Usando la notación de conjunto se escribe: [

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS.

ORDEN EN LA RECTA NUMÉRICA Y DESIGUALDADES.

Los números reales quedan ordenados mediante la relación “menor que”. Las expresiones que utilizan el símbolo <, se llaman desigualdades.

DEFINICIÓN: Se dice que a es mayor que b (y se escribe a > b) si a – b es positivo. Así mismo, diremos que a es menor que b (y escribimos a < b) cuando a – b sea negativo. Los símbolos y , significan

“mayor o igual a” y “menor o igual a”, respectivamente.

La representación gráfica de los Reales nos permite interpretar la relación “menor que”: a < b significa que a se localiza a la izquierda de b o que b está ubicado a la derecha de a.

La notación a < b < c, significa que b está entre a y c y por ello “b es mayor que a” pero “b es menor que c”.

INTERVALOS.

Una porción de recta numérica se denomina INTERVALO. Se pueden presentar las siguientes situacio- nes:

a. Cerrados. Sean a y b números reales, con a < b. Si x es un número real comprendido entre a y b, de modo que pueda ser incluso uno de ellos, escribiremos a x b y lo abreviamos [a, b]. Gráfica- mente se representa así:

a b

.

^x

.

extremos

Es costumbre emplear la notación de conjunto para referirse a este tipo de intervalo, de la siguiente mane- ra: [a, b] = {x / a x b}

b. Abiertos. Sean a y b números reales, con a < b. Si x es un número real comprendido entre a y b, sin que llegar a ser alguno de ellos, escribiremos a < x < b y lo abreviamos] a, b[. Gráficamente se re- presenta así:

a b

o x o

extremos

Usando la notación de conjunto se escribe:] a, b [ = {x / a < x < b}

c. Semiabiertos o semicerrados. Sean a y b números reales, con a < b. Si x es un número real compren- dido entre a y b, pudiendo ser sólo uno de ellos, escribiremos a x < b, o, a < x b y lo abreviamos [a, b[ y ] a, b ] respectivamente. Gráficamente se representan así:

a b

o x

extremos

a b

.

^x

.

extremos o

semiabierto derecha o semicerrado izquierda

semiabierto izquierda o semicerrado derecha Usando la notación de conjunto se escribe: [a, b [ = {x / a x < b}

] a, b ] = {x / a < x b}

d. Con extremo infinito. Si a es un número real, el conjunto o grupo de números mayores, menores, mayores o iguales que él, menores o iguales que él, se les llaman intervalos con extremo infinito.

Gráficamente, corresponden a las siguientes situaciones:

a o x

a

o x

a

.

x ^x _a

a < x x < a

a

.

x x a

Los anteriores intervalos se describen en notación de conjunto, de la siguiente manera, usando el símbo- lo + (más infinito) ó – (menos infinito):

a. (a, + ) = {x / x > a} b. (– , a] = {x / x < a}

c. [a, + ) = {x / x a} d. (– , a) = {x / x a}

e. Los Reales:(– , + ) ACTIVIDADES.

1. Dibuja y escribe la desigualdad correspondiente a cada uno de los siguientes intervalos:

2. Para cada uno de los siguientes conjuntos, elabora un gráfico y escribe el resultado con notación de intervalo:

3. Ilustra mediante un dibujo en una recta numérica cada uno de los siguientes conjuntos. Exprésalo con notación de intervalo:

a. {x / x – 3 o x – 5} b. {x / x < 4 x > – 1}

c. {x / x < 2} {x / x > – 2} d. {x / x < 0} {x / x 3}

4. Realiza las siguientes operaciones con intervalos:

a. [ – 3, 7] [ 2, 6] e. ] – 3, 1[ ] – 1, 2 [ i. ] – , 3] ] 0, [ b. [ 2, 4] [ 3, 10 [ f. ] – 3, 1] [ 2, 4 [ j. ] – ,– 4 [ ]– 3, 5 [ c. ] 0, 3 [ ] – 1, 5] g. [ – 4, 2] [ 2, 4 [ k. [ – 2, [ [– 4, 0]

d. [ 6, 10] ] – 1, 9 ] h. ] –2, 0] [ 1, 5 [ l. ] – , 0] [ 0, [ AXIOMAS DE ORDEN PARA LOS NÚMEROS REALES.

A₁. Tricotomía. a, b R, una y sólo una de las siguientes proposiciones es válida: a > b, a = b, a < b.

DEFINICIÓN: Un número Real a es positivo sí a > 0 y negativo sí a < 0. El número cero no es negativo ni positivo. En consecuencia cada Real es positivo, negativo o cero.

A_2. Transitividad. a, b, c R, sí a > b y b > c entonces a > c.

TEOREMA. Ley de adición: Para toda a, b, c R, si a > b entonces a + c > b + c.

DEMOSTRACIÓN:

1. a > b Hipótesis.

2. a – b R⁺ Significado a > b 3. a – b = a – b + 0 Neutro

4. a – b = a – b + c – c Inverso

a. ] – 3, 1[ d. ] ½ , 3[ g. [ – 1, 4] j. ] – , 1]

b. ] 0, 2] e. [ – ½ , 1[ h.[ – 2, 3 [ k. [0, [

c. [ – 4, – 1] f. ] – 3, 0] i. ] –3/2, [ l. ] – , – 1[

a. { x / x < – 2} e. { x / – 4 < x 2} i. { x / – 1 x < 4}

b. { x / – 2 < x < 3} f. { x / x ½ } j. { x / – 3/2 < x < ½ } c. { x / x 0} g. { x / –0 < x < 3} k. { x / – 3/4 x 5/4}

d. { x / –1 x 5} h. { x / – 3 < x < 0} l. { x / x > – 1}

5. a – b = a + c – b – c Conmutativa 6. a – b = (a + c) +[(– b)+( – c)] Asociativa 7. a – b = (a + c) – (b + c) Distributiva

8. (a + c) – (b + c) R⁺ Sustitución 2 en 7 9. (a + c) > (b + c) Significado mayor que.

TEOREMA: El conjunto de los números reales positivos es cerrado respecto a la adición. (Sí a y b son positivos entonces a + b es positivo).

DEMOSTRACIÓN:

1) a > 0 Hipótesis.

2) a + b > 0 + b Ley Adición 3) 0 + b = b > 0 Neutro e hipótesis 4) a + b > b > 0 Transitividad 2), 3).

TEOREMA: R⁺ es cerrado para la multiplicación.

TEOREMA: Sí a es un Real positivo, – a es negativo. Sí a es negativo, – a es positivo.

DEMOSTRACIÓN:

Primera parte:

1) a > 0 ………

2) a + (–a) > 0 + (–a) ………

3) 0 > –a ………

Segunda parte:

1) a < 0 ………

2) a + (–a) < 0 + (–a) ………

3) 0 < – a ………

TEOREMA. Si a, b, R⁺ entonces a < a + b, y, b < a + b.

TEOREMA. Si a < b, y, c < d entonces a + c < b + d.

TEOREMA: Sí a > b entonces –a < –b DEMOSTRACIÓN:

1) a > b ………

2) a + (–a) + (–b) > b + (–a) + (–b) ………

3) 0 + (–b) > b + (–b) + (–a) ………

4) (–b) > 0 + (–a) ………...

5) –b > –a ………...

TEOREMA: Para todo a R, a² = 0 ó a² > 0.

DEMOSTRACIÓN:

Primera parte: Sí a = 0 entonces a a = a² = 0 0 = 0 Segunda parte: Sí a 0:

1) Sí a > 0 entonces a a = a² > 0 ………

2) Sí a < 0 entonces (–a) > 0 ………

(–a)( –a) > 0 ………

a a = a² > 0 ………

TEOREMA: Dados a, b, c R, sí a > b y c > 0 entonces ac > bc.

TEOREMA: Dados a, b, c R, sí a > b y c < 0 entonces ac < bc.

DEMOSTRACIÓN:

1) c < 0 ………..

2) – c > 0 ………..

3) a(–c) > b(–c) ………..

4) – (ac) > – (bc) ………..

5) ac < bc ………..

TEOREMA: Si a * b > 0 entonces ( a > 0 y b > 0) ó ( a < 0 y b <0) TEOREMA: Si a * b < 0 entonces ( a > 0 y b < 0) ó ( a < 0 y b > 0) TEOREMA: Sí a > 0 entonces

a 1

> 0

DEMOSTRACIÓN:

Supongamos que

a 1

0.

1) Sí

a

1

= 0 y a > 0 entonces 1 = 0 (Absurdo!)

2) Sí

a

1

< 0 y a > 0 entonces a

a

1

< 0 a y por ello 1 < 0 (Absurdo!)

ACTIVIDADES.

1) Demostrar que si a + c > b + c entonces a > b

2) Demostrar que si c es positivo y a > b entonces a + c > b 3) Demostrar que la suma de dos números negativos, es negativa.

4) Demostrar que el producto de dos números negativos es positivo y el de un negativo por un positivo, es negativo.

5) Si a > 1 entonces a² > a

6) Demostrar que para todo a, b R⁺, si a > b entonces a² > b² 7) Demostrar que para todo a, b R⁺, si a² > b²entonces a > b 8) Demostrar que si a > b y c > d entonces a + c > b + d

9) Demostrar que para todo a, b, c, d R⁺, si a > b y c > d entonces ac > bd 10) Demostrar que si a > b y c > 0 entonces

c b c a

11) Demostrar que para todo a, b R⁺, si a > b entonces

b a

1 1

12) Si a > b entonces

a b b

a 2

13) Demostrar que para todo a, b R⁺, si a > b entonces

a ab b

SOLUCIÓN DE DESIGUALDADES.

A. DE PRIMER GRADO. CON UNA VARIABLE.

En la solución de este tipo de desigualdades se emplean las propiedades estudiadas en la ordena- ción de los números reales, como mostramos en el siguiente ejemplo:

Resolver x + 1 > 3x + 5 Solución:

(–3x) + x + 1 + (– 1) > (– 3x) + 3x + 5 + (–1) ………..

– 2x + 0 > 0 + 4 ………

– 2x > 4 ………

………

x < – 2 ……….

El conjunto solución es S = {x / x < – 2}, cuya gráfica mostramos:

)

-1 0 1

-2 -3

-4 x

El intervalo correspondiente a dicha solución, es: ] – , – 2[ . Se puede comprobar o verificar que esta es la solución, escogiendo un valor para x dentro del intervalo y constatar que efectiva- mente se cumple la desigualdad al sustituirlo en ella.

B. DE SEGUNDO GRADO CON UNA VARIABLE.

Para resolver este tipo de desigualdades recurriremos a un procedimiento denominado diagrama de signos. Para ello se factoriza la expresión cuadrática y se determinan los ceros o raíces del po- linomio implícito, los cuales nos servirán de guía para determinar los intervalos solución.

Resolver 3x² – 2x – 2 < 2x² – 3x + 4 Solución:

La siguiente desigualdad, es equivalente a la dada: x² + x – 6 < 0.

Factorizando, se tiene: (x – 2)(x + 3) < 0. Los ceros son: x = 2 y x = – 3. Con estos valores, cons- truimos el diagrama de signos, escribiendo renglones para cada factor y para el producto:

0

-1 1 2

-2 3

-3

(x - 2) +

-4

(x + 3) -

-

+ +

-

+ -

+ (x - 2) (x + 3)

Puede apreciarse que el producto es negativo en el intervalo] – 3, 2[, el cual será la solución.

Puedes verificar, escogiendo un valor en el intervalo y otro fuera de él y comprobar que en el primer caso se cumple la desigualdad dada, mientras que en el segundo no.

ACTIVIDADES.

Halla el valor de x en las siguientes expresiones:

1. 4 – x < 3 – 2x 2. (x – 1)(x – 3) > 0

3. 5 – x² < 8 4. 4x + 10 > 4 – 2x

5. 5x² + 8x – 3 > x² – 3 6. x² – 6x + 25 < 11

7. 8.

Determina cuáles deben ser los valores de x para que el valor del radical corresponda a un número real:

a. b. c.

VALOR ABSOLUTO.

DEFINICIÓN: El valor absoluto del número Real x, representado por | x | es:

TEOREMA: Para toda a R:

i) | a |² = a² ii)

a

^{2 = | a |}

iii) – | a | a | a |

DEMOSTRACIÓN:

i) | a |² = a²

Sí a 0, | a |² = | a || a | = a a = a²

Sí a < 0, | a |² = | a || a | = (–a) ( –a) = a a = a²

ii)

a

² = | a | . Por i) | a |² = a², por ello

| a |

²

a

² y en consecuencia se tiene la proposi- ción dada.

iii) – | a | a | a | Primera parte: a | a | 1) a 0 | a | = a

2) a < 0 | a | = – a > 0 > a Segunda parte: - | a | a

1) a 0 | a | = a - | a | = –a 0 a 2) a < 0 | a | = - a - | a | = a TEOREMA: a, b R, | a b | = | a | | b | y |

b a

| =

|

|

|

| b a

DEMOSTRACIÓN:

Primera parte: | a b | = | a | | b |

1) | a b | =

(ab )

² ………..

2) | a b | =

a

²

b

² ………..

3) | a b | =

a

²

. b

² ………

4) | a b | = | a | | b | ………

Segunda parte: |

b a

| =

|

|

|

| b a

|

b a

| =

2

b a

=

2 2

b a

=

2 2

b a

=

|

|

|

| b a

TEOREMA: a 0, | x | a – a x a DEMOSTRACIÓN:

Primera parte: | x | a – a x a Demostremos que x a

1) x | x | ………

2) | x | a ………

3) x a ………

Demostremos ahora que: – a x

1) | x | a ……….

2) – a – | x | ………

3) – | x | x ………

4) – a x ………

Segunda parte: - a x a | x | a Sí x 0: Sí x < 0:

1) | x | = x ………. 1) | x | = –x ………

2) x a ………. 2) – a x ………

3) | x | a ……… 3) – x a ……….

4) | x | a ……….

TEOREMA. Desigualdad triangular. a, b R, | a + b | | a | + | b | DEMOSTRACIÓN:

1) - | a | a | a | ………...

2) - | b | b | b | ………..

3) – ( | a | + | b |) a + b | a | + | b | ………

4) | a + b | | a | + | b | ………...

ACTIVIDADES

1) Escribir las siguientes desigualdades con el símbolo de valor absoluto:

a. – 5 x 5 b. – ½ < x < ½

c. 3 x 7 d. 0.4 < x < 0.6

e. – 4 x 2 f. – ½ < x < 3/2

2) Hallar el valor de x en:

a. | x – 3 | = 8 b. | x – 3 | < 8

c. | 3 – x | = 6 d. |3x – 4| = 2

e. | 1 – 2x | < 3 f. | 3 – x | 5

g. | 2x + 5 | < 6 h. |2x + 1| = x + 3

3) Demostrar lo siguiente:

a. | a – b | = | b – a | b. | x – y | | x | + | y | c. | x | - | y | | x – y |

d. | a + b + c | | a | + | b | + | c |

e. Mostrar que | (3x + 2) – 8 | < 1 es equivalente a | x – 2 | <

3 1

f. Mostrar que | (2x – 3 ) – 9 | < 1 es equivalente a | x – 6 | <

2 1

g. Mostrar que | (3x – 5 ) – 1 | <

2

1 es equivalente a | x – 2 | <

6 1

h. Si | x – a | < /2 y | y – b | < /2 entonces | (x + y) – (a + b) | <

i. Si | x – 1 | <

3

1, y, | y +1 | <

4

1 entonces | x + y | <

12 7