BEAL ACADEMIA DE CIENCIAS

BEAL ACADEMIA DE CIENCIAS

EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES

DE

M A D R I D

SERIE DE CIENCIAS EXACTAS

TOMO XIX

MEMORIAS

DE LA

REAL ACADEMIA DE CIENCIAS

EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES

DE

M A D R I D

SERIE DE CIENCIAS EXACTAS TOMO XIX

SUPERFICIES DE KLEIN ELÍPTICAS - HIPERELÍPTICAS POR

Emilio Bujalance García José Javier Etayo Gordejuela José Manuel Gamboa Mutuberría

M A D R I D

DOMICILIO DE LA ACADEMIA VALVERDE, 22 - TELEFONO 221 25 29

1 9 8 5

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Se deja de odiar cuando se deja de ignorar (Tertuliano)

El objetivo de este trabajo es estudiar las superficies de Klein, con borde, elipticas-hiperelípticas.

Una superficie de Klein es un par (X,1i) donde X es una superfi- cie compacta y íí es un atlas dianalítico sobre la misma. Se dice que la superficie X es elíptica-hiperelíptica si tiene un automorfismo

•f de orden 2 de modo que /^ tiene género 1.

A finales del siglo pasado, y como continuación natural del estudio de las superficies de Riemann (superficies de Klein orientables sin borde) hiperelípticas, Schottky [33,34] introdujo el concepto de superficie elíptica-hiperelíptica. Sus trabajos fueron proseguidos por Roth [32].

Recientemente se ha reemprendido el estudio de estos temas, a partir de los trabajos de Accola [l], Farkas-Kra [19], Farkas Cl8].

Estas cuestiones, en el caso de las superficies con borde, han tenido un desarrollo mucho más tardío por la carencia de técnicas adecua- das. El trabajo de Alling y Greenleaf [3] abre las vías para un estudio moderno de este problema.

En este trabajo iniciamos el estudio de las superficies de Klein elipticas-hiperelípticas, que son el paso siguiente al estudio de las su- perficies de Klein hiperelípticas, realizado en los últimos años.

La equivalencia funtorial entre las categorías de superficies de Klein con borde y curvas algebraicas reales permite aplicar nuestros méto- dos trascendentes al estudio de curvas algebraicas sobre el cuerpo de los números reales.

El trabajo está dividido en seis capítulos, el primero de los cua- les recoge las técnicas y resultados generales que se utilizan en el resto.

- 8 -

Los capítulos 2 a 6 están compuestos por resultados originales.

En el capítulo 2 se caracterizan las superficies de Klein ellpticas-hi- perelípticas en términos de grupos discretos de isometrías del plano hiper- bólico. A continuación, en el capítulo 3 estudiamos las cubiertas dobles elípticas-hiperelípticas de superficies de Klein hiperelípticas; se obtie- nen los tipos topológicos de estas cubiertas y se calcula su número. El capitulo termina con una conjetura sobre clasificación de las cubiertas de una superficie hiperelíptica.

Los capítulos 4 y 5 se dedican al estudio de grupos de automor- fismos. Una superficie de género p tiene a lo más 12(p-l) automorfis- mos [27]. Se prueba en el capítulo 4 que cuando las superficies son elípticas-hipereliticas esta cota se reduce a 4(p-l) excepto en dos casos concretos, en los que se caracteriza topológicamente la superficie y se determina su grupo de automorfismos. En el capítulo 5 se obtienen los grupos de automorfismos de todas las superficies de género 3«

Por último, en el capítulo 6, se hace uso de la equivalencia antes mencionada para traducir los resultados obtenidos al estudio de cur- vas algebraicas reales.

1. Grupos cristalográficos no euclideos.

Consideremos en el plano complejo C las transformaciones de los siguientes tipos:

(1) w(z) = -r, z e C, a,b,c,d e R, ad-bc = 1

(2) w(z) = r-^j> z e C, a,b,c,d e R, ad-bc = -1.

Las transformaciones de los tipos (1) y (2) constituyen un grupo, que llamaremos tf, que aplica el semiplano 'lm(z) > 0' sobre sí mismo. A este semiplano lo llamaremos D.

Las transformaciones del tipo (1) conservan la orientación de D, y pueden ser de tres clases: (a) si la+d| > 2, transformación hiperbólica, con dos puntos fijos en el eje real; (b) si la+d| < 2, elíptica, con un punto fijo en D; (c) si |a+d| = 2, parabólica, con un punto fijo doble en el eje real.

Las del tipo (2) invierten la orientación de D, y son de dos clases: (d) si a+d ¿ 0 es una reflexión sesgada con dos puntos fijos en el eje real; íe) si a+d = 0 es una reflexión y tiene como puntos fijos una semicircunferencia centrada en el eje real o una semirrecta per- pendicular al mismo.

Dotando al semiplano D de la métrica riemanniana z = x+i y ,

d s ,

se tiene a D como modelo del plano hiperbólico, y ^ es entonces su grupo de isometrías.

Llamaremos grupo cristalográfico no euclídeo — grupo NEC — a todo subgrupo discreto, f> de 6, tal que el espacio cociente /_

-

-

sea compacto. Si un grupo NEC contiene sólo elementos que conservan la orientación se llama grupo fuchsiano.

Para el estudio de la estructura algebraica de los grupos NEC, Wilkie [391 demostró que todo grupo NEC determina una región fundamental de un tipo particular, y obtuvo a partir de ella una presentación para el grupo mediante generadores y relaciones;

Si P es un grupo NEC y p es un punto de D tal que Y(p) 4 P para Y e P, V / 1, entonces una región fundamental para f es

F = {z « D I d(z,p) S d(yz,p) V i e ["}.

F es un polígono no euclídeo convexo con un número finito de lados. El espacio cociente /p se obtiene al identificar adecuadamente los lados de la frontera del polígono.

En [39] se demuestra que dado un grupo P, existe una región fundamental para P que es un polígono en D cuyo perímetro es de la forma

o de la forma

(2) 5

f

...f

!

£

ir

...ír

S-

k

ko-

Cada letra denota un lado del polígono; los lados con igual nombre salvo la prima (!,f; *>*'> ^ j0* ' ; I3»?1) se identifican mediante un generador del grupo que conserva la orientación; los lados con igual nom*

bre salvo asterisco (6,4*) se identifican mediante un generador que in- vierte la orienatación.

Así, una vez realizadas las identificaciones, (1) constituye una superficie cerrada orientable, de género g, con k componentes en el borde, y (2) una superficie cerrada no orientable, con g cofias cruzadas y k componentes en el borde.

Macbeath [25] asoció a los grupos NEC una signatura, como exten-

sión de la que Klein [20] asoció a los grupos fuchsianos. La signatura viene dada por la región fundamental, y Wilkie y Macbeath probaron que determina completamente la estructura algebraica del grupo.

Una signatura NEC es una familia formada por:

i) un entero g, llamado género;

ii) un signo, •+• ó '-';

iii) un conjunto de enteros, m.,...,^ , llamados periodos propios;

iv) una familia de conjuntos ordenados de enteros, (n.-,...

.. ,n. )>•••> (n. «, >nks. )» llamados ciclo-periodos.

Los números g (sólo en caso de signo ' + ')> r, k, s., pueden ser cero. Los números m., n. ., son 2.

Esta signatura se escribe abreviadamente

(g>í> D"j» • • • j^pl >{(njj> • • ' »njs )»• • *^^nki» • • * >nks, ^^*

Si r = 0, escribiremos (...,£—],...); si k = 0, (...,{—}); y si al^

gún s.^ = 0, (...,(...,(—),...}).

A un grupo NEC con una región fundamental del tipo (1) le corres- ponde la signatura

(g, + , [ja j,.. • .,m g], {(n ^,... ,n ^g ) , . . . , ( n ^ ... , n ^ ) J )

y a uno con región fundamental del tipo (2) le corresponde

(g>-> L"¹!» • • • >^mrJ >í(njj,.. «>nj^s ) , . . .,(nj^tj,...,n. )}), esto es, el signo expresa la orientabilidad o no orientabilidad.

A partir de las regiones fundamentales asociadas a un grupo NEC, o, como hemos visto que es lo mismo, a su signatura, Wilkie construyó una presentación para el grupo mediante generadores y relaciones. En conse- cuencia, la signatura determina la estructura algebraica del grupo.

El resultado de Wilkie es el siguiente:

- 12 -

Sea f un grupo NEC de signatura

Entonces F tiene la siguiente presentación mediante generadores y rela- ciones:

(Generadores)

i) x. i = l,...,r (transformaciones elípticas) ii) e. i = l,...,k (transformaciones hiperbólicas) iii) c, . i = l,...,k j = 0,...,s. (reflexiones)

iv) (con signo '+') a.,b. i = l,...,g (transf. hiperbólicas) (con signo •-') d. i = l,...,g (reflexiones sesgadas).

(Relaciones) m.

i) x. = 1 i = 1,...,r

ii) e. c.-e.c. = 1 i = l,...,k

' i lO i is. ' '

o o nj j Í = l , . . . , k

iii) c^ ._^t = cí\ = (c^jL ._^íc^±.) ³ = 1

iv) (con signo • + ') x....x e^t.. .e. a.b¹a¹ b. . . . a b a b = 1

Í r x K X i J i i g g g g

( c o n s i g n o ' - • ) x , . . . x e1. . , e , d2 2). . . d = 1.

En adelante, cuando denotemos a un elemento de V mediante las letras a, b, c, d, e, x, nos referiremos a los elementos de una presenta- ción de este tipo.

El grupo NEC f tiene asociado un subgrupo fuchsiano canónico, que es el formado por los elementos orientables de V. A este grupo fuch- siano lo llamaremos F , y su signatura [29] es

(ag+k-1, + ,+ , [nij,mlt... ,mr,mr,nu,... ,n. ] ,{

donde ct = 2 cuando la signatura de f tiene signo ' + ' y ot = 1 cuando la signatura de f tiene signo '-'.

Recordando que hemos establecido en el semiplano 0 la métrica

¿s ⁼ —Idz!f z = x + x y >

y

queda determinado el concepto de área (hiperbólica). Dado un grupo NEC, todas sus regiones fundamentales tienen la misma área [J29]. En consecuen- cia llamaremos área asociada al grupo NEC f , I l~ I , a la de cualquiera de sus regiones fundamentales. Esta área se determina mediante el teorema de Gauss-Bonnet, y se obtiene [29] que si f es un grupo NEC de signatu- ra

,... ,n. ) el área de V es

ir! = 2tr Ug + k - 2 + I (1- i-> + \ I 1 ^ 1 - -

n i

Como el área de una región fundamental ha de ser estrictamente positiva, queda expresada una condición necesaria para que una signatura determine un grupo NEC. Zieschang [40] demuestra que la condición es también suficiente, esto es, que dada una signatura, existe un grupo NEC con esa signatura si y sólo si el área asociada es estrictamente positiva.

El área de la región fundamental de un grupo NEC permite también el estudio de los suhgrupos NEC del mismo. En efecto, éstos son justamente los de índice finito, y además el cociente de las áreas asociadas es el índice. Más concretamente: Dado un grupo NEC T y un subgrupo H de r con índice N finito, H es un grupo NEC [4] Si T es un grupo NEC y H es un subgrupo de f de índice N finito, entonces |H| =

= N|r 1 [29]. En consecuencia, si f es un grupo NEC, y H un subgrupo NEC de T, |r:H| es finito.

- 14 -

2. Superficies de Klein.

Una carta compleja en una superficie X (con o sin borde) es un par (U,^) donde U es un abierto de X y t un homeomorfismo de U sobre un abierto del plano complejo o del semiplano complejo cerrado.

Una familia de cartas U = l(U,,¥•), iel} se llama un atlas diana- lítico de X si:

i) \J U. = X iel

ii) Dadas cartas (Vi,fi), (U.,f.) con ü.ftü. /(I, entonces se tiene que f . *í. es un homeomorfismo conforme o anti-conforme. En caso de que í.(ü. n ü . ) interseque el eje real, *f. f~ admite una extensión analítica o anti-analítica a un abierto del plano.

Una superficie de Klein es el par formado por una superficie X y un atlas dianalítico V, sobre ella. Otro atlas W sobre X define la misma estructura cuando Wwíí1 es un atlas dianalítico (véase [3])-

Una superficie sin borde en la que las funciones de transición V .f" sean conformes es una superficie de Riemann. Nótese que las super-

ficies de Riemann son superficies de Klein orientables sin borde.

El borde de la superficie X está formado por los puntos xeX, tales que existe (U.,f.) con xeU., y f.(U.) es abierto en el semipla- no complejo cerrado pero no en C, y *f.(x)e(R.

Definidos los objetos de la categoría de superficies de Klein, estudiaremos ahora los morfismos entre ellos.

Dadas dos superficies de Klein X, Y, un morfismo entre ellas es una aplicación continua f : X —• Y con f (íX) C 3Y, de modo que para cada xeX existen cartas complejas (U,^), (V,Y) con xeU, f(x)eV y F : *f(U)-* C analítica, tal que el diagrama

u - ». v

i I*

D

C % • D

con $: C —» D : x+iy t-» x+i|y|, es conmutativa.

Cuando f : X —• Y sea homeomorfismo diremos que el morf ismo es un automorfismo.

Los resultados obtenidos por Alling y Greenleaf [3], Preston [31], Singerman [35] y May [28] nos permiten relacionar las superfi- cies de Klein y sus grupos de automorfismos con los grupos NEC, como sigue:

Si f es un grupo NEC, el espacio cociente /j- tiene una única estructu- ra dianalítica tal que la proyección n : 0 -• /p es un morfismo de super- ficies de Klein [3] .

Una superficie de Klein de género topologico g con k componen- tes en el borde que no sea de Riemann tiene género algebraico p = ttg+k-1 donde d es 2 cuando la superficie es orientable y 1 cuando es no orientable.

Entonces, si X es una superficie de Klein de género algebraico p :> 2, género topologico g y k componentes en el borde, X se puede representar de la forma X = /p donde P es un grupo NEC de signatura

con signo '+' ó '-' según que la superficie sea o no orientable, [31>

35].

Por último, un grupo finito G es un grupo de automorfismos de la superficie de Klein /«- si y sólo si G = /.- donde P es un grupo NEC del que f es subgrupo normal [28] .

Dada una superficie de Klein /- , llamaremos superficie de Riemann asociada a ella a /•-+• Entonces el género algebraico de /p coincide con el género topologico de / +.

- 16 -

3» Recubridores de superficies de Klein.

Sea X una superficie de Klein. Un recubridor de X es un par (X',f) donde X1 es una superficie de Klein y f un morfismo suprayecti- vo de X' sobre X. El recubridor se llama normal si el grupo de automor- fismos de X1 que conmutan con f actúa transitivamente sobre las fibras.

Dos recubridores (X',f), (X",g) de X se dicen equivalentes cuando existe un isomorfismo de superficies de Klein 7 : X' -• X" tal que g<r = f.

Indicaremos a continuación resultados sobre recubridores obtenidos en ti 2].

Si escribimos X = /_, y (X',f) es un recubridor normal de X, existen grupos NEC P y f", P « P , de modo que X' = D/r,,

x = % . . y (%•>") es equivalente a (X',f). El recubridor (D/r,,n) se llama no ramificado cuando /_, actúa sin puntos fijos sobre /_,.

Los grupos P y ["" pueden ser escogidos de modo adecuado; con preci- sión: Si g' y g" son los géneros de P y f", y k' y k" el núme- ro de ciclo-periodos respectivos, existen grupos NEC &' y A"> A1 4 dn, cuyas signaturas son

conservando los signos de f' y f"» e isomorfismos ¥• y <í" de modo que conmuta el diagrama

\. £ • %

I I "

En este capítulo caracterizamos en términos de grupos NEC las su- perficies de Klein que son elípticas-hiperelípticas, una vez introducido el concepto de un modo geométrico-tqpológico.

Definición» Sea X una superficie de Klein. Diremos que X es y

q-hiperelíptica si existe una involución V de X tal que /^ tiene género q.

Las superficies O-hiperelípticas serán llamadas hiperelípticas y las 1-hiperelípticas, elípticas-hiperelípticas (abreviadamente, EH).

Teorema 2.1. Sea X una superficie de Klein con borde de género algebraico p >, 2. X = /r es EH si y sólo si existe un grupo NEC T j tal que | P i (~ I = 2, y cuyo género algebraico es 1.

Demostración.

Supongamos que existe !"«, tal que |f\.r| = 2. Entonces V p =

= < ¥ >, donde V es una involución de /p tal que /»« tiene género 1. En consecuencia, /•- es EH.

Recíprocamente, si /p es EH, existe una involución ¥ de /P tal que Af * ie n e género 1. En consecuencia, <f> = A-, con

|r, iTi = • 2, y I y /p = /pI y /p = / tiene género 1. El género algebraico

de f-, por lo tanto, es 1.

Al grupo f se le llamará grupo del carácter EH de / p

Corolario 2.2. A) Si X es una superficie elíptica-hipereliptica de género p > 5, el automorfismo ¥ es central y único.

B) Si D/r es una superficie de Klein elíptica-hipereliptica, entonces D/ + es elíptica-hipereliptica.

- 18 -

C) Si /p es una superficie de Klein con borde de género alge- braico p > 5 > Ir es EH si y sólo si lo es / +

Demostración.

A) Se sigue del Teorema 2.1 y de [l8J.

B) Si ¥ es el automorfismo de la EH de ^D/ , <vf> = V p , y entonces existe un automorfismo en / +, *f+ = /r+> tal que '" / +

tiene género 1.

C) La parte "sólo si" ya está probada. Supongamos que / ⁺ es EH. Entonces existe H⁺ automorfismo de / _ + , <*⁺> = */-+• Si r = f u t f ., llamamos f\ = I"* vtf\; f es un grupo NEC pues V es único y central (parte A)), f es subgrupo de índice 2 de f. , y f. tiene género 1. Así pues /p es EH.

Es interesante ahora conocer las posibles signaturas de los grupos f que aparecen en el enunciado del Teorema 2.1.

Teorema 2.3. Sean X = /p una superficie de Klein orientable E H, de género g con k componentes en el borde (y por lo tanto 2g+k » 3 ) , y r. el grupo del carácter EH de /p. Entonces la signa- tura de f es una de las siguientes:

i) (para g=0) (0, + , [—], { ( 2 , ? ^ , 2 ) , ( — ) } ) , ii) (para g=0, k=3 ó 4) (0, + , [2,^k7?,2] ,((-^)(—)}), iii) (para g=l) (0, + , [—] , {(2, .?k. ,2),(—)>), ó

(s>0, par)

(!,-,[—],U2,.?

.,2)»,

iv) (para g>0, 2ik<4) (0, + , [2,?

t

7

,2] ,{(—)(—)»•

Demostración.

Llamemos g al género del grupo T , y k (> 0) al número

de sus ciclo-periodos. Como F, tiene género algebraico 1, entonces, si el signo de [". es • + ', tenemos 2g.+k -1 = 1, y así gj=O, k =2;

y si el signo es '-', g.+k -1 = 1 , y entonces g.=k =1.

Por fió], los periodos propios y los periodos de los ciclo-perio- dos no vacíos de la signatura de f\ son todos iguales a 2, y en cada ciclo-periodo hay un número par de periodos. En consecuencia, f~ es

(1,-, [2, .?.,2],t<2,.?. ,2)»,

donde r,s,t } 0, s,t pares.

Empecemos por el caso en que g = 0. Entonces la signatura de T es (0, + , [ — ] , ( ( — ) , . k., (—)}), con k j 3-

Por la relación de áreas, si t\ tiene signo '+', 2 = k-2

r s+t' 2 + 4 y 2r+s+t = 2ík-2).

Si s=t=0, por [17], el valor máximo posible de k es 4, luego puede ser ó 3 ó 4« Si k=3, resulta r=l, y la signatura de r es (0,+,[2],{(—)(—)}). Cuando k=4, tenemos r=2, y la signatura de Tj es C0, + ,[2.,2],{(—)(—)}).

Si s¿0, t=0, por [16,17] f *

4 f+

-

= f resulta

r=-2, imposible; cuando k=^+l, tenemos r=-l, también imposible. Final- mente, para k=^+2, resulta r=0. Entonces f\ tiene signatura

(0,

,[—l,{(2,?í

7??, 2), (-)}).

Por último, si s ¿ 0 ¿ t, por [ló] f + | =k, y resulta r=-2, imposible.

Comprobamos a continuación que en los tres casos existe epimorfismo de f sobre C con núcleo f, y por lo tanto para cada uno de estos

1 2

- 20 -

grupos f la superficie de Klein /.- es elíptica-hiperelíptica. En el primer caso, en que |"« tiene signatura

el epimorfismo buscado viene definido por

9(Xl) = T, 0(e i) = Ó, 0(e2) = T, 0(c10) = 0(c20) = 0.

Cuando I", tiene signatura

(0, + ,[2,2],{(—)(—)}) el epimorfismo es

OÍXj) = 0(x2) = T, Oíej) = 0(e2) = ©(c1()) = 0(c2()) = 0.

Por último, si F. tiene signatura

tenemos

G(^ei) = 0(e²) = 0, 0(c¹⁰) - 0(c¹²) = ... = e(c^{1 2 ( k}_^{2 )}) = T, 0(cⁿ) = 0(c¹³) = ... = O Í C ^ J ^ J J . J ) = 0, 0(c²⁰) = 0.

Supongamos ahora que l\ tiene signo '-'. Como la signatura de T es (0, + ,[—] , {(—),...,(—)}), por la relación de áreas resulta

2

y 2r+s = 2(k-2). Así, s/0, pues por [i7] en caso contrario resultaría k i 2. En consecuencia, por Cl6], es k=>^-, y r=-2, que es imposible.

Pasemos ahora al caso en que g > 0.

Si Tj tiene signo ',+ ', la relación de áreas nos da

r i

y 2r+s+t = 2(2g+k-2).

Analizaremos las posibilidades que surgen de los posibles valores de s y de t.

Si s=t=0, r = 2g+k-2, y la signatura de C. es

y resulta 1 5 k i 4 por [17].

Si s/0, t=0, entonces I ( k i 5+2. Si k=5, resulta r »

= 2g-2; si k=|+l, tenemos r=2g-l; y si k=|+2, r=2g$ y así las sig- naturas respectivas de f". son

(—)}) y

Por último, si s i 0 / t, ~K*~^Í> Y resulta r=2g-2, y la signa- tura de r. es

Estudiamos ahora en cuáles de estos casos existe algún epimorfismo 0 de f. sobre C, con núcleo f.

Si s=t=0 y k=l, la signatura de T. es

ÍO,

,C2,??7Í,2], {(—)(—))).

Entonces, por [17], 0(c1(. ) ó ©(c2(.) es 1; como g > 1, existen x., y 0(x.) => T, y así el núcleo de 0 tiene signo '-' por [243•

Si s=t=0 y k > 1, entonces T tiene signatura

(0,

, [2,?f:

:?,2],l(—)(—)})

y construimos el epimorfismo 0 del modo siguiente:

0(e2) = y,

- 22 -

con x,y e {0,1}, tales que x+y « 4-k ímod 4 ) .

Si s / 0, t = 0, distinguimos: si k=4 y g=l, el epimorfismo

© viene dado por

e(c

) = o(c

) = ... = o ( c

) = T,

e ( cn) = ©(c1 3) = ... =e(cí2kl) = o, 0(c20) = Ó, ©(ej) = 0(e2) = 0;

si siendo k=-^ fuera g / 1, habría elementos x, y c.. con imagen 1, y por [24] el núcleo tendría signo '-'. Cuando k=>s+l ó k aplicamos el mismo argumento para ver la no existencia de epimorfismo.

En el último caso, cuando s / 0 ^ t y g=l, el epimorfismo es

o(c

) = e(c

) = ... = e(c

) = T ,

0 ( cii> =e ( ci 3) = " • -0 ( cif- i) = °'

©(c2 02 0) = © ( c) = © ( c2 22 2) = ... = 0 ( c2 2 k_s) = T , o(c2 1) = © ( c2 3) = ... = e(c2 ) 2 k.s.,) = 0,

I = 0(e2) = 0.

Nuevamente, si g ¿ 1, aplicando [24] resulta que el núcleo de 0 ten- dría signo '-•.

Si T. tiene signo '-', la relación de áreas da 2r+s = 2(2g+k-2).

Si s=0, entonces r=2g+k-2 y la signatura de f es íl - T2 2 g + k~2 21 U—)\)

y resulta 1 6 k € 2 por [17].

Cuando s / 0, es k = % y tenemos r=2g-2, luego la signatura de r. es

Veamos ahora cuándo se pueden construir los epimorfismos. Cuando s = 0, como 2g+k-2 > 0, si existe 0, tenemos elementos x. con

©(x.) = 1, y la reflexión sesgada d., cuya imagen es 0 ó T. En ambos casos el núcleo de © tiene signo '-'.

Si s / 0, cuando g £ 1 el argumento anterior nos permite probar que no existe ©. Por último, si s i 0, g =1, la signatura de I", es

(!,-,[—], {(2,.*.,2)1)

y el epimorfismo © queda definido por

o(c

) =e(c

) = ... = o(c

) = T , e ( c

) =©(c

) = ... = e ( c

) = o, e(

) = ó, = T.

/

Teorema 2.4» Sean X = /- una superficie de Klein no orientable EH, de género g con k componentes en el borde (y por lo tanto g+k > 3) y L el grupo del carácter EH de /r. Entonces la signatura de f\

es una de las siguientes:

i) (para k « 2) (0, + , [2,?^7?,2],{(—)(—))), (para k > I) (0,

, [2,f:í,2], 1(2,?^},2)(—))), (para k > 2) (0, + , [2,.?. ,2] , {(2,?^7?í ,2)(—)}), ii) (para g > 1) (0, + , [2,§7?,2] ,1(2, .*. ,2)(—)}), ó

(para g>l, k>l) (0,+', [2,?7?,2] ,1(2,.?. ,2)(2,?

Í:?,2)} ),

(s>0, par) iii) (para g par, k<2) (1,-,[2,?í^7?f2],t(—))).

Demostración.

Llamamos nuevamente gf y k. al género y al número de ciclo-

- 24 -

periodos de f . Si T, tiene signo '-', como g.+k.-l = 1, resulta g, = k, = 1, y la signatura de f es

con r,s ) 0, s par; y si |\ tiene signo ' + ', 2gt+k -1 = 1, y en- tonces g.. = 0, k. = 2, y la signatura de T, es

con r,s,t >, 0, s,t pares.

Si f\ tiene signo '+', la relación de áreas nos da g+k-2

1 ~ r 5+t' 2⁺ — y 2r+s+t = 2(g+k-2).

Distinguiremos según los valores de s y de t.

Si s=t=0, r=g+k-2 y la signatura de f. es

y resulta U k U por [17].

Si s/0, t=0, entonces ^ i k í ^ + 2 . Si k=4, resulta r = s s

= g-2; si k=>=-+l, resulta r=g-l; y si k==-+2, tenemos r=g, y las signaturas de I", son respectivamente

(0,

[2,?:í

2],{(2,?ÍVrJÍ,2)(—)))

Si s / 0 ^ t, entonces k=^i-, y así r = g-2, y f. tiene signatura

(0

,[2,?T?,2Lí(2,.f.,2)(2,?

í:f,2)}).

Veremos a continuación en qué casos se puede establecer epimorfismo de r sobre C con núcleo f.

Cuando s=t=O y k * 3, todo epimorfismo de 1\ sobre C. tiene núcleo orientable, pues las imágenes de las reflexiones han de ser ().

Para k i 2, el epimorfismo © queda definido por

o(x,) = ... = oíx

_

) = T, e(c

) = o, e(c

) = T,

©(ej) = k, 0(e2) = i.

Si s/0, t=0, cuando k=^-, el epimorfismo es

2 k l

) = o, ©(c

) = T,

= g-l, 0(e2) = 1, válido para g > 1; cuando k=yt-l, es

= ... = o ( x

) = T, o(c

) = o(c

) =...= e(c

_

) = T e(c

)

j) = I, 6(e

) = T;

y por último, si k=y+2, tenemos

OCXj) = ... = 0(x ) = T, 1 0 ^

e ( cn) = e(c13) = ... = eícj 2 k_5) = o, e<c20) = ó,

^ = g, 0(e2) = 0.

Si s ^ 0 ^ t, el epimorfismo buscado es

j) = ... = o ( x

) = T, o(c

) = e(c

) = ... = o(c

) = T,

= e(c

) = ... = ©(cj

) = ^o,

8(c20> =

... = e(c2,2k-s-l) = ^' válido si k > 1 y g > 1.

Para finalizar, si T1 tiene signo '-', la relación de áreas

- 26 -

da 2r+s = 2(g+k-2).

Si s=0, resulta r=g+k-2, y T. tiene signatura

y entonces k i 2 [17]•

Si s 4 0> entonces k^» Y queda r=g-2, luego la signatura de r. es

Construimos ahora los epimorfismos de I"., sobre C_.

Cuando s=0, 0 debe verificar

9(Xl) = ... = e(xg + k_2) = T, o(clo) = o, o(ei) = k, Q(áx) = T y por lo tanto 0 existe si y sólo si g es par.

Si s / 0 ,

e(xj) = ... = 9(x 2) = T, o(c1Q) = o(c12) = ... = ©(cj 2 k) = T, 0 ( cn) = 0(c13) = ... = O(c1)2k_j) = 0, 0(ei) = 5, 9(dx) = T.

Se sigue de estos dos Teoremas el siguiente

Corolario 2.5» No existe ninguna superficie de Klein orientable ellptica-hiperelíptica con género topológico g £ 2 y k componentes en el borde, con k 4 {2,3>4}. Para todo par (g,k) distinto de los ante- riores, existe al menos una superficie de Klein orientable EH de género g con k componentes en el borde. Para cualquier par (g,k) existe una superficie de Klein no orientable EH de género g con k componentes en el borde.

(Un resultado análogo ha sido obtenido para superficies de Klein hiperelipticas por Gross y Harris [23])•

Corolario 2.6. Los tipos topológicos de superficies de Klein com- pactas con borde se pueden clasificar en los siguientes 4 grupos:

A) Orientables de género 1 y al menos 3 componentes en el borde, o de género mayor o igual que 2 con 1 componente en el borde:

No hay superficies hiperelipticas y sí hay elípticas-hiperelípticas.

B) Orientables de género mayor o igual que 2 con una componente en el borde: Hay superficies hiperelipticas pero no elípticas-hiperelípti- cas .

C) Orientables de género mayor o igual que 2 con al menos 4 componentes en el borde: No hay superficies hiperelíticas ni elípticas- hiperelípticas.

D) Todos los demás, incluidos los no orientables: Hay superficies hiperelipticas y elípticas-hiperelípticas.

CAPITULO 3. CUBIERTAS DOBLES NO RAMIFICADAS ELIPTICAS-HIPERELIPTICAS DE SUPERFICIES DE KLEIN MTERELIPTICAS.

Un par (X1 ,f) es un recubridor de la superficie X cuando f es un morfismo suprayectivo de X1 sobre X.

Diremos que un recubridor (X1 ,f) de la superficie X es q-hi- perelíptico si la superficie X1 es q-hiperelíptica.

En [12] se describen todas las cubiertas dobles hiperelípticas no ramificadas de una superficie de Klein hiperelíptica. Aquí hacemos el estudio análogo para cubiertas dobles elípticas-hiperelipticas no ramifica- das de superficies de Klein hiperelípticas, de género algebraico mayor que 3> obteniendo, no sólo el número de ellas, sino también su construc- ción efectiva en cada caso. Este estudio ha sido realizado para superficies de Riemann en [9]•

En primer lugar estableceremos un resultado para superficies de Riemann que necesitamos a continuación.

Teorema 3»1- Sean /p una superficie de Riemann hiperelíptica de género g, y /r, una superficie de Riemann elíptica-hipereliptica de género g1 > 5, recubridor doble no ramificado de /p. Sea l*J el grupo del carácter EH de / ,. Entonces ff { es el grupo de la hiper- elipticidad de /-.

Demostración.

Tenemos el diagrama de subgrupos normales

r

Como /r, es central en el grupo de automorfismos de /_, por ser g1 > 5 [18], llamaremos fj = !T}; I C ^ H = 2 por [14], y en conse-

cuencia la signatura de F. es

La signatura de fi tiene la forma

como g1 > 5, es 2g'-2 > 10. Como | f~.,:T11 = 2, por [26] se tiene que la signatura de f*j tiene al menos 5 periodos propios iguales a 2, luego 2g+2-4p » 6; en consecuencia 0 S p é ^~' S i p ^ °' *a s uPe r^i~ cié /p sería a la vez hiperelíptica y p-hiperelíptica. Utilizando

[18] para í=0, r=p, como g » 2p+2, resulta que esto es imposible, y p ha de ser 0. Por ello, al ser único el grupo de la hipereliptici- dad, éste es el grupo l\ .

A continuación obtenemos el resultado paralelo para superficies de Klein.

Corolario 3»2. Sean /_ una superficie de Klein hiperelíptica de género algebraico p, y /_, una superficie de Klein elíptica-hiper- eliptica de género algebraico p' > 5, recubridor doble no ramificado de /-. Sea f] el grupo del carácter EH de /_,. Entonces fj = TI"' es el grupo de la hiperelipticidad de /-. y fl es subgrupo (normal) de índice 2 de I" .

Demostración.

Tenemos el diagrama

r

y, por el Teorema anterior,

- 31 -

IT] es un subgrupo de § pues fi está contenido en el norma lizador

i f -i

en 5 de f' • Sea c una reflexión de T; entonces ÍT j contiene a cf r*'

; como f", = iT*» cf« } > y por el Teorema anterior f\ = f* H • se tiene que T H contiene a f\. Finalmente, | T'V'J"

' s r

| * 2 y asi

| r n : f | = 2 = Ir.srl, de donde resulta fj = T H . Nos ha quedado así el siguiente diagrama:

r

y l i y q l = I r j i r i - i r s r i / i r j í r l - 2.

Lema 3«3« Sea f un grupo NEC de signatura

(g,t,[—],4(—),.».<—)»

tal que /r- es una superficie hiperelíptica de género p > 2, y fj el grupo de la hiperelipticidad de /j-. Sea 0 un epimorf ismo de f^ sobre C_ cuyo núcleo sea el grupo del carácter EH de una superficie de Klein, al que llamaremos fJ • Entonces T\ tiene un único subgrupo de índice 2 que sea a la vez subgrupo de T, al que llamaremos V, tal que existe un recubridor no ramificado de Ir \ sobre A-.

Demostración.

Tenemos el siguiente diagrama:

• / ' v

r r !

Si existiera f" en las condiciones de ("', tendríantos dos grupos fuch- sianos P y T" que verificarían

r

r

1 1 ' 1

r

r

r

2 2\ Á

donde T tiene signatura (p,+,[—]), T1 tiene signatura

y f+, r"+ tienen signatura (2p-l, + , [ — ] ) . Por último t£ tiene signatura

Por [9l, Tl + = rM + . Sea c una reflexión de C. Como D/_, es un recubridor no ramificado de /-, c e f . Del mismo modo, c e f". Como

r

» r

u c r

, r " = r "

w c r

, y r

= r

, r e s u l t a r* = r , y

el grupo P es único.

Lema 3•4• Sea T un grupo de signatura

(0, + ,[—],{(—),- *í.,(—)))

tal que /p es una superficie hiperelíptica, y f, es el grupo de la hiperelipticidad. Si existe un epimorfismo de f. sobre C- con núcleo P¡ aue es el grupo del carácter EH de una superficie /., , que es recubridor no ramificado de /_., entonces la signatura de T! no tiene

- 33 -

periodos propios.

Demostración.

La signatura de I" es

(0, + ,[—],{(2,.?

í.,2)}) ([12]),

y el epimorfismo 0 de f. sobre C- con núcleo T verifica que

0 ( cl , 2 i) = T> OicítU*í)"'S* O b i e n

o(c

) = 0, e(c

) =T,

donde c.. son las reflexiones de l"j. Entonces las reflexiones c. _. ,, o bien las reflexiones c. ,, , pertenecen a f. Como /_, e s un recu- bridor no ramificado de /_ , las reflexiones c . «. . , o bien las

cl 2i » pertenecen a P (ver [12]). En consecuencia estas reflexiones pertenecen a I"J. Supongamos que en (*J existiese u n periodo propio;

entonces por [6] existiría un epimorfismo de V. sobre C_ con núcleo f' que enviaría dos reflexiones consecutivas al elemento T , y por lo tanto no pertenecerían a f j , contradicción.

Lema 3«5« Sea f un grupo de signatura 'S»"*"» L~~~J»l\—"/ > • • •» \-~~)J )

tal que /-. e s una superficie hiperelíptica, y /_, u n recubridor n o ramificado d e /j-. Entonces la signatura d e T' tiene signo ' +'.

Demostración.

f' e s un subgrupo normal de f , al que pertenecen todas las r e - flexiones de f. Por [24] la signatura de f' tiene pues signo ' + '.

Lema 3-6. Sea f u n grupo de signatura

(g,-, [—],((—),.-,(—)})

y /_ , una superficie orientable, recubridor doble no ramificado de

/_. Entonces la signatura de P es

Demostración.

Como el recubrimiento es no ramificado, toda reflexión de T está en P [12]; como la signatura de P tiene signo ' + ', los elementos d, de f no pertenecen a P , y en consecuencia los elementos e, de r han de pertenecer a P , pues si no, habría elementos d.e,, no orien- tables, en P , y la signatura tendría signo '-'. Así, por [171 , el número de ciclo-periodos de P es 2k. Por la relación de áreas resulta que el género de P es g-1.

Teorema 3*7- Sea /.- una superficie de Klein hiperelíptica, de género algebraico mayor que 3> donde T tiene signatura

Entonces si /-, es un recubridor doble no ramificado elíptico-hiperelíp- tico de I , P tiene signatura

(0,+, [—],{(—), ?^:?,(—)}) 6

El número de recubridores del primer tipo es k, y del segundo tipo es 2

Demostración.

/

Si llamamos f* al grupo de la hiperelipticidad de /_, la sig- natura de f, es

Si /r, es un recubridor doble no ramificado de /_, P es un subgrupo de índice 2 de í", cuya signatura no tiene periodos propios

- 35 -

ni ciclo-periodos no vacíos [12]. En consecuencia, por la relación de áreas y el Lema 3-5, la signatura de P es

Llamando f j al grupo del carácter EH de / ,, . la signatura de fj es una de las siguientes, de acuerdo con el Teorema 2.3:

i) (0,

,[—],-t(2,?í?^,2)(—)}) (gUO)

ii) (0, + , [2,?^7f ,2], í(—)(—)>) (g'=0, k=3) iii) (0,

,[—]

iv) (0,

,[—],l(2,.*.,2)(2,?í?

f:fhf,2)}) (g'-l, s>0 par) v) (l,-,[—],<(2,?í?

:^,2)}) (g'=l)

vi) (C + .IX^TÍ^LU—)(—)}) (g->0, 4 4 2k-2g' 4 6)

Por el Corolario 3.2, f{ debe ser subgrupo normal de f,, pues el género algebraico de /_, es mayor que 5»

Por el Lema 3-4, las signaturas ii) y vi) sólo son posibles si 2k-4=0, o sea k=2, y esto contradice el género algebraico de /—

La signatura v) es imposible, pues existiría un epimorfismo de f. sobre C, cuyo núcleo tendría esta signatura, y por [24] no puede ser no orien- table.

Supongamos que Fl tiene la signatura iii). Entonces hay un epimorfismo Q. de

sobre C» con núcleo

Llamando c'^,...,^1 2(2k-4) 'c20' a l a s r e f l e x i o n e s c¡ae «eneran f{» por [l6,Í7] las imágenes mediante 0, de cjo,...,c1l 2(2k-4) *ian ^ s e r

alternativamente O y T, y 9.(c' ) = 1, para obtener 2k-4 ciclo- periodos en P . Por otra parte, sean c..,...,c, _. las reflexiones que generan P ; por el Lema 3-4, o bien las reflexiones ct -, o bien las Cj 2 i + 1 , pertenecen a f y a P ; además, por el Teorema 3-1 el grupo P con signatura iii) es subgrupo normal de P ; en consecuencia existe un epimorfismo 0 , de P sobre C- con núcleo P . Por [16], 0_ envía todas las reflexiones ci(v***>cioici a* ^» s3^0 dos de de la forma C J ^ C J . 2; y 02(Cj 2k'* = e2^c10^" ^ P"ede obtener fácil- mente un sistema generador de Ti en el que el. = Cj , . . Entonces c, . , no pertenece a P ; como c, . y c. . „ tampoco pertenecen a T', se contradice que todas las reflexiones pares, o todas las impares, estén en P . La signatura iii) es pues imposible.

Supongamos que f' tiene signatura i ) , esto es,

Como f"| tiene signatura

si llamamos c)(.,.. .,c. _. a las reflexiones que lo generan, o bien las c, _. o bien las c. ,, . pertenecen a I". Vamos a definir ahora los epimorfismos 0 de P sobre C_ con núcleo P : Sea jj tal que c..

no pertenece a T (y en consecuencia c, , , tampoco pertenece a f ) ; entonces

0(C l i) = e ( c1 J + 2) = T, 0 ( cu) = 0 para i 4 i, J+2.

El número de epimorfismos distintos así definidos es igual a k.

Veamos ahora que para cada epimorfismo 0 de T sobre C2 con núcleo P > existe un subgrupo P de O, , con signatura

que es también subgrupo de T . Supongamos por ejemplo j=0. Entonces

- 37 -

0(c10) = 0(c12) = 1, © ( c ^ ) = O cuando 0 ¿ i ¿ 2.

Entonces f' = kerO está generado por

c10 = C13' Cil = CU ' C12 = C15' " * ' Cí,2k-4 = Cl,2k-1'

Cí,2k-3 = C10Cl,2k-2C10' Cí,2k-2 = c10Cl,2k-3C10' "' »

C ' « — f* f* f*

l,4k-8 ~ 10 13 10'

c20 = Cll' eí = c10C12' e2 = C12C10"

Definimos ahora el epimorfismo 0' de ri sobre C2 definido por

Q'(c20) = 0, O'(ep = 9'(e2) = Ó.

Llamando f' al núcleo de 0', se tiene que todo elemento de f • está en T. Por lo tanto éste es el subgrupo deseado de TI y de f.

Por el Lema 3-3> cada epimorfismo nos da un recubridor distinto /_, de A-; por el Teorema 2.1, así hemos obtenido todos los recubrido- res EH con signatura

pues era la única posibilidad.

Por último, si Ti tiene signatura iv), esto es, con s>0 par,

los epimorfismos 0 de f sobre C_ con núcleo P, necesariamente son fió] aquéllos en que si un elemento c.. . no pertenece a I",

0(c1;.) = I, QÍCj J + h) = I, donde h =

e(c

) = () cuando j ¿ i

Para que ct . . no pertenezca a í", h debe ser paré Por lo tanto, h varía entre los números pares entre 3 y 2k-3, que son k-3 opcio- nes. El elemento c. . puede ser elegido de k maneras distintas, y debe- mos dividir por 2 para no incluir dos veces cada caso. Tenemos por lo tanto 4k(k-3) = ( „ ) - k epimorfismos distintos.

Veamos ahora que cada epimorfismo 0 de f\ sobre C_ con núcleo rj tiene asociado un subgrupo P de f' con signatura

1O

l,(s/2)

2

-

' °<

li> = * -i 0 / i / f 2.

que es también subgrupo de C. Supongamos por ejemplo j=0. Entonces 0(c1Q) - 0(o,

Ahora H = kerO está generado por

cÍ0 = cll' cil = C12' CÍ2 = C13' ••• ' CÍ,s/2 = cl,(s/2)+l'

Cí,(s/2)+l = C1 , ( S / 2 ) + 2C1 , S / 2C1 , ( S / 2 )+2 '

CÍ,(s/2)+2 = Cl,(s/2)+2Cl,(s/2)-lCl,(s/2)+2' *'* »

Cís = cl,(s/2)+2cllcl,(a/2)+2'

C20 = Cl,(s/2)+3' C21 = Cl,(s/2)+4

c2,2k-(s/2)-4 " cl,2k-l» c2,2k-(s/2)-3 = C10Cl,2k-2c10'

c2,2k-(s/2)-2 = c10Cl,2k-3c10' * " '

c2,4k-s-8 = c10Cl,(s/2)+3c10'

el = C10Cl,(s/2)+2' e2 = Cl,(s/2)+2C10*

Consideramos ahora el epimorf ismo O1 de f*j sobre C» definido por

» (cí0) - « KCÍ2) - ... - e (cls) - e (c2Q) » e ic22; - ... -

"

'

2,4k-s-8

'

'

il> - °'

Í3

•*•

'

í,s-l

"

= o'(c

) . o'(c-

) = ... - O ' ( c

_

_

) = T ,

- 39 -

Si llamamos (*' al núcleo de O1, éste es el subgrupo común buscado de f*{ y de f\

Por el Lema 3-3, cada grupo ("' nos da un recubridor distinto /_, y tenemos así todos los recubridores EH con signatura

Teorema 3-8. Sea A- una superficie de Klein hiperellptica de género algebraico mayor que 3, donde T tiene signatura

con g / 0 (en consecuencia k < 3 por [12]). Entonces si / , es un recubridor doble no ramificado elíptico-hiperelíptico de /- , f' tiene signatura

El número de recubrirtores EH de /_ es ( 5 ) • Demostración.

Llamamos f\ al grupo de la hiperelipticidad de /-, que tiene signatura

<O, + ,[2,?ft*,2],4<—)» [12]

Como /_ , es un recubridor no ramificado de /_, la signatura de f no tiene periodos propios ni ciclo-periodos no vacíos. Aplicando la relación de áreas y el Lema 3»5 resulta que P tiene signatura

Por ser el recubridor no ramificado se tiene además que 2 i 4g+2k-2-2g' i 4.

Llamamos ahora P' al grupo del carácter EH de / ,. Aplicando el Teorema 2.3, la signatura de T' es una de las siguientes:

^:fí,2)(—)» (g'=0)

ii) (0, + ,[2,fft?*í:f,2],{(—)(—)}) (g'=0, 4g+2k=6) iii) (0,

, [-1

iv) (0, + , [ — ] , 1(2,.?.,2)(2,?ífft?

í:fh?,2)}) (g' = l, s>0 par)

v) (l,-,[

vi) (0, + , [ }

Análogamente al Teorema anterior, ("J debe ser subgrupo normal de I"..

Como t\ no tiene ciclo-periodos no vacíos, tampoco puede tenerlos TI, por lo que las signaturas i ) , iii), iv) y v) son imposibles.

Nos quedan la ii) y la vi), que al ser iguales serán estudiadas conjun- tamente considerando g1 genérico.

Sea pues f] de signatura

Como r tiene signatura

existe un epimorf ismo 9. de fl sobre C» con núcleo f , que viene definido por

Ojíxj) = ... - O j í x ^ = T, 0,(cw) = 0, Qjíe,) = k.

Para cada grupo I", vamos a definir un epimorf ismo 9 de ' sobre C_ con núcleo f'. El epimorfismo 9 viene dado [6] por

9(x.) = 9(x.) = 1 para ciertos dos valores i,j i 2g+k, 0(x ) = 0 cuando i / m / j ,

0(c10) = 0, 9(ei) = 0.

El número de epimorfismos así definidos es ( & ).

¿t

- 41 -

Vemos ahora que para cada epimorfismo Q hay asociado un subgrupo

|"' de T] con signatura

Suponiendo por comodidad que i=l, %i=2, un conjunto de generadores de

f{ es

= x2x2g+kX2'

X2g+k-l = X3 ' • " ' x4g+2k-4 = X2g+k'

c10 " c10» c20 = xlc10xl' ei = V e2 = xlel V

Definimos ahora el epimorf ismo O1 de P, sobre CL dado por

o-(x') = ... = e-(x.

_

) = T, o-(c

) = o-(c

) = ó,

©'(ep = 0'(e

) = k.

Llamamos P al núcleo de 0', y éste es el subgrupo que buscába- mos de TI y de T.

Por el Lema 3*3» cada grupo P proporciona un recubridor distinto / ,, y tenemos así todos los recubridores con signatura

(Obsérvese que el número de ciclo-periodos en f' es 2k, luego 4g+2k-2-2g' = 2k, y resulta g1 = 2g-l).

Teorema 3-9» Sea A- una superficie de Klein hiperelíptica de género algebraico mayor que 3> donde f tiene signatura

Entonces, si /_, es un recubridor doble no ramificado elíptico-hiper- elíptico de / , T1 tiene signatura

i ) si k=2, (g-l> + , [—],((—)(—)(—)(—)

(2g-2,-,[—], t f—)(—)(—)(—)», en cantidades respectivas 1, 2g y ( f ), y i i ) si k/2, (2g,-,[—],((—),?^7?,(—)}) ó

(2g-2,-,[—], I ( ~ ) , .2 k. , ( — ) } ) ó

en cantidades respectivas kg, ( 9 )K k v ^ 2 ^"

Demostración.

Llamamos f. al grupo de la hiperelipticidad de /_, que tiene signatura

? ? k [12].

Como /_ , es un recubridor no ramificado de /_ , r' no tiene periodos propios ni ciclo-periodos no vacíos. Así, P tiene signatura

(1) (g-l, + ,C—],U—),.?^.,(—)}) (usando el Lema 3.6) ó (2) (g',-,[—],{(—),?ft?^k7?!:?,(—)}) (relación de áreas).

Estudiaremos en primer lugar el caso (1). Si llamamos Ti al grupo del carácter EH de /_, , la signatura de 1*2 es, aplicando el Teorema 2.3, una de las siguientes:

)}) (g=l)

ii) (0, + , [2,?kT?,2],I(—)(—)}) (g=l, k=2) iii) (0, + ,[—]

iv) (0^{> +} ,[—],{(2,.?.,2)(2,^^k7?,2)}) (g=2, s>0 par) v) (l,-,[--M(2,.£.,2)}) (g=2)

vi) (O, + ,[2,2?í2k:4,2],((_)(_)}) (g>l, 1 < k < 2)

- 43 -

Vi debe ser subgrupo normal de f«, y en consecuencia, en los

casos i ) , iii) y iv) debe existir un epimorfismo 0. de l~. sobre C_ con núcleo un grupo con estas signaturas. En todos los casos hay dos ciclo-periodos en el núcleo, y por ello existe c*. e f. , tal que

©.(o.,) = 1. Como el núcleo no tiene periodos propios, OjUj) = ... = Gjíx ) = T;

en consecuencia c . .x, es un elemento no orientable del núcleo, que debe- ría tener pues signo '-• en su signatura, contra la hipótesis.

En el caso v ) , para tener 4k periodos en el ciclo-periodo, es necesario que el epimorfismo (L envíe todas las reflexiones que gene- ran T al elemento (). En consecuencia el núcleo tendría signatura con signo '+', en contradicción con la hipótesis.

Estudiaremos ahora conjuntamente los casos ii) y vi), pues la signatura ii) no es sino particularizar la vi) al caso g=l.

Como k es necesariamente 1 ó 2, distinguiremos estas dos posibilidades: si k=l, f' tiene signatura

(0, + , [2,?fT?,2],{(—)(—)}).

Como debe haber un epimorfismo 0. de C« sobre C_ con núcleo fJ, los elementos elípticos x.,...,x, deben ser enviados al 0, excepto uno que sea enviado al 1. Como ©1(e1x1...x ) = 0, resulta O.íe.) = 1, luego aplicando [17] resulta un solo ciclo-periodo en fj, contra la hipótesis.

Resulta pues k=2, y f' tiene signatura

(0, + , [2,.??.,2], {(—)(—)}).

Existe un epimorfismo 9 de T. sobre C, con núcleo f", que viene definido por

OÍXj) = ... = O(xg) = 1, i

9(c

) = e(c

) = o(c

) = I, e ( c

) = o(c

) = o

(o bien ©(c^) = e(c12) = ©(c^) = 0, ©(c^) = ©(CjJ = T; sin pérdida de generalidad supondremos la primera opción).

Definimos ahora 9. de T- sobre C_ con núcleo VI, dado por O J Í X J ) = ... = ©!<* ) = Ó, ©jíej) * 0,

Ojícjo) = ej(c12) = Oj(c14) = T, o1( cu) = Oj(c13) = o,

que es el único posible pues las reflexiones de T1 que pertenezcan a ker© deben pertenecer también a ker9..

Un conjunto de generadores de I*' es

xí = xl ' • " ' xg = xg' xg+l = c10xgc10' • " ' X2g = c10Xlc10'

eí = C10C12' e2 = C12C14' C10 = cll' C20 = C13'

Definimos ahora el epimorfismo 9' de Tí sobre C~ dado por 9'(x') = ... = ©'(x2g) = T, 0'(e}) = 9'(e2) = 0,

9'(cJ

) = ©'(c

) = 0.

Llamamos P a ker©1, y éste es subgrupo de Ti y de t~.

Por el Lema 3 • 3 > este grupo f' tiene asociado un recubridor / i de /r» y la signatura de f• es

(8-1, + , C—],{(—)(—)(—)(—)})•

En el caso (2), aplicando el Teorema 2.4, la signatura de f|

es una de las siguientes:

i) (0, + , [2, ??t?

:?, 2], {(—)(—)}) (2g+2k-g'-2 $ 2)

ii) (0,

,[2,?::í,2],((2,?í?ft?

f:f::?),2)(-)>) (2g

2k-g'-2 > 1)

iii) (0,

,[2,.f:.,2],{(2,?í?f:?

í;f::?),2)(—)}) (2g

2k-g'-2 > 2)

- 45 -

l

í:?::?),2)(-)}) <

- > n v) (i

-,[

,?::?,2],{(2,?í?f:?

í:?::?>,2)})

. > o vi) (o,

,[2,f::?,2],U2,.?.

2)(2

?!??^:f::?):?,2))

(g1 > 1, 2g+2k-g'-2 > 1, s>0 par)

vii) (l,-,[2,?fí?^:f,2],l(—)}) (g

par, 2g

2k-g'-2 $ 2)

La signatura i) es imposible, pues existe un epimorf ismo 0 de Fj sobre C_ con núcleo F, que envía la mitad de las 2k reflexio- nes de F.. al elemento 0. Como debe existir otro epimorf ismo de F.

sobre C_ con núcleo FJ, dos de las reflexiones de F. deben ser envia- das al 0 y las demás al 1. Para que las reflexiones de F estén en Fj, debe ser pues k=2. Como hay además un epimorf ismo de F] sobre C- con núcleo F', y F1 tiene signo '-', debe haber una de estas reflexiones y un elemento elíptico que sean enviados por el epimorfismo a 1, contra la hipótesis.

Consideramos ahora las signaturas v) y vii), pues la v) es un caso particular de la vii) para g1 = 2g+2k-2.

Existe un epimorfismo © de F1 sobre C,, con núcleo F, que viene dado por

0(

) = ... = 0(x

) = T, ©(ej) = I,

©(c

) =©(c

) = ... = e ( c

) = T ,

• * •

e(c,,) = ©(c,,) = ... = e(c, „ J = o

(o bien ©(cin) = 6(c,») = ... = ©(c. „. ) = O,

IV 1 ¿ 1 y Z K

... = 0(c1 „. .) = 1; supondremos la primera opción).

Definimos ahora el epimorfismo ©' de F1 sobre C_ con núcleo F". Como Fj tiene un único ciclo-periodo y tiene signo '-' en su sig- natura, hay una reflexión c.., tal que

©'(C l i) * 1, ©'(c^) = O para j 4 i.

Entonces el número de periodos del ciclo-periodo es 2(2k-2) que debe ser igual a 2(2g+2k-g'-2), luego 2g=g'. En consecuencia el número de periodos propios de fj es 2g-2, y entonces existe un elemento elíp- tico x. tal que

©I( x1) = T , © ' ( X j ) = O para j / i, © ' ( e ^ - T .

Como c.. debe ser una de las reflexiones c\r\>c\-> »• •• >ci ok » el número de epimorfismos posibles ©' es kg.

Supongamos que la reflexión y el elemento elíptico que el epimor- fismo aplica sobre T son c,. y x.; entonces un sistema de generadores de P es

d

l

10

l'

i

10

l,2k

Xl = X1X2X1' "** ' Xg-1 = XlXgXl'

Xg = xlC10XgC10Xl' *•' ' X2g-2 = XlC10X2C10Xr

cÍ0 = cll' Cil = C12' •** » cí,2k-2 = cl,2k-l'

cl,2k-l = cl,2kcl,2k-2cl,2k' * " ' Cl,4k-4 = Cl,2kcllcl,2k*

Definimos ahora ©' de TJ sobre C_, que viene dado por

©•(d|) = T, ©'(xp =

Llamamos P a ker©1, y cada grupo f tiene asociado un recu- bridor / ,, con f1 de signatura

Nos quedan las signaturas ii), iii), iv) y vi). Si considera- mos las ii), iii) y iv), como f tiene un ciclo-periodo vacío, y

- 47 -

el epimorfismo 0 de í\ sobre C» con núcleo f envía las reflexiones de T alternativamente a 0 y a 1, resulta que el epimorfismo 0.

de fj sobre C_ con núcleo fj debe enviar exclusivamente dos reflexio- nes al r, separadas por una sola enviada al (), y todas las demás tam- bién al 0. Los elementos elípticos deben pertenecer todos al núcleo, pues éste tiene signo ' +', y en consecuencia la signatura de f'. es

Si la signatura es del tipo vi), o bien todas las reflexiones de r. son enviadas al 0 por el epimorfismo 0., y entonces e. debe pertenecer también al núcleo para que éste tenga dos ciclo-periodos, y entonces

4k = 4g+4k-2g'-4, luego g1 = 2g-2, y en consecuencia Ti tiene signatura

luego dos elementos elípticos no pertenecen al núcleo y los demás si; o bien, tienen imagen 1 dos reflexiones separadas por un número impar, mayor que uno, de reflexiones del núcleo, y todos los elementos elípticos pertenecen al núcleo. Entonces la signatura de fl es

(**) (0,

,[2,.??.,2],l(2,.?.,2)(2,^:?:?,2)}).

En consecuencia unificaremos ambas situaciones tomando la (*) como caso particular de (**), y permitiendo que las dos reflexiones que no están en el núcleo estén separadas por un número impar cualquiera de reflexiones.

Obsérvese que si k=2, la signatura (**) coincide con la i), que ya hemos visto que era imposible.

En el primero de nuestros casos, el número de epimorfismos posibles

es ( j )» pues hay que elegir los dos elementos entre x.,... ,x , que no pertenecen al núcleo. Supongamos que éstos son x. y X-. Entonces una familia de generadores de f{ es

Xi = X2X3X2' '*" ' Xg-2 = X2xgx2 '

Xg-1 = X3 ' " * ' X2g-4 * Xg'

el = el ' e2 = xlelxl» c10 = c10» •** ' Cl,2k = Cl,2k'

C20 = XlC10Xl' • " ' C2,2k = Xlcl,2kXl#

Definimos ahora O1 de H sobre C, del siguiente modo:

O'(x') = ... * e'(x2g_4) = T>

O'(cj

) = O'(cj

) . ... = O'(cj

) » 0'(c¿

) . ... = O'(c'

) = T

(supuesto que éstos son los que 0 enviaba a 1)

O-ícJj) = ... - O ' í c ' ^ ) = O-íc-j) = ... - O ' í c ' ^ j ) - 0,

O'(e') = ©'(e¿) = I.

Llamamos f a kerO1, y cada grupo |"'> de signatura

nos da un recubridor / , de /_..

Por último, si hay dos reflexiones de f\ cuya imagen por 0.

es T, éstas están entre aquellas que no pertenecen también a f, por k(k-l)

lo que hay _ posibilidades. Supongamos que son C jQ y c._ estas dos reflexiones. Entonces un sistema de generadores de f{ es

x' = xv ... , x^ = xg, xg + 1 = c1()xgc10, ... > x¿g = ci0xlc10'

eÍ = C10c12' e2 = c12Cl,2k' cÍ0 = C1 T

c20 = C13' °21 = C14' •*• ' C2,2k-4 = Cl,2k-1»

c2,2k-3 = cl,2kcl,2k-2cl,2k' ' " » c2,4k-8 = cl,2kc13Cl,2k*

- 49 -

Definimos ahora 0' de Cj sobre C«, dado por

O'(cjo) = 0, 0'(c¿0) = 0'(c'2) = ... = O'(c.)4k = 0,

O'(xj) = ... =

= T

'

= T, O'(e') = 0'(e¿) = T.

Llamamos T' a kerO', y cada grupo r' de signatura

nos da un recubridor / , de /p.

Corolario 3«10» Si X es una superficie de Klein hiperelíptica de género algebraico p > 3> el número de recubridores dobles elípticos- hiperelípticos no ramificados de X es ( _ ).

Demostración.

Basta sumar el número de recubridores de los diversos tipos topoló- gicos en cada Teorema.

En el siguiente cuadro resumimos los resultados de este capítulo.

o/r

<g,+

(g,-

(g,-,

superficie hiperelíptica Signatura de V

r i 11 \ k / •> -i *

» L J >\\ i f• • • > v ; ( ;

,[—],l(—),.-,(—))) (g>o

D/p recubridor Signatura de

(o,+,C—],{(—), ?

T?, (I,H-,[—],t(—),?

:i

2]

(g-1, *,[-],{(-)(-)

(2g,-,c-],i(—),?

:?

(2g-2,-,[-],l (—),.?

(2g

i,-,[-L«-),?

EH

P

'.,(-)}) (—)(—)}) )

)(-)(-)»

,(-)})

í.,(-)i)

Numero

k (^)-k

1 2 ' 1 2g

(!)

kg

(!⁾

Conjetura. Si X es una superficie de Klein hiperelíptica, de género algebraico p > 2, el número de recubridores dobles hiperelípticos no ramificados de X es p+1 = ( ^ ) [12]. Cuando p > 3» el número de recubridores dobles elípticos-hiperelípticos es ( ^ )» según acabamos de probar.

Como el número total de recubridores dobles no ramificados de X es 2 - 1 , formulamos la siguiente conjetura:

Los recubridores dobles no ramificados de una superficie hiperelíp- tica de género p > 2 se pueden clasificar:

- Si p es par, en § clases C , Cn,...,C , formadas por

¿ q u p__j ( .) elementos q - h i p e r e l í p t i c o s ;

- Si p es impar, en ~- c l a s e s C , C ~ , . . . , C , , formadas q p-_

por (^+t) elementos q-hiperelípticos, salvo la última, que está formada por £(/ | w2) elementos (p-l)/2-hiperelípticos.