Sesión 2. Modelos y esquemas numéricos en OpenFOAM

(1)

Modelos físicos en OpenFOAM Esquemas numéricos en OpenFOAM

Sesión 2. Modelos y esquemas numéricos en OpenFOAM

E. Martín¹, M. Meis^1,2y F. Varas^1,3

1Univ. de Vigo,²Vicus Desarrollos Tecnológicos y³Univ. Politécnica de Madrid

Simulación en dinámica de fluidos con OpenFOAM Vigo, 26 y 27 de Enero de 2012

(2)

Outline

1 Modelos físicos en OpenFOAM Principales grupos de modelos Otros grupos de modelos

2 Esquemas numéricos en OpenFOAM Discretización espacial y temporal Algoritmos numéricos de resolución Resolución de sistemas lineales

(3)

Principales grupos de modelos Otros grupos de modelos

Plan

(4)

Modelos físicos en OpenFOAM

Principales grupos de modelos modelos básicos

flujos incompresibles flujos compresibles transferencia de calor flujos multifásicos flujos reactivos

(5)

Modelos físicos en OpenFOAM (cont.)

Otros grupos de modelos transporte de partículas electromagnetismo dinámica molecular mecánica de sólidos otros

Referencias

http://www.openfoam.com/features

(6)

Plan

(7)

Modelos básicos

Modelos básicos en OpenFOAM Flujos potenciales

Ecuación de transporte

ArchivoscalarTransportFoam.C

solve ( fvm::ddt(T) + fvm::div(phi,T) -

(8)

Flujos incompresibles

Modelos incompresibles en OpenFOAM flujos laminares

flujos turbulentos

Reynolds Averaged Navier-Stokes (RANS):

http://www.openfoam.com/features/RAS.php Large Eddy Simulation (LES):

http://www.openfoam.com/features/LES.php

Principales solvers

icoFoam: flujo transitorio laminar

pisoFoam: flujo transitorio laminar/turbulento

(9)

Flujos incompresibles (cont.)

(10)

Flujos compresibles

Modelos compresibles en OpenFOAM

flujos subsónicos laminares/turbulentos (RANS) flujos transónicos/supersónicos

rhoSimpleFoam: flujo estacionario laminar/turbulento rhoPimpleFoam: flujo transitorio laminar/turbulento sonicFoam: flujo transitorio transónico/supersónico

(11)

Flujos compresibles (cont.)

(12)

Flujos con transferencia de calor

Modelos de flujos con transferencia de calor en OpenFOAM flujos incompresibles (hipótesis de Boussinesq)

flujos compresibles

buoyantBoussinesqSimpleFoam

flujo estacionario laminar/turbulento incompresible buoyantBoussinesqPimpleFoam

flujo transitorio laminar/turbulento incompresible buoyantSimpleFoam

flujo estacionario laminar/turbulento compresible

(13)

Flujos con transferencia de calor (cont.)

(14)

Flujos multifásicos

Algunos modelos multifásicos en OpenFOAM flujos incompresibles de fluidos inmiscibles flujos compresibles de fluidos inmiscibles flujos bifásicos con fase dispersa

Principales solvers interFoam

flujo laminar/turbul. de dos fluidos incompresibles (VOF) compressibleInterFoam

flujo laminar/turbulento de dos fluidos compresibles (VOF)

(15)

Flujos multifásicos

(16)

Flujos multifásicos

(17)

Flujos reactivos

Modelos reactivos en OpenFOAM flujos reactivos (genéricos) modelos de llamas premezcladas modelos de llamas de difusión combustión de sprays

Algunos solvers

reactingFoam: solver genérico para flujos reactivos fireFoam: solver para llamas de difusión (incl. fuentes lagrangianas, pirólisis, etc.)

(18)

Flujos reactivos

(19)

Plan

(20)

Transporte de partículas

(21)

Otras físicas

(22)

Fuentes de información

OpenCFD

Tutoriales de OpenFOAM Código fuente de OpenFOAM

Comunidad de usuarios

http://openfoamwiki.net

Curso de CFD basado en OpenFOAM en:

http://www.tfd.chalmers.se/˜hani

(23)

Discretización espacial y temporal Algoritmos numéricos de resolución Resolución de sistemas lineales

Plan

(24)

Esquemas numéricos en OpenFOAM

Discretización numérica

discretización espacial y temporal discretización espacial

tratamiento de términos convectivos discretización temporal

algoritmos globales de resolución SIMPLE

PISO

resolución de sistemas lineales

(25)

Plan

(26)

Formulación de modelos

Ecuación de conservación genérica (forma diferencial)

∂

∂t(ρΦ)

| {z } acumulación

+div(ρ~UΦ)

| {z } convección

−div(ρΓΦ∇Φ)~

| {z } difusión

= S(Φ)

| {z } fuente

Formulación integral: balance sobre volumen de control V

d dt

Z

V

ρΦdV + Z

∂V

ρ~UΦ ·d~S− Z

∂V

ρΓΦ∇Φ ·~ d~S= Z

V

S(Φ)dV

(27)

Discretización mediante volúmenes finitos

Formulación de balance sobre celdaΩ

d dt

Z

Ω

ρΦdV + Z

Γ

ρ~UΦ ·d~S− Z

Γ

Ω

S(Φ)dV

(28)

Discretización mediante volúmenes finitos

Aproximación mediante volúmenes finitos

A partir de aproximaciones deΦen P se debe obtener:

aproximación deR

ΩF(Φ)dV aproximación deR

ΓG(Φ) ·~ d~S

(29)

Integración sobre celdas

Aproximación de integral sobre celdaΩ

F(~x) =F_P+ (~∇F)P· (~x− ~x_P) +O(||~x − ~x_P||²) Z

Ω

FdΩ ≃ Z

Ω

(F_P+ (~∇F)_P· (~x − ~x_P))dΩ =F_PV_P

(30)

Integración sobre caras

Aproximación de integral sobre caraΓ

G(~~ x) = ~G_f + (~∇~G)_f(~x− ~x_f) +O(||~x− ~x_f||²) Z

Γ

G~ ·d~S≃ Z

Γ

(~G_f + (~∇~G)f(~x − ~x_f)) ·dS~ = ~G_f · ~S_f

(31)

Aproximación de términos difusivos

Cálculo de flujo difusivo Z

Γ

ρΓΦ∇Φ ·~ d~S≃ (ρΓΦ)_f(~∇Φ)_f · ~S_f (~∇Φ)_f · ~S_f ≃ |~S_f|Φ_N− Φ_P

|~d|

(32)

Aproximación de términos difusivos

Cálculo de flujo difusivo (malla general) Z

Γ

ρΓΦ∇Φ ·~ d~S≃ (ρΓΦ)_f(~∇Φ)_f · ~S_f

(~∇Φ)_f =f_x(~∇Φ)P+ (1−f_x)(~∇Φ)N con (~∇Φ)P ≃ 1 V_P

X

f

Φ_fS~_f

(33)

Aproximación de términos difusivos

Implementación práctica

Esquema anterior produce stencil grande

(matrices menos huecas y mayor consumo de memoria) En práctica se introducen correcciones

(~∇Φ)_f · ~S_f = ~∆ · (~∇Φ)_f

| {z }

+ ~k· (~∇Φ)_f

| {z }

(34)

Aproximación de términos fuente

Cálculo de términos fuente términos lineales:

Z

Ω

S(Φ)dV ≃ (S(Φ))_PV_P =SpΦ_PV_P términos no lineales (linealización):

Z

Ω

S(Φ)dV ≃ (S(Φ))PV_P ≃S_0PV_P+S_1PΦPV_P

(35)

Aproximación de términos convectivos

Un ejemplo elemental

Problema estacionario unidimensional sin fuentes d

dx(ρUΦ) − d dx(ρΓΦ

dΦ dx ) =0 Φ(0) = Φ₀ Φ(L) =0

Forma adimensional (ρ, U yΓΦ constantes) dΦˆ

dxˆ − 1 Pe

d²Φˆ dxˆ² =0 Φ(0) =ˆ 1 Φ(1) =ˆ 0

(36)

Aproximación de términos convectivos

Solución analítica de problema modelo

Φ(x) =ˆ exp(Pe x) −exp(Pe) 1−exp(Pe)

(37)

Aproximación de términos convectivos

Formulación de balances sobre celda i–ésima

Z x_i+1/2

x_i

−1/2

dΦˆ dxˆdxˆ−

Z x_i+1/2

x_i

−1/2

1 Pe

d dxˆ(dΦˆ

dxˆ)dxˆ=0

(38)

Aproximación de términos convectivos

Tratamiento de términos difusivos

−

Z x_i+1/2

xi−1/2

1 Pe

d dxˆ(dΦˆ

dˆx)dxˆ= 1 Pe(dΦˆ

dˆx|x_i+1/2−dΦˆ

dxˆ|x_i

−1/2)

≃ 1

(Φˆ_i+1− ˆΦ_i

−Φˆ_i− ˆΦ_i₋₁

) = 1 Φˆ_i+1−2Φˆ_i+ ˆΦ_i₋₁

(39)

Aproximación de términos convectivos

Z x_i+1/2

x_i

−1/2

dΦˆ

dˆxdxˆ= ˆΦ|x_i+1/2− ˆΦ|x_i

−1/2

≃ Φˆ_i+1+ ˆΦ_i

−Φˆ_i+ ˆΦ_i₋₁

= Φˆ_i+1− ˆΦ_i₋₁

(40)

Aproximación de términos convectivos

Balance en primera celda (condición de contorno en x_1/2) Contribución de término difusivo

− Z x_3/2

x_1/2

1 Pe

d dxˆ(dΦˆ

dˆx)dxˆ= 1 Pe(dΦˆ

dxˆ|x_3/2−dΦˆ dˆx|x_1/2)

(41)

Aproximación de términos convectivos

Balance en primera celda (condición de contorno en x_1/2) Contribución de término convectivo

Z x_3/2

x

dΦˆ

dxˆdxˆ= ˆΦ|x_3/2− ˆΦ|x_1/2 ≃ Φˆ₁+ ˆΦ₂ 2 − ˆΦcc

(42)

Aproximación de términos convectivos

(43)

Aproximación de términos convectivos

Una aproximación estable de términos convectivos

Z x_i+1/2 dΦˆ

dxˆ= ˆΦ|x − ˆΦ|x ≃ ˆΦi− ˆΦ|i−1

(44)

Aproximación de términos convectivos

(45)

Aproximación de flujos convectivos

Contribución de flujos convectivos

d dt

Z

Ω

ρΦdV + Z

Γ

ρ~UΦ ·d~S

| {z }

− Z

Γ

Ω

S(Φ)dV

(46)

Aproximación de flujos convectivos

Esquemas básicos

aproximación centrada (central differencing) Φf = (Φf)CD =f_xΦP+ (1−f_x)ΦN

aproximación descentrada (upwind differencing) Φ_f = (Φ_f)UD = ΦP

(47)

Aproximación de flujos convectivos

Otras aproximaciones de flujos convectivos descentrado de orden superior:

linear upwinding QUICK

esquemas TVD y limitadores de flujo:

van Leer SUPERBEE MINMOD MUSCL

(48)

Control de discretización espacial en OpenFOAM

Tipos de esquemas de discretización espacial

Interpolación general (obtiene valores sobre aristas/caras) interpolationSchemes

Discretización de términos convectivos:

divSchemes

Discretización de términos difusivos:

laplacianSchemes

Discretización de términos en gradiente:

gradSchemes

(49)

Control de discretización espacial

Esquemas de interpolación sobre aristas/cara

(50)

Control de discretización espacial

Términos convectivos: divSchemes

Discretización de términos de formadiv(ρ~UU)~ mediante:

div(phi,U) Gauss InterpScheme dondephicorresponde aφ = ρ~~ U Esquemas (usuales) de interpolación:

(51)

Control de discretización espacial

Términos difusivos: laplacianSchemes

Discretización de términos de formadiv(ν ~∇U)mediante:

laplacian(nu,U) Gauss InterpScheme SnScheme Esquema de interpolación según lista general

Esquemas de aproximación de normales:

Ejemplo:

(52)

Control de discretización espacial

Términos en gradiente: gradSchemes

Más información

OpenFOAM User’s Guide

OpenFOAM Programmer’s Guide

OpenFOAM wiki en: http://openfoamwiki.net

(53)

Integración temporal

Formulación de balance sobre celdaΩ

d dt

Z

Ω

ρΦdV + Z

Γ

ρ~UΦ ·d~S− Z

Γ

Ω

S(Φ)dV

(54)

Integración temporal

Formulación semidiscretizada en espacio

ρ_PV_PdΦ_P dt +X

f

FΦ_f −X

f

(ρΓ)_f~S· (~∇Φ)_f =S₀V_P+S₁V_PΦ_P

Esquemas de discretización temporal Euler implícito

Esquema BDF de orden 2 Crank-Nicolson

(55)

Integración temporal

Método de Euler implícito

ρ_PV_PΦⁿ_P− Φ⁰_P

∆t +X

f

FΦⁿ_f −X

f

(ρΓ)_fS~· (~∇Φ)ⁿ_f =S₀V_P+S₁V_PΦⁿ_P

Estabilidad del esquema

incondicionalmente estable

sobreamortiguamiento si CFL mucho mayor que 1

(56)

Integración temporal

Método BDF de orden 2

ρ_PV_P3/2Φⁿ_P −2Φ⁰_P+1/2Φ⁰⁰_P

∆t +X

f

FΦⁿ_f −X

f

(ρΓ)_f~S· (~∇Φ)ⁿ_f =S₀V_P+S₁V_PΦⁿ_P

Método de Crank–Nicolson ρ_PV_PΦⁿ_P− Φⁿ_P

∆t + 1 2

X

f

FΦⁿ_f −1 2

X

f

(ρΓ)_f~S· (~∇Φ)ⁿ_f

(57)

Integración temporal

Implementación en OpenFOAM

términos implícitos (ensamblado de matriz):

fvm: finiteVolumeMethod

términos explícitos (ensamblado de vector):

fvc: finiteVolumeCalculus

Ecuación del calor enlaplacianFoam Integración con esquema implícito de

∂T

∂t − div(DT∇T~ ) =0

(58)

Plan

(59)

Dificultades en tratamiento de presión

Ecuaciones de Stokes

−µ∆~v + ~∇p=0 div~v =0

Formulación sobre celda (2D)

−X

f

Z

Γ

µ∂u

∂n dS+X

f

Z

Γ

pn_x dS =0

−X

f

Z

Γ

µ∂v

∂n dS+X

f

Z

Γ

pn_y dS =0

(60)

Dificultades en tratamiento de presión

Discretización de ecuación de Stokes

−µ(u_E+u_W +u_N+u_S−4u_P) +h(p_E−p_W) =0

−µ(v_E+v_W +v_N+v_S−4v_P) +h(p_N−p_S) =0 v_N−v_S+u_E−u_W =0

(61)

Dificultades en tratamiento de presión

Ecuaciones de Stokes

−µ∆~v + ~∇p=0 div~v =0

Observación

Con balance nulo de fuerzas de viscosidad (µ∆~v =0):

p debe ser constante

(62)

Dificultades en tratamiento de presión

−µ(u_E+u_W +u_N+u_S−4u_P) +h(p_E−p_W) =0

−µ(vE+v_W +v_N+v_S−4v_P) +h(pN−p_S) =0

(63)

Dificultades en tratamiento de presión

Alternativas de esquemas numéricos estables uso de mallas decaladas (staggered grids):

- presión y velocidad no se aproximan en los mismos puntos - ejemplo: MAC (Marker–and–Cell)

métodos de proyección (o segregados):

- las ecuaciones se resuelven en varios pasos

- se separa conservación de momentos e incompresibilidad - ejemplo: PISO y SIMPLE

(64)

Algoritmo SIMPLE

Semi–Implicit Method for Pressure–Linked Equations

Ecuaciones de Navier–Stokes incompresibles

∂~u

∂t + div(~u⊗ ~u) − div(ν ~∇~u) + ~∇p= ~0 div~u=0

Idea del algoritmo SIMPLE (para problema estacionario) se itera en tiempo (linealizando en tiempo anterior) en capa paso de tiempo:

se descomponen los campos en predicción y corrección se calcula una predicción de la velocidad

(65)

Algoritmo SIMPLE

Descomposición de campos (predicción + corrección)

~u= ~u^∗+ ~u^′ p =pⁿ+p^∗

Ecuación de conservación de momentos

Despreciando términos cuadráticos y viscosos en~u^′:

∂~u^∗

∂t +∂~u^′

∂t + div(~uⁿ⊗ ~u^∗) − div(ν ~∇~u^∗) + ~∇pⁿ+ ~∇p^∗ = ~0

Segregación de cálculos

∂~u^∗

+ div(~uⁿ⊗ ~u^∗) − div(ν ~∇~u^∗) + ~∇pⁿ= ~0

(66)

Algoritmo SIMPLE

Etapa de predicción

Se calcula~u^∗ solución de

∂~u^∗

∂t + div(~uⁿ⊗ ~u^∗) − div(ν ~∇~u^∗) + ~∇pⁿ= ~0

Etapa de corrección

Se calculan~u^′ y p^′ solución de

∂~u^′

∂t + ~∇p^′ = ~0

(67)

Algoritmo SIMPLE

Resolución de Etapa de corrección

Se deduce un problema de Poisson para la presión (divergencia en ec. de conservación de momentos):

−∆p^′= −∂

∂t(div~u^∗)

con condiciones de contorno artificiales sobre p^′ Con presión p^′se calcula corrección de velocidad~u^′:

∂~u^′

+ ~∇p^′ = ~0

(68)

Algoritmo SIMPLE

Implementación del algoritmo SIMPLE

La etapa de predicción puede convertirse en explícita:

se retiene sólo diagonal del operador de discretización El algoritmo itera en (pseudo–) tiempo hasta convergencia:

justifica no considerar términos despreciados

En cálculo de presión se itera para retener correcciones no–ortogonales (evita aumento de banda de matriz) Se emplea relajación para mejorar la convergencia

(69)

Algoritmo PISO

Pressure Implicit with Splitting of Operators

Adaptación de SIMPLE para problemas evolutivos

términos despreciados (en cálculo de predicción~u^∗) no se cancelan en transitorio

términos truncados se incluyen en la corrección es preciso iterar en cálculo de correcciones

Esquema del algoritmo PISO

En cada paso de tiempo se resuelve:

Cálculo de predicción~u^∗ en t_n+1

Bucle de cálculo de corrección(~u^′,p^′)en t :

(70)

Implementación de PISO en OpenFOAM

Estructura de solvericoFoam

while (runTime.loop()) # bucle temporal fvVectorMatrix UEqn ( fvm::ddt(U)

+fvm::div(phi,U)-fvm::laplacian(nu,U));

solve(UEqn == -fvc::grad(p)); # prediccion

# inicio bucle PISO:

for (int corr=0; corr<nCorr; corr++) adjustPhi(phi, U, p);

# inicio bucle calculo presion:

for (int nonOrth=0; nonOrth<=...

fvScalarMatrix pEqn (

fvm::laplacian(rAU, p)

(71)

Plan

(72)

Métodos (iterativos) de resolución métodos de Krylov:

método de gradiente conjugado método de gradiente biconjugado métodos multimalla:

métodos multimalla geométricos métodos multimalla algebraicos

Referencias

http://www.openfoam.com/features OpenFOAM User Guide (sección 4.5)

(73)

Métodos de Krylov

Métodos disponibles

para matrices simétricas y definidas positivas:

mét. de gradiente conjugado (precondicionado):PCG para matrices generales:

mét. de gradiente biconjugado (precondicionado):PBiCG

Precondicionadores

factorizaciones incompletas: Cholesky (DIC) y LU (DILU) precondicionador diagonal (Jacobi): diagonal

métodos multimalla (geométrico/algebraico):

(74)

Métodos multimalla

Métodos multimalla geométricos/algebraicos

usuario no necesita proporcionar jerarquía de mallas malla grosera construida a partir de directrices en:

nCoarsestCells,agglomerator control de suavizadores mediante:

smoother

nPreSwepng,nPostSwepng,nFinestSwepng control de niveles de multimalla con:

mergeLevels

(75)

Un ejemplo: uso de icoFoam

SolvericoFoam

Transient solver for incompressible, laminar flow of Newtonian fluids

discretización basada en PISO

usado en Lid–driven cavity flow (tutorial en User’s Guide)

Código fuente deicoFoam

Para versión 1.7.1 instalada en/opt:

/opt/openfoam171/applications/solvers/...

incompressible/icoFoam/icoFoam.C

(76)

Un ejemplo: uso de icoFoam

Opciones en archivofvSolution

(77)

Un ejemplo: uso de icoFoam

Opciones en archivofvSchemes