Vectores y Matrices. Curso a 11 a a 1n a 21 a a 2n. A = A = [a ij] 1 i m. a m1 a m2... a mn

(1)

Vectores y Matrices

Curso 2016-17 1

Notaci´on

A =      a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n .. . ... . .. ... am1 am2 . . . amn     , A = [aij] 11≤_≤ij≤_≤mn aij= elemento (i,j) de A.

Tama˜no u orden de A= m _×n. Si m = n, A cuadrada.

i-sima fila y j-sima columna:

ai = [ai1 ai2 . . . ain] y aj =      a1j a2j .. . amj     , Notaci´on de MATLAB: A(i,:) y A(:,j).

En general aij ∈ R, anillo conmutativo con elemento 1.

Rm×n= cto de las matrices de tama˜no m_× n con elementos en R.

(2)

Operaciones con matrices

Si A = [aij] ∈ Rm×n y B = [bij] ∈ Rm×n:

A+ B = [aij + bij] _∈ Rm×n.MATLAB:A+B

y si A = [aij] _∈ Rm×n y B = [bij] _∈ Rn×p, entonces

AB = " _n X k=1 aikbkj # ∈ Rm×p.MATLAB:A*B

(Rn×n,+,_·) es un anillo no conmutativo con identidad

In =      1 0 . . . 0 0 1 . . . 0 .. . ... . .. ... 0 0 . . . 1      = [δij],

matriz identidad de orden n.

MATLAB:eye(n)

Si x _∈ R y A = [aij] ∈ Rm×n, xA = [xaij] ∈ Rm×n. MATLAB: x._∗A o x_∗A

3

Algunos tipos de matrices

Si A = [aij]

AT = [aji] transpuesta de A. MATLAB: A’ si R = R y A.’ si R = C.

Si R = C, A = [aij] conjugada de A. (z = x +iy ⇒ z = x − iy) Si R = C, A∗ = AT. MATLAB: A’ Sim´etricas: A = AT:  1 22 0 34 3 4 ₋1  , i 2i 2i 4 Herm´ıticas: A = A∗:   2i −3i 2 +5 i 2₋ i 5 1   Skew-sim´etricas: AT = ₋A: 0 1 + 2i −1₋ 2i 0 Skew-herm´ıticas: A∗ = ₋A.

(3)

M´as tipos de matrices

Diagonales:      d1 0 · · · 0 0 d2 · · · 0 .. . ... . .. ... 0 0 _{· · ·} dn      = Diag(d1, . . . ,dn) Matlab: diag

Diagonal por bloques:

     A1 0 . . . 0 0 A2 . . . 0 .. . ... . .. ... 0 0 . . . Ap     . Matlab: blkdiag Triangular superior:      a11 a12 · · · a1n 0 a22 · · · a2n .. . ... . .. ... 0 0 _{· · ·} ann     . Matlab: triu

Triangular inferior, por bloques, etc.

Matlab: tril 5

Matrices de permutaci´on

P _∈ Rn×n matriz de permutaci´on si en cada fila y columna hay un

elemento igual a 1 y todos los dem´as son cero: Permutan filas y columnas.

P =   0 0 1 1 0 0 0 1 0   y PT =   0 1 0 0 0 1 1 0 0   P   1 2 3   =   3 1 2   y 1 2 3 PT = 3 1 2 . Si σ = (i1,i2, . . . ,in) ∈ Sn; i. e. σ(k) = ik, Pσ = [δiσ(j)]= matriz con un 1

en (σ(i),i) y todo lo dem´as cero . En el ejemplo, σ = (2,3,1).

PT = P_σ−1 = P−1

PσA = [aiσ(j)] y APT = [aσ(i)j]. Matlab: P=eye(n); P=P(:,σ)

(4)

Submatrices

Si A = [aij] ∈ Rm×n, B = [bij] ∈ Rp×q submatriz de A si existen ´ındices

(i1, . . . ,ip) y (j1, . . . ,jq) tales que 1≤ i1 < · · · < ip ≤ m, 1 ≤ j1 < · · · < jq ≤ n y airjs = brs, 1 ≤ r ≤ p,1≤ s ≤ q. A = r r r r r r r r r r r r i1 i2 i3 i4 j3 j2 j1 b11 b12 b13 b21 b22 b23 b31 b32 b33 b41 b42 b43

Usaremos notaci´on de MATLAB: si u = (i1, . . . ,ip) y v = (j1, . . . ,jq):

B=A(u,v)

Hay configuraciones que no son submatrices.

7

Matrices y aplicaciones lineales

R = F f : _V1 → V2 Fijadas bases _B1 = {v1, . . . ,vn}, B2 = {u1, . . . ,um} f (vj) = m X i=1 aijui, j = 1, . . . ,n

determina A = [aij] _∈ Fm×n: matriz de f respecto de _B1 y B2. Y

rec´ıprocamente.

A _∈ Fm×n puede verse como una aplicaci´on lineal entre los espacios vectoriales Fn y Fm:

A : Fn _→ Fm

x ; Ax

La matriz de esta aplicaci´on lineal es A cuando en Fm y Fn se toman las bases can´onicas.

(5)

Rango y nulidad

A _∈ Fm×n

Im(A) = _{y _∈ Fm_|y = Ax para alg´un x _∈ Fn_}

Ker(A) = _{x _∈ Fn_|Ax = 0_}

rang(A) = dimImA MATLAB: rank

ν(A)= nulidad de A= dimKerA

Primer teorema de isomorf´ıa

ImA ∼= F

n

KerA ⇒ ν(A) = n − rang(A). Desigualdad de Sylvester (1884)

A _∈ Fm×n, B _∈ Fn×p

rang(A) + rang(B)₋ n _≤ rang(AB) _≤ m´ın(rang(A),rang(B))

9

Matrices de rango completo

A tiene rango completo _⇔ rang(A) = m´ın_{m,n_}.

¿Qu´e significa que A es de rango completo?

m _≥ n _⇒ dimImA = n _⇔ KerA = _{0_{} ⇔} A es inyectiva (invertible por la izquierda: BA = In).

m _≤ n _⇒ dimImA = m _⇔ ImA = Fm _⇔ A es suprayectiva

(invertible por la derecha: AB = Im).

m = n _⇒ A biyectiva (invertible: AB = BA = In).

(6)

Matrices invertibles

Para A _∈ Fn×n (F cuerpo) las siguientes condiciones son equivalentes:

1 A tiene inversa A−1. (MATLAB: inv) 2 rang(A) = n.

3 ImA = Fn. 4 ν(A) = 0. 5 KerA = {0}.

6 0 no es un valor propio (autovalor) de A. (MATLAB: eig) 7 det(A) 6= 0. (MATLAB: det)

A no singular: det(A) ₆= 0.

A no singular _⇔ A invertible (F cuerpo)

λ _∈ C valor propio de A _∈ Fn×n:

∃x _∈ Cn (x ₆= 0) tal que Ax = λx x= vector propio de A asociado a λ.

11

¿Qu´e significa

Ax

=

b

?

b es la imagen de x por A

b es el resultado de multiplicar A por x.

bi = n X j=1 aijxj, i = 1, . . . ,m.      b1 b2 .. . bm      =      a11 a21 .. . am1     x1 +      a12 a22 .. . am2     x2 +· · ·+      a1n a2n .. . amn     xn. b = x1a1 +x2a2 + · · ·+xnan.

b es una combinaci´on lineal de las columnas de A cuyos coeficientes son las componentes del vector x.

b _∈ ImA _⇔ b =

n X

i=1

(7)

La Imagen y el

Span

Notaci´on: Si a1, . . . ,an ∈ Fn < a1, . . . ,an >= Span (a1, . . . ,an) = ( _n X i=1 xiai_|xi _∈ F ) .

Im(A) es es subespacio de Fm generado por las columnas de A; i.e. , si

A = a1 a2 · · · an, ImA =< a1, . . . ,an >.

rang(A) = dim < a1, . . . ,an >

KerA est´a formado por los vectores cuyas componentes son los

coeficientes del vector 0 como combinaci´on lineal de las columnas de A: 0 = x1a1 +x2a2 + · · ·+xnan.

13

Producto de matrices

¿ Qu´e significa C = AB?

C es la matriz de la composici´on Rp −→B Rn −→A Rm C es el resultado de multiplicar A por B.

cij = ai1b1j +ai2b2j +· · ·+ainbnj, cj =      c1j c2j .. . cmj      =      a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n .. . ... . .. ... am1 am2 · · · amn           b1j b2j .. . bnj      = Abj, j = 1, . . . ,p. c1 c2 · · · cp = Ab1 Ab2 · · · Abp , ci = aiB.

A act´ua sobre B: combinaciones lineales en las filas de B, y

(8)

Producto interno y externo de vectores

Si u,v _∈ Rn: Producto interno: uTv uTv = u1 u2 · · ·un      v1 v2 .. . vn      = n X i=1 uivi _∈ R. producto externo: uvT _∈ Rn×n uvT =      u1 u2 .. . un      v1 v2 · · · vn =      u1v u2v .. . unv      = v1u v2u · · · vnu.

uvT es una matriz de rango 1 y todas las matrices de rango 1 son as´ı.

15

Otra vez el producto de matrices

(AB)ij = n P k=1 aikbkj = aibj = (a_i0)Tbj, a0_i es la i-´esima columna de AT y bj la j-´esima columna de B. (akbk)ij = aikbkj AB = a1(b10)T +a2(b20)T +· · ·+ an(bn0)T,

(9)

Matrices elementales. Tipo I

i j ↓ ↓ E1(α) = In +Eij(α) =              1 . .. 1 . . . α . .. ... 1 . .. 1              ← i ← j E1(α)A =              a1 .. . ai +αaj .. . aj .. . am              , AE1(α) = a1 · · · ai · · · aj +αai · · · an. 17

Matrices elementales. Tipo II

i ↓ E2(α) =             1 . .. 1 α 1 . .. 1             ← i E2(α)A =         a1 .. . αai .. . am         y AE2(α) = a1 · · · αai · · · an . 18

(10)

Matrices elementales. Transposiciones

i j ↓ ↓ P =                  1 . .. 1 0 . . . 1 .. . . .. ... 1 . . . 0 1 . .. 1                  ← i ← j PA =              a1 .. . aj .. . ai .. . am              y AP =a1 · · · aj · · · ai · · · an. 19

Eliminaci´on Gaussiana (EG)

Ax = b, A _∈ Fn×n,b _∈ Fn×1

A b = A(1) b(1) =_⇒ A(n) b(n) A(n) = U triangular superior.

n ₋ 1 etapas y en cada etapa k = 1 : n ₋ 1

A(k) = " A(₁₁k) A(₁₂k) 0 A(₂₂k) # ,A(₁₁k) _∈ F(k−1)×(k−1) triangular Objetivo en la etapa k: sustituir por ceros los elementos de

A(k)(k + 1 : n,k) restando a la fila i = k + 1 : n la fila k multiplicada por

mik = a(_ikk)

a(_kkk) (MULTIPLICADOR):

a(_ijk+1) = a(_ijk) ₋ mika_kk(k), i,j = k + 1, . . . ,n. b_i(k+1) = b_i(k) ₋mikb_k(k), i,j = k + 1, . . . ,n.

(11)

Factorizaci´on

LU

Si mk = 0 · · · 0 mk+1k · · · mnk T y Mk = In − mke_kT: MkA(k) = A(k+1) Entonces Mn₋1Mn₋2. . .M2M1A = A(n) = U triangular superior A = M₁−1M₂−1. . .M_n−₋1₁U, M_k−1 = Im +mkek L := M₁−1M₂−1. . .M_n−₋1₁ =         1 m21 1 .. . m32 . .. .. . ... . .. mn1 mn2 · · · mnn−1 1         A = LU Factorizaci´on LU de A 21

Algortimo

LU

Factorizaci´on LU Dato: A _∈ Fn×n

Objetivo: calcular factorizari´on LU de A.

• L =eye(n)

• for k = 1 : n₋ 1

• for i = k + 1 : n • lik = aik/akk • aik = 0

• for j = k + 1 : n • aij = aij ₋ likakj • end for • end for • end for • U = A Coste: _∼ 2₃n3 22

(12)

Pivoteo parcial por columnas

al comienzo de la etapa k, se intercambian las filas k y r estando r determinada por la condici´on:

|a(_rkk)| = m´ax k≤i≤n|a (k) ik | Mn₋1Pn₋1Mn₋2Pn₋2. . .M2P2M1P1A = U, U = M4P4M3P3M2P2M1P1A = M4 ·P4M3P4 | {z } M0 3 ·P4P3M2P3P4 | {z } M0 2 ·P4P3P2M1P2P3P4 | {z } M0 1 ·P4P3P2P1 | {z } P ·A = M4M₃0M₂0M₁0PA M_k0 = Pn₋1Pn₋2. . .Pk+1(In −mke_kT)Pk+1. . .Pn₋2Pn₋1 = (In −Pn₋1Pn₋2. . .Pk+1mke_kT = In −m0_ke_kT, PA = LU, L= M₁0−1M₂0−1. . .M_n0−₋1₂M_n−₋1₁ =         1 m0₂₁ 1 .. . m₃₂0 . .. .. . ... . .. m0_n₁ m_n0₂ _{· · ·} mnn₋1 1         23

Algoritmo Factorizaci´on

LU

con pivoteo. Versi´on 1

Factorizaci´on LU con pivoteo parcial. Versi´on 1

Dato: A _∈ Fn×n, detA ₆= 0

Objetivo: calcular P,L U tales que PA = LU.

• L =eye(n)

• for k = 1 : n₋ 1

• Calcúlese el máx_|A(k : n,k)_| y su posición, r.

• Perm´utense las filas k y r de A, L y P

for i = k + 1 : n lik = aik/akk aik = 0 for j = k + 1 : n aij = aij − likakj end for end for end for U = A

(13)

Algoritmo Factorizaci´on

LU

(LUTXFOR). Versi´on 1

function [L,U,P] = lutxforv1(A)

%LUTXFORV1, para una matriz invertible dada A, devuelve matrices L, %triangular inferior con 1 en la diagonal,

%U, triangular superior y P de permutaci´on

%tal que PA=LU. En vez trabajar con la matriz P se trabaja %con un vector p que almacena las transposiciones y a partir %del cual se construye P. La matriz L se define

%y actualiza de forma expl´ıcita y se utilizan bucles FOR para %todos los contadores.

% Calculamos el tama~no de A [n,n] = size(A); %Iniciamos p=[1 2 ... n]^T p = (1:n)’; % y L L=eye(n);

%Transformaciones elementales en las columnas 1, 2,..., n-1. for k = 1:n-1

%Calculamos el m´aximo, r, (en valor absoluto) de los elementos % A(k,k), A(k,k+1),...,A(k,n), y la posici´on, m, donde se encuentra [m,r] = max(abs(A(k:n,k)));

% Calculamos la posición del máximo en toda la columna k-ésima de A r = r+k-1;

%Si el m´aximo fuera cero es porque toda la columna es cero y A no ser´ıa %invertible

if (A(r,k) ~= 0)

%Si el m´aximo no est´a en la diagonal permutamos if (r ~= k)

%permutamos las filas k y r en A, L y p A([k r],k:n) = A([r k],k:n);

L([k r],1:k-1) = L([r k],1:k-1); p([k r]) = p([r k]);

end

25

Algoritmo Factorizaci´on

LU

(LUTXFOR). Versi´on 1. Cont.

%L est´a fromada por los multiplicadores for i = k+1:n;

L(i,k) = A(i,k)/A(k,k);

% Por debajo de (k,k) los elementos de A en la columna k ser´an 0 A(i,k)=0;

% Realizamos sobre las filas i=k+1,...,n la transformaci´on elemental for j = k+1:n;

A(i,j) = A(i,j) - L(i,k)*A(k,j); end

end end

%A se ha convertido en triangular superior: es la U U=A;

% Constru´ımos P a partir de p: las filas 1:n de P son las de la permutaci´on P=eye(n); P=P(p,:);

(14)

Algoritmo Factorizaci´on

LU

(LUTXFOR). Final

function [L,U,P] = lutxfor(A)

[n,n] = size(A); p = (1:n)’; for k = 1:n-1 [m,r] = max(abs(A(k:n,k))); r = r+k-1; if (A(r,k) ~= 0) if (r ~= k) A([k r],:) = A([r k],:); p([k r]) = p([r k]); end for i = k+1:n; A(i,k)=A(i,k)/A(k,k); for j = k+1:n;

A(i,j) = A(i,j) - A(i,k)*A(k,j); end

end end end

%En la parte triangular inferior de A (sin la diagonal) est´a L L = tril(A,-1) + eye(n,n);

%Y en la parte triangular superior (incluyendo la diagonal) est´a U U = triu(A);

P=eye(n); P=P(p,:);

27

El algoritmo de la factorizaci´on

LU

function [L,U,p] = lutx(A)

[n,n] = size(A); p = 1:n; for k = 1:n-1 [r,m] = max(abs(A(k:n,k))); m = m+k-1; if (A(m,k) _∼= 0) if (m _∼= k) A([k m],:) = A([m k],:); p([k m]) = p([m k]); end i = k+1:n; A(i,k) = A(i,k)/A(k,k); j = k+1:n;

A(i,j) = A(i,j) - A(i,k)*A(k,j); end

end

L = tril(A,-1) + eye(n,n); U = triu(A);

(15)

Jerarqu´ıa en la memoria de los ordenadores y BLAS

Registros Cach´e

RAM Disco Basic Linear Algebra Subroutines (BLAS)

Operaci´on Definici´on flops (f) memory ref. (m) Ratio q = f/m

BLAS1 y = αx +y 2n 3n + 1 2/3

BLAS2 y = Ax +y 2n2 n2 + 3n 2

BLAS3 C = AB +C 2n3 4n2 n/2

BLAS1 (saxpy): productos internos, escalar por vector, . . . BLAS2: matriz por vector, sistemas triangulares, A+ xyt,. . .

BLAS3: matriz por matriz, sistemas triangulares con muchos vectores independientes, . . .

f _·tarit + m_·tmem = f _·tarit _·1 + m_f tmem

tarit = f _·tarit _·1 + _q1 tmem tarit 29 A _∈ Fm×n, B _∈ Fn×p

rangA+ rangB ₋ n (1)< rang(AB) (2)< m´ın_{rangA,rangB_}.

(1) _⇔ rangA+ dim(KerA_∩ImB) < n

(2) _⇔

rangB ₋ dim(KerA_∩ImB) < rangB _⇒ dim(KerA_∩ImB) > 0

rangB < rangA+ dim(KerA_∩ImB)

rangB < rangA+ dim(KerA_∩ImB) < n , dim(KerA_∩ImB) > 0

B =       1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0      , A =       0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0       KerA_∩ImB =< e1 >

Siendo m = n = p debe ser n _≥ 5.