Funciones cuasi-periódicas de bohr

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Funciones cuasi–periodicas de Bohr

Juan Carlos Hern´andez1 Departamento de Matem´aticas Universidad Nacional de Colombia

Este art´ıculo contiene algunos de los resultados principales acerca de la teor´ıa de las funciones casi–periódicas de variable real a valor complejo. Se mostrará una aplicación a la teor´ıa de las ecuaciones diferenciales or-dinarias: para una ecuación de la forma dy_dx = λy +f(x), donde λ es constante compleja y f es función casi–periódica, se da un criterio de casi–periodicidad para soluciones acotadas (cuya existencia se asume) y otro que asegura la existencia de una única solución casi–periódica.

Palabras Claves: Función casi–periódica, valor medio, serie de Fourier, solución casi–periódica.

This paper contains some of the main results about the theory of almost periodic complex valued functions of a real variable. We shall show an ap-plication to the theory of ordinary differential equations: for an equation of the form dy_dx =λy+f(x),whereλis complex constant andf is almost periodic function, we give a criterion of almost periodicity for bounded solutions (the existence of which is assumed) and other that ensure the existence of a unique almost periodic solution.

Keywords: Almost periodic function, mean value, Fourier series, almost periodic solution. MSC:

1 Introduction

La teor´ıa de las funciones casi–periódicas fue creada y desarrollada en sus principales caracter´ısticas por el matemático danés Harald Bohr (1887– 1951) entre1923 y1925, en dos art´ıculos publicados en [2] bajo el t´ıtulo común “Zur Theorie der Fast Periodische Funktionen”. La teor´ıa de las funciones casi–periódicas de Bohr se restringue a la clase de las funciones

f : R → C continuas; el principal problema de la teor´ıa consiste en

1

(2)

caracterizar la clase de las funciones continuas f :R → C que puedan ser aproximadas uniformemente por polinomios trigonométricos, es decir, por funciones S(x) = n X k=1 akeiλkx, x∈R, (1.1) dondeak es constante compleja y λk es constante real; la solución a tal problema fue la principal contribución de Bohr. La riqueza de la teor´ıa iniciada por Harald Bohr se pone de manifiesto en las generalizaciones y aplicaciones de esta; entre las generalizaciones están por ejemplo, el estu-dio de las funciones casi–periódicas con valores en espacios de Banach ini-ciado por S. Bochner [4], la teor´ıa de funciones casi–periódicas definidas sobre grupos debida a Von Neumann [4] y la teor´ıa de las funciones pseudo–casi–periódicas introducida por Zhang en 1992 [6, 7]. Entre las aplicaciones están a las ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales [4, 5].

Este art´ıculo contiene los principales tópicos sobre la teor´ıa de Bohr; en la sección 2 se introducen las propiedades fundamentales de las fun-ciones casi–periódicas, como la acotación y la continuidad uniforme, el álgebra de funciones casi–periódicas, su relación con las funciones periódicas y la condición para que una antiderivada de una función casi– periódica lo sea. En la sección 3 se considera el valor medio de una función casi–periódica, concepto necesario para definir su serie de Fourier. La sección 4 trata sobre la serie de Fourier de una función casi–periódica y elteorema fundamental, siendo este último uno de los principales resul-tados expuestos en este art´ıculo. La sección 5 presenta una aplicación a la teor´ıa de las ecuaciones diferenciales ordinarias.

2 Definici´

on de funci´

on casi–peri´

odica y

propie-dades elementales

Definición 2.1 (casi–per´ıodo). Seaf :R→ C una función continua en R. τ = τf() ∈ R es llamado un número de traslación o un casi– per´ıodo def correspondiente a >0 si

f(x+τ)−f(x)≤, ∀x∈R. (2.1) El conjunto de todos los n´umeros de traslaci´on de f correspondientes a

se denotará por{τf()}, en [1] se pueden ver propiedades de los números de traslación.

(3)

Definición 2.2 (conjunto relativamente denso en R). Un subcon-juntoA⊆Res llamado relativamente denso en R, si existel >0tal que cualquier intervalo de longitudl contiene al menos un número de A. Definición 2.3 (función casi–periódica). Una función continua f : R → C es llamada casi–periódica, si dado > 0 el conjunto {τf()} es relativamente denso en R. En otros términos, una función continua f

es casi–periódica si dado > 0, existe l = l() > 0 tal que cualquier intervalo de longitud l contiene al menos un número de traslación τ de

f correspondiente a.

El siguiente teorema da ejemplos familiares de funciones casi–periódicas. Teorema 2.4. Sif :R→Ces una función periódica continua entonces

f es casi–peri´odica.

Demostración. Sea p el per´ıodo fundamental de la función f continua. Tomandol > pen la definición 2.3 entocesf es casi–periódica ya que los per´ıodos np, n= 0,±1,±2,· · · son casi–per´ıodos def correspondientes a cualquier >0.

Teorema 2.5. Toda funci´onf casi–peri´odica es acotada, es decir, existe

M >0 tal quef(x)≤M para todox∈R.

Demostración. Dado= 1 existe l=l(1)>0 por serf casi–periódica y para cadax∈Rpodemos elegir un número de traslaciónτ =τ(1, x) def

correspondiente a= 1 tal que−x < τ <−x+l, es decir, 0< x+τ < l. Sim= max

0≤t≤l|f(t)|entonces

|f(x)| ≤f(x+τ)−f(x)+f(x+τ) (2.2)

≤1 +m=M, ∀x∈R. (2.3)

Corolario 2.6. Sif es una función casi–periódica, también lo esf2. Demostración. Seanτ = τf() y M > 0 tal que f(x) ≤M para todo

x∈R. En efecto f2(x+τ)−f2(x)≤2Mf(x+τ)−f(x)≤2M , (2.4) y as´ıτf ₂_M ⊆ τ_f2() .

(4)

Teorema 2.7. Toda funci´on f casi–peri´odica es uniformemente con-tinua enR.

Demostraci´on. Sean >0 yl =l ₃. Existe 0< δ =δ ₃ <1 tal que para−1≤s, t≤1 +l,|s−t|< δimplica f(s)−f(t)< ₃.

Parax, y∈R, con|x−y|< δexisteτ ∈τf ₃ tal que 0≤x+τ ≤l y−1< y+τ <1 +l, entonces f(x)−f(y)≤f(x)−f(x+τ)+f(x+τ)−f(y+τ) +f(y+τ)−f(y)< 3 + 3+ 3 =, (2.5) ya quex+τ, y+τ ∈[−1,1 +l] y|(x+τ)−(y+τ)|=|x−y|< δ.

Los teoremas 2.4 y 2.7 permiten establecer que toda funci´on f :R→C peri´odica continua es uniformemente continua.

Sean f : R → C una funci´on y a una constante real, denotaremos el operador traslaci´on por (µaf)(x) =f(x+a).

Teorema 2.8. Sif ygson funciones casi–peri´odicas,c∈Cya∈Rson constantes entonces las funcionesf (la funci´on conjugada def),cf,f,

f+g,f gyµaf son funciones casi–peri´odicas.

En particular, sif es una función casi–periódica lo es tambiénf2. Corolario 2.9. La sumaf(x) =Pn_k₌₁gk(x) de un número finito de fun-ciones periódicas continuasgk con per´ıodos arbitrarios es casi–periódica. En particular, todo polinomio trigonométrico S(x) = P_kn₌₁akeiλkx es una función casi–periódica.

Considerando la función casi–periódica f(x) = eix+eiπx, la cual es no periódica, se tiene que el rec´ıproco del teorema 2.4 en general no es cierto. Teorema 2.10. Si f es una función casi–periódica tal que 0 < m ≤

_f₍_x₎ _{para todo}_x_∈_R_entonces 1

f es casi–peri´odica.

Demostraci´on. Dado >0 tenemos que τf m2 ⊆

τ₁_/_f() .

Teorema 2.11. Si f es una función casi–periódica yφ es un funcional lineal continuo sobre el espacio de BanachC, es decir, φes un elemento del dualC∗, entonces la función compuesta φ◦f es casi–periódica.

(5)

Demostraci´on. Para >0, n τf ||φ|| o ⊆ {τφ◦f()}.

Teorema 2.12. Sif es una función casi–periódica y g:C→C(oR) es una función uniformemente continua enCentonces la función compuesta

g◦f es casi–peri´odica.

Demostraci´on. Dado > 0 existe δ > 0 tal que si f(x) −f(y) < δ

implica g(f(x))−g(f(y)) < . Si τ = τf(ξ) con 0 < ξ < δ entonces {τf(ξ)} ⊆ {τg◦f()}.

Teorema 2.13. Si una sucesi´on {fn} de funciones casi–peri´odicas

con-verge uniformemente a la funciónf en R entoncesf es casi–periódica. Demostración. Dado >0 existe N =N() tal que sin > N implica

f(x)−fN(x)< 3, ∀x∈R. (2.6) Seaτ =τfN 3 yx∈R, por (2.5) f(x+τ)−f(x)≤f(x+τ)−fN(x+τ)+fN(x+τ)−fN(x) +fN(x)−f(x)< 3 + 3 + 3 =. (2.7) As´ıτfN 3 ⊆ {τf()}.

Corolario 2.14. Toda funciónf la cual puede ser aproximada uniforme-mente enRpor polinomios trigonométricosS(x) =Pn_k₌₁akeiλkxes casi– periódica.

Corolario 2.15. Una serie P∞_k₌₁akeiλkx uniformemente convergente, dondeλ1, λ2, . . . son constantes reales es una función casi–periódica. Cada término de la serie es una función casi–periódica, lan–ésima suma parcialSn(x) =

Pn

k=1akeiλkxes una función casi–periódica, la sumaS(x) de la serie es también una función casi–periódica ya que las Sn(x)

for-man una sucesi´on{Sn(x)} de funciones casi–peri´odicas la cual converge

uniformemente a S(x) en R.

El siguiente resultado da una condición necesaria y suficiente para que la antiderivada de una función casi–periódica también lo sea.

(6)

Teorema 2.16. Sea f una funci´on casi–peri´odica y F(x) = R₀xf(t)dt.

F es una funci´on casi–peri´odica si y solo si es acotada enR.

Demostraci´on. Sin p´erdida de generalidad se puede asumir que f es a valor real, comoF es acotada, sean

k1 = inf

−∞<x<∞{F(x)} y k2 =_−∞sup_<x<_∞{F(x)}. (2.8)

Dadoη >0, existen dos n´umeros reales x1 yx2 tal que

F(x1)< k1 +η y F(x2)> k2 −η. (2.9) Dado1 >0, seanτ1 =τf(1) yd=|x1−x2|, tenemos que

Z x2+τ1 x1+τ1 f(t)dt− Z x2 x1 f(t)dt = Z x2 x1 f(t+τ1)−f(t)dt ≤1d, (2.10) es decir, F(x2+τ1)−F(x1+τ1)−F(x2) +F(x1)≤1d, (2.11) de donde, F(x1+τ1)≤F(x2+τ1)− F(x2)−F(x1) +1d. (2.12) Pero por (2.8) y (2.9) F(x2+τ)≤k2 y F(x2)−F(x1)> k2−k1−2η, (2.13) as´ı F(x1+τ1)< k1+ 2η+1d. (2.14) Tomando ahora un 2 > 0 y sea τ2 = τf(2). Siendo τ1 +τ2 un n´umero de traslaci´on de f correspondiente a 1 +2, analogamente a (2.14) se obtiene que

(7)

F(x1+τ1+τ2)< k1+ 2η+ (1+2)d. (2.15) Considerando ahora la integral Rx+τ2

x f(t)dt, Z x+τ2 x f(t)dt = Z x1+τ1 x f(t)dt+ Z x1+τ1+τ2 x1+τ1 f(t)dt+ Z x+τ2 x1+τ1+τ2 f(t)dt = Z x1+τ1+τ2 x1+τ1 f(t)dt+ Z x1+τ1 x f(t)dt+ Z x x1+τ1 f(t+τ2)dt = Z x1+τ1+τ2 x1+τ1 f(t)dt+ Z x1+τ1 x f(t)−f(t+τ2)dt. (2.16)

Eligiendo τ1 = τf(1) tal que x < x1 +τ1 < x+l, donde l= l(1), obtenemos que Z x1+τ1 x {f(t)−f(t+τ2)}dt ≤2l. (2.17) Por (2.8), (2.14) y (2.15), Z x1+τ1+τ2 x1+τ1 f(t)dt =F(x1+τ1+τ2)−F(x1+τ1)<2η+ (1+2)d. (2.18) Usando (2.16) a (2.18), se sigue que

Z x+τ2 x f(t)dt <2η+ (1+2)d+2l. (2.19) Dado >0 y haciendo η = ₆, 1 = ₆_d, 2= ₂₍_l₊_d₎ en (2.19) Z x+τ2 x f(t)dt <2 6 + 6d+ 2(l+d) d+ 2(l+d)l = 3 + 6+ 2 =, (2.20)

(8)

obteniendo que para todox∈Ry todo τ2 ∈ {τf(2)} Z x+τ2 x f(t)dt =F(x+τ2)−F(x)< , (2.21) as´ı{τf(2)} ⊆ {τF()}.

El rec´ıproco es inmediato (ver Teorema 2.5).

3 Valor medio de una funci´

on casi–peri´

odica

Harald Bohr mostró que el valor medio de una función casi–periódica existe, siendo esto un hecho básico, usado para definir un producto in-terno sobre el espacio vectorial de las funciones casi–periódicas. La im-portancia de este concepto es resaltada en el estudio de la serie de Fourier asociada a una función casi–periódica.

Teorema 3.1. Sif es una funci´on casi–peri´odica entonces existe

lim T→∞ 1 T Z c+T c f(x)dx, (3.1)

uniformemente con respecto ac.

Seanf una función casi–periódica y c ∈ R una constante arbitraria, la funciónµcf es casi–periódica (ver Teorema 2.8). Es fácil verificar que

lim T→∞ 1 T Z T 0 f(x)dx= lim T→∞ 1 T Z c+T c f(x)dx= lim T→∞ 1 T Z T 0 (µcf)(x)dx, (3.2) cuya primera igualdad permite definir el valor medio def como sigue. Definición 3.2 (Valor medio). Sea f una función casi–periódica, el valor medio def, notadoM{f}, está dado por

M{f}= lim T→∞ 1 T Z T 0 f(x)dx. (3.3)

(9)

Las igualdades en (3.2) muestran queM{f}=M{µcf}.

En caso de ser la funci´onf peri´odica continua, con per´ıodo fundamental

p, el teorema 3.1 es trivial y su valor medio es

M{f}= 1

p

Z p

0

f(x)dx, (3.4)

es decir, el valor medio definido para funciones casi–periódicas coincide con el valor medio usual en el caso de ser la función f periódica.

El conjunto AP = f : R → C | f es casi–periódica de las funciones casi–periódicas es un espacio vectorial sobre C. Usando propiedades del valor medio para funciones casi–periódicas (ver [3],[4]), podemos mostrar que la aplicación

M :AP−→C

f 7→M{f}, (3.5)

es un funcional lineal positivo definido enAP. La aplicaci´on

h,i:AP×AP−→ C

(f, g) 7→ hf, gi=M{f g} (3.6)

define un producto interno sobreAP, el cual induce la norma

f=

q

M|f|2 _. _(3.7)

Sea λ constante real, notaremos por

e

λ a la funci´on exponencial

definida por

e

λ(x) =

e

iλx,x∈R.

Teorema 3.3. El espacio AP,h,i es no separable.

Demostraci´on. {

e

λ(x)}λ∈R ⊆ AP es una familia ortonormal y no

con-table, luego el espacio AP,h,i es no separable.

Definición 3.4. Seaf una función casi–periódica, la aplicación

a

f :R −→ C λ 7→

a

f(λ) =M f

e

λ = f,

e

λ , (3.8)

(10)

Teorema 3.5. Si f es una funci´on casi–peri´odica, λ1, λ2, ..., λn reales arbitrarios diferentes y c1, c2, ..., cn complejos (o reales) arbitrarios en-tonces M    f− n X k=1 ck

e

λ 2_ =M n f2 o − n X k=1

a

f(λk) 2 + n X k=1 _c_k ₋

_a

_f₍_λ_k₎2 . (3.9)

La expresión anterior se conoce comoecuación de aproximación cuadr´ a-tica.

Tomandock =af(λk) en (3.9), se obtiene que

M    f− n X k=1

a

f(λk)

e

λ 2_ =M n f2 o − n X k=1

_a

_f(λk) 2 . (3.10) De (3.10), paran= 1,2, . . . se cumple que

n X k=1

a

f(λk)2 ≤M n f2 o . (3.11) SiSn = Pn

k=1|

a

f(λk)|2,{Sn} es una sucesi´on monotona creciente y

por (3.11) acotada, as´ı{Sn} es la sucesi´on de las sumas parciales de la

serie convergenteP∞_k₌₁|

a

f(λk)|2.

Teorema 3.6. Dada una función f casi–periódica, existe a lo más un conjunto numerable de valoresλ∈Rpara los cuales

a

f(λ)6= 0.

Demostraci´on. De (3.11) se deduce que para cada m ∈Z+ existe sola-mente un n´umero finito de valores λ para los cuales |

a

f(λ)| > _m1, en realidad menos quem2kfk2. As´ı los conjuntos

B1 = λ∈R:|

a

f(λ)|>1 (3.12) Bm = λ∈R: 1 m−1 ≥ |

a

f(λ)|> 1 m , m= 2,3, . . . (3.13) son finitos. Siλ∈R es tal que |

a

f(λ)|>0, λ∈ Bj para alg´un j ∈Z+,

luego el conjunto de todos los valores λ∈ R para los cuales

a

f(λ) 6= 0 est´a dado por S∞_m₌₁Bm, el cual es numerable por ser uni´on numerable

(11)

4 Serie de Fourier de una funci´

on casi–peri´

odica

En la próxima definición se denotarán por λ1, λ2, . . . , λn, . . . los valores para los cuales

a

f(λk)6= 0 y sea Ak =

a

f(λk) parak= 1,2, . . . .

Definición 4.1. Dada una función casi–periódica f, la serie

P_∞

k=1Ak

e

iλkx es llamada la serie de Fourier asociada con f, esto se escribir´a como f(x)∼ ∞ X k=1 Ak

e

iλkx. (4.1)

Los λk ∈R yAk ∈C, k= 1,2, ... son llamados respectivamentelos exponentes ylos coeficientes de Fourier de f. Se llama el espectro de f

al conjunto S={λ∈R:

a

f(λ)6= 0}. La desigualdad (3.11) implica tambi´en que

∞ X k=1 |Ak|2≤M n f2 o , (4.2)

conocida como la desigualdad de Bessel.

En caso de ser la funci´on f peri´odica con per´ıodo p, su serie usual de Fourier asociada dada por

f(x)∼ +∞ X k=−∞

c

k

e

iωkx, (4.3) donde ωk = 2πk_p ,

c

k = 1_p Rp 0 f(x)

e

iωkxdx, k = 0,±1,±2, . . ., coincide con la serie dada en la definici´on 4.1.

Teorema 4.2. Sif es una función casi–periódica y su derivadaf0 tam-bién es casi–periódica, entonces la serie de Fourier def0puede ser obteni-da por diferenciación término a término de la serie de Fourier def. Demostración. Es trivial comprobar que

M n f0

e

λ o =iλM n f

e

λ o , (4.4)

(12)

as´ıf0 tiene los mismos exponentes de Fourier quef, excepto paraλ= 0, si este fuese un exponente de Fourier def. Seaf(x)∼P∞_k₌₁Ak

e

iλkx y denotando por A0_k los coeficientes de Fourier de f0, de (4.4) se obtiene queA0_k =iλkAk y por lo tanto que

f0(x)∼ ∞

X

k=1

iλkAk

e

iλkx. (4.5)

Teorema 4.3. Si f es una funci´on casi–peri´odica y su antiderivada F

es casi–periódica, entonces la serie de Fourier de F puede ser obtenida por integración término a término de la serie de Fourier de f.

Demostraci´on. De (4.5) se sigue que si la antiderivadaF de la funci´onf

es casi–peri´odica, F(x) = Z x 0 f(t)dt∼c+ ∞ X k=1 Ak iλk

e

iλkx_. _(4.6)

Notese que λk 6= 0 para k = 1,2, . . . , pues λ = 0 no puede ser un exponente de Fourier def, que es la derivada de la funci´on casi–peri´odica

F.

El valor λ= 0 no puede ser un exponente de Fourier de una función casi–periódica la cual es la derivada de una función casi–periódica, en otras palabras, para que una primitivaF de una función casi–periódica

f sea casi–peri´odica es necesario que λ = 0 no sea un exponente de Fourier def.

Teorema 4.4. Sea f una funci´on casi–peri´odica. Si F(x) = R₀xf(t)dt

es una funci´on casi–peri´odica entoncesM{f}= 0.

El próximo corolario muestra que la condición M{f} = 0, no es una condición suficiente para la casi–periodicidad deF.

Corolario 4.5. Existen funciones f casi–peri´odicas tal que M{f} = 0 y cuya primitiva no es casi–peri´odica.

(13)

∞ X k=1 1 k2

e

i k2x, (4.7)

por el corolario 2.15, la suma f(x) de esta serie es una función casi– periódica y obviamenteM{f}= 0.Si la funciónF(x) =R₀xf(t)dt fuera casi–periódica entonces

F(x)∼c+ ∞ X k=1 1 ie i k2x_. _(4.8)

El lado derecho de (4.8) no es la serie de Fourier de una funci´on casi– peri´odica ya que no satisface la desigualdad de Bessel (ver (4.2)), pues es divergente la serie P∞_k₌₁1_i2 =P∞_k₌₁1.

La importancia de la teor´ıa de Bohr es resaltada por los siguientes resul-tados:

Teorema de unicidad 4.6. Sif yg son funciones casi–peri´odicas con la misma serie de Fourier entoncesf =g.

Ecuación de Parseval 4.7. Sif es una función casi–periódica tal que

f(x)∼P∞_k₌₁Ak

e

iλkx entonces ∞ X k=1 |Ak|2 =M n f2 o . (Ecuaci´on de Parseval) (4.9)

Teorema de aproximación 4.8. Dada una función casi–periódica f

tal que f(x)∼P∞_k₌₁Ak

e

iλkx y dado >0, existe un polinomio trigono-m´etrico S cuyos exponentes son exponentes de Fourier de f, el cual satisface

|f(x)−S(x)|< , −∞< x <∞. (4.10) El teorema 4.6 equivale a que el sistema ortonormal

e

λ(x)

λ∈R es

com-pleto en AP,h,i.

Sean B(R,C) = f : R → C | f es funci´on acotada y dU la m´etrica uniforme en B(R,C),

(14)

dU(f, g) = sup −∞<x<∞

f(x)−g(x) para f, g∈B(R,C). (4.11) Considerando el conjunto {S(x)} de los polinomios trigonom´etricos

S(x) es una funci´on de la forma (1.1) y denotando por ClU {S(x)} la clausura del conjunto {S(x)} correspondiente a la m´etrica uniforme. El principal problema de la teor´ıa de Bohr, que consiste en caracterizar las funciones f(x) ∈ ClU {S(x)} es resuelto por el llamado Teorema fundamental(teorema 4.9).

Teorema fundamental 4.9. La clausura del conjunto de los polino-mios trigonom´etricos coincide con la clase de las funciones casi–peri´ odi-cas, es decir

ClU {S(x)}=AP. (4.12) Demostraci´on. Si f ∈ ClU {S(x)}

entonces existe una sucesi´on {Sn}

de polinomios trigonom´etricos, la cual converge uniformemente en R a

f. Por el corolario 2.14 f ∈AP, as´ı

ClU {S(x)}

⊆AP. (4.13)

Si f ∈ AP entonces por el Teorema de Aproximaci´on f ∈

ClU {S(x)}, luego

AP⊆ClU {S(x)}

. (4.14)

De (4.13) y (4.14) se obtiene (4.12).

5 Aplicaci´

on a las ecuaciones diferenciales

ordi-narias

En esta sección se enuncian y demuestran dos resultados sobre soluciones casi–periódicas para una ecuación de la forma

dy

dx =λy+f(x), (5.1)

(15)

Teorema 5.1. Toda solución acotada para x ∈ R de la ecuación (5.1) es casi–periódica.

Demostración. La solución general de la ecuación (5.1) es

y(x) =

e

λx Z x 0

e

−λt_f₍_t₎_dt₊_C ! , (5.2)

dondeC es una constante arbitraria.

Si λ = µ+iν, debemos considerar los siguientes casos: (a) µ < 0, (b)

µ= 0 y (c) µ >0.

En el caso (a),

e

λx=

e

µx→ ∞cuandox→ −∞. As´ı para quey(x) tenga la posibilidad de ser acotada en la recta real (ya que la acotación es condición necesaria para que y(x) pueda ser casi–periódica, ver teorema 2.5) se debe tener queR₀x

e

−λtf(t)dt+C→0 cuandox→ −∞, es decir que

C=

Z 0 −∞e

−λt_f₍_t₎_dt, _(5.3)

donde la integral impropia es convergente, ya que

_e

−λt_f₍_t₎_≤

_e

−µt_sup_|_f₍_t_)|_, _t_≤₀_. _(5.4)

Sea y0(x) la soluci´on particular de (5.1), obtenida al sustituir (5.3) en (5.2), y0(x) = Z x −∞

e

λ(x−t)_f₍_t₎_dt. _(5.5) Tenemos que y0(x)≤M

e

µx Z x −∞e −µt_dt₌₋M µ , (5.6) dondeM = sup −∞<x<∞

f(x), (5.6) muestra quey0(x) es acotada.

As´ı en este caso la única solución acotada de la ecuación (5.1) está dada por (5.5). Ademásy0 es casi–periódica, pues si τ =τf(−µ)

(16)

y0(x+τ)−y0(x)≤ − 1

µsupf(x+τ)−f(x)≤, −∞< x <∞,

(5.7) esta desigualdad prueba queτ =τy0().

En el caso (b), y(x) =

e

iνx Z x 0

e

−iνt_f₍_t₎_dt₊_C ! , (5.8)

se sigue de (5.8) que y(x) es acotada si y solamente si R₀x

e

−iνtf(t)dt

es acotada. Siendo la funci´on bajo el signo integral

e

−iνtf(t) casi– peri´odica, por el teorema 2.16 la integral R₀x

e

−iνt_f₍_t₎_dt_{es casi–peri´}

odi-ca siy(x) es acotada. Por lo tanto y(x) es casi–peri´odica si es acotada. En el caso (c), procediendo an´alogamente al caso (a) podemos mos-trar que

y1(x) =−

Z _∞

x

e

λ(x−t)_f₍_t₎_dt, _(5.9) es la única solución acotada de la ecuación (5.1). y1(x) es casi–periódica puesto que cualquier número de traslación def(x) correspondiente a µ

es un n´umero de traslaci´on de y1(x) correspondiente a .

De los casos (a), (b) y (c), cualquier solución acotada de la ecuación (5.1) es casi–periódica.

El pr´oximo corolario se obtiene de los casos (a) y (c) en la prueba del teorema 5.1.

Corolario 5.2. Si la parte real de λ es no nula entonces la ecuación (5.1) tiene una única solución casi–periódica.

References

[1] A. S. Besicovitch,Almost periodic functions(Dover, New York,1958). [2] H. Bohr, Zur theorie der fastperiodischen funktionen, I, II, Acta

(17)

[3] H. Bohr,Almost periodic Functions(American Mathematical Society, 1999).

[4] C. Corduneanu,Almost periodic functions(AMS/Chelsea Publishing Company, New York,1989).

[5] B. M. Levitan and V. Zhikov, Almost periodic functions and differ-ential equations(Cambridge University Press, New York,1983). [6] C. Zhang, Pseudo almost periodic functions and their applications,

Thesis (University of Western Ontario,1992).

[7] C. Zhang,Pseudo almost periodic solutions of some differential equa-tions, J. Math Anal. Appl. 181, 62–74 (1994).