Diseño paramétrico de una articulación de revolución de un grado de libertad para un robot modular

Texto completo

(1)INSTITUTO TECNOLOGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY CAMPUS ESTADO DE MEXICO DIVISION DE GRADUADOS E INVESTIGACION DIRECCION DE MAESTRIAS EN INGENIERIA 8 1B L l. 1 1 'I'. E OA. DISEÑO PARAMETRICO DE UNA ARTICULACION DE REVOLUCION DE UN GRADO DE LIBERTAD PARA UN ROBOT MODULAR TESIS QUE PARA OPTAR EL GRADO DE MAESTRO EN SISTEMAS ..DE MANUFACTURA PRESENTA. JOSE. GARRIDO. NAVA. ASESOR: DR. PEDRO GRASA SOLER COMITE DE TESIS: DR. JAROMIR ZELENY M. EN C. J. CARLOS PEDROZA M. EN C. AGUSTIN V ASQUEZ JURADO: DR. JAROMIR ZELENY. PRESIDENTE. DR. PEDRO GRASA. SECRETARIO. M. EN C. JUAN CARLOS PEDROZA. VOCAL. ATIZAPAN DE ZARAGOZA, MEXICO, MAYO DE 1995.

(2) 11. DISEÑO PARAMÉTRICO DE UNA ARTICULACIÓN DE REVOLUCIÓN DE UN GRADO DE LIBERTAD PARA UN ROBOT MODULAR. . Realizado Por:. José Garrido Nava. Mayo de 1995..

(3) DISEÑO PARAMÉTRICO üE UNA ARTICULACIÓN DE RF.VOLUCIÓN. 111. PREFACIO El propósito de este trabajo es proveer de fundamento analítico para el diseño paramétrico de una articulación de revolución de un grado de libertad, la cual constituye un módulo de un robot modular. Se describe el proyecto del robot modular, después se discute la filosofía y metodología para la conclusión del proyecto. Se presentan las consideraciones de diseño para el manipulador y para el modulo en particular, primero en forma analítica y después su evaluación. Se proponen las bases para el diseño modular y se discute el porqué se utiliza. Se estudia el modelado dinámico de todo el robot para después llegar al diseño de la articulación. Se emplea el modelado cinemático, dinámico y estático para encontrar las fuerzas presentes en la articulación a través de un software desarrollado en el paquete Mathematica. Se propone un método para solucionar la cinemática inversa y se programa en Mathematica. Para encontrar los requerimientos estructurales de la articulación, se analiza e\ mecanismo y se procede a diseñar los elementos por resistencia de materiales. Se selecciona el motor y el reductor de velocidad. Se muestra porque se utilizan los reductores de velocidad armónicos para el accionamiento. En general, el diseño mecánico se programa en Mathematica. A lo largo de todo el trabajo, se muestra el proceso total de diseño de la articulación para ilustrar la manera de utilizar el presente trabajo en un caso particular.. 111.

(4) DISEOO PARAMF.TRICO DE UNA ARTIClJI.ACIÚN DE REVOLUCIÓN. !INDICE. 1. AGRADECIMIENTOS PREFACIO. 111. CAPITULO 1. ANTECEDENTES. 1. 1.1 PANORAMA TECNOLOOICO. 1. 1.2 ALGUNAS INVESTIGACIONES EN MODULARIDAD. 2. 1.3 CONTEXTO ECONÓMICO. 4. 1.4 ROBOT MODULAR. 4. 1.4.1 Sistema Mecatrónico. 5. 1.5 JUSTIFICACIÓN DE LA ARQUITECTURA MODULAR. 6. 1.8 METODOLOGIA Y FILOSOFIA. 6. 1.7 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA. 7. 1.7.1 Objetivos 1.8 CONCLUSIONES. CAPITULO 2. FUNDAMENTOS DE ROBÓTICA. 8. 8. 9. 2.1 AUTOMATIZACIÓN Y R08ÓTICA. 9. 2.2 DEFINICIÓN DE UN ROBOT. 9. 2.3 VENTAJAS DE LA R08ÓTICA INDUSTRIAL. 11. 2.4 CONCEPCIÓN DE UN ROBOT MANIPULADOR. 11. 2.4. 1 Configuraciones de robots. 11. 2.4.2 Funcionamiento. 12. 2.4.3 Artlculaclones. 12. 2.4.4 Grados de libertad de un robot. 12. 2.4.5 Volumen de trabajo. 13. 2.4.6 Orientación del efector final. 13. 2.4.7 Capacidad de carga. 13. 2.4.8 Exactitud de movimiento. 13. 2.4.9 Velocldad de movimiento. 14.

(5) INDICE. 2.4.10. Actuadores. 14. 2.4. 11 Transmisión de movimiento. 14. 2.4. 12 Efector final. 14. 2.5 CONCLUSIONES. 14. CAPÍTULO 3. MÉTODO Y REQUERIMIENTOS DE DISEÑO. 15. 3.1 PROCESO DE DISEÑO DE LA ARTICULACION. 15. 3.2 REQUERIMIENTOS DEL ROBOT. 17. 3.2.1 Caracterización de Tareas. 17. 3.3.2 Procedimiento De Diseno De La Articulación. Parte: Requerimientos, Caracterización De Tareas y Configuración Clnem6tlca 3.4 DEFINICION DEL PROBLEMA 3.4.1 Requerimientos para la articulación. 19 24 24. 3.4.1.1 Cinemética de la articulación. 25. 3.4.1.2 Dln6mica. 25. 3.4.2 Algunos comentarios adicionales. 25. 3.5 CONCLUSIONES. 26. CAPÍTULO 4. ANÁLISIS ESTÁTICO. 27. 4. 1 OBJETIVO. 27. 4.2 FUERZAS ESTATICAS EN ROBOT. 27. 4.3 OBTENCION DE VECTORES DE PESO DE LOS ELEMENTOS DEL ROBOT. 29. 4.4 PROCDIMIENTO DE DISEÑO DÉ LA ARTICULACION. PARTE: ANALISIS ESTATICO.. 30. 4.5 CONCLUSIONES. 31. CAPÍTULO 5. CINEMÁTICA INVERSA. 32. 5.1 SOLUCIONES ACTUALES DE LA CINEMATICA INVERSA. 32. 5.2 JUSTIFICACIÓN DEL MODELO PROPUESTO. 33. 5.3 MODELO PROPUESTO. 33.

(6) DISEA<> PARAMl!I'RICO DE UNA ARTICULACIÓN DE REVOLUCIÓN. 5.3.1 Descripción del modelo:. 34. 5.4 PROCEDIMIENTO DE DISEÑO DE LA ARTICULACION. PARTE: QNEMATICA INVERSA. 36 5.5 CONCLUSIONES. 37. CAPITULO 8. CINEMÁTICA DIRECTA Y DINÁMICA DEL ROBOT. 38. 6.1 MODELO CINEMATICO Y DINÁMICO DE UN ROBOT DEN-GRADOS DE LIBERTAD. 38. 6.2 INTRODUCCION. 38. 6.2.1 Cinem6tica. 38. 6.2.2 Dln6mlca. 39. 6.3 ALTERNATIVAS DE SOLUCION. 39. 6.3.1 Métodos. 39. 6.3.2 Ventajas Del Modelo A Emplear. 39. 6.4 MODELO GENERAL DE ROBOTS DE COEFICIENTES DE INFLUENCIA. 40. 6.4.1CINEMATICA DEL ROBOT. 41. 6.4.1.1 CINEMATICA DEL ROBOT. 41. 6.4.1.2 Par6metros de Denavit-Hartenberg. 41. 6.4.1.3 Mabices de rotación. 41. 6.4.1.4 Función de posición. 42. 6.4.1.5 Jacoblano de traslación y de rotación. 42. 6.4.1.6 Heaslano de traslación y de rotación. 43. 8.4.2 OINAMICA DEL ROBOT. 45. 8.4.2. 1 Dln6mlca Lagranglana. 45. 8.4.2.2 Energla Cinética De Un Cuerpo Rlgldo. 45. 6.A.2.3 Matriz de Inercia respecto al marco fijo. 46. 6.4.2.4 Inercia total del manipulador. 46. 8.4.2.5 Torques dln6micos. 47. 6.4.2.8 F'*Z.88 de reacción centrifugas y de corlolls. 47. 1.4.3 TRABAJO VIRTUAL 8.4.3.1 Torques estéticos. 6.4.4 TORQUE TOTALES. 47 47 48. 1.5 SOLUCION S1Me0LICA DE UN ROBOT DE 3 GOL EMPLEANDO EL PROGRAMA ROBODYN. 48. 6.6 PROCESO DE DISEÑO DE LA ARTICULACION. PARTE: CINEMATICA Y DINAMICA. 48. 1.7 CONCLUSIONES. 54.

(7) INUICF.. CAPITULO 7. DISEÑO MECÁNICO PARAMETRIZADO. 55. 7.1 DATOS Y CONSIDERACIONES DE DISEÑO. 55. 7.2 ARTICULACIÓN DE REVOLUCIÓN:. 56. 7.2.1 Selecclón del motor. 58. 7.2.1.1 Método de selección. 58. 7.2.1.2 Salida Del Programa Con Los Datos De Diseno. 59. 7.2.2 Selección Del Reductor De Velocidad. 59. 7.2.2.1 Método de selección. 61. 7.2.2.2 Salida Del Programa Con Los Datos De Diaefto. 61. 7.3 Dlaetlo De Los Elementos De La Articulación 7.3.1 Acoplamiento. 7.3.1.1 Método De Disefto 7.3.1.1.1 Chaveta para acoplamiento. 7.3.1.2 Salida Del Programa Con Los Datos De Diseno. 7.3.2 Di6metro del eje de articulación. 61 61 62 62 63 63. 7.3.2.1 Método Utilizado. 64. 7.3.2.2 Salida Del Programa.. 64. 7.3.3 Determinación de las fuerza axial y fuerza radlal 7.3.3.1 Salida Del Programa 7.3.4 Selección de rodamientos. 64 64 64. 7.3.4.1 Proceso De Selección. 64. 7.3.4.2 Salida Del Programa:. 65. 7.3.5 Calculo de Resistencia de Arandela Truarc. 65. 7.3.5.1 Método Utilizado. 66. 7.3.5.2 Salida del programa:. 66. 7.3.8 Eslabón 2 7.3.8.1 Sallda Del Programa De Dimensionamiento. 66 87. 7.3. 7 Tomillos. 67. 7.3.8 Eslabón 1. 67. 7.3.8.1 Salida Del Programa Para El Eslabón 1 7.3.9 Dimensionamiento del eje de artlculaclón 7.3.9.1 Salida Del Programa 7.3.10 Carcasa. 68 69 69 69.

(8) DISE!ilO PARAMÉTRICO DE lJNA ARTICUlACIÚN DE REVOLUCIÓN. 7.3.10.1 Salida de Programa 7.3.11 Tapa 2 (Externa) 7.3.11.1 Dimensionamiento Con Programa 7.3.12 Tapa de carcasa 7.3.12.1 Salida 7.3.13 Calculo por resistencia del eje de articulación y deflexión méxima. 70 70 71 71 72 72. 7.3.13.1 Comprobación De La Resistencia Del Eje Con El Programa. 75. 7.3.13.2 Deflexión Máxima Del Eje. 75. 7.3.14 Resistencia del eje por fatiga. 76. 7.3.14.1 Método. 76. 7.3.14.2 Salida Del Programa De Disefto. 77. 7.3.15 Calculo de Resistencia de los Tomillos y Longitud de la rosca del tomillo. n. 7.3.15 Salida De Programa De Disefto Mecénico. 79. 7.4 ELEMENTOS DE LA ARTICULACIÓN PARA LOS DATOS DE DISEÑO. 80. 7.5 TOLERANCIAS DIMENSIONALES, DE FORMA Y DE POSICIÓN. 80. 7.5.1 Tolerancias Dimensionales. 80. 7.5.2 Tolerancias de Forma y de Posición. 82. 7.5.2.1 De forma. 82. 7.5.2.2 De posición. 82. 7.6 CONCLUSIONES. 84. CONCLUSIONES FINALES. 85. APÉNDICE A. PARÁMETROS DE DENAVIT-HARTENBERG. A. APÉNDICE B. LAS MATRICES DE ROTACIÓN. E. APÉNDICE C. PROGRAMA DE CINEMÁTICA INVERSA. G. APtNDICE D. APÉNDICE D. CINEMÁTICA Y DINÁMICA EN ROBODYN APÉNDICE E. PROGRAMA DE DISEÑO MECÁNICO. N. APÉNDICE F. ECUACIONES A EMPLEAR. U. APÉNDICE G. TABLAS Y ELEMENTOS COMERCIALES. Z. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS. LL.

(9) DISEÑO PARAMÉTRICO DE UNA ARTICIJI.ACIÚN DE REVOLUCIÓN. CAPITULO 1. ANTECEDENTES. En el presente capítulo se presentan los antecedentes del proyecto hasta concluir con la definición del proyecto. Se abarca el estado del arte, la justificación del proyecto y el planteamiento de los objetivos.. 1.1 PANORAMA TECNOLÓGICO. Hoy en día, la apertura comercial y la globalización exigen un gran intercambio de tecnología. El desarrollo de tecnología avanzada y su intercambio comercial son una base para la competitividad de las naciones.. La industria se ha preocupado por alcanzar dicha competitividad. Una empresa industrial competitiva es aquella que desarrolla sus productos en menor tiempo y los ofrece al mejor precio, con la mayor calidad, tiempo de entrega y servicio.. Una herramienta muy utilizada en los países tecnológicamente desarrollados para alcanzar la competitividad es la automatización de sus procesos de producción. En este contexto se ha logrado un desarrollo sorprendente: los avances en la automatización industrial, la concepción de un CIM (Manufactura Integrada por Computadora) y las celdas flexibles de manufactura son una clara muestra.. 1.

(10) 2. CAPtnJI.O l. PLANTiiAMIENTO DEL PROIII.EMA. En la automatización, los robots juegan un papel muy importante debido a que sustituyen al hombre en una amplia gama de tareas simples y repetitivas a relativamente bajo costo. [1).. Sin embargo, las distintas limitaciones de precio y funcionamiento de los robots industriales presentan una gran oportunidad de crecimiento tecnológico en el campo de la robótica [8]. Estas carencias, entre las cuales destaca el no poder adaptarse adecuadamente a cambios de ambiente o de producción (por lo cual llegan a ser obsoletos) conducen a que la modularidad sea un concepto que esta ganando aceptación en la industria, esto se debe a que su arquitectura previene la obsolescencia [2].. Este panorama y las ventajas que presenta el concepto de modularidad ha llevado a diversas instituciones a llevar a cabo investigaciones en este campo. Algunas instituciones enfocadas a esta tarea son: la University of Texas at Austin, la University of Camegie Mellon y la Robotics Research Corporation [3].. 1.2 ALGUNAS INVESTIGACIONES EN MODULARIDAD. Existen diversas investigaciones en el campo de la robótica, distintos centros de investigación se ocupan de estas. Actualmente, gran cantidad se realizan en el concepto. de modularidad; algunas se enfocaron directamente a diseños de robots modulares, entre los cuales destacan los enumerados a continuación.. En la University of Texas at Austin, Tesar y Elliot han desarrollado un manipulador miniatura para usarse como un instrumento de precisión quirúrgico [3]. El sistema se forma por una serie de articulaciones de 2 grados de libertad que debido a su pequeña escala, no cuentan con un actuador suficientemente pequeño para dar movimiento a las articulaciones, sino que se transmite movimiento mediante cables; tres movimientos por cada articulación. Allí mismo se ha desarrollado un robot modular para el mantenimiento. de reac:tcres nucleares..

(11) DISEJilO PARAMÉTRICO DE UNA ARTICULACIÓN DE REVOLUCIÓN. En el Laboratorio Oak Ridge National Lab se ha diseñado un servomanipulador avanzado para ser usado bajo distintas condiciones de temperatura, radiación y otros parámetros[3]. Está compuesto por ocho distintos módulos.. Un brazo modular ha sido creado por Robotic:s Research Co. Este sistema puede ser configurado desde 3 hasta 17 grados de libertad, su capacidad de torque en las articulaciones va desde 150 hasta 17,000 lb-in, obteniendo repetibilidades de algunas diezmilésimas de pulgada [3].. También el MIT ha desarrollado un robot que induye lazos de comunicación múltiple con el centro de comando, un almacén de partes, abastecimiento y herramientas y no menos de tres robots manipuladores [3]. Este sistema se pensó para dar mantenimiento, reparar e inspeccionar satélites o plataformas espaciales. El sistema es realmente complejo, ellos estiman que para lograr el nivel de tecnología implicado en este concepto podrían requerirse unos 20 años.. Algunas instituciones trabajan en el desarrollo de módulos individuales del robot, tales como: hombros, codos, muñecas, eslabones y actuadores. Esto se debe a que la mayoría de los robots se asemejan al funcionamiento del brazo humano, es decir que emplean entre otras, articulaciones tipo hombro (con 3 grados de libertad), articulaciones tipo codo (1 grado de libertad) y tipo muñeca (3 grados de libertad). Sin embargo, algunos robots emplean articulaciones con 2 grados de libertad, pero estas son implementadas utilizando dos movimientos de rotación y cuando se requiere una rotación y una traslación, se hace. una combinación de 2 articulaciones de un grado de libertad (una articulación de rotación ·y una de traslación).. El Campus Estado de México lleva a cabo diversas investigaciones científicas y de desarrollo tecnológico entre las cuales se encuentra el desarrollo de un robot modular general, sumándose a las diversas instituciones que realizan investigación en robótica y en especial en la robótica modular. Este proyecto es realizado en el ITESM Campus Edo. de México por la División de Graduados e Investigación en el Centro de Tecnología y Productividad y con la dirección del Dr. Pedro Luis Grasa Soler. El desarrollo de este. 3.

(12) 4. CAPITULO l. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA. proyecto presenta la oportunidad de contar con un diseño propio de robot modular, así como de articulaciones, eslabones, elementos y demás módulos que lo componen. De esta manera nos integramos al desarrollo de tecnología ya emprendido en otros. países y ayudamos a disminuir la dependencia tecnológica de México con el extranjero.. 1.3 CONTEXTO ECONÓMICO. La industria manufacturera es el sector con mayor participación en la economía del país. Se sabe que este sector es el de mayor participación en las exportaciones y ha sido el ramo que ha mostrado un crecimiento paulatino a partir de 1987. La industria manufacturera es, en términos generales, el sector que ofrece más empleos. El semanario Tendencias Económicas y Financieras había pronosticado un crecimiento de O. 7 o/o para 1994 en la industria manufacturera [4]. Hablando en términos reales, para 1993 las exportaciones de esta industria, sin considerar maquiladoras, crecieron un 18.5. o/o respecto de 1992. En enero de 1994, se registro un crecimiento de 32 o/o con respecto al mismo periodo de 1993 [5] [6]. Los aspectos económicos implícitos nos llevan a concluir lo beneficioso que es para este sector el lograr reducir sus importaciones, y con esto lograr un superávit; indispensable para el aecimiento de México.. 1.4 ROBOT MODULAR. Un robot modular, como su nombre lo indica está fonnado por módulos, la característica principal de estos robots es que pueden responder a cualquier necesidad; para ciertas tareas y capacidad de carga se obtiene una configuración de robot que emplea módulos que mejor se adaptan a ellas..

(13) DISEÑO PARAMÉTRICO DE UNA ARTICULACIÓN DE REVOLUCIÓN. Se conocen como m6dulos de un robot, por ejemplo: el hombro, el codo, la muñeca (articulaciones) y los conectores o eslabones. Las articulaciones Ooints) pueden ser de varios tipos como ya se mencionó, y tienen la función de adicionar los grados de libertad con los que contará el robot; para obtener el número de grados de libertad de un robot basta sumar el número de grados de libertad que cada articulación aporta al sistema.. 1.4.1 Sistema Mecatrónico Un robot modular es en realidad un sistema mecatrónico que está constituido por una parte de control y una parte operativa [2]. La parte de control es la encargada de recibir las órdenes de un agente externo, procesar la información y mandar las ordenes a la parte operativa del sistema. Además vigila que la orden encomendada a la parte operativa sea cumplida. Por otro lado, la parte operativa se encarga de ejecutar las órdenes recibidas por la parte de control y retroalimentar información sobre el avance de las operaciones.. Dentro de la parte operativa se enruentran los preaduadores, aduadores, el sistema mecánico y los sensores del sistema.. El sistema mecánico es en general la parte física del robot, se compone del total de articulaciones Ooints) y eslabones (links) que conforman el sistema.. Las articulaciones son las responsables de los grados de libertad del robot, estas pueden ser de 1, 2 o 3 grados de libertad. Para obtener los grados de libertad de un robot basta sumar el número de grados de libertad que cada articulación aporta al sistema.. Se ha observado que la falta de estandarización de los componentes del robot, tales como el sistema mecánico, el controlador y los componentes de interfase han tenido un efecto negativo en el desarrollo futuro de estos elementos. Como resultado de estas deficiencias la confiabilidad de los sistemas robóticos comerciales es baja, por esto es necesaria la estandarización y la investigación que conduzca a diseños óptimos de los componentes [2].. 5.

(14) 6. CAPITul.O l. PLANTI;AMIENTO DEL PROBLEMA. 1.5 JUSTIFICACIÓN DE LA ARQUITECTURA MODULAR Se ha observado que los sistemas robóticos anteriores han sido de diseño •único". Son estructuras que se orientan para ejecutar tareas únicas o generales. El problema de ellos es que han sido diseñados con una configuración fija y no escalable [9]. Los sistemas robóticos deben ser modulares para prevenir la obsolescencia. La modularidad implica la creación de actuadores, articulaciones, eslabones y módulos de control que puedan ser ensamblados de diferente manera para crear diferentes tipos de manipuladores. Los módulos deben permitir diferentes arquitecturas, geometrias y configuraciones cinemáticas interconectando estructuras estandarizadas e inteñaces eléctricas. Permitir configurar un robot solamente eligiendo sus componentes. Cuando se requiera ejecutar otra tarea o no realizar1a, el robot debe poder desensamblarse y reconfigurarse. También se debe poder remplazar únicamente algún módulo en especial.. 1.6 METODOLOGÍA Y FILOSOFÍA. La metodología de diseño de la articulación es dependiente del diseño del robot. La figura 1. 1 (9] muestra a grandes rasgos el proceso de diseño del robot.. Se hace notar que el proceso no es rígido; por la interdependencia del sistema robótico en total y el módulo como parte de él. Se observa ·que el primer intento en el diseño de la articulación no es el definitivo, puesto que es necesario que a medida que se avance en el desarrollo del sistema robótico total, se deben proponer nuevas ideas para aumentar la posibilidad de éxito y, tomar en cuenta las innovaciones en otros módulos. También debe tomarse en cuenta la experiencia que se adquiera a lo largo del proceso. Finalmente, no escatimar al emplear los la tecnología más avanzada existente en el mercado..

(15) DISEÑO PARAMÉTRICO DE UNA ARTICln.ACIÓN DE REVOLUCIÓN. 7. Tabla 1.1 Proceso de Diseno de un Robot. Estimaciones de Dimensiones, Peso, Actuadores. Transmisión de Movimiento, Motores, Eslabones, etc.. Sensores, Control, etc. Conexiones Mecánicas. 1.7 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA. El presente proyecto tiene como finalidad el diseftar una articulación de revolución de un grado de libertad la cual es un módulo de un robot general modular [7]. El diseño será paramétrico, con lo que se obtiene su solución general.. Paralelamente se busca analizar el modelo cinemático y dinámico del robot y con el análisis de esfuerzos generar un diseño por resistencia de materiales de acuerdo a la tarea y a la capacidad de carga de algún caso particular.. Su importancia radica en el desarrollo de la modularidad. Se escogió utilizar la modularidad para realizar la articulación debido a que es un concepto que esta ganando aceptación en robótica y previene la obsolescencia..

(16) 8. CAJ>tnJI.O L PI.ANTEAM,U,:NTO DEL PROBLEMA. 1.7.1 Objetivos • Obtener los criterios de diseño para la articulación {fuerzas, momentos, etc.) a partir del modelado cinemático y dinámico del robot modular general (7].. • Establecer el mecanismo y arquitectura de la articulación. • Analizar y obtener un diseño por resistencia de materiales de los elementos de la articulación. • Proveer fundamentos para una posterior utilización de este diseño modular.. 1.8 CONCLUSIONES El presente capítulo nos da una vista panorámica de la modularidad y la importancia de desarrollar este ámbito de la robótica, de aquí la importancia del proyecto, más aún si se considera que la robótica está ganando terreno dia con dia.. El camino por recorrer es largo, pero se pretende sentar las bases y generar criterios de diseno paramétrico y modular para que en un futuro sean utilizados en el diseño del sistema robótico total..

(17) f)(SEÑO l'ARAMÚTRICO DI·: UNA Alfl'ICI JI.AL'IÚN DE REVOLlJCIÚN. 9. CAPÍTULO 2. FUNDAMENTOS DE ROBÓTICA. 2.1 AUTOMATIZACIÓN Y ROBÓTICA. En los últimos años se ha introducido en el mundo industrial y tecnológico la noción de ROBÓTICA, creando la expectativa de una nueva y espectacular revolución en las tecnologías de automatización de los medios de producción.. 2.2 DEFINICIÓN DE UN ROBOT. La palabra robot proviene de una obra de ciencia ficción de principios de siglo, el concepto actual de robot es muy ambiguo[1 O]. Existen dos características específicas que nos penniten distinguir a un robot:. Versatilidad. Potencialidad estructural de ejecutar diferentes tareas y/o realizar una misma tarea en fonnas diversas.. Autoadaptabilidad al entorno. Posibilidad de un robot para alcanzar su objetivo por sí. mismo, a pesar de las perturbaciones. imprevistas del entamo a lo largo de la ejecución de la tarea..

(18) 10 CAPITULO 2. FUNDAMENTOS DI·: ROBÓTICA. Un robot libera al hombre de las tareas pesadas, tediosas o peligrosas.. La anatomía depende de las características operativas y del campo de aplicación para el que se crea el robot.. Existen cuatro atributos que caracterizan casi completamente el comportamiento y las propiedades funcionales de un robot. 1. Movilidad. Se refiere a la capacidad de movimiento y a las características de comportamiento dinámico. Esta fuertemente relacionada con la morfología del robot; fonna y estructura.. 2. Controlabilidad Capacidad de poder mandar y controlar al robot desde el exterior.. 3. Autonomía. Facultad del robot para actuar con una mínima o nula intervención humana.. 4. Multifuncionalidad. Capacidad del robot para ejecutar con eficiencia tareas. diferentes o una misma tarea de diversas fonnas.. Según la Robotic Industries Asociation (RIA), anterionnente el Robotic lnstitute of America (RIA):. "Un robot es un manipulador multifuncional reprogramable diseñado para desplazar materiales, piezas, herramientas o dispositivos especiales mediante movimientos programados variables para la ejecución de tareas diversas".. Un robot industrial es resultado de la conjunción de tecnologías como la mecánica, la electrónica y la infonnática..

(19) 11. DISEÑO PARAMÍffRICO DE lJNA ARTIClfl.ACIÓN DE RHVOLIJCIÓN. 2.3 VENTAJAS DE LA ROBÓTICA INDUSTRIAL. Las principales ventajas de la robótica industrial. se. relacionan con el aumento de. productividad y mejora sustancial de la calidad de los productos[10]. Estas ventajas son resultado de los siguientes puntos:. •. Aumento de la velocidad de los procesos.. •. Elevado tiempo de funcionamiento sin fallas, que repercute en un trabajo uniforme e ininterrumpido.. •. El diseño modular reduce tiempo de mantenimiento. •. Optimización en el empleo del equipo y/o la maquinaria atendida por el robot.. •. Flexibilidad en la producción de series cortas y medianas.. •. Rápida amortización de la inversión inicial.. 2.4 CONCEPCIÓN DE UN ROBOT MANIPULADOR. Un robot manipulador puede concebirse como un conjunto de cuerpos rígidos (eslabones) conectados por medio de articulaciones y formando una cadena cinemática.. Cualquier robot puede describirse cinemáticamente con 4 parámetros por eslabón. Dos describen la geometría del eslabón y dos la conexión entre eslabones vecinos. A ésta notación se le denomina Parámetros de Denavit-Hartenberg (a¡,ai,d; y q;)[12].. 2.4.1 Configuraciones de robots Los robots industriales están disponibles en una -amplia gama de tamaños, formas y configuraciones físicas.. La configuración se refiere a los tipos de eslabones y.

(20) 12 CAPtnn.o 2. FUNDAMENTOS DE IWB(HIC i\. articulaciones, y a la forma en que se unen para integrar al robot. La gran mayoría de los robots comerciales tienen una de las siguientes cuatro configuraciones: Cartesiana, cilíndrica, polar y brazo articulado[10].. 2.4.2 Funcionamiento Los robots industriales se diseñan para realizar un trabajo, este se efectúa desplazando el cuerpo, brazo y muñeca del robot en el espacio de trabajo. Los movimientos del robot se realizan con articulaciones que se accionan por medio de motores. Las articulaciones del cuerpo y brazo permiten al robot desplazar el efector final a una posición deseada dentro de su espacio de trabajo y los movimientos de la muñeca permiten orientar al efector final en el espacio para desempeñar la tarea.. 2.4.3 Articulaciones Las articulaciones son las responsables de los grados de libertad del robot. Implican un movimiento relativo, que puede ser lineal o rotacional, entre elementos de conexión (eslabones).. Se les conoce también como pares cinemáticos. Cada tipo de articulación posee formas características para las superficies unidas y permite un tipo de movimiento específico o Grado de Libertad. Cuando se establece una unión entre dos sólidos, cada uno de ellos pierde algún gdl respecto del otro.. Los pares cinemáticos se dividen en superiores (contacto en una línea o un punto) e inferiores (contacto en una superficie o un plano).. 2.4.4 Grados de libertad de un robot Para mecanismos espaciales se parte del hecho de que un sólido indeformable en el espacio posee 6 grados de libertad: 3 translaciones y 3 rotaciones[12].. En robótica, el número de grados de libertad depende de la tarea que el robot debe realizar..

(21) DISEÑO PARAMÉTRJCO DE UNA ARTICULACIÓN DE REVOLUCIÓN. 13. Los grados de libertad de un robot es la suma de los grados de libertad que cada articulación aporta al sistema. Los movimientos de una herramienta o dispositivo de aprehensión no se incluyen en los gdl del robot.. 2.4.5 Volumen de trabajo El volumen de trabajo de un robot es el espacio dentro del cual puede manipular su muñeca. El efector final no se toma en cuenta en la definición de volumen de trabajo. El volumen de trabajo es determinado por las siguientes características físicas del robot: la oonfiguración del robot, el tamaño de los componentes del brazo y muñeca, y los límites de los movimientos de las articulaciones del robot.. 2.4.6 Orientación del efector final El movimiento de la muñeca permite la orientación del efector final con respecto a la tarea a realizar. Para esta orientación, la muñeca puede disponer de hasta 3 gdl.. 2.4. 7 Capacidad de carga La capacidad de carga de un manipulador depende del tamaño y propiedades de. sus. elementos estructurales, del sistema de transmisión de potencia, de los actuadores, del efector final y de la propia carga a manipular. Al especificar la capacidad de carga para un robot particular, se hacen las siguientes consideraciones:. Se toma la posición mas desfavorable, es decir, aquella en cual debe aplicar mayor momento para sostener o mover su carga. Generalmente esta posición se alcanza con el brazo completamente extendido.. La capacidad de carga es la suma del peso del efector final y la carga útil.. 2.4.8 Exactitud de movimiento La exactitud de movimiento de un robot es función de tres características: la resolución espacial, la exactitud y la repetibilidad..

(22) 14. CAl'lnH.O 2. FIJNl>AMl-:NT< lS m: IU)ll(JTICA. 2.4.9 Velocidad de movimiento. La velocidad determina la rapidez con la que el robot realiza un ciclo de trabajo determinado, y es función de la exactitud de posicionamiento de la muñeca, el peso del objeto manipulado y la distancia a recorrer. Cuando se incrementa la velocidad se disminuye la exactitud. Si se manipulan objetos pesados se trabaja con mayor inercia y cantidad de movimiento, por lo tanto, el robot debe reaccionar con mayor lentitud.. 2.4.10. Actuadores Los actuadores son los generadores de sus movimientos. El costo y las características de funcionamiento dinámico y cinemático del robot en conjunto dependen en gran medida de sus actuadores. Estos pueden ser: motores o cilindros neumáticos, motores o cilindros hidráulicos, y finalmente, motores de corriente continua o paso a paso. 2.4.11 Transmisión de movimiento Cuando los motores no pueden actuar directamente sobre los eslabones, es necesario acoplar un sistema de transmisión de movimiento entre ambos. El sistema de transmisión puede realizar. cambios en la dirección del movimiento, transformación del mismo. movimiento y reducción de velocidad o desplazamiento[1 O].. 2.4.12 Efector final Un efector final es un dispositivo que acoplado a la muñeca del robot le permite desempeñar su tarea. Puede ser un gripper o un soporte.. 2.5 CONCLUSIONES. El presente capítulo nos hace reflexionar sobre los requerimientos importantes que debe cumplir la articulación. Es importante señalar que los requerimientos en robots industriales se basan primordialmente en la tarea a realizar, por lo que se debe tener cuidado de tomar en cuenta todas las restricciones y demandas de la función que desempeñará el robot a diseñar..

(23) DISEÑI >l'ARAMJ'..:TRICO DI! UNA ARTICULACIÓN DE REVOLIJCIÓN. 15. CAPÍTULO 3. MÉTODO Y REQUERIMIENTOS DE DISEÑO. 3.1 PROCESO DE DISEÑO DE LA ARTICULACIÓN La figura 3.1 muestra el proceso final de diseño de la articulación. Este método de diseño es demasiado amplio, abarca desde la obtención de los requerimientos para el robot, pasando por el modelado cinemático y dinámico de todo el sistema; con lo que se encuentran los requerimientos para la articulación y terminando con un diseño paramétrico. ¿Porqué se considera todo el robot y no sólo el diseño de la articulación?. Porque no es posible conocer los requerimientos de la articulación (torques, fuerzas, velocidades y otras características), si no se conoce el comportamiento dinámico, estático y la energía total del sistema del cual forma parte la articulación. Primero se plantea la tarea y sus restricciones, el conjunto de estos dos elementos constituyen los requerimientos de la tarea a realizar. Después se aplica la caracterización de tareas para encontrar los requerimientos del robot, es decir, se traducen los requerimientos de la tarea a realizar a requerimientos del manipulador para proponer su configuración cinemática: la disposición entre elementos del sistema que dan solución a las demandas. Conociendo todo el sistema , se sabe donde se encuentra el elemento que se diseña, en función de la localización y de la energía de todo el sistema; potencial y cinética, se obtienen los datos de diseño de la articulación, esto es, los momentos y fuerzas a los que está sometida. El modelado se realiza con programas que se desarrollaron paralelamente al.

(24) 16. CAPITULO l. MÍffüDO Y REQUERIMIENT< >S DE DISEÑO. diseño estático, estos son: programa de cinemática inversa (método propuesto), modelo estático y, modelo cinemático y dinámico de un robot den-grados de libertad que emplea el método de coeficientes de influencia.. A partir de aquí comienza el diseño paramétrico porque se debe plantear el mecanismo de la articulación: la forma de la transmisión del movimiento, los elementos de los que está compuesta, su forma y, las tolerancias que deben cumplir para garantizar el funcionamiento dentro del sistema.. Empleando los datos de diseño extraídos del modelo dinámico y estático, se procede a dimensionar y seleccionar los elementos de la articulación empleando como base la teoría de resistencia de materiales.. El diseño paramétrico permite que el diseño pueda plantearse como programa. Este programa obtiene soluciones diferentes cuando se introducen nuevos requerimientos de diseño, es decir, se implementa un programa que dimensiona los elementos de la articulación de acuerdo al mecanismo planteado y realizando automáticamente todos los cálculos necesarios para el dimensionamiento.. Se proponen las tolerancias dimensionales, de forma y de posición para asegurar el funcionamiento de la articulación, sin embargo, debido a la complejidad de combinaciones que pueden existir entre dimensiones nominales y tolerancias y, la gran cantidad de valores de tolerancias qu_e existen, no se programaron estos procedimientos, sólo se recomiendan los ajustes que se deben de cumplir entre piezas funcionales, lo que se traduce en · tolerancias cuando ya se conocen las dimensiones nominales de los ajustes.. cabe mencionar que el programa de diseño estático se implementó de tal manera que sea expandible, es decir, si los elementos que propone como solución no satisfacen los datos. de diseño, basta con introducir dentro del cuerpo del programa las características de los elementos que si cumplan con estos requerimientos en lugares predeterminados dentro de un nuevo vector y, finalmente se construye una estructura de control que contenga sus rangos de funcionamiento..

(25) DISEÑO PARAMF.TRICO DE IJNA ARTICUI.ACl<'>N OE REVOLUCIÓN. 17. Figura 3.1 Procedimiento Final de Disefto de la Articulación. PROCEDIMIENTO FINAL DE Dl8EIQo DE LA ARTICULACIÓN. Requerimientos. C.rllC1ilrlucl6n de Ta,... DEMANDAS DE ARTICULACIÓN. Conflgurac:i6n Clnem6tlca. Localluc:16n de la Artlculac:16n. Esfuerzo• Modelado. ClnernMlc:a lnveru C.rac:tertstlc:as de los. Elemento•. Modelado ClnernAtlc:a DirKta Dlnimlca L.9grange btitic:a. Actulidor Reductor Material. Dimensiones Toleranclu. 3.2 REQUERIMIENTOS DEL ROBOT. Se encuentran las características principales de un robot hipotético a simular.. 3.2.1 Caracterización de Tareas. La caracterización de tareas se encarga de traducir los requerimientos de la tarea a realizar en todas las características funcionales del robot, es decir, en demandas que debe cumplir el manipulador para ejecutar eficientemente la función para la cual se construye..

(26) 18. CAPITI 11.0 3. METOIX) Y REQIIBRIMIENTOS DE DISEtilO. Su objetivo es identificar los parámetros necesarios para especificar una tarea y, en función de estos parámetros, agrupar las tareas. La figura 3.2 muestra el proceso de obtención de las demandas del robot a partir de el proceso y la tarea a realizar. La Tabla 3.1 muestra el detalle de la caracterización. La Tabla 3.2 muestra algunos ejemplos.. Figura 3.2 Proceso de Caracterización de Tareas.. Procesos de Manufactura. Tareas. Demandas para el Robot. Tabla 3.1 Detalles de los Pasos del Proceso de Caracterización de Tareas.. ,-1. --····--. Proceso (C11111clo:rim.a11 del Pr~). Tareas. 1. ·-----. ·-. Demandas. (Caractt:t·Jdeaa de la ..,..). (Para o:I Robu,). Tipos. Mlcromovlmlentos. Requerimientos debido a la tarea. Secuencia de tarea y. Tolerancias. en la que se desempei'lará. movimientos. Velocidad. Tolerancias. Peso. Exactitudes. Velocidad. Tipo de Herramientas. Velocidades de los actuadoras. Peso de herramientas. otros. Aceleración máxima de los. Peso de objeto a manipular Tipo de Movimiento Con obstáculos Movimiento libre Curvas definidas Curvas indefinidas Curvaa continuas Curvas discontinuas Otros. 1. actuadores Formación de Grupos por. Rigidez do l:::i estructura. requerimientos. Otros. 1.

(27) OISEÑO PARAM(\TRICO DE UNA ARTIClJl.l\C((lN DE REVOLUCION. 19. Tabla 3.2 Ejemplos de caracterización de tareas:. TAREA. TOLERANCIA. VEL. TIPO DE MOVIMIENTO. Taladrado (rimado avellanado. horadado. Medio IT10, IT11 Burdo IT12 Dhta =0.8 mm. 0.02< =a<sO .1 mm I rev. Discontinuo Sin curvas definidas Con obatéculos. >=+-1mm. >= 1 m Is. Discontinuo Con obstáculos Sin curvas deformadas Paro total en posición definida. > +-2 mm. 0.1 a 1 m /s. Continua Suave Curvas complejas. 0.5 a 1 mis. Continuo Discontinuo Libre de obstjculos Curvas indefinidas. Soldadura por puntos. Pintura al Spray. Carga y Descarga. >=1mm. PESO. OTROS (Rigldéz, fuerza de Corte. etc). HTA. >=5 Kg. El avance de la broca a la pieza de trabajo con movimiento recto Eje de la hta perpendicular al araa de Trabajo El aumento de Producción= f (menor distancia entre agujeros) Tiempo de corte= f (a. ve) Posicionar. 14 a 116 Kg. t >= 1 seg entre puntos Posición y orientación complejas, lo que aumenta el No de gdl t soldado = f ( tipo de material. corriente. fza de boquilla ) Espesor del metal <= 3 mm fza = f (tipo de material. espesor ). Variables flujo de pintura. presión de fluido, viscosidad, temperatura. 0.1a 50Kg. Movimiento méximo Colocación de Piezas Jerk mlnimo Paro total al cargar I descargar pieza. 3.~.2 Procedimiento De Diseno De La Articulación. Parte: Requerimientos, Caracterización De Tareas y Configuración Cinemética Al final, estos requerimientos se transfieren en características funcionales del robot. En el presente trabajo se ha utilizado la caracterización de carga y descarga, como ejemplo para la utilización de esta herramienta del proceso de diseno de robots. El proceso de carga y descarga se refiere a las operaciones en las que un robot es utilizado para abastecer de piezas o partes a/de una máquina en producción. Los robots se han utilizado exitosamente en diversas operaciones de producción como: Maquinado,.

(28) 20. CAPlnJI.O 3. MF.TOIX> Y RHJlJERIMIENTOS DE DISEÑO. estampado, inyección de plásticos y otras. Los requerimientos de grados de libertad varían desde dos grados de libertad hasta por encima de seis grados de libertad. En nuestro caso, planteamos las características hipotéticas que deberá cumplir el robot en la Tabla 3.3.. Tabla 3.3 Caracterización De Tareas Para El Proceso De Carga Y -Descarga De una Mllquina Herramienta.. TAREA. Carga y De&carga. TOLERANCIA. >=1mm. VEL. 0.58 1 mis. TIPO DE MOVIMIENTO. Continuo Discontinuo Libre de obstéculos Curvas indefinidas. PESO HTA. OTROS (Rigidéz, fuerza de Corte, etc). 0.1 a 50 Kg. Movimiento méximo Colocación de Piezas Jerk mlnimo Paro total al cargar I descargar pieza. Note que en un principio sólo se cuenta con requerimientos de la tarea a realizar, y nó con datos precisos de las dimensiones, grados de libertad que se requieren para ejecutarla, ni algún otro parámetro que nos ayude a elegir o plantear cierta configuración del robot. En [1 O) se plantea que para tareas de carga y descarga los grados de libertad óptimos son los necesarios para posicionar y orientar la pieza en la maquina herramienta, se requieren desde seis grados de libertad para lograr esto. De esta manera podemos plantear las siguientes hipótesis.. B l B 1, 1 U 'J'. 1. Grados de libertad del robot. 6. 2. Repetitividad. ~. 3. Velocidad. 1 mis. 4. Movimiento. discontinuo. 5. Peso dela herramienta. ~. 1 mm. 3 Kg. 6. Pueda colocar diferentes tipos de piezas 7. Carga y descarga en maquina herramienta de control numérico 2. 8. Ares mínima de trabajo. 1m. 9. Carga a manipular. ~2 Kg. Jj__'.. L. 1.

(29) DIS~O PARAMÉTRICO DE UNA ARTICULACIÓN DE REVOI.UCIÚN. 21. Después de observar estos datos, es posible emplear un manipulador que se asemeje al robot Puma 560 porque sus características se muy parecidas a las hipotéticas[13]. Cabe aclarar que no se diseñará un elemento para el robot Puma, sino que se modelará un robot hipotético que inicialmente tendrá las propiedades, geometría y parámetros. cinemáticos del Puma, puesto que no se tienen requerimientos reales para una tarea específica. Además, el diseño de la articulación que resulta sólo tiene la intención de ejemplificar el Procedimiento Final de Diseño de la Articulación motivo del proyecto.. La parametrización de la articulación es lo que hace posible que el diseño particular sirva como ejemplo y no como un proyecto específico. Después, cuando se desee dar solución a un requerimiento real, el diseño resultante estará en función de los datos de la configuración del robot modular a diseñar.. En la Figura 3.3 se muestra el robot a modelar. Sus parámetros se encuentran en las Tablas 3.5,3.6 y 3.7.. Figura 3.3 Robot A Modelar..

(30) 22. CI\PITIJI.O J. MÍ·:TOIXl Y REQUERIMIENTOS DE DISEtilO. Los parámetros de Denavit-Hartenberg se muestran en la Tabla 3.4, se obtuvieron de acuerdo al método del Apéndice A y de la Figura 3.3. Tabla 3.4 Parámetros De Denavit-Hartenberg. i. (l. a. d. 9. 1. o. o. o. 81. 2. rr.12. 0.43. -0.2. 82. 3. o. 0 .. 38. 0.0149. 83. Tabla 3.5 Eslabón 1 VARIABLE. VALOR. Longitud. 0.7. (m) Tensor de inercia 1 (Kgm"). {0.00376,0,0}, {0,0.00376,0}, {0,0,0.0169};. Masa. 10. (Kg) Centro de masa. {0,0,0}. (m). Tabla 3.6 Eslabón 2 VARIABLE. VALOR. Longitud (m). 0.38. Tensor de inercia2 (Kgm¿). {0.9897,0,0}, {0,0.1237,0}, {0,0,0.1237};. Masa. 4. (Kg) Centro de masa. {0.15,0,0}. (m). 1 Los. elementos de la matriz de inercia solo tienen valor en la diagonal porque el área transversal es simétrica .. 2 Los elementos de la matriz de inercia solo tienen valor en la diagonal porque el área transversal es simétrica ...

(31) lllSl·:Ñ<> l'i\Ri\Ml•:TRICO 1>1·: 1IN/\ i\lHICI 11.i\Cll'>N. m: Rl-:VOI.I JCIÚN. 23. Tabla 3. 7 Eslabón 3 VARIABLE. VALOR. Longitud. 0.43. (m) Tensor de inercia (Kgm. 2. I. {0.0074,0,0}, {0,0.0074,0}, {0,0,0.7067}. ). 3.5 + 2 (muñeca). Masa (Kg). {0.17,0,0}. Centro de masa (m). Para el modelo, es necesario considerar la velocidad y aceleración de las articulaciones. Estas se muestran en la Tabla 3.8 (13].. Tabla 3.8 Velocidades Y Aceleraciones Angulares ARTICULACIÓN. VELOCIDAD ANGULAR MAXIMA [Rad/seg]. ACELERACIÓN ANGULAR MÁXIMA [Rad/seg. 1. 1.432915. 12.79. 2. 0.93375. 8.33. 3. 2.131. 38. 2. ]. Para el análisis estático es importante definir algunos vectores útiles estos son: vector de gravedad y carga útil. Resultan en obtener los pesos de articulaciones y eslabones del robot en el marco fijo. Tabla 3.9 Gravedad, Carga Útil Y Precisión VARIABLE. VALOR. Gravedad. {0,0,-9.8}. (m/seg 2 ) Carga útil (N). {0,0,2.3*(-9.8)}.

(32) 24. CAPtnn.o J Mtrono v RE(,)IJERIMIENTOS DE DISEÑO. 3.4 DEFINICIÓN DEL PROBLEMA. 3.4.1 Requerimientos para la articulación Los parámetros del robot hipotético considerado r,.Jer Sección 3.3.2) se pueden traducir en requerimientos específicos para la articulación, por lo que se obtienen características que la definen.. • Tiene 1 grado de libertad. • Tiene un par cinemático rotacional • La reducción de movimiento es realizado por un reductor armónico, debido a que es ligero y permite una amplia reducción de movimientos • Repetibilidad ±1 mm.. • Se deberán determinar las velocidades máximas de trabajo y los ángulos máximos de rotación. • Actuador a seleccionar, con los siguientes criterios:. Mínimo tamaño posible.. Deben estar lo más cerca posible del rango de velocidades que se requiera para la articulación. Esto para que la reducción de velocidad sea mínima.. Peso debe de ser mínimo. Con ello se busca que la articulación no demande una gran cantidad de potencia. Si es mucho el peso se disminuye la capacidad de carga y se incrementa las fuerzas de inercia.. La potencia entregada por el actuador debe de ser la adecuada para manejar la carga máxima en la condición crítica, es decir, aquella posición en la cual el robot demanda la mayor cantidad de potencia.. El actuador debe ser económico..

(33) DISEÑO PARAMl',TRICO 1)1,; IJNA ARTICI J1 .ACl<'>N DE REVOLUCIÓN. 25. 3.4.1.1 Cinemática de la articulación Las características cinemáticas más generales Exactitud en el movimiento Velocidad de los eslabones. 3.4.1.2 Dinámica Las consideraciones dinámicas más importantes que deben observarse son: Carga útil que se puede manipular. Depende en gran parte del tipo de actuadores. El peso de componentes debe de ser el menor posible. Esta consideración redunda en un menor consumo de potencia y evita el incremento de las fuerzas de inercia.. 3.4.2 Algunos comentarios adicionales El diseño de la articulación concluye con la obtención de las formas, las dimensiones, las tolerancias y materiales de todos los elementos que componen la articulación.. Se plantea un mecanismo de articulación que nos da el movimiento de rotación requerido. Este mecanismo y la configuración de los elementos se tratan de plantear lo menos complejos posible.. El mecanismo depende de todo el sistema robótico, es decir, de la configuración del robot, de la localización de la articulación en el sistema, de los esfuerzos presentes en ella y de si conviene colocar el sistema de accionamiento en este mismo marco coordenado o, en vez de ello, en algún lugar remoto de la articulación. Lo que se debe considerar para la solución de algún caso en particular..

(34) 26. CAPITlíl.O 3. MfiTODO Y RF<Jl JERIMIENTOS DE DISEJilO. 3.5 CONCLUSIONES. El presente capítulo sienta las bases que sirven de partida para el diseño de la articulación. Se intenta seguir el método propuesto para la caracterización de tareas, que aunque no se realiza con toda la profundidad deseada, ejemplifica la manera de realizar este procedimiento. La obtención de requerimientos para el robot serán óptimos a medida que esta caracterización profundice en niveles cada vez más específicos.. Los requerimientos de articulación están en función de la buena elección y propuesta de los requerimientos para el robot, por lo que, para trabajos futuros, se recomienda ejecutar un proceso iterativo que optimice los resultados obtenidos. En el caso de la articulación diseñada, sus requerimientos se basan en datos del robot Puma reales, pero cabe aclarar que no todos sus parámetros son disponibles para nosotros, por esta razón, algunos parámetros fueron calculados con datos no exactos y algunas veces propuestos, puesto que los desconocíamos. Esto causa cierta disparidad entre los datos esperados y los resultados. Sin embargo el modelado cinemático y dinámico con estos datos nos ayuda a diseñar con requerimientos no empíricos..

(35) DISl·:Ño PARAMl'TRICO DE lJNA AKI1CULACIÓN DE REVOLUCIÓN. 27. CAPÍTULO 4. ANÁLISIS ESTÁTICO. 4.1 OBJETIVO. El objetivo del análisis es estudiar el comportamiento del manipulador sometido a cargas estáticas y determinar las fuerzas y momentos en todo el sistema.. Para determinar las fuerzas estáticas es necesario conocer los siguientes parámetros geométricos: Longitudes de los elementos, Centros de masa También se deben conocer las cargas internas y externas Pesos de los eslabones y elementos asociados a ellos, Peso de los actuadores y mecanismos de reducción de velocidad, Carga o rango de cargas que el robot va a manipular.. El análisis estático sigue el modelo de la figura 4. 1.. 4.2 FUERZAS ESTÁTICAS EN ROBOTS. La naturaleza de la configuración del robot nos conduce a considerar como se propagan las fuerzas y momentos de un eslabón a otro [1]. Típicamente los robots actúan aplicando una fuerza, o soportan una carga, al final de la cadena (la parte libre del robot).

(36) 28. CAPITUJ..O 4. ANAI.ISIS ESTÁTICO. empleando el efector final. Deseamos encontrar los momentos que debemos aplicar a las articulaciones para mantener el equilibrio estático del sistema.. Figura 4.1 Modelo Estático Recursivo. MODELO ESTATICO. P1r6m.tros de D • H. Mlltrioes de Rotloi6n. Fuerzas internas/ externu Peso C1r111. útil. An61isis EstMioo ifi = ii+1 R i+1fi+1, ini= ii+1 R i+1 ni+1 + iPi+1 X ifi Ti= ini T iZi Ti= ifi T iZi. S11id1s: Fuerzas Momentos. Primeramente se debe tratar el robot como una estructura, después consideramos cada eslabón en la estructura y realizamos un balance de fuerzas/momentos en términos del marco del eslabón. Finalmente calculamos los torque estáticos que deben actuar sobre cada eje de articulación para alcanzar el equilibrio estático. De esta manera podemos encontrar el conjunto de momentos que debemos aplicar para soportar en equilibrio una carga estática en el efector final [ ).. Definimos la fuerza y momento debidos a un eslabón vecino como: f¡ =fuerza aplicada sobre el eslabón (i) debido al eslabón (i -1) n¡ =torque aplicado sobre el eslabón (y) debido al eslabón (i -1).

(37) 29. DISEÑO PARAMÍffRICO DE UNA ARTIClJLACl(>N DE REVOLUCIÓN. Realizando un mapeo desde el último marco hasta el marco fijo se puede llegar a las siguientes dos relaciones que nos entregan las fuerzas y momentos presentes de eslabón a eslabón debido a la propagación en cada marco coordenado: .. 'f¡. .. . 1. =i+1 R t+ f1+1, 1. . . 1 'n¡= i+1. R. . 1 i+ n1+1. (1). +. . 1 Pi+1. .. X~. (2). 4.3 OBTENCIÓN DE VECTORES DE PESO DE LOS ELEMENTOS DEL ROBOT. Se observa que para la aplicación del método se deben conocer todos los vectores fuerza, en sus tres componentes (x,y,z), los cuales están en función de los ángulos de articulación y, consecuentemente en función de las matrices de rotación. Suponga que el marco cero se asigna de acuerdo a la figura 4.2.. Figura 4.2 Dirección De El Peso De Los Elementos De Un Robot Respecto Al Marco {O}. WART1. WCARGAÚTIL. En un principio, sólo se sabe que todos los pesos del manipulador y la carga útil tienen la dirección negativa de Y, pero no se conocen las componentes en cada marco. Para resolver este problema, sin fijar los ángulos de articulación para algún momento en particular, lo que se hace es resolver el siguiente proceso:.

(38) 3 o CAPtnn.o. 4. ANAI.ISIS ESTÁTICO. • Se fija el marco {O}. • Se plantea un vector gravedad de acuerdo al marco fijado. • Se obtienen los vectores peso con la multiplicación del vector gravedad en el marco {O} y la masa del elemento a considerar. • Se obtienen las matrices de rotación y se trasladan los vectores peso del marco {O} a su respectivo marco; obteniendo los vectores en sus componentes x, y, z.. Finalmente si deseamos obtener los momentos requeridos para cada articulación y balancear las fuerzas de reacción y momentos actuantes sobre cada eslabón, debemos observar que todos estos momentos y fuerzas deben ser soportados por el robot mismo, excepto los torques sobre los ejes de articulación. Para conocer estos momentos, requeridos para el equilibrio estático, basta obtener el producto punto del vector de ejes de articulación con el vector de momentos actuantes en el eslabón, esto es:. • T¡ = n¡ . l.¡ i. T. i. (3). • En el caso de articulaciones prismáticas: _. T. i. • T¡ - l¡ . l.¡. (4). 4.4 PROCEDIMIENTO DE DISEÑO DE LA ARTICULACION. PARTE: ANÁLISIS ESTÁTICO.. El nombre del presente análisis dentro de Robodyn es Virtual. El programa se ejecutó con los valores de los ángulos de articulación (0's) de la Tabla 5.1. Los resultados se muestran ya van implícitos en la Tabla 5.1..

(39) DISE~O PARAMÉTRICO DE UNA ARTICULACIÓN DE REVOLUCIÓN. 31. 4.5 CONCLUSIONES. Con el análisis estático se obtiene la aportación de cada elemento del robot al torque en les articulaciones, debida a su peso. La influencia de cada peso de elemento varía en función de su magnitud y posición en el sistema, de acuerdo al instante en que se analiza el comportamiento. Esto nos lleva a cuestionamos si estamos analizando el sistema en el instante adecuado para obtener los torques mayores. La manera de saberlo es resolver el sistema, y encontrar torques en varias posiciones para elegir los resultados mayores. De acuerdo al análisis, los torques estáticos aumentan a medida que el sistema adquiere las posiciones donde el brazo se extiende, alejando el centro de masa de el marco de referencia fijo..

(40) 32. CAPITULO S CINEMAllCA INVERSA. CAPÍTULO 5. CINEMÁTICA INVERSA. En el presente capitulo se expone el problema de la cinemática inversa, se propone un método para su solución y se presenta el modelo. Este método se programó en Mathematica 2.2.. 5.1 SOLUCIONES ACTUALES DE LA CINEMÁTICA INVERSA. Uno de los problemas principales que frecuentemente surgen en el estudio de manipuladores robóticos es el problema de la cinemática inversa. Para un robot, la configuración de las articulaciones define una posición y orientación única de el efector final en el espacio de operación. La relación en general, es no lineal y por lo tanto estas relaciones analíticas no se obtienen fácilmente (14]. Solo para algunos tipos de manipuladores de forma cerrada la solución es fácil. El problema se complica por la presencia de singularidades. Esto es cuando se requieren velocidades muy grandes de las articulaciones para producir pequeños cambios en alguna dirección del efector final.. Si el robot es redundante, es posible definir trayectorias libres de singularidades en subespacios reducidos del espacio operacional, en algunos casos la cinemática inversa presenta serias complicaciones prácticas.. El problema se reduce para robots. redundantes que generalmente pueden operar en subespacios grandes y pueden evitar obstáculos. La cinemática inversa de robots redundantes se estudia en un contexto exacto, obteniendo una solución exacta, por medio de métodos locales y globales. Los métodos locales tienen la particularidad de que la solución se evalúa en cada instante.

(41) DISEÑO PARAMÚTRICO DE UNA ARTICUI.ACIÚN DI·: REVOLIJCIÓN. 33. de tiempo utilizando información de las restricciones vecinas. Los métodos globales calculan una solución para cada intervalo de tiempo.. Para los robots no redundantes el problema es más complejo, por lo que la cinemática inversa se estudia en un contexto inexacto.. 5.2 JUSTIFICACIÓN DEL MODELO PROPUESTO. De cualquier manera, es indudable que no existe un método general para encontrar la solución a la cinemática inversa de un robot, principalmente porque las relaciones en el espacio de articulación son no lineales y por lo tanto los sistemas de ecuaciones no son resolubles por los métodos de solución de sistemas de ecuaciones; que generalmente resuelven ecuaciones lineales y ecuaciones no trascendentales.. 5.3 MODELO PROPUESTO. Por estas razones es por lo que se decidió proponer un modelo que, si no es general, intenta resolver la cinemática inversa de una manera sencilla y en forma simbólica. El método se presenta en la figura 5. 1.. La esencia del método es el cambio de variable antes de la obtención de las matrices de rotación, traduciendo las ecuaciones trascendentales a ecuaciones polinomiales. De esta manera se puede obtener un sistema de ecuaciones que se puede resolver con los métodos existentes de solución de ecuaciones.. Otro paso importante del método es la separación de la posición de la orientación. La posición se alcanza con los primeros tres grados de libertad, esta idea proviene de la observación de que los robots se construyen básicamente de muñeca particionada, es decir, los tres primeros grados de libertad son articulaciones con un grado de libertad que sirven para posicionar el efector final, los otro tres grados de libertad se encuentran.

(42) 34. CAPITIJLO S. CINEMÁTICA INVERSA. en la mur'leca; articulaciones unidas en mismo módulo que orienta al efector. La orientación se obtiene con los siguientes 3 grados de libertad y es resultado de el sistema de ecuaciones que se obtiene al igualar la matriz de rotación del marco {O} al marco {n}, que es la matriz de rotación que tiene implícitos los seis grados del robot, con la matriz de ángulos de Euler XYZ, ZYX o ZYZ, descritos en [1]. En este paso se sustituyen los ángulos de articulación del paso anterior y se resuelve el sistema para encontrar los otros tres.. Figura 5.1 Modelo de Cinemática Inversa Propuesto. CINEIIATICA INVERSA. cambio de Variable u • tlln Cthetll / 2). MatrloN de Romol6n. ProduotD de Mñ!Ns de Rot.ol6n. Funol6n de Poslol6n. n>3 thetll • f (u1, u2, u3). thebl • t. cu II. Eleccl6n de I• Solucl6n Crltarlo: Dlstllnola Tiempo. 5.3.1 Descripción del modelo: • Parámetros de Denavit-Hartenberg Son obtenidos a partir de la configuración cinemática del robot. • Cambio de Variable: En este paso se realiza el cambio de variable para transformar las ecuaciones trascendentales a ecuaciones polinomiales. El cambio de variable es el siguiente:.

(43) DISEÑO PARAMl·TRICO DE UNA ARTICUI.ACIÚN DE RF.VOI.UCIÓN. u,=. 35. Ian(;). SenfJ ,. = iu,. CosfJ,. =. I+. ui. (1). 1-U 2. l+U 2. • Matrices de Rotación: La construcción de las matrices de rotación siguen el mismo procedimiento descrito en el Apéndice B de la cinemática y la .dinámica. Las matrices de rotación por construir son: ºR 'R n-•¡·> 1 •2 •" ·, n \. • Producto de Las matrices de Rotación: En este paso se encuentran las matrices de rotación de cada marco respecto al marco de referencia fijo. Es decir:. • Función de Posición: La función de posición se encuentra de la misma manera que la descrita en el Capítulo 6 de la cinemática y la dinámica. Esta función es dependiente de los primeros tres ángulos de articulación. Si. n ~ 3 => f(B.,0 2 , ... ,Bn) n > 3 => f(B 1 ,B2 , ••• ,0 3 ). (2). • Elección de la solución: En este paso se elige de entre todas las soluciones obtenidas al resolver el sistema de ecuaciones la que mejor se adapte a la trayectoria del robot de acuerdo a los requerimientos por cumplir. En este caso el criterio de elección es el de elegir aquella solución que necesite menor ángulo de rotación; sumando todos los ángulos por alcanzar y de acuerdo a la posición inicial..

(44) 36. CAPtn.JLo 5. CINEMÁTICA INVERSA. • Solución de la orientación: Lo que se persigue con este paso es encontrar los ángulos necesarios para cumplir con la orientación requerida del efector final. En este caso, el sistema de ecuaciones se obtiene con los ángulos de Euler igualados a la matriz de rotación del marco fijo al último marco. Se sustituyen los ángulos de posicionamiento encontrados previamente. n > 3 => Angu/osHuler=iR => f (O,, 0 2 , ••• , (} n) donde. (3). O,, 0 2 , (}3 --+ conocidas (} 4. ,Os,06 --+ desconocidas. 5.4 PROCEDIMIENTO DE DISEÑO DE LA ARTICULACIÓN. PARTE: CINEMÁTICA INVERSA.. En el Apéndice C se presenta un ejemplo de calculo para de los primeros tres ángulos de articulación del robot en estudio (ver Capítulo 3). Siguiendo el mismo procedimiento se construye la Tabla 5.1.. Tabla 5.1 Resultados de Cinemática Inversa para el Robot en Estudio. LISTATH INICIAL. POSICION ALCANZADA. ANGULOS DE ARTICULACIÓN. {01,02,0~}. {x,y,z}. {01.~,0:,}. (RADIANES). (METROS). (RADIANES). {0,0,0}. {0.3555514811, -0.7064449937,. {0,-0.872664626,-. {0,-0. 872664626,-. {O. 5206579638, -0.6204959989,. {0,-0.872664626, O}. {0,-0.872664626,0}. {0.5206579638, -0.6204959989,. {O,-. {O,-. {0.7697123484, 0.1817258525, - {0,0,0.436332313}. {0,0,0.436332313}. {0.81, O., -0.1851}. {0,0,0}. {0,0,0}. {0.7697123484, -0.1817258525,. {0,0,-0.436332313}. {0,0,-0.436332313}. {0.6339716401, 0.4728227409, - {0,0.872664626,-. {0,0.872664626,-. {0.5206579638, 0.6204959989, - {0,0.872664626,0}. {0,0.872664626,0}. {0.3555514811, 0.7064449937, - {0,0.872664626,.

(45) l)ISEÑO PARAMÍfflUCO OE lJNA ARTICULACIÓN DE REVOLUCIÓN. 37. Estos ángulos son útiles para el modelado cinemático y dinémico del Capítulo 6.. 5.5 CONCLUSIONES. El modelo de cinemática inversa propuesto ha sido comprobado para los primeros tres grados de libertad del robot y se ha pasado del espacio cartesiano al espacio de articulación sin resolver ecuaciones trascendentales, sino un sistema de ecuaciones polinomiales. El problema se presenta cuando el numero de grados de libertad aumenta puesto que la reducción de términos se vuelve cada vez más difícil. En nuestro caso fue muy difícil obtener salidas del programa, debido a la carencia de equipo veloz y la poca disponibilidad de memoria del equipo empleado. En algunos casos el modelo no converge a la solución, sin embargo, realizando algunos pasos alternativos propios del paquete de aplicación (Mathematica 2.2) es posible solucionar el problema. Pensamos que la razón de la no convergencia se debe a razones ajenas al método, pero falta corroborarlo..

(46) 38. CAPllUl.O 6. CINEMÁTICA DIRECTA Y DINÁMICA DEL ROBOT. CAPÍTULO 6. CINEMÁTICA DIRECTA Y DINÁMICA DEL ROBOT. 6.1 MODELO CINEMÁTICO Y DINÁMICO DE UN ROBOT DE N-GRADOS DE LIBERTAD. Para la solución de la cinemática y dinámica del robot se ha implementado el software de solución en Mathematica 2.2 y se le ha dado el nombre de ROBODYN (ver Apéndice D). Este programa sigue el modelo de coeficientes de influencia y utiliza la dinámica Lagrangiana. Sus resultados pueden ser simbólicos y numéricos. El modelo se explica en el presente Capítulo.. 6.2 INTRODUCCIÓN 6.2.1 Cinemática La cinemática de los robots, trata con los aspectos geométricos del movimiento del robot con respecto a un sistema de referencia fijo sin considerar las fuerzas o momentos que causan el movimiento. Se estudia la configuración espacial del robot como una función del tiempo y especialmente con las relaciones entre las variables del espacio de articulación, la posición y orientación del robot.. Existen dos problemas de cinemática. El problema de la cinemática directa: pasar del espacio de articulación al espacio cartesiano..

(47) DISEÑO l'ARAMÚTRICO DE UNA ARTICln.ACIÓN DE REVOl.lJCIÚN. 39. El problema de la cinemática inversa: pasar de una representación cartesiana al espacio de articulación.. 6.2.2 Dinámica La dinámica se obtiene con las ecuaciones diferenciales del movimiento del manipulador. Las ecuaciones del movimiento dinámico describen el comportamiento del brazo en términos de fuerzas y torques que actúan sobre él, y se derivan de las leyes mecánicas de Newton o de la formulación Lagrangiana de la mecánica clásica.. 6.3 AL TERNATIVAS DE SOLUCIÓN. Actualmente, existen 2 alternativas para abordar la cinemática de robots:. 1) Transformadas Homogéneas 2) Coeficientes de Influencia. 6.3.1 Comparación Entre Métodos El método de transformadas homogéneas ha sido sumamente utilizado para describir la cinemática de robots [1].. 6.3.2 Ventajas Del Modelo A Emplear En Vásquez [7] se presenta el modelo general para robots usando los coeficientes cinemáticos de influencia y la formulación de Lagrange. Algunas de las ventajas de este modelo se enumeran a continuación:. 1. Menor tiempo de implementación Computacional 2. Interpretación física directa 3. No se deriva para obtener el Jacobiano y Hessiano 4. Homogeneidad entre Cinemática y Dinámica de manipuladores..

(48) 40 C/\P(TIJLO 6. CINEMÁTICA DIRECTA Y DINÁMICA DEI. ROBOT. El modelo considera solo manipuladores seriales (de cadena cinemática abierta y simple), supone solo articulaciones de un grado de libertad y par cinemático inferior: traslacional y rotacional.. 6.4 MODELO GENERAL DE ROBOTS DE COEFICIENTES DE INFLUENCIA. La figura 6. 1 muestra a grandes rasgos el modelo de coeficientes de influencia.. Figura 6.1 Modelo General De Robots De Coeficientes De lnflüencia. PARÁMETROS DE DENAVIT--MARTENBERG. CINEMATICA DEL ROBOT. MATRICES DE ROTACIÓN FUNCIÓN DE POSICIÓN JACOBIANO DE TRASLACIÓN Y DE ROTACIÓN HESSIANO DE TRASLACIÓN Y DE ROTACIÓN MATRIZ DE INERCIA RESPECTO Al MARCO F.IJO. DINAMICA DEL ROBOT. INERCIA TOTAL DEL MANIPULADOR FUERZAS DE REACCIÓN CENTRIFUGAS Y DE CORIOLIS TORQUES DINÁMICOS. o (. TORQUES ESTAilCOS. ). TRABAJO VIRTUAL. Modelo general de robot de coeficientes de influencia..

(49) DISEÑO PARAMÉTRICO m: UNA ARTICUI.ACIÚN DE REVOLUCIÓN. 41. A continuación se explica cada paso mostrado en el modelo general de la figura, se da su expresión matemática y el nombre de la función del programa ROBODYN desarrollado que resuelve dicho paso.. 6.4.1 CINEMÁTICA DEL ROBOT. 6.4.1.1 Vectores empleados Se sabe que la posición y la orientación de un cuerpo rígido pueden ser descritas por seis números reales, lo que sugiere el uso de 6n variables para describir el movimiento del robot de n grados de libertad.. El vector r denota el vector de 6 componentes requerido para describir la posición y la orientación de el iéaimo cuerpo de un robot. Este vector está arreglado como una matriz columna n-dimensional. El conjunto de coordenadas generalizadas está arreglado como un vector columna m-dimensional. Estos dos vectores se presentan a continuación:. '= [,¡. ,r2 •. ... ,rnY. (1). q = [q, ,q2 , ... ,q,,.]' 6.4.1.2 Parámetros de Denavit-Hartenberg Para la representación en el modelo de los vectores r y. q se auxilia de vectores que. representen en forma sencilla la configuración cinemática del robot. Esto se logra con los parámetros de Denavit-Hartenberg (0-H). Para su obtención se sigue el método . descrito en el Apéndice A. Primero se asignan los marcos coordenados a cada articulación para posteriormente determinar los parámetros 0-H. La función en Robodyn es llamada. Usuario. 6.4.1.3 Matrices de rotación A continuación se construyen las matrices de rotación que describen la rotación entre marcos. La función se llama MatrixRot. La expresión matemática es: ºR 1 ,2'R , .. ·, n-'R n.

(50) 42 CAJ'(TIJI.O 6. CINl·:MÁTIL'i\ DIRECTA Y DINÁMICA DEI. ROBOT. Se realiza la multiplicación de matrices de rotación para obtener la descripción de cada marco coordenado respecto a el marco {. o }.. La función es llamada Producto. La expresión. matemática es:. Se extrae de cada una de las matrices los vectores columna. Vx. , Vz. para la i-ésima. articulación. Llamada VectoXZ.. 6.4.1.4 Función de posición La función de posición es r = r (q). Dada la dependencia temporal de las coordenadas generalizadas, la función deposición puede ser usada para obtener la dependencia temporal de r. Esta función es llamada Pos. En Vásquez• se demuestra que esta función de posición puede escribirse en términos de componentes vectoriales como sigue: (2). 6.4.1.5 Jacobiano de traslación y de rotación La posición, la velocidad y aceleración son conceptos cinemáticos. La derivada parcial de la función de posición puede usarse para obtener la derivada temporal de r a partir de la derivada temporal de q, usando la regla de la cadena:. .:.. ff di[ a¡ dt. r =-----. (3). ; -f (a,ja¡ )(dqj) di. (4). en componentes. I -. J=l. para i=1,2, ... ,n La matriz cuyos componentes son (5). es conocida como el Jacobiano y juega un papel muy importante de aquí en adelante..

(51) DIS!ThlO PARAMf.:'IRICO DE IJNA ARTICULACIÓN DE REVOLUCIÓN. 43. El conjunto de derivadas señaladas arriba puede sustituirse por produdos vectoriales y de esta manera construir el Jacobiano del manipulador [ 7 ]. (6). Donde los coeficientes de influencia de primer orden constituyen el Jacobiano de rotación (que es en realidad el vector X obtenido de la función VectaXZ ) de la siguiente manera:. I R. &o 1 G1 I = - =. a¡. '. {Z,i ~ j ; i revolucion Ode otra manera. (7). Los coeficientes de influencia para el Jacobiano de traslación (función llamada Jacobiano T):. .. / ,.G1 /; ~. 0. .p'. q'. ~ j ; i revolucion Z; i ~ J; i prismatica {Ode otra manera Z, x. av. =. ( r PJ - roJ) i. (8). 6.4.1.6 Hessiano de traslación y de rotación La expresión para la segunda derivada temporal de r, que da la aceleración, se obtiene por la segunda aplicación de la regla de la cadena:. f=: ~!. +;[;}. 11. (9). en componentes (10). para i=1,2, ... ,n Donde las cantidades:. ª''". - =aJlj -. tl¡j. son simétricas.. a,". (11).

(52) 44. CAPh1n.o 6. CINEMÁTICA DIRECTA y DINÁMICA DEL ROBOT. De aquí que la notación vectorial [7] para la aceleración sea:. (12). Se observa que el Hessiano también se compone de una parte traslacional y una rotacional. De aquí que los coeficientes de influencia de segundo orden para determinar las componentes de la matriz hessiana tengan la forma vectorial(7] de las siguientes ecuaciones.. Hessiano de rotación. Llamado HessiaR:. [R. H ]. ~ i < k :5 j i, k de revolucion O otro caso. = {s;X.\:*. 1 i.1. (13). Hessiano de traslación. Llamado Hessiano T:. [ 7. f/1. J... =. s,,x(smxl'a.u. ~. n :5 m :5 j m, n de revolucion. j·mx(s,,xl'cm1. ~. m :5 n :5 j m,n de revolucion. s,,xsm ~ n < m :5 .f m prismatica, n de revolucion smx.\·,,. ~. (14). m < n :5 j m prismatica, n de revolucion. O otro caso. Las relaciones encontradas nos dan la solución a la cinemática directa, suponiendo que la función de posición es conocida. Respecto a la cinemática inversa es necesario hacer notar que no todos los arreglos de coordenadas cartesianas son alcanzables por el robot, por lo que se pueden imponer condiciones adicionales para obtener una solución única..