)
w
−se−stdt
=−e
−stcos(wt)
w − s w
e−stsen(wt)
w + s w
Z
e−stsen(wt)dt
De acuerdo con la ecuación :
Z
e−stsen(wt)dt=−e
−stcos(wt)
w −
se−stsen(wt)
w2 −
s2
w2
Z
e−stsen(wt)dt
Si acomodamos:
s2 w2
Z
e−stsen(wt)dt+
Z
e−stsen(wt)dt=−e
−stcos(wt)
w −
se−stsen(wt)
w2
s2 w2+1
Z
e−stsen(wt)dt= −we
−stcos(wt)−se−stsen(wt)
w2
s2+w2
w2
Z
e−stsen(wt)dt=−we
−stcos(wt)−se−stsen(wt)
w2
Z ∞
0 e
−stsen(wt)dt= 1
s2+w2
−we−stcos(wt)−se−stsen(wt)∞
0
Ahora solo quedar evaluar el límite superior menos el límite inferior
= 1
s2+w2
h
−we−s(∞)cos(w(∞))−se−s(∞)sen(w(∞))i− 1
s2+w2
h
−we−s(0)cos(w(0))−se−s(0)sen(w(0))i Se sabe quee−s(∞)=0, por lo que se elimina la primera parte de la evaluación, quedando entonces:
=− 1
s2+w2[−w]
Entonces:L{sen(wt)}= w
s2+w2
IN
G
EN
A
R
O
.
W
O
R
D
PR
ES
S
.
C
O
M
Encuentre la transformada de Laplace de:f(x) =
−1 para x≤4 1 para x>4 =
Z 4
0 e
−st(−1)dt+Z ∞
4 e
−st(1)dt
=−
Z 4
0 e
−stdt+Z ∞
4 e
−stdt
=
e−st s
4
0
+ −
e−st s
∞
4
= e −s(4)
s − e−s(0)
s −
e−s(∞) s +
e−s(4) s
= 2e −4s−1
IN
G
EN
A
R
O
.
W
O
R
D
PR
ES
S
.
C
O
M
Propiedades de la transformada
A continuación se presentan algunas de las propiedades más importantes de la transformada de Laplace.
SiL{f(x)}=F(s)yL{g(x)}=G(s)entonces: Propiedad 1. Unicidad
L{f(x) +g(x)}=F(s) +G(s) (1)
Propiedad 2. Linealidad
L{c1f(x) +c2g(x)}=c1L{f(x)}+c2L{g(x)}=c1F(s) +c2G(s) (2)
Propiedad 3.
L{eaxf(x)}=F(s−a) (3)
Propiedad 4.
L{xnf(x)}= (−1)n d
n
dsnF(s) (4)
Propiedad 5.
LZ x
0 f(t)dt
= 1
sF(s) (5)
IN
G
EN
A
R
O
.
W
O
R
D
PR
ES
S
.
C
O
M
Ejercicios aplicando las propiedades y la definición
Ejercicios 1.2.1 Aplicando la definición de transformada de Laplace, encuentra la transformada de Laplace de las siguiente funciones:
(a) f(t) =3e−2t+e−t
(b) f(t) =t3+t2+t+1
(c) f(t) =1−2e−2t+4e−tcos(3t)
IN
G
EN
A
R
O
.
W
O
R
D
PR
ES
S
.
C
O
M
Fórmulas más importantes de la unidad
f(t) F(s) 1.- Función impulso δ(t) 1
2.- Función escalon c c
s
3.- t 1
s2
4.- t
n−1
(n−1)! n=1,2„...
1
sn
5.- tn n=1,2,3,... n!
sn+1
6.- e−at 1
s+a
7.- te−at 1
(s+a)2
8.- 1
(n−1)!t
n−1e−at n=1,2,3,... 1
(s+a)n
9.- tne−at n=1,2,3,... n! (s+a)n+1
10.- sen(ωt) ω
s2+ω2
11.- cos(ωt) s
s2+ω2
12.- senh(ωt) ω
s2−ω2
13.- cosh(ωt) s
s2−ω2
14.- e−atsen(ωt) ω (s+a)2+ω2
15.- e−atcos(ωt) s+a (s+a)2+ω2
16.- 1−cos(ωt) ω
2
s(s2+ω2)
17.- ωt−sen(ωt) ω
3
s2(s2+ω2)
18.- sen(ωt)−ωtcos(ωt) 2ω
3
(s2+ω2)2
IN
G
EN
A
R
O
.
W
O
R
D
PR
ES
S
.
C
O
M
Factores lineales no repetidos
A continuación se presenta el método por fracciones parciales para la resolución de la transformada de Laplace, este método contempla 4 casos, que son los siguientes:
Factores lineales no repetidos
Factores complejos no repetidos
Factores lineales repetidos
Factores complejos repetidos
Los 2 métodos clásicos para determinar las raíces de los polinomios son:
Usando el método clásico de fracciones parciales.
Usando límites.
Ejemplo 1.2.2: Resolver la siguiente ecuación diferencial por medio de la transformada de Laplace:
y00−2y0−3y=4 para y(0) =1, y0(0) =−1
Procedimiento:Primero se aplica la transformada de Laplace a cada término:
L(y00−2y0−3y) =L(4)
s2Y(s)−sy(0)−y0(0)−2(sY(s)−y(0))−3Y(s) =4
s Y(s)s2−2s−3−sy(0)−y0(0) +2y(0) =4
s
Se evalúa con las condiciones iniciales:
Y(s)s2−2s−3−s+1+2=4
s Y(s)s2−2s−3=4
s +s−3 Y(s)s2−2s−3=4+s
2−3s
s
Se despejaY(s):
Y(s) = s
2−3s+4
s(s2−2s−3)
Y(s) = s
2−3s+4
IN
G
EN
A
R
O
.
W
O
R
D
PR
ES
S
.
C
O
M
Ahora se plantea como una serie de fracciones:Y(s) = s
2−3s+4
s(s+1)(s−3) =
A s +
B s+1+
C s−3 Sis=0:
A= s
2−3s+4
(s+1)(s−3) =− 4 3
Sis=−1:
B= s
2−3s+4
s(s−3) =
(−1)2−3(−1) +4
(−1)(−1−3) = 8 4=2
Sis=3:
C= s
2−3s+4
s(s+1) =
(3)2−3(3) +4 (3)(3+1) =
4 12=
1 3
Ahora se escribe con los valores de A, B y C:
Y(s) = s
2−3s+4
s(s+1)(s−3)=− 4 3 1
s+2
1
s+1 + 1 3
1
s−3
Se aplica la transformada inversa de cada término. En el caso de1s sería la fórmula 2, y para los otros 2 términos sería la fórmula 6:
y=−4 3 +2e
−t+1
3e
3t
IN
G
EN
A
R
O
.
W
O
R
D
PR
ES
S
.
C
O
M
Ejercicios 1.2.2 - Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales por medio de la transformada de Laplace (5 problemas):
(a) y00−2y0−3y=et, y(0) =2, y0(0) =4
(b) y00+3y0+2y=0, y(0) =1, y0(0) =1
(c) y00−4y=2, y(0) =0, y0(0) =0
(d) y00−5 2y
0
+y=0, y(0) =1, y0(0) =0.5
(e) y00−2y0−3y=0, y(0) =3, y0(0) =2
(f) y00−8y0−9y=10, y(0) =0, y0(0) =4
IN
G
EN
A
R
O
.
W
O
R
D
PR
ES
S
.
C
O
M
Factores complejos no repetidos
Si alguno de los factores del denominador es complejo, entonces la solución es del tipo:
y=2eαt(Q
1cos(βt)−Q2sen(βt))
Ejemplo 1.2.3: Resolver la siguiente ecuación diferencial por medio de la transformada de Laplace:
y00−2y0+2y=0 para y(0) =0, y0(0) =1
Procedimiento:Primero se aplica la transformada de Laplace a cada término:
L(y00−2y0+2y) =L(0)
s2Y(s)−sy(0)−y0(0)−2(sY(s)−y(0)) +2Y(s) =0
Y(s)s2−2s+2−sy(0)−y0(0) +2y(0) =0 Se evalúa con las condiciones iniciales:
Y(s)s2−2s+2−1=0
Y(s)s2−2s+2=1 Se despejaY(s):
Y(s) = 1
s2−2s+2
Se obtienen las raíces:
Y(s) = 1
(s−1−i)(s−1+i)
La parte real de la raíz se toma comoα, y la parte compleja comoβ, quedando entoncesα=1 yβ=1. Ahora se toma la raíz más negativa, que en este caso ess−1−iy se extrae de la expresión, la expresión que queda se llamaQ(s):
Q(s) = 1
s−1+i
La raíz negativa extraída se iguala a 0, y se despeja a las, quedandos=1+i, y se evalúa aQ(s)con ese valor hasta llegar a obtener un número complejo de la formaa+bi:
Q(s) = 1 1+i−1+i Q(s) = 1
2i
IN
G
EN
A
R
O
.
W
O
R
D
PR
ES
S
.
C
O
M
Q(s) =0− i 2
La parte real (a) se toma comoQ1 y la parte compleja (b) comoQ2:
Q1=0 Q2=−1 2
Una vez, que se tiene aα,β,Q1 yQ2, entonces se escribe la solución:
y=2et(0cos((1)t)−(−1
2sen((1)t)))
IN
G
EN
A
R
O
.
W
O
R
D
PR
ES
S
.
C
O
M
Ejercicios 1.2.3- Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales por medio de la transformada de Laplace (5 problemas):
(a) y00+4y0+5y=1, y(0) =0, y0(0) =0
(b) y00+2y0+2y=2cos(2t)−sen(2t), y(0) =0, y0(0) =0
(c) y00+4y0+5y=0, y(0) =0, y0(0) =1
(d) y00−4y0+13y=0, y(0) =1, y0(0) =0
(e) y00−6y0+13y=2, y(0) =1, y0(0) =1
(f) y00−8y0+17y=et, y(0) =1, y0(0) =2
(g) y00+4y0+5y=t, y(0) =1, y0(0) =−3
IN
G
EN
A
R
O
.
W
O
R
D
PR
ES
S
.
C
O
M
Factores lineales repetidos
Para factores lineales repetidos, se considera más viable aprender a resolver este caso a partir de 2 ejemplos:
Ejemplo 1.2.4.1: Resolver la siguiente ecuación diferencial por medio de la transformada de Laplace:
y000+6y00+12y0+8y=0 para y(0) =4, y0(0) =−12, y00(0) =34
Procedimiento:Primero se aplica la transformada de Laplace a cada término:
L(y000+6y00+12y0+8y) =L(0)
s3Y(s)−s2y(0)−sy0(0)−y00(0) +6s2Y(s)−6sy(0)−6y0(0) +12sY(s)−12y(0) +8Y(s) =0
Y(s)s3+6s2+12s+8−s2y(0)−sy0(0)−y00(0)−6sy(0)−6y0(0)−12y(0) =0 Se evalúa con las condiciones iniciales:
Y(s)s3+6s2+12s+8−4s2+12s−34−24s+72−48=0
Y(s)s3+6s2+12s+8=4s2+12s+10 Se despejaY(s):
Y(s) = 4s
2+12s+10
s3+6s2+12s+8
Se obtienen las raíces:
Y(s) =4s
2+12s+10
(s+2)3
Ya que se tiene 3 veces a la misma raíza=−2, entonces, su solución sería de la forma:
y=eat
A3t 2
2 +A2t+A1
Ya se puede sustituir la raíza=−2.
y=e−2t
A3t 2
2 +A2t+A1
Ahora se determinaQ(s), recuerde que como en el caso de raices complejas no repetidas, la raíz se debe quitar de la ecuación.
IN
G
EN
A
R
O
.
W
O
R
D
PR
ES
S
.
C
O
M
Ahora se encuentranA1,A2yA3, los cuales están definidos como:A3=Q(a)
A2=Q0(a)
A1= Q
00(a) 2
El procedimiento se muestra a continuación:
A3=Q(−2) =4(−2)2+12(−2) +10=2
A2=Q0(−2) =8(−2) +12=−4
A1=
Q00(−2)
2 =
8 2 =4
Finalmente se escribe la solución:
y=e−2t
2t
2
2 −4t+4
y=e−2tt2−4t+4
Ejemplo 1.2.4.2: Resolver la siguiente ecuación diferencial por medio de la transformada de Laplace:
y00+y=t para y(0) =0, y0(0) =0
Procedimiento:Primero se aplica la transformada de Laplace a cada término:
L(y00+y) =L(t)
s2Y(s)−sy(0)−y0(0) +Y(s) = 1
s2
Y(s)s2+1−sy(0)−y0(0) = 1
s2
Se evalúa con las condiciones iniciales y se despeja Y(s):
Y(s)s2+1= 1
s2
Y(s) = 1 (s2)(s2+1)
IN
G
EN
A
R
O
.
W
O
R
D
PR
ES
S
.
C
O
M
Ya que se tienen 4 raíces, 2 sons=0, y dos sons=0±i, se debe resolver la parte de factores lineales repetidos, más la solución para factores complejos no repetidos, y posteriormente sumarlas. La solución por factores lineales repetidos es:
y=e0t(A2t+A1)
Ahora se determinaQ(s), recuerde que como en el caso de raices complejas no repetidas, la raíz se debe quitar de la ecuación.
Q(s) = 1
s2+1
Ahora se encuentranA1yA2, los cuales están definidos como:
A2=Q(a)
A1=Q0(a)
El procedimiento se muestra a continuación:
A2=Q(0) =
1
(0)2+1=1
A1=Q0(0) =
−2(0) (02+1)2 =0
Se escribe la solución de la parte de factores lineales repetidos:
y1=e0t(A2t+A1)
y1=t
Ahora se resuelve la parte de factores complejos no repetidos: La parte real de la raíz se toma comoα, y la parte compleja comoβ, quedando entoncesα=0 yβ=1. La expresión queda de la siguiente manera:
Y(s) = 1
(s2)(s+i)(s−i)
Ahora se toma la raíz más negativa, que en este caso ess−iy se extrae de la expresión, la expresión que queda se llamaQ(s):
Q(s) = 1 (s2)(s+i)
IN
G
EN
A
R
O
.
W
O
R
D
PR
ES
S
.
C
O
M
Q(s) = 1 (i2)(i+i)
Q(s) =0+ i 2
La parte real (a) se toma comoQ1 y la parte compleja (b) comoQ2:
Q1=0 Q2= 1 2
Una vez, que se tiene aα,β,Q1 yQ2, entonces se escribe la solución:
y2=2e0t(0cos((1)t)−(1
2sen((1)t)))
y2=−sen(t)
Finalmente se suman las soluciones:
y=y1+y2
y2=t−sen(t)
IN
G
EN
A
R
O
.
W
O
R
D
PR
ES
S
.
C
O
M
Ejercicios 1.2.4- Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales por medio de la transformada de Laplace (5 problemas):
(a) y00+y0−2y=1−2t, y(0) =0, y0(0) =4
(b) y00+y0−2y=tet, y(0) =0, y0(0) =0
(c) y00−2y0+y=tet, y(0) =0, y0(0) =0
(d) y000+3y00+3y0+y=e−t, y(0) =0, y0(0) =y00(0) =1
(e) y00−4t=senh(2t), y(0) =0, y0(0) =1
(f) y00+2y0+y=t+3, y(0) =1, y0(0) =0
IN
G
EN
A
R
O
.
W
O
R
D
PR
ES
S
.
C
O
M
Factores complejos repetidos
La fórmula para los factores complejos repetidos es:
y=2eαt[(Q
11+tQ21)cos(βt)−(Q12+tQ22)sen(βt)]
Ejemplo 1.2.5: Resolver la siguiente ecuación diferencial por medio de la transformada de Laplace:
y00+y=2cos(t) para y(0) =2, y0(0) =0
Procedimiento:Primero se aplica la transformada de Laplace a cada término:
L(y00+y) =L(2cos(t))
s2Y(s)−sy(0)−y0(0) +Y(s) = 2s
s2+1
Y(s)s2+1−sy(0)−y0(0) = 2s
s2+1
Se evalúa con las condiciones iniciales y se despeja Y(s):
Y(s)s2+1−2s= 2s
s2+1
Y(s)s2+1= 2s
s2+1+2s
Y(s) = 2s+2s
3+2s
(s2+1)(s2+1)
Y(s) = 2s
3+4s
(s2+1)(s2+1)
La parte real de la raíz se toma comoα, y la parte compleja comoβ, quedando entoncesα=0 yβ=1. Ahora se toma la raíz más negativa, que en este caso ess−iy se extrae de la expresión, la expresión que queda se llama
Q(s). En este momento ya se pueden sustituir aαyβ:
y=2e0t[(Q11+tQ21)cos(t)−(Q12+tQ22)sen(t)]
Despejando a la raízs=i:
Q(s) =2s
3+4s
(s+i)2
Ahora se obtiene un número de la formaa+bi:
IN
G
EN
A
R
O
.
W
O
R
D
PR
ES
S
.
C
O
M
Q(i) =0−1 2i
De esta formaQ21=0 (parte real) yQ22=−12. Para encontrarQ11yQ12, es necesario calcular la primer derivada
deQ(s):
Q(s) =2s
3+4s
(s+i)2
Q0(s) =2s
3−4s+6s2i+4i
(s+i)3
Ahora se evalúa, nuevamente cons=i:
Q0(i) =2i
3−4i+6i3+4i
(2i)3
Q0(i) =Q11+iQ12=1+0i
Entonces la solución final es:
y=2
(1+0)cos(t)−
0−1 2t
sen(t)
IN
G
EN
A
R
O
.
W
O
R
D
PR
ES
S
.
C
O
M
Ejercicios 1.2.5- Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales por medio de la transformada de Laplace (5 problemas):
(a) yIV+2y00+y=0, y(0) =y0(0) =0, y00(0) =2, y000(0) =−2
(b) yIV+8y00+16y=0, y(0) =1, y0(0) =y00(0) =y000(0) =0
(c) y00+y=sen(t), y(0) =2, y0(0) =1
(d) y00+9y=cos(3t), y(0) =0, y0(0) =0
(e) y00+25y=2sen(5t), y(0) =1, y0(0) =0
(f) yIV+2y00+y=sen(t), y(0) =y0(0) =y00(0) =y000(0) =0
IN
G
EN
A
R
O
.
W
O
R
D
PR
ES
S
.
C
O
M
Aplicaciones de las transformada de Laplace
Ejemplo 1.3.1- Encuentre la respuesta en el tiempo en el puntovo(t)del circuito RC mostrado, si se considera
una entrada de voltaje tipo escalón de amplitudvin.
A partir de las ecuaciones que definen el comportamiento de una resistencia, un capacitor y una bobina, pode-mos encontrar su representación en el espacio de transformación de Laplace:
Impedancia de una resistencia:L{v(t) =R i(t)} ⇒V(s) =R I(s)
VR(s) =ZRI(s) siendoZR=R (6)
Impedancia de un capacitor:L
v(t) = 1
C
Z T
o i(t)dt
⇒V(s) = 1
Cs I(s)
VC(s) =ZC I(s) siendoZC= Cs1 (7)
Impedancia de una bobina:L
v(t) =L di(t) dt
⇒V(s) =Ls I(s)
VL(s) =ZL I(s) siendoZL=Ls (8)
Volvemos a dibujar el circuito, pero considerando las impedancias:
De esta manera:
Vo(s) = Z2
Z1+Z2
Vin(s) siendoZ1=R y Z2= 1
IN
G
EN
A
R
O
.
W
O
R
D
PR
ES
S
.
C
O
M
Sustituyendo valores y simplificando:Vo(s) =
1
Cs
R+Cs1 Vin(s) =
1
RCs+1Vin(s)
El resultado final es la función de transferencia del circuito, con la cual se puede conocer su comportamiento. Si la entrada es escalón de amplitudVin, con transformadaVins . el sistema queda expresado de la siguiente manera:
Vo(s) =
Vin
RC
s(s+RC1 )
Resolviendo la función de transferencia de la ecuación por factores lineales no repetidos:
Vo(s) =
Vin
RC
s(s+RC1 )=
A s +
B s+RC1 Paras=0,A=Vin
Paras=−RC1 ,B=−Vin
Vo(s) =Vin
s − Vin
s+ RC1
Aplicando la transformada inversa:
L−1{Vo(s)}=L−1
Vin
s
−L−1
(
Vin
s+RC1 )
La respuesta en el tiempo del circuito RC es:
vo(t) =vin−vine−
t
RC =vin(1−eRC−t)
Dando valores convin=10 volts,R=300 ohms yC=1 microfaradio
vo(t) =10(1−e
−t RC)
IN
G
EN
A
R
O
.
W
O
R
D
PR
ES
S
.
C
O
M
El código en matlab para analizar la respuesta del sistema es el siguiente:1 c l c; c l e a r a l l; c l o s e a l l; 2 % V a l o r e s
3R= 3 0 0 ; C=1e−6; Vin = 1 0 ; 4 % V e c t o r d e t i e m p o 5 t = [ 0 : 0 . 0 0 0 1 : 0 . 0 0 4 ] ; 6 F r a c c i o n=−t . / ( R*C) ; 7 vo=10*(1−exp( F r a c c i o n ) ) ;
8 p l o t( t , vo , ’ * ’ ) ; legend( ’ Respuesta a n a l i t i c a ’ ) ; 9 % S o l u c i ó n en m a t l a b
10num=[ Vin /(R*C) ] ; den =[1 1/(R*C) ] ; hold on 11 s t e p (num, den ) ;
La gráfica de respuesta en el tiempo del voltaje es la siguiente:
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Respuesta analitica sys
Respuesta en el tiempo
Tiempo (seconds)
Amplitud
IN
G
EN
A
R
O
.
W
O
R
D
PR
ES
S
.
C
O
M
Ejemplo 1.3.2- Considere al sistema masa-resorte-amortiguador mostrado en la figura, donde la masa es de 1 Kg, el amortiguador es de 3 N-seg/m y el resorte es de 3 N/m. Si en t=0 la masa m se encuentra enx(0)= 0.1 m, y quex0(0)= 0.05 m/seg. Obtenga el movimiento de la masa sujeto a las condiciones iniciales, (Suponga que no existe una función de excitación externa).
Aplicando la ley de Newton de sumatoria de fuerzas1:
mx¨+bx˙+kx=0 Dando valores:
¨
x+3 ˙x+3x=0
Se aplica, la transformada de Laplace considerando valores iniciales:
L{x¨}+3L{x˙}+3L{x}=0
s2X(s)−sx(0)−x0(0) +3(sX(s)−x(0)) +3X(s) =0 Agrupando y evaluando condiciones iniciales
X(s)s2+3s+3−0.1s−0.05−3(0.1) =0
1Para más información consulte OGATA, Katsuhiko; SANCHEZ, Guillermo Lopez Portillo. Dinámica de sistemas. Prentice-Hall
Hispa-noamericana, 1987.
IN
G
EN
A
R
O
.
W
O
R
D
PR
ES
S
.
C
O
M
X(s)s2+3s+3=0.1s+0.35
X(s) =0.1s+0.35
s2+3s+3, ahora se obtienen las raíces
X(s) = 0.1s+0.35
(s+1.5−√3/2i)(s+1.5+√3/2i)
Resolviendo con factores complejos no repetidos, que son de la forma:
x(t) =2eαt(Q
1cos(βt)−Q2sen(βt)) Dondeα=−1.5 yβ=
√
3/2 y tomando al factors=−1.5+√3/2i Q(s) = 0.1s+0.35
s+1.5+√3/2i
Q(−1.5+√3/2i) = 0.1(−1.5+ √
3/2i) +0.35 (−1.5+√3/2i) +1.5+√3/2i Q(−1.5+√3/2i) =−0.15+
√
3/20i+0.35 √
3/2i+√3/2i
Simplificando:
Q(s) =0.2+ √
3/20i
√ 3i Q(s) = 0.2+
√ 3/20i √ 3i ! i i
= 0.2i+ √
3/20i2
√
3i2 =
1 20−
0.2 √
3i EntoncesQ1=201 y Q2=−0.2√3y anotando en la ecuación
x(t) =2e−1.5t
1 20cos(
√
3/2t) + 0.2√ 3sen(
√ 3/2t)
IN
G
EN
A
R
O
.
W
O
R
D
PR
ES
S
.
C
O
M
El código en matlab para analizar la respuesta del sistema es el siguiente:1 c l c; c l e a r a l l; c l o s e a l l; 2 % V a l o r e s
3M= 1 ; B = 3 ; K= 3 ; 4 % V e c t o r d e t i e m p o 5 t = [ 0 : 0 . 1 : 3 . 5 ] ;
6Q1=1/20; Q2=−0.2/(s q r t( 3 ) ) ; a l f a =−1.5; beta=(s q r t( 3 ) ) / 2 ; 7 vo =2*exp( a l f a . * t ) . * ( Q1*cos(beta. * t )−Q2*s i n(beta. * t ) ) ; 8 p l o t( t , vo , ’ * ’ ) ; legend( ’ Respuesta a n a l i t i c a ’ ) ;
9 %% S o l u c i ó n en m a t l a b
10num= [ 0 . 1 0 . 3 5 0 ] ; den =[M B K ] ; hold on 11 s t e p (num, den ) ;
La gráfica de respuesta en el tiempo es la siguiente:
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
−0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12
Respuesta analitica sys
Step Response
Time (seconds)
Amplitude
IN
G
EN
A
R
O
.
W
O
R
D
PR
ES
S
.
C
O
M
Ejercicio 1.3.1. La figura muestra un diagrama a bloques de la función de transferencia de un termómetro resistivo y una válvula conectada a él. La entrada xi(t)es la temperatura y la salidaxo(t)es la posición de la
IN
G
EN
A
R
O
.
W
O
R
D
PR
ES
S
.
C
O
M
Uso de Matlab para la solución de transformadas
Una forma simple de encontrar la función de transferencia de una función f(t) es por medio de calculo simbó-lico. Analice e implemente el siguiente código de apoyo.
1 c l c; c l e a r a l l; c l o s e a l l; 2 f 1 =sym ( ’ t ^3 ’ ) ;
3 F1= l a p l a c e ( f 1 ) ; 4 f 2 =sym ( ’ 2 * t ’ ) ; 5 F2= l a p l a c e ( f 2 ) ; 6 f 3 =sym ( ’ s i n (w* t ) ’ ) ; 7 F3= l a p l a c e ( f 3 ) ;
8 Tranformadas =[ F1 F2 F3 ]
Anote aquí sus conclusiones sobre dicho código:
También se puede resolver la respuesta en el tiempo del Ejemplo 1.3.1 del circuito RC por medio del siguiente código. Analice e implemente.
1 c l c; c l e a r a l l; c l o s e a l l; 2 syms s ;
3 Vin = 1 0 ; R= 3 0 0 ; C= 1 ;
4num=Vin /(R*C) ; den=s * ( s +1/(R*C) ) ; 5 f = i l a p l a c e (num/den )
Anote aquí sus conclusiones sobre dicho código:
Se puede resolver la respuesta en el tiempo del Ejemplo 1.3.2 del sistema MRA. Analice e implemente.
1 c l c; c l e a r a l l; c l o s e a l l; 2 syms s ;
3num= 0 . 1 * s + 0 . 3 5 ; den=s ^2 + 3 * s +3; 4 f = i l a p l a c e (num/den )
Anote aquí sus conclusiones sobre dicho código:
IN
G
EN
A
R
O
.
W
O
R
D
PR
ES
S
.
C
O
M
Calendario matemático
Ejercicio 1.4.1 Se lanza un dado dos veces. Hallar la probabilidad de que se obtenga por lo menos un 2. R:
Ejercicio 1.4.2 En un examen la teoría vale el 60 % y los problemas el 40 % de la nota final. Si Pedro tiene de nota final un 7 y sacó en los problemas un 5.125 ¿Qué nota tuvo en la teoría?
R:
Ejercicio 1.4.3 Las dos quintas partes de un número es el doble de quince. ¿Cuál es el número? R:
IN
G
EN
A
R
O
.
W
O
R
D
PR
ES
S
.
C
O
M
Soluciones
Solución de ejercicios 1.2.1:
(a) F(s) = 3
s+2+ 1
s+1 (b) F(s) = 6
s4+
2
s3+
1
s2+
1
s
(c) F(s) =1
s−
2
s+2+
4(s+1) (s+1)2+9
(d) F(s) = 8
s+1000− 5
s+2000 Solución de ejercicios 1.2.2:
(a) y=−1 4e
t+13
8 e
3t+5
8e −t
(b) y=−2e−2t+3e−t
(c) y= 1
2(cosh(2t)−1) (d) y=e12t
(e) y=5 4e
3t+7
4e −t
(f) y=3 5e
−t+23
45e
9t−10
9
(g) y=1 6e
−t−1
6e
t− 1
12e
−2t+ 1
12e
2t
Solución de ejercicios 1.2.3:
(a) y= 1 5+2e
−2t− 1
10cost+ 1 5sent
(b) y=1
2sen(2t)−e
−tsen(t)
(c) y=e−2tsen(t) (d) y=e2t
cos(3t)−2 3sen(3t)
(e) y= 2 13+e
3t11
13cos(2t)− 10 13sen(2t)
(f) y= 1 10e
t+e4t9
10cos(t)− 17 10sen(t)
(g) y=e−2t
29
25cos(t)− 22 25sen(t)
+ t
5− 4 25
Solución de ejercicios 1.2.4:
(a) y=et−e−2t+t
(b) y=et
1 6t
2−1
9t+ 1 27
− 1
27e −2t
(c) y= 1 6t
3et
(d) y=e−t
1 6t
3+3
2t
2+t
(e) y=3
8senh(2t) + 1
4tcosh(2t) (f) y=t+1−te−t
(g) y=e2t
t3
6 +t
Solución de ejercicios 1.2.5:
IN
G
EN
A
R
O
.
W
O
R
D
PR
ES
S
.
C
O
M
(a) y=tcos(t)−sen(t) +tsen(t)(b) y=cos(2t) +tsen(2t) (c) y=2cos(t)−1
2tcos(t) + 3 2sen(t) (d) y=1
6tsen(3t)
(e) y=cos(5t)−1 5tcost+
1
25sen(5t) (f) y=3
8sen(t)− 3
8tcos(t)− 1 8t
2sen(t)
Solución al ejercicio 1.3.1
xo(t) =1−1.01e−0.5t−0.01e−0.5t(10.16sen(4.97t)−cos4.97t)
Solución del problema 1.4.1: 1136.
Solución del problema 1.4.2: 8.25.
Solución del problema 1.4.3: 75.
Referencias
[1] Jover Isabel Carmona. Ecuaciones diferenciales, 1998.
