El Rango de Algunos Conjuntos

El Rango de Algunos Conjuntos

Usando las formulitas y algunos teoremitas de los capítulos pasados podremos descubrir exactamente donde se encuentran algunos conjuntos dentro de_BF. De alguna manera probaremos que "_ZFes cierto en_BF" pero por ahora lo dejaremos intuitivamente y lo formalizaremos cuando veamos la teoría de modelos de conjuntos. Terminaremos el cápitulo encontrando el rango de algunos conjuntos famosos.

Como_{a ∈ BF}si y solo si_{a ⊆ BF}y _{ρa = sup}

_

_ρx⁺

_|

_{x ∈ a}

_

entonces es fácil ver que:

Proposición Sean_{a,b ∈ BF}entonces:

a a,b ∈ BF^yρa,b = supρa⁺,ρb⁺.

b

_⋃

a ∈ BF^y ρ

_⋃

a =

_{⋃ }

ρx

|

x ∈ a



^{por lo}

que_ρ

_⋃

_{a ≤ ρa.}

c ^Sis ⊆ a^entoncess ∈ BF^yρs ≤ ρa. d ℘a ∈ BF^yρ℘a = ρa⁺.

e a,b ∈ BF^yρa,b = supρa⁺,ρb⁺⁺. f a ∪ b ∈ BF^yρa ∪ b = supρa,ρb.

g a × b ∈ BF^y ρa × b =

_{⋃ }

ρx⁺⁺⁺

|

x ∈ a ∪ b



^.

h ^Sif : a  b^entoncesf ∈ BF^yρf ≤ ρa × b. i ^ab ∈ BF^yρa × b ≤ ρ^ab ≤ ρa × b⁺.

j ^Sir ⊆ a × aes un buen orden entonces_{r ∈ BF.}

Tuvimos que_ρ

_⋃

_{a ≤ ρa}puede darse la igualdad, por ejemplo si hacemos a = ωo puede darse escrita, como tomando a_acomo cualquier ordinal sucesor. También podemos ver que_ρ^a_bes_{ρa × b}o_{ρa × b}⁺_. Los dos casos son posibles, por ejemplo ^ω_ωtiene rango_{ρω × ω}⁺ mientras que^ω_ω1tiene rango ρω × ω1.

Como en cada construcción subimos poquitos pasos entonces:

Corolario Seaω < α ∈ LIM^ya,b ∈ Rα ^entonces∅,a,b,

_⋃

a,℘a,a,b,a ∪ b, ω,a × b,^ab ∈ Rα.

Ahora pasaremos a encontrar el rango de_{ω,ℤ,ℚ,ℝ}y_{ℂ :}

Lema a ρω = ω b ρω × ω = ω

Para constuir aℤtomamos la relación ∼en_{ω × ω}donde a,b ∼ x,y si y solo sia + y = b + xy entonces definimos _{ℤ =}

_

_a,b

_|

_{a,b ∈ ω}

_

. Cadaa,b ⊆ ω × ω^{por lo que}a,b ∈ Rω+1y de esta forma_{ℤ ∈ Rω+2.}

La construcción de^ℚes muy parecida a la de_ℤ, solo definimos la

relación∼enℤ × ℤ − 0^{dada por}a,b ∼ c,dsi y solo si_{b ≠ 0 ≠ c} y_{ad = bc}. y entonces _{ℚ =}

_

_a,b

_|

a,b ∈ ℤ × ℤ − 0



^.

Como todos los enteros están en_Rω+1 entonces todas las parejitas de enteros están en_Rω+3 por lo que todos los racionales están en_Rω+4 y así_{ℚ ∈ Rω+5.}

Como hay muchas construcciones de_ℝ, naturalmente el rango de los reales depende de cada construcción. Para nosotros un real será una parejita

a,b^donde:

⋆ a,b ⊆ ℚ

⋆ ⋆ ℚ = a ∪ b^ya ∩ b = ∅

⋆ ⋆ ⋆ Ninguno es vacio y ninguno es todo^ℚ

⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ^Six ∈ a^yy ∈ b^entoncesx < y

⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ano tiene máximo

Si_a,bson como arriba entonces_a,bestán en el mismo nivel que^ℚ(_Rω+5) pues si ambos estuvierán más abajo entonces^ℚtambién. De esta forma todas las parejitas están en_Rω+7 por lo que_{ℝ ∈ Rω+8.}

Como cada real está en_Rω+7 entonces las parejitas de reales están en Rω+9^{por lo que}ℂ ∈ Rω+10. Pegando todo hemos probado que:

Proposición a ρω = ω b ρℤ = ω + 1 c ρℚ = ω + 4 d ρℝ = ω + 7 e ρℂ = ω + 9

Sin embargo podemos modificar estas construcciones para que estas estructuras aprescan antes. Una de las cosas que hace que su rango cresca es que al tomar par ordenado subimos dos niveles. Así que ahora veremos una definición alternativa de par ordenado ideada por Quine la cual no nos aumenta de nivel en los estratos transfinitos:

Definición Definimos lafunción de Quine^como: Q : V  V

Qa =



n⁺

|

n ∈ ω ∩ a



∪ a − ω

Es decir_Qlo que hace es sumarle uno a cada natural de_a. Notemos que 0 ∉ Qa^{para cada}a. ^Además:

Lema _{a Q}es inyectiva

b ^Sia ∉ Rω ^entoncesρQa = ρa

Con esto podemos dar la nueva definición de par ordenado:

Proposición Definimos elpar de Quine o par plano^de a^yb^como:

a,b_Q =



Qx

|

x ∈ a



^∪



Qy ∪ 0

|

y ∈ b



Notemos que _{a =}

_

_x

_|

Qx ∈ a,b_Q



mientras que

b =



y

|

Qy ∪ 0 ∈ a,b_Q



por lo que la definición de Quine cumple lo que debe cumplir cualquier definición decente de par ordenado:

Corolario Si_{a,bQ = c,dQ} entonces_{a = c}y_{b = d}

La razón del por que estamos viendo esto es lo siguiente:

Proposición _a Si_{a,b ∈ Rα} con_{α ≥ ω}entonces_{a,bQ ∈ Rα}

b ^Siω ≤ ρa^oω ≤ ρb^entonces ρa,b_Q = supρa,ρb

Sabemos que_{ρω = ω}y este ya no lo podemos mejorar, pues_ωes infinito. Ahora para la construcción deℤen ves de tomar clases de equivalencia

podriamos tomar un representante de cada uno, por ejemplo definir: ℤ^′ ₌

_

_a,0

_|

_{a ∈ ω}

_

∪

_

_0,b

_|

_{b ∈ ω}

_

y así_ρℤ^′_{ = ω} (ya que^ℤ′ _{⊆ ω × ω}). Para los racionales hacemos lo mismo, pero usando el par de Quine (notemos que para^ℤno nos ayuda el par de plano) y definir

ℚ^′ ₌

_

_a,bQ

_|

_{a,b ∈ ℤ}^′ y son primos relativos

_

. Todos los elementos de^ℤ′ están en_Rωde modo que sus pares de Quine están también en_Rωy así_ρℚ^′_{ = ω.} La definición deℝ^′ es la misma que la deℝpero usando el par de Quine. Todos los subconjuntos de^ℚ′ están en_Rω+1por lo que las parejitas que necesitamos también y así_ρℝ^′_{ = ω + 1.} Observemos que esto es optimo pues por tamaño es imposible que_{ρx = ω}con xno numerable. Naturalmente ℂ^′ será todos los pares de Quine deℝ^′ por lo que_ρℂ^′_{ = ω + 1.} Resumiendo:

Proposición a ρω = ω b ρℤ^′ = ω c ρℚ^′ = ω d ρℝ^′ = ω + 1 e ρℂ^′ = ω + 1

Ahora hablemos un poco sobre la Hipotesis del Continuo (esto me lo dijo Jose Alfredo).

¿En que estrato se decide la Hipotesis del Continuo? sabemos que_HCes equivalente a que exista_{f : ℝ  ω1}inyectiva. Cada par_r,αcon_{r ∈ ℝ}y α ∈ ω1^{aparece en}Rω1 ^{y como}fℝes no acotado entonces_{f ⊆ Rω1} de manera que_{f ∈ Rω1.} De esta forma para saber si_HCes verdadera o no "solo"

tendríamos que revisar a todo_Rω1 para ver si ahi hay una función inyectiva

de los reales a_ω1. De haberla sería verdadera y en caso contrario sería falsa.

Sin embargo no es necesario irnos tan arriba para conocer la verdad de HC!!!

Dado que_{|Rω+1| = 2}^ℵ0 entonces hay_{a ∈ Rω+2} que tiene tamaño_ℵ1de esta manera la hipotesis del continuo es equivalente a que hay una biyección entre

℘ω^ya.Todo subconjunto de_ωy todo elemento de_aestán en_Rω+1 ahora en ves de coinsiderar funciones normales, coinsideraremos "funciones de Quine" que son lo mismo que las funciones pero usando pares planos en ves de pares ordenados normales.

Como todo par plano con la primera entrada en_℘ωy la segunda en_aestá en_Rω+1entonces toda función de Quine de_℘ω a_aestá en_Rω+2. De esta forma no es necesario revisar a todo_{Rω1 + 1}para conocer la Hipotesis del Continuo si no a_Rω+2. (Fue una gran mejora no?)