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(1)Teoría del Consumidor: Dualidad Si las preferencias del consumidor sobre cestas de bienes (x

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Academic year: 2023

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(1)

Teoría del Consumidor: Dualidad

Si las preferencias del consumidor sobre cestas de bienes (x; y) 2 R2+ están representadas por una función de utilidad u continua, no- decreciente en x e y; y cóncava, la resolución del problema

max

x;y

u(x; y) pxx + pyy I;

x 0; y 0;

proporciona las funciones de demanda ordinarias (marshallianas) del consumidor,

x(px; py; I); y(px; py; I) y la función indirecta de utilidad

v(px; py; I) = u(x(px; py; I); y(px; py; I)):

Estas funciones son continuas, homogéneas de grado cero en (px; py; I).

(2)

Teoría del Consumidor: Dualidad

El problema dual del consumidor consiste en minimizar el gasto nece- sario para alcanzar un cierto nivel de bienestar:

min

x;y

pxx + pyy u(x; y) u;

x 0; y 0:

La solución a este problema proporciona las funciones de demanda compensadas (hicksianas),

hx(px; py; u) hy(px; py; u) y la función de gasto

e(px; py; u) = pxhx(px; py; u) + pyhy(px; py; u)):

Estas funciones son continuas y homogéneas de grado cero en (px; py):

(3)

Teoría del Consumidor: Dualidad

Las relaciones entre las soluciones del primal y el dual están descritas por las identidades:

x(px; py; I) hx(px; py; v(px; py; I)) y(px; py; I) hy(px; py; v(px; py; I))

hx(px; py; u) x(px; py; e(px; py; u)) hy(px; py; u) y(px; py; e(px; py; u))

u v(px; py; e(px; py; u)) I e(px; py; v(px; py; I):

(4)

Teoría del Consumidor: Dualidad Derivando la identidad

hx(px; py; u) x(px; py; e(px; py; u)) con respecto a px obtenemos

@x

@px + @x

@I

@e

@px = @hx

@px:

; Despejando @x=@px y observando que

@e

@px

= hx(px; py; u) = x;

(un resultado conocido como Lema de Shephard, que es una conse- cuencia directa del Teorema de la Envolvente), obtenemos la Ecuación de Slutsky,

@x

@px = @hx

@px

@x

@I x:

(5)

Teoría del Consumidor: Dualidad

La Ecuación de Slutsky proporciona una descomposición del efecto de una variación del precio de un bien sobre su demanda en un efecto sustitución

@hx

@px

< 0 y un efecto renta

@x

@I x Q 0 x es un bien normal x es un bien inferior.

(6)

Teoría del Consumidor: Dualidad

Cuando la renta monetaria del consumidor es el valor de su dotación inicial de bienes, como ocurre en el modelo consumo-ocio, la descom- posición en efecto sustitución y renta del efecto total de la variación en el precio de un bien sobre su demanda adopta una forma distinta.

El problema del consumidor con dotación inicial (x; y) es:

max

x;y

u(x; y)

pxx + pyy pxx + pyy;

x 0; y 0:

Las funciones de demanda ordinarias que resultan de resolver este problema tienen como argumentos los precios de los bienes:

~

x(px; py); ~y(px; py):

(7)

Teoría del Consumidor: Dualidad

La relación de estas funciones con las funciones de demanda ordi- narias obtenidas para el caso en que la renta monetaria es exógena es:

~

x(px; py) x(px; py; I(px; py))

~

y(px; py) y(px; py; I(px; py));

donde I(px; py) pxx + pyy:

La Ecuación de Slutsky en este contexto se obtiene derivando esta identidad con respecto a px:

@ ~x

@px

= @x

@px

+ @x

@I

@I

@px

:

(8)

Teoría del Consumidor: Dualidad Tenemos:

@I

@px

= @ (pxx + pyy)

@px

= x:

Utilizando la Ecuación de Slutsky para x(px; py; I) obtenemos

@ ~x

@px

= (@hx

@px

x@x

@I ) + @x

@I x

= @hx

@px (x x)@x

@I :

(9)

Teoría del Consumidor: Dualidad En la Ecuación de Slutsky en este contexto,

@ ~x

@px

= @hx

@px

(x x)@x

@I ;

el signo del efecto renta depende del signo del término x x: Cuando x x > 0;

es decir, cuando el consumidor es un comprador neto de x, el efecto renta tiene el signo habitual: negativo si el bien es normal y positivo si es inferior.

(10)

Teoría del Consumidor: Dualidad Sin embargo, cuando

x x < 0;

es decir, cuando el consumidor es un vendedor neto de x, el efecto renta tiene el signo contrario al habitual: positivo si el bien es normal y negativo si es inferior.

En este caso, es posible que el efecto total de la variación del precio del bien sobre su demanda sea positivo (es decir, que un aumento del precio del bien resulte en un aumento de la demanda del bien), a pesar de que se trate de un bien normal.

Referencias

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