GRUPO (1) Detecte el o los error(es) cometido(s) con el uso de las propiedades de las potencias y luego desarrolle el ejercicio de manera correcta.

(1)

GRUPO (1) EJERCICIO

Detecte el o los error(es) cometido(s) con el uso de las propiedades de las potencias y luego desarrolle el ejercicio de manera correcta.

( 𝒙

^−𝟓

𝒙

^𝟐

) : 𝒙

^𝟒

𝒙

^−𝟕

: 𝒙

^𝟏

= 𝑥

⁻³

: 𝑥

⁴

𝑥

⁻⁷

: 𝑥

¹

= 𝑥

⁻³⁻⁴

𝑥

⁻⁷⁻¹

= 𝑥

⁻⁷

𝑥

⁻⁶

= 𝑥

⁻¹³

= 1 𝑥

¹³

 ERRORES IDENTIFICADOS

1) PROPIEDAD DE DIVISIÓN DE POTENCIAS DE IGUAL BASE

( 𝒙

^−𝟓

𝒙

^𝟐

) = 𝒙

^{−𝟓−𝟐}

= 𝒙

^{−𝟓+(−𝟐)}

= 𝒙

^−𝟕

2) RESTA DE NÚMEROS ENTEROS

𝒙

^−𝟕

: 𝒙

^𝟏

= 𝒙

^{−𝟕−𝟏}

= 𝒙

^{−𝟕+(−𝟏)}

= 𝒙

^−𝟖

 DESARROLLO CORRECTO DEL EJERCICIO

( 𝒙

^−𝟓

𝒙

^𝟐

) : 𝒙

^𝟒

𝒙

^−𝟕

: 𝒙

^𝟏

= 𝒙

^−𝟕

: 𝒙

^𝟒

𝒙

^−𝟖

= 𝒙

^{−𝟕−𝟒}

𝒙

^−𝟖

= 𝒙

^−𝟏𝟏

𝒙

^−𝟖

= 𝒙

^{−𝟏𝟏−(−𝟖)}

= 𝒙

^−𝟑

= 𝟏 𝒙

^𝟑

PROBLEMA

Violeta llama a tres compañeras y les cuenta un secreto. Cada una de estas tres amigas, llama a otras tres amigas distintas para contarles el secreto y así, una a una, van contando el secreto a nuevas amigas. Completa la tabla, el grafico y luego responde:

1) Complete la siguiente tabla, con la información entregada en la situación planteada:

Nivel de llamados

Nº de personas informadas por nivel

Potencia asociada

RECUERDE QUE

0 1 3⁰ 1

1 3 3¹ 3

2 9 3² 3x3

3 27 3³ 3x3x3

4 81 3⁴ 3x3x3x3

5 243 3⁵ 3x3x3x3x3

6 729 3⁶ 3x3x3x3x3x3

2) ¿Cuántas personas son informadas en el nivel 4?, ¿Cuántas son informadas en el nivel 6?

Para responder lo preguntado, basta con mirar la tabla completada anteriormente:

Personas informadas en el nivel 4: 81 Personas informadas en el nivel 6: 729

3) ¿Qué tipo de modelamiento exponencial representa esta situación? ¿Por qué?

Es un crecimiento exponencial, puesto que el valor de la base de la potencia que modela la situación es mayor que 1.

(2)

4) En el grafico siguiente ubique la información necesaria para modelar la situación:

Nº de personas informadas

Nivel de llamados

(3)

(−𝟒)

^𝟒

∙ (𝟓)

^𝟐

𝟖𝟎𝟎 = (−𝟐𝟎)

^𝟔

𝟖𝟎𝟎 = −𝟐𝟎 ∙ 𝟔

𝟖𝟎𝟎 = 𝟏𝟐𝟎

𝟖𝟎𝟎 = 𝟏𝟐 𝟖𝟎

1) PROPIEDAD DE LA MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS

Se aplicó indebidamente la propiedad de multiplicación de potencias de igual exponente e igual base. Esto no se puede hacer, dado que no existe igualdad de exponente ni de base. Por tanto, se debe resolver por separado cada potencia.

(−𝟒)

^𝟒

∙ (𝟓)

^𝟐

= (−𝟒) ∙ (−𝟒) ∙ (−𝟒) ∙ (−𝟒) ∙ (𝟓) ∙ (𝟓) 𝟏𝟔 ∙ 𝟏𝟔 ∙ 𝟐𝟓

𝟔𝟒𝟎𝟎

2) CALCULO DEL VALOR DE UNA POTENCIA

Aplica incorrectamente la definición de potencia, puesto que multiplico la base con el exponente, y debe multiplicar la base por si misma seis veces, tal como se muestra a continuación:

(−𝟐𝟎)

^𝟔

= −𝟐𝟎 ∙ −𝟐𝟎 ∙ −𝟐𝟎 ∙ −𝟐𝟎 ∙ −𝟐𝟎 ∙ −𝟐𝟎 𝟒𝟎𝟎 ∙ 𝟒𝟎𝟎 ∙ 𝟒𝟎𝟎

𝟔𝟒. 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎

(−𝟒)

^𝟒

∙ (𝟓)

^𝟐

𝟖𝟎𝟎 = (𝟐𝟓𝟔) ∙ (𝟐𝟓)

𝟖𝟎𝟎 = 𝟔𝟒𝟎𝟎 𝟖𝟎𝟎 = 𝟖

PROBLEMA

La cantidad de una sustancia radioactiva (en mg) está dada según la siguiente expresión:

1000 ∙ (₁₀⁹)^𝑡 , donde el tiempo t está en años.

a) ¿Cuánta sustancia queda luego de 2 años?

Como el tiempo esta descrito en años, entonces tras dos años:

𝟏𝟎𝟎𝟎 ∙ ( 𝟗 𝟏𝟎 )

𝒕

= 𝟏𝟎𝟎𝟎 ∙ ( 𝟗 𝟏𝟎 )

𝟐

= 𝟏𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟎, 𝟖𝟏 = 𝟖𝟏𝟎

Por tanto, después de 2 años quedan 810 mg de sustancia.

(4)

b) Completa la tabla y luego complete el grafico, graduando el eje y según sea necesario.

Desintegración de una sustancia

Tiempo (años) Sustancia radioactiva (mg) Cantidad de sustancia (mg)

1

𝟏𝟎𝟎𝟎 ∙ ( 𝟗

𝟏𝟎 )

𝟏 900

2

𝟏𝟎𝟎𝟎 ∙ ( 𝟗

𝟏𝟎 )

𝟐 810

3

𝟏𝟎𝟎𝟎 ∙ ( 𝟗

𝟏𝟎 )

𝟑 729

4

𝟏𝟎𝟎𝟎 ∙ ( 𝟗

𝟏𝟎 )

𝟒 656

5

𝟏𝟎𝟎𝟎 ∙ ( 𝟗

𝟏𝟎 )

𝟓 590

6

𝟏𝟎𝟎𝟎 ∙ ( 𝟗

𝟏𝟎 )

𝟔 531

c) ¿Cuántos años deberán pasar para que se desintegre la mitad de la sustancia?

Al pasar 7 años, tenemos que

𝟏𝟎𝟎𝟎 ∙ (

^𝟗

𝟏𝟎

)

^𝟕

= 𝟒𝟕𝟖 mg, por tanto, podemos decir que deben pasar alrededor de 6 años y medio para que la sustancia se desintegre a la mitad.

d) Qué tipo de modelamiento exponencial representa esta situación? ¿Por qué?

La situación representa un decrecimiento exponencial, puesto que la base de la potencia que modela la situación, es un número menor que 1 pero mayor que 0.

(5)

(5 4)

2

∙ (3 2)

2

= (5 4+3

2)

2

1) PROPIEDAD DE LA MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS DE IGUAL EXPONENTE

Aplica de manera errónea la propiedad mencionada, puesto que esta dice “se multiplican las bases y se conserva el exponente”. En cambio, lo que realizó fue sumar las bases (sabemos con anterioridad que sumar números racionales no es lo mismo que multiplicarlos) y conservar el exponente.

(𝟓 𝟒)

𝟐

∙ (𝟑 𝟐)

𝟐

= (𝟓 𝟒∙𝟑

𝟐)

𝟐

= (𝟏𝟓 𝟖 )

𝟐

=𝟐𝟐𝟓 𝟔𝟒

PROBLEMA

La cantidad de bacterias que hay en un cultivo está dada por 𝐶(𝑡) = 2 ∙ 3^𝑡, en donde el tiempo t se mide en horas y la cantidad de bacterias C (t) en miles.

a) ¿Cuál es el número inicial de bacterias?

El numero inicial de bacterias, lo podemos apreciar en la expresión C (t), y es 2.000, puesto que el inicio es cuando el tiempo es 0 (al inicio) y además porque el número de estas viene descrito en miles, por tanto, tendríamos:

𝐶(0) = 2 ∙ 3⁰= 2 ∙ 1 = 2  2 ∙ 1000 = 2000

b) ¿Cuál es el número de bacterias después de 4 horas?

El número de bacterias al cabo de 4 horas será: 𝐶 (4) = 2 ∙ 3⁴= 2 ∙ 81 = 162, por tanto, podemos decir que hay 162.000 bacterias al cabo de 4 horas.

c) Completa la tabla y luego complete el grafico, graduando el eje y según sea necesario.

Tiempo (h) Bacterias (Con potencia asociada)

Bacterias (cantidad en miles)

1 2 ∙ 3¹= 2 ∙ 3 6.000

2 2 ∙ 3² = 2 ∙ 9 9.000

3 2 ∙ 3³= 2 ∙ 27 54.000

4 2 ∙ 3⁴= 2 ∙ 81 162.000 5 2 ∙ 3⁵ = 2 ∙ 243 486.000

d) ¿Qué tipo de modelamiento exponencial representa esta situación? ¿Por qué?

Esta situación modela un crecimiento exponencial, dado que la base de la potencia asociada, es un valor mayor a 1.

(6)

[( 4 7 )

2

: ( 4 7 )

−3

] : [( 4 7 )

−5

: ( 4 7 )

3

] = ( 4 7 )

5

: ( 4 7 )

8

= ( 4 7 )

−3

1) PROPIEDAD DE LA DIVISION DE POTENCIAS DE IGUAL BASE

El error está en la aplicación de la propiedad al restar los exponentes

[( 4 7 )

−5

: ( 4 7 )

3

] = ( 4 7 )

−5−3

= ( 4 7 )

−5+(−3)

= ( 4 7 )

−8

2) ERROR DE CALCULO EN EL RESULTADO

Al aplicar mal la propiedad mencionada anteriormente, la respuesta entregada es incorrecta.

[( 4 7 )

2

: ( 4 7 )

−3

] : [( 4 7 )

−5

: ( 4 7 )

3

] = ( 4 7 )

5

: ( 4 7 )

−8

= ( 4 7 )

5−(−8)

= ( 4 7 )

13

PROBLEMA

Un medicamento se elimina del organismo a través de la orina. La dosis inicial es de 10 mg y la cantidad en el cuerpo t horas después está dada por 𝐴(𝑡) = 10 ∙ (0,8)^𝑡. Para que el fármaco haga efecto debe haber por lo menos 2 mg en el cuerpo.

a) Complete la siguiente tabla de valores para organizar la información del problema y luego dar respuesta a lo preguntado, más adelante:

b) ¿Cuál es la cantidad del fármaco restante en el organismo 2 horas después de la ingestión inicial?

Después de 2 horas la cantidad del fármaco restante en el organismo es de 6,4 mg.

c) ¿Cuántas horas deben pasar para que la cantidad del medicamento en el cuerpo sea inferior a 5 mg?

Deben pasar 4 horas para que la cantidad del medicamento sea inferior al 5 mg.

Tiempo en horas

Potencia asociada

Cantidad de medicamento en mg

0 10 ∙ (0,8)⁰ 10 mg

1 10 ∙ (0,8)¹ 8 mg

2 10 ∙ (0,8)² 6,4 mg

3 10 ∙ (0,8)³ 5,12 mg

4 10 ∙ (0,8)⁴ 4,91 mg

5 10 ∙ (0,8)⁵ 3,28 mg

6 10 ∙ (0,8)⁶ 2,62 mg

7 10 ∙ (0,8)⁷ 2,09 mg

(7)

d) ¿Qué tipo de modelamiento exponencial modela la situación planteada? ¿Por qué?

Es un decrecimiento exponencial, puesto que la base de la potencia que modela la situación es mayor a 0 y menor que 1.

(8)

( 𝒚

^−𝟐

𝒚 )

𝒚

^−𝟑

= 𝑦

⁻²

∙ 𝑦

⁻¹

∙ 𝑦

⁻³

= 𝑦

⁻⁶

1) PROPIEDAD DE LA DIVISIÓN DE POTENCIAS DE IGUAL BASE

No aplica la propiedad de división de potencias de igual base como debiese. Puesto que tendría que conservar la base, en este caso, “y” y luego restar los exponentes.

2) ERROR DE CALCULO EN EL RESULTADO

Al aplicar mal la propiedad mencionada entrega una respuesta incorrecta.

( 𝒚

^−𝟐

𝒚 )

𝒚

^−𝟑

= 𝒚

^{−𝟐−𝟏}

𝒚

^−𝟑

= 𝒚

^{−𝟐+(−𝟏)}

𝒚

^−𝟑

= 𝒚

^−𝟑

𝒚

^−𝟑

= 𝟏

PROBLEMA

Si el crecimiento diario de cierta bacteria es en base dos: es decir el día 0 hay 2⁰=1 bacteria, el día 1 hay 2¹ =2 bacterias y el día 2 hay 2²=4 bacterias, como lo muestra el siguiente diagrama.

a) Complete la siguiente tabla para organizar la información del problema y dar respuesta a lo que se pregunta a continuación.

Nº de días

Nº de Bacterias

Potencia asociada al Nº de bacterias

0 1 2⁰

1 2 2¹

2 4 2²

3 8 2³

4 16 2⁴

5 32 2⁵

6 64 2⁶

7 128 2⁷

(9)

b) ¿Cuántas bacterias hay después de 7 días?

Después de 7 días hay 128 bacterias.

c) ¿Cuántas bacterias hay después de 10 días?

Después de 10 días hay 2¹⁰= 1024 bacterias

d) ¿Cuál es la expresión matemática para conocer el número de bacterias después de n días?

Después de n días hay 2^𝑛 bacterias

e) ¿Qué tipo de modelamiento exponencial representa esta situación? ¿Por qué?

Representa un crecimiento exponencial, puesto que la base de la potencia que modela la situación es mayor que 1.

(10)

(𝟐𝒌)

^−𝟐

(𝟐𝒌)

^−𝟏

: (𝟐𝒌)

^𝟑

= 2𝑘

⁻²

2𝑘

⁻¹

: 2𝑘

³

= 2𝑘

⁻²

2𝑘

⁻⁴

= 2𝑘

⁻²⁺⁴

= 2𝑘

²

1) PROPIEDAD DE LA PRIORIDAD DE LOS PARÉNTESIS: El error radica en que elimina los paréntesis sin respetar la prioridad que estos tienen, de allí en adelante la respuesta es errónea.

(𝟐𝒌)

^−𝟐

(𝟐𝒌)

^−𝟏

: (𝟐𝒌)

^𝟑

= (𝟐𝒌)

^−𝟐

(𝟐𝒌)

^{−𝟏−𝟑}

= (𝟐𝒌)

^−𝟐

(𝟐𝒌)

^−𝟒

= (𝟐𝒌)

^{−𝟐−(−𝟒)}

= (𝟐𝒌)

^𝟐

= 𝟒𝒌

^𝟐

PROBLEMA

Un tipo de bacteria se duplica cada media hora. Si a las 8:30 h hay una bacteria:

a) Construya una tabla para organizar la información y luego responder.

Bloques de 30 minutos

Nº de Bacterias

Potencia asociada al Nº de bacterias

0 1 2⁰

1^eros30 min 2 2¹

2^dos 30 min 4 2²

3^eros30 min 8 2³

4^tos30 min 16 2⁴

5^tos30 min 32 2⁵

6^tos30 min 64 2⁶

7^mos30 min 128 2⁷

b) ¿Cuántas bacterias habrá a las 14:00 horas del mismo día?

A las 14:00 horas, cuando han pasado 11 lapsos de 30 minutos habrá 2¹¹= 2048 bacterias.

c) ¿Cuántas bacterias habrá a las 23:30 horas del mismo día?

A las 23:00 horas, cuando han pasado 30 lapsos de 30 minutos habrá 2³⁰ bacterias.

Esta situación esta modela por un crecimiento exponencial, dado que la base de la potencia asociada al comportamiento de este grupo de bacterias es un número mayor que 1.

(11)

( 𝒘

^−𝟕

𝒘

^𝟑

) ( 𝒘

^𝟑

𝒘

^−𝟓

) : 𝒘

^𝟔

= 𝑤

⁻⁷⁻³

𝑤

³⁺⁵

: 𝑤

⁶

= 𝑤

⁻¹⁰

𝑤

⁸⁻⁶

= 𝑤

⁻¹⁰

𝑤

²

= 𝑤

⁻¹⁰⁻²

= 1 𝑤

⁻¹²

1) PROPIEDAD DEL EXPONENTE ENTERO NEGATIVO: El error radica en que aplica de manera incorrecta la propiedad menciona, puesto que una vez que se invierte la base el exponente queda positivo.

( 𝒘

^−𝟕

𝒘

^𝟑

) ( 𝒘

^𝟑

𝒘

^−𝟓

) : 𝒘

^𝟔

= 𝑤

⁻⁷⁻⁽³⁾

𝑤

³⁻⁽⁻⁵⁾

: 𝑤

⁶

= 𝑤

⁻¹⁰

𝑤

⁸⁻⁶

= 𝑤

⁻¹⁰

𝑤

²

= 𝑤

⁻¹⁰⁻²

= 𝑤

⁻¹²

= 1 𝑤

¹²

PROBLEMA

Un grupo de 78.125 bacterias decrece exponencialmente a un quinto de su población cada día.

a) Complete la siguiente tabla para organizar la información y luego dar respuesta a las preguntas planteadas.

Transcurso del Tiempo (en años)

Nº de bacterias

0 𝟕𝟖. 𝟏𝟐𝟓 ∙ (𝟏 𝟓)

𝟎

= 𝟕𝟖. 𝟏𝟐𝟓 1 𝟕𝟖. 𝟏𝟐𝟓 ∙ (^𝟏

𝟓)^𝟏=𝟏𝟓. 𝟔𝟐𝟓 2 𝟕𝟖. 𝟏𝟐𝟓 ∙ (𝟏

𝟓)

𝟐

=𝟑. 𝟏𝟐𝟓 3 𝟕𝟖. 𝟏𝟐𝟓 ∙ (𝟏

𝟓)

𝟑

=𝟔𝟐𝟓 4 𝟕𝟖. 𝟏𝟐𝟓 ∙ (𝟏

𝟓)

𝟒

= 𝟏𝟐𝟓 5 𝟕𝟖. 𝟏𝟐𝟓 ∙ (𝟏

𝟓)

𝟓

= 𝟐𝟓 6 𝟕𝟖. 𝟏𝟐𝟓 ∙ (𝟏

𝟓)

𝟔

= 𝟓

b) ¿Cuántas bacterias quedaran al cabo de 5 días?

Observando los resultados de la tabla, podemos decir, que al cabo de 5 días habrá 25 bacterias.

c) ¿Por qué esta situación modela un decrecimiento exponencial?

La razón es porque la base asociada al problema (¹₅) = 0,2 es un número mayor que 0 y menor que 1.

(12)

( 3 5 ) ∙ ( 5

3)

−3

: ( 3 5 )

4

( 5 3)

0

∙ (( 3 2)

2

)

3

∙ ( 5 3)

9

= ( 3 5 )

1+(−3)−4

1 ∙ ( 3 2)

5

∙ ( 5 3)

9

= ( 3 5 )

−6

1 = ( 3 5 )

−6

1) PROPIEDAD DE LA MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS DE IGUAL BASE: El error radica en que aplica de manera incorrecta la propiedad menciona, puesto que en el numerador las bases no son iguales.

2) PROPIEDAD POTENCIA DE UNA POTENCIA: El error radica en aplicar incorrectamente la propiedad, puesto que esta dice, conservar la base y multiplicar los exponentes, no sumarlos como en este caso podemos ver que se hizo.

( 3 5 ) ∙ ( 5

3)

−3

: ( 3 5 )

4

( 5 3)

0

∙ (( 3 2)

2

)

3

∙ ( 5 3)

9

= ( 3 5 ) ∙ ( 3

5 )

3

: ( 3 5 )

4

1 ∙ ( 3 2)

6

∙ ( 5 3)

9

= ( 3 5 )

1+3

: ( 3 5 )

4

( 3 2)

6

∙ ( 5 3)

9

= ( 3 5 )

4

: ( 3 5 )

4

( 3 2)

6

∙ ( 5 3)

9

= ( 3 5 )

4−4

( 3 2)

6

∙ ( 5 3)

9

= ( 3 5 )

0

( 3 2)

6

∙ ( 5 3)

9

= 1

( 3 2)

6

∙ ( 5 3)

9

(13)

PROBLEMA

Para predecir el número de alumnos de un colegio que tiene planes de expansión limitada, el modelo usado es: 𝑃(𝑡) = 800 ∙ (0,7)^𝑡, donde t es el número de años después de abierto el colegio.

a) Complete la siguiente tabla y luego responda:

Tiempo medido en años

Potencia asociada

Cantidad de alumnos

0 800 ∙ (0,7)⁰ 800

1 800 ∙ (0,7)¹ 560

2 800 ∙ (0,7)² 392

3 800 ∙ (0,7)³ 274

4 800 ∙ (0,7)⁴ 192

5 800 ∙ (0,7)⁵ 134

6 800 ∙ (0,7)⁶ 94

7 800 ∙ (0,7)⁷ 66

b) ¿Qué cantidad de alumnos había cuando abrió el colegio?

Cuando abrió el colegio había 800 estudiantes, esto lo podemos evidenciar en la expresión que modela la situación 𝑃(𝑡) = 𝟖𝟎𝟎 ∙ (0,7)^𝑡

c) Después de 2 años de funcionamiento, ¿Cuántos alumnos tiene?

Después de 2 años de funcionamiento el colegio tendrá 800 + 560 + 392 estudiantes, esto es 1752 estudiantes en total.

Esta situación representa un decrecimiento exponencial, dado que la cantidad de estudiantes que va ingresando al colegio a medida que pasan los años va en disminución y esto se evidencia en el valor numérico de la base de la potencia asociada al problema, la que es un número entre 0 y 1, en particular 0,7.

(14)

( 1 2) ∙ (

2 1)

5

: ( 1 2)

3

( 1 2)

0

∙ (( 1 2)

3

)

5

: ( 1 2)

5

= ( 2 2)

5

: ( 1 2)

3

1 ∙ ( 1 2)

8

: ( 1 2)

5

= 1: ( 1 2)

3

( 1 2)

8+5

= ( 1 2)

3

( 1 2)

13

= ( 1 2 )

3−13

= ( 1 2 )

−10

1) PROPIEDAD DE LA MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS DE IGUAL BASE: El error radica en que aplica de manera incorrecta la propiedad menciona, puesto que en el numerador, las bases no son iguales.

2) PROPIEDAD POTENCIA DE UNA POTENCIA: El error radica en aplicar incorrectamente la propiedad, puesto que esta dice, conservar la base y multiplicar los exponentes, no sumarlos como en este caso podemos ver que se hizo.

( 1 2) ∙ ( 2

1)

5

: ( 1 2)

3

( 1 2)

0

∙ (( 1 2)

3

)

5

: ( 1 2)

5

= ( 1 2) ∙ ( 1

2)

−5

: ( 1 2)

3

( 1 2)

0

∙ ( 1 2)

15

: ( 1 2)

5

= ( 1 2)

1+(−5)

: ( 1 2)

3

( 1 2)

0+15

: ( 1 2)

5

= ( 1 2)

−4

: ( 1 2)

3

( 1 2)

15

: ( 1 2)

5

= ( 1 2)

−4−3

( 1 2)

15−5

= ( 1 2)

−7

( 1 2)

10

= ( 1 2 )

−7−10

= ( 1 2 )

−17

= 2

¹⁷

(15)

PROBLEMA

En una fábrica, se estudió el rebote de una pelota y se concluyó que la altura del rebrote decrecía según potencias de 0,9, es decir, si se deja caer de 1 metro de altura, el primer rebrote medía 0,9 metros de alto, el segundo medía (0,9)² metros, y así sucesivamente.

a) Complete la siguiente tabla de valores para organizar la información del problema y luego dar respuesta a lo preguntado, más adelante:

b) ¿Calcula la altura que alcanzo la pelota al tercer rebote?

Al tercer rebote la altura de la pelota es de 0,73 metros. Esto lo podemos comprobar mirando la tabla.

c) ¿Cuántos rebotes debe dar la pelota para que la altura que alcanza sea menor que 0,5 metros?

La pelota debe dar al menos 7 rebotes para que la altura sea menor a 0,5 metros

d) Calcula la altura, en centímetros, que alcanza la pelota en el décimo rebote.

En el décimo rebote la pelota alcanza una altura de 1 ∙ (0,9)¹⁰= 0,35 metros.

e) ¿Por qué este problema modela un decrecimiento exponencial?

Este problema modela un decrecimiento exponencial ya que la base de la potencia asociada a la situación es un número mayor que 0 pero menor que 1.

Nº de rebotes Potencia asociada

Altura alcanzada

0 1 ∙ (0,9)⁰ 1 metro

1 1 ∙ (0,9)¹ 0,9 metros

2 1 ∙ (0,9)² 0,81 metros

3 1 ∙ (0,9)³ 0,73 metros

4 1 ∙ (0,9)⁴ 0,66 metros

5 1 ∙ (0,9)⁵ 0,59 metros

6 1 ∙ (0,9)⁶ 0,53 metros

7 1 ∙ (0,9)⁷ 0,48 metros

(16)

(− 3 2) ∙ (−

2 3)

−3

∙ (− 3 2)

2

(− 3 2)

0

∙ ((− 3 2)

2

)

3

: (− 3 2)

2

= (− 3 2)

1+(−3)+2

1 ∙ (− 3 2)

6

: (− 3 2)

2

= (− 3 2)

0

(− 3 2)

6−2

= 1

(− 3 2)

4

1) PROPIEDAD DE LA MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS DE IGUAL BASE: El error radica en que aplica de manera incorrecta la propiedad menciona, puesto que en el numerador, las bases no son iguales.

(− 3

2) ∙ (− 2 3)

−3

∙ (− 3 2)

2

(− 3 2)

0

∙ ((− 3 2)

2

)

3

: (− 3 2)

2

= (− 3

2) ∙ (− 3 2)

3

∙ (− 3 2)

2

(− 3 2)

0

∙ (− 3 2)

6

: (− 3 2)

2

= (− 3 2)

1+3+2

(− 3 2)

6

: (− 3 2)

2

= (− 3 2)

6

(− 3 2)

4

= (− 3 2 )

2

= ( 3 2 )

2

= 9

4

(17)

PROBLEMA

Una población de aproximadamente 9.765.625 peces decrece por la contaminación de las aguas a un quinto de su población anualmente.

a) Complete la siguiente tabla para organizar la información y luego dar respuesta a las preguntas planteadas.

Transcurso del Tiempo (en años)

Nº de peces

0 𝟗. 𝟕𝟔𝟓. 𝟔𝟐𝟓 ∙ (𝟏 𝟓)

𝟎

= 𝟗. 𝟕𝟔𝟓. 𝟔𝟐𝟓 1 𝟗. 𝟕𝟔𝟓. 𝟔𝟐𝟓 ∙ (𝟏

𝟓)

𝟏

= 𝟏. 𝟗𝟓𝟑. 𝟏𝟐𝟓 2 𝟗. 𝟕𝟔𝟓. 𝟔𝟐𝟓 ∙ (𝟏

𝟓)

𝟐

= 𝟑𝟗𝟎. 𝟔𝟐𝟓 3 𝟗. 𝟕𝟔𝟓. 𝟔𝟐𝟓 ∙ (𝟏

𝟓)

𝟑

=𝟕𝟖. 𝟏𝟐𝟓 4 𝟗. 𝟕𝟔𝟓. 𝟔𝟐𝟓 ∙ (𝟏

𝟓)

𝟑

=𝟏𝟓. 𝟔𝟐𝟓 5 𝟗. 𝟕𝟔𝟓. 𝟔𝟐𝟓 ∙ (𝟏

𝟓)

𝟑

=𝟑. 𝟏𝟐𝟓 6 𝟗. 𝟕𝟔𝟓. 𝟔𝟐𝟓 ∙ (𝟏

𝟓)

𝟑

=𝟔𝟐𝟓

b) ¿Cuántos peces hay al tercer año?

Si observamos la tabla podemos dar cuenta que habrá 78.125 peces al tercer año.

c) ¿Qué expresión permitiría calcular la población luego de n años?

La expresión será 𝟗. 𝟕𝟔𝟓. 𝟔𝟐𝟓 ∙ (^𝟏

𝟓)^𝒏

d) ¿Después de cuantos años la población es de 15.625 peces?

Después de 4 años la población de peces será 15.625.

e) ¿Qué tipo de modelamiento exponencial representa esta situación? ¿Por qué?

Esta situación modela un decrecimiento exponencial puesto que la base de la potencia asociada al problema es un número entre cero y uno, en particular ¹₅= 0,2.