COMPONENTES RECTANGULARES DE
UN VECTOR EN EL ESPACIO O EN TRES
DIMENSIONES
Las magnitudes de las componentes rectangulares las vamos a manejar con la notación vectorial, es decir, incluyendo los vectores unitarios i, j, k. Posteriormente vamos a ver el vector unitario lambdal.
Los vectores unitarios son aquellos que tienen como magnitud (o módulo) la unidad.
En particular los vectores unitarios rectangulares son los que tienen la misma dirección de los ejes y son los más comunes.
El vector unitario que tiene la misma dirección del eje de las abscisas (o comúnmente conocido como el eje x) se le representa con la letra i, el vector unitario que tiene la misma dirección del eje de las ordenadas (o comúnmente conocido como el eje y) se le representa con la letra j y el vector unitario que tiene la misma dirección del eje de las cotas (o comúnmente conocido como el eje z) se le representa con la letra k, el vector unitario que lleva cualquier otra dirección se le representa con la letral.
Se puede multiplicar una magnitud escalar por un vector y el resultado será siempre un vector.
Al ser vectores por supuesto que tienen sentido. Por esa razón el álgebra vectorial utiliza estos vectores unitarios, sobre todo tratándose de componentes rectangulares.
Vamos ahora a dibujar vectores en el espacio o en tres dimensiones (3 D). Para ello podemos tener 8 regiones posible que llamaremos octantes.
Cada vector lo vamos a representar primero en coordenada rectangular, en su notación vectorial, después vamos a ver como representamos ese mismo vector en coordenada polar.
Para ello, trazamos nuestros ejes coordenados en forma isométrica, es decir con un ángulo entre ejes de 120°.
Representación de un vector en el espacio o en tres dimensiones
Haciendo referencia a nuestra bibliografía, debo hacer la siguiente observación: El libro de Mecánica Vectorial para Ingenieros, Estática, de Beer, Jhonston, Mazurek, editorial McGraw-Hill, comparado contra el libro de Mecánica para Ingenieros, Estática, de Russell C. Hibbeler, editorial CECSA, manejan de forma diferente la ubicación de los ejes coordenados rectangulares.
Esta es la manera de ubicar los ejes de acuerdo con Beer, Jhonston, Mazurek, la que conocemos tradicionalmente. En negro están dibujados los sentidos POSITIVOS de cada eje
Y
X Z
Esta es la manera de ubicar los ejes de acuerdo con Russell C. Hibbeler. En negro están dibujados los sentidos POSITIVOS de cada eje
Z
Y X
El octante I es donde las componentes rectangulares son todas positivas Xi + Yj + Zk El octante II es donde las componentes rectangulares son Xi + Yj – Zk
El octante III es donde las componentes rectangulares son – Xi + Yj – Zk El octante IV es donde las componentes rectangulares son – Xi + Yj + Zk El octante V es donde las componentes rectangulares son Xi – Yj + Zk El octante VI es donde las componentes rectangulares son Xi – Yj – Zk
El octante VII es donde las componentes rectangulares son todas negativas – Xi – Yj – Zk El octante VIII es donde las componentes rectangulares son – Xi – Yj + Zk
Ahora voy a elegir coordenadas arbitrarias para representarlas en el dibujo y trazar el vector en 3D.
Por supuesto que tu también vas a ubicar 8 coordenadas rectangulares, las que tu quieras, y las vamos a representar a escala, en nuestros ejes coordenados, uno en cada uno de los 8 octantes.
Ahorita solo será el puro dibujo, después veremos cómo convertir ese vector tridimensional de coordenada rectangular a coordenada polar
Pero cuidando que las líneas no se encimen. No vayas a elegir la coordenada I = 2i + 2j + 2k . Porque entonces quedaría el dibujo así
Y
X Z
¿Y dónde está el vector?
Fíjate que no voy a mover los ejes. Eso debes hacer tú. NO DEBES DE MOVER LOS EJES. Mueve las componentes rectangulares pero no los ejes
Yo voy a elegir cualquier coordenada rectangular en el octante I, por ejemplo I = 4i + 6j+ 5k, luego trazo líneas auxiliares y formo una caja
Para mayor facilidad en la exposición yo voy a usar los mismos valores de magnitudes de las componentes pero en diferente orden. Lo recomendable para ti, es que uses magnitudes diferentes SIEMPRE
Y X Z 6 4 5 Octante I
Luego trazo mi vector resultante, desde el origen, hasta el punto de intersección de las 3 líneas auxiliares
Ahí ya quedó dibujado el vector resultante. Si te fijas, en realidad es una suma de 3 vectores: 4i + 6j+ 5k Y X Z 6 4 5
Si trazamos la suma de las componentes 4i + 6j+ 5k como si fuera el método del polígono obtendríamos el mismo vector resultante
Y X Z 6 4 5
¿Porqué debo usar las líneas auxiliares para formar una caja? Porque si no, el cerebro no podría identificar en cual octante estaría el vector
¿O no es cierto? ¿En cuál octante está este vector? Y
X Z
Octante II Y X Z 6 4 – 5
De igual manera, si sumamos las componentes 4i + 6j – 5k, encontramos el mismo vector resultante Y X Z 6 4 – 5
En este ejemplo las componentes rectangulares son – 4i + 6j – 5k Y X Z – 5 – 4 6 Octante III
Y X Z 5 – 4 6 Octante III
Octante V
En este ejemplo las componentes rectangulares son 4i – 6j + 5k Y
X Z
– 6
Octante VI
En este ejemplo las componentes rectangulares son 4i – 6j – 5k Y X Z – 6 – 5 4
Octante VII
En este ejemplo las componentes rectangulares son todas negativas – 4i – 6j – 5k Y X Z – 6 – 5 – 4
Octante VIII
En este ejemplo las componentes rectangulares son – 4i – 6j + 5k Y X Z – 6 5 – 4
Ahora vamos a calcular la magnitud del vector resultante. Voy a usar el vector del octante II.
Por el teorema de Pitágoras sabemos que la diagonal dibujada en color rojo es la hipotenusa del triángulo rectángulo formado por la componente (– z) y la componente (y), por lo que el vector rojo (llamado A) tiene una magnitud de
𝐴 = −𝑧2 + (𝑦2) Y X Z 6 4 – 5 A
Ese vector A es a su vez un cateto del triángulo rectángulo formado con la componente x dibujado con el vector verde, por lo que la hipotenusa es el vector morado, es decir, el vector resultante R
R = [ (𝑦2+(−𝑧2)]² +(x) ² 𝐴 = −𝑧2 + (𝑦2) R = 𝑦² + 𝑧²+ x ² R = 𝑥2+ y2+ 𝑧² Y X Z 6 4 – 5 A R
Ordenando los términos tenemos
Otro “camino” para calcular la magnitud del vector resultante es usando como catetos el vector azul y la componente y.
De la misma manera, por el teorema de Pitágoras sabemos que la diagonal dibujada en color azul es la hipotenusa del triángulo rectángulo formado por la componente (– z) y la componente (x), por lo que el vector azul (llamado B) tiene una magnitud de
B = −𝑧2 + (𝑥2) Y X Z 6 4 – 5 B
Ese vector B es a su vez un cateto del triángulo rectángulo formado con la componente y, por lo que la hipotenusa es el vector morado, es decir, el vector resultante R
R = [ (−𝑧2) + (𝑥2)]² +(y) ² R = 𝑧² + 𝑥²+ y ² R = 𝑥 2+ y2+ 𝑧² Y X Z 6 4 – 5 A R
Ordenando los términos tenemos
Es decir, sea cual sea la referencia de catetos, el vector resultante R en un sistema tridimensional siempre estará dado por
R = 𝑥2+ y2+ 𝑧²
Para el ejemplo del octante II y sustituyendo valores nos queda R = 𝑥2+ y2+ 𝑧² Y X Z 6 4 – 5 R R = 42+ 62+ (−5)² R = 16 + 36 + 25 R = 77 𝐑 = 𝟖. 𝟕𝟕𝟒𝟗 …
De la misma manera, la magnitud del vector dibujado en el octante 1 es
Al estudiante le corresponde calcular las magnitudes de todos los demás vectores. Y X Z 4 5 6 𝐴 = 42+ 62+ 5² 𝐴 = 16 + 36 + 25 𝐴 = 77 𝐀 = 𝟖. 𝟕𝟕𝟒𝟗 … 𝐴 = (𝑥2+𝑧2)² + (y) ² 𝐴 = 𝑥² + 𝑧²+ y ² 𝐴 = 𝑥2+ y2+ 𝑧²
Ahora vamos a identificar la dirección de ese vector
En el tema 1 veíamos que la coordenada polar en un plano utiliza la magnitud (r) y el ángulo (q) medido desde el eje positivo de las x (de un sistema cartesiano) y en sentido levógiro (en sentido contrario al movimiento de las manecillas de un reloj) para establecer la dirección del vector. Para el ejemplo de la coordenada rectangular A = (3, 2) tenemos nuestra coordenada polar
A = (3, 2)
q
r
Por el teorema de Pitágoras tenemos r = 𝑥2+ y2 Sustituyendo valores r = 32+ 22 r = 13 r = 3.6055… Y por trigonometría q = arc tan 2/3 q = arc tan 0.6666… q = 33.6900…°
Pero en un contexto tridimensional, es necesario conocer su magnitud y ahora los 3 ángulos formados entre el vector y los ejes positivos. Si tomamos el mismo ejemplo, la coordenada rectangular A = (3, 2) expresada en notación vectorial sería A = 3 i + 2 j + 0 k
Y X Z qx 2 3 Por el teorema de Pitágoras tenemos
s = 𝑥2+ y2+ 𝑧²
Sustituyendo valores
s = 32+ 22 + 02
Seguimos teniendo la misma magnitud s = 13 s = 3.6055… Y por trigonometría qx = arc tan 2/3 qx = arc tan 0.6666… qx = 33.6900…°
Seguiría siendo el mismo ángulo
Pero ahora es necesario conocer los otros dos ángulos, los referentes a los otros dos ejes positivos (y) y (z) Por trigonometría qy = arc tan 3/2 qy = arc tan 1.5 qy = 56.3099…° Y X Z qx 3 q y qz 2 ¿Y para qz?
Para calcular qx sería Cos qx = x / s Cos qx = 3 / 13 Cos qx = 0.8320… Arc Cos 0.8320… = 33.6900…° qx = 33.6900…°
Seguiría siendo el mismo ángulo
Y X Z qx 3 q y qz 2
Por eso es necesario utilizar la función trigonométrica coseno en lugar de la tangente
Para calcular qy sería Cos qy = y / s
Cos qy = 2 / 13 Cos qy = 0.5547…
Arc Cos 0.5547… = 56.3099…° qy= 56.3099…°
Seguiría siendo el mismo ángulo
¿Y para calcular qz? ¿Dirías 0°? Vamos a ver Cos qz = z / s Cos qz = 0 / 13 Cos qz = 0 Arc Cos 0 = 90° qz= 90°
Si vieras el dibujo lo comprobarías
También a los ángulos para cada eje positivo, se les conoce como los ángulos directores. Veamos el ejemplo para nuestro vector en el primer octante
s = 42+ 62+ 5² s = 16 + 36 + 25 s = 77 𝐬 = 𝟖. 𝟕𝟕𝟒𝟗 … Cos qx = 4 / 42+ 62+ 5² Cos qx = x / 𝑥2+ y2+ 𝑧² Cos qx = 4 / 77 Cos qx = 4 / 8.7749 … Cos qx = 0. 𝟒𝟓𝟓𝟖 … qx = 62.8808…° Y X Z 4 5 6 qx q y qz s = 𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧² A = 4i + 6j + 5k
Por el Teorema de Pitágoras
Cos qz = 5 / 42+ 62+ 5² Cos qz = x / 𝑥2+ y2+ 𝑧² Cos qz = 5 / 77 Cos qz = 5 / 8.7749 … Cos qz = 0. 𝟓𝟔𝟗𝟖 … qz = 55.2635…° Arc Cos 0.5698… = 55.2635…° Cos qy = 6 / 42+ 62+ 5² Cos qy = y / 𝑥2+ y2+ 𝑧² Cos qy = 6 / 77 Cos qy = 6 / 8.7749 … Cos qy = 0. 𝟔𝟖𝟑𝟕 … qy = 46.8615…° Arc Cos 0.6837… = 46.8615…° Y X Z qx q y qz 4 5 6
Para el ejemplo del octante II donde las componentes rectangulares son 4i + 6j – 5k Y X Z 6 4 – 5 s = 42+ 62+ (–5²) s = 16 + 36 + 25 s = 77 𝐬 = 𝟖. 𝟕𝟕𝟒𝟗 … s = 𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧² A = 4i + 6j – 5k
Por el Teorema de Pitágoras
Cos qx = 4 / 42+ 62+ 5² Cos qx = x / 𝑥2+ y2+ 𝑧² Cos qx = 4 / 77 Cos qx = 4 / 8.7749 … Cos qx = 0. 𝟒𝟓𝟓𝟖 … qx = 62.8808…° Arc Cos 0.4558… = 62.8808…° qz qx q y
Y X Z 6 4 – 5 Cos qy = 6 / 42+ 62+ 5² Cos qy = y / 𝑥2+ y2+ 𝑧² Cos qy = 6 / 77 Cos qy = 6 / 8.7749 … Cos qy = 0. 𝟔𝟖𝟑𝟕 … qy = 46.8615…° Arc Cos 0.6837… = 46.8615…° Cos qz = – 5 / 42+ 62+ 5² Cos qz = x / 𝑥2+ y2+ 𝑧² Cos qz = – 5 / 77 Cos qz = – 5 / 8.7749 … Cos qz = – 0. 𝟓𝟔𝟗𝟖 … qz = 124.7364…° Arc Cos – 0.5698… = 124.7364…° qz qx q y
Para el ejemplo del octante III donde las componentes rectangulares son – 4i + 6j – 5k s = (–42) + 62+ (–5²) s = 16 + 36 + 25 s = 77 𝐬 = 𝟖. 𝟕𝟕𝟒𝟗 … s = 𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧² A = 4i + 6j – 5k
Por el Teorema de Pitágoras
Cos qx = – 4 / (–42) + 62+ (–5²) Cos qx = x / 𝑥2+ y2+ 𝑧² Cos qx = – 4 / 77 Cos qx = – 4 / 8.7749 … Cos qx = – 0. 𝟒𝟓𝟓𝟖 … qx = 117.1191…° Arc Cos – 0.4558… = 117.1191…° Y X Z – 5 6 – 4qz qx q y
Cos qy = 6 / (–42) + 62+ (–5²) Cos qy = y / 𝑥2+ y2+ 𝑧² Cos qy = 6 / 77 Cos qy = 6 / 8.7749 … Cos qy = 0. 𝟔𝟖𝟑𝟕 … qy = 46.8615…° Arc Cos 0.6837… = 46.8615…° Cos qz = – 5 / (–42) + 62+ (–5²) Cos qz = x / 𝑥2+ y2+ 𝑧² Cos qz = – 5 / 77 Cos qz = – 5 / 8.7749 … Cos qz = – 0. 𝟓𝟔𝟗𝟖 … qz = 124.7364…° Arc Cos – 0.5698… = 124.7364…° Y X Z – 5 6 – 4qz qx q y
qy = 46.8615…° qz = 124.7364…°
Ahora vamos a ver cómo calculamos las coordenadas rectangulares, partiendo del hecho que solo conocemos la magnitud y los 3 ángulos directores. Tomemos el último ejemplo
qx = 117.1191…° 𝐬 = 𝟖. 𝟕𝟕𝟒𝟗 … Y X Z – 5 6 – 4qz qx q y Primero obtenemos los
cosenos de los ángulos
Cos qx = – 0. 𝟒𝟓𝟓𝟖 … Cos qx = x / 𝑥2+ y2+ 𝑧² Recordemos que Y que s = 𝑥2+ y2+ 𝑧² Por lo que Cos qy = 0. 𝟔𝟖𝟑𝟕 … Cos qz = – 0. 𝟓𝟔𝟗𝟖 … Cos qx = x / s De la misma manera Cos qy = y / s Cos qz = z / s
Y X Z – 5 6 – 4qz qx q y Cos qx = x / s
Despejamos x, y y z de las ecuaciones
Cos qy = y / s Cos qz = z / s x = s Cos qx Nos quedaría y = s Cos qy z = s Cos qz x = (8.7749 …) Cos (– 0.4558 … ) Sustituyendo valores y = (8.7749 …) Cos ( 0.6837 … ) z = (8.7749 …) Cos (– 0.5698 … ) x = – 4 Nos queda y = 𝟔 z = – 5
qy = 46.8615…°
Vector unitariol
qx = 117.1191…° 𝐬 = 𝟏
Primero obtenemos los cosenos de los ángulos
Cos qx = – 0.4558… Cos qy = 0.6837… Cos qz = 0.5698…k Y X Z qx q y qz
Recordemos que el vector lambda les aquel que tiene como magnitud la unidad. En este ejemplo en el octante IV, el vector resultante (amarillo) y el vector unitario (rojo) tienen los mismos ángulos directores. La única diferencia es la magnitud. Vamos a calcular las componentes rectangulares del vector l. Sus datos serían x = s Cos qx Nos quedaría y = s Cos qy z = s Cos qz qz = 55.2635…° x = 1 (– 0.4558 … )
Sustituyendo valores quedaría
y = 1 (0.6837 … ) z = 1 (0.5698 … )
El vector l. en notación vectorial sería
