Usando las soluciones de ecuaciones en el formato xøsolución

Usando las soluciones de ecuaciones en

el formato x

_Ø

solución

Autor José Luis Gómez Muñoz

http://homepage.cem.itesm.mx/jose.luis.gomez

Reemplazos y evaluaciones en

Mathematica

El siguiente comando le indica a Mathematica que debe reemplazar _b con _foo en la lista _{a,b,c,d}. Para escribir la flecha puedes usar la paleta (barra de herramientas) BasicMathInput, o puedes oprimir las teclas Â->Â (es decir, "Escape", "Menos", "Mayor Que","Escape"). La diagonal y el punto /. deben estar pegados, sin espacio entre ellos:

8a, b, c, d_{< ê}. b_→foo

8a, foo, c, d<

Pueden hacerse varios reemplazos al mismo tiempo: 8a, b, c, d_{< ê}.₈b_→foo, c_→xyz_<

8a, foo, xyz, d<

Se puede reemplazar en cualquier expresión, aunque no sea una lista:

−a₊b₋c₊d ê.8b_→foo, c_→xyz<

−a₊d₊foo₋xyz

Se pueden llevar a cabo diferentes posibles reemplazos en una misma expresión:

−a₊b₋c₊d _ê.₈₈b_→foo, c_→xyz_<,₈b_→xxx, c_→yyy_<<

8₋a₊d₊foo₋xyz,₋a₊d₊xxx₋yyy<

Algunos reemplazos pueden provocar que en la expresión se realicen cálculos:

−a₊b₋c₊d _ê.₈₈b_→100, c_→45_<,₈b_→xxx, c_→yyy_<<

855₋a₊d,₋a₊d₊xxx₋yyy<

Los comandos que resuelven ecuaciones en Mathematica regresan los resultados en forma de listas de reglas de reemplazo. Por ejemplo, a continuación se usa el comando NSolve para obtener las dos

soluciones de la ecuación x2₌4. Observa que la ecuación debe escribirse _{con dos signos igual ==}, porque un sólo signo igual es una asignación (es decir, con un sólo signo igual Mathematica intentaría

igual al derecho):

NSolve_Ax2_{4, xE}

88x_{→ −}2.<,8x_→2.<<

La ventaja de esta sintaxis es que permite utilizar inmediatamente los resultados de resolver ecua-ciones. Por ejemplo, a continuación se obtiene el resultado de elevar al cubo las dos soluciones de la ecuación x2₌4:

x3_{ê. NSolveAx}2_{4, xE}

8₋8., 8.<

Solución de un problema de Álgebra

Podemos aprovechar la sintaxis descrita más arriba para resolver en Mathematica el siguiente prob-lema de Álgebra:

"Para rodear una sola vez un terreno cuadrado se requieren 250 metros de alambre de puas, ¿Cuál es su área en metros cuadrados?"

Como el terreno es cuadrado, sus cuatro lados son iguales, es decir, cuatro veces la longitud de un lado debe ser igual a los 250 metros de alambre de puas:

NSolve_@4_∗lado250, lado_D

88lado_→62.5<<

A su vez, el área del terreno se obtiene al elevar al cuadrado la longitud de un lado. Así, el área del terreno en metros cuadrados es:

lado2 _{ê. NSolve@4∗lado250, ladoD}

83906.25<

3906.25 metros cuadrados es la respuesta al problema.

Primer ejercicio (Problema de Álgebra)

Una caja de cartón con forma de cubo debe tener un volumen de 12000 centímetros cúbicos, ¿Cuantos centímetros cuadrados de cartón se requieren en total para las seis caras de la caja?

NOTA: Algunas de las soluciones obtenidas por Mathematica serán en números complejos, en este problema sólo nos interesan las soluciones en números reales.

RESPUESTA: Cada arista del cubo debe medir 22.89 centímetros, lo que da 3144.89 centímetros cuadrados de cartón para las seis caras de la caja.

Solución de un problema de Cálculo Diferencial

Podemos aprovechar la sintaxis descrita más arriba para resolver en Mathematica el siguiente prob-lema de Cálculo Diferencial:

"En una pequeña huerta de manzanas se estima que, si se siembran 24 árboles, la producción será de 600 manzanas por árbol; como los árboles necesitan espacio para crecer y desarrol-larse, cada árbol extra plantado en la misma huerta provocará que la producción disminuya en 4 manzanas por árbol , ¿Cuál es la máxima producción TOTAL de manzanas que se puede obtener en estas condiciones?"

Como la producción por árbol disminuye en 4 manzanas por cada árbol extra que se plante, y dado que la producción de 24 árboles es de 600 manzanas, la producción por árbol viene dada por:

produccionPorArbol₌600_−H4_∗Harboles₋24_LL

600₋4H₋24₊arbolesL

Podemos revisar que tenemos la fórmula correcta para la producción por árbol evaluándola en difer-entes cantidades de árboles. Los resultado de las siguidifer-entes tres evaluaciones confirman que tenemos la fórmula correcta: produccionPorArbol ê. arboles_→24 600 produccionPorArbol _ê. arboles_→25 596 produccionPorArbol _ê. arboles_→26 592

La producción total de la huerta se obtiene al multiplicar la cantidad de árboles por la producción por árbol:

produccionTotal₌arboles_∗produccionPorArbol

H600₋4H₋24₊arbolesLLarboles

En el máximo de producción total, la razón de cambio (derivada) de la producción total con respecto al número de árboles será cero. Primero calculamos esa razón de cambio (derivada) con el comando

D[...] de Mathematica :

derivadaProdTot=D@produccionTotal, arbolesD

TANTE: La ecuación debe tener dos signos de igual juntos ==, si utilizas un sólo signo de igual entonces meterás el valor cero en derivadaProdTot, borrando la expresión que tenía antes:

NSolve_@derivadaProdTot0, arboles_D

88arboles_→87.<<

Una cantidad de 87 árboles provoca que la razón de cambio sea cero. Sin embargo, una razón de cambio (derivada) es cero tanto en un máximo como en un mínimo. Para estar seguros que tenemos un máximo, la segunda derivada evaluada en esa cantidad cantidad de árboles debe ser negativa. A continuación verificamos que esa segunda derivada, ya evaluada, sea negativa. IMPORTANTE: La ecuación debe tener dos signos de igual juntos ==, si utilizas un sólo signo de igual entonces meterás el valor cero en derivadaProdTot, borrando la expresión que tenía antes:

D@derivadaProdTot, arbolesD ê. NSolve@derivadaProdTot0, arbolesD

8₋8<

Como la segunda derivada evaluada fue un número negativo, entonces si hemos encontrado un máximo (y no un mínimo) de la producción total. A continuación evaluamos para obtener esa produc-ción total máxima. IMPORTANTE: La ecuaproduc-ción debe tener dos signos de igual juntos ==, si utilizas un sólo signo de igual entonces meterás el valor cero en derivadaProdTot, borrando la expresión que tenía antes:

produccionTotal ê. NSolve@derivadaProdTot0, arbolesD

830 276.<

La producción total máxima de la huerta es de 30276 manzanas, y se obtiene con 87 árboles.

Segundo ejercicio (Próblema de Cálculo Diferencial)

Un campo petrolero en Chiapas, México, tiene ocho pozos. Cada pozo produce 16000 barriles de crudo al día. Por cada pozo nuevo que se tiene, la producción media de cada uno disminuye en 100 barriles diarios, ¿Cuántos pozos adicionales se deben construir para obtener la mayor producción diaría? ¿De cuántos barriles es esa producción máxima para todo el campo petrolero?

RESPUESTA: Con 76 pozos adicionales se tendrá un total de 84 pozos, lo cuál da la producción máxima de 705600 barriles diarios en todo el campo petrolero.

Autor José Luis Gómez Muñoz

http://homepage.cem.itesm.mx/jose.luis.gomez

$Version

9.0 for Microsoft Windows H64₋bitL HNovember 20, 2012L

In[1]:=

DateString@D Out[1]=