TRABAJO PRÁCTICO Nº 2 MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

TRABAJO PRÁCTICO Nº 2 – MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

PRIMERA PARTE: PÉNDULO IDEAL

Objetivo

Determinar la aceleración de la gravedad con un error relativo menor al 2 %.

Introducción teórica

El péndulo ideal es una masa puntual suspendida de un hilo inextensible que oscila en un plano.

Las fuerzas que actúan sobre la masa son: el peso (P) y la fuerza que ejerce el hilo (T).

El diagrama de cuerpo libre cuando el hilo forma un ángulo α se muestra en la figura.

Según el sistema indicado, se puede escribir la segunda ley de Newton:

En el eje normal:

V2

T mg cos m α L

− =

(1) donde se ha utilizado

2 c

a V

= L En el eje tangente:

2 2

mg sen md s α dt

− =

(2) donde s es el arco de circunferencia. Por lo tanto, si reemplazamos que s Lα= , obtenemos de la ecuación (2):

2 2

g sen Ld dt α α

− =

(3) En esta ecuación se puede observar que la fuerza tiene sentido contrario al desplazamiento, por lo que la masa tiende a su posición de equilibrio (vertical).

No es sencillo encontrar solución a esta ecuación diferencial, pero se puede limitar el estudio a pequeñas oscilaciones.

Si suponemos que s<<L, se puede aproximar senα α≅ , por lo que se obtiene:

2 2

g d

L dt

α α

− =

(4) Esta es la ecuación diferencial de un movimiento armónico simple.

i proponemos como solución α(t)=α_osen( tω +ϕ_o), ent por lo tanto,

2

2

o o

2

d sen( t )

dt

α = −α ω +ϕ ω

(5) y reemplazando en la ecuación diferencial obtenemos la siguiente igualdad:

2 g

ω =L

(6) (α y _o ϕ quedan determinados por las condiciones iniciales). De este modo, según la aproximación de pequeñas _o oscilaciones, el período de un péndulo está dado por

T 2 L π g

=

 (7)

Pasos a seguir en el Laboratorio

A partir de la ecuación (7), que se puede rescribir de la siguiente forma

2 2

g 4 L π T

= (8)

se calculará la aceleración de la gravedad a partir de la medición de la longitud y período de un péndulo.

T

P

α n

t

En el laboratorio se utilizarán los siguientes materiales:

-regla -cronómetro -transportador -masa -hilo

Para el desarrollo de esta experiencia, se deberá tener en cuenta los siguientes puntos:

Armar el dispositivo de un péndulo

Dado que la expresión que se utilizará es válida sólo para pequeñas oscilaciones, la amplitud de oscilación no debe superar los 10º. Para ello se colocará un transportador que se debe fijar al punto de sujeción.

Medir la longitud del hilo

Se supone que la masa que hemos considerado es puntual, lo cual no es estrictamente cierto en la experiencia real.

Por ello, la longitud del hilo deberá ser lo mayor posible dentro de las posibilidades del laboratorio y deberá medirse desde el punto de suspensión hasta el centro de la esfera. Al considerar el centro de la esfera, se está suponiendo que esta es simétrica y homogénea y, como no es así, se deberá considerar un error en la longitud mayor al del instrumento (sugerimos 0,5 cm).

En lugar de aumentar el error en la longitud, se podría introducir una corrección a la expresión utilizada; pero no lo haremos.

Medir el período de una oscilación

Para medir el período, se utilizará un cronómetro digital. En este caso, el error del instrumento es mucho menor al error de apreciación del observador. Se propone considerar que el error en la medición del tiempo es de 0,2 segundos (esto corresponde al tiempo de reacción, aproximado).

Supongamos un péndulo de L = (1,000 + 0,005) m, con período T = (2,0 + 0,2) seg, por lo que (despreciando el εrel(π))

g L T 0,005 0, 2

2 2 0, 205

g L T 1 2

∆ ∆ ∆

= + = + =

(9) Se puede observar que el error relativo de esta medición resulta mayor al que se propone en el objetivo de esta

práctica (ε_rel(g) 0,02< ). Para disminuir el segundo término, se puede medir el tiempo tn correspondiente a n períodos.

De esta forma, se puede calcular

t t 0, 2

T y T seg

n n n

= ∆ =∆ = (10)

pudiendo ajustar el número de oscilaciones que es necesario medir para llegar al error requerido.

Calcular el número de oscilaciones para que el error relativo resulte menor al 2%

Una vez medida la longitud L de un péndulo y medido el período T de una oscilación, se puede calcular el número n de oscilaciones que se deben considerar para calcular g con un error relativo menor al 2%. Si

g L T L t

2 2 0,02

g L T L nT

∆ ∆ ∆ ∆ ∆

= + = + <

(11) Podemos despejar n y obtenemos la siguiente expresión:

2 t n

T(0, 002 L L

∆ <

− ∆ (12)

Medir el tiempo de n oscilaciones y calcular el período de una oscilación.

Una vez calculado el número de oscilaciones necesario, se medirá el tiempo de las n oscilaciones y se calculará el período del péndulo (y su error).

Los datos obtenidos, se resumirán en una tabla:

L ∆L Taprox n t ∆t T ∆T

Calcular la aceleración de la gravedad y su error

Utilizando los datos anteriores, a partir de la ecuación (8), obtener el valor de g con su error. Repetir el procedimiento para 5 longitudes diferentes.

Recomendaciones para el informe

Lea PAUTAS PARA LA ELABORACIÓN Y PRESENTACIÓN DE INFORMES DE LABORATORIO Confeccione un gráfico de T² (L) y analice su dependencia.

Compare los resultados obtenidos y determine un valor representativo de g. Éste será el que el grupo utilizará en los próximos informes.

Coloque en un apéndice el cálculo utilizado para determinar las incertezas de las magnitudes determinadas mediante mediciones indirectas.

SEGUNDA PARTE: RESORTE

Objetivo

Determinar la constante elástica de un resorte a partir de dos métodos: el método estático y el método dinámico.

Introducción teórica

Un resorte ideal es un cuerpo que, frente a deformaciones, ejerce una fuerza restitutiva proporcional a la deformación.

Dicha constante de proporcionalidad se conoce como constante elástica (K).

elastica o

F = −K(x l )− = − ∆ K x (13)

Siendo lo la longitud del resorte no deformado.

Esta proporcionalidad es válida dentro de un rango propio de cada cuerpo fuera del cual estas deformaciones resultan permanentes.

Un cuerpo de masa m se encuentra suspendido por un resorte, como se muestra en la figura. Las fuerzas que actúan sobre este cuerpo son: el peso (P) y la fuerza que ejerce el resorte (Fel).

Se puede escribir la segunda ley de Newton en la dirección x:

2

o 2

K(x l ) P md x

− − + = dt

(14) Equilibrio estático

En el caso que la masa se encuentre en equilibrio estático, obtenemos de la ecuación anterior que:

K(x l ) P− o = (15)

A partir de esto, se puede obtener la posición de equilibrio:

eq o

x P l

=K+

(16) Situación dinámica

En este caso, se debe resolver la ecuación diferencial (14). Para ello, se propone un cambio de variables:

z x l= − o (17)

De esta forma obtenemos la siguiente ecuación diferencial no homogénea (esto es porque en la ecuación existe un término constante)

2 2

Kz P md z

− + = dt

(18) La solución de esta ecuación diferencial está dada por:

no hom hom eq

z =z +z

(19) Esto significa que para resolver esta ecuación, se buscará la solución para la ecuación homogénea y a ésta se sumará una solución particular (la obtenida en la situación de equilibrio estático).

La ecuación homogénea en este caso es:

x P

Fel

l0

0

2 2

Kz md z

− = dt

(20) Proponiendo como solución a esta ecuación z_hom =A sen( tω +ϕ_o)y reemplazando en la ecuación diferencial, se obtiene que:

2 K

ω =m

(21) y, como antes, A y ϕ quedan determinados por las condiciones iniciales. _o

Considerando la solución particular de equilibrio, _eq P

z =K, obtenemos finalmente que

o o

x(t) A sen( t ) P l ω ϕ K

= + + + (22)

Esta solución corresponde a un movimiento armónico simple. El segundo y tercer término indican que la masa oscila alrededor de una posición de equilibrio dada por lo + P/K.

El período de oscilación de este movimiento es:

T 2 m π K

= (23)

Método de cuadrados mínimos

Este es un método general que se utiliza para determinar una relación entre magnitudes físicas. En particular, en este caso lo utilizaremos para una relación lineal entre dos magnitudes.

Si se consideran dos magnitudes medidas (x, y) y que entre ellas existe una relación lineal (y = ax + b), utilizando este método se puede calcular los coeficientes (a y b) que mejor satisfacen esta relación.

Supongamos que xi e yi son los valores correspondientes a la i-ésima medición de un total de N mediciones realizadas, dado que estas mediciones suponen incertezas, no necesariamente se cumplirá la relación propuesta. Por lo tanto, el apartamiento o diferenciaε entre la recta propuesta y esa medición será: _i

i yi axi b

ε = − − (24)

Es por ello que, si se quiere considerar el apartamiento de todas las mediciones, es conveniente sumar el cuadrado de cada apartamiento εi2 ya que pueden tomar valores tanto positivos como negativos. Por lo tanto

N N

2 2

i i i

i 1 i 1

(y ax b) ε

= =

= − −

∑ ∑

El objetivo de este método es buscar aquella recta con menor apartamiento. Para minimizar esta diferencia entre las mediciones y la recta, se pide la condición que la derivada esta función respecto a y b sea nula.

N 2

i i 1

d da 0

ε

= =

∑

y

N 2

i i 1

d db 0

ε

= =

∑

(26) Derivando(26), se obtiene:

N 2

i

2 i 1

i i i i

d

2a x 2 x y 2b x 0

da ε

= = − + =

∑

∑ ∑ ∑

N 2

i i 1

i i

d

2Nb 2 y 2a x 0

da ε

= = − + =

∑

∑ ∑

Si despejamos, se obtienen los coeficientes que cumplen esta condición:

i i i i

2 2

i i

2

i i i i i

2 2

i i

N x y x . y

a N x ( x )

x . y x . x y

b N x ( x )

= −

−

= −

−

∑ ∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑

Pasos a seguir en el laboratorio

Se calculará la constante elástica de un resorte mediante dos métodos: el método estático y el método dinámico.

Método estático

Se calculará la constante elástica del resorte a partir de la medición de la masa que se coloca a un resorte y la longitud que éste adquiere, considerando la ecuación (15)

K(x l ) P− o = En el laboratorio se utilizarán los siguientes materiales:

- regla -balanza -resorte -masas

Para el desarrollo de esta experiencia, se deberá tener en cuenta los siguientes puntos:

Armar el dispositivo para considerar el estiramiento del resorte respecto una longitud con carga inicial Colocar un extremo del resorte sobre un punto fijo, se coloca en el otro extremo una masa (m1) y, una vez que se encuentre en equilibrio, se mide la longitud del resorte (l1).

En estas condiciones, K (l1 - lo) = P1

Luego, se agregará una masa (mi), midiendo la longitud que adquiere el resorte en equilibrio.

En estas condiciones, K (li - lo) = P1 + Pi. Si restamos estas ecuaciones, obtenemos:

K (li - l1) = Pi

De esta forma, no es necesario medir la longitud del resorte sin carga.

Para calcular la constante elástica del resorte consideraremos el estiramiento respecto a la carga inicial (L = li - l1) como variable independiente y el peso agregado P1 como variable dependiente en el método de cuadrados mínimos.

Medición

Realizar al menos 10 mediciones y confeccionar una tabla con la siguiente información l1=...+...

li ∆li L = li - l1 ∆L m ∆m P ∆P

Calcular la constante elástica del resorte

A partir de estos datos (el estiramiento y el peso agregado), mediante el método de cuadrados mínimos, ecuación (27), obtener la constante elástica del resorte.

Método dinámico

Se calculará la constante elástica del resorte a partir de la medición de la masa y el período de oscilación de un cuerpo considerando la ecuación (23) que se rescribe a continuación:

2

K 4 m πT

= En el laboratorio se utilizarán los siguientes materiales:

-cronómetro -balanza -resorte -masas

Armar el dispositivo

Colocando un extremo del resorte en un punto fijo y en el otro extremo una masa.

Medir el período de oscilación y la masa colocada en el resorte

Al apartar la masa de la posición de equilibrio, ésta comenzará a oscilar. Para medir el período de una oscilación se utilizará el cronómetro. Como hemos aclarado en la primer parte, se deberá considerar como error para esta medición el tiempo de reacción (0,2 segundos aproximadamente).

Se puede tomar el tiempo de n oscilaciones para disminuir el error en la medición (el número de oscilaciones en este caso debe ser menor a 5, ya que en este caso el movimiento se amortigua rápidamente)

Utilizando una balanza, medir la masa.

Los datos obtenidos, se resumirán en una tabla:

n t ∆t T ∆T m ∆m

Calcular la constante elástica del resorte y su error Utilizando los datos anteriores.

Repetir el procedimiento para 5 masas diferentes.

Recomendaciones para el informe

Lea PAUTAS PARA LA ELABORACIÓN Y PRESENTACIÓN DE INFORMES DE LABORATORIO En el caso estático, confeccione un gráfico de los valores experimentales L (P), graficando conjuntamente la recta determinada por el método de cuadrados mínimos.

En el caso dinámico, confeccione un gráfico de T² (m) y analice su dependencia.

Compare los resultados obtenidos por el método dinámico y determine un valor representativo para este caso.

Compare los resultados obtenidos de la constante elástica del resorte para el caso estático y el caso dinámico.

Coloque en un apéndice el cálculo utilizado para determinar las incertezas de las magnitudes determinadas mediante mediciones indirectas.